Complex Conjugate

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1. From Wikipedia, the free encyclopedia2. Lexicographical order

Transcript of Complex Conjugate

Complex conjugateFrom Wikipedia, the free encyclopediaContents1 Absolute value 11.1 Terminology and notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Absolute value function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1 Relationship to the sign function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Derivative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3 Antiderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Distance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.1 Ordered rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.2 Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.3 Vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Analytic function 102.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Alternative characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Properties of analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Analyticity and dierentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Real versus complex analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7 Analytic functions of several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Argument (complex analysis) 143.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14iii CONTENTS3.2 Principal value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Covering space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6.2 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Complex analysis 214.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Complex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4 Major results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Complex conjugate 265.1 Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Use as a variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Complex number 306.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.1.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.1.3 Complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.1.4 History in brief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.2.1 Equality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.2.2 Ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3 Elementary operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3.1 Conjugation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.3.2 Addition and subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3.3 Multiplication and division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37CONTENTS iii6.3.4 Square root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4 Polar form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4.1 Absolute value and argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.4.2 Multiplication and division in polar form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.5 Exponentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.5.1 Eulers formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.5.2 Natural logarithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.5.3 Integer and fractional exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.6.1 Field structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.6.2 Solutions of polynomial equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.6.3 Algebraic characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.6.4 Characterization as a topological eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.7 Formal construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.7.1 Formal development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.7.2 Matrix representation of complex numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.8 Complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.8.1 Complex exponential and related functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.8.2 Holomorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.9 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.9.1 Control theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.9.2 Improper integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.9.3 Fluid dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.9.4 Dynamic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.9.5 Electromagnetism and electrical engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.9.6 Signal analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.9.7 Quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.9.8 Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .