Curso Control Moderno Modelado (1)

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Control Avanzado J.F. Guerrero Contenido 4 pasos para el dise˜ no de control Definiciones Descripci´ on entrada-salida Descripci´ on en espacio de estados Control Avanzado Dr. J. Fermi Guerrero Benem´ erita Universidad Aut´ onoma de Puebla Facultad de Ciencias de la Electr´ onica Lic. Ciencias de la Electr´ onica J.F. Guerrero (BUAP) Control Avanzado Lic. Ciencias de la Electr´ onica 1 / 33

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4 pasos parael diseno decontrol

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Descripcionentrada-salida

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Control Avanzado

Dr. J. Fermi Guerrero

Benemerita Universidad Autonoma de PueblaFacultad de Ciencias de la Electronica

Lic. Ciencias de la Electronica

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Control Moderno y sus Aplicaciones
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1 4 pasos para el diseno de control

2 Definiciones

3 Descripcion entrada-salida

4 Descripcion en espacio de estados

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4 pasos para el diseno de controlRecordatorio4 pasos para el diseño de control en lazo

cerrado M d l ió t áti• Modelación matemática

Obtener un modelo del sistema utilizando leyes de la física, química, biología, economía. Dos tipos de modelos pueden ser encontrados:

Uno simple para proponer las leyes de controlUno muy detallado para probar la ley de control enUno muy detallado para probar la ley de control en

simulación. • Obtener la ley de control: P,PI,PID,retroalimentacion de

estados LQR (en el caso lineal) y Backsteping Sliding Modesestados, LQR, (en el caso lineal) y Backsteping, Sliding Modes, Lyapunov Based, etc..(en el caso no lineal)

• Diseñar un observador: Si las medidas no pueden ser bt id di t t di d l di iblobtenidas directamente por medio de los sensores disponibles,

(siempre y cuando el sistema cumpla con la propiedad de observabilidad)C ( )

J. Fermi Guerrero Castellanos Control Lineal Verano 2010

27• Cerrar el lazo de control (Feedback)

En esta sesionAbordaremos el concepto de descripcion matematica de los sistemas yespecıficamente de los sistemas lineales. Para esto veremos dos perspectivas:

La descripcion entrada-salida

La descripcion espacio de estado

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4 pasos para el diseno de controlRecordatorio4 pasos para el diseño de control en lazo

cerrado M d l ió t áti• Modelación matemática

Obtener un modelo del sistema utilizando leyes de la física, química, biología, economía. Dos tipos de modelos pueden ser encontrados:

Uno simple para proponer las leyes de controlUno muy detallado para probar la ley de control enUno muy detallado para probar la ley de control en

simulación. • Obtener la ley de control: P,PI,PID,retroalimentacion de

estados LQR (en el caso lineal) y Backsteping Sliding Modesestados, LQR, (en el caso lineal) y Backsteping, Sliding Modes, Lyapunov Based, etc..(en el caso no lineal)

• Diseñar un observador: Si las medidas no pueden ser bt id di t t di d l di iblobtenidas directamente por medio de los sensores disponibles,

(siempre y cuando el sistema cumpla con la propiedad de observabilidad)C ( )

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28• Cerrar el lazo de control (Feedback)

En esta sesionAbordaremos el concepto de descripcion matematica de los sistemas yespecıficamente de los sistemas lineales. Para esto veremos dos perspectivas:

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4 pasos para el diseno de controlRecordatorio

En esta sesionAbordaremos el concepto de descripcion matematica de los sistemas yespecıficamente de los sistemas lineales. Para esto veremos dos perspectivas:

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Definiciones

Modelo MatematicoUn modelo es una representacion matematica de un sistema fısico, biologicoo informatico. El modelo nos permite razonar acerca del comportamientofuturo del sistema y hacer predicciones. Tambien nos permite responderciertas preguntas por medio del analisis y simulacion computacional.Pueden existir varios modelos para un mismo sistema con diferentes nivelesde fidelidad los cuales dependen del fenomeno de interes.

