8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 1/23

A . F r a n k , C o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s i n n e t w o r k d e s i g n , i n : M a t h e m a t i c a l P r o g r a m m i n g : S t a t e o f  

t h e A r t 1 9 9 4 , e d s . , J . R . B i r g e a n d K . G . M u r t y ) , T h e U n i v e r s i t y o f M i c h i g a n , p p . 3 4 - 6 3 . ( W i t h t h e r e f e r e n c e s  

s l i g h t l y u p d a t e d ) .

C O N N E C T I V I T Y A U G M E N T A T I O N  

+ 

A n d r  a s F r a n k *  

A p r i l 1 9 9 4  

A B S T R A C T   T h e p r o b l e m o f c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n c o n s i s t s o f n d i n g a m i n i m u m c o s t o f n e w e d g e s t o b e  

a d d e d t o a g i v e n g r a p h s o a s t o s a t i s f y s o m e p r e s c r i b e d c o n n e c t i v i t y r e q u i r e m e n t s . T h i s p a p e r s u r v e y s c a s e s w h e n  

p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m s a n d / o r g o o d c h a r a c t e r i z a t i o n s a r e a v a i l a b l e f o r t h e m i n i m u m .

1 . I N T R O D U C T I O N  

I n n e t w o r k d e s i g n i t i s a f u n d a m e n t a l p r o b l e m t o c o n s t r u c t g r a p h s o r s u b g r a p h s o f a g r a p h o f m i n i m u m c o s t  

s a t i s f y i n g c e r t a i n c o n n e c t i v i t y s p e c i c a t i o n s .

S h o r t e s t p a t h s b e t w e e n t w o s p e c i e d n o d e s , o r m i n i m u m c o s t s p a n n i n g t r e e s m a y b e v i e w e d a s ( w e l l - k n o w n )  

s p e c i a l c a s e s o f t h i s p r o b l e m . V e r y o f t e n a s t a r t i n g g r a p h i s a l r e a d y a v a i l a b l e a n d t h e g o a l i s t o a u g m e n t t h e g r a p h .

F o r e x a m p l e , a t l e a s t h o w m a n y n e w e d g e s m u s t b e a d d e d t o a d i g r a p h t o m a k e i t s t r o n g l y c o n n e c t e d ?  

H a v i n g s u c h a b r o a d c l a s s o f p r o b l e m s ( a l r e a d y a s p e c i a l c a s e , t h e w e l l - k n o w n S t e i n e r - t r e e p r o b l e m , h a s a v a s t  

l i t e r a t u r e ) , i t i s o f n o s u r p r i s e t h a t a l a r g e n u m b e r o f c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s i s N P - c o m p l e t e . B u t t h e r e  

a r e i n t e r e s t i n g s p e c i a l c a s e s , a s w e l l , w h e n p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m s a r e a v a i l a b l e . I n v e s t i g a t i o n s a n d r e s u l t s m a y b e  

c a t e g o r i z e d i n t o t h r e e m a i n d i r e c t i o n s . O n e i s c o n c e r n e d w i t h h e u r i s t i c s , o f t e n b a s e d o n d e e p t h e o r e t i c a l b a c k g r o u n d  

s u c h a s t h e p o l y h e d r a l m e t h o d , t h a t w o r k w e l l i n p r a c t i c e . A n e x c e l l e n t s u r v e y p a p e r b y M . G r  o t s c h e l , C . L . M o n m a  

a n d M . S t o e r 1 9 9 2 ] s u m m a r i z e s t h i s t y p e o f r e s u l t s . A n o t h e r l i n e i s t o d e v e l o p e a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m s w h o s e  

r u n n i n g t i m e i s p o l y n o m i a l a n d t h e o u t p u t i s p r o v a b l y n o t m u c h w o r s e t h a n t h e o p t i m u m . I n a r e c e n t P h . D . T h e s i s  

D . P . W i l l i a m s o n 1 9 9 3 ] p r o v i d e s a r i c h c l a s s o f p r o b l e m s o f t h i s t y p e a l o n g w i t h a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m s f o r t h e i r  

s o l u t i o n .

T h e p u r p o s e o f t h e p r e s e n t p a p e r i s t o s u r v e y c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s f o r w h i c h a n a l g o r i t h m i s  

a v a i l a b l e t o n d t h e e x a c t o p t i m u m i n ( s t r o n g l y ) p o l y n o m i a l t i m e . T h o u g h p o l y n o m i a l l y s o l v a b l e p r o b l e m s a r e o f t e n  

t o o r e s t r i c t e d t o b e u s e d d i r e c t l y i n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s , t h e y m a y s e r v e w e l l a s b u i l d i n g b l o c k s i n a m o r e c o m p l e x  

p r o c e d u r e . I n m a n y c a s e s , s u c h a s t h e   k  - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m o f d i g r a p h s , t h e p r o p o s e d a l g o r i t h m  

i s p u r e l y c o m b i n a t o r i a l a n d s t r o n g l y p o l y n o m i a l .

S u c h a l g o r i t h m s h a v e t h e f e a t u r e ( a s o p p o s e d t o t h e e l l i p s o i d m e t h o d , s a y ) t h a t t h e y c a n b e r u n i n p r a c t i c e  

a n d u s e d f o r l a r g e g r a p h s . I n s o m e o t h e r c a s e s , s u c h a s t h e   k  - n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m o f d i g r a p h s ,

a t h e o r e t i c a l b a c k g r o u n d h a s b e e n d e v e l o p e d w h i c h , a t l e a s t , e n s u r e s a p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m v i a t h e e l l i p s o i d  

m e t h o d . B u t s u c h m e t h o d s m i g h t b e n e v e r u s e d i n p r a c t i c e a n d t h e i r e x i s t e n c e s h o u l d b e c o n s i d e r e d m e r e l y a s a  

c h a l l e n g e t o d e s i g n p u r e l y c o m b i n a t o r i a l s o l u t i o n a l g o r i t h m s . A l s o , t h e s e a l g o r i t h m s a r e i m p o r t a n t f r o m t h e o r e t i c a l  

p o i n t o f v i e w i n o r d e r t o e x p l o r e t h e b o r d e r l i n e ( i f t h e r e i s a n y ) b e t w e e n N P - c o m p l e t e n e s s a n d p o l y n o m i a l s o l v a b i l i t y .

W e w i l l u s e t w o b a s i c m e a s u r e m e n t s f o r c o n n e c t i v i t y . G i v e n a d i r e c t e d o r u n d i r e c t e d g r a p h   G    (  x y  ) = 

  (  x y  G  )  ( r e s p e c t i v e l y ,   (  x y  ) =    (  x y  G  )  ) d e n o t e s t h e m a x i m u m n u m b e r o f e d g e - d i s j o i n t ( o p e n l y d i s j o i n t ) p a t h s  

f r o m   x  t o  y  . K . M e n g e r ' s c l a s s i c a l t h e o r e m a s s e r t s t h a t i n a n u n d i r e c t e d g r a p h i f   x  a n d  y  a r e n o t a d j a c e n t , t h e n  

  (  x y  )  i s e q u a l t o t h e m i n i m u m n u m b e r o f n o d e s w h o s e d e l e t i o n s e p a r a t e s   x  a n d  y  . O t h e r v e r s i o n s o f M e n g e r ' s  

+ 

R e s e a r c h s u p p o r t e d b y t h e H u n g a r i a n N a t i o n a l F o u n d a t i o n f o r S c i e n t i c R e s e a r c h G r a n t , O T K A 2 1 1 8  

* D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e , E  o t v  o s U n i v e r s i t y , M  u z e u m k r t . 6 - 8 , B u d a p e s t , H u n g a r y , H - 1 0 8 8 .

T h e p a p e r w a s w r i t t e n w h i l e t h e a u t h o r w a s v i s i t i n g L a b o r a t o i r e A r t e m i s , I n s t i t u t I M A G , U n i v e r s i t y o f  

G r e n o b l e , 3 8 0 4 1 G r e n o b l e C E D E X B . P . 5 3 , F r a n c e  

1 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 2/23

t h e o r e m p r o v i d e s m i n - m a x f o r m u l a f o r     a n d    i n d i r e c t e d a n d i n u n d i r e c t e d g r a p h s . F o r e x a m p l e , i n a d i g r a p h  

  (  x y  )  i s e q u a l t o t h e m i n i m u m n u m b e r o f e d g e s l e a v i n g a n   x   y  - s u b s e t o f n o d e s . ( A s e t   X  i s c a l l e d a n d   x   y  - s e t   f 

x  2  X y  62  X  . ) T h i s i s a n e q u i v a l e n t f o r m u l a t i o n o f t h e m a x - o w m i n - c u t t h e o r e m . (    (  x y  )  m a y b e c o n s i d e r e d a s  

t h e m a x i m u m o w v a l u e f r o m   x  t o  y  p r o v i d e d t h a t t h e c a p a c i t y o f e a c h e d g e i s 1 . )  

A n u n d i r e c t e d g r a p h   G  i s c a l l e d   k  - e d g e - c o n n e c t e d   i f e v e r y c u t h a s a t l e a s t   k  e d g e s . W h e n   k  = 1  w e s i m p l y  

s a y  G  i s c o n n e c t e d . A d i g r a p h   D  i s c a l l e d   k  - e d g e - c o n n e c t e d   i f e v e r y ( n o n - e m p t y , p r o p e r ) s u b s e t o f n o d e s h a s  

a t l e a s t   k  e x i t i n g e d g e s . W h e n   k  = 1  w e c a l l   D  s t r o n g l y c o n n e c t e d .   B y M e n g e r ' s t h e o r e m a d i g r a p h o r a n  

u n d i r e c t e d g r a p h i s   k  - e d g e - c o n n e c t e d i f a n d o n l y i f t h e r e a r e   k  e d g e - d i s j o i n t p a t h s f r o m e v e r y n o d e t o e v e r y o t h e r  

o n e .

T h e g e n e r a l f o r m o f t h e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s w e i n v e s t i g a t e i s a s f o l l o w s . G i v e n a d i r e c t e d o r u n d i r e c t e d  

g r a p h   G  = (  V E  )  a n d a n o n - n e g a t i v e i n t e g e r f u n c t i o n   r  (  x y  )  o n t h e s e t o f o r d e r e d p a i r s o f n o d e s , s e r v i n g a s a  

d e m a n d f u n c t i o n ,  a d d a m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s t o   G  ( o r , m o r e g e n e r a l l y , a m i n i m u m c o s t o f n e w e d g e s ,

i f a c o s t - f u n c t i o n i s g i v e n o n t h e s e t o f p o s s i b l e n e w e d g e s ) s o t h a t  

  (  x y  G 

+ 

)    r  (  x y  ) ( 1  1  a  ) 

o r 

  (  x y  G 

+ 

)    r  (  x y  ) ( 1  1  b  ) 

h o l d s f o r e v e r y p a i r o f n o d e s   x y  o f t h e r e s u l t i n g g r a p h ( d i g r a p h )   G 

+ 

. A c c o r d i n g l y , w e m a y s p e a k a b o u t   e d g e -  

c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n   p r o b l e m o r   n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n   p r o b l e m .

B e s i d e t h e s e m i n i m i z a t i o n f o r m s , w e w i l l c o n s i d e r d e g r e e - c o n s t r a i n e d a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s , a s w e l l , w h e r e a  

l o w e r a n d u p p e r b o u n d i s g i v e n a t e v e r y n o d e   v  f o r t h e n u m b e r o f n e w e d g e s i n c i d e n t t o   v 

A n a t u r a l r e l a x a t i o n o f t h e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s t h e   m a x o w v e r s i o n .   S u p p o s e t h a t   g  (  u v  )  i s a n o n -  

n e g a t i v e c a p a c i t y f u n c t i o n o n t h e p a i r s o f n o d e s   u v  (  u v  2  V  )  a n d l e t   r  (  u v  )  b e a d e m a n d f u n c t i o n . T h e p r o b l e m  

i s t o i n c r e a s e t h e e x i s t i n g c a p a c i t i e s s o t h a t i n t h e r e s u l t i n g n e t w o r k t h e m a x i m u m o w v a l u e b e t w e e n   u  a n d  v  i s a t  

l e a s t   r  (  u v  )  f o r e a c h p a i r   f  u v  g  o f n o d e s a n d s u c h t h a t t h e s u m o f c a p a c i t y i n c r e m e n t s i s m i n i m u m .

I f  g  (  u v  )  a n d  r  (  u v  )  a r e i n t e g e r - v a l u e d a n d t h e c a p a c i t y i n c r e m e n t s a r e a l s o r e q u i r e d t o b e i n t e g e r - v a l u e d , t h e n  

t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s e q u i v a l e n t t o t h e m a x - o w v e r s i o n . N a m e l y , t h e l a t t e r p r o b l e m c a n  

b e f o r m u l a t e d a s a m a x - o w v e r s i o n b y l e t t i n g   g  (  u v  ) = 1  w h e n   (  u v  )  i s a n e d g e o f   G  a n d  g  (  u v  ) = 0  o t h e r w i s e .

C o n v e r s e l y , i f   g  i s i n t e g e r - v a l u e d , w e c a n d e n e a g r a p h h a v i n g   g  (  u v  )  p a r a l l e l e d g e s b e t w e e n e a c h p a i r o f n o d e s   u 

a n d  v  a n d t h e n a s o l u t i o n t o t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y p r o b l e m y i e l d s a s o l u t i o n t o t h e i n t e g e r - v a l u e d m a x - o w p r o b l e m .

T h i s e q u i v a l e n c e , h o w e v e r , d o e s n o t m e a n a l g o r i t h m i c e q u i v a l e n c e a n d w e a r e g o i n g t o e x h i b i t s t r o n g l y p o l y n o -  

m i a l t i m e a l g o r i t h m s f o r t h e m o r e d i c u l t m a x - o w a u g m e n t a t i o n p r o b l e m . ( A p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m i s c a l l e d  

s t r o n g l y p o l y n o m i a l   i f i t u s e s o n l y t h e b a s i c o p e r a t i o n s l i k e c o m p a r i n g , a d d i n g , s u b t r a c t i n g , m u l t i p l y i n g , a n d  

d i v i d i n g n u m b e r s , a n d t h e n u m b e r o f t h e s e o p e r a t i o n s i s i n d e p e n d e n t o f t h e n u m b e r s o c c u r i n g i n t h e i n p u t . )  

W e w i l l a l s o i n v e s t i g a t e t h e q u e s t i o n o f w h e n t h e f r a c t i o n a l a u g m e n t a t i o n a l l o w s b e t t e r s o l u t i o n t h a n t h e i n t e g e r -  

v a l u e d . F o r e x a m p l e , l e t   V  b e a s e t o f   n  n o d e s , g    0  a n d  r    1  . I f o n l y i n t e g e r s a r e a l l o w e d f o r t h e i n c r e m e n t s ,

t h e n t h e v a l u e o f t h e b e s t s o l u t i o n i s   n    1  : t a k e a n y t r e e o n   V  a n d i n c r e a s e t h e c a p a c i t y o f i t s e d g e s b y o n e . I f w e  

m a y u s e f r a c t i o n a l i n c r e m e n t s , t h e n t h e v a l u e o f t h e b e s t s o l u t i o n i s   n =  2  : t a k e a n y c i r c u i t o f   n  n o d e s , i n c r e a s e t h e  

c a p a c i t y o f i t s e d g e s b y 1 / 2 .

O n t h e o t h e r h a n d , w e w i l l s e e p r o b l e m s ( c o n c e r n i n g m a i n l y u n d i r e c t e d g r a p h s ) w h e n t h e o p t i m u m o f t h e  

i n t e g e r - v a l u e d s o l u t i o n i s a t m o s t o n e h a l f b i g g e r t h a n t h a t o f t h e f r a c t i o n a l s o l u t i o n , a n d p r o b l e m s ( e s p e c i a l l y w h e n  

G  i s d i r e c t e d ) w h e n t h e r e i s a n o p t i m a l s o l u t i o n t o t h e m a x - o w a u g m e n t a t i o n p r o b l e m t h a t i s i n t e g e r - v a l u e d .

G i v e n t w o e l e m e n t s   s t  a n d a s u b s e t   X  o f a g r o u n d - s e t   U  , w e s a y t h a t   X  i s a n   s 

 

t  - s e t   f  s  2  T t  62  T  X 

s e p a r a t e s   s  f r o m   t  ( o r  x  a n d  t  ) f  X  \ f  s t  g = 1  . A f a m i l y   f  X 

1 

; : : : ; X  

t 

g  o f p a i r w i s e d i s j o i n t , n o n - e m p t y  

s u b s e t s o f   U  i s c a l l e d a   s u b - p a r t i t i o n .  

L e t  G  = (  U E  )  a n u n d i r e c t e d g r a p h . d 

G 

(  X Y  )  d e n o t e s t h e n u m b e r o f u n d i r e c t e d e d g e s b e t w e e n   X    Y 

a n d  Y    X 

 

d 

G 

(  X Y  ) =  d 

G 

(  X U    Y  ) ( =  d 

G 

(  U    X Y  ) )  d 

G 

(  X  )  s t a n d s f o r   d 

G 

(  X U    X  )  . O b s e r v e t h a t  

 

d 

G 

(  X Y  ) = 

 

d 

G 

(  U    X U    Y  )  . W h e n i t d o e s n o t c a u s e a m b i g u i t y w e l e a v e o u t t h e s u b s c r i p t .

F o r a d i r e c t e d g r a p h   D  = (  U A  )  % 

D 

(  X  )  d e n o t e s t h e n u m b e r o f e d g e s e n t e r i n g   X   

D 

(  X  ) =  % 

D 

(  U    X  )  a n d 

 

D 

(  X  ) : = m i n (  % 

D 

(  X  )   

D 

(  X  ) )  . N o t e t h a t    

D 

(  X  ) =   

D 

(  U    X  )  d 

D 

(  X Y  )  d e n o t e s t h e n u m b e r o f e d g e s w i t h  

o n e e n d i n   X    Y  a n d o n e e n d i n   Y    X 

 

d 

D 

(  X Y  ) =  d 

D 

(  X U    Y  ) ( =  d 

D 

(  U    X Y  )  A n  a r b o r e s c e n c e  

2 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 3/23

F  i s a d i r e c t e d t r e e i n w h i c h e v e r y n o d e b u t o n e h a s i n - d e g r e e 1 a n d t h e e x c e p t i o n a l n o d e , c a l l e d t h e   r o o t   , i s o f  

i n - d e g r e e 0 . ( E q u i v a l e n t l y , t h e r e i s a d i r e c t e d p a t h f r o m t h e r o o t t o e v e r y o t h e r n o d e o f   F  ) 

L e t  M  = (  U A    E  )  b e a m i x e d g r a p h c o m p o s e d a s t h e u n i o n o f a d i r e c t e d g a p h   D  = (  U A  )  a n d a n  

u n d i r e c t e d g r a p h   G  = (  U E  )  . L e t   % 

M 

(  X  ) =  % 

D 

(  X  ) +  d 

G 

(  X  )   

M 

(  X  ) =   

D 

(  X  ) +  d 

G 

(  X  )  a n d   

M 

(  X  ) = 

m i n (  % 

M 

(  X  )   

M 

(  X  ) )  . W e s a y t h a t a n o d e   v  o f a  M  s  d i - E u l e r i a n   f  % 

D 

(  v  ) =   

D 

(  v  )  M  i s c a l l e d   d i - E u l e r i a n  

i f e v e r y n o d e o f   M  i s d i - E u l e r i a n .

S p l i t t i n g o   a p a i r o f e d g e s   e  =  u s ; f   =  s t  m e a n s t h a t w e r e p l a c e   e  a n d  f  b y a n e w e d g e   u t  . T h e r e s u l t i n g  

m i x e d g r a p h w i l l b e d e n o t e d b y   M 

e f 

. T h i s o p e r a t i o n i s d e n e d o n l y i f b o t h   e  a n d  f  a r e u n d i r e c t e d ( r e s p e c t i v e l y ,

d i r e c t e d ) a n d t h e n t h e n e w l y a d d e d e d g e   u t  i s c o n s i d e r e d u n d i r e c t e d ( d i r e c t e d ) . A c c o r d i n g l y , w e s p e a k o f u n d i r e c t e d  

o r d i r e c t e d s p l i t t i n g s .

F o r a f u n c t i o n   m  V  !  R  w e u s e t h e n o t a t i o n   m  (  X  ) = 

P 

(  m  (  v  ) v  2  V  )  . F o r a n u m b e r   x  l e t  x 

+ 

= 

m a x (  x 0 ) 

2 . S U B G R A P H S V E R S U S S U P E R G R A P H S  

T o c l a r i f y a s i m p l e l i n k b e t w e e n o p t i m a l s u b g r a p h s a n d o p t i m a l s u p e r g r a p h s , w e s t a r t w i t h a s p e c i c p r o b l e m .

W e a r e g i v e n a d i g r a p h   D  = (  V A  )  w i t h t w o s p e c i e d n o d e s   s  a n d  t  . O n e o f t h e s i m p l e s t c o n n e c t i v i t y p r o p e r t y o n e  

m a y c o n s i d e r i n   D  s 

  (  s t  )    1 ( 2  1 ) 

t h a t i s , t h e r e i s a p a t h f r o m   s  t o  t  . I t i s w e l l - k n o w n t h a t ( 2 . 1 ) h o l d s i f a n d o n l y i f e v e r y   s 

 

t  - s e t h a s a n e x i t i n g e d g e .

W h e n ( 2 . 1 ) h o l d s , o n e m a y c o n s i d e r t h e s h o r t e s t p a t h p r o b l e m , a s t a r t i n g p o i n t o f c o m b i n a t o r i a l o p t i m i z a t i o n ,

t h a t c o n s i s t s o f n d i n g a p a t h f r o m   s  t o  t  o f m i n i m u m c o s t w i t h r e s p e c t t o a g i v e n c o s t f u n c t i o n   c  o n  E  . F o r  

n o n - n e g a t i v e   c  , t h i s m a y b e c o n s i d e r e d a s a S U B G R A P H p r o b l e m : g i v e n a d i g r a p h , n d a m i n i m u m c o s t s u b g r a p h  

s a t i s f y i n g ( 2 . 1 ) . D i j k s t r a ' s c l a s s i c a l a l g o r i t h m f o r n d i n g a s h o r t e s t p a t h s i s o f   O  (  n 

2 

)  c o m p l e x i t y .

