¿Cómo realizar cálculos aproximados de integrales definidas con … · 2011-11-20 · Por otra...

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¿Cómo realizar cálculos aproximados de integrales definidas con la calculadora Casio fx – 9860G? Cálculo II –Práctica 1 Prof. Robinson Arcos

OBJETIVO GENERAL:

Al culminar esta práctica el estudiante estará en capacidad de realizar cálculos aproximados de una integral definida con la calculadora CASIO fx – 9860G por las reglas de los rectángulos, trapecios y Simpson.

RESUMEN:

Para evaluar una integral definida ∫b

adx)x(f usando el Teorema Fundamental del Cálculo, es necesario

determinar una primitiva F de f, y en ese caso se tendrá que )a(F)b(Fdx)x(fb

a−=∫ . En ocasiones es difícil,

incluso imposible conocer una primitiva de f, como en el caso de la función 2xe)x(f −= , que no tiene una

“primitiva elemental”. Esto significa que no existe una función F tal que )x(f)x(F =′ y cuya regla de correspondencia pueda representarse por una expresión algebraica construida mediante operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y composición de funciones elementales.

Por otra parte, al aplicar el teorema fundamental del cálculo en una integral definida, no debe pensarse que siempre se obtiene el valor exacto de la integral, en realidad lo que se obtiene es el valor exacto expresado en

términos simbólicos, pero no en términos numéricos. Por ejemplo, ∫ −=+2

02

353144

7540dx3xx ; aquí el

resultado está expresado en términos simbólicos. Para obtener el valor numérico de la integral debemos hallar una

aproximación del número 35

31447

540− con la cantidad de decimales que se requiera; digamos

∫ ≈+2

02 65.5dx3xx , que es una aproximación de la integral con dos cifras decimales exactas.

En consecuencia, en cualquier caso, la mayoría de las veces debemos realizar una estimación de la integral. Incluso, si utilizamos el teorema fundamental para hallar una respuesta exacta en términos numéricos, la precisión puede no tener sentido si el integrando se modela con datos que se han obtenido en forma inexacta en una situación problemática de aplicación. Es posible que no haya una fórmula o expresión algebraica para la función f.

En la mayor parte de las aplicaciones prácticas no se requieren respuestas exactas. Si el problema es predecir la cantidad de combustible usado por un trasbordador espacial o la longitud de un cable de acero que soporta un puente, se puede requerir sólo un cierto número de lugares decimales de precisión.

En esta práctica nuestro interés se enfocará en conocer métodos para calcular en forma aproximada una integral definida y discutir cuáles resultan “mejores” en el sentido de que arrojan resultados más cercanos al valor exacto con menos trabajo. Los métodos funcionan también que, en la mayor parte de las situaciones prácticas, las integrales definidas se evalúan numéricamente y no por antidiferenciación y uso del teorema fundamental del cálculo.

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

El estudiante debe estar familiarizado con: • La notación ∑ y sus propiedades. • El concepto de la integral definida y sus propiedades. • El concepto de sumas de Riemann y su cálculo.

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INTRODUCCIÓN:

El problema general se presenta haciendo una estimación del área de la región R limitada por la gráfica de una función f, el eje OX y las rectas de ecuación ax = y bx = . Por el momento supondremos que 0)x(f ≥ y continua en [ ]b,a , como en la Figura 1. A la región R la llamaremos trapecio curvilíneo.

Para encontrar una estimación del área del trapecio curvilíneo se siguen los siguientes pasos: Paso1: Se divide el intervalo [ ]b,a en n subintervalos. Para ello se dispone de 1n + puntos que verifican la siguiente condición:

bxxxxxxxa n1nk1k210 =<<<<<<<<= −− LL

Esta colección de puntos se denomina partición del intervalo [ ]b,a en n subintervalos o subdivisiones.

Paso 2: En cada subintervalo [ ]k1k x,x − con n,,2,1k L= , se elige cualquier punto kc . De manera que tenemos elegidos n puntos n21 c,,c,c L donde 1c se elige en el primer subintervalo [ ]10 x,x , 2c se elige en el segundo subintervalo [ ]21 x,x , y así sucesivamente, observe la Figura 2. Paso 3: Para cada n,,2,1k L= se calculan los números:

• 1kkk xxx −−=Δ (longitud del subintervalo [ ]k1k x,x − ).

• )c(f k (valor de la función en kcx = ).

• kk x)c(f Δ⋅ .

El producto kk x)c(f Δ⋅ representa el área del rectángulo que tiene por base la longitud del subintervalo [ ]k1k x,x − y por altura la longitud )c(f k .

Paso 4: Se calcula la suma de los productos encontrados en el paso 3, esto es,

nn2211n

1kkk x)c(fx)c(fx)c(fx)c(f)n(S Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅=Δ⋅= ∑

=

L .

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Esta suma se denomina Suma de Riemann de la función f en el intervalo [ ]b,a con n subintervalos. Lo importante de esta suma es que la misma nos da una aproximación del área de la región R ( )n(S)R(A ≈ ).

En la Figura 3 se observa una suma de Riemann de la función f en el intervalo [ ]b,a con 5n = subintervalos. En este caso tenemos la estimación:

5544332211 x)c(fx)c(fx)c(fx)c(fx)c(f)5(S)R(A Δ+Δ+Δ+Δ+Δ=≈

Observe que la elección de los puntos kc para 5,4,3,2,1k = ha sido arbitraria.

Dado que el área de la región R es precisamente ∫=b

adx)x(f)R(A , tenemos que el valor de la integral definida

se aproximada por una suma de Riemann, esto es, ∑∫=

Δ⋅≈n

1kkk

b

ax)c(fdx)x(f . En esto hecho es que

precisamente se basa la idea de aproximar una integral definida.

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¿Cómo calcular una aproximación de la integral indefinida por el método de los rectángulos?

Del cálculo anterior se deduce que una suma de Riemann es una suma de áreas de rectángulos. Cuando aproximamos el valor de una integral definida por una suma de Riemann, estamos aproximando la integral por el método de los rectángulos.

A fin de realizar el cálculo de una suma de Riemann de manera práctica y con comodidad de computo, se divide el intervalo [ ]b,a en n subintervalos de la misma longitud y los números kc para n,,2,1k L= no se eligen arbitrariamente, sino que se toman los extremos derechos o los extremos izquierdos o el punto medio de cada uno de los subintervalos. Sin embargo, debe tenerse presente que la razón de considerar sumas de Riemann que no sean sumas por la izquierda y por la derecha, es que existen otras opciones de puntos dentro de cada subintervalo que pueden producir mejores métodos de cálculo aproximado.

Para calcular una suma de Riemann por el método de los rectángulos se siguen los siguientes pasos:

Paso1: Se construye una partición del intervalo [ ]b,a en n subintervalos de la misma longitud (partición regular), de modo que:

nabxxx 1kkk

−=−=Δ − para cada n,,2,1k L=

Paso 2: Dado que en una partición regular cada kx viene dado por la

progresión aritmética n

)ab(kaxk−

+= para cada n,,2,1,0k L= , los

puntos [ ]k1kk x,xc −∈ se eligen de acuerdo a las siguientes reglas:

• Se selecciona el punto inicial (izquierdo) de cada subintervalo:

n)ab)(1k(axc 1kk

−−+== − para cada n,,2,1k L= .

• Se selecciona el punto final (derecho) de cada subintervalo:

n)ab(kaxc kk

−+== para cada n,,2,1k L= .

• Se selecciona el punto medio de cada subintervalo:

n2)ab)(1k2(a)xx(

21c 1kkk

−−+=+= − para cada n,,2,1k L= .

Extremos izquierdos:

1kk xc −= para n,,2,1k L=

Figura 4

Extremos derechos: 1kk xc −= para n,,2,1k L=

Figura 5

Puntos medios: 2/)xx(c 1kkk −+= para n,,2,1k L=

Figura 6

4

Estos tres métodos se llaman, con razón, la regla por la izquierda, la regla por la derecha, y la regla del punto medio.

Paso 3: Se calcula la suma de Riemann ∑∑==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=Δ⋅=n

1kk

n

1kkk )c(f

nabx)c(f)n(S .

Usaremos IZQ(n), DER(n) y MED(n) para denotar los resultados obtenidos al usar las reglas descritas con n subdivisiones.

La Figura 4 muestra gráficamente la suma de Riemann IZQ(10) para la función continua y definida por

210x)x(f

2+= en el intervalo cerrado [ ]10,0 . Observe que en este caso, como la función f es creciente en [ ]10,0 , la

suma IZQ(10) nos da una subestimación o aproximación por defecto del área del trapecio curvilíneo. La Figura 5 nos muestra gráficamente la suma de Riemann DER(10) de la función f en el mismo intervalo. Por

ser f creciente en [ ]10,0 , la suma nos da una sobreestimación o aproximación por exceso del área del trapecio curvilíneo.

La Figura 6 nos muestra el hecho interesante de que evaluar f en el punto medio de cada subintervalo, muchas veces da una mejor aproximación que la obtenida al evaluar f en los extremos izquierdos o en los extremos derechos del subintervalo. Para la función f en particular, se puede observar que cada rectángulo rebasa y recorta el área exacta, y que las cantidades de exceso y recorte son prácticamente iguales.

Es útil saber cuando una regla produce una subestimación y cuando una sobrestimación. Se puede demostrar que:

Si f es creciente en [ ]b,a , entonces para cualquier número entero positivo n se tiene:

)n(DERdx)x(f)n(IZQb

a≤≤ ∫ .

Si f es decreciente en [ ]b,a , entonces para cualquier número entero positivo n se tiene:

)n(IZQdx)x(f)n(DERb

a≤≤ ∫

¿Cómo se calculan las sumas de Riemann con particiones regulares en la calculadora CASIO fx-9860G?

1. Observaciones: Antes de continuar, es importante señalar que el usuario debe realizar las actividades propuestas siguiendo cuidadosamente cada instrucción.

Para distinguir en esta práctica las instrucciones y actividades de la mera transmisión de información, estás se

destacarán con los iconos , , o una barra gris en el margen izquierdo de la página. El primer icono o la barra gris dispuesta a lo largo de una secuencia de instrucciones numeradas, anunciará al usuario que se abre una sección donde únicamente podrá hacer uso de la calculadora para ejecutar las instrucciones que se indican. El segundo icono le anunciará que se está planteando una situación problemática que será resuelta o que está propuesta para que la desarrolle. El último le anunciará que debe reportar por escrito la respuesta a la situación problemática formulada.

2. Operación con la calculadora: Antes de realizar las actividades presentadas en esta práctica, es necesario realizar labores de limpieza y configuración en el menú de trabajo de la calculadora.

1. Presione para encender la calculadora.

2. Presione . Seleccione el menú [Run-Mat] y presione . 3. Para configurar la calculadora en el menú [Run-Mat], presione las teclas

para acceder al cuadro de diálogo de configuración. Figura 7

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4. En el cuadro de diálogo aparece el seleccionador ubicado en [Input Mode].

Presione para configurar el menú [Run-Mat] en el modo [Line] (Figura 7).

5. En la tecla direccional elíptica presione . El resaltador se ubicará en

[Display]. Presione una o dos veces hasta elegir el formato numérico en el modo [Norm1] (Figura 8).

6. Presione para salir del menú de configuración. 7. Presione la secuencia de teclas:

para limpiar las variables de la A hasta la Z (Figura 9).

8. Para usar el historial de cálculo presione . • Esto configura el menú [Run-Mat] en el modo [Math].

9. Presione las teclas para borrar el historial de cálculo (Figura 10).

Ahora estamos en capacidad de resolver nuestra primera situación

problemática:

Figura 8

Figura 9

Figura 10

3. Situación problemática:

Calcule las sumas de Riemann IZQ(n), DER(n) y MED(n) para 200,100,50,20,10n = que aproximen la

integral definida ∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

10

0

2dx2

10x . Presente sus resultados en una tabla.

4. Operación con la calculadora:

• Comenzaremos asignando valores a las variables A, B y N:

10. Presione . • A la variable A le hemos asignado el límite inferior del intervalo de

integración [ ]10,0 .

11. Presione . • A la variable B le hemos asignado el límite superior del intervalo de

integración [ ]10,0 .

12. Presione • A la variable N le hemos asignado el número de subdivisiones ( 10n = )

con que vamos a calcular la aproximación IZQ(10) (Figura 11). 13. .Presione la secuencia de teclas:

.

Figura 11

Figura 12

6

• Con esto hemos asignado a la variable D la longitud n

abxk−

=Δ de

cada subintervalo para 10,9,,3,2,1k L= (Figura 12).

• Calcularemos ahora la suma IZQ(10):

14. Presione y luego para que aparezca en pantalla el símbolo ∑.

15. Presione la secuencia de teclas:

• Se obtiene el resultado presentado en fracción.

16. Presione para obtener IZQ(10) en forma decimal.

Figura 13

Figura 14

5. Reporte por escrito. Presente el resultado obtenido y los subsecuentes en la siguiente tabla:

n IZQ(n) MED(n) DER(n)

10

20

50

100

200

Tabla 1

Para calcular las sumas IZQ(n) para 200,100,50,20n = hacemos uso del histórico de cálculo de la siguiente manera:

• Para calcular IZQ(20) basta cambiar el valor actual de la variable N por 20 en el histórico de cálculo:

17. Presione para ubicar el cursor en la instrucción N10 → en el histórico de cálculo (Figura 15).

18. Presione ahora para actualizar el nuevo valor ( 20n = ) de asignación para la variable N (Figura 16).

19. Presione . • El histórico actualiza los cálculos a partir de la instrucción modificada y

presenta automáticamente el valor de IZQ(20) como una fracción.

20. Presione para obtener IZQ(20) en forma decimal. • Se obtiene IZQ(20) = 50.875 (Figura 17).

De manera análoga, calcule las sumas IZQ(50), IZQ(100) y IZQ(200).

Presente sus resultados en la Tabla 1.

Figura 15

Figura 16

Figura 17

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Para calcular ahora las sumas DER(n) para 200,100,50,20n = realizaremos primeramente algunas modificaciones en el histórico de cálculo:

21. Para calcular las sumas por la derecha, ubique el cursor en la instrucción donde aparece la sumatoria como en la Figura 18.

22. Presione la tecla direccional derecha nueve veces hasta ubicar el cursor antes de la letra K.

23. Ahora presione la secuencia de teclas:

• Con esto tenemos la sumatoria que corresponde a las sumas por la

derecha, observe la Figura 19. • Ahora calcularemos DER(10):

24. En el histórico de cálculo, ubique el cursor en la instrucción N200 → y actualice el valor (n = 10) de asignación de la variable N. (Figura 20).


presenta automáticamente el valor de DER(10) como una fracción.

26. Presione para obtener DER(10) en forma decimal. • Se obtiene DER(10) = 58.5 (Figura 21).

Calcule las sumas DER(20), DER(50), DER(100) y DER(200) actualizando

en cada caso el valor de la variable N. Presente los resultados en la Tabla 1.

Figura 18

Figura 19

Figura 20

Figura 21

Para calcular finalmente las sumas MED(n) para 200,100,50,20n = , hacemos uso nuevamente del histórico de cálculo:

27. Para calcular las sumas por la regla del punto medio, ubique el cursor en la instrucción donde aparece la sumatoria como en la Figura 22.

28. Presione la tecla direccional derecha ocho veces hasta ubicar el cursor antes de la letra K.

29. Ahora presione la secuencia de teclas:

. • Con esto hemos insertado algunos caracteres para obtener la sumatoria

que corresponde a las sumas por la regla del punto medio, como en la Figura 23.

• Calculemos MED(10): 30. En el histórico de cálculo, ubique el cursor en la instrucción N200 → y

actualice el valor (n = 10) de asignación de la variable N.


presenta automáticamente el valor MED(10) = 53.25 (Figura 24). Calcule las sumas MED(n) para 200,100,50,20n = y presente los

resultados en la Tabla 1.

Figura 22

Figura 23

Figura 24

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Podemos encontrar en la calculadora fx-9860G la integral definida de f y comparar el valor obtenido con los resultados presentados en la Tabla 1:

• Limpiemos primeramente la pantalla de la calculadora: 32. Presione la secuencia de teclas:

Calculemos ahora dx210x10

0

2∫ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+ :

33. Presione . • Aparece la plantilla del símbolo integral.

34. Presione la siguiente secuencia de teclas para editar la función:

. • Con esto tenemos editado el integrando. Para colocar los límites de

integración y calcular la integral procedemos como sigue:

35. Presione .

Se obtiene 33333333.53dx210x10

0

2=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∫ .

Figura 25

Figura 26

Figura 27

6. Observaciones: al visualizar los resultados presentados en la Tabla 1 y compararlos con el valor de la integral definida, podemos hacer las siguientes observaciones:

• Al usar el método de los rectángulos con cualquiera de sus tres reglas se obtienen aproximaciones más exactas cuando se incrementa el valor de n.

• Cuando la función f es creciente en el intervalo [ ]b,a , como en el caso que hemos tratado, se tiene:

)n(DER)n(MED)n(IZQ ≤≤ para cada entero positivo n.

De manera análoga, si f es decreciente en [ ]b,a se tendrá que:

)n(IZQ)n(MED)n(DER ≤≤ para cada entero positivo n.

• El uso de la regla del punto medio da un mejor cálculo aproximado al valor de la integral definida. Por ejemplo, en el caso que hemos tratado, observe que los valores aproximados que se obtuvieron de la integral para 200n = : 08375.53)200(IZQ = , 333125.53)200(MED = y 58375.53)200(DER = el valor obtenido por la regla del punto medio aproxima la integral con tres cifras decimales exactas, lo que no sucede con las otras sumas que solo son exactas en la parte entera. Si observamos el caso para 50n = :

34.52)50(IZQ = , 33.53)50(MED = y 34.54)50(DER = , la aproximación por la regla del punto medio es exacta hasta la segunda cifra decimal, las aproximaciones con las otras dos reglas sólo son exactas en la primera cifra entera.

¿Puede usarse las sumas de Riemann para aproximar la integral definida de una función que toma valores positivos y negativos en el intervalo de integración?

Cuando presentamos las sumas de Riemann de una función continua en el intervalo [ ]b,a como aproximaciones de la integral definida, supusimos que f era no negativa en [ ]b,a . Esta condición se impuso momentáneamente con la idea de observar que las sumas de Riemann eran sumas de áreas de rectángulos que aproximaban el trapecio curvilíneo definido por la función. En realidad no existe tal restricción, las sumas de Riemann aproximan la integral definida de una función que toma valores positivos, nulos y negativos en el intervalo de integración.

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Cuando calculamos sumas de Riemann para este tipo de funciones, debe tenerse presente que en el subintervalo [ ]k1k x,x − donde )c(f k es negativo, el rectángulo correspondiente se encontrará por debajo del eje OX, mientras que en el subintervalo donde

)c(f k es positivo, el rectángulo se encontrará, como hemos visto, por encima del eje OX. En particular, en el subintervalo donde )c(f k es nulo el rectángulo degenera en un segmento.

Una suma de Riemann de una función que toma valores positivos y negativos es una suma algebraica de áreas de rectángulos Figura 28

En la Figura 28 se presenta la gráfica de la función definida por xsen)x(f = en el intervalo [ ]π2,0 . El intervalo se ha subdividido en 20n = subintervalos. La suma de Riemann presentada corresponde a la regla por la derecha, esto es, DER(20). Si observa con detenimiento podrá darse cuenta que DER(20) = 0, dado que la misma, es la suma algebraica de áreas positivas y negativas con valores iguales y de signo contrario. Esta suma corresponde a

una aproximación exacta de la integral dxsenx2

0∫π

, la cual es nula como puede apreciarse en la gráfica.

¿Cómo calcular una aproximación de la integral definida por el método de los trapecios?

