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Elementos

Finitos

W. Castell

Generalidades

del Mtodo

Elementos

finitos unidi-

mensionales

Anlisis Estructural por Elementos FinitosAplicacin a problemas aeronuticos

Walter B. Castell1

1Departamento de Estructuras

Universidad Nacional de Crdoba

Anlisis de estructuras en diseo aeronutico, 2012
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ndice

1 Generalidades del MtodoSistemas discretos

Estructuras a nudos articulados

2 Elementos finitos unidimensionalesBarra sometida a traccinFlexin en vigas esbeltas
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Generalidades

del Mtodo

Sistemasdiscretos

Estructuras anudosarticulados

Elementos

finitos unidi-

mensionales

Sistemas discretos en ingeniera

Los sistemas de discretos (mallas) compuestos por elementosy sometidos a distintasacciones son habituales en laingeniera.

Sist. Estructural Sist. Elctrico Sist. Hidrulico

vigas

resistencias

tuberas

estos sistemas pueden analizarse a partir detcnicas de clculomatricialde la forma:

K a = r
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Sistemasdiscretos


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Barra sometida a traccin

Las ecuaciones matriciales pueden obtenerse a partir delequilibrio, por ejemplo para la barra de la figura:

U1 U2

L

c

c

R2R1 c

cb

N

ladeformacinpuedeobtenerse como:

=L

L =(u2 u1)

L

y latensinen la seccin dela barra:

=E=E(u2 u1)

Ly por ltimo elesfuerzoaxial en la barra:

N=A=

EA

L (u2 u1)
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Elementos

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Barra en traccin (cont.)

Porequilibriolas acciones en los nodos inicial y final resultan:

R1=R2=N=k(u2 u1)

donde k=EA/L es larigidezde la barra, esta ltima ecuacinpuede escribirse como:

q =

R1R2

=EA

L

u1 u2u2 u1

=EA

L

1 11 1

u1u2

q = K u

con K matriz de rigidezde la barra (geometrayprop.mecnicas) y, mientras u y q son los vectoresdesplazamientosyfuerzas en los nudos.
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Elementos

finitos unidi-

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Barra en traccin (cont.)

Para una estructura compuesta demltiples barras, elequilibrio en un nudo j se obtiene sumando lasfuerzas de lasbarras que concurrenal mismo ms lasfuerzas externasaplicadas en el:

NE

e=1Re

j =Rext

j

lo cual conduce a un sistema matricial del tipo:

k11 k12 k1n

k21 k22 k2n... ...

. . . ...

kn1 kn2 knn

u1

u2...un

=

f1

f2...fn

K u = f
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Reticulados planos (Met. Rigidez)

Para unelemento de reticuladocomo el de la figura,considerando dosgrados de libertadpor nudo (u,v), un vectora se puede expresar:

u1

u2L

R1

Ry1

Rx1

Ry2

Rx2

R2

y, v

x, u

t

a

= a

xcos

+aysin

= {cos,sin}

axay

= lT a = tT a

por lo tanto es posible definir:

R1= lT q1 u

1= l

T u1

R2= lT q2 u

2= l

T u2
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Reticulados planos (cont.)

planteando equilibrio igual que en la barra en traccin yrecordando que k=EA/L:

R1=R2=k

u2 u

1

se obtiene un sistema de dos ecuaciones:

lT q1=klT u1 kl

T u2

lT q2=klT u1 +kl

T u2

y luego:

q1= lklT u1 lkl

T u2

q2=lklT u1 + lklT u2
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finitos unidi-

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Reticulados planos (cont.)

El sistema queda finalmente como:

q1q2

= K11 K12K21 K22

u1u2

siendo:

Kij= lklT =

EA

L cos cos sin cos

sin cos sin sin

donde K88 es la matriz elemental de una barra de reticulado.
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finitos unidi-mensionales

Barra sometidaa traccin

Flexin en vigasesbeltas

Elemento de barra (P.T.V.)

Elprincipio de trabajos virtualesestablece que: una estructuraest enequilibriobajo la accin de unsistema de cargassi alimponer a la misma unosdesplazamientos arbitrarios(u)compatibles con los vnculos, el trabajo de las fuerzas

exteriores sobre los desplazamientos es igual al trabajorealizado por las tensiones internas de la estructura sobre lasdeformaciones producidas por dichos desplazamientos, es decir:

:d =

ubd +

utd +i uiPi

donde es el dominio de anlisis y es el contorno de dichodominio.
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Elemento de barra (cont.)

Considerando una barra como la de la figura, y las siguientesecuaciones:

A

x, u

b(x)

L

P

Ec.constitutiva =E

Ec.cinemtica = dudx

Ec.equilibrio = NA

la forma delPTVpara unabarra en traccinresulta:

Vx(x)xdV=

l0 u(x)b(x)dx+i uiPi

y considerando dV=Adx entonces:

l

0

x(x)xAdx= l

0

u(x)b(x)dx+i

uiPi
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Resulta interesante entoncesproponerun campo dedesplazamientos u(x) (a partir del cual pueden establecerse(x), u(x) y (x)). La primer opcin es una formapolinmica:

u(x) =a0 +a1x+ a2x2 + +anx

n =nn

j=0

ajxj

aprovechando que aiuiy que xiNi(x), puede reescribirse

como:

u(x) =nn

i=1

Ni(x)ui

donde nn hace referencia a la cantidad de nodos que definenal elemento, y se pide que:

Ni(x) =1 en el nodoiasociado

0 en el restode losnodos
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Entonces para un elemento de barra definido por solo dosnudos, la funcin de aproximacin resulta:

u(x) =a0 +a1x

sabiendo que u(x1) =u1 y u(x1) =u2, reemplazando yresolviendo el sistema de dos ecuaciones:

u(x) =u1x2 u2x1

x2 x1+

u2 u1x2 x1

x

reemplazando L=x2 x1, y agrupando trminos sobre u1y u2se obtiene elcampo de desplazamientos:

u(x) =(x2 x)

L u1 +

(x x1)

L u2=N1 (x)u1 +N2 (x)u2
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Considerando que los desplazamientos virtuales sondesplazamientos probables y compatiblescon los vnculos,entonces:

u(x) =N1 (x)u1 +N2 (x)u2

Una vez definido el campo de desplazamientos, el campo dedeformacionesresulta:

(x) =du

dx

= d

dx

N1 (x)u1 + d

dx

N2 (x)u2

con N1x=1/L y N2x=1/L ; luego consecuentemente:

(x) = d

dx

N1 (x)u1 + d

dx

N2 (x)u2
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Reemplazando u(x), u(x), (x) y (x) en la ecuacin delPTV se tiene: l

0(N1xu1 +N2xu2)EA(N1xu1 +N2xu2)dx=

= l

0(N1 (x)u1 +N2 (x)u2)b(x)dx+ u1P1 +u2P2

luego de algunos pasos algebraicos y agrupando los trminosasociados a u1 y u2 resulta:

u1

l

0(N1xEAN1x+N1xEAN2x)dx

l

0N1 (x)b(x)dxP1

+u2 l

0

(N2xEAN1x+N2xEAN2x)dx l

0

N2 (x)b(x)dx
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Esta ecuacin debe cumplirse en forma simultanea para u1 yu2, de modo que da lugar a dos ecuaciones quematricialmente es:

l0

N1xEAN1x N1xEAN2xN2xEAN1x N2xEAN2x

u1u2

dx+

+ l

0

N1 (x)N12 (x)

b(x)dx

P1P2

=0
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Elemento de viga 2D (Euler-Bernoulli)

Suponiendo una viga esbelta en flexin (ver figura) y bajos lashiptesis caractersticas:

x, u

z, w

B

BB

w

=dw

dx

los desplazamientos verticales detodo punto en la seccin es igualal del eje de la viga

(w(x,y,z) =w(x)).

los desplazamientos en direcciny son nulos (v(x,y,z) =0).

las secciones permanecen planas

y perpendiculares al ejedeformado(u(x,y,z) =z(x)).

y=z=xy=xz=yz=0
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Elemento de viga 2D (cont.)

La nicadeformacin no nulaen la viga es:

x=du

dx =z

d

dx =z

d2w

dx2

y la nicatensin no nulaes x=Ex, de modo que el

momento flector en una seccin:M=

AzxdA=E

Az2dA

d2w

dx2 =EIK

donde K es lacurvaturay la forma de PTV para un viga en

flexin resulta:VxxdV=

l0wqdx+

i

uiPzi+j

dw

dx

j

Myi
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La integral sobre el volumen puede verse como sigue:VxxdV=

l0

d2w

dx2

AzxdA

dx=

= l

0d

2w

dx2

A

z2dAEd2w

dx2 dx=

= l

0

d2w

dx2

Az2dAE

d2w

dx2

dx=

l0

d2w

dx2

EId2w

dx2dx

de modo que laexpresin del PTVresulta: l0KMdx=

l0wqdx+

i

uiPzi+j

dw

dx

j

Myi
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Siendo que en la expresin del PTV depende de w y ded2w/dx2, entonces la funcin de forma debe ser:

w(x) =a0 +a1x+ a2x2 +a3x

3

e igualmente que para la barra en traccin:

w1=a0 +a1x1 +a2x21+a3x31

dw

dx

1

=0 +a1 + 2a2x1 + 3a3x21

w2=a0 +a1x2 +a2x22+a3x

33

dw

dx2 =0 +a2 + 2a2x2 + 3a3x22
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Y por lo tanto lafuncin de aproximacinresulta:

w(x) =N1w1 + N1L

21 +N2w2 + N2

L

22

donde:

N1=14

23+ 3

; N2=

14

2 + 3 3

N1=

1

4

1 2

+3

; N2=

1

41+

2

+3

siendo: =

2

L

x

x1 +x22

dx=

L

2d
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A partir de la aproximacin propuesta se puede ver:

w= N w=N1,N1,N2,N2

w11w22

de modo que lacurvatura, considerando quewxx=

4/L2

w , resulta:

d2w

dx2 =

4

L2d

2N1

d 2 ,d2N1

d 2 ,d2N2

d 2 ,d2N2

d 2

w11

w22

y se puede expresar:

d2w

dx2 = B w
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El primer trmino de la ecuacin de PTV, considerando

equilibrio y la expresin de la curvatura: l0KMdx=

l0

d2w

dx2

EId2w

dx2dx=

l0

d2w

dx2 EI

d2w

dx2dx

y en funcin de la matriz cinemtica: l0KMdx=wT

+11

BTEIBL

2dw

y el resto de los trminos:

wT +1

1BTEIB

L

2dw

+11

NTqL

2dpzimyi

=0

y elsistema elementalresulta:

K w= f+pz+my

( )
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Este sistema elemental enforma explcitaresulta:

EI

L3

12 6L 12 6L4L2 6L 2L2

12 6Lsim 4L2

w11

w22

=

=qL

2

1L

61

L6

+

Pz10Pz2

0

+

0M

y1

0My2
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