C:/Octavian/recuperare acer 17iunie2016/Octavian/proiecte ...

Octavian G. Mustafa

Heat Lie

Grupuri de transformari si ecuatii cu derivatepartiale

Publicatiile DAL

Craiova

Fisier prelucrat ın data de [December 7, 2016]

Pentru Andrei-Lucian si Doriana.

In memoria lui Valerian si a Lidiei Astefanei,

bunicii mei.

Avertisment

Acest eseu nu a fost raportat vreunui referent. In consecinta, continutul sau trebuie

considerat “ca atare.”

Autorul va asteapta comentariile la adresa lui de e-mail1 si va multumeste anti-

cipat pentru efortul depus.

Fiecare proiect de la Publicatiile DAL trebuie considerat “santier” daca nu este

declarat altfel. Versiunea sa este cea a datei de pe pagina cu titlul.

Craiova, Mai 18, 2015 O.G.M.

1 [email protected]

vii

Prefata

In aceasta lucrare prezentam elemente de teorie locala a grupurilor Lie de trans-

formari, evitand, pe cat posibil, aparatul geometriei diferentiale. Rezultatele sunt

aplicate la analiza ecuatiei adimensionale a caldurii.

In primul capitol sunt discutate forma canonica a grupurilor uniparametrice de

transformari punctuale, seria Lie si notiunea de generator al unui grup de trans-

formari.

Al doilea capitol descrie extinderile grupurilor ın cazurile unui dublet de variabile

(una independenta si una dependenta), respectiv al unui set de m+ 1 variabile (m

independente si una dependenta).

In ultimul capitol este introdusa algebra Lie asociata ecuatiei caldurii.

Craiova, [December 7, 2016] O.G.M.

ix

Cuprins

1 Grupuri de transformari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Prima teorema a lui Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Seria lui Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Schimbari de variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Forma canonica a grupurilor Lie uniparametrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Pe orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Extinderea grupurilor de transformari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Formulele de extindere: cazul (1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Formulele de extindere: cazul (m,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Transformari Lie-Backlund. Observatia lui

Boyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Algebra Lie pentru ecuatia caldurii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Simetriile punctuale ale ecuatiei caldurii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Calculul algebrei Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Referinte Bibliografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

xi

Lista de Figuri

1.1 Rectificarea (locala) a curentilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Trecerea la coordonate polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Simetria la rotatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 O orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Planul P raportat la reperul Oxyy′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Simetria fata de axa Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

xiii

Capitolul 1

Grupuri de transformari

1.1 Prima teorema a lui Lie

Fie D ⊆Rn, unde n ≥ 1, o multime deschisa, simplu conexa si E ⊆R un interval

deschis astfel ıncat 0∈E si (E,⋆) constituie un grup (local) avandu-l pe 0 ca element

neutru. In plus, functiile Φ : E ×E → R si ι : E → R date de formulele

Φ(ε ,δ ) = ε ⋆δ , ι(ε) = ε−1, ε ,δ ∈ E,

sunt analitice12, cf. [7, p. 16].

Consideram o familie (−→X (·,ε))ε∈E de functii netede, unde

−→X (·,ε) : D → D,

avand urmatoarele proprietati:

(i)−→X (·,0) = idD — identitatea lui D —;

(ii) pentru orice ε ∈ E, functia−→X (·,ε) : D → D este bijectiva;

(iii) pentru orice ε ,δ ∈ E, are loc identitatea

−→X (·,ε ⋆δ ) =−→

X (·,δ )◦−→X (·,ε). (1.1)

Cu alte cuvinte,

−→X (−→x ,ε ⋆δ ) =−→

X (−→X (−→x ,ε),δ ), −→x ∈ D.

Prin netezime ıntelegem ca functiile din aceasta familie sunt de clasa C∞ ın raport

cu ambele variabile si analitice ın raport cu ε .

1 Cu aceste proprietati, multimea E constituie un grup Lie local. Prin local ıntelegem ca testarea

proprietatilor operatiei grupale se face numai atunci cand rezultatul operatiilor exista: daca, fiind

date ε , δ , η ∈ E, avem (ε ⋆ δ ) ⋆η , ε ⋆ (δ ⋆η) ∈ E, atunci se verifica asociativitatea (ε ⋆ δ ) ⋆η =ε ⋆ (δ ⋆η), cf. [10, p. 19].2 Din demonstratia de la pagina 3 rezulta ca netezimea functiei Φ implica, ın jurul lui 0, netezimea

functiei ι .

1

2 1 Grupuri de transformari

Familia (−→X (·,ε))ε∈E se numeste grup Lie (local, uniparametric) de transformari.

Vezi [4, p. 88], [10, p. 20, Definition 1.25]. Aplicatiile−→X (·,ε) se mai numesc si

transformari punctuale, cf. [12, p. 5], ale domeniului D.

Lema 1 (cf. [4, p. 37]) Fiind date ε,δ ∈ E, avem identitatea

−→X (·,δ ) =−→

X (·,ε−1⋆δ )◦−→X (·,ε).

Demonstratie. Cum E este grup, avem δ = ε ⋆ (ε−1 ⋆δ ). Concluzia rezulta din

(1.1) ınlocuind marimile ε , δ cu ε , ε−1 ⋆δ . �

Deoarece aplicatia−→X este analitica ın raport cu ε , putem scrie ca

−→X (−→x ,ε) = −→

X (−→x ,0)+ ε · ∂−→X∂ε

(−→x ,0)+ε2

2· ∂ 2−→X

∂ε2(−→x ,0)+ · · ·

= −→x + ε ·−→ξ (−→x )+O(ε2) cand ε → 0. (1.2)

Functia−→ξ : D → R

n este de clasa C∞.

De asemeni, aplicatia Φ fiind analitica ın raport cu cea de-a doua variabila, putem

scrie ca — reamintim ca 0 este element neutru —

ε−1⋆δ = Φ(ε−1

,δ )

= Φ(ε−1,ε)+(δ − ε) · ∂Φ

∂δ(ε−1

,ε)+(δ − ε)2

2· ∂ 2Φ

∂δ 2(ε−1

,ε)+ · · ·

= (δ − ε) · ∂Φ∂δ

(ε−1,ε)+O((δ − ε)2) cand δ − ε → 0. (1.3)

In particular, (ε−1 ⋆δ )2 = O((δ − ε)2) cand δ → ε .

Fie acum −→x ∈ D si δ , ε ∈ E fixati. Pe baza lemei 1 si a formulelor (1.2), (1.3),

avem estimarile

−→X (−→x ,δ )=−→X (

−→X (−→x ,ε),ε−1

⋆δ )

=−→X (

−→X (−→x ,ε),0)+(ε−1

⋆δ ) · ∂−→X∂ε

(−→X (−→x ,ε),0)+O((ε−1

⋆δ )2)

=−→X (−→x ,ε)+(ε−1

⋆δ ) · ∂−→X∂ε

(−→X (−→x ,ε),0)+O((δ − ε)2)

=−→X (−→x ,ε)+(δ − ε)

∂Φ∂δ

(ε−1,ε) · ∂−→X

∂ε(−→X (−→x ,ε),0)+O((δ − ε)2),

de unde — cerand ca δ → ε —

∂∂ε

[−→X (−→x ,ε)] =

∂Φ∂δ

(ε−1,ε) · ∂−→X

∂ε(−→X (−→x ,ε),0)

= Γ (ε) ·−→ξ (−→X (−→x ,ε)). (1.4)

1.1 Prima teorema a lui Lie 3

Luand ε = 0 ın (1.3) — observam ca 0−1 = 0 ın E —, deducem ca

∂Φ∂δ

(0,0) = 1.

Data fiind netezimea aplicatiei Φ , exista intervalul I ⊂ E pentru care

0 ∈ I si∂Φ∂δ

(ε ,δ )> 0 cand ε ,δ ∈ I.

Teorema functiilor implicite implica existenta intervalelor deschise V , W ⊂ I, cu

0 ∈V ∩W , si a bijectiei h : V →W de clasa C∞ astfel ıncat — vezi nota de subsol 2

de la pagina 1 —

Φ(h(ε),ε) = 0, (adica, h(ε) = ε−1) ε ∈V.

Astfel, functia Γ : V → (0,+∞) din (1.4) este de clasa C∞.

Micsorand eventual intervalul V , introducem aplicatia bijectiva τ : V → V ⋆ ⊂ E

data de formula — 0 ∈V ⋆ —

τ(ε) =∫ ε

0Γ (α)dα, ε ∈V.

Inversa acestei functii este solutia ε : V ⋆ →V a problemei Cauchy

{

dεdτ = [Γ (ε)]−1

ε(0) = 0.

Atunci, via (1.4), deducem ca

d

dτ[−→X (−→x ,ε(τ))] =

∂∂ε

[−→X (−→x ,ε(τ))] · dε

dτ(τ)

=−→ξ (

−→X (−→x ,ε(τ))), τ ∈V ⋆

. (1.5)

Asadar, functia−→X (−→x , ·) verifica problema Cauchy

{

ddε [

−→X (−→x ,ε)] = Γ (ε)

−→ξ (

−→X (−→x ,ε))−→

X (−→x ,0) =−→x (1.6)

ın vecinatatea V a lui 0 iar aplicatia−→Y (−→x , ·) data de formula

−→Y (−→x ,τ) =−→

X (−→x ,ε(τ)), τ ∈V ⋆,

verifica problema Cauchy

{

ddτ [

−→Y (−→x ,τ)] =

−→ξ (

−→Y (−→x ,τ))−→

Y (−→x ,0) =−→x (1.7)


ın vecinatatea V ⋆ a lui 0. Functia−→ξ fiind de clasa C∞, facem observatia ca solutia

problemei (1.7) are urmatoarea proprietate specifica ecuatiilor autonome

−→Y (−→x ,τ1 + τ2) =

−→Y (

−→Y (−→x ,τ1),τ2). (1.8)

In concluzie, subfamilia (−→X (·,ε))ε∈V este reconstruita cu ajutorul functiei

−→ξ .

Reorganizarea sa ca (−→Y (·,τ))τ∈V ⋆ ınseamna, via (1.8), ınlocuirea legii grupale ne-

cunoscute Φ cu adunarea uzuala a numerelor reale3, cf. [4, p. 38], [5, p. 41].

Relatiile (1.7) constituie prima teorema a lui Sophus Lie. Vezi [5, p. 39, Theorem

2.3.1-1], [10, pg. 67, 68].

1.2 Seria lui Lie

Vom utiliza problema (1.7) pentru a obtine o reprezentare computabila a familiei

(−→Y (·,τ))τ∈V ⋆ .

In acest scop, fie −→x = (xi)i∈1,n un punct din Rn si ai : B ⊂R

n →R functii netede

definite pe bila deschisa B, centrata ın −→x . Cantitatea

−→X−→x =

n

∑i=1

ai(−→x ) · ∂∂xi

∈ T−→x Rn

se numeste vector legat ın −→x si se calculeaza cu formula

−→X−→x ( f ) =

n

∑i=1

ai(−→x ) · ∂∂xi

[ f (−→x )]

pentru toate functiile netede f : U ⊂ Rn → R definite pe vecinatatea deschisa U a

punctului −→x . Notatia va fi utilizata si ın calculul cu functii vectoriale, mai precis

−→X−→x (

−→f ) =

(

n

∑i=1

ai(−→x ) · ∂∂xi

[ f j(−→x )]

)

j∈1,m

=n

∑i=1

ai(−→x ) · ∂∂xi

[−→f (−→x )],

unde−→f : U → R

m este neteda si−→f = ( f j) j∈1,m, m ≥ 1. In particular,

−→X−→x (idRn) = (ai(−→x ))i∈1,n. (1.9)

Sa consideram problema Cauchy

3 Atentie, (E,+) va fi un grup Lie local. Altfel, am avea E = R. Vezi, de exemplu, [10, Example

1.23, p. 20].

1.2 Seria lui Lie 5

{

d−→X

dε =−→ξ (

−→X )−→

X (0) =−→x ,(1.10)

unde−→ξ : D → R

n este presupusa analitica.

Solutia−→X a problemei (1.10) fiind analitica, putem scrie ca

−→X (ε) =−→x +

+∞

∑k=1

εk

k!· dk−→X

dεk

∣

∣

∣

∣

∣

ε=0

, ε ∈V. (1.11)

Pentru a calcula derivatele din partea dreapta a dezvoltarii (1.11), vom introduce

o familie de vectori legati. Astfel, avem estimarile

d2−→Xdε2

(ε) =d

dε[−→ξ (X1(ε), . . . ,Xn(ε))]

=n

∑i=1

∂−→ξ

∂Xi(ε)(−→X (ε)) · d

dε[Xi(ε)]

=n

∑i=1

ξi(−→X (ε)) · ∂

−→ξ

∂Xi(ε)(−→X (ε))

=−→X−→

X (ε)(−→ξ ), unde ai = ξi, i ∈ 1,n. (1.12)

Lema 2 Aplicatia V ∋ ε 7−→ −→X−→

X (ε)∈ ⊔

−→x ∈Rn

T−→x Rn — fibratul tangent al lui Rn,

vezi [8, p. 81] — este continua ın sensul ca

limε→0

−→X−→

X (ε)( f ) =

−→X−→x ( f ), f ∈C∞(D,R). (1.13)

Demonstratie. Data fiind continuitatea functiei−→ξ , este suficient sa aratam ca

∂∂xi

[ f (−→x )] = limε→0

∂∂Xi(ε)

[ f (−→X (ε))]. (1.14)

Aceasta identitate este, practic, evidenta. Intr-adevar, daca notam cu ∂i f , unde i∈1,n, derivata functiei f ın raport cu cea de-a i–a variabila, atunci ∂

∂Xi(ε)[ f (

−→X (ε))] =

∂i f (−→X (ε)).

Data fiind netezimea aplicatiei f , functia ε 7−→ ∂i f (−→X (ε)) este de clasa C∞. In

particular, limε→0

∂i f (−→X (ε)) = ∂i f (

−→X (0)) = ∂i f (−→x ). �

Cantitatea

−→X =

n

∑i=1

ai∂

∂xi=

n

∑i=1

ai∂i


se numeste camp vectorial pe Rn. Valorile sale sunt date de formula−→X (−→x ) =

−→X−→x .

Putem calcula, de asemeni, valori ale campului vectorial ın C∞(D,Rm) cu ajutorul

formulei−→X (

−→f ) =

n

∑i=1

ai ·∂i−→f ∈C∞(D,Rm), unde ∂i

−→f = (∂i f j) j∈1,m.

Definim (inductiv) puterile unui camp vectorial:−→X

k(−→f ) =

−→X (

−→X

k−1(−→f )), ex-

ponentiala unui camp vectorial: exp(−→X ) =

+∞∑

k=0

1k!

−→X

k, unde

−→X

0−→x (−→f ) =

−→f (−→x ), etc.

Este, de asemeni, evident ca

−→X (−→x )(

−→f ) =

−→X (

−→f )(−→x ) =

−→X−→x (

−→f ),

−→f ∈C∞(D,R

m), −→x ∈ D.

Notiunea de camp vectorial se foloseste ın cele ce urmeaza la introducerea seriei

lui Lie.

Tinand seama de formula (1.9) si de lema 2, concluzionam ca

d−→X

dε

∣

∣

∣

∣

∣

ε=0

=−→ξ (

−→X (−→x ,0)) =

−→ξ (−→x ) =

−→X−→x (idRn)

si

d2−→Xdε2

∣

∣

∣

∣

∣

ε=0

=−→X−→x (

−→ξ ) =−→X

2−→x (idRn).

Prin inductie matematica ajungem la — reamintim notiunea de camp vectorial−→X —

−→X (−→x ,ε) = −→x +

+∞

∑k=1

εk

k!·−→X k−→x (idRn) (1.15)

= exp(ε−→X )∣

∣

∣−→x (idRn), ε ∈V. (1.16)

Pasul k ⇒ k+1 se rezuma astfel: daca dk−→X

dεk =−→η (−→X (ε)), atunci

dk+1−→Xdεk+1

=n

∑i=1

ξi(−→X (ε)) · ∂−→η

∂Xi(ε)(−→X (ε)) =−→

X−→X (ε)

(−→η )

si

dk+1−→Xdεk+1

∣

∣

∣

∣

∣

ε=0

=−→X−→x (−→η )

(

=−→X−→x

(−→X

k(idRn)

))

.

Seria (1.15) se mai numeste si seria lui Sophus Lie, cf. [10, p. 31]. Fiind dat

grupul Lie (−→X (·,ε))ε∈E , unde Φ este adunarea uzuala, aplicatia

−→ξ ∈C∞(D,Rn) cu

formula

1.3 Schimbari de variabile 7

−→ξ (−→x ) =∂

∂ε[−→X (−→x ,0)], −→x ∈ D,

este infinitesimalul grupului iar campul−→X =

n

∑i=1

ξi∂i este generatorul grupului,

cf. [4, pg. 34, 40]. Formula (1.16) ne arata cum putem calcula grupul Lie caruia

ıi cunoastem generatorul. In aceasta situatie, curba neteda parametrizata ε 7−→−→X (−→x ,ε) este denumita curent (flow) prin −→x al campului

−→X , cf. [10, p. 27].

Relatia

−→x ⋆ =−→x + ε ·−→ξ (−→x ), ε ∈ E, −→x ∈ D, (1.17)

constituie transformarea infinitesimala a grupului Lie (−→X (·,ε))ε∈E , cf. [5, p. 39].

Ea este, evident, liniarizarea identitatii

−→X (−→x ,ε) =−→x + ε ·−→ξ (−→x )+O(ε2). (1.18)

1.3 Schimbari de variabile

Sa consideram bijectia −→y : D → D0, unde D0 este o multime deschisa si sim-

plu conexa, astfel ca −→y , −→y −1 sa fie analitice. Cum transporta aceasta grupurile

Lie? Mai precis, ce relatie trebuie sa existe ıntre generatorii−→X ,

−→Y ai grupurilor

(−→X (·,ε))ε∈E , (

−→Y (·,ε))ε∈E date de problemele Cauchy

{

d−→Y

dε =−→η (−→Y )−→

Y (0) =−→y (−→x )si

{

d−→X

dε =−→ξ (

−→X )−→

X (0) =−→x

astfel ıncat

−→Y (−→y (−→x ),ε) =−→y (

−→X (−→x ,ε)), −→x ∈ D, ε ∈ E? (1.19)

Propozitia 1 Daca −→η =−→X (−→y )◦ (−→y )−1, ceea ce este echivalent cu

−→Y−→y (−→x )( f ) =

−→X−→x ( f ◦−→y ), f ∈C∞(D0,R), −→x ∈ D, (1.20)

atunci are loc (1.19)4.

Demonstratie. Relatia −→η ◦−→y =−→X (−→y ), adica

4 Geometric, campurile−→X ,

−→Y sunt −→y –legate, ceea ce se mai scrie si

−→X = −→y ⋆−→

Y , cf. [9, p. 3],

respectiv−→Y = −→y ⋆

−→X . In reformulare, acest rezultat afirma ca: atunci cand doua campuri vecto-

riale sunt −→y –legate, adica diferentiala lui −→y transporta vector tangent ın vector tangent, −→y va

transporta curent ın curent, cf. [10, pg. 32, 33]. Campul−→Y se mai numeste si push-forward al

campului−→X , cf. [8, p. 89].


η j(−→y (−→x )) =n

∑i=1

ξi(−→x )∂y j

∂xi(−→x ), j ∈ 1,n, (1.21)

ne conduce la

n

∑j=1

η j(−→y (−→x ))∂ f

∂y j(−→x )(−→y (−→x ))

=n

∑i=1

ξi(−→x )

[

n

∑j=1

∂ f

∂y j(−→x )(−→y (−→x )) · ∂y j

∂xi(−→x )

]

=n

∑i=1

ξi(−→x )∂ ( f ◦−→y )

∂xi(−→x ), −→x ∈ D,

adica la (1.20). Demonstratia ın sens invers este standard, alegandu-se diverse functii

netede f pentru identitatea (1.20).

Pentru a stabili egalitatea (1.19) ıntre doua functii analitice, le dezvoltam ın serie

de puteri ın raport cu ε ın jurul lui 0 si verificam egalitatea coeficientilor core-

spunzand puterilor de exponent egal din cele doua serii5. De exemplu, pentru a

determina coeficientul corespunzator lui ε ın dezvoltarea aplicatiei −→y (−→X (−→x ,ε)),

facem urmatorul calcul

∂∂ε

[yi(−→X (−→x ,ε))] =

(

∇−→X (−→x ,ε)

yi

)

(−→X (−→x ,ε)) · ∂

∂ε[−→X (−→x ,ε)]

=

(

∇−→X (−→x ,ε)

yi

)

(−→X (−→x ,ε)) ·−→ξ (

−→X (−→x ,ε))

=n

∑j=1

ξ j(−→X (−→x ,ε)) · ∂yi

∂X j(−→x ,ε)(−→X (−→x ,ε))

=−→X−→

X (−→x ,ε)(yi).

Conform lemei 2, ∂∂ε [yi(

−→X (−→x ,ε))]

∣

∣

∣

ε=0=

−→X−→x (yi), unde i ∈ 1,n, adica coefi-

cientul cautat este−→X−→x (−→y ) =

−→X (−→y )(−→x ). Pentru aplicatia

−→Y (−→y (−→x ),ε), coefi-

cientul este [−→η (−→Y (−→y (−→x ),ε))]

∣

∣

ε=0= −→η (−→y (−→x )). In concluzie, egalitatea acestor

coeficienti este echivalenta cu −→η ◦−→y =−→X (−→y ).

Pentru a verifica egalitatea celorlalti coeficienti, utilizam tehnica de la pasul k ⇒k+1 din constructia seriei lui Lie. �

Propozitia 2 (cf. [4, p. 42], [10, p. 30]) Fiind data functia F ∈ Cω(D,R) —

analitica —, avem identitatea

F(−→X (−→x ,ε)) = F

(

exp(ε−→X )∣

∣

∣−→x (idRn))

= exp(ε−→X )∣

∣

∣−→x (F), −→x ∈ D.

5 Cf. [13, pg. 47, 48], daca doua functii olomorfe, definite pe domeniul D⊆C, coincid pe multimea

nevida A ⊂ D care admite cel putin un punct de acumulare ın D — de exemplu, A este un mic

interval deschis centrat ın 0 —, atunci ele coincid ın ıntreg domeniul D.

1.4 Forma canonica a grupurilor Lie uniparametrice 9

In general, fiind date functiile−→F ∈Cω(Rn,Rm), unde m ≥ 1, si

−→f ∈Cω(D,Rn),

avem identitatea

−→F(

exp(ε−→X )∣

∣

∣−→x (−→f ))

= exp(ε−→X )∣

∣

∣−→x (−→F ◦−→f ), −→x ∈ D. (1.22)

Daca−→F este un difeomorfism6 analitic si

−→f ∈ Cω(Rn,Rn), identitatea (1.22) ne

conduce la

−→f(

exp(ε−→X )∣

∣

∣−→x (−→F ))

= exp(ε−→F ⋆

−→X )∣

∣

∣−→F (−→x )

(−→f ),

vezi [10, p. 33, ec. (1.26)].

Demonstratie. Ca si anterior, dezvoltam functiile ın serii de puteri ale lui ε ın

jurul lui 0. Astfel,

F(−→X (−→x ,ε)) = F(

−→X (−→x ,0))

+ ε ·(

∇−→X (−→x ,ε)

F(−→X (−→x ,ε)) · ∂

∂ε[−→X (−→x ,ε)]

)∣

∣

∣

∣

ε=0

+ . . .

= F(−→x )+ ε ·(

−→X−→

X (−→x ,ε)(F)

)∣

∣

∣

∣

ε=0

+ . . .

= F(−→x )+ ε−→X−→x (F)+ . . . ,

ceea ce ıncheie demonstratia. �

Teorema 1 (cf. [10, Proposition 2.6, p. 79]) Aplicatia F ∈Cω(D,R) este invarianta

ın raport cu grupul Lie (−→X (·,ε))ε∈E —adica, marimea F(

−→X (−→x ,ε)) nu depinde de

ε — daca si numai daca−→X (F)≡ 0.

Demonstratie. Conform propozitiei 2, avem

F(−→X (−→x ,ε)) = F(−→x )+

+∞

∑k=1

εk

k!·−→X k

(F)(−→x ), −→x ∈ D, ε ∈ E.

Daca F(−→X (−→x ,ε)) = F(−→x ) ın E, atunci, data fiind netezimea aplicatiei F , putem

— prin derivari repetate ın raport cu ε ale relatiei precedente — stabili ca−→X

k(F)≡ 0

pentru orice k ≥ 1. Implicatia cealalta este imediata. �

1.4 Forma canonica a grupurilor Lie uniparametrice

Sa presupunem ca grupul Lie (−→Y (·,ε))ε∈E din sectiunea anterioara este dat de

relatiile

6 Aici, n = m.


Yi(−→y0 ,ε) = y0i, i ∈ 1,n−1,

Yn(−→y0 ,ε) = y0n + ε , (1.23)

unde −→y0 = (y0i)i∈1,n ∈ D.

