Circulación de fluidos a través de lechos porosos

Circulacin de fluidos a travs de lechos porososIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

El flujo a travs de lechos de partculas slidas aparece en numerosos procesos tcnicos: Filtracin, flujo a travs de columnas de relleno (Destilacin, Absorcin, Adsorcin e Intercambio Inico)

Ingeniera de Alimento s II

Permeabilidad (Ley de Darcy)Ing. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Darcy demostr que la velocidad media, en una seccin del lecho, era directamente proporcional a la cada de presin que experimenta el fluido al atravesar dicho lecho e inversamente al espesor del mismo. (-p)= cada de presin a travs del lecho L= Espesor o altura del lecho K= Constante de proporcionalidad(depende de las propiedades fsicas del lecho y del fluido que circula a travs del lecho)


Permeabilidad (Ley de Darcy)Ing. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Suponiendo un rgimen laminar (yaque la velocidad a travs de los intersticios del lecho granular es baja y adems la seccin de cada uno de ellos es pequea: por lo que el valor del mdulo de Reynolds no es elevado)

la relacin entre la velocidad de circulacin del fluido y la cada de presin que experimenta es lineal.

Todo ello presupone que la resistencia que ofrece el lecho al flujo de fluido es debida principalmente a rozamientos viscososIngeniera de Alimento s II

permeabilidadIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

La viscosidad () del fluido muestra la resistencia intrnseca del fluido La constante (1/) recibe el nombre de coeficiente de permeabilidad

La unidad de permeabilidad es el Darcy


Superficie especficaTambin denominada rea superficial especfica, puede ser referida a todo el lecho o a la partculaIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Superficie especfica del lecho (aS) rea superficial especfica de las partculas (aS0)

En el caso de una partcula esfrica de dimetro dr, la superficie especfica es aS0=6/drCuando las partculas no son esfricas, se define un dimetro equivalente de partcula (dp), como aquel dimetro que poseera una esfera cuya relacin rea superficial a su volumen fuese la misma que la que posee una partcula


Forma de la partcula

Esfericidad () 1 0.81 0.87 0.70 0.58 0.76 0.60 0.47 Tan alta como 0.86 Tan baja como 0.53 0.75 0.5 0.7 0.7 0.8 0.85 0.26 0.53 0.30 0.37Ingeniera de Alimento s II

Esfericidad de partculasIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Esfera Cubo Cilindros h= d h=5d h=10d Discos h= d/3 h=d/6 h=d/10 Arena de playa Arena de ro Distintos tipos de arena Slidos triturados Partculas granulares Trigo Anillos Rasching Sillas Berl

Porosidad ()Porosidad o fraccin de huecosIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

El lecho de partculas no es compacto Debida a la porosidad del lecho, la superficie especfica del lecho y de partcula no coinciden, sino que estn relacionadas segn la ecuacin:

Es fcil observar que cuando la porosidad aumenta, el flujo a travs del lecho es mucho mejor, con lo que la permeabilidad aumenta

En el estudio de las caractersticas del lecho, se va a suponer que: Est compuesto por partculas dispuestas al azar, de forma que en el interior de ellos se forman canales por los que circula el fluido, La longitud de estos canales (L) es la misma para todos ellos, Ingeniera poseyendo el mismo dimetro equivalente (De) deAlimento s II

Variables caractersticas de un lechoIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

n

Nmero de canales por metro cuadrado de seccin transversal del lecho Nmero total de canales del lecho (n)

rea interfacial de un canal

rea interfacial del lecho

Volumen del lecho (VL)

Volumen de lecho ocupado por las partculasIngeniera de Alimento s II

Valores de las superficies especficas

Ing. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Correlacin entre superficie especfica del lecho y la de la partcula


Caractersticas de un canalLa velocidad de un canal es funcin de la velocidad global y de las longitudes del lecho y del canal, as como de la porosidadIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Dimetro equivalente de un canal (De)

Expresado en trminos de lecho poroso

El dimetro equivalente de un canal en funcin de y de aS Ec. de la continuidad; donde SC es la seccin de paso de todos los canales, vC es la velocidad de circulacin del fluido a travs de un canal


Ecuaciones para el flujo a travs de lechos porososIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Rgimen Laminar Ecuacin de Kozeny-Carman

Rgimen Turbulento Ecuacin de Burke-Plummer

Flujo global laminarturbulento Ecuacin de ErgunIngeniera de Alimento s II

Flujo en Rgimen LaminarIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Si el flujo del fluido a travs de los canales es laminar se podr aplicar la ecuacin de Fanning para cada uno de ellos:

Pero si se tiene presente que el mdulo de Reynolds es:

Y que la velocidad de circulacin del fluido a travs de una canal vC viene dada por la siguiente expresin

Se obtieneIngeniera de Alimento s II


Se observa que la prdida de presin depende, entre otros, de las longitudes de cada canal y del lecho. La longitud de cada canal L es superior a la del lecho. Si se supone que dichas longitudes son proporcionales L=KL, y definiendo una constante K=2(K)2, resulta:

De la que se obtiene la Ec. de Kozeny-Carman



Al comparar la ecuacin de Kozeny-Carman con la de Darcy, se obtiene que la permeabilidad ser:

La constante K se denomina constante de Kozeny. En lechos en los que la porosidad y superficie especfica no varan con el espesor del lecho, se han encontrado experimentalmente que esta constante posee un valor de 50,5. En realidad su valor depende del tipo de relleno y de la porosidad, tomando distintos valores segn sea la forma de las partculas y porosidad del lecho. Ingeniera En el caso que las partculas sean de forma esfrica, el valor de Alimento de esta constante es de 4,80,3. sII

La constante de Kozeny (K)Ing. Jess Alexander Snchez Gonzlez

El valor de la constante de Kozeny no es el mismo para todos los tipos de relleno, sino que depende de la relacin L/L

Carman ha demostrado que: La relacin L/L recibe el nombre de tortuosidad K0 es un factor que depende de la seccin transversal del canal.

A pesar de que la tortuosidad y el factor K0 pueden variar, esta variacin es tal que cuando una aumenta la otra disminuye, y viceversa, de forma que su producto posee valores prximos a 5Ingeniera de Alimento s II

Correcciones por efectos de la paredIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

En los lechos de partculas, las que se hallan en contacto con la pared estn menos compactadas, lo que implica que la resistencia que ofrece el lecho al flujo es menor que el dado por la ecuacin de Kozeny-Carman Coulson ha obtenido un factor de correccin KP de modo que se tenga presente este defecto.

En la que AP es la superficie de la pared de la columna que contiene el lecho por unidad de volumen de dicho lecho

Para el clculo de la cada real de presin, deber multiplicarse la calculada a partir de la ecuacin de KozenyCarman por el valor de este factor KPIngeniera de Alimento s II

Flujo en Rgimen TurbulentoIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Si el rgimen de circulacin es turbulento puede pensarse en aplicar la ecuacin de Fanning a la circulacin del fluido por un canal, as:

Teniendo en cuenta las expresiones del dimetro equivalente y de la velocidad por un canal:

Se obtiene lo siguiente



Al igual que antes, si se supone que L=KL, y que la superficie especfica esta relacionada con el dimetro de la misma por la expresin aS0=6/dP se obtiene:

Si se define un factor de friccin modificado f=(K)3f se obtiene la ecuacin de Burke-Plummer:

El valor de se obtiene a partir de experimentacin, dependiendo del nmero de ReynoldsIngeniera de Alimento s II

Flujo Global Laminar-TurbulentoIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Observando las Ecuaciones de Kozeny-Carman y de BurkePlummer, puede pensarse que la prdida de presin por unidad de longitud del lecho ser una expresin del tipo:

O bien una combinacin lineal de dichas ecuaciones:

Para la obtencin de las distintas constantes y que aparecen en esta ecuacin se recurre a datos obtenidos por experimentacin, ajustndolos a ellaIngeniera de Alimento s II

Nmero de ReynoldsIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

En la circulacin de fluidos por el exterior de slidos, no slo se utiliza el mdulo de Reynolds para un canal, sino que en algunos casos se suele modificar, o bien se utiliza el mdulo de Reynolds de partcula Reynolds para 1 canal:

Reynolds modificado:

Reynolds de partcula:

Rgimen de circulacin en funcin del ReP (ReP40) el rgimen se considera turbulento.Ingeniera de Alimento s II

Factor de friccin (f)Ing. Jess Alexander Snchez Gonzlez

De la Ecuacin Es fcil obtener la expresin para el factor de friccin modificado:

A partir de una serie de datos experimentales, de valores del factor de friccin modificado [3f ], calculados a partir de la ecuacin de Burke-Plummer, se obtiene los valores correspondientes de sus Reynolds de partcula. Se busca una funcin que correlacione 3f con ReP Del ajuste de los datos experimentales la ecuacin obtenida es la siguiente:Ingeniera de Alimento s II


Si en esta ecuacin se sustituyen los valores de 3f, dados por las ecuaciones que expresan al factor de friccin y la correspondiente al mdulo de Reynolds de partcula,

se puede obtener la siguiente expresin denominada ecuacin de Ergun, y puede utilizarse para el clculo de la prdida de presin que experimenta el fluido al atravesar un lecho relleno, independientemente de cual sea el tipo de rgimen de circulacin


Comparaciones finalesIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Al comparar la Ecuacin de Ergun con la linealizada inicial

se observa lo siguiente:


CASO ESPECIAL: Flujo en contracorriente de gas y lquidoIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Cuando en una columna rellena de partculas circulan en contracorriente un gas con un lquido, es conveniente utilizar la denominada Ecuacin de Chilton-Colburn, que es una ecuacin emprica basada en la de Fanning

El factor de friccin modificado (f) puede calcularse a partir de las graficas que relacionan o bien pueden utilizarse las siguientes expresiones: Para rgimen Laminar (ReP40):Ingeniera de Alimento s II

Condiciones para el uso de la Ec. ChiltonColburnIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Se puede utilizar cuando el lecho est formado por partculas macizas Si las partculas son huecas debe multiplicarse el segundo miembro de la Ecuacin por un factor Kr que viene dado por la ecuacin:

dP es el dimetro nominal de las partculas expresado en pulgadas.

Los huecos creados en las inmediaciones de la pared pueden afectar la cada de presin, para lo que se introduce el factor de correccin de pared KP KP: depende del rgimen de circulacin y de la relacin dimetro partcula a dimetro del lecho (dP/D) En el caso de que: dP/D < 1,6 no se considera el efecto de la pared.

En general la cada real que experimenta el fluido se obtendr multiplicando la cada de Ingeniera presin calculada a partir de la ecuacin de Chilton-Colburn por estos dos factores; es de decir: Alimentos II

FLUIDIZACINIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

Cuando un fluido circula a travs de un lecho de partculas: si su velocidad de circulacin es baja, el lecho permanece esttico, pero si su velocidad aumenta puede ocurrir que el lecho se expanda, existiendo una reordenacin de las partculas, con el consiguiente aumento de la porosidad del lecho


Si se supone un lecho de partculas, a travs de las cuales circula un fluido al que se le va aumentando paulatinamente la velocidad de circulacin.Ing. Jess Alexander Snchez Gonzlez

A velocidades bajas el lecho permanece esttico, sin aumento de su altura, por lo que al representar en coordenadas doble logartmicas la cada de presin frente a velocidad de circulacin se obtiene una recta tal como lo muestra el segmento 0A de la grfica

log(-p)D B AC

Fluidizacin discontinua

Fluidizacin continua

0

vmf

va

log (v)


Si se aumenta ms la velocidad, las partculas empiezan a separarse, pero todava permanecen en contacto, aunque la relacin entre la cada de presin y la velocidad continua siendo lineal, pero la pendiente es menor (segmento AB). En el punto B en el que las partculas no se hallan en contacto se dice que el lecho es fluidizado. A partir de este punto, si se aumenta la velocidad puede haber una pequea cada de presin (segmento BC), pero si se sigue aumentando la velocidad, la cada de presin aumentara linealmente con la velocidad, esta vez con menor pendiente, hasta que la velocidad es lo suficiente mente elevada como para arrastrar las partculas, cosa que ocurre a partir del punto D log(-p)D B AC


Fluidizacin discontinua

Fluidizacin continua

0

vmf

va

log (v)


Caractersticas de la fluidizacinIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

La velocidad a la cual ocurre la fluidizacin se conoce como: mnima de fluidizacin; La velocidad correspondiente al punto de arrastre es la velocidad de arrastre. En el tramo en que el lecho esta fluidizado, la velocidad del fluido en contacto con las partculas es superior a cuando las ha superado, ello hace que las partculas no queden arrastradas, sino que vuelvan a caer al lecho. El conjunto de partculas poseen un movimiento desordenado, presentando un aspecto como si las partculas estuvieran en ebullicin, denominndose lechos hirvientes o fluidizacin discontinua a este tipo de proceso. Cuando las partculas son arrastradas, el tipo de fluidizacin se denomina continua, y es un tipo de circulacin de dos fases, que es la base del transporte neumtico Ingenierade Alimento s II

VELOCIDAD MINIMA DE FLUIDIZACIONIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

La velocidad a la que empieza la fluidizacin del lecho se conoce como velocidad mnima de fluidizacin. En este punto existe un equilibrio dinmico entre la fuerza que el campo gravitatorio y el fluido ejercen sobre las partculas La fuerza gravitatoria ejercida sobre las partculas viene dad por la expresin:

En la que P y son las densidades de las partculas y del fluido, respectivamente; S la seccin de paso de la columna que contiene las partculas; L la altura del lecho su porosidad g la constante de gravedadIngeniera de Alimento s II

Relacin de fuerzasIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

La fuerza que el fluido ejerce sobre el lecho de partculas es la de presin, y que se calcula por la expresin

En la que (-p) es la cada de la presin que experimenta el fluido al atravesar el lecho, y cuya expresin depende del rgimen de circulacin del fluido

Por tanto, para el clculo de la velocidad mnima de fluidizacin deben igualarse las so fuerzas, la de gravedad y la de presin


La expresin de la cada de presin viene dad por la ecuacin de ErgunIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

A pesar que esta es la ecuacin general para el clculo de la cada de presin, segn sea el rgimen de circulacin del fluido, podr simplificarse.

Rgimen laminar Rgimen Turbulento

Rgimen de Transicin


POROSIDAD MNIMA DE FLUIDIZACIN


Lo mismo que ocurra con la cada de presin del fluido, que variaba con la velocidad de circulacin, la porosidad del lecho tambin experimenta variacin. Para velocidades bajas, la fuerza de presin no es suficiente para variar la estructura del lecho, y su porosidad no varia, pero a velocidades ms altas, el lecho se expansiona aumentando el volumen de huecos.


Si se representa en coordenadas doble logartmica las variaciones de la porosidad con la velocidad lineal de circulacin se obtiene una grfica como por ejemploIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

log()

1

mf0

vmf

va

log (v)Ingeniera de Alimento s II

Clculo de la porosidadIng. Jess Alexander Snchez Gonzlez

A velocidades bajas la porosidad no vara, pero llega un momento en que aumenta con la velocidad, siendo esta variacin tipo lineal. La porosidad en el momento que empieza la fluidizacin no se corresponde al punto en que la porosidad empieza aumentar, sino que ocurre a una velocidad ms alta, que es la mnima de fluidizacin.

Ecuacin en la que el dimetro de partculas debe expresarse en micrones (10-6m) y es vlida para valores de dP comprendidos entre 50 y 500 micronesIngeniera de Alimento s II

ALTURA DEL LECHO


Evidentemente, al aumentar la velocidad de circulacin del fluido a travs del lecho poroso, no slo aumenta la cada de presin, sino que el aumento de la porosidad es debido a que la altura del lecho tambin aumenta. Este aumento de altura de lecho esta ntimamente ligado al aumento de porosidad, de forma que las porosidades correspondientes a dos alturas cualesquiera estn relacionadas por la expresin

De forma particular, si para el lecho fijo le corresponde una porosidad 0 y una altura de lecho L0, la altura y porosidad para otro instante estn relacionadas con sta por la ecuacin:

Si el lecho fuese compacto, las partculas ocuparan todo el lecho y no existiran huecos, por lo que la expresin que correlaciona las alturas se Ingeniera simplificara, en la que es la altura del lecho compacto:de Alimento s II



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