Corrección Primer Parcial, Semestre II02, Cálculo III

8/14/2019 Correccin Primer Parcial, Semestre II02, Clculo III

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Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas

Correccion Primer Parcial de Calculo III 1 23 de septiembre de 2002

Tabla de Respuestas

1.- b

2.- c

3.- a

4.- d

1.- (25 puntos) Considere la ecuacion diferencial lineal de segundo orden no homogenea

y 2y + y = ex.Determine la solucion general de esta ecuacion, hallando primero un sistema fundamental de soluciones

de la ecuacion lineal homogenea asociada y luego determinando una solucion particular con el metodo

de variacion de constantes.

Respuesta:

a) y = c1ex + c2xex x2ex, b) y = c1ex + c2xex + 12x2ex,c) y = c1e

x + c2xex +12x2ex, d) y = c1ex + c2xex x2ex.

Como la ecuacion diferencial es lineal no homogenea de segundo orden, primero resolvemos la ecuacionlineal homogenea asociada

y 2y + y = 0,cuyo polinomio caracterstico es

p() = 2

2 + 1 = (

1)2.

De donde = 1 es una raiz del polinomio caracterstico de multiplicad 2. El sistema fundamental estadado por

SF = {ex, xex}.La solucion particular la determinamos por variacion de constantes, por consiguiente debemos resolverel sistema lineal siguiente

ex xex

ex (1 + x)ex

c1c2

=

0ex

Lo que da

c1 =

0 xex

ex (1 + x)ex

e2x = x c1 = 12x2,c2 = e

2x

e2x = 1 c2 = x.De donde la solucion particular encontrada es

y = 12x2 ex + x xex + 1

2x2ex.

La solucion general es

y = c1ex + c2xe

x +1

2x2ex.


2/33

2.- (25 puntos) Determine y(2), sabiendo que y(x) es solucion del problema a valor inicial

y = 1xy +

1

xy2,

y(1) =1

2

Respuesta:

a) y(2) =2

3, b) y(2) = 1, c) y(2) =

1

3, d) y(2) =

3

2.

La ecuacion diferencial asociada al problema es de tipo Bernouilli. Realizamos el cambio de variablez = y12, de donde zy = 1, derivando obtenemos zy + zy = 0, de donde la ecuacion convertida es

z =1

xz 1

x

ecuacion lineal de primer orden, cuya solucion general esta dada por

z = celnx + 1 = cx + 1.

El valor inicial se convierte en z(1) = 2, remplazando se tiene

c1 + 1 = 2 c = 1,

de donde z = x + 1 y en particular z(2) = 3, por consiguiente

y(2) =1

3.

3.- (25 puntos) Resolver la ecuacion diferencial

x2y = 2xy + (y)2.

Respuesta:a) y = 1

2x2 cx c2 ln(x c) + d, b) y = decx,

c) 2cy 1 = cx + d, d) x2 + c ln(x) + d.

La ecuacion diferencial es de segundo orden y no aparece y de manera explicita. Reduciomos el ordenplanteando z = y. Por lo tanto

x2z = 2xz + z2,

ecuacion de tipo Bernouilli. Planteamos u = z1, lo que convierte la ecuacion en

u = 2xu 1

x

2

La solucion general de esta ecuacion esta dada por

u = ce2 lnx 1x

= cx2

1x

= c xx2

.

De donde z = x2

cx = x c c2

xc . Por consiguiente

y = 12x2 cx c2 ln(x c) + d.

2


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4.- (25 puntos) Hallar la solucion general de la ecuacion diferencial

y ln(x y) = 1 + ln(x y).

Respuesta:

a) y = xcx21

cx2+1 , b) y = x4(ln(x y) + y2) + c,

c) y = x cx2+1

cx2

1, d) (x

y)ln(x

y) = c

y.

Planteamos z = x y, de donde z = 1 y y la ecuacion se convierte en

(1 z) ln z = 1 + lnz z ln z = 1,

ecuacion de tipo separable. Integrando obtenemos

z ln z z = x + C (x y)ln(x y) x + y = x + c,

de donde(x y)ln(x y) + y = c.

