UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO2012

Circuitos Transitorios de primer y Segundo ordenI. objetivos: Conocer 4 tipos de circuitos transitorios: R-L con corriente continua y alterna, R-C con corriente continua y alterna, R-L-C con corriente alterna. El comportamiento de dos elementos pasivos como son el condensador y la bobina.II. marco terico:Cuando en un circuito producimos un cambio de las condiciones de trabajo, generalmente por variacin de la tensin aplicada, se produce un periodo de transicin hasta que el circuito queda en un rgimen permanente estable.El motivo del rgimen transitorio est en la "inercia elctrica" que poseen las bobinas y los condensadores, que impiden las variaciones instantneas de tensin y de corriente.El estudio del rgimen transitorio utiliza un complejo y laborioso aparato matemtico, con empleo del clculo diferencial e integral, que aqu obviaremos en la medida de lo posible para resaltar las conclusiones y consecuencias prcticas de estos regmenes.Respuesta en el tiempo de los distintos elementosLa variacin de la tensin en extremos de un elemento a lo largo del tiempo en funcin de la intensidad que lo recorre responde a las siguientes leyes:RESISTENCIABOBINACONDENSADOR

La variacin de tensin en la resistencia es proporcional a la intensidad, mientras que en la bobina y en el condensador lo es a su derivada y a su integral respectivamente.Transitorios RC en corriente continuaCarga de un condensadorSuponemos un condensador de capacidadCcon carga inicialV0que se somete a una tensinVa travs de una resistenciaR.Aplicando Kirchhoff:

Derivando Ecuacin diferencial lineal de primer grado homognea de solucin:

De las condiciones iniciales obtenemos

De donde se obtiene la ecuacin solucin para la intensidad

Por la ley de Ohm obtenemos la tensin en la resistencia y en el condensador

Si suponemos el condensador inicialmente descargado:V0= 0.

Al cabo de un tiempo en segundos igual al producto RC el condensador est cargado en un 63,2% y despus de 5 veces este tiempo lo est al 99,3%.

Despus de ese periodo se suele considerar que el condensador est cargado (tardara un tiempo infinito en llegar a la tensin de la fuente) y por ello se le llama tiempo de carga, mientras que al valor RC se le llama constante de tiempo. Constante de tiempo:T = RC Tiempo de carga:tc= 5T = 5RCDescarga de un condensadorSuponemos que el condensador est inicialmente cargado a la tensinV0y se descarga sobre la resistenciaR.Aplicando Kirchhoff:

Derivando esta ecuacin con respecto al tiempo

Ecuacin diferencial lineal de primer grado homognea de solucin:

De las condiciones iniciales optenemos

De donde se obtiene la ecuacin solucin para la intensidad (ntese el signo negativo debido a que el sentido de la intensidad en la descarga es contrario al de carga).

Aplicando la ley de Ohm obtenemos la tensin en la resistencia y el condensador

Al cabo de un tiempo en segundos igual al producto RC el condensador se ha descargado en un 63,2% y despus de 5 veces este tiempo lo est al 99,3% quedando una tensin residual del 0,7%.

Despus de ese periodo se suele considerar que el condensador est totalmente descargado (tardara un tiempo infinito en llegar una tensin nula) y por ello se le llama tiempo de carga, mientras que al valor RC se le llama constante de tiempo. Constante de tiempo:T = RC Tiempo de carga:td= 5T = 5RCTransitorios RL en corriente continuaConexin de una bobinaSuponemos una bobina de coeficiente de autoinduccinLque se somete a una tensinVa travs de una resistenciaR.Aplicando Kirchhoff:

Ecuacin diferencial lineal de primer grado no homognea cuya solucin es la suma de la solucin a la ecuacin homogenea ms una solucin particular.La solucin particular se deduce del rgimen permanente. Transcurrido el tiempo suficiente, la intensidad se estabilizar a un valor constante (por ser la fuente de tensin constante). En ese momento no hay variaciones de intensidad y la cada de tensin en la bobina desaparece.

La solucin a la ecuacin homogenea, es del tipo

Las constantes las obtenemos de los valores iniciales. Suponiendo que antes de conectar la intensidad era nula, tambin lo sera su derivada y por tanto la tensin en la bobina.

Sumando la solucin de la ecuacin homogenea y la solucin particular obtenemos la ecuacin de la intensidad en el tiempo.

Por la ley de Ohm obtenemos la tensin en la resistencia y en la bobina

La tensin en la bobina decrece exponencialmente y al cabo de un tiempo en segundos igual al cociente L/R la tensin en la bobina se ha reducido en un 63,2% y despus de 5 veces este tiempo en un 99,3% quedando una tensin residual de un 0,7% nicamente.

Despus de ese periodo se suele considerar que la bobina est descargada (tardara un tiempo infinito en llegar una tensin nula) y por ello se le llama tiempo de descarga, mientras que al valor L/R se le llama constante de tiempo. Constante de tiempo:T = L/R Tiempo de carga:td= 5T = 5L/RCuando se conecta el circuito intenta establecerse una intensidad slo limitada por la resistencia, pero la bobina se opone a este brusco aumento de intensidad creando una cada de tensin opuesta a la de la fuente. La bobina obliga a la intensidad a crecer cada vez ms despacio y, a la vez, reduce su cada de tensin al ser menor la variacin de intensidad.Cuando la intensidad se estabiliza (no hay variacin y su derivada es cero) la tensin en la bobina desaparece.La bobina se opone a los crecimientos bruscos de intensidad.Desconexin de una bobinaSuponemos que la bobina est conectada a una tensinVcon intensidad estabilizada y por tanto cada de tensin nula en la bobina y en ese momento se descarga sobre la resistenciaR.Aplicando Kirchhoff:

Ecuacin diferencial lineal de primer grado homognea de solucin:

De las condiciones iniciales (intensidad constante V/R y tensin nula en la bobina) optenemos

De donde se obtiene la ecuacin solucin para la intensidad.

Aplicando la ley de Ohm obtenemos la tensin en la resistencia y la bobina

(ntese el signo negativo en la tensin de la bobina debido a que su cada de tensin en la descarga es contrario al de carga, ya que en la carga se opone al crecimiento de corriente y en la descarga se opone a su descenso, siendo ella misma la que intenta mantener la intensidad en la misma direccin)Al cabo de un tiempo en segundos igual al cociente L/R la bobina se ha descargado en un 63,2% y despus de 5 veces este tiempo lo est al 99,3% quedando una tensin residual del 0,7%.

Despus de ese periodo se suele considerar que la bobina est totalmente descargada (tardara un tiempo infinito en llegar una tensin nula) y por ello se le llama tiempo de descarga, mientras que al valor L/R se le llama constante de tiempo. Constante de tiempo:T = L/R Tiempo de carga:td= 5T = 5L/REl circuito RC serie en corriente alterna

Por el circuito circular una sola corrientei. Dicha corriente, como es comn a todos los elementos del circuito, se tomar como referencia de fases.La impedancia total del circuito ser la suma (circuito serie) de las impedancias de cada elemento del mismo. O sea,

Por tanto, la intensidad que circula por el circuito ser:

que como puede apreciarse tendr parte real y parte imaginaria. Esto implica que el desfase deirespecto avgno ser ni cero (que sera el caso de circuito resistivo puro) ni 90 (caso capacitivo puro), sino que estar comprendido entre estos dos valores extremos:

La grficarojaes la de la tensin de alimentacin del circuito. La grficaazulcorresponde con la tensinvc. Por ltimo, la grficaverdees la corrienteique circula por el circuito.A partir de la expresin en forma binmica de la corriente es posible expresarla en otra forma cualquiera de las posibles para un nmero complejo. Quizs la ms til para nuestros fines sea la expresin en forma polar o mdulo-argumental. Para hacer la conversin de una a otra forma de expresin se ha de seguir el siguiente mtodo:

mes el mdulo del nmero complejo e indica cuan grande es el vector comlejo. Por otro lado,jes el argumento y representa el ngulo que forma el vector comlejo respecto al eje positivo de "las x", que en nuestro caso se corresponde con el ngulo de desfase.Tomando esta forma de expresar los nmeros complejos, el mdulo deiser

y su argumento o ngulo de desfase respecto avges

Como este ngulo ser positivo, y recordando que la referencia de fases es la propiai(y por tanto su desfase ser cero por definicin), la tensinvgestar desfasada respecto aiun ngulo-j, o sea,vgestar atrasada un ngulojrespecto ai.Conocida la corriente que circula por el circuito, veamos las tensiones de la resistencia y del condensador. El caso de la resistencia es muy sencillo, ya que como vimos antes no introduce ningn desfase entre tensin en sus extremos y corriente que la atraviesa. Por tanto, la tensin de la resistencia,vr, tendr un desfase cero respecto aiy su mdulo vendr dado por

El condensador s introduce desfase entre la tensin en sus extremos y la corriente que circula por el circuito en el que se intercala. Ese desfase ya sabemos que es de 90 de adelanto de la intensidad respecto a la tensin, o lo que es lo mismo, de 90 de atraso de la tensin respecto de la intensidad. Por tanto,vcestar atrasada 90 respecto aiy su mdulo se calcular como

El circuito RL serie en corriente alterna:

El anlisis de este circuito es comletamente similar al del circuito RC serie. As, el valor de la impedancia ser:

El mdulo de la intensidad que circula por el circuito es

y su ngulo de defase respecto avges

que evidentemente ser negativo, indicando con ello que la tensinvgest adelantada respecto ai(ya que segn el signo de este nguloiest atrasada respecto avg).En cuanto a las tensiones de la resistencia y la bobina, las tcnicas de clculo son idnticas a las vistas anteriormente, es decir, se aplica la Ley de Ohm generalizada para corriente alterna. En concreto:

La tensin de la resistencia estar en fase con la corriente y la de la bobina estar adelantada 90 respecto a dicha corriente.El circuito RLC serie en corriente alterna:

El valor de la impedancia que presenta el circuito ser:

O sea, adems de la parte real formada por el valor de la resistencia, tendr una parte reactiva (imaginaria) que vendr dada por la diferencia de reactancias inductiva y capacitiva. LlamemosXa esa resta de reactancias. Pues bien, siXes negativa quiere decir que predomina en el circuito el efecto capacitivo. Por el contrario, siXes positiva ser la bobina la que predomine sobre el condensador. En el primer caso la corriente presentar un adelanto sobre la tensin de alimentacin. Si el caso es el segundo entonces la corriente estar atrasada respecto avg. Qu ocurre siXes cero? Este sera un caso muy especial que veremos en el siguiente apartado.ConocidaZt, la corriente se puede calcular mediante la Ley de Ohm y su descomposicin en mdulo y ngulo de desfase no debera suponer mayor problema a estas alturas. As,

Tambin por Ley de Ohm se calculan los mdulos de las tensiones de los diferentes elementos (las fases respecto aison siempre las mismas: 0 paravr, 90 paravly -90 paravc). Concretamente,

Resonancia en circuitos serie RLC:

Como se comentaba ms arriba, existe un caso especial en un circuito serie RLC. ste se produce cuandoXc=Xly por lo tantoX=0. En un circuito de este tipo dicha circunstancia siempre se podr dar y ello ocurre a una frecuencia muy determinada (recordemos la dependencia deXcyXlrespecto de la frecuenciafde la tensin de alimentacin). Cuando tal ocurre decimos que el circuito est en resonancia, y la frecuencia para la que ello ocurre se llamar frecuencia de resonancia. Cul ser el valor de dicha frecuencia? IgualandoXcyXlpodremos conocer su valor:

A la frecuencia de resonancia el circuito se comportar como resistivo puro, ya que los efectos capacitivos e inductivos se anulan mutuamente.Una representacin grfica del fenmeno de la resonancia es la siguiente:

Lo aqu representado es el valor del mdulo de la corriente que recorre el circuito segn sea la frecuencia de la tensin de alimentacin. Si se calcula la frecuencia de resonancia se ver que para los valores de la grfica sta es de 5033Hz, lo que corresponde con el mximo de la curva de la grfica. Para frecuencia inferiores y superiores a la de resonancia el valor de la corriente ser menor, lo cual es lgico ya que slo para la frecuencia de resonancia la resta de reactancias ser cero. Para frecuencias inferiores a la de resonancia predomina la reactancia capacitiva, siendo la inductiva la que predomina para frecuencias superiores a la de resonancia.

III. simulacin:

IV. conclusiones: Los tiempos de carga y descarga dependen slo de los valores de resistencia y capacidad y no de las tensiones o corrientes establecidas. La bobina no se puede descargar instantneamente, su "inercia elctrica" se opone a los cambios bruscos de corriente, variando exponencialmente. Debido a la caracterstica anterior un circuito con bobinas no permite interrupir la corriente de forma instantnea. Por ello al intentar abrir un interruptor que regula un circuito con inductancias, se produce un arco elctrico (chispa) entre sus contactos, ya que la interrupcin instantnea de la corriente no es posible.

En rgimen permanente, transcurrido tiempo suficiente, las bobinas se comportan como cortocircuitos en corriente continua, dejando circular sin oposicin la intensidad (cada de tensin nula). Los tiempos de carga y descarga dependen slo de los valores de resistencia y capacidad y no de las tensiones o corrientes establecidas. El condensador no se puede descargar instantneamente, su "inercia elctrica" se opone a los cambios bruscos de tensin, variando exponencialmente. En rgimen permanente, transcurrido tiempo suficiente, los condensadores se comportan como circuitos abiertos en corriente continua, no dejando circular intensidad mas que en el periodo transitorio de carga. Como parte esencial del laboratorio el conocimiento y las propiedades de los circuitos RC es muy importante para la aplicacin de circuitos en sistemas reales. hemos visto que el circuito RC como una parte esencial de la electrnica moderna y tambin como sus propiedades son tan particulares este es muy til en distintos dispositivos electrnicos de hoy en da, nos dimos cuenta que no todos los circuitos RC son iguales y que cada circuito posee una propiedad especifica de este como es el tau o la constante de tiempo de dicho circuito y q gracias a la determinacin de dicha constate contamos hoy en da con dispositivos que reaccionan ms rpido ( bombillas, abanicos etc.) hablando claro est en trminos de reaccin de este con un interruptor que completa el circuito que hace que los elementos funcionen.V. bibliografa: Constante de tiempo de un circuito RC[en lnea]. Disponible en Internet: