Cinemática dos Sólidos Prof. Cláudio S. Sartori Notas ... · Notas de aula 01 – 1° Bimestre 1...
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Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
1
EMENTA
Desenvolvimento e aplicação das equações vetoriais que relacionam
as várias grandezas cinemáticas envolvidas no estudo dos movimentos
de sólidos. Classificação dos movimentos do sólido. Aplicação dos
princípios e equações cinemáticas nos movimentos de dispositivos
compostos por vários sólidos e vínculos.
OBJETIVOS GERAIS
Desenvolver no aluno uma visão factível da mecânica, criando
no mesmo uma "intuição" correta dos fenômenos mecânicos.
Capacitar o estudante de engenharia a entender e resolver
problemas que envolvam a cinemática dos sólidos e dispositivos, que
são comuns no exercício da profissão de engenheiro.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Estabelecer os conceitos básicos sobre Cinemática do
Sólido. Preparar os alunos para entender os dispositivos mecânicos
comuns à vida do Engenheiro.
Fornecer ferramentas aos estudantes para entender e
acompanhar em bom nível as disciplinas específicas do curso, em
especial aquelas ligadas à cinemática de dispositivos, vibrações e
outras.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Cinemática da Partícula;
(a) Vetor Posição;
(b) Vetor Velocidade;
(c) Vetor Aceleração;
i. aceleração tangencial;
ii. aceleração normal;
2. Cinemática do Sólido;
(a) Classificação dos Movimentos;
(b) Movimento de Translação;
i. equações vetoriais de velocidade e
aceleração;
(c) Movimento Plano;
(d) Rotação com Eixo Fixo;
i. equações vetoriais de velocidade e
aceleração;
(e) Movimento Plano em geral;
i. equações vetoriais de velocidade e
aceleração;
(f) Centro Instantâneo de Rotação;
(g) Movimento Geral;
BIBLIOGRAFIA Básica
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial
para engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São
Paulo: Makron, 1994.
HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia.
8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004.
KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de
Janeiro: LTC,2004. FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecânica Geral.Edgar
Blucher, 2005.
GERE, J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2003
KAMINSKI, P.C. Mecânica geral para engenheiros. Edgar Blucher,
2000.
SEARS,F.;YOUNG H. D. Física. vol.1, Mecânica. Addison Wesley,
2008.
Cinemática dos Sólidos,Unip, Versão 2, 2009.
Vetor Posição: ˆˆ ˆr x i y j z k
Vetor velocidade média mv :
m
rv
t
Vetor Velocidade instantânea: dr
vdt
Vetor aceleração média: m
va
t
Vetor Aceleração instantânea: dv
adt
Aplicação: Lançamento Oblíquo:
Eixo x: MU: 0 0x
x x v t
Eixo y: MUV:
2
0 02y
ty y v t g
0yyv v g t
Decomposição da velocidade inicial 0v :
0 0 0 0cosx y
v v v v sen
Tempo de subida: 0y
s
vt
g
Alcance: 2
0 2m
vx sen
g
Altura máxima: 0
2
2
y
vh
g
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre
2
Movimentos curvilíneos MCU e MCUV
MCU R Na a MCUV
R N Ta a a
e Nv a perpendiculares
Função angular horária t
0t t 2
0 0
1
2t t t
Velocidade angular t
ctet 0t t
2 2
0 2
Velocidade linear v t
v r
Aceleração angular t
0t t cte
Aceleração
resultante
R cpa a
2 2
R cp Ta a a
Aceleração
tangencial
0Ta
T T
dva a r
dt
Aceleração centrípeta e Força centrípeta
22
cp cp cp
va a R F m a
R
Cinemática dos Corpos Rígidos Movimentos:
Translação.
Rotação sobre um eixo fixo.
Movimento Geral sobre um plano
Movimento sobre um ponto fixo
Movimento Geral qualquer.
Translação
B A BAr r r
B Av v
B Aa a
Rotação sobre um eixo fixo
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3
01 2 360rev rad
dr
vdt
dsv s BP BP r sen
dt
dv r sen
dt
v r sen
Velocidade angular: k
Como o ângulo entre r e é , lembrando da
propriedade do módulo do produto vetorial:
r r sen r sen v
v r
dv d d dr
a a r rdt dt dt dt
da r v
dt
Aceleração angular: d
dt
ˆ ˆ ˆk k k
a r r
Rotação de uma placa em torno de um eixo fixo:
Sendo k ˆv r v k r
Como k r v r
a r r
ˆ ˆ ˆa k r k k r
2ˆ ˆ ˆa k r k k r
ˆ ˆk k r u v w u w v u v w
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆk k r k r k k k r
ˆ ˆk k r r
2ˆa k r r
Aceleração tangencial:
ˆT Ta k r a r
Aceleração normal 2 2
N Na r a r
Resumo: Rotação com eixo fixo: 1. Todos os pontos apresentam trajetórias circulares.
2. Todos os pontos apresentam a mesma velocidade
angular, e esta tem a direção do eixo de rotação:
ˆ ˆd
e edt
A direção do vetor velocidade angular é ortogonal ao
plano formadopelo movimento do ponto P, possui a direção do
eixo de rotação do sólido.
O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra
da mão direita: o ponto P, deslocando-se no sentido anti-
horário, acompanha-se o sentido do movimento de P ao longo
de sua trajetória circular, com os quatro dedos da mão direita;
com exceção do polegar que indicará seu sentido, apontando
para o ponto A.
3. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração
angular, e esta tem a direção do eixo de rotação:
ˆ ˆd
e edt
4. O vetor velocidade instantânea no ponto P é dado por:
PP P
drv v r r P A
dt
5. O vetor aceleração do ponto P é dado por: dv
a v adt
P Pa r r
a P A P A
Exemplos Resolvidos
1. Ache os vetores velocidade e a aceleração dos pontos
1.1 Os discos indicados para cada caso, em cada instante
de tempo. O disco parte do repouso em t = 0s.
(a) α = 2 rad/s2; =4rad/s, t = 3 s; Pontos A e B.
(b) α = 2 rad/s2; t = 3 s; ; Pontos A e B, C e D.
Ponto B:
ˆ ˆ0.2 cos30 0.2 30Br i sen j
ˆ ˆ0.173 0.1Br i j
2ˆ2
radk
s
30°
B
C
D
45°
60°
B
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4
0 0 2 3 6rad
ts
ˆ6rad
ks
ˆ ˆ ˆ6 0.173 0.1B B Bv r v k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ6 0.173 6 0.1B
j i
v k i k j
ˆ ˆ0.6 1.038B
mv i j
s
T NB B Ba a a B B Ba r v
TB Ba r
ˆ ˆ ˆ2 0.173 0.1TBa k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ2 0.173 2 0.1TB
j i
a k i k j
2ˆ ˆ0.2 0.346
TB
ma i j
s
NB Ba v
ˆ ˆ ˆ6 0.6 1.038NBa k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ6 0.6 6 1.038TB
j i
a k i k j
2ˆ ˆ0.828 3.6
NB
ma i j
s
ˆ ˆ ˆ ˆ0.2 0.346 0.828 3.6
B BT N
B
a a
a i j i j
2ˆ ˆ1.028 3.254B
ma i j
s
1.2 O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um
eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular =
5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s2. No instante ilustrado, o
ponto E está descendo. Pedem-se:
(a) o vetor velocidade angular.
(b) o vetor aceleração angular.
(c) a velocidade do ponto D.