I f ( 2 . 1 ) d o e s n o t h o l d , t h e n a n a t u r a l t a s k i s t o a u g m e n t o p t i m a l l y   D  s o a s t o s a t i s f y ( 2 . 1 ) . A u g m e n t a t i o n m a y  

b e c o n s i d e r e d a s a S U P E R G R A P H p r o b l e m : g i v e n a d i g r a p h   D  a n d a d i g r a p h   H  = (  V F  )  o f p o s s i b l e n e w e d g e s  

w h i c h i s e n d o w e d w i t h a n o n - n e g a t i v e c o s t f u n c t i o n   c  n  D  +  H  c o n s t r u c t a m i n i m u m c o s t s u p e r g r a p h o f   D  s a t i s f y i n g  

( 2 . 1 ) .

T h i s a u g m e n t a t i o n p r o b l e m m a y b e s o l v e d b y a s h o r t e s t p a t h c o m p u t a t i o n i n t h e d i g r a p h   D  +  H  w h e r e t h e  

c o s t o f t h e e d g e s o f   H  i s d e t e r m i n e d b y   c  a n d t h e c o s t o f t h e o r i g i n a l e d g e s i s d e n e d t o b e 0 .

T h i s e a s y p r i n c i p l e m a y b e a p p l i e d t o p r o p e r t i e s o t h e r t h a n ( 2 . 1 ) . I f o n e i s a b l e t o s o l v e t h e m i n i m u m c o s t  

s u b g r a p h p r o b l e m , o n e c a n s o l v e t h e c o r r e s p o n d i n g s u p e r g r a p h ( t h a t i s , t h e a u g m e n t a t i o n ) p r o b l e m , a s w e l l . B e l o w  

w e l i s t s o m e o t h e r c o n n e c t i v i t y p r o p e r t i e s w h e n t h e s u b g r a p h p r o b l e m i s e c i e n t l y s o l v a b l e a n d , t h e r e f o r e , s o i s t h e  

a u g m e n t a t i o n p r o b l e m . B u t w e a l r e a d y h a s t e n t o e m p h a s i z e t h a t t h e f o c u s o f t h i s p a p e r w i l l b e o n p o l y n o m i a l l y  

s o l v a b l e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s w h e r e t h e c o r r e s p o n d i n g s u b g r a p h p r o b l e m i s N P - c o m p l e t e .

P r o p e r t i e s i n a d i g r a p h f o r w h i c h t h e m i n i m u m c o s t s u b g r a p h p r o b l e m ( a n d t h e m i n i m u m c o s t a u g m e n t a t i o n  

p r o b l e m , a s w e l l ) i s s o l v a b l e i n s t r o n g l y p o l y n o m i a l t i m e :

  (  s t  )    k ( 2  2 ) 

  (  s t  )    k ( 2  3 ) 

  (  s x  )    k  f o r e v e r y   x  2  V ( 2  4 ) 

  (  s x  )    k  f o r e v e r y   x  2  V ( 2  5 ) 

3 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 4/23

T h e m i n i m u m c o s t s u b g r a p h p r o b l e m w i t h r e s p e c t t o ( 2 . 2 ) i s e q u i v a l e n t t o n d i n g m i n - c o s t o w o f v a l u e   k 

T a r d o s , 1 9 8 5 ] B y a n e a s y e l e m e n t a r y c o n s t r u c t i o n , o b s e r v e d a l r e a d y i n F o r d a n d F u l k e r s o n , 1 9 6 2 ] , ( 2 . 3 ) g o e s b a c k  

t o ( 2 . 2 ) .

F i n d i n g a m i n i m u m c o s t s u b g r a p h s a t i s f y i n g ( 2 . 4 ) i s t r i c k i e r . F i r s t , w e m a y a s s u m e t h a t n o e d g e o f   D  e n t e r s  

s  . S i n c e t h e c o s t f u n c t i o n i s s u p p o s e d t o b e n o n - n e g a t i v e , i t i s e n o u g h t o c o n s i d e r d i g r a p h s s a t i s f y i n g ( 2 . 4 ) w h i c h  

a r e m i n i m a l w i t h r e s p e c t t o e d g e - d e l e t i o n . T h e m a i n o b s e r v a t i o n i s t h a t s u c h d i g r a p h s a r e p r e c i s e l y t h o s e i n w h i c h  

( a ) t h e i n - d e g r e e o f e v e r y n o d e   v  6=  s  i s p r e c i s e l y   k  a n d ( b ) t h e u n d e r l i n i n g u n d i r e c t e d g r a p h i s t h e u n i o n o f   k 

d i s j o i n t s p a n n i n g t r e e s . ( T h e e q u i v a l e n c e m a y b e p r o v e d b y E d m o n d s ' 1 9 7 3 ] d i s j o i n t a r b o r e s c e n c e t h e o r e m ) . B y t h i s  

e q u i v a l e n t f o r m u l a t i o n t h e p r o b l e m i s t o n d a m i n i m u m c o s t c o m m o n b a s i s o f t w o m a t r o i d s   M 

1 

a n d  M 

2 

d e n e d o n  

t h e e d g e - s e t o f   D  . H e r e   M 

1 

i s a p a r t i t i o n m a t r o i d i n w h i c h a s e t i s i n d e p e n d e n t i f c o n t a i n s a t m o s t   k  e d g e s e n t e r i n g  

a n y n o d e   v  6=  s  M 

2 

i s d e n e d t o b e t h e s u m o f   k  c o p i e s o f t h e c i r c u i t m a t r o i d o f t h e u n d e r l i n i n g u n d i r e c t e d g r a p h  

( t h a t i s , a s u b s e t o f e d g e s o f   D  i s i n d e p e n d e n t i n   M 

2 

i f i t i s t h e u n i o n o f   k  f o r e s t s ) .

S i n c e t h e r e a r e s t r o n g l y p o l y n o m i a l a l g o r i t h m s f o r t h e w e i g h t e d m a t r o i d i n t e r s e c t i o n p r o b l e m E d m o n d s , 1 9 7 9 ]

F r a n k , 1 9 8 1 b ] , t h e m i n i m u m c o s t s u b g r a p h p r o b l e m w i t h r e s p e c t t o ( 2 . 4 ) i s a l s o s o l v a b l e . B y e x p l o i t i n g t h e p a r t i c u l a r  

s t r u c t u r e o f t h e t w o m a t r o i d s i n q u e s t i o n , H . G a b o w 1 9 9 1 ] d e v e l o p e d a m o r e e c i e n t a l g o r i t h m .

N o t e t h a t t h e s p e c i a l c a s e o f ( 2 . 4 ) w h e n   k  = 1  i s t a n t a m o u n t t o n d i n g a m i n i m u m c o s t a r b o r e s c e n c e o f r o o t   s 

f o r w h i c h D . R . F u l k e r s o n 1 9 7 4 ] d e s c r i b e d a p a r t i c u l a r l y e l e g a n t a l g o r i t h m .

N o e l e m e n t a r y r e d u c t i o n o f P r o p e r t y ( 2 . 5 ) t o ( 2 . 4 ) i s k n o w n . A s o l u t i o n t o t h e s u b g r a p h m i n i m i z a t i o n p r o b l e m  

w i t h r e s p e c t t o ( 2 . 5 ) w a s d e s c r i b e d i n F r a n k a n d T a r d o s , 1 9 8 9 ] . I t u s e d a t r i c k y r e d u c t i o n t o s u b m o d u l a r o w s  

E d m o n d s a n d G i l e s , 1 9 7 7 ] , a c o m m o n g e n e r a l i z a t i o n o f n e t w o r k o w s a n d m a t r o i d i n t e r s e c t i o n . H e r e w e d o n o t  

r e p e a t t h e r e d u c t i o n b u t p r o v i d e a m i n - m a x t h e o r e m c o n c e r n i n g t h e c o r r e s p o n d i n g a u g m e n t a t i o n p r o b l e m , w h i c h i s  

d e d u c i b l e f r o m t h e t h e o r y o f s u b m o d u l a r o w s b u t w a s n o t e x p l i c i t e l y s t a t e d i n F r a n k a n d T a r d o s ] .

L e t u s c a l l a d i g r a p h s a t i s f y i n g ( 2 . 5 )   k  - o u t - c o n n e c t e d ( f r o m   s  ) L e t  D  = (  V E  )  b e a d i g r a p h w i t h a  

s p e c i e d n o d e   s  a n d a s s u m e o u r t a s k i s t o a u g m e n t   D  t o o b t a i n a   k  - o u t - c o n n e c t e d d i g r a p h . L e t   H  = (  V F  )  d e n o t e  

t h e d i g r a p h o f p o s s i b l e n e w e d g e s a n d   c  F  !  R 

+ 

a c o s t f u n c t i o n . I n o r d e r t o h a v e a s o l u t i o n a t a l l w e a s s u m e t h a t  

t h e u n i o n g r a p h   D  +  H  s  k  - o u t - c o n n e c t e d .

L e t  F  d e n o t e t h e f a m i l y o f p a i r s   (  A B  )  o f t w o n o n - e m p t y d i s j o i n t s u b s e t s o f n o d e s s o t h a t   s  2  A  . F o r a p a i r  

(  A B  )  l e t    (  A B  ) =   

D 

(  A B  )  d e n o t e t h e n u m b e r o f e d g e s o f  D  f r o m   A  t o  B  . B y a v e r s i o n o f M e n g e r ' s t h e o r e m a  

d i g r a p h i s   k  - o u t - c o n n e c t e d f r o m   s  i f a n d o n l y i f   V    (  A    B  )  +    (  A B  )    k  . D e n e t h e   d e c i e n c y   p 

d e f 

(  A B  ) 

o f a p a i r   (  A B  )  b y  k    (  V    (  A    B  )  +    (  A B  ) )  w h e n t h i s n u m b e r i s p o s i t i v e a n d b y z e r o o t h e r w i s e . C l e a r l y ,

a d d i n g a s u b s e t   X  o f e d g e s o f   H  t o  D  y i e l d s a   k  - o u t - c o n n e c t e d d i g r a p h i f a n d o n l y i f t h e r e a r e a t l e a s t   p 

d e f 

(  A B  ) 

e d g e s i n   X  g o i n g f r o m   A  t o  B  f o r e v e r y p a i r   (  A B  )  2 F 

T H E O R E M 2 . 1   T h e m i n i m u m c o s t o f e d g e s o f   H  w h o s e a d d i t i o n t o   D  r e s u l t s i n a d i g r a p h w h i c h i s   k  - 

o u t - c o n n e c t e d f r o m   s  i s e q u a l t o   m a x (  

P 

y  (  A B  )  p  (  A B  ) )  w h e r e   y    0  i s s u c h t h a t , f o r e v e r y e d g e   x y  2  F 

P 

(  y  (  A B  ) x  2  A y  2  B  )    c  (  x y  )  . M o r e o v e r , i f   c  i s i n t e g e r - v a l u e d , y  m a y b e c h o s e n i n t e g e r - v a l u e d .

A c t u a l l y , t h i s t h e o r e m a s s e r t s t h a t a c e r t a i n l i n e a r p r o g r a m i s t o t a l l y d u a l i n t e g r a l . I t t u r n s o u t t h a t t h e t h e o r e m  

c a n b e s t a t e d i n a m o r e a b s t r a c t f o r m . L e t   H  = (  V F  )  b e a d i r e c t e d g r a p h e n d o w e d w i t h a c o s t f u n c t i o n   c  E  !  R 

a n d a c a p a c i t y f u n c t i o n   g  E  !  Z 

+ 

. L e t   p  b e a n o n - n e g a t i v e i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n o n t h e p a i r s   (  A B  )  o f d i s j o i n t  

s u b s e t s o f   V  . W e s a y t h a t   p  s  i n t e r s e c t i n g b i - s u p e r m o d u l a r   f 

p  (  X Y  ) +  p  (  X  Y  )    p  (  X  \  X  Y    Y  ) +  p  (  X    X  Y  \  Y  ) ( 2  6 ) 

h o l d s w h e n e v e r   p  (  X Y  )  p  (  X  Y  )  >  0  Y  \  Y  6=  ; 

F o r a v e c t o r   x  d e n e d o n t h e e d g e - s e t   F  l e t   

x 

(  A B  ) = 

P 

(  x  (  u v  ) u v  2  F u  2  A v  2  B  ) 

T H E O R E M 2 . 2   L e t  g  F  !  Z 

+ 

b e a n i n t e g e r - v a l u e d c a p a c i t y f u n c t i o n s o t h a t    

g 

(  A B  )    p  (  A B  )  f o r 

e v e r y p a i r   (  A B  )  . T h e n t h e l i n e a r p r o g r a m  

m i n (  c x  0    x    g  

x 

(  A B  )    p  (  A B  )  f o r e v e r y d i s j o i n t   A B  ) ( 2  7 ) 

4 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 5/23

i s t o t a l l y d u a l i n t e g r a l . I n p a r t i c u l a r , ( 2 . 7 ) h a s a n i n t e g e r - v a l u e d o p t i m u m a n d i f i n a d d i t i o n   c  i s i n t e g e r -  

v a l u e d , t h e d u a l l i n e a r p r o g r a m a l s o h a s a n i n t e g e r - v a l u e d o p t i m u m .

( T h i s t h e o r e m m a y b e p r o v e d b y u s i n g t h e s t a n d a r d u n c r o s s i n g t e c h n i q u e a s w a s d o n e i n F r a n k , 1 9 7 9 a n d 1 9 8 4 ]

f o r t h e s p e c i a l s p e c i a l c a s e w h e n   p  (  A B  )  m a y b e p o s i t i v e o n l y o n c o m p l e m e n t a r y p a i r s ( i . e . A    B  =  V  ) 

N o t e t h a t t h e r o l e o f t h e t w o v a r i a b l e s o f   p  i s n o t s y m m e t r i c . I t b e c o m e s s y m m e t r i c i f ( 2 . 6 ) i s r e q u i r e d o n l y w h e n  

p  (  X Y  )  p  (  X  Y  )  >  0  X  \  X  Y  \  Y  6=  ;  . I n t h i s c a s e   p  i s c a l l e d   c r o s s i n g b i - s u p e r m o d u l a r .   T h e o r e m 2 . 2  

i s n o m o r e t r u e f o r c r o s s i n g b i - s u p e r m o d u l a r f u n c t i o n s . B u t i n S e c t i o n 4 w e w i l l p r o v e t h a t a m i n - m a x t h e o r e m d o e s  

h o l d w h e n   H  i s a c o m p l e t e d i r e c t e d g r a p h ( i . e . e a c h o f t h e p o s s i b l e   n  (  n    1 )  e d g e s b e l o n g t o   H  ) a n d   c    1  . S u c h  

a r e s u l t w i l l a l l o w u s t o s o l v e t h e n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i n d i r e c t e d g r a p h w h e n a r b i t r a r y e d g e s  

m a y b e a d d e d .

3 . E D G E - C O N N E C T I V I T Y A U G M E N T A T I O N O F D I G R A P H S  

I n t h e p r e v i o u s c h a p t e r w e h a v e s e e n t h a t t h e m i n i m u m c o s t s u b g r a p h p r o b l e m , a n d t h e r e f o r e t h e m i n i m u m  

c o s t a u g m e n t a t i o n p r o b l e m , i s t r a c t a b l e f o r p r o p e r t i e s ( 2 . 1 ) a n d ( 2 . 2 ) .

T h e n e x t n a t u r a l p r o p e r t y t o b e i n v e s t i g a t e d i s s t r o n g c o n n e c t i v i t y . T h e m i n i m u m c o s t s u b g r a p h p r o b l e m r e a d s :

n d a m i n i m u m c o s t s t r o n g l y c o n n e c t e d s p a n n i n g s u b g r a p h o f a g i v e n d i g r a p h . T h i s i s N P - c o m p l e t e e v e n i f t h e c o s t  

f u n c t i o n i s i d e n t i c a l l y 1 s i n c e i f o n e i s a b l e t o n d a s t r o n g l y c o n n e c t e d s u b g r a p h o f m i n i m u m c a r d i n a l i t y , t h e n o n e  

i s a b l e t o d e c i d e i f a d i g r a p h c o n t a i n s a s t r o n g l y c o n n e c t e d s u b g r a p h o f c a r d i n a l i t y   n  ( t h e n u m b e r o f n o d e s ) a n d t h i s  

l a t t e r p r o p e r t y i s e q u i v a l e n t f o r a d i g r a p h t o h a v e a H a m i l t o n i a n c i r c u i t .

T h e c o r r e s p o n d i n g a u g m e n t a t i o n p r o b l e m a s k s , g i v e n a d i g r a p h   D  = (  V E  )  a n d a n o t h e r d i g r a p h   H  = (  V F  ) 

( e n d o w e d w i t h a n o n - n e g a t i v e c o s t - f u n c t i o n   c  ) , f o r t h e m i n i m u m c o s t o f e d g e s o f   H  w h o s e a d d i t i o n t o   D  c r e a t e s a  

s t r o n g l y c o n n e c t e d d i g r a p h .

A s i m i l a r a r g u m e n t s h o w s t h a t t h e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s a l s o N P - c o m p l e t e , e v e n f o r   c    1  , i f n o r e s t r i c t i o n  

i s m a d e f o r   H  . O n e i n t e r e s t i n g r e s t r i c t i o n i s w h e n t h e r e i s a p a t h i n   D  f r o m   v  t o  u  f o r e a c h e d g e   u v  o f  H  . ( F o r  

e x a m p l e , w h e n   H  a r i s e s f r o m   D  b y r e - o r i e n t i n g e a c h e d g e . ) F o r t h e c a r d i n a l i t y c a s e , a t h e o r e m o f L u c c h e s i a n d  

Y o u n g e r 1 9 7 8 ] a s s e r t s i n t h e p r e s e n t c o n t e x t t h a t   t h e m i n i m u m c a r d i n a l i t y o f n e w e d g e s o f   H  t o b e a d d e d t o   D 

t o p r o v i d e a s t r o n g l y c o n n e c t e d d i g r a p h i s e q u a l t o t h e m a x i m u m n u m b e r o f   H  - i n d e p e n d e n t s o u r c e - s e t s o f  

D  . ( A p r o p e r n o n - e m p t y s u b s e t   X  o f  V  i s c a l l e d a   s o u r c e - s e t   i f n o e d g e o f  D  e n t e r s   X  a n d a f a m i l y o f s o u r c e - s e t s  

s  H  - i n d e p e n d e n t   i f n o e d g e o f   H  e n t e r s m o r e t h a n o n e o f t h e m . F o r l a t e r p u r p o s e s w e d e n e   s i n k - s e t s   a s t h e  

c o m p l e m e n t o f s o u r c e - s e t s ) . T h e t h e o r y o f s u b m o d u l a r f u n c t i o n s ( e s t a b l i s h e d i n E d m o n d s a n d G i l e s , 1 9 7 7 ] e x t e n d s  

t h i s t h e o r e m t o t h e w e i g h t e d c a s e . I n F r a n k , 1 9 8 1 a ] a s t r o n g l y p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m w a s d e v e l o p e d t o n d t h e  

m i n i m u m i n q u e s t i o n .

T h e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m f o r s t r o n g c o n n e c t i v i t y w a s s o l v e d b y K . P . E s w a r a n a n d R . E . T a r j a n 1 9 7 6 ] i n t h e  

c a s e w h e n a n y p o s s i b l e n e w e d g e i s a l l o w e d t o b e a d d e d a n d   c    1  . I n a d i g r a p h t h e s i n k - s e t s a r e c l o s e d u n d e r  

t a k i n g i n t e r s e c t i o n a n d u n i o n . H e n c e t h e m i n i m a l s i n k - s e t s ( w i t h r e s p e c t t o c o n t a i n m e n t ) a r e p a i r w i s e d i s j o i n t . L e t  

p 

1 

d e n o t e t h e i r n u m b e r . S i m i l a r l y , t h e m i n i m a l s o u r c e - s e t s a r e p a i r w i s e d i s j o i n t . L e t   p 

2 

d e n o t e t h e i r n u m b e r . S i n c e  

i n a s t r o n g l y c o n n e c t e d d i g r a p h t h e r e a r e n o s o u r c e - s e t s a n d s i n k - s e t s , a t l e a s t   m a x (  p 

1 

p 

2 

)  n e w e d g e s m u s t b e a d d e d .

T h e n e x t t h e o r e m a s s e r t s t h a t t h i s b o u n d i s a c h i e v a b l e . N o t e t h a t i t i s n o t d i c u l t t o c a l c u l a t e   p 

1 

( o r  p 

2 

) s i n c e   p 

1 

i s t h e n u m b e r o f s i n k - n o d e s ( n o d e s w i t h n o l e a v i n g e d g e s ) o f t h e d i g r a p h a r i s i n g f r o m   D  b y c o n t r a c t i n g e a c h s t r o n g  

c o m p o n e n t i n t o o n e n o d e .

T H E O R E M 3 . 1   ( K . P . E s w a r a n a n d R . E . T a r j a n , 1 9 7 6 )   G i v e n a d i r e c t e d g r a p h   D  = (  V E  )  t h e m i n i m u m  

n u m b e r o f n e w e d g e s w h o s e a d d i t i o n t o   D  c r e a t e s a s t r o n g l y c o n n e c t e d d i g r a p h i s   m a x (  p 

1 

p 

2 

) 

T h e p r o o f o f E s w a r a n a n d T a r j a n i s c o n s t r u c t i v e a n d g i v e s r i s e t o a l i n e a r - t i m e a l g o r i t h m .

A s w e m e n t i o n e d b e f o r e , t h e m i n i m u m c o s t v e r s i o n o f t h e p r o b l e m i s N P - c o m p l e t e . H o w e v e r , t h e m i n i m u m  

n o d e - c o s t a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s s o l v a b l e a s w i l l b e s h o w n i n a m o r e g e n e r a l c o n t e x t .