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Descripcion entrada-salida

Este punto de vista emerge de la ingenierıa electrica, donde el diseno deamplificadores se enfoca principalmente en un comportamiento”Entrada-Salida”.El formalismo ”Entrada-Salida” se usa en disciplinas de la ingenierıa puestoque permite descomponer sistemas complejos en subsistemas conectados pormedio de sus entradas y salidas. Un ejemplo de esto es la figura que semuestra abajo, donde en la parte izquierda se muestra el detalle de unamplificador electronico y en la derecha su representacion como un diagramaa bloques.

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Descripcion entrada-salida

Input-Output

The typical regulator system can frequently be described, in essentials, bydifferential equations of no more than perhaps the second, third or fourthorder. In contrast, the order of the set of differential equations describing thetypical negative feedback amplifier used in telephony is likely to be very muchgreater. As a matter of idle curiosity, I once counted to find out what theorder of the set of equations in an amplifier I had just designed would havebeen, if I had worked with the differential equations directly. It turned out tobe 55.Henrik Bode, 1960.

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Descripcion entrada-salidaFuncion de Transferencia

Funcion de transferenciaUna de las descripciones entrada-salida para los sistemas lineales es la bienconocida ”Funcion de Transferencia”, la cual se basa en la ”Transformada deLaplace” de las ecuaciones diferenciales que describen al sistema.

Variable compleja: Un numero complejo contiene una parte real y una parteimaginaria que son constantes. Si la parte real y/o imaginaria son variablesentonces hablamos de variable compleja. En la transformada de Laplaceusamos la variable compleja

s = σ + jω

Funcion Compleja: Una funcion compleja como F (s) tiene una parte real yuna parte imaginaria:

F (s) = Fx + jFy

donde el modulo es |F (s)| =√

F 2x + F 2

y y el angulo se determina por

θ = tan−1(Fy/Fx).

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Descripcion entrada-salidaFuncion de Transferencia

La forma tıpica de las funciones complejas son:

F (s) =k(s + z1)(s + z1)...(s + zn)

(s + p1)(s + p1)...(s + pn)

Los puntos donde F (s) valen cero se les conoce como ceros de F (s) i.e.−z1,−z2, ...,−zn.

Los puntos donde F (s) valen infinito se les conoce como polos de F (s)i.e. −p1,−p2, ...,−pn.

Ejemplo:

G (s) =k(s + 2)(s + 10)

s(s + 1)(s + 5)(s + 15)2

ceros: s = −2, s = −10, s = ∞, s = ∞, s = ∞polos: s = 0, s = −1, s = −5, s = −15, s = −15

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Funcion de TransferenciaTransformada de Laplace

Sea

f (t) una funcion del tiempo tal que f (t) = 0 para t < 0

s una variable compleja

L operador transformada de Laplace

F (s) operador transformada de Laplace de f (t)

La transformada de Laplace se define como:

L [f (t)] = F (s) =

∫∞0

f (t) exp−st dt

Y la transformada Inversa de Laplace como:

L −1[F (s)] =1

2πj

∫σ+j∞σ−j∞ F (s) expst ds

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Funcion de TransferenciaTransformada de Laplace

Existencia de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace existe si la integral converge.

La integral converge, si f (t) es seccionalmente continua en cadaintervalo finito en el rango de t > 0 y si es de orden exponencial cuandot → ∞

El operador transformada de Laplace es lineal

Si f (t)1 y f (t)2 son transformables por Laplace, entoncesL [f1(t) + f2(t)] = L [f1(t)] + L [f2(t)]

f (t)1 y f (t)2 son transformables por Laplace y α1 y α2 son constantes,entonces L [α1f1(t) + α2f2(t)] = α1L [f1(t)] + α2L [f2(t)]

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Funcion de TransferenciaTransformada de Laplace

Algunas propiedades de la transformada de Laplace

L [df (t)

dt ] = sF (s) − f (0)

L [d2f (t)

dt2 ] = s2F (s) − sf (0) − f (0)

L [dnf (t)

dtn ] = snF (s) −∑n

k=1 sn−k f (k−1)(0)

L [∫

f (t)dt] =F(s)

s +f −1(0)

s

L [f (t − τ)] = e−sτF (s)

L [e−at f (t)] = F (s + a)

Usando la definicion de transformada de Laplace encontrar latransformada de

f (t) = Ae−αt para t ≥ 0 (Funcion exponencial)

f (t) = A para t ≥ 0 (Funcion escalon)

f (t) = sin(ωt) para t ≥ 0 (Funcion seno)

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Funcion de TransferenciaTransformada de Laplace

La funcion de transferencia es un modelo matematico que a traves de uncociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una senal deentrada o excitacion (tambien modelada).El cociente formado por los modelos de la senal de salida respecto de la senalde entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Losceros y los polos representan las raıces en las que cada uno de los modelos delcociente se iguala a cero. Es decir, representa la region frontera a la que nodebe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitacion al mismo; ya que delo contrario llegara ya sea a la region nula o se ira al infinito, respectivamente.Por definicion una funcion de transferencia se puede determinar segun laexpresion:

H(s) =Y (s)

U(s)

donde H(s) es la funcion de transferencia (tambien notada como G (s) );Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y U(s) es la transformadade Laplace de la senal de entrada. Cuando hablamos de Funcion detransferencia las condiciones iniciales, del sistema en cuestion, son igualadasa cero.

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Funcion de TransferenciaTransformada de Laplace

La funcion de transferencia tambien puede considerarse como la respuesta deun sistema inicialmente inerte a un impulso como senal de entrada

H(s) = L [h(t)] =

∫∞0

h(t) exp−st dt

La salida o respuesta en frecuencia del sistema se encuentra por

Y (s) = H(s)U(s)

La salida o respuesta en funcion del tiempo es encuentra por medio de latransformada inversa de Y (s), i.e.

y(t) = L −1[Y (s)]

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Ejemplos de descripcion matematica de sistemasMotor DC

Considere el Motor de corriente continua como el mostrado en la figura:

Este sistema contiene los siguientes parametros:

J: Momento de Inercia del motor (kgm2/s2)

b: Coeficiente de friccion (Nms)

K = Ke : Kt Constante de la fuerza contra electromotriz

R: Resistencia electrica (Ω)

L: Inductancia electrica (H)

V: Entrada → Voltaje de entrada (V)

θ: Salida → Posicion de la flecha

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Motor DCPuesto que se trata de un sistema electro-mecanico las ecuaciones quedescriben el comportamiento se dividen electrica y mecanica.El torque del motor, T es proporcional a la corriente i . Ademas, la fuerzacontraelectromotriz es proporcional a la velocidad de rotacion. Entoncestenemos:

T = Kt i e = Ke θ

Generalmente se considera Kt = Ke = K .Utilizando las leyes de Newton y de Kirchhoff, tenemos:

Jθ + bθ = Ki

Ldi

dt+ Ri = V − Kθ

Obteniendo la transformada de Laplace (con condiciones iniciales iguales acero) de las anteriores ecuaciones, tenemos:

s(Js + b)Θ = KI (s)

(Ls + R)I (s) = V − KsΘ(s)

Despejando I (s) de la primera ecuacion y sustituyendo en la segunda yresolviendo para Θ(s) obtenemos la funcion de transferencia entre el voltaje yla posicion de la flecha:

Θ(s)

V (s)=

K

s[(Js + b)(Ls + R) + K 2]

Note que la funcion de transferencia entre el voltaje y la velocidad puede serdeterminada utilizando la relacion, Ω(s) = sΘ(s), entonces:

Ω(s)

V (s)=

K

(Js + b)(Ls + R) + K 2

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Ejemplos de descripcion matematica de sistemasSistema Masa-Resorte

Considere el sistema masa-resorte como el mostrado en la figura:

Utilizando las leyes de Newton obtenemos la ecuacion diferencial que modelael comportamiento de este sistema.

mq + cq + kq = F

Multiplicando ambos lados de la igualdad por 1/m y aplicando latransformada de Laplace con condiciones iniciales iguales a cero, la funcionde transferencia es dada por:

Q(s)

F (s)=

1/m

s2 + c/ms + k/m

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Ejemplos de descripcion matematica de sistemasCircuito RLC

Considere el circuito RLC como el mostrado en la figura:

Utilizando las leyes de Kirchhoff obtenemos la ecuacion diferencial quemodela el comportamiento de este sistema.

u(t) = Ri + Ldi

dt+

1

C

∫ t

0

idt

Puesto que

uc(t) =1

C

∫ t

0

+i(0)

haciendo las condiciones iniciales iguales a cero, tenemos:

i = Cduc

dt

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Ejemplos de descripcion matematica de sistemasCircuito RLC

Sustituyendo i en la primera ecuacion tenemos

u(t) = Ri + Ld

dt(C

duc

dt) + uc

y de aquı se tiene:

LCd2uc

dt2+ RC

duc

dt+ uc = u(t)

Aplicando la transformada de Laplace a la anterior ecuacion y haciendo cerolas condiciones iniciales, obtenemos la siguiente funcion de transferencia querelaciona el voltaje de entrada al de salida.

Uc(s)

U(s)=

1/LC

s2 + s(R/L) + 1/LC

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Funcion de TransferenciaEn los ejemplos anteriormente vistos, se obtuvo la funcion de Transferenciaque relaciona una senal de entrada con una de salida. Puesto que la funcionde transferencia se obtuvo de la Transformada de Laplace, la cual lleva a lasecuaciones Integro-diferenciales a un dominio totalmente algebraico, estasfunciones de transferencia pueden expresarse mediante bloques, como losmostrados a continuacion.

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Asociacion de Funciones de Transferencia

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Asociacion de Funciones de Transferencia

Y (s) =H(s)

1 + G (s)H(s)R(s)

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Descripcion en espacio de estados

Como vimos anteriormente un sistema dinamico es representado medianteecuaciones diferenciales de orden 1, 2 hasta n. La idea de la representacionmediante espacio de estados, es representar una ecuacion de orden n en necuaciones de primer orden.Considere el siguiente sistema de n-esimo orden:

yn + a1y(n−1) + ... + an−1y + any = u

Podemos tomar como variables de estado a yn, y (n−1), ..., y , y . Definamos:

x1 = y

x2 = y

... =...

xn = y (n−1)

Ası, la ecuacion diferencial de orden n se puede expresar como el siguientesistema de ecuaciones de primer orden:

x1 = x2

x2 = x3

... =...

xn−1 = xn

xn = −anx1 − . . . − a1xn + u

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Descripcion en espacio de estados

En forma matricial el anterior sistema de ecuaciones se expresa como:

x1

x2

...xn−1

xn

=

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0... · · ·

. . .

0 0 0 · · · 1−an −an−1 −an−2 · · · −a1

x1

x2

...xn−1

xn

+

00001

u

suponiendo que la salida del sistema es y = x1, la salida se obtiene mediante

Y =(

1 0 · · · 0)

x1

x2

...xn−1

xn

Estas ecuaciones se pueden escribir de forma mas compacta mediante:

X = AX + BU

Y = CX

Esta es la forma en la que se representa el modelo de estado de un sistemadinamico lineal.

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Descripcion en espacio de estados

En forma matricial el anterior sistema de ecuaciones se expresa como:La forma general en la que se representa el modelo de estado de un sistemadinamico lineal es:

X = AX + BU

Y = CX + DU

donde

X es el vector de estado, de dimension n.

U es el vector de entradas, de dimension m

Y es el vector de salidas, de dimension p

A ∈ Rn×n es la matriz del sistema.

B ∈ Rn×m es la matriz de entradas.

C ∈ Rp×n es la matriz de salidas.

D ∈ Rp×m representa la contribucion de la entrada directamente en lasalida (en la mayorıa de los sistemas se anula).

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Descripcion en espacio de estados

Hasta el momento hemos introducido la nocion de espacio de estado, sinembargo es pertinente establecer algunas definiciones.

EstadoSe define estado de un sistema como la mınima cantidad de informacionnecesaria en un instante para que, conociendo la entrada a partir de eseinstante, se pueda determinar la salida en cualquier instante posterior.

Espacio de Estado

Espacio de estados es el espacio vectorial en el cual el vector de estados tomavalores, teniendo por lo tanto la misma dimension que el numero deelementos de dicho vector.

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Las trayectorias que describen el vector de estado del sistema dentro delespacio de estado estan sujetas a las siguientes condiciones ligadas a lasdefinicion de estado:

Unicidad: ∀t ≥ 0, x0 = x(t0), u(τ) t0 ≤ τ ≤ t ⇒ x(t) es unica.

Continuidad: Las trayectorias en el espacio de estado son funcionescontinuas, i.e. limt→t0 x(t) = x(t0), ∀t, t0.Transitividad o propiedad de transicion: Si se considera en unatrayectoria en el espacio de estado tres tiempos, t0, t1 y t2, el valor delestado en estos tiempos esta relacionado por esta propiedad detransicion.

Ψ(t2, t0, x(t0), u(τ)) = x(t2) = Ψ(t2, t1, x(t1), u(τ))Ψ(t1, t0, x(t0), u(τ)) = x(t1)Ψ(t2, t0, x(t0), u(τ)) = Ψ(t2, t1, Ψ(t1, t0, x(t0), u(τ)))

Esto significa que para conocer el estado en el instante t2 da lo mismo:

Conocer el estado en t0 y la entrada entre t0 y t2.

Conocer el estado en t1 y la entrada entre t1 y t2.

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Descripcion en espacio de estadosVentajas sobre la descripcion entrada-salida

Es aplicable a sistemas multivariables.

Es aplicable a sistemas con relaciones no lineales.

Es aplicable a sistemas en los que sus parametros varıan en el tiempo.

Es aplicable a sistema complejos de control, en los que existe un grannumero de variables internas que condicionan el comportamiento futurode la salida.

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EjemplosMotor DC

Utilizando las leyes de Newton y de Kirchhoff, tenemos:

Jθ + bθ = Ki

Ldi

dt+ Ri = V − Kθ

Escogiendo las siguientes variables de estado: x1 = θ y x2 = i , las ecuacionesanteriores pueden ser escritas de la siguiente forma:(

x1

x2

)=

(−bJ

KJ

−KL

−RL

) (x1

x2

)+

(01L

)V

y =(

1 0) (

x1

x2

)(1)

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Descripcion enespacio deestados

Ejemplos de descripcion matematica de sistemasSistema Masa-Resorte

Considere el sistema masa-resorte como el mostrado en la figura:

Utilizando las leyes de Newton obtenemos la ecuacion diferencial que modelael comportamiento de este sistema.

mq + cq + kq = F

Escogiendo las variables de estado como: x1 = q y x2 = q, tenemos:(x1

x2

)=

(0 1

−km

−bm

) (x1

x2

)+

(01m

)F

y =(

1 0) (

x1

x2

)(2)

J.F. Guerrero (BUAP) Control AvanzadoLic. Ciencias de la Electronica 30 /

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Page 36: Curso Control Moderno Modelado (1)

ControlAvanzado

J.F. Guerrero

Contenido

4 pasos parael diseno decontrol

Definiciones

Descripcionentrada-salida

Descripcion enespacio deestados

Ejemplos de descripcion matematica de sistemasCircuito RLC

Considere el circuito RLC como el mostrado en la figura:

Utilizando las leyes de Kirchhoff obtenemos la ecuacion diferencial quemodela el comportamiento de este sistema.

LCd2uc

dt2+ RC

duc

dt+ uc = u(t)

Escogiendo las variables de estado como: x1 = uc y x2 = uc , tenemos:(x1

x2

)=

(0 1

−1LC

−RL

) (x1

x2

)+

(01

LC

)u(t)

y =(

1 0) (

x1

x2

)(3)

J.F. Guerrero (BUAP) Control AvanzadoLic. Ciencias de la Electronica 31 /

33

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Page 38: Curso Control Moderno Modelado (1)
Page 39: Curso Control Moderno Modelado (1)
jfermigue
Text Box
Considere el sistema para la practica
Page 40: Curso Control Moderno Modelado (1)

ControlAvanzado

J.F. Guerrero

Contenido

4 pasos parael diseno decontrol

Definiciones

Descripcionentrada-salida

Descripcion enespacio deestados

Ejemplos de descripcion matematica de sistemasPendulo Invertido

J.F. Guerrero (BUAP) Control AvanzadoLic. Ciencias de la Electronica 32 /

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