3


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Tabla de Respuestas

1.- d

2.- a

3.- b

4.- d


y + 2y + y = ex

Determine la solucion general de esta ecuacion, hallando primero un sistema fundamental de soluciones



Respuesta:

a) y = c1ex + c2xex x2ex b) y = c1ex + c2ex + exc) y = c1ex + c2xex +

12x2ex, d) y = c1ex + c2xex +

12x2ex

e) ninguna de las anteriores


y + 2y + y = 0,cuyo polinomio caracterstico es

p() = 2 + 2 + 1 = ( + 1)2.

De donde = 1 es una raiz del polinomio caracterstico de multiplicad 2. El sistema fundamentalesta dado por


ex xex

ex (1 x)ex

c1c2

=

0

ex

Lo que da

c1 =

0 xex

ex (1 x)ex

e2x = x c1 = 12x2,c2 =

e2x


y = 12x2 ex + x xex = 1

2x2ex.


5/33


y = c1ex + c2xe

x +1

2x2ex.


y = 1xy 1xy2,

y(1) =1

2

Respuesta:

a) y(2) =2

3, b) y(2) =

3

2, c) y(2) =

1

3, d) y(2) = 1.


z = 1xz +

1

x


z = ce ln x + 1 =c

x+ 1.


c1 + 1 = 2 c = 1,

de donde z = 1x + 1 y en particular z(2) =32

, por consiguiente

y(2) =2

3.


yy (y)2 = 0.Respuesta:

a) y = 12x2 cx c2 ln(x c) + d, b) y = decx,

c) 2cy 1 = cx + d, d) x2 + c ln(x) + d.

La ecuacion diferencial es de segundo orden, en la que no aparece x la variable independiente de maneraexplcita. Planteamos u(y) = y, de donde

y = udu

dy yudu

dy u2 = 0 ydu

dy= u,


ln u = ln(cy) y = cy,otra ecuacion de tipo separable, que integramos

ln y = cx + d y = decx.

2


6/33


y = 1 +y

x y

2

x2.

Respuesta:

a) (x

y)ln(x

y) = c

y, b) (x

y)ln(x

y) = c

x,

c) y = x cx21

cx2+1 , d) y = xcx2+1cx21 .

Ecuacion de tipo homogeneo, planteamos z = y/x, de donde la ecuacion se convierte en

xz + z = 1 + z z2 xz = 1 z2,

ecuacion de tipo separable.

z

z2 1 = 1

x ( 1

2(z 1) 1

2(z + 1))z = 1

x,

de donde1

2

ln(z

1)

1

2

ln(z + 1) =

lnx + c

z 1

z + 1

=c

x2

Por consiguientey xy + x

= cx2 y = x1 + cx2

1 cx2 .

3


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Primer Parcial de Calculo III 3 23 de septiembre de 2002

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que esta respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opcion que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1.- b

2.- c

3.- a

4.- d


y 2y + y = ex.

Determine la solucion general de esta ecuacion, hallando primero un sistema fundamental de solucionesde la ecuacion lineal homogenea asociada y luego determinando una solucion particular con el metodo


Respuesta:

a) y = c1ex + c2xex x2ex, b) y = c1ex + c2xex + 12x2ex,c) y = c1ex + c2xex +

12x2ex, d) y = c1ex + c2xex x2ex.


y 2y + y = 0,cuyo polinomio caracterstico es

p() = 2 2 + 1 = ( 1)2.De donde = 1 es una raiz del polinomio caracterstico de multiplicad 2. El sistema fundamental estadado por


ex xex

ex (1 + x)ex

c1c2

=

0ex


8/33

Lo que da

c1 =

0 xex

ex (1 + x)ex

e2x = x c1 = 12x2,c2 =

e2x

e2x = 1 c2 = x.

De donde la solucion particular encontrada es

y = 12x2 ex + x xex = 1

2x2ex.


y = c1ex + c2xe

x +1

2x2ex.


y = 1xy +

1

xy2,

y(1) =1

2

Respuesta:

a) y(2) =2

3, b) y(2) = 1, c) y(2) =

1

3, d) y(2) =

3

2.


z =1

xz 1

x


z = celnx + 1 = cx + 1.


c1 + 1 = 2 c = 1,

de donde z = x + 1 y en particular z(2) = 3, por consiguiente

y(2) =1

3.


x2y = 2xy + (y)2.

Respuesta:


c) 2cy 1 = cx + d, d) x2 + c ln(x) + d.

explicita. Reduciomos el orden planteando z = y. Por lo tanto

x2z = 2xz + z2,

2


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ecuacion de tipo Bernouilli. Planteamos u = z1, lo que convierte la ecuacion en

u = 2xu 1

x

2

La solucion general de esta ecuacion esta dada por

u = ce2 lnx

1

x =

c

x2 1

x =

c

x

x2 .

De donde z = x2

cx = x c c2

xc . Por consiguiente

y = 12x2 cx c2 ln(x c) + d.


y = ln(x y) = 1 + ln(x y).

Respuesta:

a) y = xcx21cx2+1 , b) y = x4(ln(x y) + y2) + c,

c) y = x cx2+1

cx21 , d) (x y)ln(x y) = c y.Planteamos z = x y, de donde z = 1 y y la ecuacion se convierte en

(1 z) ln z = 1 + lnz z ln z = 1,


z ln z z = x + C (x y)ln(x y) x + y = x + c,

de donde(x y)ln(x y) + y = c.

3


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Tabla de Respuestas

1.- d

2.- a

3.- b

4.- c


y + 2y + y = ex

Determine la solucion general de esta ecuacion, hallando primero un sistema fundamental de soluciones



Respuesta:

a) y = c1ex + c2xex x2ex b) y = c1ex + c2ex + exc) y = c1ex + c2xex +

12x2ex, d) y = c1ex + c2xex +

12x2ex

e) ninguna de las anteriores


y + 2y + y = 0,cuyo polinomio caracterstico es

p() = 2 + 2 + 1 = ( + 1)2.

De donde = 1 es una raiz del polinomio caracterstico de multiplicad 2. El sistema fundamentalesta dado por


ex xex

ex (1 x)ex

c1c2

=

0

ex

Lo que da

c1 =

0 xex

ex (1 x)ex

e2x = x c1 = 12x2,c2 =

e2x


y = 12x2 ex + x xex = 1

2x2ex.


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y = c1ex + c2xe

x +1

2x2ex.


y = 1xy 1

xy2,

y(1) =1

2

Respuesta:

a) y(2) =2

3, b) y(2) =

3

2, c) y(2) =

1

3, d) y(2) = 1.


z = 1xz +

1

x


z = ce ln x + 1 =c

x+ 1.


c1 + 1 = 2 c = 1,

de donde z = 1x + 1 y en particular z(2) =32

, por consiguiente

y(2) =2

3.


yy (y)2 = 0.

Respuesta:


c) 2cy 1 = cx + d, d) x2 + c ln(x) + d.


yy

(y)2 = 0.

Respuesta:


c) 2cy 1 = cx + d, d) x2 + c ln(x) + d.

La ecuacion diferencial es de segundo orden, en la que no aparece x la variable independiente de maneraexplcita. Planteamos u(y) = y, de donde

y = udu

dy yudu

dy u2 = 0 ydu

dy= u,

2


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ln u = ln(cy) y = cy,

otra ecuacion de tipo separable, que integramos

ln y = cx + d y = decx.


y = 1 +y

x y

2

x2.

Respuesta:

a) (x y)ln(x y) = c y, b) (x y)ln(x y) = c x,c) y = x cx

21cx2+1 , d) y = x

cx2+1cx21 .

Ecuacion de tipo homogeneo, planteamos z = y/x, de donde la ecuacion se convierte en

xz + z = 1 + z z2 xz = 1 z2,

ecuacion de tipo separable.

z

z2 1 = 1

x ( 1

2(z 1) 1

2(z + 1))z = 1

x,

de donde1

2ln(z 1) 1

2ln(z + 1) = lnx + c z 1

z + 1=

c

x2

Por consiguientey xy + x

= cx2 y = x1 + cx2

1

cx2.