I n o r d e r t o g e n e r a l i z e t h e c a r d i n a l i t y c a s e o f t h e s t r o n g c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m , s u p p o s e t h a t a  

s u b s e t   T  o f n o d e s i s s p e c i e d i n a d i g r a p h   D  = (  V E  )  a n d o u r p u r p o s e i s t o a d d a m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s  

s o t h a t e v e r y e l e m e n t o f   T  b e r e a c h a b l e f r o m e v e r y o t h e r e l e m e n t o f   T  . I t i s n o t d i c u l t t o s e e F r a n k , 1 9 9 2 ] t h a t  

5 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 6/23

t h i s p r o b l e m i s N P - c o m p l e t e . W e w i l l s h o w , h o w e v e r , ( e v e n i n a m o r e g e n e r a l c o n t e x t ) t h a t t h i s p r o b l e m i s s o l v a b l e  

i n p o l y n o m i a l t i m e i f t h e n e w e d g e s a r e r e q u i r e d t o h a v e b o t h e n d - n o d e s i n   T 

L e t u s t u r n t o t h i s g e n e r a l c a s e w h e n w e r e q u i r e   k  - e d g e - c o n n e c t i v i t y f o r t h e a u g m e n t e d d i g r a p h , t h a t i s t h e  

d e m a n d f u n c t i o n   r  (  u v  )    k  . T h e d i r e c t e d   k  - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m w a s s o l v e d b y D . R . F u l k e r s o n  

a n d L . S . S h a p l e y 1 9 7 1 ] w h e n t h e s t a r t i n g d i g r a p h   D  = (  V ;  )  h a s n o e d g e s a t a l l , b y Y . K a j i t a n i a n d S . U e n o 1 9 8 6 ]

w h e n t h e s t a r t i n g d i g r a p h i s a d i r e c t e d t r e e a n d b y F r a n k 1 9 9 2 a ] f o r a n a r b i t r a r y s t a r t i n g d i g r a p h . T h e m a j o r i d e a  

t h a t l e d t o t h e s o l u t i o n t o t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m c a m e f r o m t h e r e c o g n i t i o n t h a t d e g r e e - p r e s c r i b e d a u g m e n t a t i o n  

p r o b l e m s s e r v e a s u s e f u l i n t e r m e d i a t e p r o b l e m s .

L e t  D  = (  V E  )  b e a d i g r a p h a n d   m 

o 

m 

i 

V  !  Z 

+ 

t w o i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n s s o t h a t   m 

o 

(  V  ) =  m 

i 

(  V  ) 

T H E O R E M 3 . 2   A d i r e c t e d g r a p h   D  = (  V E  )  c a n b e m a d e   k  - e d g e - c o n n e c t e d b y a d d i n g a s e t   F  o f n e w  

e d g e s s a t i s f y i n g  

% 

F 

(  v  ) =  m 

i 

(  v  )  a n d   

F 

(  v  ) =  m 

o 

(  v  ) ( 3  1 ) 

f o r e v e r y n o d e   v  2  V  i f a n d o n l y i f b o t h  

%  (  X  ) +  m 

i 

(  X  )    k  a n d    (  X  ) +  m 

o 

(  X  )    k  ( 3  2 ) 

h o l d f o r e v e r y   X    V 

N o t e t h a t   F  m a y c o n t a i n p a r a l l e l e d g e s o r e v e n l o o p s . I t i s a n i m p o r t a n t o p e n p r o b l e m t o n d c h a r a c t e r i z a t i o n s  

f o r t h e e x i s t e n c e o f a n   F  w i t h o u t l o o p s a n d p a r a l l e l e d g e s . T o g e t r i d o f t h e l o o p s i s a t l e a s t e a s y ( s e e , C o r o l l a r y 3 . 6 ) .

A c r u c i a l o b s e r v a t i o n i s t h a t T h e o r e m 3 . 2 i s n o t h i n g b u t a r e - f o r m u l a t i o n o f W . M a d e r ' s d i r e c t e d s p l i t t i n g o  

t h e o r e m :

T H E O R E M 3 . 3   M a d e r , 1 9 8 2 ] L e t  D  = (  V  +  s A  )  b e a d i r e c t e d g r a p h f o r w h i c h   %  (  s  ) =    (  s  )  a n d  (    ) 

  (  x y  )    k  f o r e v e r y   x y  2  V  . T h e n t h e e d g e s e n t e r i n g a n d l e a v i n g   s  c a n b e p a r t i t i o n e d i n t o   %  (  s  )  p a i r s s o  

t h a t s p l i t t i n g o a l l t h e s e p a i r s l e a v e s a   k  - e d g e - c o n n e c t e d d i g r a p h .

T o d e r i v e T h e o r e m 3 . 2 , e x t e n d   D  b y a n e w n o d e   s  a n d f o r e a c h   v  2  V  a d j o i n   m 

i 

(  v  )  ( r e s p e c t i v e l y , m 

o 

(  v  )  ) 

p a r a l l e l e d g e s f r o m   s  t o  v  ( f r o m   v  t o  s  ) . N o w b y ( 3 . 2 ) t h e h y p o t h e s e s o f T h e o r e m 3 . 3 a r e s a t i s e d a n d h e n c e w e c a n  

s p l i t o     p a i r s o f e d g e s t o o b t a i n a   k  - e d g e - c o n n e c t e d d i g r a p h . T h e r e s u l t i n g s e t o f     n e w e d g e s ( c o n n e c t i n g o r i g i n a l  

n o d e s ) s a t i s e s t h e r e q u i r e m e n t .

M a d e r s t a t e d h i s t h e o r e m i n t h e f o r m t h a t t h e r e i s a p a i r o f e d g e s , e n t e r i n g a n d l e a v i n g   s  , w h i c h i s s p l i t t a b l e  

i n t h e s e n s e t h a t t h e i r s p l i t t i n g o d o e s n o t d e s t r o y   (    )  . S i n c e   %  (  s  ) =    (  s  )  , b y r e p e a t e d a p p l i c a t i o n s o f t h i s o n e  

g e t s T h e o r e m 3 . 3 . A n e x a m p l e ( i n w h i c h   %  (  s  ) = 1    (  s  ) = 2  ) s h o w s t h a t t h e e x i s t e n c e o f a s p l i t t a b l e p a i r i s n o t  

n e c e s s a r i l y t r u e w i t h o u t t h e a s s u m p t i o n   %  (  s  ) =    (  s  )  . A s a s l i g h t g e n e r a l i z a t i o n o f M a d e r ' s t h e o r e m I c a n p r o v e t h a t  

t h e r e i s a s p l i t t a b l e p a i r i f   %  (  s  )      (  s  )  <  2  %  (  s  )  b u t I d o n o t k n o w a n y a p p l i c a t i o n o f t h i s r e s u l t .

I n F r a n k , 1 9 9 2 ] t h e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i z a t i o n w a s d e r i v e d f o r t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m .

T H E O R E M 3 . 4   A d i r e c t e d g r a p h   D  = (  V E  )  c a n b e m a d e   k  - e d g e - c o n n e c t e d b y a d d i n g a t m o s t     n e w 

e d g e s i f a n d o n l y i f  

X 

i 

(  k    %  (  X 

i 

) )      a n d 

X 

i 

(  k      (  X 

i 

) )      ( 3  3 ) 

h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n   f  X 

1 

; : : : ; X  

t 

g  o f  V 

T h i s w a s p r o v e d w i t h t h e h e l p o f T h e o r e m 3 . 2 . ( T h e p r o o f m e t h o d g i v e s r i s e t o a p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m  

w h i c h i s a c t u a l l y s t r o n g l y p o l y n o m i a l e v e n i n t h e c a p a c i t a t e d c a s e ) . H e r e w e p r o v e a n e x t e n s i o n o f T h e o r e m 3 . 2 a n d ,

u s i n g t h a t , d e r i v e a n e x t e n s i o n o f T h e o r e m 3 . 4 .

S i n c e ( 3 . 3 ) i s a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e f r a c t i o n a l a u g m e n t a t i o n , a s w e l l , w e c a n c o n c l u d e t h a t t h e i n t e g e r -  

v a l u e d o p t i m u m i s t h e s a m e a s t h e f r a c t i o n a l o p t i m u m .

L e t u s t u r n t o t h e g e n e r a l i z a t i o n o f T h e o r e m 3 . 2 a n d 3 . 4 .

6 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 7/23

T H E O R E M 3 . 5   L e t  T  b e a g r o u n d - s e t , p  a n o n - n e g a t i v e , i n t e g e r - v a l u e d s e t - f u n c t i o n o n   T  f o r w h i c h  

p  (  ;  ) =  p  (  T  ) = 0  a n d  p  (  X  ) +  p  (  Y  )    p  (  X  \  Y  ) +  p  (  X    Y  )  h o l d s w h e n e v e r   p  (  X  )  >  0  p  (  Y  )  >  0  X  \  Y  6=  ;  T   

(  X    Y  )  6=  ;  . L e t   m 

i 

m 

o 

b e t w o n o n - n e g a t i v e i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n s o n   T  f o r w h i c h   m 

i 

(  T  ) =  m 

o 

(  T  ) =   

T h e r e e x i s t s a d i g r a p h   H  = (  T F  )  f o r w h i c h  

% 

H 

(  X  )    p  (  X  )  f o r e v e r y   X    T  ( 3  4 ) 

a n d 

% 

H 

(  v  ) =  m 

i 

(  v  )  f o r e v e r y   v  2  T  ( 3  5  a  ) 

 

H 

(  v  ) =  m 

o 

(  v  )  f o r e v e r y   v  2  T  ( 3  5  b  ) 

i f a n d o n l y i f  

m 

i 

(  X  )    p  (  X  )  f o r e v e r y   X    T  ( 3  6  a  ) 

a n d 

m 

o 

(  T    X  )    p  (  X  )  f o r e v e r y   X    T  ( 3  6  b  ) 

P r o o f . T h e n e c e s s i t y o f ( 3 . 6 ) i s s t r a i g h t f o r w a r d . T o s e e t h e s u c i e n c y l e t   m  =  m 

i 

+  m 

o 

a n d c a l l a s e t   X 

i n - t i g h t   ( r e s p . , o u t - t i g h t )   i f ( 3 . 6 a ) ( r e s p . , ( 3 . 6 b ) ) i s s a t i s e d w i t h e q u a l i t y . W e n e e d 4 e a s y l e m m a t a .

L E M M A 1  I f  X Y  a r e t w o d i s j o i n t o u t - t i g h t s e t s , t h e n   m  (  T    (  X    Y  ) ) = 0  

P r o o f . W e h a v e   m 

i 

(  X  )    p  (  X  ) =  m 

o 

(  T    X  ) =      m 

o 

(  X  )  a n d  m 

i 

(  Y  )    p  (  Y  ) =  m 

o 

(  T    Y  ) =      m 

o 

(  Y  ) 

f r o m w h i c h   m 

i 

(  X  ) +  m 

i 

(  Y  )    2      m 

o 

(  X  )    m 

o 

(  Y  )  . T h e r e f o r e   m  (  X  ) +  m  (  Y  )    2    =  m  (  T  )  a n d h e n c e  

m  (  T    (  X    Y  ) ) = 0  , a s r e q u i r e d .  

L E M M A 2  I f  X Y  a r e t w o i n - t i g h t s e t s f o r w h i c h   T  =  X    Y  , t h e n   m  (  X  \  Y  ) = 0 

P r o o f  . W e h a v e   m 

o 

(  T    X  ) +  m 

o 

(  T    Y  )    p  (  X  ) +  p  (  Y  ) =  m 

i 

(  X  ) +  m 

i 

(  Y  ) = 2      m 

i 

(  T    X  )    m 

i 

(  T    Y  ) 

T h e r e f o r e   m  (  T    X  ) +  m  (  T    Y  )    2    a n d h e n c e   m  (  X  \  Y  ) = 0  , a s r e q u i r e d .  

L E M M A 3  I f  X  i s o u t - t i g h t , Y  i s i n - t i g h t a n d t h e s u p e r m o d u l a r i n e q u a l i t y h o l d s f o r   p  (  X  )  a n d  p  (  Y  )  ( f o r  

e x a m p l e , i f   X    Y  o r  Y    X  o r  X Y  a r e c r o s s i n g ) , t h e n   m  (  Y    X  ) = 0 

P r o o f . F r o m   m 

o 

(  T    X  ) =  p  (  X  )  a n d  m 

i 

(  Y  ) =  p  (  Y  )  w e h a v e   m 

o 

(  T    X  ) +  m 

i 

(  Y  ) =  p  (  X  ) +  p  (  Y  )   

p  (  X  \  Y  ) +  p  (  X    Y  )    m 

o 

(  T    (  X    Y  ) ) +  m 

i 

(  X  \  Y  ) =  m 

o 

(  T    X  )    m 

o 

(  Y    X  ) +  m 

i 

(  Y  )    m  (  Y    X  ) 

a n d h e n c e   0    m  (  Y    X  )    0  , a s r e q u i r e d .  

L E M M A 4  T h e i n t e r s e c t i o n a n d t h e u n i o n o f t w o c r o s s i n g i n - t i g h t ( r e s p e c t i v e l y , o u t - t i g h t ) s e t s   X Y  a r e 

i n - t i g h t ( r e s p . , o u t - t i g h t ) .

P r o o f . W e p r o v e t h e l e m m a o n l y w h e n   X Y  a r e i n - t i g h t . T h e n   m 

i 

(  X  ) +  m 

i 

(  Y  ) =  p  (  X  ) +  p  (  Y  )    p  (  X  \ 

Y  ) +  p  (  X    Y  )    m 

i 

(  X  \  Y  ) +  m 

i 

(  X    Y  ) =  m 

i 

(  X  ) +  m 

i 

(  Y  )  f r o m w h i c h e q u a l i t y h o l d s e v e r y w h e r e a n d t h e  

l e m m a f o l l o w s .  

T o p r o v e t h e t h e o r e m l e t   t  b e a n o d e f o r w h i c h   m 

i 

(  t  )  i s p o s i t i v e . I f t h e r e i s n o i n - t i g h t s e t c o n t a i n i n g   t  , d e n e  

Z 

i 

=  ;  . B y L e m m a 2 i f t h e r e a r e t w o i n - t i g h t s e t s c o n t a i n i n g   t  , t h e n t h e i r u n i o n   Z  i s n o t   T  , a n d t h e n , b y L e m m a  

4 Z  i s i n - t i g h t . T h e r e f o r e t h e u n i o n   Z 

i 

o f a l l i n - t i g h t s e t s c o n t a i n i n g   t  i s a l s o i n - t i g h t . I f t h e r e i s n o o u t - t i g h t s e t i n  

T    t  , d e n e   Z 

o 

=  T  . B y L e m m a 1 i f t h e r e a r e t w o o u t - t i g h t s e t s i n   T    t  , t h e n t h e i r i n t e r s e c t i o n i s n o n - e m p t y , a n d  

t h e n , b y L e m m a 4 , t h e i n t e r s e c t i o n   Z 

o 

o f a l l o u t - t i g h t s e t s i n   T    t  i s o u t - t i g h t .

7 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 8/23

I t f o l l o w s f r o m L e m m a 3 t h a t t h e s u p e r m o d u l a r i n e q u a l i t y d o e s n o t h o l d f o r   p  (  Z 

o 

)  a n d  p  (  Z 

i 

)  , t h e r e f o r e   Z 

o 

\  Z 

i 

= 

;  o r  Z 

o 

  Z 

i 

=  T  . W e c l a i m t h a t   m 

o 

(  Z 

o 

  Z 

i 

)  >  0  . F o r o t h e r w i s e , i f   Z 

o 

  Z 

i 

=  T  , t h e n   0 =  m 

o 

(  Z 

o 

  Z 

i 

) = 

m 

o 

(  T    Z 

i 

)    p  (  Z 

i 

) =  m 

i 

(  Z 

i 

)    0  H e n c e   Z 

i 

=  ;  a n d  m 

o 

(  T  ) = 0  , a c o n t r a d i c t i o n . I f   m 

o 

(  Z 

o 

  Z 

i 

) = 0  a n d 

Z 

o 

\  Z 

i 

=  ;  , t h e n   m 

i 

(  Z 

o 

)    p  (  Z 

o 

) =  m 

o 

(  T    Z 

o 

) =    a n d h e n c e   m 

i 

(  T    Z 

o 

) = 0  . B u t t h e n   Z 

o 

=  T Z 

i 

=  ;  a n d 

m 

o 

(  T  ) = 0  , a c o n t r a d i c t i o n .

C h o o s e a n e l e m e n t   s  n  Z 

o 

  Z 

i 

f o r w h i c h   m 

o 

(  s  )  >  0  . D e n e   p  (  X  ) =  p  (  X  )    1  f  X  s a  t   s  - s e t , p  (  X  )  >  0  a n d 

d e n e   p  (  X  ) =  p  (  X  )  o t h e r w i s e . C l e a r l y   p  s a t i s e s t h e h p o t h e s i s o f t h e t h e o r e m . L e t   m 

o 

(  s  ) =  m 

o 

(  s  )    1  m 

o 

(  v  ) = 

m 

o 

(  v  )  f  v  6=  s  . L e t   m 

i 

(  t  ) =  m 

i 

(  t  )    1  m 

i 

(  v  ) =  m 

i 

(  v  )  f  v  6=  t  . B e c a u s e t h e r e i s n o i n - t i g h t   t s  - s e t , ( 3 . 6 a ) h o l d s  

w i t h r e s p e c t t o   p  m 

i 

. S i m i l a r l y , t h e r e i s n o o u t - t i g h t s e t i n   T  f  s t  g  a n d t h e r e f o r e ( 3 . 6 b ) h o l d s w i t h r e s p e c t t o  

p  m 

o 

B y i n d u c t i o n , t h e r e i s a d i g r a p h   H  = (  T F  )  s a t i s f y i n g t h e r e q u i r e m e n t s o f t h e t h e o r e m w i t h r e s p e c t t o  

p  m 

i 

m 

o 

. B u t t h e n   H  = (  T F  +  s t  )  s a t i s e s t h e r e q u i r e m e n t s w i t h r e s p e c t t o   p m 

i 

m 

o 

 

R E M A R K   T h e p r o o f o f t h e t h e o r e m g i v e s r i s e t o a ( s t r o n g l y ) p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m t o n d t h e d e s i r e d d i g r a p h  

H  p r o v i d e d t h a t t h e f o l l o w i n g o r a c l e s a r e a v a i l a b l e f o r   p  . F o r a n y p a i r o f n o d e s   x y  a n d v e c t o r   m  V  !  Z 

+ 

, m i n i m i z e  

m  (  X  )    p  (  X  )  o v e r t h e s e t s   X  ( A ) c o n t a i n i n g b o t h   x  a n d  y  , ( B ) n e i t h e r   x  n o r  y 

C O R O L L A R Y 3 . 6   I n T h e o r e m 3 . 5   H  m a y b e c h o s e n l o o p l e s s i f a n d o n l y i f ( 3 . 6 ) h o l d s a n d  

m  (  v  ) =  m 

i 

(  v  ) +  m 

o 

(  v  )      f o r e v e r y   v  2  T  ( 3  7 ) 

P r o o f . I f t h e r e i s a l o o p l e s s   H  s a t i s f y i n g ( 3 . 5 ) , t h e n e v e r y e d g e e n t e r i n g   v  l e a v e s   T    v  a n d h e n c e   m 

i 

(  v  )   

m 

o 

(  T    v  )  , t h a t i s , m 

i 

(  v  ) +  m 

o 

(  v  )    m 

o 

(  T    v  ) +  m 

o 

(  v  ) =    a n d t h e n e c e s s i t y o f ( 3 . 7 ) f o l l o w s .

T o s e e t h e s u c i e n c y , l e t u s s t a r t w i t h a s o l u t i o n   H  = (  T F  )  p r o v i d e d b y T h e o r e m 3 . 5 a n d a s s u m e t h a t   H  h a s 

a m i n i m u m n u m b e r o f l o o p s . I f t h i s m i n i m u m i s z e r o , w e a r e d o n e . S u p p o s e t h a t a t a n o d e   v  t h e r e i s a l o o p   e  n  H 

I f t h e r e i s a n e d g e   f  =  x y  o f  H  w i t h e n d - n o d e s d i e r e n t f r o m   v  t h e n w e c a n r e p l a c e   e  a n d  f  b y  x v  a n d  v y  . T h e  

r e v i s e d d i g r a p h c l e a r l y s a t i s e s ( 3 . 4 ) a n d ( 3 . 5 ) a n d h a s o n e l e s s l o o p t h a n   H  , a c o n t r a d i c t i o n . T h e r e f o r e   v  i s o n e o f  

t w o e n d - n o d e s o f e a c h e d g e o f  H  . B u t t h e n   v  v i o l a t e s ( 3 . 7 ) .  

