Joel Eduardo Suárez Ramos 9310372

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que la incógnita es una función y en la que además de la propia incógnita aparecen derivadas suyas. Las derivadas pueden ser parciales, tambien las podemos distinguir porque contienen derivada y diferenciales.

Se denomina orden de la ecuación diferencial el grado de la derivada  máxima que figura en ella.

¿A que se le llama grado?

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Una solución general es una generalización de todas las posibles soluciones de la ecuación diferencial.

Solución particular.

Si en un problema nos plantean además una serie de valores concretos que debe adoptar la función o sus derivadas en un punto concreto, estamos ante lo que se denomina un problema de  valores iniciales.

Cuando los valores iniciales abarcan conjuntos completos de valores, por ejemplo del tipo "el valor de la función para cualquier punto de esta zona debe ser 0", entonces el problema se denomina problema con condiciones de contorno, es decir, se imponen restricciones sobre un determinado contorno espacial.

En los problemas de contorno o de valores iniciales no se busca una solución general sino una solución particular. 

Las soluciones de una ecuación diferencial forman un haz de curvas. A menudo nos interesa hallar la familia de curvas que las cortan perpendicularmente, que llamaremos trayectorias ortogonales.

Para ello partimos de la ecuación diferencial:

“H” nos da una relación entre las coordenadas de un punto y la tangente en dicho punto de la curva solución. Supongamos que es posible despejar  “Y”. En tal caso:

En el caso de partir de la solución general, se debe derivar 

Respecto de “X” y eliminar “C” entre ambas ecuaciones. Ejemplo:

Derivamos: Operamos:

Luego la trayectoria ortogonal es:

Si dibujamos en azul las curvas originales y en rojo las ortogonales, veremos que son respectivamente curvas parabólicas de orden 3 y elipses.

Sea dada una ecuación diferencial donde la función está definida en un recinto D del plano XOY que contiene el punto Si la función satisface a las condiciones:

 es una función continua de dos variables x e y, en el recinto D;

 admite derivada parcial continua con respecto de x e y en el recinto D, entonces, existe una, y sólo una, solución de la ecuación dada que satisface a la condición .

La condición se llama condición inicial. El problema de la búsqueda de la solución

de la ecuación que satisface la condición inicial , lleva el nombre de Cauchy.

Geométricamente esto significa que se busca la curva integral que pasa por el punto dado del plano XOY (fig. 1.2).

El teorema expresa las condiciones suficientes para la existencia de solución única del problema de Cauchy para la ecuación pero estas condiciones no son necesarias. Precisamente, puede existir una solución única de la ecuación que satisface a la condición , a pesar de que en el punto no se cumpla la condición a) o la condición b), o estas condiciones simultáneamente.

http://www.ciencia.net/VerArticulo/matematicas/Ecuación-Diferencial?idArticulo=34

http://enciclopedia.us.es/index.php/Ecuación_diferencial#Orden_de_la_Ecuaci.C3.B3n_Diferencial

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_diferencial#Grado_de_la_ecuaci.C3.B3n

http://html.rincondelvago.com/ecuaciones-diferenciales-de-orden-uno_1.html