DISTRIBUCIN GUMBEL

Tambin llamada Distribucin Extrema tipo I. La funcin

de probabilidades viene dado por:

Donde:

, : Parmetro de la funcin Gumbel.

Para muestras grandes: N > 100

Para muestras pequeas: N 100

y; y: Se obtienen de la Tabla 2, en funcin del nmero

de datos N

Tabla 2: Distribucin Gumbel

Valores de y y y para muestras pequeas

N y y

10 0,4952 0,9496

15 0,5128 1,0206

20 0,5236 1,0628

25 0,5309 1,0914

30 0,5362 1,1124

35 0,5403 1,1285

40 0,5436 1,1413

45 0,5463 1,1518

50 0,5485 1,1607

55 0,5504 1,1682

60 0,5521 1,1747

65 0,5535 1,1803

70 0,5548 1,1854

75 0,5559 1,1898

80 0,5569 1,1938

85 0,5578 1,1974

90 0,5586 1,2007

95 0,5593 1,2037

100 0,5600 1,2065

Ejemplo 3:

Resolver el Ejemplo 1 considerando que el registro de

caudales se ajusta a la distribucin de probabilidades

Gumbel.

Sabemos que:

Qm = 4232,00 m3/s S = 1629,96 m3/s

Como N = 30 se trata de una muestra pequea, debemos

hallar: y; y

De la Tabla 2: y = 0,5362 y = 1,1124

Luego:

a. P(Q 7460 m3/s) = ?

Reemplazando en la expresin para el clculo de la

funcin de probabilidades de Gumbel:

Por lo tanto, P(Q7460) = 1 0,9369 = 0,0631 = 6,31%

Luego: T = 1/P = 1/0,0631 16 aos

b. Q60 = ? Q100 = ?

Sabemos que:

Para: T = 60 P = 0,9833

Despejando:

Q60 = 9449,3 m3/s

Del mismo modo: T = 100 aos; P= 0,9900

Despejando:

Q100 = 10 208,4 m3/s

DISTRIBUCIN PEARSON III

El factor de frecuencia K para la distribucin Pearson III,

se obtiene de las Tablas 3 y 4, considerando la

probabilidad y el coeficiente de asimetra (Ag).

Donde:

N: Nmero de datos anuales del registro de caudales

mximos instantneos.

Qm: Promedio de los caudales mximos instantneos.

S: Desviacin estndar de los caudales mximos

instantneos.

Se cumple la relacin de Ven Te Chow:

Donde:

El valor de K tambin se puede calcular aplicando el

siguiente procedimiento:

Donde: 0 < P 0,5

Luego, la expresin (2):

Se calcula:

(3)

Finalmente, calculamos K aplicando la expresin (4):

Ejemplo 4:

Resolver el Ejemplo 1 considerando que el registro de

caudales se ajusta a la distribucin de probabilidades

Pearson III.

Del registro de caudales mximos instantneos:

Ao Q

(m3/s)

Ao Q

(m3/s)

Ao Q

(m3/s)

1965 3706 1975 2367 1985 4240

1966 4060 1976 4819 1986 2849

1967 2350 1977 3919 1987 6267

1968 6000 1978 6900 1988 2246

1969 4744 1979 3505 1989 7430

1970 6388 1980 7061 1990 5971

1971 2675 1981 3220 1991 3747

1972 3130 1982 2737 1992 5468

1973 2298 1983 5565 1993 3682

1974 4972 1984 2414 1994 2230

Calculamos el coeficiente de asimetra: Ag = 0,5

Adems: Qm = 4232,00 m3/s S = 1629,96 m3/s

Tabla 3: Valores de K

Coeficiente de Asimetra positivo

Coefic.

Asimetria

Ag

Tabla 4: Valores de K

Coeficiente de Asimetra negativo

Coefic.

Asimetria

Ag

a. P(Q 7460 m3/s) = ?