3


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Tabla de Respuestas

1.- d

2.- a

3.- b

4.- e

1.- (25 puntos) Utilizando metodos de resolucion de ecuaciones diferenciales; hallar y(ln2), sabiendo quey es solucion del problema a valor inicial

y y = 9e2xy(0) = 4y(0) = 7

Respuesta:

a) y(ln 2) = 0, b) y(ln 2) = 252,

c) y(ln 2) = 82, d) y(ln 2) = 14,

e) Ninguna de las anteriores.

Determinemos primero la solucion general de la ecuacion diferencial asociada al problema, que dichosea de paso es una de segundo orden lineal no homogenea. Inicialmente debemos encontrar un sistemafundamental de

y y = 0,cuyo polinomio caracterstico es

p() = 2 1 = ( 1)( + 1),por lo tanto las raices son 1 = 1 y 2 = 1 y el

SF = {ex, ex}La solucion particular la encontramos al tanteo planteando y = e2x, lo que da como solucion particulary = 3e2x. La solucion general es pues

y = c1ex + c2e

x + 3e2x.

Determinemos los valores de c1 y c2 utilizando los valores iniciales

y(0) = c1 + c2 + 3 = 4,

y(0) = c1 c2 + 6 = 7.Dando c1 = 1 y c2 = 0, de donde la solucion del problema a valor inicial es

y = ex + 3e2x,

ey(ln(2) = eln 2 + 3e2 l n 2 = 2 + 3 4 = 14.


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2.- (25 puntos) Utilizando metodos de resolucion de ecuaciones diferenciales; hallar y(ln 10), sabiendo quey es solucion del problema a valor inicial

y = 2y + 2x

y

y(0) = 0

Respuesta:

a) y(ln(10)) = 81 18 ln(10) + ln2(10), b) y(ln(10)) = 3,c) y(ln(10)) = 0, d) y(ln(10)) =

9 ln(10),


La ecuacion diferencial asociada es de tipo Bernouilli. Para resolverla hacemos la substituci on z =y11/2 =

y lo que da derivando z = 1

2yy y substituyendo en la ecuacion

2yz = 2y + 2x

y z = z + x,

ecuacion diferencial lineal de primer orden de solucion general

z = cex (x + 1)

Convertimos el valor inicial z(0) =

y(0) = 0 = c 1. Por lo tanto la solucion del problema a valorinicial es

z = ex (x + 1),de donde z(ln 10) = eln10 (ln 10+) = 9 ln 10 y por consiguiente

y(ln 10) = 81 18 ln 10 + ln2(10).

3.- (25 puntos) Utilizando tecnicas de resolucion de ecuaciones diferenciales; hallar la solucion general de

y = 2yyy(0) = 0

y(0) = 1

Respuesta:

a) y = arctan(x), b) y = tan(x),c) y = 1x+1 , d) y = ln(1 x2),e) Ninguna de las anteriores.

La ecuacion diferencial en cuestion es de segundo orden, en la que no aparece la variable x independiente.Para reducir el orden planteamos u(y) = y lo que da

y = udu

dy udu

dy= 2uy du

dy= 2y.

De donde la solucion general de esta ecuacion es u(y) = y2 + c.

Ahora bien se tiene y(0) = 0 y y(0) = u(0) = 1, lo que da u(0) = c = 1. Lo que significa que

y = y2 + 1 y

y2 + 1= 1 arctan y = x + d. y = tan(x + d).

La condicion y(0) = 0 = tan(d), implica que d = 0. Por lo tanto

y = tanx.

2


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4.- (25 puntos) Hallar la solucion general de

y =y xy2x + x2y

.

Respuesta:

a) y = x4

(ln(x y) + y2

) + c, b) y = xcx2

1

cx2+1 ,c) ln( yx3 +

yx = c, d) (3x + 2y) + ln((3x + 2y)

2) + y = c,e) Ninguna de las anteriores.

Planteamos z = xy, derivando z = xy + y, multiplicamos por x la ecuacion y remplazando tenemos

xy =y(1 xy)

1 + xy z y = y(1 z)

1 + z z = y yz + y + yz

1 + z=

2y

1 + z,

de donde con y = zx , se obtiene

z =2z

x(1 + z) 1 + z

zz =

2

x ln z + z = ln x2 + c

Por lo tanto la solucion general es

ln(y

x) + yx = c cx = yexy.

3


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Tabla de Respuestas

1.- a

2.- c

3.- d

4.- e


y y = 9e2xy(0) = 4y(0) = 7

Respuesta:

a) y(ln 2) = 14, b) y(ln 2) = 0,c) y(ln 2) = 25

2, d) y(ln 2) = 8

2,






y = c1ex + c2e

x + 3e2x.


y(0) = c1 + c2 + 3 = 4,


y = ex + 3e2x,

ey(ln(2) = eln 2 + 3e2 l n 2 = 2 + 3 4 = 14.


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2.- (25 puntos)) Utilizando metodos de resolucion de ecuaciones diferenciales; hallar y(ln 10), sabiendoque y es solucion del problema a valor inicial

y = 2y + 2x

y

y(0) = 0

Respuesta:

a) y(ln(10)) = 0, b) y(ln(10)) =

9 ln(10),c) y(ln(10)) = 81 18 ln(10) + ln2(10), d) y(ln(10)) = 3,e) Ninguna de las anteriores.




2yz = 2y + 2x

y z = z + x,


z = cex (x + 1)




y(ln 10) = 81 18 ln 10 + ln2(10).


y = 2yyy(0) = 0

y(0) = 1

Respuesta:

a) y = 1x+1 , b) y = ln(1 x2),c) y = arctan(x), d) y = tan(x),e) Ninguna de las anteriores.


y = udu

dy udu

dy= 2uy du

dy= 2y.



y = y2 + 1 y



y = tanx.

2


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y =y xy2x + x2y

.

Respuesta:

a) y = xcx2

1

cx2+1 , b) ln(y

x3 +y

x = c,c) (3x + 2y) + ln((3x + 2y)2) + y = c, d) y = x4(ln(x y) + y2) + c,e) Ninguna de las anteriores.


xy =y(1 xy)

1 + xy z y = y(1 z)

1 + z z = y yz + y + yz

1 + z=

2y

1 + z,


z =2z

x(1 + z) 1 + z

zz =

2



ln(y


3


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Tabla de Respuestas

1.- b

2.- d

3.- c

4.- e


y y = 9e2xy(0) = 4y(0) = 7

Respuesta:

a) y(ln 2) = 82, b) y(ln 2) = 14,

c) y(ln 2) = 0, d) y(ln 2) = 252,






y = c1ex + c2e

x + 3e2x.


y(0) = c1 + c2 + 3 = 4,


y = ex + 3e2x,

ey(ln(2) = eln 2 + 3e2 l n 2 = 2 + 3 4 = 14.


20/33


y = 2y + 2x

y

y(0) = 0

Respuesta:

a) y(ln(10)) = 3, b) y(ln(10)) = 0,

c) y(ln(10)) =

9 ln(10), d) y(ln(10)) = 81 18 ln(10) + ln2(10),e) Ninguna de las anteriores.



2yy

y substituyendo en la ecuacion

2yz = 2y + 2x

y z = z + x,


z = cex (x + 1)




y(ln 10) = 81 18 ln 10 + ln2(10).


y = 2yyy(0) = 0

y(0) = 1

Respuesta:

a) y = ln(1 x2), b) y = arctan(x),c) y = tan(x), d) y = 1x+1 ,e) Ninguna de las anteriores.


y = udu

dy udu

dy= 2uy du

dy= 2y.



y = y2 + 1 y



y = tanx.

2


21/33


y =y xy2x + x2y

.

Respuesta:

a) ln(

y

x3

+

y

x = c, b) (3x + 2y) + ln((3x + 2y)

2

) + y = c,c) y = x4(ln(x y) + y2) + c, d) y = xcx21cx2+1 ,e) Ninguna de las anteriores.


xy =y(1 xy)

1 + xy z y = y(1 z)

1 + z z = y yz + y + yz

1 + z=

2y

1 + z,


z =2z

x(1 + z) 1 + z

zz =

2



ln(y


3


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Tabla de Respuestas

1.- c

2.- b

3.- a

4.- e


y y = 9e2xy(0) = 4y(0) = 7

Respuesta:

a) y(ln 2) = 252, b) y(ln 2) = 8

2,

c) y(ln 2) = 14, d) y(ln 2) = 0,e) Ninguna de las anteriores.





y = c1ex + c2e

x + 3e2x.


y(0) = c1 + c2 + 3 = 4,


y = ex + 3e2x,

ey(ln(2) = eln 2 + 3e2 l n 2 = 2 + 3 4 = 14.


