Conjuntos numéricos · Conjuntos numéricos Los números son un producto de la mente humana que...

Momento de lectura

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Conjuntos numéricosLos números son un producto de la mente humana que han encontrado aplicación en el entorno cultural y social, de tal suerte que el mundo actual no sería el mismo sin ellos. Conforme las necesidades humanas aumentaron, se fueron creando distintos ti-pos de números, los cuales se agruparon en conjuntos numéricos.

Números naturalesUtilizados para labores de conteo de objetos, los constituyen los enteros positivos {1; 2; 3; 4; 5; 6 …}.

Números negativosLos números negativos aparecieron dada la nece-sidad de representar deudas, se identifican aña-diendo un símbolo a los naturales diferentes del cero. {–1; –2; –3; –4; –5; …}

¿QUÉ SON?

Números racionalesSurgieron de la necesidad de com-parar dos cantidades. Se definen como la razón entre dos números enteros.

Ejemplos:

Números irracionalesSurgen de la imposibilidad de expresar numé-ricamente ciertas cantidades, como una razón entre dos números enteros. Ejemplo de ellos, es la razón entre la longitud de la circunferencia y la longitud del diámetro.

Números realesEs el conjunto numérico que contiene tanto a los números racionales como a los irracionales. Su utilidad es muy va-riada.

Números enterosResultado de la unión de los núme-ros naturales y los números negativos {–2; –1; 0; 1; 2 …}.

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43

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; ; etc.

1 � ¿Qué es un conjunto numérico? Menciona un ejemplo.

Antes de la lectura

� Lee el texto. Luego, resalta los datos más importantes.

Durante la lectura

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Después de la lectura

4. ¿Por qué es importante tener conjuntos numéricos en nuestra vida cotidiana? Explica.

1. Lee atentamente los enunciados de ambas columnas. Luego, relaciónalos.

a. Realiza labores de conteo de objetos.

b. Compara dos cantidades.

c. Representan deudas.

d. Contiene a los números racionales e irracionales.

e. Expresa la razón entre dos números enteros.

1. Números reales

2. Números naturales

3. Números racionales

4. Números negativos

5. Números irracionales

2. Identifica los conjuntos numéricos. Luego, representa de forma gráfica la relación entre los diferentes conjuntos numéricos.

3. Escribe 5 ejemplos de números racionales y números irracionales.

Reflexiona sobre tu proceso de comprensión.• ¿Tuve dificultades para comprender el texto? • ¿Qué estrategias utilicé para solucionarlas?

Metacomprensión

Responsabilidad

Autonomía

Promueve el aprendizaje en equipo.

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Teoría de conjuntos

1. Analiza la situación.

3. Comunica su comprensión sobre situaciones.

2. Traduce situaciones.Identifica los conjuntos que aparecen en el texto. Luego, escríbelos.

Carlos es un estudiante de primer año y, junto a sus compañeros, apoya en un centro de acopio de ropa para los damnificados por el friaje del sur del país. Ellos observan, en cierto momento, que de las 220 per-sonas que llegan, 150 donan chompas y 120, pantalones.Responde. ¿Cuántas personas donaron chompas y pantalones? ¿Cuántas personas donaron solo chompas? ¿Cuántas personas donaron solo pantalones?

a. En el centro de acopio, Luis dona solo chompas. Representa de forma gráfica y simbóli-ca dicha información.

Autonomía

Pide a un compañero(a) que te evalúe.• ¿Participé activamente y regulé mis acciones en el desarrollo del laboratorio?• ¿Colaboré con mis compañero(as) y los ayudé a aprender?

Coevaluación

Slideshare: http//slideshare.net/guest59e22b5/teoría-de-conjuntos-1670190e n t o r n o VIRTUAL

Las páginas web propuestas han sido verificadas. Es importante recordar que muchas de ellas tienen período determinado de vigencia.

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4. Usa estrategias y procedimientos.

5. Argumenta afirmaciones.

¿Qué estrategias utilizarías para resolver la situación problemática planteada inicialmente?

b. Representa de forma gráfica y simbólica a las personas que donan solo pantalones y a las personas que donan ambos tipos de prenda.

a. ¿Por qué crees que se debe asumir que todas las personas donaron, por lo menos, al-gún tipo de prenda? Explica.

b. ¿Qué diferencia hay entre conjunto vacío y conjunto unitario? Explica con algunos ejemplos.

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Aplica tus aprendizajes

Teoría de conjuntosRecuerda lo aprendido

Comprensión Extensión

Todos los elementos de un conjunto pertene-

cen a otro.

Se nombran las caracte-rísticas en común.A = {x /x < 4}

Los conjuntos tienen los mismos elementos.

Se nombra cada uno de los elementos del

conjunto.A = {0; 1; 2; 3}

Igualdad de conjuntosInclusión de conjuntos

Determinación Relaciones

1. Determina por comprensión el conjunto A. A = {lunes, martes, miércoles; …; domingo}

3. Del gráfico anterior, determina por extensión el conjunto C. Luego, indica su cardinal.

4. Calcula la suma de los elementos del siguiente conjunto:

M = {2x + 1/x ∈ , 3 < x 7}.

2. El siguiente gráfico corresponde a los conjuntos A, B y C. Escribe el conjunto B con sus respecti-vos elementos.

msun t

vq

w x

C

BA

pr

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Scribd: https://es.calameo.com/read/00306699994f354816c26e n t o r n o VIRTUAL

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Recuerda la estrategia de aprendizaje (mapa semántico) y aplícala en algunos ejercicios.

CONJUNTOS

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Resuelve problemas de cantidad - Aritmética

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A = {Los planetas del sistema solar}

Conjunto infinito

B = {x/x ∈ , 8 < x < 9}Conjunto unitario

C = {La capital del Perú}Conjunto finito

D = {x/x es un múltiplo de 15}

Conjunto vacío

Resolución:

Rpta.:

5. El siguiente conjunto está formado por algunas notas musicales:

P = {do, do, do, mi, mi, fa, sol, sol}. ¿Cuál es el cardinal de dicho conjunto?

6. Une mediante una línea cada conjunto con su respectivo nombre según su cantidad de ele-mentos.

8. Observa el siguiente gráfico:

Resolución:

Rpta.:

9. Si Q = {5a – 8; 27; 4b + 3} es un conjunto unita-rio, calcula el valor de “a2 + b2".

Resolución:

Rpta.:

10. Se tienen los siguientes conjuntos iguales:A = {7x – 1; 34}, B {y2 – 2; 62},

de modo que y ∈ . ¿Cuál es el valor de x + y + 1? Explica tu procedimiento.

7. Completa cada uno de los siguientes enunciados:

a. Un conjunto finito tiene

b. El representa al conjunto universal.

c. La relación de se establece entre elemento y conjunto.

Luego, coloca en cada paréntesis V si la propo-sición es verdadera, o F si es falsa.

• 2 ∈ A • 7 ∈ C • 1 ∉ B • D ⊂ A

• 6 ∉ • B ⊂ C • 3 ∉ A • A ⊂

Resolución:

Rpta.:

11. Si el conjunto A tiene 128 subconjuntos, calcula el valor de 3[n(A)] + 63 .

A

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7 6

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B

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22Resuelve problemas de cantidad - Aritmética

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Asume el retoExcelencia

Resuelve los siguientes ejercicios de forma individual: Resuelve los siguientes ejercicios de forma grupal:

Nivel 1 Nivel 2

Busca soluciones

5. Si M = {a + b; 13} y N = {a – b; 35} son con-juntos iguales, ¿cuál es el valor de la expresión

2a + 3b + 19?

a. 7 b. 9 c. 10 d. 11 e. 13

4. Calcula el valor de “x + y”, si el siguiente con-junto es unitario:

A = {2x; 3y + 1 – 17; 64}.

a. 6 b. 8 c. 9 d. 10 e. 12

3. ¿Cuál es el cardinal del siguiente conjunto?

P = 5x – 12

/ x , 3 < x < 12 .

a. 2 b. 4 c. 6 d. 7 e. 9

2. Determina la suma de los elementos del conjunto M = {(2x – 3)2/ x ∈ , 5 < x 8}.

a. 312 b. 324 c. 368 d. 371 e. 378

1. Si B = {x + 1/x ∈ , 3 x < 10}, indica cuántos elementos múltiplos de 4 tiene el conjunto.

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

2. Se tienen los siguientes conjuntos: A = {8; 9; 10; 11; 12}, B = {x/x ∈ , 41 < x < 42},C = {5; 5; 5; 5; 5},D = {x/x ∈ , x 25}.Si F, I, V y U representan a un conjunto finito, infinito, vacío y unitario, respectivamente, mar-ca la alternativa correcta según el orden de los conjuntos dados.

a. F, V, U, I b. F, U, V, I

c. V, F, I, Ud. F, V, U, I

e. V, F, U, I

a. 5 ∈ Mb. {5; 7} ⊂ M

c. {19} ⊂ Md. {2} ∈ M

e. 7 ∉ M

3. Dado el conjunto M = {{2}; 5; 7; 19}, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta?

UNMSM 2017 – II

» Un aula está conformada por estudiantes de ambos sexos y A es el conjunto de varones del aula. Si se sabe que en el aula hay más mujeres que varones y que n[P(A)] + n[P(A')] = 80, don-de n[P(A)] denota el número de subconjuntos de A, determina en cuánto excede el número de mujeres al número de varones.

a. 2 b. 3 c. 1 d. 4 e. 5

1. Señala una representación por comprensión del conjunto P = {11; 13; 15; 17; …}.a. P = {x/x es un número impar}b. P = {x/x es un número impar menor que 17}c. P = {x/x es un número impar mayor que 10}d. P = {x/x es un número impar menor que 9}e. P = {x/x es un número impar menor o igual que 17}

4. Respecto al siguiente diagrama:

determina el valor de verdad de las proposiciones.I. A ⊂ II. C ⊄ A III. B ⊂ A

a. V F V b. F V F

c. F F Fd. V V V

e. V F F

BAC

Aplica la ficha de Coevaluación que se encuentra en Corefonet Docentes.

Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

• ¿Qué aprendí? • ¿Cómo lo hice? • ¿Qué dificultades tuve? • ¿Cómo las superé?

Metacognición

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Operaciones de conjuntosRecuerda lo aprendido

Intersección

Diferencia simétrica

Unión

Complemento

Diferencia

1. Sombrea la región que representa a cada una de las operaciones entre conjuntos.

3. Se tiene el siguiente gráfico para los conjuntos A y B:

2. Observa el diagrama y escribe los elementos que pertenecen a C – (A B).

Resolución:

Rpta.:

Coloca, en los paréntesis, V si la afirmación es verdadera, o F si es falsa.• A B = {i} • A B = {a, e, o, u} • A – B = {o, u} • a ∉ B – A

BA

A B

BA

A B

BA

A – B

A B

A B =

A B

A B

A B

A – B = A

BA

A B = B

BA

A B = A A – B

A B

BA

A ∆ B

2

6

7

A B

5

8 14C

3

B

A CB

ML

A B

(A – B) (C – B)

M T

(B – A)'

(M ∆ N)'

(L M)'

A

B

T M N

A

Mi

e

a

o

A

B

u

A

A' = – A

Scribd: https://es.slideshare.net/jve18/2-operaciones-con-conjuntose n t o r n o VIRTUAL

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Recuerda la estrategia de aprendizaje (esquema gráfico) y aplícala en algunos ejercicios.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

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Resolución:

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Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

4. Dados los siguientes conjuntos:P = {3; 5; 9; 10} y Q = {6; 8; 10},

determina la suma de los elementos de P Q.

Resolución:

Rpta.:

5. Se tienen los siguientes conjuntos: = {1; 2; 3; …} A = {x ∈ / x es múltiplo de 2} B = {x ∈ / x es múltiplo de 5} C = {x ∈ / x < 35} Indica cuántos elementos tiene A B C.

Resolución:

Rpta.:

6. Si: M = {x/x ∈ , 4 x < 10}, N = {x + 2/x ∈ , 5 < x 12}, determina N – M.

7. En el diagrama mostrado, calcula la suma de los elementos de (C' A') (A B)'.

8. Dados los siguientes conjuntos: P = {2x/x ∈ , 0 x 4}, Q = {x3/x ∈ , x 0}, ¿cuál es la diferencia entre el mayor y menor ele-

mento de P Q?

9. Se tienen los siguientes conjuntos: A = {3x + 1 / x ∈ , 1 x < 8} B = {x – 2 / x ∈ , 6 x < 12} C = {x2 / x ∈ , 1 x < 5} Calcula el cardinal de (A C) – (A B). ¿De qué otra forma podrías resolver el ejercicio?

7213

6

5A B

8C

4

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Metacognición

Busca soluciones

a. 10 b. 12 c. 14 d. 15 e. 18

3. Si A = {3; 4; 4; 5; 5; 5} y B = {2; 3; 6, 7}, calcula la suma de los elementos de B – A. UNFV 2014 – II

» Si = {x/x ∈ , 0 < x 9}, (A B)' = {9}, A B = {2; 4; 5} y A – B = {1; 8}, ¿cuál es la suma de los elementos de B – A?

a. 11 b. 14 c. 16 d. 18 e. 29

2. Observa el gráfico e indica cuántos elementos tiene la operación (P – Q)'.

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

2 6

45 9

8

QP

4. Dados los siguientes conjuntos: = {0; 1; 2; 3; …;16}

M = {x / x ∈ ∧ x es divisor de 15}N = {x / x ∈ ∧ x es divisor de 12}Calcula el cardinal de (M – N)'.

a. 10 b. 12 c. 14 d. 15 e. 16

2. Se tienen los siguientes conjuntos:E = {x ∈ / x2 = 25}F = {x ∈ / x + 3 = 8}G = {1; 3; 5; 15}Determina (E F) G.a. {0} b. {1} c. {3} d. {4} e. {5}

1. Si A = {1; 2; 8}, B = {2; 4} y C = {1; 9; 6; 2}, indica cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:a. A B = {2}b. B C = {2}c. A C = {1; 2}

d. (A B) C = {1; 2}e. C – A = {9}

1. Marca la alternativa que muestre la operación entre conjuntos que representa la región pinta-da en cada uno de los siguientes gráficos:

a. A Bb. (A ∆ B)'

c. A – Bd. (A B)'

e. A' B'

a. A Bb. A' B

c. A ∆ Bd. (A B)'

e. B – A

a. B – Ab. A B

c. A Bd. A – B

e. A ∆ B

A

A

I.

II.

III.

B

B

3. ¿Qué operación representa la región pintada?

a. (A B) Cb. A B Cc. (A B)'

d. (A ∆ B)'e. (A – B)'

A

B

C

A B

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Problemas con conjuntosRecuerda lo aprendido

a: N.° de personas que solo hablan inglés. c: N.° de personas que solo hablan italiano. b: N.° de personas que hablan inglés e italiano. d: N.° de personas que no hablan inglés ni italiano. a + c: N.° de personas que hablan solo un idioma. a + b + c: N.° de personas que hablan inglés o italiano.

1. El siguiente gráfico muestra algunas de las acti-vidades que realizan un grupo de personas los fines de semana:

2. Se realizó una encuesta a un grupo de estudian-tes respecto a su curso favorito. Los resultados se muestran en el siguiente gráfico:

Escribe en las líneas la respuesta a cada pre-gunta.

a. ¿Cuántas personas prefieren bailar? Rpta.: b. ¿Cuántas personas prefieren solo cantar?

Rpta.:c. ¿Cuántas personas realizan otro tipo de activi-

dades?Rpta.:

4 63

2

BailarCantar

Interpreta el gráfico. Luego, une mediante una línea cada enunciado con su respectiva res-puesta.

a. Prefieren Matemática. 7 estudiantes

b. Prefieren solamente Comunicación.

5 estudiantes

c. Prefieren CTA y Ma-temática.

4 estudiantes

d. Prefieren otros cursos. 19 estudiantes

e. Prefieren solamente CTA y Comunicación.

8 estudiantes

8 16

23 4

7 5

CTAMatemática

Comunicación

Sean los conjuntosA = {Personas que hablan Inglés}B = {Personas que hablan italiano}

Gráficamente

a cb

d

BA donde

Scribd: https://es.scribd.com/doc/103184351/Problemas-Con-2y3Conjuntose n t o r n o VIRTUAL

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Recuerda la estrategia de aprendizaje (Diagrama de Venn) y aplícala en algunos ejercicios.

PROBLEMAS CON CONJUNTOS

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Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

3. De un grupo de 32 personas, se sabe que 16 prefieren ir a la piscina; 25 gustan de la playa y 12 asisten a ambos lugares. ¿Cuántas personas no prefieren ni la piscina ni la playa?

Resolución:

Rpta.:

4. En una academia deportiva hay 60 niños de los cuales 50 practican fútbol y 28, básquet. Ade-más, todos practican por lo menos uno de los deportes mencionados. Determina cuántos ni-ños practican ambos deportes.

Resolución:

Rpta.:

5. Se realizó una encuesta a 500 personas respecto de su preferencia por la mantequilla y/o el que-so, observándose que 200 no consumen mante-quilla y 120 no consumen queso. ¿Cuántas per-sonas consumen ambos productos?

6. En un instituto de idiomas se sabe que:

7. Un encuestador preguntó a un grupo de adoles-centes sobre qué red social usan para compar-tir fotos y obtuvo que 45 usan solo Facebook, 12 solo Instagram y Facebook, 21 no usan Ins-tagram pero sí Facebook y Pinterest, y 5 usan las tres redes sociales. Si todos los encuestados usan Facebook y 3 no usan ninguna red social, ¿cuántos adolescentes fueron encuestados?

• 40 estudian italiano. • 25 estudian francés. • 7 estudian inglés y francés. • 24 estudian inglés. • 10 estudian inglés e italiano. • 8 estudian italiano y francés. • 3 estudian los 3 idiomas.

Determina cuántos estudiantes hay en el institu-to. Argumenta tu respuesta.