Calculamos el factor de frecuencia para este caudal:

De la Tabla 3, para Ag= 0,5:

P(%) K

2 2,311

4 1,910

Interpolando, para K = 1,98 hallamos: P= 3,65%= 0,0365

Luego: T = 1/0,0365 27 aos

b. Q60 = ? Q100 = ?

Sabemos que:

Para: T = 60 P = 1/T = 0,0167 = 1,67%

De la Tabla 3, para Ag= 0,5:

P(%) K

2 2,311

1 2,686

Interpolando, para P = 1,67% hallamos: K60= 2,43

Del mismo modo, podemos hallar el valor de K60

aplicando las expresiones (1), (2), (3) y (4) anteriores:

P = 1/T = 1/60 = 0,0167

W = 2,8609 Z60 = 2,13

X = Ag/6 = 0,5/6 = 0,083 Finalmente: K60 = 2,42

Reemplazando:

Del mismo modo, T = 100 P = 1/T = 0,01 = 1%

De la Tabla 3, para Ag= 0,5 K100 = 2,686

Reemplazando:

DISTRIBUCIN LOG PEARSON III

La aplicacin es similar al caso anterior, solamente cambia

la variable Q por Y:

Y = Ln Q

El factor de frecuencia K para la distribucin Log Pearson

III, tambin se obtiene de las Tablas 3 y 4, considerando la

probabilidad y el coeficiente de asimetra (Ag). En este

caso:

Donde:

: Promedio de los valores Y.

: Desviacin estndar de los valores Y.

Se cumple la relacin de Ven Te Chow para la variable Y:

Donde:

Ejemplo 5:

Resolver el Ejemplo 1 considerando que el registro de

caudales se ajusta a la distribucin de probabilidades Log

Pearson III.

A partir del registro de caudales original:

Ao Q

(m3/s)

Ao Q

(m3/s)

Ao Q

(m3/s)

1965 3706 1975 2367 1985 4240

1966 4060 1976 4819 1986 2849

1967 2350 1977 3919 1987 6267

1968 6000 1978 6900 1988 2246

1969 4744 1979 3505 1989 7430

1970 6388 1980 7061 1990 5971

1971 2675 1981 3220 1991 3747

1972 3130 1982 2737 1992 5468

1973 2298 1983 5565 1993 3682

1974 4972 1984 2414 1994 2230

calculamos la variable Y = Ln Q:

Ao Qmax Ao Qmax Ao Qmax

1965 8.2177 1975 7.7694 1985 8.3523

1966 8.3089 1976 8.4803 1986 7.9547

1967 7.7622 1977 8.2736 1987 8.7431

1968 8.6995 1978 8.8393 1988 7.7169

1969 8.4646 1979 8.1619 1989 8.9133

1970 8.7622 1980 8.8623 1990 8.6947

1971 7.8917 1981 8.0771 1991 8.2287

1972 8.0488 1982 7.9146 1992 8.6067

1973 7.7398 1983 8.6243 1993 8.2112

1974 8.5116 1984 7.7890 1994 7.7098

Adems:

Calculamos el coeficiente de asimetra: Ag = 0,0

a. P(Q 7460 m3/s) = ?

Y = Ln 7460 = 8,92

Calculamos el factor de frecuencia para este caudal:

De la Tabla 3, para Ag= 0,0:

P(%) K

4 1,751

10 1,282

Interpolando, para K = 1,64 hallamos: P= 5,42%= 0,0542

Luego: T = 1/0,0542 19 aos

b. Q60 = ? Q100 = ?

Sabemos que:

Para: T = 60 P = 1/T = 0,0167 = 1,67%

De la Tabla 3, para Ag= 0,0:

P(%) K

1 2,326

2 2,054

Interpolando, para P = 1,67% hallamos: K60= 2,144

Reemplazando:

Luego:

Y60 = Ln Q60 = 9,12 Q60 = 9136,2 m3/s

Del mismo modo, T = 100 P = 1/T = 0,01 = 1%

De la Tabla 3, para Ag= 0,0 K100 = 2,326

Reemplazando:

Luego:

Y100 = Ln Q100 = 9,19 Q100 = 9798,7 m3/s