Hemos visto que la regla del punto medio puede tener el efecto de equilibrar los errores de las reglas por la izquierda y por la derecha. Existe otra manera de equilibrar estos errores: ¿por qué no promediar los resultados de las reglas por la izquierda y por la derecha? Esta aproximación se llama regla del trapecio:

2)n(DER)n(IZQ)n(TRAP +

=

Para cada n,,3,2,1k L= , la regla del trapecio promedia en cada subintervalo [ ]k1k x,x − de la partición regular, los valores de f en los puntos extremos izquierdo y derecho, y multiplica este valor por la longitud kxΔ del subintervalo. Esto es lo mismo que calcular en forma aproximada el área del trapecio curvilíneo de f en cada subintervalo [ ]k1k x,x − por el área de un trapecio (Figura 29). De acuerdo a esto, tenemos la fórmula:

))x(f)x(f2)x(f2)x(f2)x(f(n2

)ab(x2

)x(f)x(f)n(TRAP n1n210kn

1k

k1k +++++−

=Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= −=

−∑ L

Figura 29

Figura 30

10

La Figura 28 nos indica Intuitivamente que aproximar el área del trapecio curvilíneo correspondiente a cada subintervalo [ ]k1k x,x − para cada n,,3,2,1k L= , por el área de un trapecio, nos brinda un resultado más cercano al valor exacto del área bajo la curva que el que nos brinda el área de un rectángulo cuya altura se ha calculado en los extremos del subintervalo. El la Figura 30 se observa que con unas pocas subdivisiones regulares del intervalo

de integración, se obtiene una excelente aproximación al área dada por ∫6

0dx)x(f .

Una manera de establecer qué tan buena es una aproximación en relación con otra, es calculando el error que se comete al aproximar una cantidad dada por el valor que la aproxima, esto es,

Error cometido = Valor exacto – Valor Aproximado Mientras más pequeño es el error, mejor es la aproximación. Tomemos el ejemplo precedente donde hemos

calculado aproximaciones a la integral dx210x10

0

2∫ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+ por el método de los rectángulos. Definamos los siguientes

errores para cada una de las reglas tratadas hasta el momento:

)n(IZQdx210x)n(E

10

0

2Izq −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+= ∫ , )n(DERdx2

10x)n(E

10

0

2Der −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+= ∫

)n(MEDdx210x)n(E

10

0

2Med −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+= ∫ y )n(TRAPdx2

10x)n(E

10

0

2Trap −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+= ∫

Asumamos que el valor exacto de la integral es 33333333.53dx210x10

0

2=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+∫ , las siguientes tablas

presentan los errores cometidos en cada aproximación:

n IZQ(n) ERROR DER(n) ERROR

10 48.500000000 4.833333333 58.500000000 – 5.166666667

20 50.875000000 2.458333333 55.875000000 – 2.541666667

50 52.340000000 0.993333334 54.340000000 – 1.006666667

100 52.835000000 0.498333333 53.835000000 – 0.501666667

200 53.083750000 0.249583333 53.583750000 – 0.250416667 TABLA 2

n MED(n) ERROR TRAP(n) ERROR

10 53.250000000 0.083333333 53.500000000 – 0.166666667

20 53.312500000 0.020833333 53.375000000 – 0.041666667

50 53.330000000 0.003333333 53.340000000 – 0.006666667

100 53.332500000 0.000833333 53.335000000 – 0.001666667

200 53.333125000 0.000208333 53.333750000 – 0.000416667 TABLA 3

7. Observaciones: partir de los resultados presentados en estas tablas podemos hacer varias observaciones:

• Los errores en las aproximaciones con los puntos extremos de la izquierda y la derecha tienen signos opuestos. Un error positivo indica que la aproximación se realiza por defecto. Cuando el error es negativo la aproximación se realiza por exceso.

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• Los errores en las aproximaciones con los puntos extremos parecen disminuir un factor de más o menos 2 cuando duplicamos el valor de n.

• Las reglas trapezoidal y del punto medio son mucho más exactas que las aproximaciones con los puntos extremos.

• Los errores en las reglas trapezoidal y del punto medio tienen signos opuestos y parecen disminuir un factor de 4 cuando duplicamos el valor de n.

• La magnitud del error en la regla del punto medio es alrededor de la mitad de la magnitud del error en la regla trapezoidal.

Veamos en este momento cuándo las reglas del punto medio y del trapecio producen subestimaciones y

sobrestimaciones: Para la regla del trapecio: si la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo, entonces cada trapecio estará

por debajo de la gráfica de f (Figura 31) y la regla del trapecio dará una subestimación (aproximación por defecto). Si la gráfica de f es cóncava hacia arriba (Figura 32), la regla del trapecio dará una sobrestimación (aproximación por exceso).

Figura 31

Figura 32

Para la regla del punto medio: debemos comprender previamente la relación entre la regla del punto medio y

la concavidad de la curva, tomemos un rectángulo cuya parte superior intersecta la curva en el punto medio del intervalo. Dibujemos además, una tangente a la curva en el punto medio; esto dará un trapecio (éste no es el mismo trapecio que el de la regla del trapecio, ya que no toca la curva en los puntos extremos del intervalo). El rectángulo del punto medio y el nuevo trapecio tienen la misma área, porque los triángulos sombreados en las Figuras 33 y 34 son congruentes y en consecuencia, tienen la misma área.

Figura 33

Figura 34

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Por lo tanto, si la gráfica de la función es cóncava hacia abajo, la regla del punto medio sobrestima (vea la Figura 35); si la gráfica es cóncava hacia arriba, la regla del punto medio subestima (vea la Figura 36).

Figura 35

Figura 36

Como producto de este estudio, se obtiene el siguiente resultado: • Si la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo en el intervalo [ ]b,a , se tiene:

)n(MIDdx)x(f)n(TRAPb

a≤≤ ∫ para cada entero positivo n.

• Si la gráfica de la función f es cóncava hacia arriba en el intervalo [ ]b,a , se tiene:

)n(TRAPdx)x(f)n(MIDb

a≤≤ ∫ para cada entero positivo n.

¿Cómo calcular una cota de error para las reglas del punto medio y el trapecio?

Cuando se calcula una aproximación siempre nos preocupa el error cometido, es decir, la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado. Pero esto solo tiene un valor teórico, nunca se sabe el error exacto; si se supiera, ¡también se conocería la respuesta exacta!. Lo que se busca en realidad es alguna cota del error y alguna idea de cuanto trabajo se necesitará para hacer más pequeño el error. El siguiente resultado nos permite establecer cotas para el error cometido al usar las reglas trapezoidal y del punto medio:

• Supongamos que existe M > 0 tal que M)x(f ≤′′ para cada bxa ≤≤ , entonces

2

3Med

n24)ab(M)n(E −

≤ y 2

3Trap

n12)ab(M)n(E −

≤

donde )n(EMed y )n(ETrap son los errores cometidos al aproximar la integral ∫b

adx)x(f por las

reglas del punto medio y trapezoidal para una partición regular de n subdivisiones.

En la siguiente situación problemática hacemos uso de estas fórmulas:


Calcule en forma estimativa el valor de ∫2

1 xdx con 3 cifras decimales exactas, usando la regla del

trapecio. Indique si la suma es una subestimación o sobreestimación.

13

Solución a la situación problemática planteada: Encontremos una cota para el error en función del número de subdivisiones:

• Si x1)x(f = tenemos que 3x

2)x(f =′′ . Ahora podemos establecer lo siguiente:

• Dado que 2x1 ≤≤ tenemos que 0)x(f >′′ , de manera que la gráfica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo [ ]2,1 . Por el resultado anterior, tenemos que la regla del trapecio genera aproximaciones por exceso para cualquier entero positivo n (sobrestimaciones).