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Nivel 1 Nivel 2




Metacognición

Promueve el aprendizaje autónomo y en equipo.Busca soluciones

4. Se realizó una encuesta a 120 personas respec-to de su canal preferido y se obtuvo que:• 37 ven el canal 4.• 52 ven el canal 2.• 34 ven el canal 9.• 17 ven los canales 9 y 2.• 15 ven los canales 4 y 2.• 12 ven los canales 4 y 9.• 30 ven otros canales. Calcula cuántas personas prefieren ver los 3 canalesa. 6 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11

3. De un total de 100 personas, se sabe que los que juegan tenis y vóleibol son la mitad de los que juegan tenis, y la tercera parte de los que juegan solo vóleibol. Si todos practican por lo menos uno de los deportes mencionados, ¿cuántas jue-gan solo tenis?a. 15 b. 18 c. 20 d. 24 e. 30

2. En una academia de artes marciales hay 400 ni-ños de los cuales, 150 practican taekwondo; 200, kung - fu y 120 no practican ninguno de estos depor-tes. Indica cuántos niños practican ambos deportes.a. 48 b. 60 c. 65 d. 70 e. 85

1. En un salón de 35 estudiantes, se sabe que 18 aprobaron Matemática; 5, Comunicación y Ma-temática, y 10 desaprobaron ambos cursos. ¿Cuántos estudiantes aprobaron solamente Co-municación?a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9

UNMSM 2016 – I

» De un total de 120 personas encuestadas, 25 hablan inglés y francés, 40 solo hablan fran-cés y 20 no hablan ninguno de estos idiomas. Calcula el número de personas que habla solo uno de estos idiomas.

a. 65 b. 75 c. 85 d. 80 e. 70

3. De un grupo de 95 personas se sabe que 30 es-tudian; 60 trabajan; 10 estudian y trabajan. Deter-mina cuántas personas no estudian ni trabajan. a. 12 b. 15 c. 18 d. 20 e. 24

1. Señala la alternativa que representa la región pintada en el siguiente gráfico:

a. Las personas que practican karate.b. Las personas que practican natación.c. Las personas que practican karate y natación.d. Las personas que practican solo natación.e. Las personas que practican solo karate.

karate natación

2. El gráfico muestra los resultados de una en-cuesta que se realizó a un grupo de personas respecto al turno mañana (M), tarde (T) o no-che (N) en que asisten al gimnasio.

C. ¿En cuánto excede el número de personas que van en la noche respecto de los que concurren en la mañana y en la tarde?a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11

B. ¿Cuántas personas asisten solamente en la tarde?a. 1 b. 4 c. 5 d. 7 e. 12

A. ¿Cuántas personas asisten en la mañana?a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10

Observa el gráfico y responde.

M T

N3

1 52

16 7

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Expresiones algebraicas y polinomiosRecuerda lo aprendido

EXPRESIÓN ALGEBRAICA POLINOMIOS ESPECIALES

Es un conjunto de letras y números que se rela-cionan mediante las 6 operaciones aritméticas, un número limitado de veces

Término algebraico

Polinomiohomogéneo

Polinomiocompleto

Polinomioordenado

Polinomioidénticamente nulo

Polinomiosidénticos

1. Clasifica las siguientes expresiones algebraicas marcando con un aspa en cada casillero según corresponda.

3. Determina el valor de “a + b”, si los siguientes términos son semejantes:

t1 = 3xa+7y2b–8; t2 = 7x12y10.

2. Escribe en los recuadros las partes de cada tér-mino algebraico.

Resolución:

Rpta.:

3. Si la expresión A se reduce a un solo término, ¿cuál es el coeficiente de dicho término?

A = (2a + b)x3a–9 – (a + 8)x6 + (5b)x13–b.Resolución:

Rpta.:

P(x;y) = 0,3x4y – 14

xy2 – 1

Todos sus términos tiene el mismo grado.

Tiene todos los términos des-de el mayor grado hasta el gra-do cero.

Sus coeficientes son todos iguales a cero.

Los exponentes están en for-ma ascendente o descendente respecto a una variable.

Cuando los términos semejan-tes de ambas expresiones son iguales.

–3x4y5

coeficiente parteliteral

Expresión algebraica

RacionalIrracional

Entera Fraccionaria

x5 + 2x3 – 10

2a4 – 5a3 – 14a

5x3y4 + 3 x

m1/2 – 2 m3

Expresión algebraica Coeficiente Parte literal Exponente

10x5

0,5m4n3

–5x3y4z2

5 ab

8cifras-YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=Xi2R6cVreAk&t=13se n t o r n o VIRTUAL

L. Área. Pág. 19 y 20

Recuerda la estrategia de aprendizaje (mapa conceptual) y aplícala en algunos ejercicios.

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22Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio - Álgebra

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Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

5. Reduce la siguiente expresión:N = 8x3y5 – 12x2y7 + 24xy6 + 18y7x2 + 9x3y5.

6. Si x = 3 e y = 1, calcula el valor numérico del siguiente polinomio:

A(x; y) = 7x – 2y + 5xy – y2 + 3.

7. Determina el valor de “a2 + b2”, si el mono-mio M(x; y; z) = 8x3y2a+1z4b–6 tiene G.R.(y) = 11, G.A.(M) = 16.

8. Dado el siguiente polinomio:P(x; y) = 7x6ym+3 + 10x4y4m–2 – 18xn3+4y5,

se sabe que G.R.(x) = 12, G.R.(y) = 14. ¿Cuál es el grado de dicho polinomio?

9. Si P(x; y) = x9y17 + 8xayb + xby10–a es un polino-mio homogéneo, determina el valor de “b”.

10. Si P(x) = 12x a+3 – 7x3 + 5xb2–14 + 6x + 9 es un polinomio completo y ordenado, calcula el valor de “a – b”.

11. Si se cumple que:(2x + 9)p + 3(5x – 6) ≡ 23x + q,

calcula el valor de p + q + 3. Explica tu proce-dimiento.

