7/23/2019 Contoh Oal

1/12

1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasipenjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ringkomutatif. (penyelesaian)

2. Buktikan bahwa himpunan Zn !", 1, 2, . . ., n#1$ merupakan ring.(penyelesaian)

3. %idefinisikan &'(2 ) ! a * b (2 +a, b dalam & $. Buktikan bahwa &'(2 )merupakan ring bagian dari . (penyelesaian)

-. Tunjukan bahwa rup 'Z2,*) dan '/ !#1, 1$, .) adalah merupakan /omomorfisma.(penyelesaian)

0. Misalkan 'Z,*) adalah rup penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukan bahwa'Z,*) ang didefinisikan pemetaan p Z Z adalah p'4) 24, 4 Z, adalah suatu/omomorfisma. (penyelesaian)

5. Tunjukan bahwa Z-adalah merupakan suatu ing. (penyelesaian)

6. %ari soal no.5 tunjukan bahwa ing 'Z-,*,.) merupakan suatu ing 7omutatif.(penyelesaian)

8. Misalkan P !genap, ganjil$ dan P subset Z. Tunjukan bahwa elemen#elemenbilangan 9genap: dan 9ganjil: adalah suatu ing 7omutatif. (penyelesaian)

;. %ari soal no 8, P !genap, ganjil$ adalah suatu ing 7omutatif. Tunjukkan bahwa

ing 7omutatif tersebut adalah .Tunjukan

bahwa b >. (penyelesaian)

11. Tunjukan bahwa Z- bukan merupakan

7/23/2019 Contoh Oal

2/12

'4*) * '4*) * '4*) 3'4*)7arena 4* Z, maka a*b P

2. Cmbil sebarang a 34 dan b 3 P. Ckan ditunjukkan a*b b*a

Perhatikana*b 34 * 3 3'4*) 3'* 4) 3 * 34 b * a

3. Cmbil sebarang a 34, b 3 dan > 3D P. Ckan ditunjukkan 'a*b)*> a*'b*>)Perhatikana*'b*>) 34 * '3 * 3D) 34 * 3'*D)3'4* '*D)) 3''4*) * D) 3'4*) * 3D '34 * 3) * 3D 'a*b) * >

-. Perhatikan bahwa " E Z, pilih 3." " E P.Cmbil sebarang a 34 P. Ckan ditunjukkan " adalah unsur nol dalam P.Perhatikana * " 34 * 3." 3'4*")

34 a

7/23/2019 Contoh Oal

3/12

3.3.3'4'D)) 3.3.3''4)D) 3.3'4) . 3D '34 . 3). 3D 'a.b). >

angkah berikutna menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.

1. Cmbil sebarang a 34, b 3, > 3D P. Ckan ditunjukkan a'b*>) a.b * a.> dan'b*>)a b.a * >.aPerhatikana'b*>) 34'3 * 3D) 34'3' * D)) 3.3'4' * D)) 3.3'4 * 4D) 3.34 * 3.34D a.b * a.>'b*>)a '3 * 3D). 34 ''*D)3). 34 ''*D)4)3.3 '4 * D4)3.3 3.34 * 3.3D4 3.34 * 3D.34 b.a * >.a

angkah merikutna menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.

1. Cmbil sebarang a 34 dan b 3 P. Ckan ditunjukkan a.b b.aPerhatikana .b 34. 3 3.34 3.34 3. 34 b.a

=adi P adalahgelanggangatau ring komutatif.

Penyelesaian No 2Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1 me!upakan !in".Bukti #$ntuk membuktikan bahwa Zn me!upakan !in" %ilakukan %en"an &a!amenemukan suatu 'un"si yan" menyatakan !elasi anta!a Zn %en"an !in" Z. Bila'un"si yan" %i%apat te!sebut men"awetkan ope!asi maka peta %a!i 'un"sime!mpunyai si'at-si'at yan" sama %en"an %a!ah asal (domain) %a!i 'un"si.*isalkan ' # Z + Zn %en"an ' () = ! %an ! me!upakan sisa pemba"ian bila %iba"i n. alam &ontoh su%ah %ibuktikan bahwa ' men"awetkan ope!asi . Bila%iambil seba!an" , y %alam Z maka#

= n/1 !1 %an y = n/2 !2 untuk suatu /1, /2, !1 %an !2 %alam Zsehin""a#

7/23/2019 Contoh Oal

4/12

y = (n/1 !1) (n/2 !2 ) = n(n/1 !1 n/2 !2) !1 !2 %an !1 !2 %apat%inyatakan seba"ai n/ !.kibatnya#y = n (n /1 /2 /1 !2 !1 /2 /) !.leh ka!ena itu, ' (y) = ! %an ' () ' (y) = !1 !2 .

en"an men"in"at %enisi pe!kalian %alam Zn maka , !1 !2 = ! %an be!a!ti '(y)= '() '(y)3a!ena ' men"awetkan ope!asi pen4umlahan %an pen""an%aan maka be!akibatZn ring

penyelesaian No 5

Bila %i%enisikan 6(72 ) = { a b 72 8a, b %alam 6 maka akan %ibuktikanbahwa 6(72 ) me!upakan !in" ba"ian %a!i 9.3a!ena 6 himpunan yan" ti%ak koson" maka 4elas bahwa 6(72 ) 4u"a himpunanyan" ti%ak koson".

:e!ha%ap ope!asi pe!"an%aan be!si'at( a b 72 ) ( & % 72 ) = ( a& 2b% ) ( a% b& ) 72%an te!ha%ap ope!asi pen"u!an"an be!si'at( a b ) 72 ; ( & % ) 72 = ( a ; & ) ( b ; % ) 723a!ena a& 2b%, a% b&, a ; & %an a ; % tetap %alam 6 maka hasil pe!"an%aan%an hasi pen"u!an"annya tetap %alam 6 (72 ).

leh ka!ena itu 6 (72 ) me!upakan !in" ba"ian %a!i 9.Pe!lu %i&atat bahwa 6 (72 ) simila! %en"an himpunan bilan"an kompleks< = { a b i 8a, b %alam 9 3a!ena bentuk a b i analo" %en"an bentuk a b72 %an %alam hal ini !in" 6( 72 ) men"an%un" 6, sepe!ti 4u"a < men"an%un" 9.

Penyelesaian No

:un4ukan bahwa >!up (Z2,) %an (? = {-1, 1, .) a%alah me!upakan

?omomo!sma.Penyelesaian #

Tabel

Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, )

7/23/2019 Contoh Oal

5/12

a!i tabel %i atas menun4ukkan ke%ua "!up (Z2,) %an (?, .) ti%ak sama, tetapi%a!i ke%ua tabel te!sebut menun4ukkan suatu kemi!ipan satu %en"an yan"lainnya. @umlah %a!i seba!an" %ua unsu! %i (Z2,) be!ko!espo%ensi pa%a hasil kalike%ua unsu! yan" be!sesuaian %i (?, .), sehin""a te!%apat ko!espo%ensi 1 ; 1%a!i ke%ua tabel te!sebut.?al ini menun4ukkan bahwa ke%ua >!up memiliki st!uktu! yan" sama. @a%i ke%ua>!up te!sebut %ikatakan Asomo!k. eka!an" akan %itun4ukan bahwa pemetaan p# (Z2,) + (?,.), untuk setiap a, b Z2. a!i tabel %iketahui pemetaan p(0) = 1%an p(1) = -1,sehin""a #p(a b) = p(a) . p(b)p(0 1) = p(0) . p(1)p(1) = 1 . -1-1 = -1

@a%i te!bukti bahwa p # (Z2,) + (?, .) suatu ?omomo!sma yan" pemetaannyabi4ekti', sehin""a me!upakan !"#$#r%"$a.

Penyelesaian No C*isalkan (Z,) a%alah >!up pen4umlahan %a!i semua bilan"an bulat. :un4ukanbahwa (Z,) yan" %i%enisikan pemetaan p # Z + Z a%alah p() = 2, Z,a%alah suatu ?omomo!sma.Penyelesaian #kan %itun4ukkan si'at %a!i ?omomo!sma #*isalkan , y Z, maka p( y) = 2( y)= 2 2y= p() p(y)ehin""a p a%alah suatu ?omomo!sma.

alam hal ini ?omomo!sma p me!upakan suatu Dn%omo!sma ka!ena %ae!ahkawan (ko%omain) sama %en"an %ae!ah asal (%omain), %en"an kata lainpemetaan itu %a!i sautu >!up ke %alam %i!inya sen%i!i.

Penyelesaian No E

Tunjukan bahwa Z-adalah merupakan suatu ing.Penelesaian

Tabel

Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)!

7/23/2019 Contoh Oal

6/12

%ari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z- !", 1, 2, 3$ merupakan suatu ing bilamemenuhi 1. rup 7omutatif terhadap penjumlahan 'Z-,*)# Tertutu"Cmbil sebarang nilai dari Z-, misalkan ", 1, 2, 3 Z-1 * " 11 * 1 21 * 2 31 * 3 "karena hasilna ", 1, 2, 3 Z-, maka tertutup terhadap Z-# #ssosiatifCmbil sebarang nilai dari Z5, misalkan a 2, b 1 dan > 3 Z-'a * b) * > '2 * 1) * 3 3 * 3 2a * 'b * >) 2 * '1 * -) 2 * - 2

Gehingga 'a * b) * > a * 'b * >) 2maka Z- assosiatif# Cdana unsur satuan atau identitasCmbil sebarang nilai dari Z-

misalkan " Z-" * e e * " "

misalkan 1 Z-1 * e e * 1 1

misalkan 2 Z-2 * e e * 2 2

misalkan 3 Z-3 * e e * 3 3

maka Z- ada unsur satuan atau identitas# Cdana unsur balikanatau in$ers

Cmbil sebarang nilai dari Z-, misalkan " Z-, pilih " Z-,sehingga " * " " e, maka '") #1 "

7/23/2019 Contoh Oal

7/12

Cmbil sebarang nilai dari Z-, misalkan 1 Z-, pilih 3 Z-,sehingga 1 * 3 " e, maka '1) #1 3

Cmbil sebarang nilai dari Z-, misalkan 2 Z-, pilih 2 Z-,sehingga 2 * 2 " e, maka '2) #1 2

Cmbil sebarang nilai dari Z-, misalkan 3 Z-, pilih 1 Z-,sehingga 3 * 1 " e, maka '3) #1 1

maka Z- ada unsur balikan atau inHers# %omutatifCmbil sebarang nilai dari Z-, misalkan a 2, b 3 Z-'a * b) '2 * 3) 1'b * a) '3 * 2) 1Gehingga 'a * b) 'b * a) 1maka Z- komutatif=adi, Z- !", 1, 2, 3$ merupakan rup 7omutatif terhadap penjumlahan 'Z-, *).2. Gemigrup terhadap perkalian 'Z-,.)# Tertutu"Cmbil sebarang nilai dari Z-, misalkan ", 1, 2, 3 Z-1 . " "1 . 1 11 . 2 2

1 . 3 3karena hasilna ", 1, 2, 3 Z-, maka tertutup terhadap Z-# #ssosiatifCmbil sebarang nilai dari Z-, misalkan a 2, b 1 dan > 3 Z-'a . b) . > '2 . 1) . 3 2 . 3 2a . 'b . >) 2 . '1 . 3) 2 . 3 2Gehingga 'a . b) . > a . 'b . >) 2maka Z- assosiatif

=adi, Z- !", 1, 2, 3$ merupakan Gemigrup terhadap perkalian 'Z-, .).3. %istributif perkalian terhadap penjumlahanCmbil sebarang nilai dari Z-, misalkan a 2, b 1 dan > 3 Z-a.'b * >) 2.'1 * 3) 2.'") "'a.b) * 'a.>) '2.1) * '2.3) 2 * 5 "Maka, a.'b * >) 'a.b) * 'a.>) "'a * b).> '2 * 1).3

7/23/2019 Contoh Oal

8/12

'3).3 1'a.>) * 'b.>) '2.3) * '1.3) 2 * 3

1Maka, 'a * b).> 'a.>) * 'b.>) 1=adi, Z- !", 1, 2, 3$ distributif perkalian terhadap penjumlahan.7arena Z- !", 1, 2, 3$ memenuhi semua aksioma#aksioma ang ada, maka Z- adalah suatuing 'Z-,*,.).

Penyelesaian No F

a!i soal no.E tun4ukan bahwa 9in" (Z,,.) me!upakan suatu 9in" 3omutati'.Penyelesaian #a!i soal no.E, telah %itun4ukan bahwa Z = {0, 1, 2, 5 a%alah suatu 9in"

(Z,,.). eka!an" akan %itun4ukan si'at komutati' %a!i 9in" te!sebut.a . b = b . a, a,b Zmbil seba!an" nilai %a!i Z, misalkan 2 %an 5 Z (pa%a tabel no.E)2 . 5 = 25 . 2 = 2ehin""a2 . 5 = 5 . 2 = 23a!ena 9in" (Z,,.) te!sebut memenuhi si'at komutati', maka 9in" (Z,,.)te!sebut a%alah &ing '#$utatif atau &ing belian.

Penyelesaian No &

Misalkan P !genap, ganjil$ dan P GZ. Tunjukan bahwa elemen#elemen bilangan 9genap:dan 9ganjil: adalah suatu ing 7omutatif.PenelesaianTabel

Daftar Cayley (P, +) dan (P, .)

%ari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P !genap, ganjil$ merupakan suatu ing7omutatif bila memenuhi 1. rup 7omutatif terhadap penjumlahan 'P,*)# Tertutu"Cmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil P

genap * genap genapgenap * ganjil ganjil

7/23/2019 Contoh Oal

9/12

ganjil * ganjil genap7arena hasilna genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P# #ssosiatifCmbil sebarang nilai dari P, misalkan a genap, b ganjil dan > genap P'a * b) * > 'genap * ganjil) * genap ganjil * genap ganjil

a * 'b * >) genap * 'ganjil * genap) genap * ganjil ganjilGehingga 'a * b) * > a * 'b * >) ganjilMaka P assosiatif# Cdana unsur satuan atau identitas

Cmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,

sehingga genap * e e * genap genap, maka e genap

Cmbil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih genap P,sehingga ganjil * e e * ganjil ganjil, maka e genapmaka P ada unsur satuan atau identitas# Cdana unsur balikan atau inHers

Cmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,sehingga genap * genap genap e,maka 'genap)#1 genap

Cmbil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,sehingga ganjil * ganjil ganjil e, maka 'ganjil) #1 ganjil

maka P ada unsur balikan atau inHers# %omutatifCmbil sebarang nilai dari P, misalkan a genap, b ganjil P'a * b) 'genap * ganjil) ganjilGehingga 'a * b) 'b * a) ganjilmaka P komutatif=adi, P !genap, ganjil$ merupakan rup 7omutatif terhadap penjumlahan 'P, *).2. Monoid terhadap perkalian 'P, .)# Tertutu"Cmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil Pgenap . ganjil genapgenap . genap genapganjil . ganjil ganjilkarena hasilna genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P# #ssosiatifCmbil sebarang nilai dari P, misalkan a genap, b ganjil dan > genap P'a . b) . > 'genap . ganjil) . genap genap . genap genapa . 'b . >) genap . 'ganjil . genap) genap . genap genapGehingga

'a . b) . > a . 'b . >) genap

7/23/2019 Contoh Oal

10/12

maka P assosiatif# Cdana unsur satuan atau identitas

Cmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap . e e . genap genap, maka e ganjil

Cmbil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P,sehingga ganjil * e e * ganjil ganjil, maka e ganjil

maka P ada unsur satuan atau identitas# %omutatifCmbil sebarang nilai dari P, misalkan a genap, b ganjil P'a . b) 'genap . ganjil) genap'b . a) 'ganjil . genap) genapGehingga

'a . b) 'b . a) genapmaka P komutatif=adi, P !genap, ganjil$ merupakan Monoid 7omutatif terhadap perkalian 'P, .).3. %istributif perkalian terhadap penjumlahanCmbil sebarang nilai dari P, misalkan a genap, b ganjil dan > genap Pa.'b * >) genap . 'ganjil * genap) genap.'ganjil) genap'a.b) * 'a.>) 'genap.ganjil) * 'genap.genap) genap * genap genap

maka, a.'b * >) 'a.b) * 'a.>) genap'a * b).> 'genap * ganjil). enap 'ganjil). enap genap'a.>) * 'b.>) 'genap. genap) * 'ganjil. genap) genap * genap genapmaka, 'a * b).> 'a.>) * 'b.>) genap=adi, P !genap, ganjil$ distributif perkalian terhadap penjumlahan.7arena P !genap, ganjil$ memenuhi semua aksioma#aksioma ang ada, maka P adalahsuatu ing 7omutatif 'P,*, .).

Penyelesaian No H

a!i soal no I, P = {"enap, "an4il a%alah suatu 9in" 3omutati'. :un4ukkanbahwa 9in" 3omutati' te!sebut a%alah Ante"!al omain.Penyelesaian #iketahui P = {"enap, "an4il a%alah suatu 9in" 3omutati'.ya!at %a!i Ante"!al omain a%alah 9in" 3omutati' yan" ti%ak mempunyai

pemba"i nol, %en"an kata lain#a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0

7/23/2019 Contoh Oal

11/12

*isalkan #J = {K,-5, -1, 1, 5, K a%alah himpunan bilan"an "an4il %an

L = {K, -, -2, 0, 2, ,K a%alah himpunan bilan"an "enap.a!i himpunan te!sebut %apat %ilihat bahwa bilan"an "an4il ti%ak a%a unsu! nol,tetapi bilan"an "enap a%a unsu! nol.

@a%i %apat %isimpulkan bahwa P = {"enap, "an4il me!upakan Ante"!al omain,ka!ena a.b = 0 4ika a = 0 atau b = 0, a,b P.

Penyelesaian No 10

@ika 9 a%alah suatu ae!ah Ante"!al %an ab = a& untuk a M 0, se!ta b,& 9.:un4ukan bahwa b = &.Penyelesaian #ab = a&, maka#ab ; a& = 0a(b ; &) = 03a!ena 9 a%alah Ante"!al omain yan" ti%ak mempunyai pemba"i nol %an a M 0,maka #b ; & = 0

@a%i b = &

Penyelesaian No 11

:un4ukan bahwa Z bukan me!upakan Ante"!al omain.Penyelesaian #Daftar Cayley (Z, )

a!i tabel %iatas, %apat kita lihat bahwa 2O a%alah me!upakan pemba"i nol,%imana %ipe!oleh 2O.2O = 0, sehin""a kita ti%ak selalu %apat men"kenselsepe!ti 2O.1O = 2O.5O tetapi 1O M 5O.

@a%i %apat %isimpulkan bahwa Z bukan me!upakan suatu Ante"!al omainka!ena memiliki pemba"i nol yaitu 2O.

7/23/2019 Contoh Oal

12/12

Penyelesaia No 1'

%ari soal 8, P !genap, ganjil$ adalah suatu ing 7omutatif. Tunjukkan apakah ing7omutatif tersebut adalah @ield.Penelesaian

%iketahui P !genap, ganjil$ adalah suatu ing 7omutatif.Garat dari @ield adalah ing 7omutatif ang mempunai unsur balikan atau inHers terhadap

perkalian, dengan kata laina P, a#1P, sedemikian sehingga a . a #1 a#1. a eTelah diketahui identitas dari P adalah e ganjil

Cmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P,sehingga genap.ganjil genap ? e

Cmbil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P,

sehingga genap.genap genap ? emaka P tidak ada unsur balikan atau inHers.=adi dapat disimpulkan bahwa P !genap, ganjil$ bukan merupakan @ield.%ari soal no.8, dapat kita simpulkan bahwa P !genap, ganjil$ dimana P Z, adalah suatuing 7omutatif ang juga merupakan