T H E O R E M 3 . 7   L e t  p  b e t h e s a m e a s i n T h e o r e m 3 . 5 . T h e r e e x i s t s a d i g r a p h   H  = (  T F  )  s a t i s f y i n g ( 3 . 4 )  

s o t h a t   H  h a s a t m o s t     e d g e s i f a n d o n l y i f  

X 

p  (  X 

i 

)      ( 3  7  a  ) 

a n d 

X 

p  (  T    X 

i 

)      ( 3  7  b  ) 

h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n   f  X 

1 

; : : : ; X  

t 

g  o f  T 

P r o o f . T h e n e c e s s i t y o f ( 3 . 7 ) i s s t r a i g h t f o r w a r d . W e p r o v e t h e s u c i e n c y w i t h t h e f o l l o w i n g i d e a . D e t e r m i n e  

r s t t w o f u n c t i o n s   m 

i 

a n d  m 

o 

s a t i s f y i n g ( 3 . 6 ) a n d a p p l y t h e n T h e o r e m 3 . 5 . T o t h i s e n d l e t   m 

i 

a n d  m 

o 

b e i n t e g e r -  

v a l u e d f u n c t i o n o n   T  s a t i s f y i n g ( 3 . 6 ) ( b u t n o t n e c e s s a r i l y   m 

o 

(  T  ) =  m 

i 

(  T  )  ) a n d a s s u m e t h a t   m 

i 

a n d  m 

o 

a r e m i n i m a l  

w i t h r e s p e c t t o t h i s ( 3 . 6 a ) a n d ( 3 . 6 b ) , r e s p e c t i v e l y . ( T h a t i s , ( 3 . 6 a ) , s a y , i s d e s t r o y e d i f w e r e d u c e   m 

i 

b y o n e o n a n y  

e l e m e n t   v  w h e r e   m 

i 

(  v  )  >  0  ) 

C L A I M   m 

i 

(  T  )      a n d  m 

o 

(  T  )     

P r o o f . B y s y m m e t r y w e m a y a s s u m e t h a t   m 

i 

(  T  )    m 

o 

(  T  )  . I n c r e a s e   m 

o 

s o t h a t   m 

o 

(  T  ) =  m 

i 

(  T  )  ( t h i s w a y  

w e m a y l o o s e t h e m i n i m a l i t y o f   m 

o 

b u t i t d o e s n o t m a t t e r ) . S i n c e   m 

i 

i s m i n i m a l , e v e r y e l e m e n t   v  2  T  f o r w h i c h  

m 

i 

(  v  )  >  0  b e l o n g s t o a n i n - t i g h t s e t . L e t   F  =  f  X 

1 

; : : : ; X  

t 

g  b e a f a m i l y o f i n - t i g h t s e t s s o t h a t e a c h   v  w i t h p o s i t i v e  

m 

i 

(  v  )  b e l o n g s t o a m e m b e r o f   F  a n d  F i s m i n i m u m . T h e r e a r e n o t w o c r o s s i n g m e m b e r s o f  F  s i n c e , b y L e m m a 4 ,

8 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 9/23

t h e i r u n i o n i s i n - t i g h t , c o n t r a d i c t i n g t h e m i n i m a l i t y o f   F  I f  F  h a v e t w o m e m b e r s   X Y  f o r w h i c h   T  =  X    Y  , t h e n b y  

L e m m a 2 , m  (  X  \  Y  ) = 0  . A p p l y i n g ( 3 . 7 b ) t o   f  T    X T    Y  g  w e h a v e   m 

i 

(  T  ) =  m 

i 

(  X  ) +  m 

i 

(  Y  ) =  p  (  X  ) +  p  (  Y  )     

F i n a l l y , i f   F  c o n s i s t s o f d i s j o i n t s u b s e t s , t h e n b y ( 3 . 7 a ) w e g e t   m  (  T  ) = 

P 

j 

m 

i 

(  X 

j 

) = 

P 

j 

p  (  X 

j 

)     

N o w t h e t h e o r e m d i r e c t l y f o l l o w s f r o m T h e o r e m 3 . 5    

T h e o r e m 3 . 7 i m p l i e s t h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z a t i o n o f T h e o r e m 3 . 4 . L e t   D  = (  V E  )  b e a d i r e c t e d g r a p h a n d   T  a 

s u b s e t o f n o d e s . W e s a y t h a t   D  s  k  - e d g e - c o n n e c t e d i n   T  f    (  u v  )    k  f o r e v e r y p a i r o f n o d e s   u v  2  T 

T H E O R E M 3 . 8   G i v e n a d i g r a p h   D  a n d a s u b s e t   T  o f n o d e s , i t i s p o s s i b l e t o m a k e   D k  - e d g e - c o n n e c t e d i n  

T  b y a d d i n g a t m o s t     n e w e d g e s c o n n e c t i n g e l e m e n t s o f   T  i f a n d o n l y i f  

X 

i 

(  k    %  (  X 

i 

) )      a n d 

X 

i 

(  k      (  X 

i 

) )      ( 3  8 ) 

h o l d s f o r e v e r y f a m i l y   F  =  f  X 

1 

; : : : ; X  

t 

g  o f s u b s e t s   V  f o r w h i c h   ;   X 

i 

\  T    T  a n d  F T  i s a s u b - p a r t i t i o n  

o f  T 

P r o o f . F o r e v e r y s u b s e t   X  o f  T  d e n e   p  (  X  ) : = m a x ( (  k    %  (  X    Z  ) ) 

+ 

Z    V    T  )  . T h i s   p  s a t i s e s t h e  

h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 3 . 5 a n d ( 3 . 7 ) t r a n s f o r m s t o ( 3 . 8 ) a n d h e n c e T h e o r e m 3 . 7 i m p l i e s T h e o r e m 3 . 8 .  

M o r e c a n b e s a i d i f   D  i s d i - E u l e r i a n o u t s i d e   T  , t h a t i s , %  (  v  ) =    (  v  )  f o r e v e r y   v  2  V    T 

C O R O L L A R Y 3 . 9   S u p p o s e t h a t   D  i s d i - E u l e r i a n o u t s i d e   T  . I t i s p o s s i b l e t o m a k e   D k  - e d g e - c o n n e c t e d i n  

T  b y a d d i n g a t m o s t     n e w e d g e s c o n n e c t i n g e l e m e n t s o f   T  i f a n d o n l y i f ( 3 . 8 ) h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n  

F  =  f  X 

1 

; : : : ; X  

t 

g  o f  V  f o r w h i c h   ;   X 

i 

\  T    T 

P r o o f . I f t h e c o n d i t i o n o f T h e o r e m 3 . 8 a r e s a t i s e d , w e a r e d o n e . S u p p o s e i n d i r e c t l y t h a t t h e r e i s a f a m i l y  

F  =  f  X 

1 

; : : : ; X  

t 

g  f o r w h i c h   F T  i s a s u b - p a r t i t i o n a n d   F  v i o l a t e s ( 3 . 8 ) . W e m a y a s s u m e t h a t  

P 

X 

i 

i s m i n i m u m .

S i n c e a s u b - p a r t i t i o n o f   V  s a t i s e s ( 3 . 8 ) , t h e r e a r e t w o m e m b e r s   X Y  o f  F  w h o s e i n t e r s e c t i o n i s n o n - e m p t y . B y t h e  

h y p o t h e s i s e v e r y n o d e i n   X  \  Y  i s d i - E u l e r i a n , t h e r e f o r e   %  (  X  ) +  %  (  Y  )    %  (  X    Y  ) +  %  (  Y    X  )  . R e p l a c i n g   X  a n d 

Y  b y  X    Y  a n d  Y    X  w e o b t a i n a f a m i l y   F  w h i c h a l s o v i o l a t e s ( 3 . 8 ) , c o n t r a d i c t i n g t h e m i n i m a l c h o i c e o f   F   

S i n c e t h e c o n d i t i o n i n C o r o l l a r y 3 . 9 i s n e c e s s a r y e v e n i f n e w e d g e s a r e a l l o w e d t o h a v e e n d - n o d e s n o t o n l y i n   T 

i t a l s o f o l l o w s t h a t t h e m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s w h o s e a d d i t i o n m a k e s a d i g r a p h   k  - e d g e - c o n n e c t e d i n   T  d o e s  

n o t d e p e n d i f w e m a y o n l y a d d e d g e s w i t h e n d - n o d e s i n   T  o r a r b i t r a r y n e w e d g e s a r e a l l o w e d , p r o v i d e d t h a t   D  s 

d i - E u l e r i a n o u t s i d e   T 

T h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z a t i o n o f C o r o l l a r y 3 . 9 i s d u e t o B a n g - J e n s e n , F r a n k , a n d J a c k s o n , 1 9 9 3 ] . L e t   D  = (  V E  ) 

b e a d i g r a p h a n d l e t   T  (  D  ) =  f  v  2  V  % 

D 

(  v  )  6=   

D 

(  v  )  g  b e t h e s e t o f n o n - d i - E u l e r i a n n o d e s . L e t   k  b e a p o s i t i v e  

i n t e g e r a n d   r  (  x y  )  (  x y  2  V  )  a n o n - n e g a t i v e i n t e g e r - v a l u e d d e m a n d f u n c t i o n s a t i s f y i n g  

r  (  x y  ) =  r  (  y x  )    k  f o r e v e r y   x y  2  V  a n d  ( 3  9  a  ) 

r  (  x y  )    k  f o r e v e r y   x y  2  T  (  D  )  ( 3  9  b  ) 

L e t  R  (  ;  ) =  R  (  V  ) = 0  a n d f o r   X    V  l e t  R  (  X  ) : = m a x (  r  (  x y  ) X  s e p a r a t e s   x  a n d  y  ) . L e t u s d e n e  

q 

i 

(  X  ) =  R  (  X  )    % 

D 

(  X  )  q 

o 

(  X  ) =  R  (  X  )     

D 

(  X  ) 

T H E O R E M 3 . 1 0   B a n g - J e n s e n , F r a n k a n d J a c k s o n , 1 9 9 4 ] G i v e n a d i g r a p h   D  = (  V E  )  p o s i t i v e i n t e g e r s   k 

  , a n d a d e m a n d f u n c t i o n   r  (  x y  )  s a t i s f y i n g ( 3 . 9 ) , D  c a n b e e x t e n d e d t o   D 

+ 

b y a d d i n g     n e w d i r e c t e d e d g e s  

s o t h a t  

  (  x y  D 

+ 

)    r  (  x y  )  f o r e v e r y   x y  2  V  ( 3  1 0 ) 

i f a n d o n l y i f b o t h  

X 

j 

q 

i 

(  X 

j 

)      ( 3  1 1  a  ) 

9 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 10/23

a n d 

X 

j 

q 

o 

(  X 

j 

)      ( 3  1 1  b  ) 

h o l d f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n   f  X 

1 

; : : : ; X  

t 

g  o f  V   

C O R O L L A R Y 3 . 1 1   G i v e n a n E u l e r i a n d i g r a p h   D  = (  V E  )  a n d a s y m m e t r i c d e m a n d f u n c t i o n   r  (  x y  )  D 

c a n b e e x t e n d e d t o a n E u l e r i a n d i g r a p h   D 

+ 

b y a d d i n g     n e w e d g e s s o t h a t ( 3 . 1 0 ) h o l d s i f a n d o n l y i f ( 3 . 1 1 )  

i s s a t i s e d .  

O u r n e x t p r o b l e m i s t o n d a k - e d g e - c o n n e c t e d a u g m e n t a t i o n o f m i n i m u m c a r d i n a l i t y i f u p p e r a n d l o w e r b o u n d  

a r e i m p o s e d b o t h o n t h e i n - d e g r e e s a n d o n t h e o u t - d e g r e e s o f t h e d i g r a p h o f n e w l y a d d e d e d g e s . L e t   f 

i 

  g 

i 

a n d 

f 

o 

  g 

o 

b e f o u r n o n - n e g a t i v e i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n s o n   V  ( i n n i t e v a l u e s a r e a l l o w e d f o r   g 

i 

a n d  g 

o 

) . T h e f o l l o w i n g  

t w o r e s u l t s a p p e a r e d i n F r a n k , 1 9 9 2 ] .

T H E O R E M 3 . 1 2   G i v e n a d i r e c t e d g r a p h   D  = (  V E  )  a n d a p o s i t i v e i n t e g e r   k  D  c a n b e m a d e   k  - e d g e -  

c o n n e c t e d b y a d d i n g a s e t   F  o f p r e c i s e l y     n e w e d g e s s o t h a t b o t h  

f 

i 

(  v  )    % 

F 

(  v  )    g 

i 

(  v  ) ( 3  1 2  a  ) 

a n d 

f 

o 

(  v  )     

F 

(  v  )    g 

o 

(  v  ) ( 3  1 2  b  ) 

h o l d f o r e v e r y n o d e   v  o f  D  i f a n d o n l y i f b o t h  

k    %  (  X  )    g 

i 

(  X  ) ( 3  1 3  a  ) 

a n d 

k      (  X  )    g 

o 

(  X  ) ( 3  1 3  b  ) 

h o l d f o r e v e r y s u b s e t   ;   X    V  a n d b o t h  

X 

j 

(  k    %  (  X 

j 

) j  = 1  ; : : : ; t  ) +  f 

i 

(  X 

0 

)      ( 3  1 4  a  ) 

a n d 

X 

j 

(  k      (  X 

j 

) j  = 1  ; : : : ; t  ) +  f 

o 

(  X 

0 

)      ( 3  1 4  b  ) 

h o l d f o r e v e r y p a r t i t i o n   f  X 

0 

X 

1 

X 

2 

; : : : ; X  

t 

g  o f  V  w h e r e o n l y   X 

0 

m a y b e e m p t y .

O n e m a y b e i n t e r e s t e d i n d e g r e e - c o n s t r a i n e d a u g m e n t a t i o n s w h e n t h e r e i s n o r e q u i r e m e n t f o r t h e n u m b e r o f n e w  

e d g e s .

T H E O R E M 3 . 1 3   G i v e n a d i r e c t e d g r a p h   D  = (  V E  )  a n d a p o s i t i v e i n t e g e r   k  D  c a n b e m a d e   k  - e d g e -  

c o n n e c t e d b y a d d i n g a s e t   F  o f n e w e d g e s s a t i s f y i n g ( 3 . 1 2 ) i f a n d o n l y i f ( 3 . 1 3 ) h o l d s a n d a n d  

X 

j 

(  k    %  (  X 

j 

) j  = 1  ; : : : ; t  ) +  f 

i 

(  X 

0 

)      ( 3  1 5  a  ) 

a n d 

X 

j 

(  k      (  X 

j 

) j  = 1  ; : : : ; t  ) +  f 

o 

(  X 

0 

)      ( 3  1 5  b  ) 

h o l d f o r e v e r y p a r t i t i o n   f  X 

0 

X 

1 

X 

2 

; : : : ; X  

t 

g  o f  V  w h e r e o n l y   X 

0 

m a y b e e m p t y a n d     : = m i n (  g 

o 

(  V  )  g 

i 

(  V  ) ) 

1 0 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 11/23

W e c l o s e t h i s s e c t i o n b y a n o t h e r g e n e r a l i z a t i o n o f T h e o r e m 3 . 8 . L e t   D  = (  V A  )  b e a d i g r a p h w i t h t w o s p e c i e d  

n o n - e m p t y s u b s e t s   S T  o f n o d e s ( w h i c h m a y o r m a y n o t b e d i s j o i n t ) . W e s a y t h a t   D  s  k  - e d g e - c o n n e c t e d f r o m  

S  t o  T  i f t h e r e a r e   k  e d g e - d i s j o i n t p a t h s f r o m e v e r y n o d e o f   S  t o e v e r y n o d e o f   T  . ( W h e n   S  =  T  w e a r e b a c k a t  

k  - e d g e - c o n n e c t i v i t y i n   T  . ) W e s a y t h a t a f a m i l y o f s u b s e t s o f n o d e s i s   (  S T  )  - i n d e p e n d e n t   i f i t c o n t a i n s a t m o s t  

o n e  t   s  - s e t f o r e v e r y p a i r   s  2  S t  2  T 

T H E O R E M 3 . 1 4   A d i g r a p h   D  = (  V E  )  c a n b e m a d e   k  - e d g e - c o n n e c t e d f r o m   S  t o  T  b y a d d i n g a t m o s t    

n e w e d g e s w i t h t a i l s i n   S  a n d h e a d s i n   T  i f a n d o n l y i f  

X 

j 

(  k    %  (  X 

j 

) )      ( 3  1 6 ) 

h o l d s f o r e v e r y c h o i c e o f   (  S T  )  - i n d e p e n d e n t f a m i l y o f s u b s e t s   X 

j 

  V  w h e r e   T  \  X 

j 

6=  ;  S    X 

j 

6=  ;  f o r 

e a c h   X 

j 

I n a l l o t h e r t h e o r e m s i n t h i s s e c t i o n ( e x c e p t t h e L u c c h e s i - Y o u n g e r t h e o r e m ) s u b - p a r t i t i o n s p l a y e d t h e m a i n r o l e  

i n t h e c h a r a c t e r i z a t i o n i n q u e s t i o n . I n T h e o r e m 3 . 1 4 t h e c h a r a c t e r i z a t i o n i s m o r e c o m p l i c a t e d . I n f a c t , i t s p r o o f  

g o e s a l o n g a l i n e c o m p l e t e l y d i e r e n t f r o m t h e a p p r o a c h a p p l i e d f o r p r o v i n g t h e p r e v i o u s t h e o r e m s . T h e t h e o r e m i s  

a c o n s e q u e n c e o f a g e n e r a l r e s u l t o f F r a n k a n d J o r d  a n , 1 9 9 5 ] o n c r o s s i n g b i - s u p e r m o d u l a r f u n c t i o n s , w h i c h a m o n g  

o t h e r s , g i v e s r i s e t o a s o l u t i o n t o t h e n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m o f d i r e c t e d g r a p h s . T h i s i s t h e t o p i c  

o f t h e n e x t s e c t i o n .

4 . N O D E - C O N N E C T I V I T Y A U G M E N T A T I O N O F D I G R A P H S  

G i v e n a d i r e c t e d g r a p h   D  = (  V E  )  , h o w m a n y n e w e d g e s h a v e t o b e a d d e d t o   D  t o m a k e i t   k  - n o d e - c o n n e c t e d ,

i n s h o r t , k  - c o n n e c t e d . R e c a l l t h a t a d i g r a p h i s c a l l e d   k  - c o n n e c t e d i f i t r e m a i n s s t r o n g l y c o n n e c t e d a f t e r d e l e t i n g a t  

m o s t   k    1  n o d e s . T h a t i s , k  - c o n n e c t i v i t y i s d e n e d o n l y i f   k    n    1  I f  k  =  n    1  , t h e n i n a   k  - c o n n e c t e d d i g r a p h  

x y  i s a n e d g e f o r e v e r y o r d e r e d p a i r   f  x y  g  o f n o d e s . T h i s c a s e i s u n i n t e r e s t i n g s o w e w i l l a s s u m e t h a t   k    n    2 

A l s o , w h e n   k  = 1  , e d g e - c o n n e c t i v i t y a n d n o d e - c o n n e c t i v i t y c o i n c i d e ( : s t r o n g c o n n e c t i v i t y ) s o w e w i l l a s s u m e t h a t  

k    2 

I n S e c t i o n 2 w e i n d i c a t e d t h a t a r e l a t e d a u g m e n t a t i o n p r o b l e m , w h e n t h e g o a l i s t o r e a c h   k  - c o n n e c t i v i t y f r o m a  

s p e c i e d n o d e , c o u l d b e s o l v e d F r a n k a n d T a r d o s , 1 9 8 9 ] , i n c l u d i n g t h e m i n i m u m c o s t v e r s i o n . T h e g e n e r a l m i n i m u m  

c o s t   k  - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s N P - c o m p l e t e s o w e c o n c e n t r a t e o n l y o n t h e m i n i m u m c a r d i n a l i t y c a s e .

M a s u z a w a , H a g i h a r a a n d T o k u r a 1 9 8 7 ] s o l v e d i t w h e n t h e s t a r t i n g d i g r a p h i s a n a r b o r e s c e n c e ( a d i r e c t e d t r e e s o  

t h a t e v e r y n o d e i s r e a c h a b l e f r o m a s o u r c e - n o d e ) . T h e i r r e s u l t e a s i l y e x t e n d s t o b r a n c h i n g s :

T H E O R E M 4 . 1   M a s u z a w a e t a l . , 1 9 8 7 ] , T h e m i n i m u m n u m b e r o f e d g e s w h o s e a d d i t i o n m a k e s a b r a n c h i n g  

D  = (  V E  )  k  - c o n n e c t e d i s   ( 

P 

(  k      (  v  ) ) 

+ 

v  2  V  )  , t h a t i s , t h e s u m o f o u t - d e c i e n c i e s o f t h e n o d e s .  

F o r m o r e g e n e r a l d i g r a p h s s t r o n g e r l o w e r b o u n d s a r e r e q u i r e d . O n e n a t u r a l i d e a i s t o m i m i c t h e a p p r o a c h a p p l i e d  

s u c c e s s f u l l y i n T h e o r e m 3 . 4 . F o r a s u b s e t   X  o f n o d e s ( w i t h   V    X    k  + 1  ) l e t   I  (  X  )  ( r e s p e c t i v e l y , O  (  X  )  ) d e n o t e  

t h e s e t o f n o d e s i n   V    X  f r o m w h i c h t h e r e i s a n e d g e t o   X  ( i n t o w h i c h t h e r e i s a n e d g e f r o m   X  ) . I n a   k  - c o n n e c t e d  

d i g r a p h t h e c a r d i n a l i t y o f   I  (  X  )  a n d  O  (  X  )  m u s t b e a t l e a s t   k  . T h e r e f o r e , i f t h e d i g r a p h i s n o t   k  - c o n n e c t e d , w e m a y  

c a l l t h e q u a n t i t y   Q 

I 

(  X  ) : = (  k  I  (  X  )  ) 

+ 

t h e  i n - d e c i e n c y   a n d  Q 

O 

(  X  ) : = (  k  O  (  X  )  ) 

+ 

t h e  o u t - d e c i e n c y  

o f s e t   X  . C l e a r l y , i f t h e r e i s a f a m i l y o f d i s j o i n t s e t s ( e a c h h a v i n g c a r d i n a l i t y a t m o s t   V    1    k  )  ) , t h e n t h e s u m o f t h e  

i n - d e c i e n c i e s a n d t h e s u m o f o u t - d e c i e n c i e s a r e b o t h l o w e r b o u n d s f o r t h e n e c e s s a r y n u m b e r o f n e w e d g e s . T h e o r e m  

3 . 4 a s s e r t e d t h a t t h e m a x i m u m o f t h e a n a l o g o u s l o w e r b o u n d s i n t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o v i d e s t h e  

c o r r e c t m i n i m u m f o r t h e n u m b e r o f n e w e d g e s . U n f o r t u n a t e l y , t h i s i s n o t t h e c a s e f o r n o d e - c o n n e c t i v i t y e v e n i f t h e  

s t a r t i n g d i g r a p h i s   k    1  c o n n e c t e d . A n e x a m p l e i n J o r d  a n , 1 9 9 5 ] s h o w s t h a t t h e m i n i m u m o f t h e r e q u i r e d n e w  

e d g e s m a y b e   k    1  l a r g e r t h a n t h e m a x i m u m s u m o f o u t - o r i n - d e c i e n c i e s o f a s u b - p a r t i t i o n . ( O n t h e o t h e r h a n d ,

i n a r e c e n t p a p e r F r a n k a n d J o r d  a n , 1 9 9 5 b ] w e c a n d e r i v e f r o m t h e g e n e r a l m i n - m a x t h e o r e m b e l o w t h a t t h i s g a p  

a c t u a l l y c a n n e v e r g e t b i g g e r t h a n   k    1  ) 

1 1 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 12/23

T h e o r e m 2 . 1 h o w e v e r s u g g e s t s t h a t , i n s t e a d o f s i n g l e s e t s , i t m i g h t b e h e l p f u l t o c o n s i d e r p a i r s o f d i s j o i n t s e t s .