23/33


y = 2yyy(0) = 0y(0) = 1

Respuesta:

a) y(ln(10)) =

9 ln(10), b) y(ln(10)) = 81 18 ln(10) + ln2(10),c) y(ln(10)) = 3, d) y(ln(10)) = 0,e) Ninguna de las anteriores.




2yz = 2y + 2x

y z = z + x,


z = cex (x + 1)




y(ln 10) = 81 18 ln 10 + ln2(10).


y = 2y + 2x

y

y(0) = 0

Respuesta:

a) y = tan(x), b) y = 1x+1 ,c) y = ln(1 x2), d) y = arctan(x),e) Ninguna de las anteriores.


y = udu

dy udu

dy= 2uy du

dy= 2y.



y = y2 + 1 y



y = tanx.

2


24/33


y =y xy2x + x2y

.

Respuesta:

a) (3x + 2y) + ln((3x + 2y)

2

) + y = c, b) y = x

4

(ln(x y) + y2

) + c,b) y = xcx21

cx2+1 , d) ln(yx3 +

yx = c,

e) Ninguna de las anteriores


xy =y(1 xy)

1 + xy z y = y(1 z)

1 + z z = y yz + y + yz

1 + z=

2y

1 + z,


z =2z

x(1 + z) 1 + z

zz =

2



ln(y


3


25/33



Tabla de Respuestas

1.- e

2.- b

3.- c

4.- a

1.- (25 puntos) Utilizando metodos de resolucion de ecuaciones diferenciales, determinary(ln2), sabiendoque y es solucion del problema a valor inicial

y 4y + 3y = e2xy(0) = 0y(0) = 3

.

Respuesta

a) y(ln 2) = 2, b) y(ln 2) = 0,c) y(ln 2) = 1, d) y(ln 2) = 2,e) Ninguna de las anteriores.


y 4y + 3y = 0,cuyo polinomio caracterstico es

p() = 2 4 + 3 = ( 1)( 31),por lo tanto las raices son 1 = 1 y 2 = 3 y el

SF = {ex, e3x}La solucion particular la encontramos al tanteo planteando y = e2x, lo que da como solucion particulary = e2x. La solucion general es pues

y = c1ex + c2e

3x e2x.Determinemos los valores de c1 y c2 utilizando los valores iniciales

y(0) = c1 + c2

1 = 0,

y(0) = c1 + 3c2 2 = 3.Dando c1 = 1 y c2 = 2, de donde la solucion del problema a valor inicial es

y = ex + 2e3x e2x,e

y(ln(2) = eln 2 + 2e3 l n 2 e2 l n 2 = 2 + 16 4 = 10.


26/33

2.- (25 puntos) Hallar la solucion del problema

(y = 3y + 3x 3

y2

y(0) = 1 .

Respuesta

a) y = 3ex + x 1, b) y = x3 3x2 3x 1,

c) y = ex

x 1, d) y = (2ex

x 1)3

,e) Ninguna de las anteriores.

La ecuacion diferencial asociada es de tipo Bernouilli, planteamos

z = y1

3 z = 13y

2

3

y,

lo que da

3y2

3 z = 3y + 3x 3

y2 z = z + x,cuya solucion general es

z = cex (x + 1),El valor inicial se convierte en z(0) =

1, remplazando obtenemos c = 0, de donde z =

(x + 1) e

y = (x + 1)3.

3.- (25 puntos) Utilizando metodos de resolucion de ecuaciones diferenciales, determinar y(3), sabiendoque y es solucion de

2y2y + y = 0y(0) = 1y(0) = 1

2

.

Respuesta

a) y(3) = 1, b) y(3) = 15,

c) y(3) = 2, d) y(3) = 0,e) Ninguna de las anteriores.


2y2udu

dy+ u = 0 2y2 du

dy+ 1 = 0,

ecuacion de tipo separable que tiene como solucion

2u =1

y+ d,

La condicion y(0) = 1, se traduce en u(1) = y(0) = 12

, lo que da d = 0. De donde

y =1

2y y2 = x + c,

la condicion y(0) = 1, conduce a c = 1, por lo tanto la solucion del problema es

y2 = x + 1 y =

4 = 2.

2


27/33

4.- (25 puntos) Hallar la solucion general de la ecuacion

y =2 + 3xy2

4x2y.

Respuesta

a) 2 + 5xy2 = cx5/2, b) x = exy2

,

c) x = cyexy

, d) (2x y + 3)4

= c(x + 1)3


Planteamos y = xnz, derivando obtenemos

nxn1z + xnz =2 + 3x2n+1z2

4xn+2z xnz = 2 + 3x

2n+1z2 4nx2n+1z24xn+2z

Planteando n = 34

, obtenemos

x3

4 z =2

4x11/4z 2zz = x7/2 z2 = 2

5x

5

2 + c.

De dondey2

x3/2 = 2

5x5/2 + c 5y2

x + 2 = cx5/2

.

3


28/33



Tabla de Respuestas

1.- e

2.- d

3.- a

4.- c

1.- (25 puntos) Utilizando metodos de resolucion de ecuaciones diferenciales, determinar y(ln 2), sabiendoque y es solucion del problema a valor inicial

y 4y + 3y = e2xy(0) = 0y(0) = 3

.

Respuesta



y = 3y + 3x 3

y2

y(0) = 1 .

Respuesta

a) y = ex x 1, b) y = (2ex x 1)3,c) y = 3

ex + x 1, d) y = x3 3x2 3x 1,e) Ninguna de las anteriores.


2y2y + y = 0

y(0) = 1y(0) = 1

2

.

Respuesta

a) y(3) = 2, b) y(3) = 0,c) y(3) = 1, d) y(3) = 1

5,



29/33


y =2 + 3xy2

4x2y.

Respuesta

a) x = cyexy, b) (2x y + 3)4 = c(x + 1)3,c) 2 + 5xy

2

= cx5/2

, d) x = exy2


2


30/33












Tabla de Respuestas

1.- e

2.- a

3.- b

4.- d


y

4y + 3y = e2x

y(0) = 0y(0) = 3

.

Respuesta



y = 3y + 3x 3

y2

y(0) =

1.

Respuesta

a) y = x3 3x2 3x 1, b) y = ex x 1,c) y = (2ex x 1)3, d) y = 3ex + x 1,e) Ninguna de las anteriores.


31/33


2y2y + y = 0y(0) = 1y(0) = 1

2

.

Respuesta

a) y(3) =

1

5 , b) y(3) = 2,c) y(3) = 0, d) y(3) = 1,e) Ninguna de las anteriores.


y =2 + 3xy2

4x2y.

Respuesta

a) x = exy2

, b) x = cyexy,c) (2x y + 3)4 = c(x + 1)3, d) 2 + 5xy2 = cx5/2,e) Ninguna de las anteriores.

2


32/33












Tabla de Respuestas

1.- e

2.- c

3.- d

4.- b


y

4y + 3y = e2x

y(0) = 0y(0) = 3

.

Respuesta



y = 3y + 3x 3

y2

y(0) =

1.

Respuesta

a) y = (2ex x 1)3, b) y = 3ex + x 1,c) y = x3 3x2 3x 1, d) y = ex x 1,e) Ninguna de las anteriores.


33/33


2y2y + y = 0y(0) = 1y(0) = 1

2

.

Respuesta

a) y(3) = 0, b) y(3) = 1,c) y(3) = 15, d) y(3) = 2,



y =2 + 3xy2

4x2y.

Respuesta

a) (2x y + 3)4 = c(x + 1)3, b) 2 + 5xy2 = cx5/2,c) x = exy

2

, d) x = cyexy,e) Ninguna de las anteriores.

Corrección Primer Parcial, Semestre II02, Cálculo III

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