Číselné sústavy

VII

10110010

8EH

9415 10

2

7528

2

Základné pojmy

• Číselná sústava je systém jednoznačných pravidiel pre zobrazenie číselných hodnôt pomocou konečného počtu znakov (číslic, cifier)

• Číslo je reprezentované v danej číselnej sústave postupnosťou číslic

• Číselnú sústavu charakterizuje z vonkajšieho pohľadu použitá množina znakov - číslic

3

Delenie číselných sústav

• Polyadické (pozičné) – význam číslice vždy závisí od jej pozície v zápise

• Pozičné sústavy sú napr. desiatková, osmičková, dvojková, šestnástková

• Nepolyadické (nepozičné) – význam číslice nemusí vždy závisieť od jej pozície v zápise

• Nepozičné sústavy sú napr. rímska alebo „pivná“

• Vo výpočtovej technike sa používajú len pozičné sústavy

4

Prevody medzi číselnými sústavami

• V súvislosti s programovaním a výpočtovou technikou vôbec sa najčastejšie stretneme s číslami v sústave desiatkovej(dekadickej), osmičkovej(oktálovej), šestnástkovej(hexadecimálnej) a dvojkovej(binárnej)

• Preto sa ďalej budeme zaoberať prevodmi čísel: • z desiatkovej sústavy do sústavy s iným základom • zo sústavy s nedesiatkovým základom do desiatkovej

sústavy • medzi sústavami so základom rovným mocnine čísla 2

(praktický význam majú prevody medzi dvojkovou, osmičkovou a šestnástkovou sústavou)

5

Prevod celých čísel z desiatkovej sústavy do sústavy s iným

základom• Nech A je hľadané číslo a jeho jednotlivé cifry sú

ai (i=0, …, n)

• Nech Nc je celé číslo v desiatkovej sústave• Nech z je základ číselnej sústavy, do ktorej ideme

prevádzať

• Potom ai = zvyšok po delení (Nci /z), kde Nci je celočíselný podiel Nci-1/z a Nc0=Nc

6

Príklad

Príklad: Preveďte číslo 39 z desiatkovej do dvojkovej sústavy.

Dané:Nc=Nc0=39z=2A=?

Vzťahy:ai = zvyšok po delení (Nci /z)

Nci je celočíselný podiel Nci-1/z

i Nci Nci+1 ai

0 39 39/2=19 39%2= 1

1 19 19/2=9 19%2= 1

2 9 9/2=4 9%2= 1

3 4 4/2=2 4%2= 0

4 2 2/2=1 2%2= 0

5 1 1/2=0 1%2= 1

VÝZNAM

(39)10 = (100111)2

7

Prevod desatinných čísel z desiatkovej sústavy do sústavy s

iným základom• Nech A je desatinná časť čísla, ktorú hľadáme a

jej jednotlivé cifry sú a-i (i=1, …, m)

• Nech Nd je desatinná časť čísla v desiatkovej sústave

• Nech z je základ číselnej sústavy, do ktorej ideme prevádzať

• Potom – a-i = celá časť súčinu (Ndi*z)

– Ndi+1 = (Ndi*z)- ai

– Nd1=Nd

8

Príklad

Príklad: Preveďte číslo 0,3 z desiatkovej do dvojkovej sústavy s presnosťou na 6 desatinných miest.

Dané:Nd=Nd1=0,3z=2A=?

Vzťahy:ai=celá časť súčinu (Ndi*z)

Ndi+1=(Ndi*z)- ai

i Ndi Ndi*z a-i Ndi+1

1 0,3 0,3*2=0,6 0 0,6-0=0,6

2 0,6 0,6*2=1,2 1 1,2-1= 0,2

3 0,2 0,2*2=0,4 0 0,4-0=0,4

4 0,4 0,4*2=0,8 0 0,8-0=0,8

5 0,8 0,8*2=1,6 1 1,6-1=0,6

6 0,6 0,6*2=1,2 1 1,2-1=0,2

(0,3)10 = (0,010011...)2

VÝZNAM

9

Prevod celých čísel zo sústavy s nedesiatkovým základom do

desiatkovej sústavy

• Nech A je celé číslo v sústave s nedesiatkovým základom a jeho jednotlivé cifry sú ai (i=n,n-1,...0)

• Nech z je základ číselnej sústavy, z ktorej ideme prevádzať• Nech Nc je hľadané číslo• Potom

– Si = Si+1*z+ai

– Nc=S0

– Sn+1=0

• Alebo

n

i

ii zaNc

0

Hornerova schéma

10

Príklad

Príklad: Preveďte číslo 100111 z dvojkovej do desiatkovej sústavy.

Dané:S6=0, z=2

a5=1,a4=0,a3=0,

a2=1,a1=1,a0=1

Nc=S0=?

Vzťahy:Si = Si+1*z+ai

i ai Si+1*z Si

5 1 0*2=0 0+1=1

4 0 1*2=2 2+0=2

3 0 2*2=4 4+0=4

2 1 4*2=8 8+1=9

1 1 9*2=18 18+1=19

0 1 19*2=38 38+1=39

(100111)2 = (39)10

11

Príklad

Príklad: Preveďte číslo 100111 z dvojkovej do desiatkovej sústavy.

Dané:z=2a5=1,a4=0,a3=0,

a2=1,a1=1,a0=1

Nc=?

Vzťahy:

(100111)2 = (39)10

n

i

ii zaNc

0

Riešenie:

Nc = a5*25 + a4*24 + a3*23 + a2*22 + a1*21 + a0*20

Nc = 1*32 + 0*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1 Nc = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1Nc = 39

12

Prevod desatinných čísel zo sústavy s nedesiatkovým

základom do desiatkovej sústavy

• Nech A je desatinná časť čísla v sústave s nedesiatkovým základom a jej jednotlivé cifry sú ai (i=-1,-2,...-m)

• Nech z je základ číselnej sústavy, z ktorej ideme prevádzať• Nech Nd je desatinná časť hľadaného čísla• Potom

– S-i = S-i-1/z+a-i

– Nd=S-1/z

– S-m-1=0

• Alebo

m

i

ii zaNd

1

13

PríkladPríklad:

Preveďte číslo 0.010011 z dvojkovej do desiatkovej sústavy.

Dané:S-7=0, z=2a-6=1,a-5=1,a-4=0,a-3=0,a-2=1,a-1=0Nd=S-1/z=?

Vzťahy: S-i = S-i-1/z+a-i

i a-i S-i-1/z S-i

6 1 0/2=0 0+1=1

5 1 1/2=0,5 0,5+1=1,5

4 0 1,5/2=0,75 0,75+0=0,75

3 0 0,75/2=0,375 0,375+0=0,375

2 1 0,375/2=0,1875 0,1875+1=1,1875

1 0 1,1857/2=0,59375 0,59375+0=0,59375

S-1/z =0,296875

(0,010011)2 = (0,296875)10

14

Príklad

Príklad:

Preveďte číslo 0.010011 z dvojkovej do desiatkovej sústavy.

Dané:z=2a-6=1,a-5=1,a-4=0,a-3=0,a-2=1,a-1=0Nd=?

Vzťahy:

(0,010011)2 = (0,296875)10

Riešenie:

Nd = a-6*2-6 + a-5*2-5 + a-4*2-4 + + a-3*2-3 + a-2*2-2 + a-1*2-1

Nd = 1*0,015625 + 1*0,03125 + 0*0,0625 + + 0*0,125 + 1*0,25 + 0*0,5

Nd = 0,015625 + 0,03125 + 0 + + 0 + 0,25 + 0

Nd = 0,296875

m

i

ii zaNd

1

15

Prevod medzi sústavami so základom rovným mocnine čísla 2

• Nech A je číslo v sústave, z ktorej ideme prevádzať a jeho cifry sú ai

• Nech P je číslo v sústave, do ktorej ideme prevádzať a jeho cifry sú pi

• Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k

16

Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k ak j=2 a k>2

• Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m

• Postup:1. K celej časti pridáme nuly zľava tak, aby počet

číslic bol násobkom k2. K desatinnej časti pridáme nuly sprava tak, aby

počet číslic bol násobkom k3. Z cifier ai vytvoríme k-tice, ktoré potom

prevádzame na cifry pi

17

Príklad

Príklad:Preveďťe číslo 1110011.1101 z dvojkovej do osmičkovej sústavy

Riešenie:Základ dvojkovej sústavy je 2=21, teda j=1. Základ osmičkovej sústavy je8=23, teda k=3.

1. K celej časti pridáme nuly zľava tak, aby počet číslic bol násobkom k.Počet číslic celej časti je 7. Najbližší násobok čísla 3 je 9. Teda celá časťčísla bude mať 9 číslic => 001110011

2. K desatinnej časti pridáme nuly sprava tak, aby počet číslic bol násobkom k.

Počet číslic desatinnej časti je 4. Najbližší násobok čísla 3 je 6. Tedadesatinná časť čísla bude mať 6 číslic => 110100

18

Príklad

3. Z cifier ai vytvoríme k-tice, ktoré potom prevádzame na cifry pi. Teda z cifier čísla 001110011.110100 vytvoríme trojice, ktoré potom prevádzame.

001 | 110 | 011 . 110 | 100

1 6 3 . 6 4

(1110011,1101)2 = (163,64)8

19

Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k ak j>2 a k=2

• Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m

• Postup:1. Jednotilvé číslice ai prevádzame na j-tice

20

PríkladPríklad:Preveďťe číslo 163.64 z osmičkovej do dvojkovej sústavy

Riešenie:Základ osmičkovej sústavy je 8=23, teda j=3. Základ dvojkovej sústavy je2=21, teda k=1.

1. Jednotilvé číslice ai prevádzame na trojice

1 6 3 . 6 4

001 110 011 . 110 100

(1110011,1101)2 = (163,64)8

21

Prevod medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i>2 a j>2

• Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m

• Postup:1. Číslo A prevedieme do dvojkovej sústavy, podľa

postupu prevodu medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i>2 a j=2

2. Nové A v dvojkovej sústave prevedieme podľa postupu prevodu medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i=2 a j>2