Resolución:

Rpta.:

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foto

copi

ar. D

.L. 8

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Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio - Álgebra

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Nivel 1 Nivel 2




Metacognición

Busca soluciones

4. Calcula el valor de “a + b”, si el siguiente polino-mio es homogéneo:

P(x; y) = 2x3ayb – 6x10y9 + 8x5a–2b+2.a. 6 b. 8 c. 9 d. 10 e. 12

6. Determina el valor de “a3 + b3”, si los polinomios P y Q son idénticos. Además:

P(x) = (4a – b)x2 + (3b + 1)x + 5, Q(x) = 17x2 + 5 + (b + 7)x

a. 145 b. 150 c. 152 d. 159 e. 165

3. Dado el siguiente polinomio:P(x; y) = 2mxmyn+4 + (n + 5)xm+3y3n2+6,

se sabe que G.R.(x) = 14; G.R.(y) = 18. Además, n > 0. Calcula la suma de coeficientes del polino-mio.a. 22 b. 25 c. 28 d. 29 e. 34

2. Se tiene el monomio M(x; y) = 3xa+b–5yb–3, de modo que G.R.(x) = 5; G.R.(y) = 2. ¿Cuál es el valor de “a”?a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7

1. Si P(x) = 5x + 4 y Q(x) = 3x – 1, determina el valor de Q(P(3)).a. 45 b. 52 c. 56 d. 59 e. 63

UNAC 2017 – I

» Si P(x) = x3 + 2x2 – 1 y Q(x) = (x + 1)[ax2 + b(x – 1)] son polinomios idénticos, calcula el valor de a

b.

a. 1/3 b. 2 c. 4 d. 1/2 e. 1

6. Determina el valor de “m + n – p”, si el grado de homogeneidad del polinomio P es 28.

P(a; b) = am+8b10 + 2a15b2n+3 + b4p.a. 6 b. 8 c. 9 d. 10 e. 12

5. Calcula el valor de “a” para que el grado absoluto de M(x; y) = –10xa+7y3a–4 sea 23.

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8

4. ¿Qué valor toma el siguiente polinomio, si a = 2 y b = 5?

P(a; b) = 6a2b + ab2 – 2ab.a. 120 b. 132 c. 140 d. 148 e. 150

3. Si los términos 5x8y13–a; 2xb+1y4 son semejantes, calcula el valor de “a + b”.a. 12 b. 13 c. 14 d. 15 e. 16

a. V F Vb. F V F

c. V V Fd. F F F

e. V V V

1. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La suma de los coeficientes de un polino-

mio de una variable se obtiene al evaluarlo para el valor de 1.

II. El polinomio que tiene dos términos se lla-ma binomio.

III. El grado absoluto de un polinomio se obtie-ne sumando los grados relativos de sus va-riables.

2. Indica la expresión que representa el perímetro del siguiente rectángulo:

a. 26x3y2 + xyb. 34x3y2 + 2xyc. 38x3y2

d. 16xye. 52x3y2 + 4xy

10x3y2 – 7xy

16x3y2 + 9xy

5. Se tiene el siguiente polinomio idénticamente nulo:P(x) = (4m – 5n + 2)x2 + (3m – 6)x – 8p + 24.

¿Cuál es el valor de 5m + n + 2p + 7?a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7

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Nociones básicas de Geometría - SegmentosRecuerda lo aprendido

1. Escribe, en los paréntesis, V si la afirmación es verdadera, o F si es falsa.

2. César hoy no fue al colegio. Para ponerse al día visitará a Fiorella y luego a Daniel, tal como se muestra en el siguiente gráfico:

3. En una avenida de 820 metros que tiene forma de línea recta, se ubican de forma consecutiva los paraderos A, B, C, D y E. Si la distancia entre B y C es el triple de la distancia entre A y B, y la distan-cia entre C y E es el doble de la distancia entre B y C, ¿qué distancia hay entre los paraderos A y C?

4. En el gráfico mostrado, C es punto medio de BD. Determina la longitud de AB.

A

Se denota con una letra mayúscula

Es una porción de la recta limi-tada por dos puntos de esta.

Punto medio de un segmento

Punto Recta

Segmento

Plano

NOCIONES BÁSICAS DE GEOMETRÍA

L

a. La recta tiene infinitos puntos.b. El plano no es ilimitado en todas sus

dimensiones.c. El rayo es un subconjunto de una recta.d. Un segmento es un rayo con dos ex-

tremos. e. El punto medio de un segmento lo di-

vide en dos segmentos congruentes.

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

A

38 cm

45 cm

B C D

C5 km 3 km

F D

Determina la distancia total que recorrerá César.

Scribd: https://es.scribd.com/document/67080944/segmentose n t o r n o VIRTUAL

L. Área. Pág. 25

Si M es punto medio de AB, entonces AM = MB.

A M B

P

Recuerda la estrategia de aprendizaje (cuadro de doble entrada) y aplícala en algunos ejercicios.

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Resuelve problemas de forma, movimiento y localización - Geometría

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5. Calcula la longitud de QR en el siguiente gráfico:7. En una recta se ubican los puntos consecutivos

A, B, C y D, de modo que BC = 15 cm y AD = 63 cm. Determina la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.

8. Sobre una recta se ubican los puntos consecuti-vos A, B, C y D. Calcula AB + CD, si se sabe que AB2

= BC3

= CD7

y AD = 84 cm.

6. En la imagen se muestran algunos faroles que se encuentran a lo largo de una calle de 68 metros.

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Resolución:

Rpta.:

P

28 cm

20 cm23 cm

Q R S

12 cm

A B C D

Rpta.:

Además, se sabe que 3(BC) = 4(CD). ¿Qué dis-tancia de separación hay entre los faroles que se encuentran sobre los puntos B y C?

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22Resuelve problemas de forma, movimiento y localización - Geometría

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Metacognición

Nivel 1 Nivel 2

Busca soluciones

1. Relaciona de forma correcta cada gráfico con la relación que se cumple.

1. El siguiente gráfico muestra parte de una parce-la donde se han colocado algunas estacas:

5. Calcula el valor de “a” (en cm) en el siguiente gráfico, si M es punto medio de AB y la longi-tud de AC es 20 cm.

A M B MB – MA = 5

Aa + 1 a

M B AM = MB

Aa + 5a

M B AM > MB

Además, se sabe que AB3

= BC5

= CD4

. Determina

la distancia entre las estacas que se encuentran en los puntos A y C.

2. Escribe en los paréntesis el valor de verdad de cada proposición respecto al siguiente gráfico:

P Q R

a. PQ + QR = PR b. PR – PQ = QR c. PR – QR = PQ d. PR QR = PQ

3. Jorge, Liliana y César viven en la misma calle. Además, entre la casa de Jorge y Liliana hay 65 m de distancia. Si entre la casa de Jorge y César hay 120 m, ¿qué distancia existe entre la casa de Liliana y César?

a. 45 mb. 52 m

c. 55 md. 58 m

e. 64 m

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8

4. En el gráfico mostrado, PR = 50 u. Determina el valor de “x”.

a. 12 b. 15 c. 19 d. 20 e. 25

P Qx x + 10

R

A BM

2a

C

3 cm

a. 35 mb. 42 m

c. 48 md. 50 m

e. 54 m

2. En el gráfico mostrado, a – b = 18 cm. Calcula la longitud de BM.

A MB

a

C

b

a. 8 cmb. 9 cm

c. 10 cmd. 12 cm

e. 14 cm

UNMSM 2017 - I

» La figura representa una vereda y los puntos A, M, B y C están ubicados en línea recta. El punto M es equidistante de A y C. Si la diferencia de las longitudes de AB y BC es 32 m, calcula la longitud de MB.

a. 17 mb. 18 mc. 16 md. 19 me. 15 m

72 m

A B C D

A M B C

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Resuelve problemas de forma, movimiento y localización - Geometría

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Ángulo trigonométricoRecuerda lo aprendido

Ángulo positivo Ángulo negativo

OA

B

lado fina

l

lado inicial

a

Sentido antihorarioa: ángulo positivo

O A

B

lado final

lado inicial

b

Sentido horariob: ángulo negativo

Se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto, desde una posición inicial o lado incial hasta una posición final o lado final.

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO


1. Escribe en cada recuadro el sentido de rotación de cada ángulo trigonométrico.

3. Se tiene el siguiente gráfico:

2. Grafica los siguientes ángulos trigonométricos:

Resolución:

a

qb

b

a

–40°

Determina el valor de verdad de cada una de las proposiciones.

I. a un ángulo en sentido horario.

II. El valor de b es –90°.

III. El valor de a es 50°.

Resolución:

Rpta.:

a. 30° b. –60° c. 120° d. –270°

Scribd: 8cifras-YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=R69VU_xUzlAe n t o r n o VIRTUAL

L. Área. Pág. 29

Recuerda la estrategia de aprendizaje (parafraseo) y aplícala en algunos ejercicios.

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5. Determina el valor de a en el siguiente gráfico:

Resolución:

Rpta.:

a – 10°

2a + 30°40° – a

4. En el gráfico mostrado, calcula el valor de “x”.

–48°130°

x+25°

Resolución:

Rpta.:

A

M B

O

5x + 20°

4° – 8x

6. En el gráfico mostrado, OM es bisectriz del án-gulo AOB. ¿Cuál es el valor de “x”?

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

aq

8. Determina una relación entre a y q según grá-fico mostrado.

¿De qué otra forma podrías resolver el ejercicio?

Resolución:

Rpta.:

7. Calcula el valor de 7x + 1, si se tiene el si-guiente gráfico:

(9x - 3)° (13 - 11x)°

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Resuelve problemas de forma, movimiento y localización - Trigonometría

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Metacognición

Nivel 1 Nivel 2

Busca soluciones

1. Une mediante flechas cada ángulo y su respec-tivo sentido.

3. ¿Cuál es el valor de “x” en el gráfico mostrado?

1. En el siguiente gráfico, ¿cuál es el valor de q?

2. Calcula el valor de " 8x + 1" en el gráfico mos-trado, si OM es bisectriz del ángulo AOB.

3. De acuerdo al siguiente gráfico:

4. En el gráfico mostrado, calcula el valor de “x”.

a

b

q

sentido horario

sentido antihorario

2. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. La medida de un ángulo trigonométrico puede ser negativo.

II. La medida del ángulo trigonométrico pre-senta restricciones.

III. Para realizar operaciones con ángulos trigo-nométricos, estos deben encontrarse en un mismo sentido.

a. V V Vb. V F F

c. F V Fd. F F F

e. V F V

a. 3°b. 4°c. 5°d. 7°e. 9°

a. 4b. 5c. 6d. 7e. 8

a. 10°b. 12°c. 14°d. 15°e. 21°

a. 15°b. 18°c. 20°d. 24°e. 25°

100°

2x–3x

5°-3x

7x-5°

4q - 60° 7q + 15°

marca la relación correcta entre a y q.a. a + q = 270°b. a – q = 270°c. q – a = 270°

d. a – q = 180°e. a + q = 180°

q

a

(5x – 3)°

(9 – 6x)°

B

A

M

O

» Determina la relación entre a y b según el si-guiente gráfico:

a. a + b = 50°b. a + b = 40°c. a + b = 90°d. b – a = 130°e. b – a = 140°

ba

–40°


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a IIntroducción a la Estadística

Recuerda lo aprendido

Cualitativa Cuantitativa

Es aquella que indique una cualidad

DiscretaNominal

ContinuaOrdinal

Es aquella que puede to-mar valores numéricos

Variabe estadistica

ESTADÍSTICA


1. Reconoce y escribe la población, muestra, varia-ble estadística y tipo de variable en cada uno de los siguientes textos:

2. Indica el tipo de variable estadística en cada caso.

3. Completa la siguiente tabla:

a. Raquel cursa el primer año de secundaria y de-sea conocer qué redes sociales utilizan los estu-diantes de secundaria de su colegio. Para esto, realiza una encuesta para recoger ciertos datos.

Población:

Muestra:

Variable:

Tipo de variable:

b. Un centro de salud realiza un estudio so-bre la estatura de los niños de una ciudad. Para esto, toma la estatura de 150 niños de diferentes edades.

Población:

Muestra:

Variable:

Tipo de variable:

• Deporte favorito• Temperatura• Velocidad• Grupo sanguíneo• Grado de instrucción

Resolución:

Variable Tipo Datos

EdadCuantitativa

discreta

Peso

Estado civil

Soltero, casado

N.° de juguetes

Cuantitativa discreta

Estatura 1,70 m, 1,65 m

Vitutor: https://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/estadistica.htmle n t o r n o VIRTUAL

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Recuerda la estrategia de aprendizaje (cuadro comparativo) y aplícala en algunos ejercicios.

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a I 4. Escribe 2 ejemplos de variable cualitativa nomi-

nal y ordinal.7. Propón una muestra para cada una de las si-

guientes poblaciones y determina una variable que las caracterice.

8. Se realizó una encuesta a un grupo de estudian-tes del primer año de secundaria respecto al nú-mero de horas que navegan en internet durante una semana. Los resultados se muestran a conti-nuación:

5. Determina la variable y el tipo de variable que describe el siguiente gráfico.

6. Observa el gráfico de barras y responde.

Variable:

Tipo de variable:

a. ¿Cuál es la variable estadística en estudio? b. ¿Qué tipo de variable es?

c. ¿Cuántas niñas constituyen la muestra?

d. ¿Cuántos niños conforman la muestra?

a. ¿Cuál es la muestra? b. ¿Cuál es la variable estadística?

c. ¿Qué tipo de variable es, según los datos?

Resolución:

500

400

300

200

100

0Enero Febrero Marzo Abril

Cantidad de libros

Meses

Libros vendidos por mes

Muestra

Variable:

a. Población: Estudiantes de un colegio de Lima

Muestra

Variable:

b. Población: Jugadoras profesionales de la Liga Nacional de Vóleibol

Muestra

Variable:

c. Población: Niños de 10 a 13 años de un pueblo de Iquitos.

8 12 12 14 14

6 14 12 10 8

10 12 12 8 6

4 4 10 12 4

12

10

8765432

0Béisbol Fútbol

americanoFútbol Atletismo BásquetbolTenis

Deportes favoritos

Niños Niñas

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Metacognición

Nivel 1 Nivel 2

Busca soluciones

1. Relaciona con una flecha la población con su respectiva muestra.

1. Marca la alternativa correcta respecto al tipo de variable en cada uno de los siguientes casos:

2. Indica si las siguientes variables son cuantitati-vas (CN) o cualitativas (CL):

2. En la siguiente tabla, marca con un aspa (x) el tipo de variable estadística que se indica:

Estudiantes del co-legio Los Líderes

Estudiantes del primer año del co-

legio Los Líderes

Turistas que visi-taron Cusco en el

2018

Aves del Parque de las Leyendas

Animales del Par-que de las Leyen-

das

Regiones del alti-plano del Perú

Regiones del Perú

Equipos campeones del mundial de fút-bol en el siglo XXI

Equipos campeones de los mundiales

de fútbol

Turistas brasileros que visitaron Cusco

el 2018

Variables Discreta ContinuaTemperatura de una ciudad

N.° de hermanos

Velocidad de un atleta

Nota del curso de Matemática

Peso de un gato

3. Identifica los valores de la variable estadística: “Peso de una persona”.

a. I y IIb. II y V

c. II y IIId. II, III y V

e. II, III y IV

I. 1,72 m II. 5 cm2

III. 50 kg IV. 8,5 kg

V. 20 kgVI. 12 m3

I. El estado civil de una persona es una varia-ble cualitativa …

a. nominal. b. continua.

c. ordinal.d. discreta.

II. La temperatura en una ciudad cierto día es una variable cuantitativa…

a. ordinal.b. discreta.

c. continua.d. nominal.

» Observa el gráfico de barras y responde.

a. Número de personas b. Rock c. Preferencia musical

d. Género musicale. Rap

I. Color favorito III. Estado civilII. Talla de calzado IV. Calificación

Luego, marca la alternativa correcta.

a. CL, CN, CN, CN b. CL, CN, CN, CL c. CN, CN, CL, CN

d. CL, CL, CL, CNe. CL, CN, CL, CN

¿Cuál es la variable estadística en estudio?

25

20

15

10

5

0Rock Pop Metalica RapN

úmer

o de

per

sona

s

Género musical

Preferencia musical

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Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre - Estadística y probabilidad

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Método POLYAResolución de problemas

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Problemas con conjuntos

1. Analiza la situación.

Un grupo de 60 personas apoyan a cierta comunidad de damnificados por un huaico en el sur del país. Se sabe que 32 donaron prendas de vestir y 38, alimentos no perecibles. Determina el número de personas que lle-varon prendas de vestir y alimentos no perecibles, si se sabe que todas las personas apoyaron de alguna forma.

Aplica la ficha de Coevaluación que se encuentra en Corefonet Docentes.Promueve el aprendizaje en equipo.

Autonomía

2. Comprende el problema. 4. Ejecuta el plan.

5. Verifica y examina.

6. Piensa y responde.

3. Elabora un plan.

a. ¿Tu respuesta es correcta? b. ¿Existe otro modo de resolver el problema? c. ¿Se puede utilizar esta estrategia para resol-

ver otro problema?

¿Qué dice el problema? (Datos)

¿Qué conocimiento(s) debes usar?

¿Qué estrategia(s) puedes utilizar?

¿Qué debes hallar?

a. Buscar un patrón numéricob. Realizar un diagrama de Vennc. Utilizar el método de ensayo y errord. Resolver un problema más sencillo

Material CONCRETOResolución de problemas

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Expresiones algebraicas

1. Analiza la situación. 2. Identifica el problema y escribe de qué trata.

5. Escribe la respuesta como una oración completa.

6. Escribe otra forma de resolver el problema.

Ana y María se preparan de manera autónoma y con anticipación para un examen que será evalua-do por el Ministerio de Educación. En la parte superior se muestra una de las preguntas que de-sean resolver.

Observa lo que representa cada figura:

x 1x2

Esta figura representa

a x.

Con figuras como las anteriores, ¿cómo representarías la operación y el resul-tado de: x2 + 1 + 3x + 2 + 2x2?


a 1.


a x2.

3. Representa la situación problemática mediante el uso de material concreto y muestra el procedimiento.

4. Realiza las operaciones y escribe los resultados.

Material concreto:

Aplica la ficha de Coevaluación que se encuentra en Corefonet Docentes.Promueve el aprendizaje en equipo.

Autonomía

TijeraPapelógrafo

35

Taller de práctica 1Li

bro

de A

ctiv

idad

es -

Mat

emát

ica

I©

Edi

cion

es C

oref

o S.

A. C

. Pro

hibi

do re

prod

ucir.

D. L

. 822


2. Dados los conjuntos A = {5; 7; 9; 11} y B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10}, calcula el cardinal de [(A B) – (A B)].

a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 e. 12

3. A 50 estudiantes de una academia les pregun-taron por el deporte que practican. De estos, 35 respondieron fútbol y 28, vóleibol. Si al menos practican uno de los deportes, ¿cuántos estu-diantes practican ambos deportes?a. 13 b. 15 c. 17 d. 20 e. 22

4. Si los términos 5xayb, –9x6y8 son semejantes, cal-cula el valor de “a + b”.

a. 10 b. 13 c. 14 d. 16 e. 19

5. Determina el valor numérico del polinomio A(x; y) = 10xy – y2 + 2x3, para x = 2; y = 5.

a. 78 b. 80 c. 84 d. 91 e. 95

7. ¿Qué tipo de variable estadística cualitativa es el color de un auto?

a. Discreta b. Continua

c. Nominald. Ordinal

a. 6 b. 9 c. 10 d. 12 e. 14

1. Respecto a los conjuntos disjuntos A y B se sabe que A tiene 16 subconjuntos y B, 64 subconjuntos.

¿Cuál es el valor de n(A) + n(B)?

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

2. Dados los siguientes conjuntos: A = {x + 1/x ∈ , 2 x < 6}, C = {x2/ x ∈ , 0 x < 5}, indica cuántos elementos tiene A C.

a. 15 b. 16 c. 18 d. 24 e. 25

4. Dados los polinomios A(x) = 6x – 3 y B(x) = 2x – 1, determina el valor de A(B(2)).

a. 35 cmb. 39 cm

c. 44 cm d. 48 cm

e. 55 cm

5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos y colineales M, N, O y P, de modo que MP = 66 cm. Calcula el valor de MN + OP, si se cumple que MN = NO

2 = OP

3 .

1. Determina por extensión el siguiente conjunto:

a. 12 b. 18 c. 25 d. 30 e. 32

A = {2x – 1/x ∈ ,1 x < 6}.Luego, indica la suma de sus elementos.

a. 5 b. 6 c. 7 d. 9 e. 10

3. Si el polinomio P es homogéneo, calcula el valor de “m”.

P(x; y) = 8x6y5 – x4ym + xy10.

6. En el siguiente gráfico, OM es bisectriz del ángu-lo AOB. Calcula el valor de “x”.

a. 4°b. 5°c. 6°d. 7°e. 8°

3x – 50°

4x + 15°O

A

M

Ba. α – β = 90°b. α + β = –180° c. α – β = –180° d. α – β = 180°e. α – β = –90°

» De acuerdo al gráfico mostrado, señala la alter-nativa correcta.

α

β





Metacognición

Nivel 1 Nivel 2

Autoevaluación

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a I

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

repr

oduc

ir. D

. L. 8

22

36

Helado favorito

En un grupo de 70 niños y niñas, a 20 les gusta solo el helado de fresa y a 35 solo el helado de chocolate. Si a 10 niños no les gusta el helado ni de fresa ni de chocolate, ¿a cuántos niños les gustan los dos sabores de helado?

1

3. Responde las siguientes preguntas:

1. Representa mediante un diagrama de Venn los conjuntos y datos de la situación problemática.

Resolución:

2. Emplea la estrategia adecuada para encontrar la respuesta correcta.

Resolución:

Rpta.:

a. ¿Cuántos niños prefieren el helado de fresa?

Rpta.:

b. ¿Cuántos niños prefieren el helado de chocolate?

Rpta.:

2. Calcula el pago que se realizó por 5 días de tra-bajo.

Resolución:

Rpta.:

3. Calcula el pago que se realizó por 2 semanas de trabajo.

Resolución:

Rpta.:

1. Determina una expresión algebraica que repre-sente el pago total T que se realizará por “x” días de trabajo. Resolución:

Rpta.:

Una empresa ofrece en alquiler el modelo de auto mostrado.

Alquiler de taxis

EN ALQUILERS/ 80 por día +

S/ 30 por derecho de alquiler (pago único)

Promueve el aprendizaje autónomo.

37

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a I

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

repr

oduc

ir. D

. L. 8

22

Mariana y sus hermanos participan en una carrera de atletismo. Se sabe que José se ubica al inicio de la pista, Mariana, 7 me-tros después del punto medio, y Carlos, exactamente entre los dos. Además, la pista atlética mide 106 metros.

Un grupo de amigos realiza una encuesta a sus compañeros de secundaria sobre las redes sociales que emplean. Los datos se muestran en el siguiente gráfico estadístico:

Una carrera de atletismo Redes sociales

1. Representa de forma gráfica las condiciones del problema.

Resolución:

2. Calcula la distancia que recorrerá cada uno de los hermanos. Resolución:

3. Responde las siguientes preguntas: a. ¿Qué red social tiene mayor preferencia?

b. ¿Cuántas personas usan MySpace?

Rpta.:

Rpta.:

Rpta.:

3. Responde las siguientes preguntas: a. ¿Quién recorrió la mayor distancia?

b. ¿Quién recorrió la menor distancia?

c. ¿Cuál es la diferencia entre los recorridos de Carlos y Mariana?

Rpta.:

Rpta.:

1. Organiza la información obtenida en la siguiente tabla:

Red social N.° de personas40

Facebook

15

Fotolog

MySpace

5

2. ¿Cuál es la muestra, la variable estadística de es-tudio y qué tipo de variable es? Resolución:

Aplica la Evaluación (heteroevaluación) que se encuentra en la Guía del docente y en Corefonet Docentes.

N° de personasRedes sociales

4540353025201510

50

WhatsApp

FacebookTwitterFotolog

MySpaceOtros

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