L e t u s c a l l a n o r d e r e d p a i r   (  A B  )  o f n o n - e m p t y d i s j o i n t s u b s e t s o f n o d e s   o n e - w a y   i f t h e r e i s n o e d g e i n   D  f r o m  

A  t o  B  . T h e d e c i e n c y   p 

d e f 

(  A B  )  o f a o n e - w a y p a i r i s d e n e d b y   (  k    (  V    (  A    B  )  ) ) 

+ 

. C l e a r l y i n a   k  - 

c o n n e c t e d a u g m e n t a t i o n o f   D  a t l e a s t t h a t m a n y e d g e s f r o m   A  t o  B  m u s t b e a d d e d t o   D  . F i n a l l y , c a l l t w o p a i r s  

(  A 

i 

B 

i 

) (  i  = 1  2 )  i n d e p e n d e n t   a t l e a s t o n e o f   A 

1 

\  A 

2 

a n d  B 

1 

\  B 

2 

i s e m p t y .

T H E O R E M 4 . 2   F r a n k a n d J o r d  a n , 1 9 9 5 ] A d i g r a p h   D  = (  V E  )  c a n b e m a d e   k  n o d e - c o n n e c t e d b y a d d i n g  

a t m o s t     n e w e d g e s i f a n d o n l y i f  

X 

(  p 

d e f 

(  X Y  ) (  X Y  )  2 F  )      ( 4  1 ) 

h o l d s f o r e v e r y f a m i l y   F  o f p a i r w i s e i n d e p e n d e n t o n e - w a y p a i r s .

S i n c e t h i s i s a c h a r a c t e r i z a t i o n f o r a g e n e r a l s t a r t i n g d i g r a p h , o n e m a y e x p e c t t h a t T h e o r e m 4 . 1 , w h e r e t h e  

s t a r t i n g d i g r a p h i s a b r a n c h i n g , c a n b e d e r i v e d f r o m i t . S o f a r w e w e r e n o t a b l e t o d o t h a t . T h e f o l l o w i n g c o n j e c t u r e ,

i f t r u e , i s a g e n e r a l i z a t i o n o f T h e o r e m 4 . 2 .

C O N J E C T U R E   I f  D  i s a s i m p l e a c y c l i c d i g r a p h , t h e n t h e m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s w h o s e a d d i t i o n  

m a k e s   D k  - c o n n e c t e d i s e q u a l t o t h e m a x i m u m o f t h e s u m o f o u t - d e c i e n c i e s a n d t h e s u m o f i n - d e c i e n c i e s  

o f n o d e s .

N o t e t h a t M . B u s s i e c k 1 9 9 2 ] p o i n t e d o u t t h a t t h e t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e m e n t f o r e d g e - c o n n e c t i v i t y e a s i l y  

f o l l o w s f r o m T h e o r e m 3 . 4 .

A c t u a l l y , T h e o r e m 4 . 2 i s a s p e c i a l c a s e o f a m o r e g e n e r a l r e s u l t . L e t   V  b e a g r o u n d - s e t a n d   S T  t w o ( n o n -  

n e c e s s a r i l y d i s j o i n t ) s u b s e t s o f   V  . L e t   A  d e n o t e t h e s e t o f a l l d i r e c t e d e d g e s   s t  f o r w h i c h   s  2  S t  2  T 

L e t  A  d e n o t e t h e s e t o f a l l o r d e r e d p a i r s   (  X Y  )  w i t h   X    S Y    T  . W e c a l l  X  a n d  Y  t h e  t a i l   a n d t h e   h e a d  

o f t h e p a i r , r e s p e c t i v e l y . A d i r e c t e d e d g e   x y  c o v e r s   a p a i r   (  X Y  )  2 F  f  x  2  X y  2  Y  . W e s a y t h a t a s u b - f a m i l y  

F  o f  A  s  i n d e p e n d e n t   i f e v e r y e d g e o f   A  c o v e r s a t m o s t o n e m e m b e r o f   F  . T h i s i s e q u i v a l e n t t o r e q u i r i n g t h a t  

t h e r e a r e n o t w o m e m b e r s   (  X 

i 

Y 

i 

) (  i  = 1  2 )  o f  F  f o r w h i c h   X 

1 

\  X 

2 

6=  ;  a n d  Y 

1 

\  Y 

2 

6=  ; 

L e t  p  b e a n o n - n e g a t i v e , i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n d e n e d o n   A  f o r w h i c h   p  (  X ;  ) =  p  (  ;  Y  ) = 0  . W e s a y t h a t   p 

s  c r o s s i n g b i - s u p e r m o d u l a r   f 

p  (  X Y  ) +  p  (  X  Y  )    p  (  X  \  X  Y    Y  ) +  p  (  X    X  Y  \  Y  ) ( 4  2 ) 

h o l d s w h e n e v e r   p  (  X Y  )  p  (  X  Y  )  >  0  X  \  X  Y  \  Y  6=  ; 

F o r a n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n   x  d e n e d o n   A  , d e n e    

x 

(  X Y  ) = 

P 

(  x  (  s t  ) s  2  X t  2  Y  )  . W e s a y t h a t   x 

c o v e r s   p  o r t h a t   x  s a  c o v e r i n g   o f  p  f   

x 

  p T h e m a i n r e s u l t i n F r a n k a n d J o r d  a n , 1 9 9 5 ] i s :

T H E O R E M 4 . 3   F o r a n i n t e g e r - v a l u e d c r o s s i n g b i - s u p e r m o d u l a r f u n c t i o n   p  t h e f o l l o w i n g m i n - m a x e q u a l i t y  

h o l d s .  

p 

: = m i n (  z  (  A  ) z  a n i n t e g e r - v a l u e d c o v e r i n g o f   p  ) =   

p 

: = m a x (  p  (  F  ) :  F A  F  i n d e p e n d e n t ) .

T h e o r e m 4 . 2 a s w e l l a s T h e o r e m s 3 . 4 a n d 3 . 7 a r e s p e c i a l c a s e s o f t h i s r e s u l t a n d T h e o r e m 3 . 5 c a n a l s o e a s i l y  

b e d e r i v e d f r o m i t . ( I n F r a n k a n d J o r d  a n , 1 9 9 5 ] a d i c u l t m i n - m a x t h e o r e m o n i n t e r v a l s o f E . G y }  o r i w a s a l s o  

s h o w n t o b e a c o n s e q u e n c e b u t t h i s h a s n o t h i n g t o d o w i t h c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n ) . H a v i n g s o m a n y c o r o l l a r i e s ,

i t i s i n d e e d s u r p r i s i n g t h a t t h e p r o o f o f T h e o r e m 4 . 3 i s s h o r t a n d i s r a t h e r s t a n d a r d ( d e m o n s t r a t i n g n i c e l y t h a t  

n d i n g t h e r i g h t n o t i o n s a n d f o r m u l a t i o n o f r e s u l t s m i g h t s u b s u m e s o p h i s t i c a t e d p r o o f s ) . T h i s p r o o f i s , h o w e v e r ,

n o t c o n s t r u c t i v e ! T h o u g h t h e t h e o r e m m a y b e u s e d t o d e v e l o p a p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m f o r n d i n g a m i n i m u m  

k  - c o n n e c t e d a u g m e n t a t i o n o f a d i g r a p h , t h e a l g o r i t h m i s b a s e d o n t h e e l l i p s o i d m e t h o d . D e s i g n i n g a c o m b i n a t o r i a l  

a l g o r i t h m f o r t h i s t a s k i s o n e o f t h e m o s t c h a l l e n g i n g a l g o r i t h m i c a l p r o b l e m o f t h e a r e a . W e d o n o t k n o w s u c h a n  

a l g o r i t h m e v e n i f   D  s  (  k    1 )  - c o n n e c t e d , t h a t i s , t h e g o a l i s t o i n c r e a s e t h e c o n n e c t i v i t y o f   D  o n l y b y 1 . ( F o r   k  = 1 

E s w a r a n a n d T a r j a n h a v e s u c h a n a l g o r i t h m . I n a r e c e n t p a p e r w e d e v e l o p e d a n a l g o r i t h m f o r   k  = 2  F r a n k a n d  

J o r d  a n , 1 9 9 5 b ]

I n t h e s a m e p a p e r w e w e r e a b l e t o s h o w t h a t i n T h e o r e m 4 . 2 , i f   D  s  (  k    1 )  - c o n n e c t e d , t h e n t h e o p t i m a l d i g r a p h  

o f n e w e d g e s m a y b e c h o s e n t o c o n s i s t s o f d i s j o i n t d i r e c t e d p a t h s a n d c i r c u i t s . T h i s i m p l i e s  

1 2 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 13/23

T H E O R E M 4 . 4   L e t  D  b e a  k  - c o n n e c t e d d i g r a p h f o r w h i c h t h e i n - d e g r e e a n d o u t - d e g r e e o f e v e r y n o d e i s   k 

T h e n i t i s p o s s i b l e t o a d d d i s j o i n t d i r e c t e d c i r c u i t s t o   D  s o t h a t t h e r e s u l t i n g d i g r a p h   D 

+ 

i s  (  k  + 1 )  - c o n n e c t e d .

N o t e t h a t i t i s n o t a l w a y s p o s s i b l e t o i n c r e a s e t h e c o n n e c t i v i t y o f a d i g r a p h b y a d d i n g a d i r e c t e d H a m i l t o n i a n  

c i r c u i t . ( T a k e a d i g r a p h a r i s i n g f r o m   K 

3  3 

b y r e p l a c i n g e a c h e d g e b y t w o o p p o s i t e l y d i r e c t e d e d g e s . )  

5 . E D G E - C O N N E C T I V I T Y A U G M E N T A T I O N W I T H U N D I R E C T E D E D G E S  

T h e p u r p o s e o f t h e p r e s e n t c h a p t e r i s t o r e v i e w r e s u l t s c o n c e r n i n g e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n w h e n o n l y  

u n d i r e c t e d e d g e s a r e a l l o w e d t o b e a d d e d . T y p i c a l l y t h e s t a r t i n g g r a p h   G  = (  V E  )  i s a l s o u n d i r e c t e d b u t m a n y  

r e s u l t s e x t e n d s t o m i x e d s t a r t i n g g r a p h s a s w e l l .

L e t  r  (  x y  )  b e a s y m m e t r i c , n o n - n e g a t i v e , i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n d e n e d o n t h e p a i r s o f n o d e s . A d d a m i n i m u m  

n u m b e r o f n e w e d g e s t o   G  s o t h a t     (  x y  G 

+ 

)    r  (  x y  )  h o l d s f o r e v e r y p a i r o f n o d e s   x y  o f t h e a u g m e n t e d g r a p h  

G 

+ 

T h e r s t r e s u l t s c o n c e r n e d t h e s p e c i a l c a s e w h e n t h e s t a r t i n g g r a p h h a s n o e d g e s . F o r t h e f r a c t i o n a l v e r s i o n  

o f t h i s c a s e R . E . G o m o r y a n d T . C . H u 1 9 6 1 ] p r o v i d e d a n e l e g a n t s o l u t i o n a n d p r o v e d t h a t t h e o p t i m a l ( f r a c t i o n a l )  

a u g m e n t a t i o n c a n b e r e a l i z e d b y h a l f - i n t e g e r s . W . C h o u a n d H . F r a n k 1 9 7 0 ] s o l v e d t h e i n t e g e r - v a l u e d v e r s i o n . I n  

a n o t h e r p a p e r H . F r a n k a n d W . C h o u 1 9 7 0 ] s o l v e d t h e r e s t r i c t e d p r o b l e m w h e n n o p a r a l l e l e d g e s a r e a l l o w e d t o b e  

u s e d . J . E d m o n d s 1 9 6 4 ] p r o v e d t h a t i f t h e r e e x i s t s a s i m p l e g r a p h w i t h a s p e c i e d d e g r e e s e q u e n c e a n d e a c h d e g r e e  

i s a t l e a s t   k  , t h e n t h e r e i s a   k  - e d g e - c o n n e c t e d s i m p l e g r a p h w i t h t h e g i v e n d e g r e e s e q u e n c e .

T h e r s t p a p e r s c o n c e r n i n g g e n e r a l s t a r t i n g g r a p h s a p p e a r e d i n 1 9 7 6 . K . E s w a r a n a n d R . E . T a r j a n a n d J .

P l e s n i k s o l v e d t h e 2 - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m . E s w a r a n a n d T a r j a n a l s o p r o v i d e d a l i n e a r t i m e  

a l g o r i t h m w h i l e P l e s n i k ' s p a p e r i s t h e r s t w h e r e t h e i d e a o f s p l i t t i n g o t e c h n i q u e a p p e a r s . I n a t i n y n o t e a t t h e e n d  

o f h i s p a p e r , P l e s n i k r e m a r k s t h a t t h e 2 - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n t h e o r e m a l s o f o l l o w s f r o m a ( t h e n r e c e n t )  

t h e o r e m o f L o v  a s z o n s p l i t t i n g o e d g e s . I t t u r n e d o u t t h a t t h i s a p p r o a c h h a s f a r r e a c h i n g c o n s e q u e n c e s . T h e g e n e r a l  

k  - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m w a s s o l v e d b y T . W a t a n a b e a n d A . N a k a m u r a 1 9 8 7 ] . I n t h e i r s o l u t i o n  

t h e r e i s n o r e s t r i c t i o n o n t h e n u m b e r o f c o p i e s a n e w e d g e m a y b e a d d e d . I t i s a n i m p o r t a n t o p e n p r o b l e m t o n d  

a l g o r i t h m s t h a t d o e s n o t a d d p a r a l l e l e d g e s . V e r y r e c e n t l y t h i s t a s k w a s s o l v e d f o r t h e s p e c i a l c a s e s   k    5  b y T a o k a ,

T a k a f u j i a n d W a t a n a b e 1 9 9 4 ] .

T h e f u n d a m e n t a l m i n - m a x t h e o r e m o f W a t a n a b e a n d N a k a m u r a a s f o l l o w s .

T H E O R E M 5 . 1   T h e m i n i m u m n u m b e r o f e d g e s w h o s e a d d i t i o n m a k e s a n u n d i r e c t e d g r a p h   G  = (  V E  ) 

k  - e d g e - c o n n e c t e d   (  k    2 )  i s e q u a l t o  

m a x  d  ( 

X 

i 

(  k    d  (  X 

i 

) ) )  =  2  e  ( 5  1 ) 

w h e r e t h e m a x i m u m i s t a k e n o v e r a l l s u b - p a r t i t i o n s   f  X 

1 

; : : : ; X  

t 

g  o f  V 

T h e p r o o f o f W a t a n a b e a n d N a k a m u r a i s b a s e d o n t h e r e c o g n i t i o n t h a t t h e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s f o r d i e r e n t  

k  ' s a r e s t r o n g l y r e l a t e d . T h e y p r o v e v a r i o u s e x c i t i n g s t r u c t u r a l p r o p e r t i e s o f e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n s . B e l o w  

w e c i t e t w o o f t h e m . T h e s e a r e n o t o n l y t h e b a s i s o f t h e i r a u g m e n t a t i o n a l g o r i t h m b u t s e r v e a s a f r a m e w o r k f o r  

s u b s e q u e n t i m p r o v e d a l g o r i t h m s , a s w e l l ( G u s e l d , N a o r a n d M a r t e l , 1 9 9 0 ] , G a b o w , 1 9 9 1 ] , B e n c z  u r , 1 9 9 4 ] ) .

L e t u s r s t s t u d y h o w a n o p t i m a l s u b - p a r t i t i o n f o r ( 5 . 1 ) m a y b e f o u n d . I t i s a n e a s y o b s e r v a t i o n t h a t f o r a n y  

x e d i n t e g e r   l  t h e r e l a t i o n   "    (  x y  )    l  "  o n t h e n o d e - s e t o f a g r a p h   G  = (  V E  )  i s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n s h i p .

A n e q u i v a l e n c e c l a s s m a y b e c a l l e d a n   e d g e - c o n n e c t i v i t y c o m p o n e n t   ( i n s h o r t , e c - c o m p o n e n t   ) o r a n   l  - 

c o m p o n e n t .   ( T h a t i s , a n   l  - c o m p o n e n t i s a m a x i m a l s u b s e t o f n o d e s f o r w h i c h     (  x y  )    l ) F r o m t h e d e n i t i o n i t i s  

s t r a i g h t f o r w a r d t h a t t h e f a m i l y   F 

e c 

o f a l l e c - c o m p o n e n t s i s a l a m i n a r f a m i l y ( a n d h e n c e i t h a s a t m o s t   2  n  m e m b e r s ) .

F o r  l  = 0  t h e n o d e - s e t   V  i s a n e c - c o m p o n e n t a n d f o r   l  =  E  + 1  e a c h s i n g l e n o d e i s a e c - c o m p o n e n t .

1 3 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 14/23

C a l l a s u b s e t   X    V  e x t r e m e   f  d  (  X  )  > d  (  X  )  h o l d s f o r e v e r y p r o p e r , n o n - e m p t y s u b s e t   X  o f  X  . I f w e  

c h o o s e a n o p t i m a l s u b - p a r t i t i o n i n ( 5 . 1 ) s o t h a t t h e u n i o n o f i t s m e m b e r s h a s m i n i m u m c a r d i n a l i t y , t h e n t h e s u b -  

p a r t i t i o n c o n s i s t s o f e x t r e m e s e t s . I n o t h e r w o r d s i t s u c e s t o r e s t r i c t ( 5 . 1 ) o n s u b - p a r t i t i o n s c o n s i s t i n g o f e x t r e m e  

s e t s . T h e f o l l o w i n g l e m m a i s b a s i c t o e x p l o r e t h e s t r u c t u r e o f e x t r e m e s e t s .

L E M M A 5 . 2   E a c h e x t r e m e s e t i s a n e d g e - c o n n e c t i v i t y c o m p o n e n t .

P r o o f . L e t  C  b e a n e x t r e m e s e t a n d l e t   l  : = m i n (    (  x y  ) x y  2  C  )  . S i n c e   V  a n d e a c h s i n g l e t o n i s a n e c -  

c o m p o n e n t , w e m a y a s s u m e t h a t   1  <  C  <  V  . W e h a v e t o s h o w t h a t     (  x y  )  < l  f o r a n y p a i r   x  2  C y  2  V    C 

T h i s i s c l e a r l y t h e c a s e i f   d  (  C  )  < l  s o s u p p o s e t h a t   d  (  C  )    l  . B y M e n g e r ' s t h e o r e m t h e r e i s a s e t   M  f o r w h i c h  

M  \  C  a n d  C    M  a r e n o n - e m p t y a n d   d  (  M  ) =  l  . B y t a k i n g t h e c o m p l e m e n t i f n e c e s s a r y , w e m a y a s s u m e t h a t  

x  2  M  I f  y  62  M  , t h e n w e h a v e   d  (  C  ) +  d  (  M  )    d  (  C  \  M  ) +  d  (  C    M  )  > d  (  C  ) +  d  (  C    M  )  a n d t h e r e f o r e  

  (  x y  )    d  (  C    M  )  < d  (  M  ) =  l  I f  y  2  M  , t h e n w e h a v e   d  (  C  ) +  d  (  M  )    d  (  C    M  ) +  d  (  M    C  )  > d  (  C  ) +  d  (  M    C  ) 

a n d t h e r e f o r e     (  x y  )    d  (  M    C  )  < d  (  M  ) =  l   

B y t h i s l e m m a t h e f a m i l y   F 

 

o f e x t r e m e s e t s i s a s u b - f a m i l y o f   F 

e c 

a n d t h e r e f o r e i t i s a l a m i n a r f a m i l y . S i n c e  

t h e e c - c o m p o n e n t s o f   G  c a n b e c o m p u t e d w i t h t h e h e l p o f a G o m o r y - H u t r e e , F 

 

c a n a l s o b e c o m p u t e d . T h e n i c e  

t h i n g i s t h a t t h e f a m i l y o f e x t r e m e s e t s i n c l u d e s a l l i n f o r m a t i o n w h i c h i s r e q u i r e d t o d e t e r m i n e t h e o p t i m u m i n ( 5 . 1 )  

f o r  a n y  k 

T h i s m a y b e d o n e r e c u r s i v e l y . F o r e a c h e x t r e m e s e t   X  l e t u s d e n e t h e   r e c u r s i v e   k  - d e c i e n c y   R 

k 

(  X  ) 

a s f o l l o w s . F o r s i n g l e t o n s l e t   R 

k 

(  v  ) : = (  k    d  (  v  ) ) 

+ 

I f f o r a l l m a x i m a l e x t r e m e s u b s e t s   X  o f a n e x t r e m e s e t  

X  ( w h i c h f o r m , i n c i d e n t a l l y , a s u b - p a r t i t i o n o f   X  )  R 

k 

(  X  )  h a s a l r e a d y b e e n d e t e r m i n e d , t h e n d e n e   R 

k 

(  X  ) = 

m a x (  k    d  (  X  ) 

P 

(  R 

k 

(  X  ) X  i s a m a x i m a l e x t r e m e s u b s e t o f   X  ) )  . P a r a l l e l t o t h i s w e m a y s t o r e a s u b - p a r t i t i o n  

R 

k 

(  X  )  o f  X  . I t c o n s i s t s o f t h e s i n g l e s e t   X  i f t h e m a x i m u m i n t h e d e n i t i o n o f  R 

k 

(  X  )  i s a t t a i n e d o n t h e r s t t e r m .

I f t h e m a x i m u m i s a t t a i n e d o n t h e s e c o n d t e r m , t h e n l e t   R 

k 

(  X  ) =    (  R 

k 

(  X  ) X  i s a m a x i m a l e x t r e m e s u b s e t o f  

X  )  . F r o m d e n i t i o n i t i s c l e a r t h a t , a m o n g t h e s u b - p a r t i t i o n s   R  o f  V  c o n s i s t i n g o f e x t r e m e s e t s , R 

k 

(  V  )  m a x i m i z e s  

t h e s u m  

P 

(  k    d  (  X  ) X  2 R  )  a n d t h e r e f o r e   R 

k 

i s a n o p t i m a l s o l u t i o n t o ( 5 . 1 ) .

N o t o n l y t h e b e s t s u b - p a r t i t i o n s f o r d i e r e n t v a l u e s o f   k  m a y b e e n c o d e d i n t o a s i n g l e l a m i n a r f a m i l y ( o f t h e  

e x t r e m e s e t s ) b u t W a t a n a b e a n d N a k a m u r a p r o v e d t h a t t h e o p t i m a l e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n s f o r i n c r e a s i n g  

k  m a y b e c h o s e n a s a s e q u e n c e o f e v e r i n c r e a s i n g s u p e r g r a p h s :

T H E O R E M 5 . 3   S u p p o s e t h a t t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y o f t h e s t a r t i n g g r a p h   G  i s  l  . T h e r e i s a s e q u e n c e  

G  =  G G 

+ 1 

G 

+ 2 

; : : : o f g r a p h s s o t h a t f o r e a c h   i    l G 

i  + 1 

i s a s u p e r g r a p h o f   G 

i 

a n d  G 

i 

i s a n   i  - e d g e -  

c o n n e c t e d a u g m e n t a t i o n o f   G  u s i n g a m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s .

W a t a n a b e a n d N a k a m u r a d e s c r i b e d h o w t o c o m p u t e t h i s s e q u e n c e i n p o l y n o m i a l t i m e . G u s e l d , N a o r a n d  

M a r t e l 1 9 9 0 ] a n d G a b o w 1 9 9 1 ] f o u n d i m p r o v e m e n t s f o r t h e c o m p l e x i t y . O n e a p p a r e n t d i s a d v a n t a g e o f t h i s a p p r o a c h  

i s t h a t t h e r e s u l t i n g a l g o r i t h m i s n o t s t r o n g l y p o l y n o m i a l i f t h e t a r g e t e d g e - c o n n e c t i v i t y   k  i s v e r y b i g . T h i s i s c l e a r l y  

s o s i n c e t h e a p p r o a c h u s e s o n e - b y - o n e a u g m e n t a t i o n s . A . B e n c z  u r 1 9 9 4 ] h o w e v e r d e v i s e d a c l e v e r g r o u p i n g t e c h n i q u e  

t o m a k e t h e a l g o r i t h m o f W a t a n a b e a n d N a k a m u r a s t r o n g l y p o l y n o m i a l .

T h e r s t s t r o n g l y p o l y n o m i a l a l g o r i t h m F r a n k 1 9 9 2 ] f o r t h e   k  - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m f o l l o w e d  

a d i e r e n t l i n e . O n e o f i t s b a s i c i d e a s , t h e u s e o f s p l i t t i n g o t e c h n i q u e , w a s s u g g e s t e d b y P l e s n i k 1 9 7 6 ] w h e n   k  = 2 

a n d b y C a i a n d S u n 1 9 8 9 ] f o r a r b i t r a r y   k    2  . U s i n g s p l i t t i n g o i s e q u i v a l e n t t o u s e d e g r e e - p r e s c r i b e d a u g m e n t a t i o n  

p r o b l e m s .

T H E O R E M 5 . 4   L e t  G  = (  V E  )  b e a n u n d i r e c t e d g r a p h a n d   m  a n o n - n e g a t i v e i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n o n  

V  G  c a n b e m a d e   k  - e d g e - c o n n e c t e d   (  k    2 )  b y a d d i n g a s e t   F  o f n e w e d g e s s o t h a t  

d 

F 

(  v  ) =  m  (  v  ) ( 5  2 ) 

h o l d s f o r e v e r y n o d e   v  i f a n d o n l y i f   m  (  V  )  i s e v e n a n d  

d  (  X  ) +  m  (  X  )    k  ( 5  3 ) 

1 4 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 15/23

h o l d s f o r e v e r y n o n - e m p t y p r o p e r s u b s e t   X  o f  V 

T h i s t h e o r e m i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f L o v  a s z ' t h e o r e m o n s p l i t t i n g o :

T H E O R E M 5 . 5   L o v  a s z 1 9 7 4 , 1 9 7 9 ] S u p p o s e t h a t i n a g r a p h   G  = (  V  +  s E  )  d  (  s  )  >  0  i s e v e n a n d  

  (  x y  )    k  ( 5  4 ) 

h o l d s f o r e v e r y p a i r o f n o d e s   x y  2  V  . T h e n t h e e d g e s i n c i d e n t t o   s  c a n b e p a i r e d i n t o   d  (  s  )  =  2  p a i r s s o t h a t  

s p l i t t i n g o t h e s e p a i r s t h e r e s u l t i n g d i g r a p h o n n o d e - s e t   V  i s  k  - e d g e - c o n n e c t e d .

T o d e r i v e T h e o r e m 5 . 4 , a d d a n e w n o d e   s  t o  D  a n d  m  (  v  )  p a r a l l e l e d g e s b e t w e e n   v  a n d  s  f o r e v e r y   v  2  V  . T h e n  

( 5 . 3 ) i s e q u i v a l e n t t o ( 5 . 4 ) a n d t h e e d g e - s e t   F  a r i s i n g i n T h e o r e m 5 . 5 f r o m t h e s p l i t t i n g o o p e r a t i o n s s a t i s e s t h e  

r e q u i r e m e n t s i n T h e o r e m 5 . 4 .

A n e q u i v a l e n t f o r m o f T h e o r e m 5 . 1 o f W a t a n a b e a n d N a k a m u r a i s :

T H E O R E M 5 . 1 '  A n u n d i r e c t e d g r a p h   G  = (  V E  )  c a n b e m a d e   k  e d g e - c o n n e c t e d b y a d d i n g a t m o s t     n e w 

e d g e s i f a n d o n l y i f  

X 

i 

(  k    d  (  X 

i 

) )    2    ( 5  5 ) 

h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n   f  X 

1 

; : : : ; X  

t 

g  o f  V 

P r o o f o f T h e o r e m 5 . 1 ' f r o m T h e o r e m 5 . 4  . L e t   m  b e a n i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n f o r w h i c h ( 5 . 3 ) h o l d s a n d   m  s 

m i m i m a l w i t h r e s p e c t t o t h i s p r o p e r t y . C a l l a s e t   X  t i g h t i f i t s a t i s e s ( 5 . 3 ) w i t h e q u a l i t y . W e c l a i m t h a t i f   X  a n d  Y 

a r e i n t e r s e c t i n g t i g h t s e t s , t h e n b o t h   X    Y  a n d  Y    X  a r e t i g h t a n d   m  (  X  \  Y  ) = 0  . I n d e e d , k    m  (  X  ) +  k    m  (  Y  ) = 

d  (  X  ) +  d  (  Y  )    d  (  X    Y  ) +  d  (  Y    X  )    k    m  (  X    Y  ) +  k    m  (  Y    X  ) =  k    m  (  X  ) +  k    m  (  Y  ) + 2  m  (  X  \  Y  ) 

f r o m w h i c h t h e c l a i m f o l l o w s .

B y t h e m i n i m a l i t y o f   m  t h e r e i s a f a m i l y   F  o f t i g h t s e t s s o t h a t e a c h   v  f o r w h i c h   m  (  v  )  i s p o s i t i v e b e l o n g s  

t o a m e m b e r o f   F  . C h o o s e   F  s o t h a t  

P 

(  X  X  2 F  )  i s m i n i m u m . T h i s c h o i c e a n d t h e c l a i m s h o w s t h a t   F  s 

l a m i n a r . T h e r e f o r e t h e m a x i m a l m e m b e r s o f  F  f o r m a s u b - p a r t i t i o n   f  X 

1 

; : : : ; X  

t 

g  o f  V  c o v e r i n g a l l e l e m e n t s   v  w i t h  

m  (  v  )  >  0 

I t f o l l o w s f r o m ( 5 . 5 ) t h a t   m  (  V  ) = 

P 

i 

m  (  X 

i 

) = 

P 

i 

(  k    d  (  X 

i 

) )    2  B y i n c r e a s i n g   m  i f n e c e s s a r y , w e m a y  

a s s u m e t h a t   m  (  V  ) = 2    . F i n a l l y , b y a p p l y i n g T h e o r e m 5 . 4 t o t h i s   m  , T h e o r e m 5 . 1 ' f o l l o w s .  

L e t u s t u r n t o t h e g e n e r a l a u g m e n t a t i o n p r o b l e m w h e n w e a r e g i v e n a n a r b i t r a r y s t a r t i n g g r a p h   G  = (  V E  ) 

a n a r b i t r a r y ( s y m m e t r i c , n o n - n e g a t i v e , i n t e g e r - v a l u e d ) d e m a n d f u n c t i o n   r  (  x y  )  a n d t h e g o a l i s t o d e t e r m i n e t h e  

m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s t o b e a d d e d t o   G  s o a s t o o b t a i n a g r a p h   G 

+ 

f o r w h i c h  

  (  x y  G 

+ 

)    r  (  x y  ) ( 5  6 ) 

h o l d s f o r e v e r y p a i r o f n o d e s   x y  i n t h e a u g m e n t e d g r a p h   G 

+ 

. W e m a y c a l l a n a u g m e n t a t i o n s a t i s f y i n g ( 5 . 6 )   f e a s i b l e .  

I f  F  i s t h e s e t o f n e w e d g e s i n a f e a s i b l e a u g m e n t a t i o n , a v e c t o r i n   Z 

V 

d e n e d b y   (  d 

F 

(  v  ) v  2  V  )  i s c a l l e d a n  

a u g m e n t a t i o n v e c t o r .  

R e c a l l t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g a u g m e n t a t i o n p r o b l e m f o r d i r e c t e d g r a p h s i s N P - c o m p - l e t e a l r e a d y f o r v e r y s p e c i a l  

d e m a n d f u n c t i o n s ( e . g . , w h e n   r  (  x y  ) = 1  w h e n b o t h   x  a n d  y  b e l o n g t o a s u b s e t   T  o f n o d e s a n d 0 o t h e r w i s e ) . I n  

t h i s l i g h t i t i s e s p e c i a l l y s u r p r i s i n g t h a t t h e u n d i r e c t e d a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s t r a c t a b l e f o r a n y s t a r t i n g g r a p h a n d  

f o r a n y d e m a n d f u n c t i o n F r a n k 1 9 9 2 ] .

I n o r d e r t o f o r m u l a t e t h e g e n e r a l a u g m e n t a t i o n r e s u l t , l e t u s d e n e a s e t - f u n c t i o n   R  o n t h e s u b s e t s o f   V  s o t h a t  

R  (  ;  ) =  R  (  V  ) : = 0   a n d 

R  (  X  ) : = m a x (  r  (  x y  ) x  2  X y  2  V    X  )  ( 5  7 ) 

B y M e n g e r ' s t h e o r e m     (  x y  )    r  (  x y  )  h o l d s i n a g r a p h f o r e v e r y p a i r o f n o d e s   x y  i f a n d o n l y i f   d  (  X  )    R  (  X  ) 

f o r e v e r y s u b s e t   X    V  . T h a t i s , R  (  X  )  s e r v e s a s a l o w e r b o u n d f o r t h e n u m b e r o f e d g e s i n a c u t     X V    X  a n d 

q  (  X  ) : = (  R  (  X  )    d  (  X  ) ) 

+ 

m a y b e c o n s i d e r e d a s t h e d e c i e n c y o f   X  . N o w  

m a x (  d  ( 

X 

i 

q  (  X 

i 

) )  =  2  e  f  X 

1 

X 

2 

; : : : ; X  

t 

g  a s u b - p a r t i t i o n o f   V  ) ( 5  8 ) 

1 5 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 16/23

i s a l o w e r b o u n d f o r t h e m i n i m u m n u m b e r     (  G r  )  o f n e w e d g e s . T h e o r e m 5 . 1 a s s e r t s t h a t t h i s l o w e r b o u n d i s  

a c h i e v a b l e i f   r    k  (    2 ) 

O n t h e w a y t o g e n e r a l i z e T h e o r e m 5 . 1 w e h a v e t o p r e p a r e , h o w e v e r , t o o v e r c o m e a l i t t l e a n o m a l y i n d i c a t e d  

a l r e a d y b y t h e f a c t t h a t T h e o r e m 5 . 1 i s n o t t r u e f o r   k  = 1  ( t a k e a a s t a r t i n g g r a p h o n f o u r n o d e s w i t h n o e d g e s )  

w h i l e t h e a u g m e n t a t i o n p r o b l e m w h e n   k  = 1  i s t r i v i a l . T h i s d i s t i n c t i o n m u s t b e h a n d l e d i n t h e g e n e r a l c a s e , a s w e l l .

T o t h i s e n d l e t   C  (  6=  V  )  b e t h e n o d e - s e t o f a c o m p o n e n t o f  G  a n d c a l l   C  a  m a r g i n a l c o m p o n e n t   ( w i t h r e s p e c t  

t o t h e d e m a n d f u n c t i o n   r  ) f  q  (  C  )    1  a n d  q  (  X  ) = 0  f o r e v e r y p r o p e r s u b s e t o f   C 

T h e s o l u t i o n i n F r a n k , 1 9 9 2 ] t o n d a m i n i m a l f e a s i b l e a u g m e n t a t i o n o f   G  c o n s i s t s o f t w o p a r t s . I n t h e r s t  

p a r t t h e m a r g i n a l c o m p o n e n t s a r e e l i m i n a t e d w h i l e t h e s e c o n d o n e c o n s i s t s o f p r o v i n g ( a l g o r i t h m i c a l l y ) t h a t     (  G r  ) 

i s e q u a l t o t h e m a x i m u m i n ( 5 . 8 ) w h e n t h e r e a r e n o m a r g i n a l c o m p o n e n t s . ( T h i s i s , b y t h e w a y , t h e c a s e i f   G  s 

c o n n e c t e d ) .

L e t  C  b e a m a r g i n a l c o m p o n e n t , G 

1 

=  G    C  a n d l e t   r 

1 

d e n o t e t h e d e m a n d f u n c t i o n r e s t r i c t e d o n t h e n o d e  

s e t o f   G 

1 

. I t i s p r o v e d i n F r a n k , 1 9 9 2 ] t h a t     (  G r  ) =    (  G 

1 

r 

1 

) +  q  (  C  )  . I t i s a l s o s h o w e d h o w a n o p t i m a l f e a s i b l e  

a u g m e n t a t i o n o f   G 

1 

c a n b e e x t e n d e d t o a n o p t i m a l f e a s i b l e a u g m e n t a t i o n o f   G  b y a d d i n g   q  (  C  )  ( w h i c h i s 0 o r 1 )  

e d g e . T h i s w a y w e c a n g e t r i d o f t h e m a r g i n a l c o m p o n e n t s o n e b y o n e .

T H E O R E M 5 . 6   I f  G  h a s n o m a r g i n a l c o m p o n e n t s , t h e r e i s a f e a s i b l e a u g m e n t a t i o n o f   G  u s i n g a t m o s t    

n e w e d g e s i f a n d o n l y i f  

X 

i 

q  (  X 

i 

)    2    ( 5  9 ) 

h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n   f  X 

1 

X 

2 

; : : : ; X  

t 

g  o f  V  . O r , e q u i v a l e n t l y , t h e m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s  

  (  G r  ) = m a x (  d  ( 

P 

i 

q  (  X 

i 

) )  =  2  e  f  X 

1 

X 

2 

; : : : ; X  

t 

g  a s u b - p a r t i t i o n o f   V  )

C O R O L L A R Y 5 . 6 '  L e t  G  = (  V E  )  b e a n u n d i r e c t e d g r a p h , r  (  u v  )  a n i n t e g e r - v a l u e d d e m a n d - f u n c t i o n  

s u c h t h a t   G  h a s n o m a r g i n a l c o m p o n e n t s , a n d   g  a n i n t e g e r - v a l u e d c a p a c i t y f u n c t i o n o n   E  . T h e r e i s a n  

o p t i m a l s o l u t i o n t o t h e u n d i r e c t e d m a x - o w a u g m e n t a t i o n p r o b l e m w h i c h i s h a l f i n t e g r a l . F u r t h e r m o r e , a n  

o p t i m a l i n t e g e r - v a l u e d s o l u t i o n i s e i t h e r o p t i m a l a m o n g t h e r e a l - v a l u e d a u g m e n t a t i o n s o r i t s t o t a l i n c r e m e n t  

i s o n e h a l f b i g g e r t h a n t h a t o f a ( r e a l - v a l u e d ) o p t i m a l s o l u t i o n .

T h e k e y t o t h e p r o o f o f T h e o r e m 5 . 6 i s t h e f o l l o w i n g d e e p s p l i t t i n g o t h e o r e m o f W . M a d e r .

T H E O R E M 5 . 7   M a d e r , 1 9 7 8 ] L e t  G  = (  V  +  s E  )  b e a ( c o n n e c t e d ) u n d i r e c t e d g r a p h i n w h i c h   0  < d 

G 

(  s  )  6= 

3  a n d t h e r e i s n o c u t - e d g e i n c i d e n t w i t h   s  . T h e n t h e r e e x i s t s a p a i r o f e d g e s   e  =  s u ; f   =  s t  s o t h a t  

  (  x y  G  ) =    (  x y  G 

e f 

) 

h o l d s f o r e v e r y   x y  2  V   

( F o r a r e l a t i v e l y s i m p l e p r o o f , u s i n g s u b m o d u l a r i t y , s e e F r a n k , 1 9 9 2 b ] . ) I n S e c t i o n 3 i t w a s p o i n t e d o u t t h a t  

M a d e r ' s d i r e c t e d s p l i t t i n g o t h e o r e m i s e q u i v a l e n t t o T h e o r e m 3 . 2 o n t h e e x i s t e n c e o f a   k  - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n -  

t a t i o n o f a d i g r a p h s a t i s f y i n g p r e s c r i p t i o n s o f t h e i n - d e g r e e a n d o u t - d e g r e e . A n a l o g o u s l y , T h e o r e m 5 . 7 i s e q u i v a l e n t  

t o

T H E O R E M 5 . 7 '  L e t  m  V  !  Z 

+ 

b e a n i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n s o t h a t   m  (  V  )  i s e v e n a n d   m  (  C  )    2  f o r 

e a c h c o m p o n e n t   C  o f  G  = (  V E  )  . T h e r e i s a s e t   F  o f n e w e d g e s s o t h a t   G 

+ 

= (  V E  +  F  )  i s a f e a s i b l e  

a u g m e n t a t i o n o f   G  a n d  d 

F 

(  v  ) =  m  (  v  )  f o r e v e r y n o d e   v  ( t h a t i s , m  i s a n a u g m e n t a t i o n v e c t o r ) i f a n d o n l y i f  

m  (  X  )    R  (  X  )    d 

G 

(  X  ) ( 5  1 0 ) 

f o r e v e r y   X    V 

T h e m a t e r i a l o f t h e c l o s i n g p a r t o f t h i s s e c t i o n i s t a k e n f r o m a r e c e n t w o r k o f B a n g - J e n s e n , F r a n k a n d J a c k s o n ,

1 9 9 4 ] . T h e y p r o v e d a n e x t e n s i o n o f M a d e r ' s t h e o r e m w h e n t h e g r a p h i s a m i x e d o n e b u t a l l e d g e s i n c i d e n t t o   s  a r e 

u n d i r e c t e d . T h i s w a s u s e d t o d e r i v e a g e n e r a l i z a t i o n o f T h e o r e m 5 . 6 .

1 6 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 17/23

L e t  N  = (  V E  +  A  )  b e a m i x e d g r a p h c o m p o s e d f r o m a n u n d i r e c t e d g r a p h   G  = (  V E  )  a n d a d i r e c t e d g r a p h  

D  = (  V A  )  i n w h i c h   T  (  D  ) =  f  v  2  V  % 

D 

(  v  )  6=   

D 

(  v  )  g  i s t h e s e t o f n o n - d i - E u l e r i a n n o d e s . L e t   k    2  b e a n  

i n t e g e r a n d   r  (  x y  ) (  x y  2  V  )  a n o n - n e g a t i v e , i n t e g e r - v a l u e d d e m a n d f u n c t i o n s a t i s f y i n g  

r  (  x y  ) =  r  (  y x  )    k  f o r e v e r y   x y  2  V  a n d  ( 5  1 1  a  ) 

r  (  x y  )    k  f o r e v e r y   x y  2  T  (  D  )  ( 5  1 1  b  ) 

L e t  R  (  ;  ) =  R  (  V  ) = 0  a n d f o r   X    V  l e t  R  (  X  ) : = m a x (  r  (  x y  ) X  s e p a r a t e s   x  a n d  y  ) . W e s a y t h a t  

a c o m p o n e n t   C  o f  N  s  m a r g i n a l   ( w i t h r e s p e c t t o   r  ) f  r  (  u v  )      (  u v  N  )  f o r e v e r y   u v  2  C  a n d  r  (  u v  )   

  (  u v  N  ) + 1  f o r e v e r y   u v  s e p a r a t e d b y   C  . L e t    

N 

(  X  ) : = m i n (  % 

D 

(  X  ) +  d 

G 

(  X  )   

D 

(  X  ) +  d 

G 

(  X  ) ) 

T H E O R E M 5 . 8   B a n g - J e n s e n , F r a n k a n d J a c k s o n , 1 9 9 4 ] G i v e n a m i x e d g r a p h   N  , i n t e g e r s   k    2      0  , a n d  

a d e m a n d f u n c t i o n   r  (  x y  )  s a t i s f y i n g ( 5 . 1 1 ) s o t h a t t h e r e i s n o m a r g i n a l c o m p o n e n t s , N  c a n b e e x t e n d e d t o  

a m i x e d g r a p h   N 

+ 

b y a d d i n g     n e w u n d i r e c t e d e d g e s s o t h a t  

  (  x y  N 

+ 

)    r  (  x y  )  f o r e v e r y   x y  2  V  ( 5  1 2 ) 

i f a n d o n l y i f  

X 

(  R  (  X 

i 

)     

N 

(  X 

i 

) )    2    ( 5  1 3 ) 

h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n   f  X 

1 

; : : : ; X  

t 

g  o f  V   

B e f o r e T h e o r e m 5 . 6 w e i n d i c a t e d h o w t o g e t r i d o f m a r g i n a l c o m p o n e n t s w h e n t h e s t a r t i n g g r a p h i s u n d i r e c t e d .

A s i m i l a r r e d u c t i o n w o r k s f o r m i x e d u n d i r e c t e d g r a p h s a s w e l l . W h e n   N  i s a n u n d i r e c t e d g r a p h , T h e o r e m 5 . 8  

s p e c i a l i z e s t o T h e o r e m 5 . 6 . W h e n   r    k  f o r a n i n t e g e r   k    2  T h e o r e m 5 . 8 s p e c i a l i z e s t o :

C O R O L L A R Y 5 . 9   L e t  N  = (  V A    E  )  b e a m i x e d g r a p h a n d   k    2      1  i n t e g e r s . N  c a n b e m a d e   k  - e d g e  

c o n n e c t e d b y a d d i n g     n e w u n d i r e c t e d e d g e s i f a n d o n l y i f  

X 

(  k     

N 

(  X 

i 

) )    2   

h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n   f  X 

1 

; : : ; X  

t 

g  o f  V   

T h i s c o r o l l a r y i s n o t t r u e f o r   k  = 1  . ( L e t   N  b e a d i g r a p h w i t h 4 n o d e s a n d 3 e d g e s s o t h a t t h e h e a d s o f t h e  

e d g e s a r e d i s t i n c t b u t t h e i r t a i l s c o i n c i d e ) . H o w e v e r , t h e f o l l o w i n g c a n b e p r o v e d .

T H E O R E M 5 . 1 0   A m i x e d g r a p h   N  w i t h c o n n e c t e d u n d e r l y i n g g r a p h c a n b e m a d e s t r o n g l y c o n n e c t e d b y  

a d d i n g     n e w u n d i r e c t e d e d g e s i f a n d o n l y i f   (    )  f o r a n y f a m i l y   F  o f    + 1  d i s j o i n t s u b s e t s o f n o d e s c o n t a i n s  

( n o t n e c e s s a r i l y d i s t i n c t ) m e m b e r s   X Y  f o r w h i c h   % 

N 

(  X  )  >  0  a n d   

N 

(  Y  )  >  0 

( A m i x e d g r a p h i s   s t r o n g l y c o n n e c t e d   i f e v e r y n o d e i s r e a c h a b l e f r o m e v e r y o t h e r n o d e a l o n g a p a t h n o t  

u s i n g o p p o s i t e l y o r i e n t e d e d g e s . )  

6 . N O D E - C O N N E C T I V I T Y A U G M E N T A T I O N O F U N D I R E C T E D G R A P H S  

I n t h i s s e c t i o n w e w a n t t o m a k e a n u n d i r e c t e d g r a p h   G  = (  V E  )  k  - c o n n e c t e d b y a d d i n g a m i n i m u m n u m b e r  

o f n e w e d g e s . I n p r e v i o u s s e c t i o n s w e p o i n t e d o u t t h a t t h e   k  - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s t r a c t a b l e  

f o r b o t h d i r e c t e d a n d u n d i r e c t e d g r a p h s . I t t u r n e d o u t , t h a t u n d i r e c t e d e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n b e h a v e s  

b e t t e r t h a n t h e d i r e c t e d o n e i n t h e s e n s e t h a t e v e n t h e g e n e r a l - d e m a n d a u g m e n t a t i o n i s s o l v a b l e i n t h e u n d i r e c t e d  

c a s e . S e c t i o n 4 d e s c r i b e d a n i c e m i n - m a x t h e o r e m f o r t h e d i r e c t e d   k  - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n . F r o m t h e s e d a t a  

o n e h o p e s t h a t t h e u n d i r e c t e d   k  - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m a l s o h a s a s o l u t i o n . U n f o r t u n a t e l y , a t p r e s e n t ,

i t i s n o t k n o w n i f t h e p r o b l e m i s   N P  - c o m p l e t e o r i t i s p e r h a p s i n c o -  N P  \  N P  o r e v e n i n   P

1 7 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 18/23

F o r g e n e r a l   k  , F . H a r a r y 1 9 6 2 ] f o u n d t h e s o l u t i o n w h e n t h e s t a r t i n g g r a p h h a s   n  n o d e s b u t n o e d g e s . W a n g  

a n d K l e i t m a n 1 9 7 3 ] d e t e r m i n e d a n e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n f o r t h e e x i s t e n c e o f a   k  - c o n n e c t e d g r a p h w i t h  

s p e c i e d d e g r e e s e q u e n c e .

F o r g e n e r a l s t a r t i n g g r a p h s , s o l u t i o n s a r e k n o w n o n l y f o r s m a l l   k  . W h e n   k  = 1  t h e p r o b l e m i s o b v i o u s . P l e s n i k  

1 9 7 6 ] a n d E s w a r a n a n d T a r j a n 1 9 7 6 ] p r o v e d a m i n - m a x f o r m u l a f o r   k  = 2  a n d t h e l a t t e r p a p e r d e s c r i b e d a l i n e a r -  

t i m e a l g o r i t h m , a s w e l l , t o c o n s t r u c t t h e o p t i m a l a u g m e n t a t i o n . F o r a s u b s e t   X  o f n o d e s l e t   N  (  X  )  d e n o t e t h e s e t o f  

n o d e s i n   V    X  w h i c h h a v e a n e i g h b o u r i n   X  . I n a   k  - c o n n e c t e d g r a p h   N  (  X  )    k  w h e n e v e r   X  V    k    1 

T h e r e f o r e , i n a   k  c o n n e c t e d a u g m e n t a t i o n o f   G  a t l e a s t   q 

 

(  X  ) : = (  k    N  (  X  ) ) 

+ 

n e w e d g e s m u s t b e i n t h e c u t  

  X V    X  . H e n c e  

m a x (  d  ( 

X 

i 

q 

 

(  X 

i 

) )  =  2  e  f  X 

i 

g  a s u b - p a r t i t i o n o f   V  ) ( 6  1 ) 

i s a l o w e r b o u n d f o r t h e m i n i m u m n u m b e r o f n e w e d g e s . T h e o r e m 5 . 1 a s s e r t e d t h a t i n t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g -  

m e n t a t i o n a n a n a l o g o u s l o w e r b o u n d i s a c h i e v a b l e , e x c e p t t h e ( o t h e r w i s e t r i v i a l ) c a s e o f   k  = 1  . T h e d i c u l t y o f t h e  

n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n a r i s e s f r o m t h e f a c t t h a t t h i s k i n d o f t r o u b l e m a y o c c u r f o r a n y b i g   k  . F o r e x a m p l e ,

l e t  G  b e a s t a r , t h a t i s , G  i s a s i m p l e g r a p h o n   n  n o d e s i n w h i c h e v e r y e d g e i s i n c i d e n t t o a n o d e   s  . T h e b o u n d o f  

( 6 . 1 ) w h e n   k  = 2  s  d  (  n    1 )  =  2  e  . B u t t o m a k e   G  2 - c o n n e c t e d o n e n e e d s   n    2  e d g e s . F r o m t h i s e x a m p l e w e m a y  

e x t r a c t a n o t h e r l o w e r b o u n d f o r   k  = 2  . L e t   c  (  X  )  d e n o t e t h e n u m b e r o f c o m p o n e n t s o f t h e g r a p h a r i s i n g f r o m   G  b y 

d e l e t i n g t h e n o d e - s e t   X  . T h e n a t l e a s t   c  (  v  )    1  n e w e d g e s h a v e t o b e a d d e d t o   G  t o m a k e i t   2  - c o n n e c t e d ,

T H E O R E M 6 . 1   E s w a r a n a n d T a r j a n , 1 9 7 6 ] , P l e s n i k , 1 9 7 6 ] A n u n d i r e c t e d g r a p h   G  c a n b e m a d e   2  - c o n n e c t e d  

b y a d d i n g a t m o s t     n e w e d g e s i f a n d o n l y i f  

X 

i 

( 2  N  ( (  X 

i 

)  )    2    f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n   f  X 

i 

g  o f  V  ( 6  2 ) 

w h e r e   (  X 

i 

V    3 )  a n d 

c  (  v  )      + 1 ( 6  3 ) 

f o r e v e r y n o d e   v  2  V 

F o r t h e 3 - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m a n a n a l o g o u s t h e o r e m h o l d s :

T H E O R E M 6 . 2   W a t a n a b e a n d N a k a m u r a , 1 9 8 8 a n d 1 9 9 3 ] A n u n d i r e c t e d g r a p h   G  c a n b e m a d e   3  - c o n n e c t e d  

b y a d d i n g a t m o s t     n e w e d g e s i f a n d o n l y i f  

X 

i 

( 3  N  ( (  X 

i 

)  )    2    f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n   f  X 

i 

g  o f  V  ( 6  2  ) 

w h e r e   (  X 

i 

V    4 )  a n d 

c  (  X  )      + 1 ( 6  3  ) 

f o r e v e r y 2 - e l e m e n t s u b s e t   X  o f  V 

W a t a n a b e a n d N a k a m u r a a l s o d e v e l o p e d a p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m t o n d t h e o p t i m a l a u g m e n t a t i o n . A  

l i n e a r t i m e a l g o r i t h m ( a n d a n o t h e r p r o o f ) w a s g i v e n b y H s u a n d R a m a c h a n d r a n 1 9 9 1 ] . J o r d  a n 1 9 9 5 b ] s o l v e d t h e  

d e g r e e - c o n s t r a i n e d 3 - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m w h e n t h e s t a r t i n g g r a p h i s 2 - c o n n e c t e d . I n p a r t i c u l a r , h e  

p r o v e d t h a t   G  c a n b e m a d e o p t i m a l l y 3 - c o n n e c t e d b y a d d i n g d i s j o i n t p a t h s .

M o r e g e n e r a l l y , i f t h e s t a r t i n g g r a p h   G  s  k    1  c o n n e c t e d , t h e n b o t h   m a x  d  ( 

P 

i 

q 

 

(  X 

i 

) )  =  2  e  a n d  m a x (  c  (  X  )    1 ) 

a r e l o w e r b o u n d s f o r t h e n u m b e r o f n e w e d g e s w h e r e   f  X 

i 

g  i s a s u b - p a r t i t i o n o f   V  c o n s i s i t i n g o f s u b s e t s o f a t m o s t  

V    k    1  e l e m e n t s a n d   X  i s a c u t - s e t o f p r e c i s e l y   k    1  e l e m e n t s . T h e o r e m s 6 . 1 a n d 6 . 2 a r e e q u i v a l e n t t o s a y i n g  

t h a t t h e m a x i m u m o f t h e s e t w o l o w e r b o u n d s a r e a c h i e v a b l e w h e n   k  = 2  3  . B u t n o t s o i f   k  = 4  a s i s s h o w n b y   K 

3  3 

H e r e t h e o p t i m u m i s 4 w h i l e t h e r s t m a x i m u m i s 3 a n d t h e s e c o n d i s 2 . F o r t h i s c a s e ( t h a t i s , t o n d a m i n i m a l  

4 - c o n n e c t e d a u g m e n t a t i o n o f a 3 - c o n n e c t e d g r a p h ) a p o l y n o m i a l a l g o r i t h m w a s d e v e l o p e d b y T . - s . H s u 1 9 9 2 ] . H e  

a l s o s h o w e d t h a t t h e m a x i m u m o f t h e t w o l o w e r b o u n d s i s a c h i e v a b l e e x c e p t f o r s o m e w e l l - d e s c r i b e d s m a l l g r a p h s .

1 8 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 19/23

A r e l a t e d n i c e r e s u l t o f J o r d  a n 1 9 9 4 b ] a s s e r t s t h a t a 3 - r e g u l a r 3 - c o n n e c t e d g r a p h o n a t l e a s t 8 n o d e s c a n b e m a d e  

4 - c o n n e c t e d b y a d d i n g a p e r f e c t m a t c h i n g .

F o r h i g h e r   k  t h e c o m p l e t e b i p a r t i t e g r a p h   K 

k  1  k  1 

s h o w s t h a t t h e g a p b e t w e e n t h e m a x i m u m a n d t h e m i n i m u m  

m a y b e a s b i g a s   k    3  . T . J o r d  a n 1 9 9 5 ] p r o v e d t h a t t h i s i s t h e l a r g e s t p o s s i b l e g a p f o r a n y   (  k    1 )  - c o n n e c t e d s t a r t i n g  

g r a p h . R e l y i n g o n t h i s t h e o r e m , h e d e v e l o p e d a p o l y n o m i a l t i m e a l g o r i t h m t o m a k e a n a r b i t a r y   (  k    1 )  - c o n n e c t e d  

g r a p h   k  - c o n n e c t e d a n d t h e s o l u t i o n p r o v i d e d b y t h e a l g o r i t h m u s e s a t m o s t   (  k    3 ) 

+ 

m o r e e d g e s t h a n t h e o p t i m u m .

T o c o m p u t e t h i s o p t i m u m e x a c t l y s e e m s t o b e p r e t t y m u c h o u t o f r e a c h a t t h e t i m e o f w r i t i n g t h i s p a p e r .

T h e r e i s a f r a c t i o n a l v e r s i o n o f t h e c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m . W e s a y t h a t a w e i g h t i n g o n t h e e d g e - s e t  

o f a g r a p h   G  s  c o n n e c t e d   i f t h e t o t a l w e i g h t o f e v e r y c u t i s a t l e a s t 1 . W e s a y t h a t a w e i g h t i n g i s   k  - c o n n e c t e d ,  

i f l e a v i n g o u t a n y s e t o f a t m o s t   k    1  n o d e s l e a v e s a g r a p h w i t h c o n n e c t e d w e i g h t i n g . C l e a r l y i f a l l w e i g h t s a r e 1 ,

t h e n t h i s d e n i t i o n g i v e s b a c k t h e o r i g i n a l d e n i t i o n o f   k  - c o n n e c t i v i t y .

T h e f r a c t i o n a l n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s t h e f o l l o w i n g . L e t   G  = (  V E  )  b e a s i m p l e u n d i r e c t e d  

g r a p h . D e n e   w 

G 

(  x y  ) = 1  i f x y i s a n e d g e o f  G  a n d  w 

G 

(  x y  ) = 0  o t h e r w i s e . T h e g o a l i s t o d e t e r m i n e a n o n - n e g a t i v e  

w e i g h t i n g   w  o n t h e e d g e s e t o f t h e c o m p l e t e g r a p h o n   V  s o t h a t   w  +  w 

G 

s  k  - c o n n e c t e d a n d   1  w  i s m i n i m u m .

B y a n e l e m e n t a r y c o n s t r u c t i o n t h i s p r o b l e m c a n b e r e d u c e d t o t h e d i r e c t e d n o d e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n  

p r o b l e m . A s a c o n c e q u e n c e o f T h e o r e m 4 . 2 o n e m a y d e r i v e t h a t t h e o p t i m a l f r a c t i o n a l a u g m e n t a t i o n m a y b e c h o s e n  

h a l f - i n t e g r a l . F o r e x a m p l e , i f t h e s t a r t i n g g r a p h i s   K 

k  1  k  1 

, t h e n a n o p t i m u m f r a c t i o n a l a u g m e n t a t i o n i s 1 / 2 o n  

t h e e d g e s o f a c i r c u i t i n b o t h p a r t s , t h a t i s i t s t o t a l v a l u e i s   k    1  . C o m p a r e t h i s w i t h t h e i n t e g e r o p t i m u m w h i c h i s  

2 (  k    2 ) 

7 . P O L Y H E D R A L A N D A L G O R I T H M I C A S P E C T S  

I n S e c t i o n s 3 a n d 5 w e s a w t h a t t h e c a r d i n a l i t y v e r s i o n o f t h e   k  - e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m i s  

t r a c t a b l e f o r b o t h d i r e c t e d a n d u n d i r e c t e d g r a p h s , w h i l e t h e m i n i m u m c o s t v e r s i o n i s   N P  - c o m p l e t e . B u t t h e r e  

i s a r e s t r i c t e d c l a s s o f c o s t f u n c t i o n s , t h e n o d e - i n d u c e d c o s t s , w h e n e v e n t h e m i n i m u m c o s t a u g m e n t a t i o n p r o b l e m  

i s s o l v a b l e . T h e i d e a i s b a s e d o n t h e f a c t t h a t t h e d e g r e e s e q u e n c e s b e l o n g i n g t o p o s s i b l e g r a p h s o f n e w e d g e s i n  

f e a s i b l e a u g m e n t a t i o n s o f t h e s t a r t i n g g r a p h s p a n a g - p o l y m a t r o i d . G - p o l y m a t r o i d s g e n e r a l i z e p o l y m a t r o i d s w h i c h  

a r e g e n e r a l i z a t i o n o f m a t r o i d p o l y h e d r a . T h e m a t r o i d g r e e d y a l g o r i t h m m a y b e e x t e n d e d t o g - p o l y m a t r o i d s a n d t h i s  

f e a t u r e m a k e s i t p o s s i b l e t o s o l v e m i n i m u m n o d e - c o s t a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s .

A n o t h e r i m p o r t a n t p r o p e r t y o f g - p o l y m a t r o i d s i s t h a t t h e i r i n t e r s e c t i o n w i t h a b o x i s a g a i n a g - p o l y m a t r o i d .

T h i s i s w h y t h e d e g r e e - c o n s t r a i n e d a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s c a n b e h a n d l e d ( s e e , f o r e x a m p l e T h e o r e m 3 . 1 2 ) .

H e r e w e i l l u s t r a t e s o m e d e t a i l s o f t h i s p o l y m a t r o i d a l a p p r o a c h c o n c e r n i n g t h e u n d i r e c t e d c a s e . T h e b a s i c  

f r a m e w o r k i s s i m i l a r f o r d i r e c t e d a u g m e n t a t i o n . ( D e t a i l s m a y b e f o u n d i n F r a n k , 1 9 9 2 ] ) .

L e t  V  b e a n i t e g r o u n d - s e t a n d   b  2 

V 

!  Z  f 1 g  a n i n t e g e r - v a l u e d s e t - f u n c t i o n w h i c h i s z e r o o n t h e e m p t y  

s e t . W e c a l l   b  f u l l y ( i n t e r s e c t i n g ) s u b m o d u l a r   f 

b  (  X  ) +  b  (  Y  )    b  (  X  \  Y  ) +  b  (  X    Y  ) ( 7  1 ) 

h o l d s f o r e v e r y ( i n t e r s e c t i n g )   X Y    V  . A s e t f u n c t i o n   p  i s c a l l e d   s u p e r m o d u l a r   f    p  i s s u b m o d u l a r . W e s a y  

t h a t   p  s  s k e w s u p e r m o d u l a r   i f f o r e v e r y   X Y    V  a t l e a s t o n e o f t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t i e s h o l d s :

p  (  X  ) +  p  (  Y  )    p  (  X  \  Y  ) +  p  (  X    Y  ) 

p  (  X  ) +  p  (  Y  )    p  (  X    Y  ) +  p  (  Y    X  ) 

N o t e t h a t i n t e r s e c t i n g s u p e r m o d u l a r f u n c t i o n s a r e s k e w s u p e r m o d u l a r .

W e s a y t h a t a p a i r   (  p b  )  o f s e t - f u n c t i o n s i s a   s t r o n g p a i r   f  p  ( r e s p . b  ) i s f u l l y s u p e r m o d u l a r ( s u b m o d u l a r )  

a n d t h e y a r e   c o m p l i a n t ,  t h a t i s ,

b  (  X  )    p  (  Y  )    b  (  X    Y  )    p  (  Y    X  ) ( 7  2 ) 

h o l d s f o r e v e r y   X Y    S  I f  p  a n d  b  a r e i n t e r s e c t i n g s u p e r - a n d s u b m o d u l a r f u n c t i o n s a n d ( 7 . 2 ) h o l d s f o r i n t e r s e c t i n g  

X Y  , t h e n   (  p b  )  i s c a l l e d a   w e a k p a i r .  

1 9 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 20/23

G i v e n a s t r o n g p a i r   (  p b  )  , t h e p o l y h e d r o n  

Q  (  p b  ) =  f  x  2  R 

S 

p  (  A  )    x  (  A  )    b  (  A  )  f o r e v e r y   A    S  g 

i s c a l l e d a   g e n e r a l i z e d p o l y m a t r o i d   ( i n s h o r t , g - p o l y m a t r o i d . )   F o r t e c h n i c a l r e a s o n s t h e e m p t y s e t i s a l s o  

c o n s i d e r e d a s a g - p o l y m a t r o i d . ( P r o p e r t i e s o f g - p o l y m a t r o i d s w e r e e x t e n s i v e l y s t u d i e d i n F r a n k a n d T a r d o s , 1 9 8 8 ] . )  

I t c a n b e p r o v e d t h a t   Q  =  Q  (  p b  )  i s n o n - e m p t y a n d t h a t   Q  u n i q u e l y d e t e r m i n e s   p  a n d  q  , t h a t i s , d i e r e n t s t r o n g  

p a i r s d e n e d i e r e n t g - p o l y m a t r o i d s . O n t h e o t h e r - h a n d   (  p  b  )  i s a g - p o l y m a t r o i d f o r a n y w e a k p a i r . L e t   f  a n d  g 

b e t w o i n t e g e r - v a l u e d f u n c t i o n s o n   V  w i t h   f    g  a n d l e t   B  =  f  x  f    x    g  g  a b o x .

T H E O R E M 7 . 1   F o r a w e a k p a i r   (  p  b  )  t h e i n t e r s e c t i o n   M  =  Q  (  p  b  )  \  B  i s a n i n t e g r a l g - p o l y m a t r o i d .

M  i s n o n - e m p t y i f a n d o n l y i f  

g  (  Z 

0 

) + 

X 

i    1 

b  (  Z 

i 

)    p  (   

i    0 

Z 

i 

)  a n d 

f  (  Z 

0 

) + 

X 

i    1 

p  (  Z 

i 

)    b  (   

i    0 

Z 

i 

) 

h o l d s f o r e v e r y s u b - p a r t i t i o n   f  Z 

i 

g  o f  V  w h e r e o n l y p a r t   Z 

0 

m a y b e e m p t y .

T h i s t h e o r e m i s i n t h e b a c k g r o u n d o f c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n r e s u l t s ( s u c h a s T h e o r e m 3 . 1 2 ) w h e n u p p e r a n d  

l o w e r b o u n d s a r e i m p o s e d o n t h e d e g r e e s o f t h e a u g m e n t e d g r a p h .

C o n t r a - p o l y m a t r o i d s f o r m a s p e c i a l c l a s s o f g - p o l y m a t r o i d s . G i v e n a f u l l y s u p e r m o d u l a r , m o n o t o n e i n c r e a s i n g  

f u n c t i o n   p 

C  (  p  ) =  f  x  2  R 

S 

x    0  x  (  A  )    p  (  A  )  f o r e v e r y   A    S  g 

i s c a l l e d a   c o n t r a - p o l y m a t r o i d .   S u c h a   p  i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d b y t h e p o l y h e d r o n b u t w e a k e r f u n c t i o n s m a y  

a l s o d e n e c o n t r a - p o l y m a t r o i d s .

T H E O R E M 7 . 2   L e t  p 

 

b e a s k e w s u p e r m o d u l a r f u n c t i o n . T h e n   C  (  p 

 

)  i s a c o n t r a - p o l y m a t r o i d w h o s e  

u n i q u e ( m o n o t o n e , f u l l y s u p e r m o d u l a r ) d e n i n g f u n c t i o n   p  i s g i v e n b y   p  (  X  ) : = m a x (  

P 

p 

 

(  X 

i 

) )  w h e r e t h e  

m a x i m u m i s t a k e n o v e r a l l s u b - p a r t i t i o n s   f  X 

i 

g  o f  X 

T h i s t h e o r e m ( p r o v e d i n F r a n k , 1 9 9 2 ] ) m a d e i t p o s s i b l e t h a t m i n i m u m n o d e - c o s t a n d d e g r e e - c o n s t r a i n e d a u g -  

m e n t a t i o n p r o b l e m s t o b e c o m e t r a c t a b l e . T h e l i n k b e t w e e n a u g m e n t a t i o n s a n d c o n t r a - p o l y m a t r o i d s i s r e v e a l e d b y  

t h e o b s e r v a t i o n t h a t t h e f u n c t i o n   q  (  X  ) =  R  (  X  )    d 

G 

(  X  )  i s s k e w s u p e r m o d u l a r . ( F o r t h e n o t a t i o n , s e e T h e o r e m  

5 . 6 . )  

R e c a l l t h e n o t i o n o f a n a u g m e n t a t i o n v e c t o r . C o m b i n i n g T h e o r e m 7 . 2 a n d T h e o r e m 5 . 6 t o g e t h e r w e o b t a i n :

C O R O L L A R Y 7 . 3   F o r a c o n n e c t e d g r a p h   G  , a n i n t e g e r v e c t o r   z  i s a n a u g m e n t a t i o n v e c t o r i f a n d o n l y i f  

z  (  V  )  i s e v e n a n d   z  2  C  (  q  ) 

S u p p o s e w e a r e g i v e n a n o n - n e g a t i v e c o s t - f u n c t i o n   c  o n  V  . F o r e a c h p o s s i b l e n e w e d g e   x y  d e n e a c o s t b y  

c  (  x  ) +  c  (  y  )  . W e c a l l s u c h a f u n c t i o n a n o d e - i n d u c e d c o s t f u n c t i o n . W i t h a s l i g h t m o d i c a t i o n o f t h e g r e e d y a l g o r i t h m  

o n e c a n n d a n i n t e g e r - v a l u e d e l e m e n t   z  o f  C  (  q  )  w i t h   z  (  V  )  e v e n w h i c h m i n i m i z e s   c z  . T h e r e f o r e , f o r n o d e - i n d u c e d  

c o s t - f u n c t i o n s , t h e m i n i m u m c o s t e d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m c a n b e s o l v e d i n p o l y n o m i a l t i m e .

R E F E R E N C E S  

1 9 9 4 ] J . B a n g - J e n s e n , A . F r a n k a n d B . J a c k s o n , P r e s e r v i n g a n d i n c r e a s i n g l o c a l e d g e - c o n n e c t i v i t y i n m i x e d g r a p h s ,

S I A M J . D i s c r e t e M a t h e m a t i c s , t o a p p e a r .

2 0 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 21/23

1 9 9 4 ] A . B e n c z  u r , A u g m e n t i n g u n d i r e c t e d c o n n e c t i v i t y i n R N C a n d i n r a n d o m i z e d  

 ̂

O  (  n 

3 

)  t i m e . P r o c e e d i n g s o f  

S T O C 1 9 9 4 .

1 9 9 2 ] M . B u s s i e c k , A u g m e n t i n g c a p a c i t i e s o f n e t w o r k s , p r e p r i n t ( T U B r a u n s c h w e i g , A b t e i l u n g f  u r M a t h . O p t ,

G e r m a n y ) .

1 9 8 9 ] G - R . C a i a n d Y - G . S u n , T h e m i n i m u m a u g m e n t a t i o n o f a n y g r a p h t o   k  - e d g e - c o n n e c t e d g r a p h , N e t w o r k s , V o l .

1 9 , ( 1 9 8 9 ) 1 5 1 - 1 7 2 .

1 9 7 0 ] W . C h o u a n d H . F r a n k , S u r v i v a b l e c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s a n d t h e t e r m i n a l c a p a c i t y m a t r i x , I E E E T r a n s .

C i r c u i t T h e o r y , V o l . C T - 1 7 , N o . 2 , M a y 1 9 7 0 , p p . 1 9 2 - 1 9 7 .

1 9 6 4 ] J . E d m o n d s , E x i s t e n c e o f   k  - e d g e - c o n n e c t e d o r d i n a r y g r a p h s w i t h p r e s c r i b e d d e g r e e s , J . R e s e a r c h o f t h e N a t i o n a l  

B u r e u o f S t a n d a r d s , V o l . 6 8 B , N o . 2 p p 7 3 - 7 4 .

1 9 7 3 ] J . E d m o n d s , E d g e - d i s j o i n t b r a n c h i n g s i n : C o m b i n a t o r i a l A l g o r i t h m s ( B . R u s t i n , e d . ) , A c a d . P r e s s , N e w Y o r k ,

( 1 9 7 3 ) , 9 1 - 9 6 .

1 9 7 0 ] J . E d m o n d s , S u b m o d u l a r f u n c t i o n s , m a t r o i d s , a n d a c e r t a i n p o l y h e d r a i n : C o m b i n a t o r i a l S t r u c t u r e s a n d t h e i r  

a p p l i c a t i o n s ( R . G u y , H . H a n a n i , N . S a u e r , a n d J . S c h o n h e i m , e d s . ) , G o r d o n a n d B r e a c h , N e w Y o r k , 1 9 7 0 , p p .

6 9 { 8 7 .

1 9 7 9 ] J . E d m o n d s , M a t r o i d i n t e r s e c t i o n , A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h . 4 , ( 1 9 7 9 ) 3 9 - 4 9 .

1 9 7 7 ] J . E d m o n d s a n d R . G i l e s , A m i n - m a x r e l a t i o n f o r s u b m o d u l a r f u n c t i o n s o n g r a p h s , A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h -  

e m a t i c s 1 , ( 1 9 7 7 ) , 1 8 5 - 2 0 4 .

1 9 7 6 ] K . P . E s w a r a n a n d R . E . T a r j a n , A u g m e n t a t i o n p r o b l e m s , S I A M J . C o m p u t i n g , V o l . 5 , N o . 4 D e c e m b e r 1 9 7 6 ,

6 5 3 - 6 6 5 .

1 9 6 2 ] L . R . F o r d , D . R . F u l k e r s o n , F l o w s i n N e t w o r k s , P r i n c e t o n U n i v . P r e s s , P r i n c e t o n N J . 1 9 6 2 .

1 9 7 9 ] A . F r a n k , K e r n e l s y s t e m s o f d i r e c t e d g r a p h s , A c t a S c i e n t i a r u m M a t h e m a t i c a r u m ( S z e g e d ) 4 1 , 1 - 2 ( 1 9 7 9 ) 6 3 - 7 6 .

1 9 8 1 a ] A . F r a n k , H o w t o m a k e a d i g r a p h s t r o n g l y c o n n e c t e d , C o m b i n a t o r i c a 1 N o . 2 ( 1 9 8 1 ) 1 4 5 - 1 5 3 .

1 9 8 1 b ] A . F r a n k , A w e i g h t e d m a t r o i d i n t e r s e c t i o n a l g o r i t h m , J . A l g o r i t h m s 2 ( 1 9 8 1 ) 3 2 8 - 3 3 6 .

1 9 8 4 ] A . F r a n k , S u b m o d u l a r o w s , i n : P r o g r e s s i n C o m b i n a t o r i a l O p t i m i z a t i o n ( e d . W . P u l l e y b l a n k ) , A c a d e m i c  

P r e s s ( 1 9 8 4 ) 1 4 7 - 1 6 5 .

1 9 8 9 ] A . F r a n k , O n c o n n e c t i v i t y p r o p e r t i e s o f E u l e r i a n d i g r a p h s , A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h . 4 1 ( 1 9 8 9 ) 1 7 9 - 1 9 4 ( N o r t h  

H o l l a n d ) .

1 9 9 2 a ] A . F r a n k , A u g m e n t i n g g r a p h s t o m e e t e d g e - c o n n e c t i v i t y r e q u i r e m e n t s , S I A M J . o n D i s c r e t e M a t h e m a t i c s ,

( 1 9 9 2 F e b r u a r y ) , V o l . 5 , N o 1 . , p p . 2 2 - 5 3 .

1 9 9 2 b ] A . F r a n k , O n a t h e o r e m o f M a d e r , P r o c e e d i n g s o f t h e G r a p h T h e o r y C o n f e r e n c e h e l d i n D e n m a r k , 1 9 9 0 ,

A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h e m a t i c s , V o l . 1 0 1 , ( 1 9 9 2 ) 4 9 - 5 7 .

1 9 9 5 ] A . F r a n k a n d T . J o r d  a n , M i n i m a l e d g e - c o v e r i n g s o f p a i r s o f s e t s , J . C o m b i n a t o r i a l T h e o r y , S e r . B , V o l . 6 5 ,

N o . 1 ( 1 9 9 5 , S e p t e m b e r ) p p . 7 3 - 1 1 0 .

1 9 9 5 b ] A . F r a n k a n d T . J o r d  a n , I n c r e a s i n g c o n n e c t i v i t y o f d i g r a p h s , i n : I n t e g e r P r o g r a m m i n g a n d C o m b i n a t o r i a l  

O p t i m i z a t i o n ( E d s . : E . B a l a s a n d J . C l a u s e n ) L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , 9 2 0 S p r i n g e r , 1 9 9 5 , p p . 4 1 4 - 4 2 5 ,

2 1 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 22/23

1 9 8 8 ] A . F r a n k a n d  

 

E . T a r d o s , G e n e r a l i z e d p o l y m a t r o i d s a n d s u b m o d u l a r o w s , M a t h e m a t i c a l P r o g r a m m i n g , S e r .

B . 4 2 ( 1 9 8 8 ) 4 8 9 - 5 6 3 .

1 9 8 9 ] A . F r a n k a n d  

 

E . T a r d o s , A n a p p l i c a t i o n o f s u b m o d u l a r o w s , L i n e a r A l g e b r a a n d i t s A p p l i c a t i o n s , 1 1 4 / 1 1 5 ,

( 1 9 8 9 ) 3 2 9 - 3 4 8 .

1 9 7 0 ] H . F r a n k a n d W . C h o u , C o n n e c t i v i t y c o n s i d e r a t i o n s i n t h e d e s i g n o f s u r v i v a b l e n e t w o r k s , I E E E T r a n s . C i r c u i t  

T h e o r y , V o l . C T - 1 7 , N o . 4 M a y 1 9 7 0 , p p . 4 8 6 - 4 9 0 .

1 9 7 4 ] D . R . F u l k e r s o n , P a c k i n g r o o t e d d i r e c t e d c u t s i n a w e i g h t e d d i r e c t e d g r a p h , M a t h . P r o g r a m m i n g 6 ( 1 9 7 4 ) 1 - 1 3 .

1 9 7 1 ] D . R . F u l k e r s o n a n d L . S . S h a p l e y , M i n i m a l   k  - a r c - c o n n c e t e d g r a p h s , N e t w o r k s 1 , ( 1 9 7 1 ) 9 1 - 9 8 .

1 9 9 1 ] H . N . G a b o w , A m a t r o i d a p p r o a c h t o n d i n g e d g e - c o n n e c t i v i t y a n d p a c k i n g a r b o r e s c e n c e s , P r o c . 2 3 r d A n n u a l  

A C M S y m p . o n T h e o r y o f C o m p . , 1 9 9 1 . p p . 1 1 2 - 1 2 2 .

1 9 6 1 ] R . E . G o m o r y a n d T . C . H u , M u l t i - t e r m i n a l n e t w o r k o w s , S I A M J . A p p l . M a t h , 9 ( 1 9 6 1 ) 5 5 1 - 5 7 0 .

1 9 8 7 ] D . G u s e l d , O p t i m a l m i x e d g r a p h a u g m e n t a t i o n , S I A M J . C o m p u t i n g , V o l . 1 6 , N o . 4 , ( 1 9 8 7 ) 5 9 9 - 6 1 2 .

1 9 9 2 ] M . G r  o t s c h e l , C . L . M o n m a a n d M . S t o e r , D e s i g n o f s u r v i v a b l e n e t w o r k s , i n H a n d b o o k i n O p e r a t i o n s R e s e a r c h  

a n d M a n a g e m e n t S c i e n c e ( V o l u m e o n N e t w o r k s ) , t o a p p e a r .

1 9 6 2 ] F . H a r a r y , T h e m a x i m u m c o n n e c t i v i t y o f a g r a p h , P r o c . o f 1 9 6 2 N a t . A c a d . o f S c i . , V o l . 4 8 , N o . 2 , J u l y 1 9 6 2 .

1 9 9 2 ] T . - s . H s u , O n f o u r - c o n n e c t i n g a t r i c o n n e c t e d g r a p h , i n : P r o c . 3 3 ' r d A n n u a l I E E E S y m p . o n F O C S , 1 9 9 2 .

1 9 9 1 ] T . - s . H s u a n d V . R a m a c h a n d r a n , A l i n e a r t i m e a l g o r i t h m n f o r t r i c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n , i n : P r o c . 3 2 n d  

A n n u a l I E E E S y m p . o n F o u n d a t i o n s o f C o m p . S c i , p p . 5 4 8 - 5 5 9 .

1 9 8 8 ] B . J a c k s o n , S o m e r e m a r k s o n a r c - c o n n e c t i v i t y , v e r t e x s p l i t t i n g , a n d o r i e n t a t i o n i n d i g r a p h s , J . G r a p h T h e o r y ,

1 2 , N o . 3 . ( 1 9 8 8 ) 4 2 9 - 4 3 6 .

1 9 9 5 ] T . J o r d  a n , O n t h e o p t i m a l v e r t e x - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n , J . C o m b i n a t o r i a l T h e o r y , S e r . B , V o l . 6 3 ( N o .

1 ) 1 9 9 5 , 8 - 2 0 .

1 9 9 3 ] T . J o r d  a n , I n c r e a s i n g t h e v e r t e x c o n n e c t i v i t y i n d i r e c t e d g r a p h s , i n : P r o c e e d i n g s o f t h e r s t E S A C o n f e r e n c e ,

S p r i n g e r L e c t u r e N o t e s o n C o m p u t e r S c i e n c e s , 7 2 6 , ( 1 9 9 3 ) p p . 2 3 6 - 2 4 7 .

1 9 9 4 ] T . J o r d  a n , T r i c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n w i t h d e g r e e c o n s t r a i n t s , i n p r e p a r a t i o n ( a l s o i n : C o n n e c t i v i t y i n  

g r a p h s , M a s t e r T h e s i s , 1 9 9 1 , E  o t v  o s U n i v e r s i t y , B u d a p e s t ( i n H u n g a r i a n ) ) .

1 9 9 4 b ] T . J o r d  a n , C o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n o f r e g u l a r g r a p h s , i n p r e p a r a t i o n .

1 9 7 4 ] L . L o v  a s z , C o n f e r e n c e o n G r a p h T h e o r y , l e c t u r e , P r a g u e , 1 9 7 4 .

1 9 7 6 ] L . L o v  a s z , O n t w o m i n - m a x t h e o r e m s i n g r a p h t h e o r y , J . C o m b i n a t o r i a l T h e o r y , S e r . B , 2 1 ( 1 9 7 6 ) 2 6 - 3 0 .

1 9 7 6 ] L . L o v  a s z , O n s o m e c o n n e c t i v i t y p r o p e r t i e s o f E u l e r i a n g r a p h s , A c t a M a t . A k a d . S c i . H u n g a r i c a e . 2 8 ( 1 9 7 6 )  

1 2 9 - 1 3 8 .

1 9 7 9 ] L . L o v  a s z , C o m b i n a t o r i a l P r o b l e m s a n d E x e r c i s e s , N o r t h - H o l l a n d 1 9 7 9 .

1 9 7 8 ] C . L . L u c c h e s i a n d D . H . Y o u n g e r , A m i n i m a x r e l a t i o n f o r d i r e c t e d g r a p h s , J . L o n d o n M a t h . S o c . ( 2 ) 1 7 ( 1 9 7 8 )  

3 6 9 - 3 7 4 .

2 2 

8/3/2019 Connectivity Augmentation

http://slidepdf.com/reader/full/connectivity-augmentation 23/23

1 9 7 8 ] W . M a d e r , A r e d u c t i o n m e t h o d f o r e d g e - c o n n e c t i v i t y i n g r a p h s , A n n . D i s c r e t e M a t h . 3 ( 1 9 7 8 ) 1 4 5 - 1 6 4 .

1 9 8 2 ] W . M a d e r , K o n s t r u k t i o n a l l e r   n  - f a c h k a n t e n z u s a m m e n h  a n g e n d e n D i g r a p h e n , E u r o p . J . C o m b i n a t o r i c s ( 1 9 8 2 )  

3 , 6 3 - 6 7 .

1 9 9 0 ] D . N a o r , D . G u s e l d a n d C h . M a r t e l , A f a s t a l g o r i t h m f o r o p t i m a l l y i n c r e a s i n g t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y , 3 1 s t  

A n n u a l S y m p o s i u m o n F o u n d a t i o n s o f C o m p u t e r S c i e n c e , 1 9 9 0 , p p 6 9 8 - 7 0 7 .

1 9 7 6 ] J . P l e s n i k , M i n i m u m b l o c k c o n t a i n i n g a g i v e n g r a p h , A r c h i v d e r M a t h e m a t i k , V o l . X X V I I , 1 9 7 6 , F a s c . 6 ,

6 6 8 - 6 7 2 .

1 9 8 2 ] A . S c h r i j v e r , M i n - m a x r e l a t i o n s f o r d i r e c t e d g r a p h s , A n n a l s o f D i s c r e t e M a t h e m a t i c s 1 6 ( 1 9 8 2 ) 2 6 1 - 2 8 0 .

1 9 7 9 ] Y . S h i l o a c h , E d g e - d i s j o i n t b r a n c h i n g s i n d i r e c t e d m u l t i g r a p h s , I n f o r m . P r o c . L e t t e r s 8 , ( 1 9 7 9 ) 2 4 - 2 7 .

1 9 9 4 ] S . T a o k a , D . T a k a f u j i a n d T . W a t a n a b e , S i m p l i c i t y p r e s e r v i n g a u g m e n t a t i o n o f t h e e d g e - c o n n e c t i v i t y o f a g r a p h ,

T h e I n s t i t u t e o f E l e c t r o n i c s , I n f o r m a t i o n a n d C o m m u n i c a t i o n E n g i n e e r s , T e c h n i c a l R e p o r t o f I E I C E , C O M P 9 3 - 7 3  

( 1 9 9 4 - 0 1 ) ( D e p a r t m e n t o f C i r c u i t s a n d S y s t e m s , F a c u l t y o f E n g i n e e r i n g , H i r o s h i m a U n i v e r s i t y ) .

1 9 8 5 ]

 

E . T a r d o s , A s t r o n g l y p o l y n o m i a l m i n i m u m c o s t c i r c u l a t i o n a l g o r i t h m , C o m b i n a t o r i c a 5 ( 1 9 8 5 ) 2 4 7 - 2 5 5 .

1 9 7 3 ] D . L . W a n g a n d D . J . K l e i t m a n , O n t h e e x i s t e n c e o f   n  - c o n n e c t e d g r a p h s w i t h p r e s c r i b e d d e g r e e s   (  n    2 ) 

N e t w o r k s , 3 , ( 1 9 7 3 ) p p . 2 2 5 - 2 3 9 .

1 9 8 7 ] T . W a t a n a b e a n d A . N a k a m u r a , E d g e - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s , C o m p u t e r a n d S y s t e m S i e n c e s ,

V o l 3 5 , N o . 1 , ( 1 9 8 7 ) 9 6 - 1 4 4 .

1 9 8 8 ] T . W a t a n a b e a n d A . N a k a m u r a , 3 - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n p r o b l e m s , i n P r o c e e d i n g s I E E E I n t e r n a t i o n a l  

S y m p o s i u m o n C i r c u i t s a n d S y s t e m s , 1 9 8 8 , p p . 1 8 4 7 - 1 8 5 0 .

1 9 9 3 ] T . W a t a n a b e a n d A . N a k a m u r a , A m i n i m u m 3 - c o n n e c t i v i t y a u g m e n t a t i o n o f a g r a p h , J . C o m p u t e r a n d S y s t e m  

S c i e n c e s , V o l . 4 6 , N o . 1 , 1 9 9 3 , p p . 9 1 - 1 2 8 .

1 9 9 3 ] D . P . W i l l i a m s o n , O n t h e d e s i g n o f a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m s f o r a c l a s s o f g r a p h p r o b l e m s , P h . D . T h e s i s ,

M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y .

2 3