SEP SESTNM TNM

INSTITUTO TECNOLGICO DE TOLUCA

CONTROL MODERNO

Prctica Unidad 3Controlabilidad y Observabilidad

Equipo:Sergio Oliveros Martnez... 10280461 Vctor Antonio Dimas Lpez.10280444

Profesor:Camarena Vudoyra Fidel Alejandro

Metepec, Edo. de Mxico a 2 de Junio del 2015

INTRODUCCINEn esta prctica se pasan a tratar dos conceptos clave en el estudio de sistemas dinmicos, la controlabilidad y la observabilidad. El primero se refiere a la existencia de una secuencia de actuaciones para llevar el sistema a un estado arbitrario. Por otro lado, la observabilidad tiene que ver con la posibilidad de determinar el valor del vector de estados de un sistema a partir de observaciones de las salidas y las entradas de dicho sistema. Ambos conceptos se deben a Kalman y son claves en estrategias de control como la colocacin de polos por realimentacin del vector de estados o el control ptimo.Controlabilidad y observabilidad

Se dice que un sistema es controlable en el tiempo f0 si se puede llevar de cualquier estado inicial x (to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.

Se dice que un sistema es observable en el tiempo to si, con el sistema en el estado x(f0), es posible determinar este estado a partir de la observacin de la salida durante un intervalo de tiempo finito.

Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad, mismos que jueganun papel importante en el diseo de los sistemas de control en el espacio de estados. De hecho, las condiciones de controlabilidad y observabilidad determinan la existencia de unasolucin completa para un problema de diseo de un sistema de control. Tal vez no existauna solucin a este problema si el sistema considerado es no controlable. Aunque la mayor parte de los sistemas fsicos son controlables y observables, los modelos matemticos correspondientes tal vez no posean la propiedad de controlabilidad y observabilidad. En este caso, es necesario conocer las condiciones bajo las cuales un sistema es controlable y observable.

Controlabilidad:

Observabilidad

TRABAJO PREVIO:

1- Ecuaciones matriciales

2- Ecuaciones diferenciales

3- Funcin de transferencia

Figura 1 Diagrama de bloques del sistema original.

Figura 2 Respuesta del sistema original con salida inestable.

En la figura nmero 2 se puede observar que el sistema es inestable en la simulacin con Matlab en Simulink, del diagrama de bloques y su equivalente con la funcin de transferencia calculado con el crculo completo. Este sistema es de una salida (Y1) y una entrada (U1).

Figura 3 Simulacin en Proteus del circuito elctrico del sistema original

Figura 4 Respuesta inestable en Proteus del circuito elctrico del sistema DESARROLLO DE LA PRATICADespus de realizar el trabajo previo y teniendo el diagrama de bloques se construy el circuito elctrico presentado en la siguiente figura.

Figura 5 Circuito elctrico construido.

Figura 6 Respuesta inestable del sistema original. Seal de entrada (VPP=1V y f= 100 mHz) Seal de salidaLa figura anterior muestra que la respuesta de la planta es inestable (seal verde), pues la amplitud de esta seal es muy grande en comparacin a la seal de entrada (seal amarilla). Debido a que el sistema es inestable y este tiene dos variables ( y ) excitadores se realiz la bsqueda de los polos para poder hacer que la salida fuese estable, con ayuda del mtodo por ubicacin de polos (programa realizado en Matlab) para estabilidad por controlabilidad, retroalimentado el vector Kgr. De la misma forma se realiz la bsqueda de los polos para el control del sistema por observabilidad esto es retroalimentando las salidas (Y1) con el vector Kgo.Estabilidad por Controlabilidad

Figura 7 Diagrama de bloques por controlabilidad.La siguiente tabla muestra algunos de los tantos polos propuestos para poder hacer estable la salida del sistema, seleccionando los polos que lograron hacer estable el sistema y que presentaron las mejores caractersticas de respuesta como: tiempo pico, voltaje de sobre impulso y tiempo de establecimiento.

POLOS VECTOR [Kgr]RESPUESTA (Simulacin en Matlab)

La siguiente figura fue la que presento las mejores caracteristicas de estabilidad como: tiempo pico, voltaje de sobre impulso y tiempo de establecimiento, en comparacin con las anteriores. Esta respuesta tiene un Kgr= [-100.000, -73.000].Figura 8 Respuesta estable con las mejores caractersticas.

Figura 9 y 10 Estabilidad por Controlabilidad.En estas figuras se puede observar la estabilidad del sistema por controlabilidad, donde el vector de retroalimentacin fue Kgr= [-100.000, -73.000], la respuesta es muy similar a la realizada en Matlab con el diagrama de bloques.Las siguientes imgenes muestran las caractersticas de la respuesta estable por controlabilidad as como lo es el voltaje pico, tiempo pico y tiempo de establecimiento.

Vp= 500 mV Tp= 46 msTs= 468 ms

Estas tres siguientes imgenes muestra la magnitud del voltaje pico, tiempo pico y estabilidad.Vp= 1.1V

Tp= 40 msTs= 800msTabla de comparacin de valores simulados y mediciones en el laboratorio

Voltaje pico(Vp)Tiempo pico(Tp)Tiempo estabilidad(Ts)

Simulacin1.1 V40 ms800 ms

Medicin en el Laboratorio500 mV46 ms468 ms

Nota: Se realiz la simulacin en Proteus, retroalimentando el sistema con las ganancias de X1 y X2 pero no dio respuesta alguna, como se observa en esta figura.

Figura 17- Respuesta controlabilidad ProteusFigura 18 Circuito retroalimentado con Kgr (Controlabilidad)Estabilidad por Observabilidad

Figura 19 Diagrama de bloques por observabilidad.Para realizar la estabilidad del sistema por observabilidad, se hizo un procedimiento similar al de estabilidad por controlabilidad. Ya que estos mtodos de control son a prueba y error, se proponen diferentes valores de polos hasta lograr el ms adecuado o el ms cercano para tener una estabilidad a la salida de este sistema.Por cuestiones matemticas en el desarrollo del programa, este mtodo nos da como resultado un vector Kgo con dos ganancias (matriz de 2 X1), pero como el diseo del circuito solo tiene una salida Y1 se tom la ganancia Y11 del vector Kgo en todos los casos, hasta encontrar la respuesta con mejores caractersticas.La siguiente figura fue la que presento las mejores caracteristicas de estabilidad en comparacin con las anteriores. Esta respuesta tiene un Kgo= [-365.000, -234.500].

Figura 20 Respuesta estable del sistema por observabilidad Matlab.

Figura 21 Respuesta estable del sistema por observabilidad.

En esta prctica se utilizaron capacitores cermicos de 10 F, estos trabajan a alta frecuencia, y la frecuencia utilizada fue de 100 mHz, razn por la cual se presenta un adelanto en la respuesta de salida del sistema como se observa en esta imagen.Figura 22 y 23 Tiempo de establecimiento por observabilidad.Tabla de comparacin de valores simulados y mediciones en el laboratorioVoltaje pico(Vp)Tiempo estabilidad(Ts)

Simulacin1 V6.5 s

Medicin en el laboratorio1.1V6.64s

En este caso no se pudo realizar la medicin del voltaje pico ni del tiempo pico, pues la respuesta de salida no oscilo. Figura 17- Respuesta observabilidad Proteus.En la imagen se nota que la respuesta es semejante a la simulada y fsica. En este caso se utiliz un escaln de 50 mV pues a mayor amplitud la seal de salida (color azul), no era notable pues se saturaba al igual que la de entrada (seal amarilla).Lo importante de esto es que la seal de salida no oscila y casi llega a la magnitud de la seal de entrada. Respuesta similar a la simulacin en Matlab y la realizada en el laboratorio.Figura 12 Circuito retroalimentado con Kgo (Observabilidad)Equipo utilizado:Osciloscopio.Generador de funciones.Fuente de poder.MultmetroMaterial:7 CI TL084Capacitores de polister de 10f.ResistenciasTrimpotsANLISIS Y CONCLUSIONES.Es importante saber y tener en cuenta que muchos de los sistemas de control utilizados ya hacen tiempo y actualmente son de varias variables, esto los hace ms complejos en todos los aspectos todo un reto en la ingeniera, desde la parte analtica y diseo. La mayora de los sistemas por naturaleza son afectados por distintas variables que se deben de controlar u modificar para un propsito en particular. En esta parte es donde se presenta el control moderno al tener sistemas de n nmero de entradas y n nmero de salidas, donde cada una de las entradas y salidas tienen un comportamiento diferente que se puede modificar o controlar para un objetivo especfico.Existen diferentes mtodos para realizar el control de un sistema, en este caso control por controlabilidad y observabilidad, que fue el objetivo de la prctica y de gran parte del curso. Tener el conocimiento de estos mtodos es de gran ayuda para realizar control a sistemas complejos de forma eficiente y eficaz.Debido a que estos mtodos se realizaron a prueba y error pero con gran ayuda de programas y simuladores, es laborioso pero fcil de entenderlos y aplicarlos.El objetivo de la prctica se cumpli, aunque se presentaron algunas trabas para la parte de estabilidad por observabilidad pues se tenan dos ganancias de retroalimentacin y una sola salida, pero se pudo controlar la respuesta del sistema. Tambin se present un pequeo problema en cuanto al tipo de capacitores empleados en esta prctica por el rango de frecuencias al que estos trabajan en comparacin a la magnitud de frecuencia que se utiliz.Hoy en da tenemos al alcance herramientas que son de gran utilidad en el rea de ingeniera como computadoras y programas (simuladores), esto hace ms fcil el trabajo ahorrndonos tiempo por los clculos matemticos, y darnos una idea de que es lo que puede pasar antes de hacerlo fsico.BIBLIOGRAFA. Ingeniera de control moderno, Katsuhito Ogata, Tercera edicin, Pearson educacin. http://www.fing.edu.uy/iq/cursos/dcp/teorico/19_CONTROL_MIMO.pdf