Este usor de verificat ca infinitesimalul −→η este aplicatia constanta

−→η ≡ (0, . . . ,0,1) ∈ Rn

iar

−→Y = ∂n. (1.24)

Conform propozitiei 1, putem scrie ca

−→η =−→η ◦−→y =−→X (−→y ), (1.25)

unde −→y : D → D este o bijectie analitica pe care dorim sa o determinam.

Relatia (1.25) reprezinta sistemul diferential al schimbarii de variabile canonice−→y , si anume

n

∑j=1

ξ j(−→x ) · ∂yi

∂x j= 0, i ∈ 1,n−1,

n

∑j=1

ξ j(−→x ) · ∂yn

∂x j= 1.

Fig. 1.1 Rectificarea (locala)

a curentilor

1.4 Forma canonica a grupurilor Lie uniparametrice 11

Rezolvarea acestui sistem se realizeaza prin metoda caracteristicilor, cf. [6, p. 97

si urm.]. Functiile (yi)i∈1,n−1 sunt n−1 solutii functional independente ale ecuatiei

liniare

n

∑j=1

ξ j(−→x ) · ∂ z

∂x j= 0, −→x ∈ D.

Un caz particular important se cuvine discutat: cel al rotatiilor, cf. [4, pg. 47,

48]. Astfel, avem un camp−→X dat de vectorul

−→X−→x = α(x,y) ∂

∂x+β (x,y) ∂

∂y, unde

−→x = (x,y), si dorim sa-l aducem la forma−→Y−→y = ∂

∂ s. Aici, −→y = (r,s) iar r = r(x,y)

si s = s(x,y) sunt functii netede care trebuie determinate cu ajutorul ecuatiilor

α(x,y)rx +β (x,y)ry = 0 (1.26)

si

α(x,y)sx +β (x,y)sy = 1 (1.27)

astfel ıncatD(r,s)D(x,y) sa nu aiba zerouri ın D.

Luand α(x,y) =−y si β (x,y) = x, solutiile generale ale ecuatiilor (1.26), (1.27)

sunt date de formulele

r(x,y) = h(x2 + y2), s(x,y) = arctany

x+ c,

unde h este o functie neteda si c∈R o constanta. Alegand h= |idD| si c= 0, regasim

coordonatele polare — (r,θ), unde θ = s, vezi Figura 1.2 —.

Fig. 1.2 Trecerea la coordo-

nate polare


O analiza asemanatoare, bazata pe formula (1.20), se gaseste ın [12, Exercise 2.5,

pct. 2, p. 16].

Relatiile (1.23) constituie forma canonica a grupului (−→X (·,ε))ε∈E iar (1.24) este

forma normala a generatorului−→X , cf. [4, p. 45], [12, p. 10]. Grupul Lie dat de (1.23)

este un grup de translatii — vezi Figura 1.1 —.

1.5 Pe orbita

Multimea O−→x = {−→X (−→x ,ε) : ε ∈ E} este orbita grupului Lie prin −→x ∈ D.

In Figura 1.3 este ilustrata orbita trecand prin −→x 0 = (x0,y0) a grupului de rotatii

−→X (−→x ,ε) = (xcosε − ysinε ,xsinε + ycosε)T

,

unde D = {(x,y) : x2 + y2 < 1} si E = (−π,π). Astfel, bijectia−→X (·,ε) roteste, ın

sens trigonometric, punctele lui D ın jurul originii planului cu unghiul ε . Aceste

puncte raman ın D, adica domeniul D este simetric la rotatii. Spunem ca grupul Lie

de transformari constituie un grup de simetrii punctuale ale domeniului D.

Transformarea infinitesimala a acestui grup de rotatii este data de formula

(−→x 0)⋆ = (x− yε ,xε + y)T

.

Ea este tot o rotatie ın sens trigonometric — tinem seama de relatiile cosε ∼ 1,

sinε ∼ ε cand ε ∼ 0 — ın jurul originii, ınsa de unghi infinitesimal. Notand acest

unghi cu dε , putem privi rotatia de unghi ε ca o compunere de rotatii infinitesimale:

ε =∫

dε .

Ideea centrala a metodei lui Sophus Lie este, acum, clara: orice simetrie finita

(complicata) poate fi imaginata ca o compunere de simetrii infinitesimale (simple),

cf. [12, p. 7].

Propozitia 3 Sunt valabile urmatoarele relatii:

−→X−→x (

−→X (·,ε)) =−→

ξ (−→X (−→x ,ε)) (1.28)

si, cf. [4, Exercise 2.2, pct. 6, p. 53], — aici, m ≥ 1 —

−→X−→

X (−→x ,ε)(−→f ) =

−→X−→x (

−→f ◦−→X (·,ε)), −→

f ∈C∞(D,Rm). (1.29)

Demonstratie7. Pentru identitatea (1.28), vom folosi sistemele ın variatie asoci-

ate problemelor Cauchy, cf. [1, p. 102]. Mai precis, prin derivarea componentelor

7 Desi admite o demonstratie independenta, aceasta propozitie este un caz particular al propozitiei

1. Ea afirma ca:−→Y =

−→X atunci cand −→y =

−→X (·,ε). Cu alte cuvinte, orbitele grupului sunt invariante

la transformarile din grup.

1.5 Pe orbita 13

sistemului

{

d−→X

dε =−→ξ (

−→X )−→

X (0) =−→x ,

deducem ca matricea M (−→x ,ε) = ∇−→x−→X (−→x ,ε) este solutia problemei Cauchy

{

dM

dε =(

∂β ξα(−→X (−→x ,ε))

)

α ,β∈1,nM

M (0) = In,(1.30)

unde In reprezinta matricea unitate n×n.

Ca si anterior, ambii membri ai relatiei (1.28) sunt dezvoltati ın serii de puteri ın

raport cu ε ın jurul lui 0. Coeficientul corespunzator lui ε ın dezvoltarea din stanga

este

d

dε

[

n

∑i=1

ξi(−→x ) · ∂∂xi

[−→X (−→x ,ε)]

]∣

∣

∣

∣

∣

ε=0

.

Avem estimarile — notam cu Mi coloana a i–a a matricei M —

d

dε

[

n

∑i=1

ξi(−→x ) · ∂∂xi

[−→X (−→x ,ε)]

]

=n

∑i=1

ξi(−→x ) · d

dε[Mi(−→x ,ε)]

=n

∑i=1

ξi(−→x ) ·[

(

∂β ξα(−→X (−→x ,ε))

)

α ,β∈1,n·Mi(−→x ,ε)

]

Fig. 1.3 Simetria la rotatii


=(

∂β ξα(−→X (−→x ,ε))

)

α ,β∈1,n·[

n

∑i=1

ξi(−→x ) ·Mi(−→x ,ε)

]

.

Identitatea elementara

n

∑i=1

ξi(−→x ) ·Mi(−→x ,0) =−→ξ (−→x ), −→x ∈ D,

ne conduce la

d

dε

[

n

∑i=1

ξi(−→x ) · ∂∂xi

[−→X (−→x ,ε)]

]∣

∣

∣

∣

∣

ε=0

=(

∂β ξα(−→x ))

α ,β∈1,n·−→ξ (−→x ).

Pentru a determina coeficientul lui ε ın dezvoltarea din dreapta, observam ca

d

dε[ξα(

−→X (−→x ,ε))] =

n

∑β=1

∂β ξα(−→X (−→x ,ε)) · d

dε[Xβ (

−→x ,ε)] = (∇ξα)T · d

−→X

dε

= (∇ξα(−→X (−→x ,ε)))T ·−→ξ (

−→X (−→x ,ε)),

respectiv

d

dε[−→ξ (

−→X (−→x ,ε))] =

(

∂β ξα(−→X (−→x ,ε))

)

α ,β∈1,n·−→ξ (

−→X (−→x ,ε)).

Pentru a stabili identitatea (1.29), ıncepem din partea stanga. Vezi Figura 1.4.

Vom discuta numai cazul m = 1. Astfel, tinand seama de identitatea−→X−→x (Xi(·,ε))

= ξi(−→X (−→x ,ε)) — stabilita anterior —, deducem ca

Fig. 1.4 O orbita

1.5 Pe orbita 15

−→X−→

X (−→x ,ε)( f ) =

n

∑i=1

ξi(−→X (−→x ,ε)) · ∂

∂Xi(−→x ,ε)[ f (

−→X (−→x ,ε))]

=n

∑i=1

{

n

∑j=1

ξ j(−→x ) · ∂∂x j

[Xi(−→x ,ε)]

}

· ∂∂Xi(−→x ,ε)

[ f (−→X (−→x ,ε))]

=n

∑j=1

ξ j(−→x )

{

n

∑i=1

∂Xi

∂x j(−→x ,ε) · ∂

∂Xi(−→x ,ε)[ f (

−→X (−→x ,ε))]

}

=n

∑j=1

ξ j(−→x ) · ∂∂x j

[( f ◦−→X (·,ε))(−→x )].

Demonstratia s-a ıncheiat. �

Pentru a justifica nota de subsol 7 de la pagina 12, sa observam ca, prin iterare,

relatia (1.29) ne conduce la

exp(µ−→X )∣

∣

∣−→X (−→x ,ε)

(−→f ) = exp(µ−→X )

∣

∣

∣−→x (−→f ◦−→X (·,ε)), µ ∈ E. (1.31)

Luand−→f = idRn ın (1.31), obtinem ca

−→X (−→y (−→x ),µ) = exp(µ−→X )

∣

∣

∣−→x (−→y ), −→y =−→X (·,ε). (1.32)

Mai departe, luand−→F =−→y si

−→f = idRn ın (1.22), putem scrie ca

−→y(

exp(µ−→X )∣

∣

∣−→x (idRn))

= exp(µ−→X )∣

∣

∣−→x (−→y ). (1.33)

In concluzie, identitatile (1.32), (1.33) — adica, nimic altceva decat relatiile tri-

viale

−→X (

−→X (−→x ,ε),µ) =−→

X (−→X (−→x ,µ),ε) (=

−→X (−→x ,ε +µ)),

unde ε ,µ ,µ + ε ∈ E — descriu invarianta orbitelor grupului la transformarile din

grup.

Capitolul 2

Extinderea grupurilor de transformari

2.1 Formulele de extindere: cazul (1,1)

Sa consideram ecuatia diferentiala ordinara

y′(x)− y(x) = 0, x ∈ I ⊆ R, (2.1)

unde I este un interval deschis. In R3 — avand punctele (x,y,y′) —, suprafata

F(x,y,y′) =−y+ y′ = 0 (2.2)

este reprezentata ın Figura 2.1 de planul P. Aici, curbele integrale ale ecuatiei (2.1)

sunt date de relatiile1

−→γ (x) =(

x,y0ex−x0 ,y0ex−x0)

, x,x0 ∈ I, y0 ∈ R.

Planul P este acoperit ın totalitate de aceste curbe integrale — luam I = R —,

prin fiecare punct (x0,y0,y0) al sau trecand o singura curba.

Se observa cu usurinta ca una din simetriile planului P, si anume simetria fata

de axa Ox, transporta curbe integrale ın curbe integrale! Vezi Figura 2.2.

Plecand de la aceasta observatie, se pot pune mai multe ıntrebari. Astfel, fiind

data suprafata (2.2) pe care se afla curbele integrale (ınca necalculate!) ale unei

ecuatii diferentiale, cum determinam acele simetrii ale sale care transporta curbe

integrale ın curbe integrale? Apoi, fiind date anumite simetrii, cum determinam

ecuatiile diferentiale ale caror curbe integrale sa fie transportate ın curbe integrale

de catre respectivele simetrii?

Sa consideram grupul de simetrii (transformari punctuale) ale domeniului D ⊆R

2 dat de relatiile

1 De fapt, este vorba de proiectia curbelor integrale x 7−→ (x,y(x)) situate ın planul Oxy pe planul

P. Vom folosi ın acest mod nerestrictiv termenul de curba integrala.

17

18 2 Extinderea grupurilor de transformari

{

x⋆ = X(x,y,ε) = x+ εξ (x,y)+O(ε2)y⋆ = Y (x,y,ε) = y+ εη(x,y)+O(ε2).

(2.3)

Evident, tinand seama de (1.18), avem

−→X (−→x ,ε) = (X(x,y,ε),Y (x,y,ε))T

, −→x = (x,y)T,

−→ξ = (ξ ,η).

Ecuatiei diferentiale

y′+ f (x,y) = 0, (2.4)

unde f : D → R este neteda, i se asociaza suprafata simpla

F(x,y,y′) = f (x,y)+ y′ = 0. (2.5)

Urmatorul set de formule

x⋆ = X(x,y,ε) = x+ εξ (x,y)+O(ε2)y⋆ = Y (x,y,ε) = y+ εη(x,y)+O(ε2)

y⋆1 = Y1(x,y,y1,ε) = y1 + εη(1)(x,y,y1)+O(ε2)(2.6)

va desemna un grup de transformari punctuale ale acestei suprafete. Pentru calculul

aplicatiei η(1) ne folosim de observatia ca suprafata (2.5) este acoperita de curbele

integrale ale ecuatiei diferentiale.

Fie (x0,y0)∈D, I ⊆Dy0si J ⊆Dx0

doua intervale deschise, nevide, din proiectiile

domeniului D

Dy0×{y0}= D∩ (R×{y0}), {x0}×Dx0

= D∩ ({x0}×R).

Fig. 2.1 Planul P raportat la

reperul Oxyy′

2.1 Formulele de extindere: cazul (1,1) 19

Consideram I ∋ x 7−→ y(x) ∈ J o solutie a ecuatiei diferentiale (2.4). In calculul

care urmeaza, x este variabila independenta iar y variabila dependenta. Acest caz al

extinderii grupurilor de transformari este numit (1,1): o variabila independenta si o

variabila dependenta — solutia generala a unei ecuatii diferentiale —.

Incepem cu y1 = dydx(x) si dorim ca — micsorandu-l eventual pe E astfel ıncat

X(ε) ∈ I pentru orice ε ∈ E —

y⋆1(x⋆(ε)) =

dy⋆

dx⋆(ε)(x⋆(ε)), ε ∈ E. (2.7)

Vezi [12, p. 15]. In mod echivalent, putem utiliza relatiile dintre diferentiale

dy = y1(x)dx, dy⋆ = y⋆1(x⋆)dx⋆. (2.8)

Relatiile (2.8) se mai numesc si conditii de contact, cf. [4, p. 55].

Avem, asadar, estimarile

y⋆1 =dy⋆

dxdx⋆

dx

=

∂Y∂x

+ ∂Y∂y

· dydx

∂X∂x

+ ∂X∂y

· dydx

. (2.9)

Pe baza primei relatii din (2.9) putem scrie ca

y⋆1 =y′(x)+ ε · d

dx[η(x,y(x))]+O(ε2)

1+ ε · ddx[ξ (x,y(x))]+O(ε2)

,

de unde, tinand seama de identitatea elementara

Fig. 2.2 Simetria fata de axa

Ox


1

1+ ε ·A+O(ε2)= 1− ε ·A+O(ε2), (2.10)

concludem ca

y⋆1 = y′(x)+ ε ·{

d

dx[η(x,y(x))]− y′(x) · d

dx[ξ (x,y(x))]

}

+O(ε2)

= y1 + ε(

dηdx

− y1 ·dξdx

)

(x,y)+O(ε2).

Am obtinut ca

η(1)(x,y,y1) =

(

dηdx

− y1 ·dξdx

)

(x,y)

=∂η∂x

(x,y)+ y1

(

∂η∂y

− ∂ξ∂x

)

(x,y)− y21

∂ξ∂y

(x,y). (2.11)

Se observa ca, utilizand cea de-a doua relatie (2.9) ımpreuna cu (2.10), ajungem

direct la (2.11).

In mod inductiv, introducem formulele — vezi [4, Theorem 2.3.2-1, p. 61], [12,

p. 12] —

y⋆k = Yk(x,y,y1, . . . ,yk,ε) = yk + εη(k)(x,y,y1, . . . ,yk)+O(ε2), (2.12)

unde

yk = y′k−1(x), η(k) =d

dx[η(k−1)]− yk

dξdx

, k ≥ 2.

Aici, prin dhdx

ıntelegem derivata totala a functiei (netede) h, adica — luam 1 ≤ p ≤k−1 —

d

dx[h(x,y,y1, . . . ,yp)]

=

(

∂∂x

+ y1∂∂y

+ . . .+ yp+1∂

∂yp

)

[h(x,y,y1, . . . ,yp)].

La fel ca anterior, formulele (2.12) pentru 1 ≤ k ≤ n sunt folosite pentru a analiza

simetriile hipersuprafetei simple ın Rn+2

y(n)+ f (x,y,y′, . . . ,y(n−1)) = 0

care transporta curbele integrale x 7−→ (x,y(x),y′(x), . . . ,y(n)(x)) ın curbe integrale.

Astfel, conditiile de contact sunt

dyk−1 = yk(x)dx, dy⋆k−1 = y⋆k(x⋆)dx⋆.

Grupul de transformari (−→X (·,ε))ε∈E , unde

2.2 Formulele de extindere: cazul (m,1) 21

−→X = (X ,Y,Y1, . . . ,Yk)

T, k ≥ 2,

este cea de-a k–a extindere (prelungire) a grupului (2.3). Aici,−→X (·,ε) : D(k) ⊆

Rk+2 → D(k) si, evident,

Yp(x,y,y1, . . . ,yk) = Yp(x,y,y1, . . . ,yp), p ∈ 1,k.

Generatorul acestui grup Lie local este

−→X−→x = ξ (−→x )

∂∂x

+η(−→x )∂∂y

+k

∑p=1

η(p)(−→x )∂

∂yp, −→x ∈ D(k)

.

2.2 Formulele de extindere: cazul (m,1)

Fie m ≥ 1. Sa consideram grupul de simetrii (transformari punctuale) ale dome-

niului D ⊆ Rm+1 dat de relatiile

x⋆i = Xi(x1, . . . ,xm,y,ε)= xi + εξi(x1, . . . ,xm,y)+O(ε2), i ∈ 1,m,

y⋆ = Y (x1, . . . ,xm,y,ε) = y+ εη(x1, . . . ,xm,y)+O(ε2).(2.13)

Acum avem m variabile independente x1, . . . ,xm si o variabila dependenta y:

acesta este cazul (m,1) ın care hipersuprafata simpla ın Rm+2 ale carei simetrii ne

intereseaza are formula

∂y

∂xi− f (x1, . . . ,xm,y) = 0

pentru un anumit i ∈ 1,m.

Vom folosi notatiile consacrate — [11, p. 34], [6, p. 617] —

y1

= D1y = ∇y, y2

= D2y =

(

∂ 2y

∂xix j

)

i, j∈1,m

, . . . yk

= Dky,

unde k ≥ 2. Lor le adaugam o notatie pentru derivata totala ın raport cu variabila xk,

si anume — [7, p. 25] —

Dkh(x1, . . . ,xm,r1, . . . ,rp)

=

(

∂h

∂xk

+p

∑t=1

∂ rt

∂xk

· ∂h

∂ rt

)

(x1, . . . ,xm,r1, . . . ,rp).

Urmatorul set de formule


x⋆i = Xi(x1, . . . ,xm,y,ε)= xi + εξi(x1, . . . ,xm,y)+O(ε2), i ∈ 1,m,

y⋆ = Y (x1, . . . ,xm,y,ε) = y+ εη(x1, . . . ,xm,y)+O(ε2)

y1

⋆ = Y1

(x1, . . . ,xm,y,y1

,ε) = y1

+ ε−−→η(1)(x1, . . . ,xm,y,y

1

)+O(ε2),

(2.14)

unde

−−→η(1) = (η(1)

1 ,η(1)2 , . . . ,η(1)

m ),

desemneaza prima extindere a grupului de transformari punctuale (2.13). Aici,

D(1) ⊆ R2m+1.

Luand

y1

=

(

∂y

∂x1, . . . ,

∂y

∂xm

)

= (y1, . . . ,ym), (2.15)

conditiile de contact devin

dy⋆ =m

∑j=1

y⋆j(x⋆1, . . . ,x

⋆m)dx⋆j , y⋆j =

∂y⋆

∂x⋆j.

Deoarece

dx⋆j =m

∑q=1

Dqx⋆j(x1, . . . ,xm,y,ε)dxq,

dy⋆ =m

∑q=1

Dqy⋆(x1, . . . ,xm,y,ε)dxq

ajungem la

m

∑j=1

Dqx⋆j(x1, . . . ,xm,y,ε) · y⋆j(x⋆1, . . . ,x⋆m) = Dqy⋆(x1, . . . ,xm,y,ε)

pentru orice q ∈ 1,m, respectiv la — vezi [4, p. 64] —

D1y⋆

...

Dmy⋆

=(

Dqx⋆j(x1, . . . ,xm,y,ε))

q, j∈1,m·

y⋆1...

y⋆m

. (2.16)

Notand cu A matricea patrata din membrul drept al identitatii (2.16), unde A =(DqX j)q, j∈1,m, obtinem relatiile fundamentale

Y1

=

Y1...

Ym

= A−1 ·

D1Y...

DmY

. (2.17)

2.2 Formulele de extindere: cazul (m,1) 23

Aici, marimile (Yi)i∈1,m reprezinta componentele functiei vectoriale Y1

si nu niste

derivate!

Pentru a determina functia−−→η(1), utilizam varianta matriceala a relatiei (2.10), si

anume

A−1 = [Im + ε ·B+O(ε2)]−1 = Im − ε ·B+O(ε2). (2.18)

Avem relatiile

aq j = DqX j(x1, . . . ,xm,y,ε) = Dq[x j + εξ j(x1, . . . ,xm,y)+O(ε2)]

= δq j + ε ·Dqξ j(x1, . . . ,xm,y)+O(ε2), 1 ≤ q, j ≤ m,

unde δ desemneaza simbolul lui Kronecker. Asadar, B = (Dqξ j)q, j∈1,m.

Fie i ∈ 1,m fixat. Atunci, tinand seama de (2.18),

Yi(x1, . . . ,xm,y,y1

,ε) = yi + εη(1)i (x1, . . . ,xm,y,y

1

)+O(ε2)

= linia a i–a a matricei A−1 ·

D1Y...

DmY

=m

∑j=1

[δi j − εDiξ j +O(ε2)] ·D jY

=m

∑j=1

[δi j − εDiξ j +O(ε2)] · [y j + εD jη +O(ε2)]

= yi + ε

[

Diη −m

∑j=1

Diξ j · y j

]

+O(ε2),

de unde

η(1)i (x1, . . . ,xm,y,y

1

) = Diη(x1, . . . ,xm,y)−m

∑j=1

Diξ j(x1, . . . ,xm,y) · y j

pentru orice i ∈ 1,m. Pentru o varianta a acestei demonstratii, vezi [10, p. 110, The-

orem 2.36].

In mod inductiv, introducem formulele, cf. [4, Theorem 2.3.4-1, p. 67],

y⋆i1... ik = yi1... ik + εη(k)i1... ik

(x1, . . . ,xm,y,y1

, . . . ,yk

)+O(ε2),

unde

η(k)i1... ik

= Dik η(k−1)i1... ik−1

−m

∑j=1

Dik ξ j · yi1... ik−1 j (2.19)


si k ≥ 2.

Conditiile de contact sunt

dy⋆i1... ik−1=

m

∑j=1

y⋆i1... ik−1 j dx⋆j .

2.3 Transformari Lie-Backlund. Observatia lui

Boyer

Sa consideram un set de transformari mai generale decat (2.13), si anume

−→x ⋆ =−→X (−→x ,y,y

1

, . . . ,yp

,ε) =−→x + ε ·−→ξ (−→x ,y,y1

, . . . ,yp

)+O(ε2),

y⋆ = Y (−→x ,y,y1

, . . . ,yp

,ε) = y+ ε ·η(−→x ,y,y1

, . . . ,yp

)+O(ε2),

(2.20)

unde −→x ∈ D ⊆ Rm, D este un domeniu si m, p ≥ 1. Ele au fost utilizate de Emmy

Noether si sunt denumite curent transformari Lie-Backlund, cf. [4, pg. 252, 253].

Ne intereseaza modul ın care functia analitica f : D → R este modificata de

(2.20). Mai precis, luand y = f = f (−→x ), cine este y⋆ = f ⋆ = f ⋆(−→x ⋆)? Vezi si

discutia din [10, pg. 92, 93].

Raspunsul este dat ın doi pasi. Mai ıntai, afirmam ca

−→x =−→x ⋆− ε ·−→ξ(

−→x ⋆, f (−→x ⋆), f

1

(−→x ⋆), . . . , fp

(−→x ⋆)

)

+O(ε2). (2.21)

Pentru a stabili acest lucru, facem urmatoarele dezvoltari — tinand cont de esti-

marea −→x −−→x ⋆ = O(ε) —

−→x ⋆ =−→x + ε ·−→ξ (−→x , f (−→x ), f1

(−→x ), . . . , fp

(−→x ))+O(ε2)

=−→x + ε ·[

−→ξ (−→x ⋆

, f (−→x ), . . .)+m

∑i=1

∂−→ξ

∂x⋆i· (xi − x⋆i )+ . . .

]

+O(ε2)

=−→x + ε ·[−→ξ (−→x ⋆

, f (−→x ), f1

(−→x ), . . . , fp

(−→x ))+O(ε)]

+O(ε2)

=−→x + ε ·−→ξ (−→x ⋆, f (−→x ), f

1

(−→x ), . . . , fp

(−→x ))+O(ε2).

Functia f fiind neteda, este evident ca

| f (−→x )− f (−→x ⋆)| ≤ max−→u ∈[−→x ,

−→x ⋆]

‖∇ f (−→u )‖ · ‖−→x −−→x ⋆‖= O(ε),

deci dezvoltarile anterioare sunt urmate de

2.3 Transformari Lie-Backlund. Observatia lui Boyer 25

=−→x + ε ·{

−→ξ (−→x ⋆, f (−→x ⋆), . . .)+

∂−→ξ

∂ f (−→x ⋆)· [ f (−→x )− f (−→x ⋆)]+ . . .

}

+ O(ε2)

=−→x + ε ·−→ξ (−→x ⋆, f (−→x ⋆), f

1

(−→x ), . . . , fp

(−→x ))+O(ε2).

Continuam dezvoltarile pana ajungem la

−→x ⋆ =−→x + ε ·−→ξ (−→x ⋆, f (−→x ⋆), f

1

(−→x ⋆), . . . , fp

(−→x ⋆))+O(ε2),

de unde deducem valabilitatea relatiei (2.21).

In cel de-al doilea pas, avem urmatoarele dezvoltari

y⋆ = f ⋆(−→x ⋆) = f (−→x )+ ε ·η(−→x , f (−→x ), . . . , fp

(−→x ))+O(ε2)

=

[

f (−→x ⋆)+m

∑i=1

∂ f

∂x⋆i(−→x ⋆) · (xi − x⋆i )+ . . .

]

+ ε ·η +O(ε2)

=

{

f (−→x ⋆)+m

∑i=1

∂ f

∂x⋆i(−→x ⋆) ·

[

−εξi(−→x ⋆, f (−→x ⋆), . . .)+O(ε2)

]

+ . . .

}

+ε ·η +O(ε2)

= f (−→x ⋆)− ε ·m

∑i=1

∂ f

∂x⋆i(−→x ⋆) ·ξi(−→x ⋆

, f (−→x ⋆), f1

(−→x ⋆), . . . fp

(−→x ⋆))

+ε ·η(−→x , f (−→x ), . . . , fp

(−→x ))+O(ε2).

Repetand dezvoltarile pentru functia analitica η , concludem ca

y⋆ = f ⋆(−→x ⋆)

= f (−→x ⋆)− ε ·m

∑i=1

∂ f

∂x⋆i(−→x ⋆) ·ξi(−→x ⋆

, f (−→x ⋆), f1

(−→x ⋆), . . . fp

(−→x ⋆))

+ε ·η(−→x ⋆, f (−→x ⋆), . . . , f

p

(−→x ⋆))+O(ε2).

Observatia lui Boyer [2], [4, p. 258] consta ın aceea ca — reamintim notatia

(2.15) — urmatorul grup de transfomari

−→x ⋆ =−→X (−→x ,y,y

1

, . . . ,yp

,ε) =−→x

y⋆ = Y (−→x ,y,y1

, . . . ,yp

,ε) = y+ ε · [η(−→x ,y,y1

, . . . ,yp

)

−m

∑i=1

yi ·ξi(−→x ,y,y1

, . . . ,yp

)]+O(ε2)


produce acelasi efect ca grupul (2.20) asupra functiei f . Vezi [4, Theorem 5.2.3-1,

p. 261].

Capitolul 3

Algebra Lie pentru ecuatia caldurii

3.1 Simetriile punctuale ale ecuatiei caldurii

Sa consideram ecuatia adimensionala a caldurii

∂ 2y

∂x21

− ∂y

∂x2= 0, (x1,x2) ∈ R

2. (3.1)

Cautam grupurile Lie de transformari asociate ecuatiei (3.1). Generatorii lor sunt

— vezi [3] —

−→X−→x =

−→X (x1,x2,y,y1,y2,y11,y12,y22)

= ξ1(x1,x2,y)∂

∂x1+ξ2(x1,x2,y)

∂∂x2

+η(x1,x2,y)∂∂y

+ η(1)1 (x1,x2,y,y

1

)∂

∂y1+η(1)

2 (x1,x2,y,y1

)∂

∂y2

+2

∑i, j=1

η(2)i j (x1,x2,y,y

1

,y2

)∂

∂yi j, (3.2)

unde — reamintim notatia (2.15) — yi j =∂ 2y

∂xi∂x jpentru orice i, j ∈ 1,2. Grupul Lie

precedent este un grup de transformari ın Rnm , unde m= 2 si nm = 1

2(m2+5m+2)=

8.

Cum ne aflam ın cazul (2,1), descris ın capitolul anterior, grupul de transformari

dat de (3.2) constituie cea de-a 2–a extindere a grupului de transformari cu genera-

torul de mai jos

−→X−→x =

−→X (x1,x2,y)

= ξ1(x1,x2,y)∂

∂x1+ξ2(x1,x2,y)

∂∂x2

+η(x1,x2,y)∂∂y

. (3.3)

27

28 3 Algebra Lie pentru ecuatia caldurii

Ecuatia (3.1) ne conduce la urmatoarea hipersuprafata simpla ın R8, si anume

hiperplanul — vezi [4, p. 164] —

y11 − y2 = F(x1,x2,y,y1,y2,y11,y12,y22)

= y11 − f (x1,x2,y,y1,y2,y12,y22) = 0. (3.4)

Fiind date grupul Lie (−→X (·,ε))ε∈E , unde

−→X (·,ε) : D → D, si hipersuprafata

simpla H cu formula

F(−→x ) = xn − f (x1, . . . ,xn−1) = 0,

unde D = Dn−1 × In, multimea Dn−1 ⊆ Rn−1 este deschisa, simplu conexa, functia

f : Dn−1 → R este analitica iar multimea In ⊆ R este un interval deschis care in-

clude multimea f (Dn−1), ne intereseaza o conditie ın care grupul de transformari

invariaza hipersuprafata — adica, functiile din grup transporta subvarietati ale

hipersuprafetei ın subvarietati ale hipersuprafetei fara a le invaria si pe acestea din

urma neaparat; vezi si discutia din [10, p. 97] —.

In discutia de fata, invarianta hipersuprafetei ınseamna ca grupul Lie dat de (3.2)

va duce solutii ale ecuatiei (3.1) ın solutii ale ecuatiei (3.1).

Prin solutie invarianta y = y(x1,x2) a ecuatiei (3.1) ıntelegem orice supra-fata

invarianta a grupului Lie (3.3) astfel ıncat extensia (3.2) a acestuia sa invarieze

hipersuprafata (3.4), cf. [4, Definition 4.2.1-1, p. 169]. O critica a definitiei poate

fi citita ın [10, p. 237].

Teorema 2 (cf. [4, Theorem 2.2.7-1, p. 49]) Grupul Lie (−→X (·,ε))ε∈E invariaza

hipersuprafata H daca si numai daca1

−→X (F)(−→x ) = 0 (3.5)

pentru orice −→x ∈ H .

Demonstratie. Partea directa. Plecam de la identitatea

F(−→X (ε)) = Xn(ε)− f (X1(ε), . . . ,Xn−1(ε)) = 0, ε ∈ E.

Prin derivare ın raport cu ε , obtinem

0 =n

∑i=1

∂∂Xi(ε)

[F(X1(ε), . . . ,Xn(ε))] ·dXi

dε

=n

∑i=1

ξi(−→X (ε))

∂∂Xi(ε)

[F(−→X (ε))]

=−→X−→

X (ε)(F).

Aplicand lema 2, ajungem la (3.5).

1 Vectorii−→X−→x sunt tangenti la H atunci cand −→x ∈ H , cf. [10, p. 37, Proposition 1.35].

3.1 Simetriile punctuale ale ecuatiei caldurii 29

Partea reciproca. In mod evident, F ∈Cω(D,R), unde

F(x1, . . . ,xn) = xn − f (x1, . . . ,xn−1), (x1, . . . ,xn−1) ∈ Dn−1, xn ∈ In.

Avem urmatoarea estimare

−→X−→x (F) = ξn(−→x )−

n−1

∑i=1

ξi(−→x )∂

∂xi[ f (−→x )]

= ξn(−→x )−n−1

∑i=1

ξi(−→x ) fi(−→x ), −→x ∈ D.

Conform (3.5), are loc identitatea

ξn(x1, . . . ,xn−1, f (x1, . . . ,xn−1))

−n−1

∑i=1

ξi(x1, . . . ,xn−1, f (x1, . . . ,xn−1)) fi(x1, . . . ,xn−1) = 0 (3.6)

pentru orice (x1, . . . ,xn−1) ∈ Dn−1.

Fixand j ∈ 1,n−1, sa calculam derivata totala ın raport cu x j a identitatii prece-

dente. Obtinem ca

D j

(

ξn −n−1

∑i=1

ξi fi

)

=∂ξn

∂x j+

∂ξn

∂xn· f j −

n−1

∑i=1

(

D jξi · fi +ξi ·∂ fi

∂x j

)

=

[

∂ξn

∂x j−

n−1

∑i=1

∂∂x j

(ξi fi)

]∣

∣

∣

∣

∣−→x+

{

f j ·[

∂ξn

∂xn−

n−1

∑i=1

∂∂xn

(ξi fi)

]}∣

∣

∣

∣

∣−→x= 0

pentru orice −→x ∈ H . Cu alte cuvinte,

∂∂x j

(−→XF)

∣

∣

∣

∣−→x=−

[

f j ·∂

∂xn(−→XF)

]∣

∣

∣

∣−→x, j ∈ 1,n−1. (3.7)

Mai departe, tinand seama de (3.7) si apoi de (3.6), avem

−→X

2∣

∣

∣−→x (F) =−→X

∣

∣

∣−→x (−→XF) =

[

ξn ·∂

∂xn(−→XF)+

n−1

∑j=1

ξ j ·∂

∂x j(−→XF)

]∣

∣

∣

∣

∣−→x

=

(

ξn −n−1

∑j=1

ξ j · f j

)∣

∣

∣

∣

∣−→x· ∂

∂xn(−→XF)

∣

∣

∣

∣−→x= 0, −→x ∈ H .

In mod inductiv, se arata ca−→X

k∣

∣

∣−→x (F) = 0 pentru orice k ≥ 3. Deducem de aici

ca

exp(ε−→X )∣

∣

∣−→x (F) = 0, ε ∈ E, −→x ∈ H .

30 3 Algebra Lie pentru ecuatia caldurii

Conform propozitiei 2, avem F(−→X (−→x ,ε)) = 0 cand −→x ∈ H , ceea ce ıncheie

demonstratia. �

Revenind la ecuatia caldurii (3.1), pe baza [4, Theorem 4.2.3-7, p. 175], stim ca

ξi = ξi(x1,x2), i ∈ 1,2, η(x1,x2,y) = c(x1,x2)y+d(x1,x2). (3.8)

Conditia (3.5), unde generatorul−→X este dat de (3.2) si au loc relatiile (3.8), este

η(2)11 = η(1)

2 .

Aici,

η(1)2 =

∂d

∂x2+

∂c

∂x2y− ∂ξ1

∂x2y1 +

(

c− ∂ξ2

∂x2

)

y2

si

η(2)11 =

∂ 2d

∂x21

+∂ 2c

∂x21

y+

(

2∂c

∂x1− ∂ 2ξ1

∂x21

)

y1

− ∂ 2ξ2

∂x21

y2 +

(

c−2∂ξ1

∂x1

)

y11 −2∂ξ2

∂x1y12.

Identitatea (3.6) ne conduce la ecuatiile — vezi [4, p. 177] —

∂ξ2

∂x1= 0,

∂ξ2

∂x2− ∂ 2ξ2

∂x21

−2∂ξ1

∂x1= 0,

2∂ f∂x1

− ∂ 2ξ1

∂x21

+ ∂ξ1

∂x2= 0,

∂ 2 f

∂x21

− ∂ f∂x2

= 0,

∂ 2g

∂x21

− ∂g∂x2

= 0.

(3.9)

3.2 Calculul algebrei Lie

Rezolvand sistemul de ecuatii (3.9), obtinem ca

ξ1(x1,x2) = κ +δx1 +βx2 + γx1x2,

ξ2(x1,x2) = α +2βx2 + γx22,

f (x1,x2) =− γ4(x2

1 +2x2)− δx12

+λ ,

unde numerele α,β ,γ ,δ ,κ ,λ ∈ R sunt arbitrare.

Ecuatia caldurii (3.1) admite, asadar, ın spatiul R3 = {(x1,x2,y)} un grup Lie

6–parametric avand generatorii — [10, p. 118] —

3.2 Calculul algebrei Lie 31

−→X 1 =

∂∂x1

,−→X 2 =

∂∂x2

,−→X 3 = x1

∂∂x1

+2x2∂

∂x2,

−→X 4 = x1x2

∂∂x1

+ x22

∂∂x2

− y4(x2

1 +2x2)∂∂y,

−→X 5 = x2

∂∂x1

− x1y2

∂∂y,

−→X 6 = y ∂

∂y.

O solutie a ecuatiei (3.1) invarianta ın raport cu grupul Lie uniparametric generat

de−→X 4 este — cf. [4, p. 179] —

y = y(x1,x2) =1√x2

e− x2

14x2

(

c1 + c2x1

x2

)

, c1,c2 ∈ R.

Referinte Bibliografice

1. Barbu, V.: Ecuatii diferentiale. Junimea, Iasi (1985)

2. Boyer, T.H.: Continuous symmetries and conserved currents. Ann. Phys. 42, 445–466 (1967)

3. Bluman, G.W., Cole, J.D.: Similarity methods for differential equations. Springer-Verlag,

New York (1974)

4. Bluman, G.W., Kumei, S.: Symmetries and differential equations. Springer-Verlag, New York

(1989)

5. Bluman, G.W., Anco, S.C.: Symmetry and integration methods for differential equations.

Springer-Verlag, New York (2002)

6. Evans, L.C.: Partial differential equations. Amer. Math. Soc., Providence, RI (2003)

7. Ibragimov, N.H.: Transformation groups applied to mathematical physics. D. Reidel Publ.

Comp., Dordrecht (1985)

8. Lee, J.M.: Introduction to smooth manifolds. Springer-Verlag, New York (2003)

9. Moser, J., Zehnder, E.J.: Notes on dynamical systems. Courant LNM 12, AMS Providence,

RI (2005)

10. Olver, P.J.: Applications of Lie groups to differential equations. Springer-Verlag, New York

(2000)

11. Ovsiannikov, L.V.: Group analysis of differential equations. Academic Press, New York

(1982)

12. Stephani, H.: Differential equations. Their solutions using symmetries (M. McCallum, Ed.).

Cambridge Univ. Press, Cambridge (1989)

13. Stoilow, S.: Teoria functiilor de o variabila complexa. Vol. I: Notiuni si principii fundamen-

tale. Ed. Acad. R.P.R., Bucuresti (1954)

33

Index

adimensional, 27

algebra Lie, ix, 30

aplicatie invarianta, 9

Boyer, T., 25

camp vectorial, 6, 7

conditii de contact, 19, 20

coordonate polare, 11

critica, 28

curba integrala, 17, 20

curent, 7

derivata totala, 20, 21, 29

ecuatia caldurii, 27, 30

ecuatie autonoma, 4

exponentiala, 6

extindere, 22

fibratul tangent, 5

forma canonica, 12

forma normala, 12

functie olomorfa, 8

functie vectoriala, 4, 23

generator, ix, 7, 12, 21, 27, 30

grup de rotatii, 12

grup de translatii, 12

grup Lie de transformari, 2, 7, 9, 12, 15, 19,

21, 22, 25, 27, 28, 31

grup Lie local, 1, 4, 21

grupuri Lie, ix, 7, 28, 30

hipersuprafata, 20, 21, 28

independenta functionala, 11

infinitesimal, 7, 10

invarianta, 28

lege grupala, 4

Lie, Marius S., 4, 6, 12

liniarizare, 7

local, 1

metoda caracteristicilor, 11

netezime, 1, 4, 5, 9, 11, 18, 24

Noether, E., 24

orbita, 12, 15

prelungire, 21

push-forward, 7

putere, 6

seria Lie, ix, 6

serie de puteri, 8, 9, 13

simetrie, 17

simetrii punctuale, 12, 17, 21, 27

sistem ın variatie, 12

solutie invarianta, 28, 31

teorema functiilor implicite, 3

teorie locala, ix

transformari, ix

transformari punctuale, 2

transformare Lie-Backlund, 24

variabila, 7

variabila, 19

vector legat, 4

35

C:/Octavian/recuperare acer 17iunie2016/Octavian/proiecte ...

Documents

Transcript of C:/Octavian/recuperare acer 17iunie2016/Octavian/proiecte ...