Clase n°1 de psu matemática 2011 conjuntos númericos

Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl

Clase N°1 Preparación PSU De Matemática 2011

Conjuntos Numéricos Y Sus Operatorias

www.fotolog.com/oliver_clases [email protected] 72165005 / 89461103http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.comhttp://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com

www.esnips.com/user/oliverclases http://oliverclases.wordpress.comhttp://oliverclases.ublog.cl http://twitter.com/oliverclases

http://oliverclases.jimdo.com 058-323386

http://www.oliverclases.es.tl/

http://oliverthenry-clases.spaces.live.com/

http://oliver-clases.blogspot.com/

http://preparacionpsu.spaces.live.com/

http://www.esnips.com/user/oliverclases

http://oliverclases.wordpress.com/

http://oliverclases.ublog.cl/

http://twitter.com/oliverclases

http://oliverclases.jimdo.com/


Aprendizajes Esperados:

•Identificar el conjunto de los Naturales, Enteros, Racionales y Reales, caracterizando sus elementos componentes y la operatoria básica entre sus elementos.•Diferenciar entre números enteros, racionales e irracionales, expresarlos en notación decimal y señalar su ubicación relativa en la recta numérica.•Resolver problemas que involucren operaciones aritméticas con enteros, decimales y fracciones.













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Conjunto de los Números Naturales (IN)

Definición

Son los números desde el 1 al infinito positivo. IN = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…….)

Números consecutivos

Una de las aplicaciones importantes de este conjunto es que un número cualquiera se representa por “n”. Entonces, el número que se obtiene al restarle uno será su antecesor, y el número que se obtiene al sumarle uno, será su sucesor.













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Antecesor de n número Sucesor de n Sucesor de n + 1

n - 1 n n + 1 n + 1 + 1 = n + 2

Ejemplo:

La suma de tres números naturales consecutivos es 78 ¿Cuáles son los números?

Solución:Se designa el primer número por n, el segundo por n+1 y el tercero por n + 2.Entonces, sumando los tres números se tiene:














25 =n

3 / 75 =n

75 =3n

3 - 78 =3n

78 = 3 +3n

78 = 2 +n + 1 +n +n

Por lo tanto, el primer número es 25. Respuesta: los números

son 25, 26 y 27.













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Números pares e impares

a) Números pares:

Los números pares son de la forma general o son representados por: 2n, donde n pertenece a IN. Los números pares son, por lo tanto, múltiplos de 2.

Ejemplos:

Si n = 1 el primer par es 2. Si n = 2 el primer par es 4.Si n = 3 el primer par es 6.

Observa que ellos van de 2 en 2www.fotolog.com/oliver_clases [email protected] 72165005 / 89461103http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.comhttp://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com












Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl b) Números pares consecutivos

Se denotan o designan por:

Antecesor par Número par Sucesor par

2n - 2 2n 2n + 2

Ejemplo: Tres números pares consecutivos suman 42 ¿Cuál es el valor del mayor?:

Solución:Se designa el primer número por 2n, el segundo por 2n+2 y el tercero por 2n + 4.













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Entonces, sumando los tres números se tiene:

66

36 =n

36 =6n

6 - 42 =6n

42 = 6 +6n

42 = 4) +n (2+) 2 +2n (+2n

=→ n

Luego el valor del número mayor es de 16













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl c) Números impares

Los números impares por lo general se representan por 2n – 1 (1,3,5,7,…) pero a veces también suelen estar representados por: 2n + 1 (aunque en este caso empiezan desde el 3), donde n pertenece a IN.

d) Números impares consecutivos

Antecesor impar

Número impar

Sucesor impar

Sucesor

2n - 1 2n + 1 2n + 3 2n + 5www.fotolog.com/oliver_clases [email protected] 72165005 / 89461103http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.comhttp://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com












Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Propiedades de la paridad:

La suma de dos números pares es un número par. La suma de dos números impares es un número par. La suma de un número par y uno impar es un número impar. El producto de dos números pares es un número par. El producto de dos números impares es un número impar. El producto de un número par por uno impar es un número par. El cuadrado de un número par es un número par. El cuadrado de un número impar es un número impar.














Números primos

Los números primos se definen como todo número Natural mayor que 1 y que solo se pueden dividir por 1 y por sí mismo.

Los primeros números primos de la recta numérica son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…

Números compuestosLos números naturales mayores que 1 que no son primos, se denominan números compuestos, es decir son números que tienen mas de dos divisores.

Ejemplo: El 12 no es primo, porque se puede dividir por 2, por 3 y por 6, entonces estese llama número compuesto porque 12 = 3 • 4 o bien 12 = 2 • 6, etc.

















Importante…

El M.C.M entre números primos SIEMPRE es el producto entre ellos, ejemplo el M.C.M entre los números 2,3 y 5 es el 2*3*5 es decir 30El M.C.D entre números primos SIEMPRE es el número 1El número 2 ES EL UNICO NÚMERO PRIMO PARLos números primos NO SON NÚMEROS IMPARES










Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Múltiplos de un número

Se definen, por ejemplo, los múltiplos del 4, como M (4) = {4, 8, 12, 16, 20, ...}

En general, los múltiplos de k son el conjunto que se obtiene al multiplicar k














DivisibilidadCuadro de criterios de divisibilidad

Es divisible

por

Si el número ejemplo

2 Termina en cero, dos, cuatro, seis y ocho o si es par

1.575.024: Es número par. Luego, es divisible por 2.

3 Al sumar sus cifras, resulta un múltiplo de 3.

751.242: La suma 7+5+1+2+4+2 es 21, cuyas cifras, a su vez suman 3: 2+1= 3. Luego, es divisible por 3.

4 Las dos últimas cifras corresponden a un múltiplo de 4.

700.128: Las dos últimas cifras corresponden a 28, que es múltiplo de 4. Luego, es divisible por 4.

5 Termina en cero ó en 5. 3.905: Termina en 5. Luego, es divisible por 5.














6 Es divisible por 2 y 3 a la vez.

5.142: es par y sus dígitos suman 12, cuyas cifras, a su vez, suman 3. Luego, es divisible por 6.

9 Al sumar sus cifras es múltiplo de 9.

738: suma 18, cuyos dígitos, a su vez, suman 9. Luego, es divisible por 9.

10 Termina en cero. 701.300: termina en cero. Luego, es divisible por 10.













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Ejemplo:

De los siguientes, ¿cuáles son divisores de 13.380?:

a) 2b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f) 8 g) 10














Solución:

El número 13.380 es par. Luego, es divisible por 2.Los dígitos de 13.380 suman: 1 + 3 + 3 + 8 + 0 = 15, que es múltiplo de 3. Luego, 13.380 es divisible por 3.La dos última cifras de 13.380 corresponden a 80, que es múltiplo de 4. Luego, 13.380 es divisible por 4.El número 13.380 termina en cero. Luego, es divisible por 5 y por 10.El número 13.380 es divisible por 2 y por 3 a la vez. Luego, es divisible por 6.

Conclusión: 13.380 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6 y 10.













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Conjunto De Los Números Cardinales (IN 0)

Definición

Es el conjunto de los Naturales, incluyendo el cero. IN0 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}El aporte de este conjunto es que incluye al cero. En este conjunto se cumplen las mismas propiedades y características que en los Naturales.














Conjunto de los Números Enteros (Z)

Definición

Son los enteros positivos, el cero y los negativos.

Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Es decir + : es el conjunto de los enteros positivos- : es el conjunto de los enteros negativos














Recta numérica de los enteros

Valor absoluto o Módulo de un número entero ( l l )














Operatoria en ZCuando trabajes con números positivos y negativos a la vez, debes prestar atención a los signos y las reglas de las operaciones. Vamos a representar dos números cualesquiera por a, b

Entonces:

a) Adición (suma) a + b. (importante: )

EL PROCEDIMIENTO A SEGUIR ES:

SE SUMAN DOS O MÁS NÚMEROS ENTEROS CUEANDO ESTOS SEAN DE IGUAL SIGNO, CONSERVANDO DICHO SIGNO (COLOCA EL SIGNO ANTES DE SUMAR, PARA QUE NO TE LO COMAS)

Ejemplo: -4 – 6 = - 10www.fotolog.com/oliver_clases [email protected] 72165005 / 89461103http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.comhttp://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com













OTRO EJEMPLO:

–7 +–15 = -22

CONSEJO: CUANDO APARESCAN DOS SIGNOS (+–) LOS CUALES SE ESTAN MULTIPLICANDO ENTRE SI, SOLO DEBES DEJAR UNO, POR LO QUE DEBES RESOLVER EL PRODUCTO. (MAS ADELANTE SE EXPLICA EL PRODUCTO)

LUEGO: Esta suma también se pudo haber presentado por –7 – 15 = -22














c) Sustracción (resta) a – b

Observa que (-b) es el opuesto de b. Entonces, para restar a – b, se le suma a al opuesto de b.OTROS EJEMPLOS:Ejemplo: 57 – 34 = 57 + (-34) = 23Ejemplo: (-12) – 22 = –12 + –22 = –34Ejemplo: –25 – (–6) = –25 + 6 = –19

EL PROCEDIMIENTO A SEGUIR ES:

SE RESTAN DOS NÚMEROS ENTEROS CUEANDO ESTOS SON DE DIFERENTES SIGNOS, CONSERVANDO EL SIGNO DEL NÚMERO MAYOR (COLOCA EL SIGNO ANTES DE RESTAR, PARA QUE NO TE LO COMAS)

Ejemplo: -20 + 4 = –16 O bien: 4 –20 = –16














b) Multiplicación y/o división

Se deben multiplicar (o dividir) los números y luego los signos de acuerdo a la siguiente regla:

Caso 1: Signos iguales: el producto (o división) es positivo.

Caso 2:Signos distintos: el producto (o división) es negativo.Esta regla se sintetiza en la tabla siguiente:














EN RESUMEN














Definición

Es el conjunto de todos los números que pueden escribirse como fracción

donde:

a: Numerador; b: Denominador (b 0); y k: Cuociente

Conjunto de los Números Racionales (Q)













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Ejemplos de racionales:

Pertenecen al conjunto de los racionales Q:

•El cero; que se puede escribir como

•Los números enteros positivos y negativos

•Las fracciones comunes; •Los decimales finitos; y •Los decimales infinitos: periódicos o semiperiódicos














Números decimalesTodo número racional se puede escribir como número decimal. Un número decimal se obtiene al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción.Caso 1: Decimales finitos: Tienen una cantidad limitada de dígitos decimales.Ejemplo: 3,75.Caso 2: Decimales infinitos periódicos: Tienen una cantidad ilimitada de dígitos decimales, y tienen el período inmediatamente después de la coma decimal.Ejemplo:













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Caso 3: Números decimales infinitos semiperiódicos: Tienen una

cantidad ilimitada de dígitos decimales y tienen, después de la coma el anteperíodo y luego el período.

Ejemplo:













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Entonces en resumen tenemos lo siguiente:













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Aproximación decimal

Con frecuencia, nos encontramos con cálculos donde intervienen números con muchas cifras decimales, lo que hace difícil su operación. En estos casos es posible realizar una aproximación decimal.

Caso 1: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es igual o mayor que 5, se aumenta en una unidad el dígito anterior.

Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 4 decimales, es:














Caso 2: Si el primer dígito de la parte que se va a eliminar es menor que 5, se conserva el dígito anterior.

Ejemplo: 3,14159265 aproximado a 2 decimales, queda:













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Operaciones con números racionales

Sean a, b, c y d distintos de cero.

Suma: Ejemplo: 10

41

10

356

2

7

5

3 =+=+

Resta: Ejemplo:15

2

15

1210

5

4

3

2

−=−=−

Producto: Ejemplo:

Ejemplo:

16

5

48

15

6

5

8

3 ==⋅

División:

Importante: Es conveniente trabajar la división de fracciones como producto (multiplicación) de fracciones, por las opciones de simplificación que pueden presentarse.













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Amplificar y simplificar una fracción

Amplificar una fracción: Es multiplicar su numerador y denominador por el mismo número, obteniéndose una fracción equivalente:

Ejemplo: la fracción

2

5será amplificada por 7

Entonces: resultando que: 14

35

72

75 =⋅⋅

14

35

2

5 =













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Fracciones equivalentes (iguales)

Sean

Esto es, dos fracciones son equivalentes solo si el producto del denominador de una por el numerador de la otra es igual al producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda fracción (producto cruzado).













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Simplificar una fracción: Es dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número, obteniéndose una fracción equivalente:

Ejemplo: La fracción será simplificada por 7.

Entonces:2

5

7:14

7:35

14

35 ==

Resultando: , como puede verificarse por medio del producto cruzado













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Transformación de racionales

Caso 1: De fracción a decimal: Para esto, basta dividir el numerador por el denominador

Ejemplo: , al hacer la división 11 : 8 = 1,375. Entonces: = 1,375.

Caso 2: De decimal finito a fracción común: La fracción resultante tiene como numerador un número sin la coma y como denominador una potencia de 10 con tantos ceros como el número total de decimales.Ejemplo: 1,25 = . Simplificando: 1,25 =













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Caso 3: De decimal periódico a fracción común:

La fracción resultante tiene como numerador el número, sin coma, incluyendo el período, menos los enteros. Como denominador, tantos 9 como cifras tenga el período.













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Caso 4: De decimal semiperiódico a fracción común: La fracción resultante tiene como numerador una cifra formada por el número sin la coma, menos los enteros y anteperíodo. Como denominador lleva un número de tantos 9 como cifras tenga el período, seguidos de tanto ceros como cifras tenga el anteperíodo decimal.













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Es el conjunto de los números que no pueden escribirse como fracción a/b, siendo a y b enteros, con b

Ejemplo 1: El número es irracional, puesto que = 1,414213562... Este es un número de infinitas cifras decimales, sin que presente un período o semiperíodo. Por lo tanto, es imposible expresarlo como una fracción y es más cómodo expresarlo simplemente como.

Conjunto de los Números Irracionales (Q ̂ )














Ejemplo 2:El número es irracional, puesto que = 3,141592654... y no es posible expresarlo como fracción. Por este motivo es más cómodo expresarlo simplemente como .Algunas civilizaciones antiguas conocieron los números irracionales. Pero su concepto de mundo perfecto, en el cual todo encajaba racionalmente, no les permitió su comprensión. Tal fue su confusión que les llamaron “irracionales”.

Conjunto de los Números Irracionales (Q ̂ )














Resumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situación:

La Recta RealRecta real es la recta sobre la que se representan los números reales. Para ello se destaca uno de sus puntos, O, que se toma como origen y al que se le asigna el número cero, 0, y, separados entre sí por intervalos de amplitud fija (unidad), se sitúan correlativamente los números enteros, los positivos a la derecha de 0 y los negativos a su izquierda.














Conjunto de los Números Reales (IR)

Definición

Es el conjunto resultante de la unión de los Racionales con los Irracionales. Lo que hoy conocemos como toda la recta numérica.

Pertenecen al conjunto de los Reales IR: (todos los números) El cero, los enteros positivos y negativos; Las fracciones; Los decimales finitos y los decimales periódicos y semiperiódicos; y Los irracionales













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Los números reales se sitúan sobre la recta valiéndose de construcciones geométricas o bien mediante aproximaciones decimales que pueden ser tan precisas como se desee sin más que tener en cuenta tantas cifras decimales como sea necesario. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa).

Ejemplo: Ordene los siguientes números de menor a mayor:

P = Q = y R =

Solución: Primero se expresarán todos los números como decimal:0,57

7

4 ≈==P 0,71 2

1 ≈==Q 0,4 2,5

1 ≈==R

Por lo tanto, el orden de menor a mayor es:

QPR <<














Prioridad de operatoria matemática en los Reales

En la operatoria combinada con números reales, se procede según la siguiente prioridad operatoria:1° Paréntesis2° Potencias y raíces3° Multiplicaciones y divisiones Ejemplo:4° Sumas y restas

Primero: el paréntesis (-7 + 3 x 9) Dentro de él, primero el producto 3 x 9 = 27. Dentro del paréntesis, ahora la suma: -7 + 27 = 20 Segundo: el cuadrado de 3 = 9 Está quedando: 13 – 20 – 9 Finalmente las sumas y restas: 13 – 20 – 9 = -16.

=−⋅+−− 23)937(13













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl Autoevaluación

1.- ¿Para cuál de los siguientes valores de r, la expresión r−5

es un número irracional?a)–4 b)5 c)41/9 d)19/4 e)–1

TU RESPUESTA ES

LA RESPUESTA CORRECTA ES E













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl 2.- Si “a” es un número natural y “b” es un número cardinal, entonces puede darse que: A) a + b = 0 TU RESPUESTA ES:B) a : b = 0C) b : a = 0 D) b – a = bE) a + b2 = b3.- Si x es un número entero, la expresión

da origen a un número racional: A) Para ningún valor de x.B) Solo para x igual a cero.C) Solo para x distinto de uno.D) Solo para x mayor que siete.E) Para cualquier valor de x.

LA ALTERNATIVA CORRECTA ES C

LA ALTERNATIVA CORRECTA ES E

TU RESPUESTA ES:













Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl 4.- ¿Cuántos factores primos diferentes tiene el número 360?

A) 2B) 3 C) 4D) 5 E) 6 5.- La suma de tres pares consecutivos es 150. Luego, la suma de los

impares ubicados entre estos pares es: A) 151B) 149 C) 102D) 100E) 99

TU RESPUESTA ES:

LA ALTERNATIVA CORRECTA ES B

TU RESPUESTA ES:

LA ALTERNATIVA CORRECTA ES Dwww.fotolog.com/oliver_clases [email protected] 72165005 / 89461103http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.comhttp://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com












Oliver Rodrigo Henríquez Aracena Preparación PSU De Matemáticawww.oliverclases.es.tl 6.- La suma de dos enteros impares consecutivos es 8x – 4. Entonces, el mayor de ellos es:A) 4x – 3B) 4x – 2 C) 4x – 1D) 2x – 2E) 2x – 1

7.- Si p representa un número par y q un número impar, entonces, de las expresiones siguientes: I: (p + 1)2 q II: p2 (q + 1) III: (p + 1) (q + 1)¿Cuál(es) representa(n) siempre un número par?A) Solo IB) Solo III C) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

TU RESPUESTA ES:LA ALTERNATIVA CORRECTA ES C

TU RESPUESTA ES:

LA ALTERNATIVA CORRECTA ES Dwww.fotolog.com/oliver_clases [email protected] 72165005 / 89461103http://oliverthenry-clases.spaces.live.com http://oliver-clases-psu.blogspot.comhttp://oliver-clases.blogspot.com http://preparacionpsu.spaces.live.com













8.- El cuociente de

es igual a: A) 2,5B) 0,4C) 4D) 0,8E) N.A

31

3,03,0 −9.- La expresión numérica: es igual a: A) –0,1B) –0,01C) 0,3D) 0,09E) 1/3

TU RESPUESTA ES:

LA ALTERNATIVA CORRECTA ES B

TU RESPUESTA ES:

LA ALTERNATIVA CORRECTA ES A














10.- Jaime recorre una distancia total de 48 Km. Primero, se traslada un tercio del recorrido en auto. Del resto, los dos novenos los hace en bicicleta, para, finalmente, completar su trayecto caminando. ¿Cuántos Km. recorre en bicicleta? A) 32 Km.B) 40 Km. C) 60 Km.D) 80 Km.E) 64/9 Km.

TU RESPUESTA ES:

LA ALTERNATIVA CORRECTA ES E














PARA DESCARGAR O VOLVER A VER….

http://www.youtube.com/watch?v=k41Ddk9EN_chttp://www.dailymotion.com/video/x8xdcf_analisis-i-matematica-conjunto-de-n_tech





http://www.youtube.com/watch?v=k41Ddk9EN_c

http://www.dailymotion.com/video/x8xdcf_analisis-i-matematica-conjunto-de-n_tech













REPASA ESTUDIANDO CON LA GUÍA N°1 DE CONTENIDOS PSU

MATEMATICA 2011










Clase n°1 de psu matemática 2011 conjuntos númericos

Documents

Transcript of Clase n°1 de psu matemática 2011 conjuntos númericos