• Por otra parte, si 2x1 ≤≤ se tiene que 1x21

≤≤ . Por lo tanto, M212x12

x2)x(f 3

3

3 ==⋅≤==′′ .

• El error cometido satisface: 22

3

2

3Trap

n61

n12)12(2

n12)ab(M)n(E =

−=

−≤ . Lo que nos da una cota de error en

función del número n de subdivisiones. • Cuando queremos obtener una aproximación con k cifras decimales exactas, el error cometido en valor

absoluto, debe ser menor o igual a )1k(10 +− . Para tener una aproximación con tres cifras decimales

exactas debe tenerse 42Trap 10

n61)n(E −≤≤ . Al resolver la inecuación 4

2 10n61 −≤ en términos de n

se obtiene 82.406

10n4

≈≥ . En consecuencia, para hallar una aproximación por la regla trapezoidal

basta calcular TRAP(n) con 41n = subdivisiones.


36. Presione las teclas para limpiar la pantalla. • Comenzaremos asignando valores a las variables A, B, N y D:

37. Presione .

38. Presione .

39. Presione 40. Presione la secuencia de teclas:

. • Calcularemos ahora la suma DER(41):

41. Presione . • Aparece el símbolo ∑.

42. Presione ahora:

• Se obtiene DER(41). • Guardaremos este valor en la variable G.

43. Presione .

Figura 37

Figura 38

Figura 39

14

• Los pasos que siguen permiten calcular IZQ(41). Copiaremos la suma DER(41) en la siguiente línea de edición:

44. Presione para situar el cursor en la línea de edición donde se encuentra la suma DER(41) en notación ∑. • La suma aparecerá resaltada como en la Figura 40.

45. Presione para copiar en el portapapeles la suma DER(41) en notación ∑.

46. Presione para situar el cursor en la línea de edición.

47. Presione para pegar la suma en la línea de edición. • Modificaremos ahora esta suma para calcular IZQ(41).

48. Presione nueve veces para situar el cursor delante de la variable K.

49. Presione . • Con esto hemos calculado la suma IZQ(41). • Para calcular TRAP(41) debemos promediar DER(41) e IZQ(41).

50. Presione .

• Se obtiene el cálculo aproximado de 693184358.0x

dx2

1≈∫ con al

menos tres cifras decimales exactas. Para corroborar esto calcularemos

2lnx

dx2

1=∫ en la calculadora:

51. Presione . • Si se acepta este último resultado como el más preciso, compare las

cifras decimales de TRAP(41) y 2ln .

Figura 40

Figura 41

Figura 42

Figura 43

¿Cómo calcular una aproximación de la integral definida por el método de Simpson?

Aún es posible mejorar más. Si se observa que el error que se comete al aplicar la regla del trapecio tiene signo contrario, y como el doble de magnitud del error que se comete al aplicar la regla del punto medio, es razonable pensar en que un promedio ponderado de las sumas de las dos reglas, con la suma del punto medio ponderada al doble de la suma de la regla del trapecio, tendrá un error mucho más pequeño. Este cálculo aproximado se llama Regla de Simpson:

3)n(TRAP)n(MID2)n2(SIMP +⋅

=

Para comparar la eficiencia de la regla de Simpson con las reglas previas, debe tenerse presente que la regla de Simpson calcula los valores de f, tanto en el punto medio, como en los puntos extremos de cada subintervalo. Si usamos la regla de Simpson con 50n = , para comparar su precisión con las demás reglas debemos calcular éstas con 100n = .

La regla de Simpson aproxima la integral definida a partir del uso de parábolas, en lugar de segmentos rectilíneos.

Para entender en qué se basa esta aproximación por parábolas, consideremos los Intervalos de la forma [ ]k2)1k(2 x,x − , para 2/n,,4,3,2,1k L= con n par, constituidos por la unión de dos subintervalos consecutivos de la

partición regular de intervalo de integración [ ]b,a . Sean )x(fy kk = para cada n,,2,1,0k L= los valores que toma f en los n+1 puntos de la partición. En cada intervalo [ ]k2)1k(2 x,x − consideremos el arco de parábola kP que pasa

por los tres puntos )y,x( )1k(2)1k(2 −− , )y,x( 1k21k2 −− , )y,x( k2k2 de la gráfica de f.

15

Entonces el arco kP aproxima la gráfica de f en el intervalo [ ]k2)1k(2 x,x − . Más aún, el área debajo de la gráfica de f en este intervalo (ver Figura 44) se aproxima por el área debajo del arco de parábola (ver Figura 45).

Para el caso mostrado en la Figura 45, observe que en el primer subintervalo [ ]1k2)1k(2 x,x −− se presenta una

sobrestimación en la aproximación, pero en el siguiente subintervalo [ ]k21k2 x,x − se presenta una subestimación. Esto tiene el efecto de que los errores cometidos en cada uno de los dos subintervalos (Figura 46) se compensen produciendo una aproximación más precisa del área bajo la gráfica de f en [ ]k2)1k(2 x,x − .

Figura 44

Figura 45

Figura 46

Se puede demostrar que el área bajo la parábola mostrada en la Figura 45 viene dada por:

)yy4y(3 k21k2)1k(2k ++

Δ−− , donde

n)ab(

k−

=Δ con n par.

Entonces tenemos la fórmula de aproximación:

∑∑=

−−=

−− ++−

=++Δ

=2/n

1kk21k2)1k(2

2/n

1kk21k2)1k(2

k )yy4y(n3

)ab()yy4y(3

)n(SIMP

O bien, ))x(f)x(f4)x(f2)x(f4)x(f2)x(f4)x(f(n3

)ab(dx)x(f n1n2n3210b

a+++++++

−≈ −−∫ L con n par.

La Figura 47 muestra la aproximación de la integral definida por la suma de Simpson con

8n = subdivisiones

∫ +−4

0x dx)1)x4(sene3(

Observe los arcos de parábola en cada uno

de los intervalos [ ]1,0 , [ ]2,1 , [ ]3,2 y [ ]4,3 .

El área total sombreada debajo de los cuatro arcos es la suma SIMP(8), la cual aproxima el área debajo de la gráfica de f en el intervalo [ ]4,0 .

Observe las compensaciones de los errores (sobrestimaciones y subestimaciones) en cada uno de estos intervalos.

Figura 47

16

¿Cómo calcular una cota de error para la regla de Simpson?

Existe un resultado para estimar una cota de error para la regla de Simpson análogo a las estimaciones dadas para las reglas trapezoidal y del punto medio, pero se utiliza la cuarta derivada de f:

• Supongamos que existe M > 0 tal que M)x(f )4( ≤ para cada bxa ≤≤ , entonces

2

5Simp

n180)ab(M)n(E −

≤

donde )n(ESimp es el error cometido al aproximar la integral ∫b

adx)x(f por la regla de Simpson

para una partición regular de n subdivisiones, donde n es un entero positivo par.


a) Calcule en forma estimativa el valor de ∫ +−4

0x dx)1)x4(sene3( usando la Regla de Simpson con

n = 8 subdivisiones. b) Calcule la integral anterior con 3 cifras decimales exactas, usando la regla de Simpson.

Solución a la situación problemática planteada en a):

Tengamos presente que ∑=

−− ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=2/n

1kk21k2)1k(2 ))x(f)x(f4x(f(

n3ab)n(SIMP con n par. Para establecer esta

suma en la calculadora podemos calcular previamente cada una de las sumas:

)x(f)n(E2/n

1k)1k(2∑

=−= , )x(f)n(F

2/n

1k1k2∑

=−= y )x(f)n(G

2/n

1kk2∑

=

=

y luego calcular:

( ))n(G)n(F4)n(En3ab)n(SIMP ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= .


52. Presione las teclas para limpiar la pantalla. • Comenzaremos asignando valores a las variables A, B, N y D:

53. Presione .

54. Presione .


.

Figura 48

Figura 49

17

• Calcularemos ahora la suma E(8):

57. Presione para obtener la plantilla de la notación ∑. 58. Presione la secuencia de teclas:

• Tenemos editado el término general de la suma E(8).

59. Presione . • Se obtiene E(8). • Guardamos el resultado de esta suma en la variable E (Figura 51):

60. Presione . • Copiaremos esta suma y luego la modificaremos para calcular F(n):

61. Presione .

62. Presione .

63. En esta nueva suma presione sucesivamente para ubicar el cursor en los espacios respectivos para borrar y/o insertar los caracteres correspondientes para realizar las modificaciones respectivas a fin de obtener la suma:

( )∑=

−+− +−+2/N

1K

)D)1K2(A( 1))D)1K2(A(4sin(e3 .

64. Presione luego para obtener F(n) (Figura 52). • Guardamos esta suma en la variable F (Figura 53):

65. Presione . • En los siguientes pasos calcularemos G(n):

66. Presione para pegar de nuevo la suma. 67. De manera análoga, realice en esta suma las modificaciones

correspondientes a fin de obtener la suma:

( )∑=

+− ++2/N

1K

)KD2A( 1))KD2A(4sin(e3 .

68. Presione para obtener G(n) (Figura 54).

69. Presione para guardar la suma en la variable G. • Calculemos ahora SIMP(8):

70. Presione la secuencia de teclas:

• Se obtiene la aproximación SIMP(8) = 4.774989083.

Figura 50

Figura 51

Figura 52

Figura 53

Figura 54

Figura 55

Figura 56

18

Compare este resultado con el que se deduce aproximadamente de la Figura 47.

Solución a la situación problemática planteada en b): Encontremos una cota para el error en función del número de subdivisiones:

• Si 1)x4(sene3)x(f x += − tenemos que x)4( e))x4(sen483)x4cos(720()x(f −+= .

• Dado que 4x0 ≤≤ tenemos que 1203483720)x4(sen483)x4cos(720 =+≤+ y 1e x ≤− , de manera

que M1203)x(f )4( =≤ .

• El error cometido satisface: 44

5

4

5Simp

n15656.102

n180)04(1203

n180)ab(M)n(E =

−=

−≤ . Lo que nos da una cota de

error en función del número n de subdivisiones. Para obtener una aproximación con tres cifras decimales exactas debe tenerse:

44Simp 10

n15656.102)n(E −≤≤ .

Al resolver la inecuación 44 10

n15656.102 −≤ en términos de n se obtiene 95,90

15656.10210n 4

4≈

⋅≥ .

En consecuencia, para hallar una aproximación, con al menos tres cifras decimales exactas, por la regla de Simpson basta calcular SIMP(n) con 92n = subdivisiones.

• Para calcular SIMP(92) basta cambiar en el histórico de cálculo el valor asignado a la variable N por 92.

71. Utilice la tecla direccional elíptica para ubicar el cursor en la línea donde aparece la asignación N → 8, observe la Figura 57.

72. Borre el número 8 y sustitúyalo por 92, luego presione . • Se obtiene SIMP(92) = 4.719197327 que es una aproximación del valor

de la integral ∫ +−4

0x dx)1)x4(sene3( con al menos tres cifras

decimales exactas. En realidad el resultado obtenido tiene al menos 5 cifras decimales exactas.

Figura 57

Figura 58

Resumen sobre de los errores que se cometen al aplicar las diversas reglas.

El siguiente resumen pretende, de manera general, orientar al usuario acerca de “qué tan eficiente” resulta

aplicar cada una de las reglas en el problema de encontrar una aproximación a la integral definida ∫b

adx)x(f con

un determinado grado de error permisible y con menos trabajo de cómputo:

Reglas por la izquierda y por la derecha:

• Los errores son aproximadamente proporcionales a 1/n, donde n es el número de divisiones de la partición regular del intervalo de integración [ ]b,a . Por ejemplo, duplicar n hace decrecer el error en un factor de

2/1 , e incrementar n en un factor de 10 da un dígito más de precisión. • Para un entero positivo n dado, los errores para las reglas por la izquierda y por la derecha son

aproximadamente iguales en valor absoluto y opuestos en signo. • Para un entero positivo n dado, la magnitud del error depende de f ′ .

19

Reglas del punto medio y del trapecio:

• Los errores son aproximadamente proporcionales a 2n/1 . Por ejemplo, duplicar n hace decrecer el error en un factor de 4/1 , e incrementar n en un factor de 10 da dos dígitos más de precisión.

• Para un entero positivo n dado, el error cometido en la regla del punto medio tiene casi la mitad de la magnitud del error que se comete en la regla del trapecio y es de signo opuesto.

• Para un entero positivo n dado, la magnitud del error depende de la magnitud de f ′′ . Regla de Simpson:

• Los errores son aproximadamente proporcionales a 4n/1 . Por ejemplo, duplicar n hace decrecer el error en un factor 1/16, e incrementar n en un factor de 10 da cuatro dígitos más de precisión.

• Para un entero positivo n dado, la magnitud del error depende de la magnitud de )4(f . Conclusión:

Las integrales definidas ∫b

adx)x(f pueden calcularse de manera estimativa en forma rápida y precisa, en la

mayoría de los casos, con la regla de Simpson. La única dificultad se presenta cuando f ′ , o una derivada de orden más alto que f no existe o en valor absoluto tiene un máximo muy grande en el intervalo [ ]b,a .

En general, la regla de Simpson alcanza un grado razonable de precisión cuando utiliza valores de n relativamente pequeños, y resulta una buena elección para un método de aproximación general.

12. Problemas y ejercicios.

1. Calcule en forma aproximada el valor de ∫ −2

1

2x dxe con las reglas del punto medio, del trapecio y de

Simpson para 10n = y en cada caso estime el error cometido e indique cuántas cifras decimales exactas se han calculado en la aproximación.

2. Considere los cálculos aproximados de la regla de Simpson de ∫ +2

023 dx)x3x( .

a) ¿Cuál es el valor exacto de esta integral? b) Encuentre SIMP(n) para 100y6,4n = . ¿Qué observa? ¿Puede explicar este hecho?

3. Para cada una de las siguientes integrales, use la regla de Simpson con varios valores de n para evaluar las integrales definidas con un error menor a 0.001. Explique por qué piensa que ha alcanzado un valor suficientemente grande de n.

a) ∫ +

1

0 2 4xdx b) ∫

3

02 dxxsen c) ∫

2

0xsen dxe d) ∫

ππ

4/

02 dx)x(sen

e) dx)xcos( 23

0∫ f) dx1x1

08∫ + g) ∫

2

1dx

xsenx h) ∫ +

1

0 3 dx1xxcos

4. Calcule aproximaciones del número π mediante las reglas del punto medio, del trapecio y de Simpson

estimado la integral ∫ +

1

0 2 1xdx4 con n = 10, 20, 50 y 100. Incorpore los resultados en una tabla y compare

estos valores con el valor 141592653,3≈π que es sumamente exacto. Observe que la regla del punto medio tiende a estar ligeramente más cerca de π que la del trapecio, pero ninguna tan cercana, incluso para n = 100, como la regla de Simpson, con n = 10.

20

13. Comentario.

La mayor parte de las calculadoras graficadoras y de los sistemas algebraicos computarizados CAS incluyen programas para el cálculo numérico de integrales definidas. En general, estos programas son muy rápidos y precisos Algunos piden al usuario especificar una tolerancia y luego calculan un valor aproximado adecuado a esa tolerancia. Sin embargo, si la integral que está aproximando es parte crítica de un trabajo importante, es necesario verificar el resultado usando la regla de Simpson para una sucesión de valores de n. Por otra parte, si lo único que se conoce de una función es una tabla de valores calculados en un número regular de puntos, la mayoría de las calculadoras y programas CAS no resultan útiles, sino los tres últimos métodos que se han tratado aquí.

¿Cómo realizar un cálculo estimativo de una integral a partir de una tabla de valores de la función?

Supongamos que queremos hacer una estimación de ∫b

adx)x(f , a partir de de algunos valores de una función

desconocida f. Es decir, sólo se conocen los valores de f en 1n + puntos. Estos valores se representan comúnmente en una tabla:

x 0x 1x 2x … … 2nx − 1nx − nx

)x(f 0y 1y 2y … … 2ny − 1ny − ny

Desde el punto de vista gráfico, sólo se tienen la gráfica de 1n + pares ordenados. ¿Cómo hacer la estimación del área debajo de la curva a partir de estos puntos?

Consideremos la siguiente situación problemática:

14. Situación problemática.

Los datos de la tabla provienen de un pneumotacógrafo, que mide en cada instante regular de tiempo

(en segundos) el flujo de aire a través de la garganta (en litros por segundo). La integral ∫4.2

0dx)x(f de

este flujo de aire es igual al volumen de aire exhalado (en litros). Estime este volumen.

)s(x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4

)s/l(y 0.0 0.1 0.4 0.8 1.4 1.8 2.0 2.0 1.6 1.0 0.6 0.2 0.0

TABLA 4

Para hacer un estimativo del área bajo de la curva a partir de estos 13 puntos, necesitamos una manera razonable de conectar estos puntos. La manera más simple es conectar los puntos con segmentos de recta, como en la siguiente figura:

Figura 59: conexión de puntos por doce segmentos rectilíneos

21

Estos segmentos, como puede observase, definen para la región limitada por la gráfica de f y el eje OX en el intervalo [ ]4.2,0.0 , doce trapecios; que como hemos visto, estiman en buena medida la integral de la función

desconocida ∫4.2

0dx)x(f . La Figura 60 muestra esta aproximación:

Figura 60: doce trapecios

Recuérdese que en la regla del trapecio se toma una partición regular del intervalo [ ]b,a y para cada

subintervalo [ ]k1k x,x − con n,,2,1,0k L= se conectan los puntos ))x(f,x( 1k1k −− y ))x(f,x( kk con un segmento de recta.

De manera que si conocemos los valores de una función f en forma tabular:

x 0x 1x 2x … … 2nx − 1nx − nx

y 0y 1y 2y … … 2ny − 1ny − ny

tendremos que:

( )n1n2n210b

ayy2y2y2y2y

n2)ab()n(TRAPdx)x(f ++++++

−=≈ −−∫ L

siempre que los valores kx para cada n,,2,1,0k L= , constituyan una partición regular del intervalo [ ]b,a .

Para calcular TRAP(n) debemos realizar, para cada n,,2,1,0k L= , los 1n + productos entre el valor ky dado en la tabla por cada coeficiente multiplicador correspondiente kc : 1,2,2,,2,2,1 L (ver la siguiente tabla):

k 0 1 2 … … 2n − 1n − n

ky 0y 1y 2y … … 2ny − 1ny − ny

kc 1 2 2 2 2 2 2 1

kkyc 0y 1y2 2y2 … … 2ny2 − 1ny2 − ny

Luego debemos realizar la suma de estos productos ∑=

n

1kkkyc y multiplicarla por el factor

n2)ab( − .

De este modo obtenemos ∑=

−=

n

1kkkyc

n2)ab()n(TRAP .

Con el auxilio del Menú Estadístico podemos utilizar la Función de Lista que provee la Calculadora G9860fx − para calcular, para un número n de subdivisiones del intervalo [ ]b,a , la suma TRAP(n) como

veremos enseguida:

22


73. Presione .

74. Seleccione para acceder al menú estadístico [STAT].

75. Presione . • Aparecen un arreglo rectangular en filas y columnas. Las filas están

numeradas desde 1 hasta 999 y las columnas está identificadas como List 1, List 2, hasta List 26.

Figura 61

76. Para borrar el contenido de una columna (lista) utilice la tecla direccional elíptica para desplazar el cursor en

cualquier fila de la lista y presione las teclas .

77. Borre todas las listas presionando . Al terminar su calculadora debe mostrar la pantalla de la Figura 61. • En la lista 1 ingresaremos los datos ky de la Tabla 4 que se reproduce a continuación:

)s(x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4

)s/l(y 0.0 0.1 0.4 0.8 1.4 1.8 2.0 2.0 1.6 1.0 0.6 0.2 0.0

78. Con el cursor el la primera fila de la lista List1 (ver Figura 61) presione

. • Con esto queda editado el primer valor en la primera fila de List1 y el

cursor se ubica en la segunda fila de la List1.

79. Presione . 80. Edite de la misma manera cada uno de los 11 datos restantes. Si se

equivoca ubique el cursor al dato erróneo y sobrescriba el nuevo dato. 81. Desplace el cursor a la fila 14 de List2.

• Este se ubicará en la primera fila de List2. • En List2 editaremos los coeficientes kc : 1,2,2,..,2,2,1 de manera que la

fila 1 y la fila 13 de List2 contengan un 1 y las demás el número 2. 82. Edite en List2 los coeficientes kc .

• Calcularemos ahora los productos kkyc .

83. Desplace el cursor a la fila 14 de List3.

84. Presione para ubicar el cursor sobre nombre de lista List3 (vea la Figura 64).

85. Presione . • Aparecerán en List3 los productos kkyc para 12,,2,1,0k L= .

• Calcularemos ahora TRAP(12).

86. Presione , seleccione el menú [RUN-MAT] y presione .

87. Presione para borrar la pantalla.

Figura 62

Figura 63

Figura 64

Figura 65

23

• Comencemos asignando valores a las variables A, B, N y D:

88. Presione .

89. Presione .


92. Para calcular TRAP(12) presione primeramente la siguiente secuencia de

botones:

.

Figura 66

Figura 67

• Con esto, se está multiplicando por n2

)ab( − la suma ∑=

n

1kkkyc de los productos que se encuentran en List3.

• Se obtiene 38.2)12(TRAPdx)x(f4.2

0=≈∫ , esto es, el volumen de aire exhalado es aproximadamente

2.38 litros. • Compare este resultado con el que se deduce por estimación gráfica del área bajo la curva en la Figura 60.

Otra alternativa para hallar el área bajo la curva de la función desconocida f a partir de estos 13 puntos, es

hacer uso de la Regla de Simpson, que como sabemos es más precisa. En este caso sustituimos la poligonal que conecta los puntos y da origen a los trapecios, por arcos de parábola que conecten estos puntos, esto es, en cada uno de los subintervalos [ ]k2)1k(2 x,x − para cada 2/n,,3,2,1k L= el arco de parábola debe pasar por los tres

puntos )y,x( )1k(2)1k(2 −− , )y,x( 1k21k2 −− , )y,x( k2k2 de la gráfica de f. Aquí la exigencia es que el número n de

subdivisiones del intervalo [ ]b,a debe ser par. La siguiente figura muestra esta conexión de puntos:

Figura 68: conexión de puntos por seis arcos de parábola

Esta curva que aproxima a la gráfica de la curva desconocida f en el sentido de que la misma conecta los 13

puntos y nos permite encontrar una mejor aproximación al área bajo la curva de f que la encontrada con la Regla del Trapecio. La suma de las áreas debajo de cada uno de los seis arcos de parábola nos da, para este caso, la

aproximación para la integral )12(SIMPdx)x(f4.2

0≈∫ del volumen de aire exhalado.

La Figura 69 nos presenta el área aproximante:

24

Figura 69: áreas bajo seis arcos de parábola

Si conocemos los valores de una función f en forma tabular:

x 0x 1x 2x … … 2nx − 1nx − nx

y 0y 1y 2y … … 2ny − 1ny − ny

tendremos que:

( )n1n2n3210b

ayy4y2y4y2y4y

n3)ab()n(SIMPdx)x(f ++++++

−=≈ −−∫ L

siempre que los valores kx para cada n,,2,1,0k L= , constituyan una partición regular del intervalo [ ]b,a y el número de subdivisiones n es par.

Observe en este caso el patrón de los coeficientes kc : 1,4,2,4,2,4,2,4,2,4,1 L .

Para calcular SIMP(n) debemos realizar, para cada n,,2,1,0k L= , los 1n + productos entre el valor ky dado en la tabla por cada coeficiente multiplicador correspondiente kc : 1,4,2,4,2,4,2,4,2,4,1 L (ver la siguiente tabla):

k 0 1 2 … … 2n − 1n − n

ky 0y 1y 2y … … 2ny − 1ny − ny

kc 1 4 2 … … 2 4 1

kkyc 0y 1y4 2y2 … … 2ny2 − 1ny4 − ny

Luego debemos realizar la suma de estos productos ∑=

n

1kkkyc y multiplicarla por el factor

n3)ab( − .

De este modo obtenemos ∑=

−=

n

1kkkyc

n3)ab()n(SIMP .

Vamos como calculamos esta suma con la calculadora:

93. Presione y seleccione para acceder al menú estadístico

[STAT], presione . 94. Desplace el cursor con la tecla direccional elíptica y ubique el cursor en la

primera fila de List2.

95. Presione para borrar List2. 96. Edite los 13 coeficientes 1,4,2,4,2,4,2,4,2,4,1 L en List2 (observe las

Figuras 70 y 71).

Figura 70

25

97. Desplace el cursor a la fila 14 de List3.

98. Presione para ubicar el cursor sobre nombre de lista List3 (vea la Figura 72).

99. Presione . • Aparecerán actualizados en List3 los productos kkyc para

12,,2,1,0k L= .

100. Para calcular SIMP(12) presione , seleccione el menú [RUN-MAT]

y presione . 101. Ubique el cursor en la instrucción 3SumList)2D( ×÷ .

102. Use la tecla para ubicar el cursor delante del número 2. Presione

para borrar el número 2 y presione .

• Hemos actualizado el factor n3

)ab( − .

103. Presione desde allí .

• Se obtiene que 373333333.2)12(SIMPdx)x(f4.2

0=≈∫

• Al comparar con el resultado anterior se observa que éste es ligeramente distinto.

Figura 71

Figura 72

Figura 73

15. Problemas y ejercicios.

5. La siguiente tabla indica las medidas (en metros) del ancho de un lote de terreno a intervalos de 10 metros. Estime el área del terreno usando tanto la regla de los trapecios como la regla de Simpson:

)m(x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

)m(y 56 54 58 62 58 58 62 56 52 48 40 32 22

6. En la siguiente tabla se presentan datos de la rapidez de un objeto a intervalos regulares de tiempo. Use estos datos para estimar la distancia recorrida por el objeto.

)s(t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

)s/m(v 40 42 40 44 48 50 46 46 42 44 40 42

7. En la tabla aparece el consumo de energía eléctrica (potencia) en megawatts de una ciudad, desde la media noche hasta el medio día. Utilice la regla de Simpson para estimar la energía usada durante ese período. (Aplique el hecho de que la potencia es la derivada de la energía.)

t 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P 4182 3856 3640 3558 3547 3679 4112 4699 5151 5514 5751 6044 6206

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8. El la siguiente figura se presenta una suela colocada en un sistema rectangular.

Si la escala unitaria en cada eje representa un centímetro, se pide:

a) Estimar gráficamente el área que ocupa la suela. b) Estimar gráficamente para cada centímetro “x” representado en el eje OX, el ancho “y”

correspondiente de la suela. Represente los valores encontrados en una tabla. c) Aplique la regla de Simpson a los datos de la tabla para estimar el área de la suela.

BIBLIOGRAFÍA:

Hughes D. Gleason A. (1995). Cálculo. México. Compañía Editorial Continental, S.A. de C.V.

Smith R. Minton R. (2000). Cálculo. Tomo 1. Colombia. Mc Graw Hill.

Stewat J. (1998). Cálculo Diferencial e Integral. México. International Thomsom Editores.

¿Cómo realizar cálculos aproximados de integrales definidas con … · 2011-11-20 · Por otra...

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