Convolution Method
Click here to load reader
description
Transcript of Convolution Method
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Convolution Method
Metode SimulasiSemester Genap 2011/2012
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
• Dimanfaatkan untuk membangkitan peubah acak dari sebaran dengan:– Fungsi sebaran kumulatif yang tidak dapat diperoleh secara
analitik– Fungsi sebaran tidak terdefinisi pada interval tertutup
• Memanfaatkan struktur jumlah dari iid peubah dengan sebaran yang sudah diketahui
• Contoh:– Sebaran Normal (central limit theorem)– Sebaran Erlang (jumlah dari n peubah dengan sebaran
eksponensial)
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Prinsip dasar Untuk Membangkitkan Sebaran Normal
• Berdasarkan Central Limit Theorem – Jumlah dari n peubah acak (apapun sebarannya)– Mendekati sebaran normal
nYY ,...,1
2
1
,~ nnNYn
ii
:mean2:ragam
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Convolution Method untuk Sebaran Normal I
1,0~,...,1 URR n
21: REMean
121
: 22
RERERVarRagam
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Convolution Method untuk Sebaran Normal I
• Jumlah dari n peubah acak uniform tersebut:
:1
n
iiR
nREn
ii 2
11
nRVarn
ii 12
11
Dengan transformasi:
12
21
1
n
nRZ
n
ii
1,0~ NZ
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Convolution Method untuk Sebaran Normal I
• Berapa n?• Pendekatan semakin baik untuk n →∞
• Dari literatur, dipilih n = 12– Mempermudah perhitungan
12
21
1
n
nRZ
n
ii
6
12
1
i
iR
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Convolution Method untuk Sebaran Normal I
Algoritma• Untuk membangkitkan satu peubah:
• Bangkitkan 12 peubah uniform:
• Hitung:
• Hitung:
2,~ NX
1,0~,..., 121 URR
612
1
i
iRZ
ZX
diketahui dan , 2
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Convolution Method untuk Sebaran Normal II
• Metode I kurang efisien karena membutuhkan 12 bilangan acak untuk setiap 1 peubah normal.
• Metode II lebih efisien: – The Direct Transformation method
• Dari Box dan Muller (1958), mereka membuktikan bahwa:
211 2cosln2 RRZ 1,0~, 21 URR
1,0~, 21 NZZ 212 2sinln2 RRZ
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Algoritma:• Untuk membangkitkan peubah acak • Bangkitkan R1 dan R2 dari U(0,1):• Hitung:
Convolution Method untuk Sebaran Normal II
dan 2cosln2 211 RRZ 212 2sinln2 RRZ
2,N
11 ZX 22 ZX
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Convolution Method untuk Sebaran Erlang
• Adalah jumlah dari n iid sebaran exponensial.
ExpYY ni ~,...,
1
iYE
2
1
iYVar
,~1
nErlangYYn
ii
nYE
2nYVar
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
• Untuk masing-masing Yi dengan sebaran eksponensial, dapat digunakan inverse transform method.
Convolution Method untuk Sebaran Erlang
niyeyf iy
ii ,...,1,0,
niyeyF iy
ii ,...,1,0,1
iyi eR 1 1,0~URi
ii Ry 1ln1
atau
ii Ry ln1
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
• Untuk Y dengan sebaran Erlang:
Convolution Method untuk Sebaran Erlang
n
ii
n
ii RYY
11
ln1
nRRR ...ln121
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Algoritma :• Untuk • Bangkitkan n bilangan acak dari U(0,1):
• Gunakan Ri untuk membangkitkan Y:
Convolution Method untuk Sebaran Erlang
,~ nErlangY
nRR ,...,1
nRRRY ...ln121
04/22/2023 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Tugas
• Bangkitkan peubah acak dengan metode konvolusi, untuk fungsi Erlang dengan λ=5, n = 5
• Buat plot untuk fungsi dan sebaran kumulatifnya
• Sebanyak n1=20, n2=50• Buat plot untuk peubah acak yang sudah
dibangkitkan