Pontos x y z (x,y,z)
A 0 0.203 0 (0,0.203,0)
B 0 0 0.152 (0,0,0.152)
D 0.178 0 0 (0.178,0,0)
0,0.203,0 0,0,0.152BA A B BA
0,0.203, 0.152BA
ˆˆ ˆ0 0.203 0.152BA i j k
22 20 0.203 0.152 0.254BA BA
0 0.203 0.152 ˆˆ ˆˆ ˆ0.254 0.254 0.254
BAe e i j k
BA
ˆˆ ˆˆ 0 0.8 0.599e i j k
ˆˆ ˆˆ 5 0 0.8 0.599e i j k
ˆˆ ˆ0 4 2.977i j k rad s
ˆˆ ˆˆ 4 0 0.8 0.599e i j k
2ˆˆ ˆ0 3.202 2.397i j k rad s
ˆˆ ˆ0 4 2.977i j k rad s
0.178,0,0 0,0.203,0AD D A AD
0.178, 0.203,0AD
ˆˆ ˆ0.178 0.203 0AD i j k
v AD
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 4 2.977 0.178 0.203 0v i j k i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4 2.977 0 4
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
v
ˆˆ ˆ0.608 0.533 0.712m
v i j ks
Da D A v
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 3.202 2.397 0 3.202
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
D A
ˆˆ ˆ0.487 0.427 0 570D A i j k
D
DA
v
D
r
D A v
z
x
y
B
A C
0.203 m
0.152 m 0.178 m
D
E
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5
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4.002 2.997 0 4.002
0.608 0.533 0.712 0.608 0.533
i j k i j
v
ˆˆ ˆ4.447 1.822 2.433v i j k
Da D A v
ˆˆ ˆ0.487 0.427 0 570
ˆˆ ˆ 4.447 1.822 2.433
a i j k
i j k
2ˆˆ ˆ4.934 1.395 3.003
ma i j k
s
2. No problema anterior, determine a velocidade e a
aceleração no vértice D, supor que a velocidade angular é =
5 rad/s e aumenta à razão de 20 rad/s2.
ˆˆ ˆ0 4 2.977i j k rad s
ˆˆ ˆˆ 20 0 0.8 0.599e i j k
2ˆˆ ˆ0 16 11.98i j k rad s
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 4 2.977 0.178 0.203 0v i j k i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4 2.977 0 4
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
v
ˆˆ ˆ0.608 0.533 0.712m
v i j ks
ˆˆ ˆ0.178 0.203 0AD i j k
v AD
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 4 2.977 0.178 0.203 0v i j k i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4 2.977 0 4
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
v
ˆˆ ˆ0.608 0.533 0 712m
v i j ks
D Da D A v
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 16 11.98 0 16
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
D A
ˆˆ ˆ2.4319 2.13244 2.848D A i j k
DD A v
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4.002 2.997 0 4.002
0.608 0.533 0.712 0.608 0.533
i j k i j
v
ˆˆ ˆ4.447 1.822 2.433v i j k
Da D A v
ˆˆ ˆ2.4319 2.13244 2.848
ˆˆ ˆ 4.447 1.822 2.433
a i j k
i j k
2ˆˆ ˆ6.8789 0.31044 0.415
ma i j k
s
3. A peça rígida mostrada na figura consiste de um
eixo ABC soldado a uma placa retangular DEFH. O conjunto
gira uniformemente a uma velocidade angular de 9 rad/s, em
torno do eixo ABC. Sabendo que o movimento quando visto de
C é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do
vértice F.
Pontos P x y z P(x,y,z)
A 0 0.1 0 (0,0.1,0)
B 0.175 0 0.1 (0.175,0,0.1)
C 0.35 -0.1 0.2 (0.35,-0.1,0.2)
D 0.35 0 0 (0.35,0,0)
F 0 0 0.2 (0,0,0.2)
0.35, 0.1,0.2 0,0.1,0AC C A AC
0.35, 0.2,0.2AC
ˆˆ ˆ0.35 0.2 0.2AC i j k
22 20.35 0.2 0.2 0.45AC AC
0.35 0.2 0.2 ˆˆ ˆˆ ˆ0.45 0.45 0.45
ACe e i j k
AC
ˆˆ ˆˆ 0.778 0.444 0.444e i j k
ˆˆ ˆˆ 9 0.778 0.444 0.444e i j k
ˆˆ ˆ7.002 3.996 3.996i j k rad s
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6
0,0,0.2 0,0.1,0AF F A AF
0, 0.1,0.2AF ˆˆ ˆ0 0.1 0.2AF i j k
Fv AF
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ7.002 3.996 3.996 0 0.1 0.2v i j k i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
7.002 3.996 3.996 7.002 3.996
0 0.1 0.2 0 0.1
i j k i j
v
ˆˆ ˆ0.3996 1.4 0 7F
mv i j k
s
Fa F A v
0 0F A
FF A v
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
7.002 3.996 3.996 7.002 3.996
0.3996 1.4 0.7 0.3996 1.4
F
i j k i j
v
ˆˆ ˆ8.39 3.304 11.399Fv i j k
0
F Fa F A v
2ˆˆ ˆ8.39 3.304 11.399
ma i j k
s
4. No problema anterior, use = 9 rad/s e decresce
à razão de 13.5 rad/s2, encontre a velocidade e aceleração do
vértice H.
5. Sabe-se que a força de atrito estática entre o
bloquinho B e a placa será vencida e o bloco deslizará quando
sua aceleração alcançar 3 m/s2. Se a placa parte do repouso em
t = 0 s e acelera uniformemente à razão de 4 rad/s2, determine
o instante t e a velocidade angular da placa quando o bloco
começar a escorregar; r = 200 mm.
2 2
23R N T R
ma a a a
s
24 0.2 0.8T T T
ma r a a
s
2 2 2 2
23 9 0.8 2.891N T N N
ma a a a
s
2 2.8913.801
0.2
NN
a rada r
r s
0 t
3.8013.801 0 4 0.95
4t t s t s
6. O bloquinho B repousa sobre a placa horizontal que
gira em torno de um eixo fixo. A placa parte do repouso em t =
0 e acelera à razão constante de 0.5 rad/s2. Sabendo-se que r =
200 mm, determinar o módulo da aceleração total do bloco
quando: (a) t = 0 s. (b) t = 1 s e (c) t = 2 s.
2 2
R N Ta a a
20.5 0.2 0.1T T T
ma r a a
s
0 0rad s
2
00 0N Nt a r a
20.1R T R
ma a a
s
1t
0 0 0.5 1 0.5rad
ts
2 2
21 0.5 0.2 0.05N N N
radt a r a a
s
20.1T T
ma r a
s
2 2 2 2
20.05 0.1 0.118R R N T R R
ma a a a a a
s
00.12 63.43
0.05
T
N
atg tg arctg
a
2t 2
0.1T T
ma r a
s
0 0 0.5 2 1rad
ts
2 2
22 1 0.2 0.2N N N
radt a r a a
s
2 2 2 2
20.2 0.1 0.2236R R N T R R
ma a a a a a
s
00.1 126.56
0.2 2
T
N
atg tg arctg
a
B A
α
Na
Ra Ta
Na
Ra Ta
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7. A peça rígida mostrada na figura consiste de um
eixo AB soldado a uma placa retangular DEBC. O conjunto gira
uniformemente a uma velocidade angular constante de 10 rad/s,
em torno do eixo AB. Sabendo que o movimento quando visto
de B é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do
vértice E.
Pontos P x y z P(x,y,z)
A 0 0.225 0 (0,0.225,0)
B 0.5 0 0.3 (0.5,0,0.3)
C 0 0 0.3 (0,0,0.3)
D 0 0 0 (0,0,0)
E 0.5 0 0 (0.5,0,0)
0.5,0,0.3 0,0.225,0AB B A AB
0.5, 0.225,0.3AB
ˆˆ ˆ0.5 0.225 0.3AB i j k
22 20.5 0.225 0.3 0.625AB AB m
0.5 0.225 0.3 ˆˆ ˆˆ ˆ0.625 0.625 0.625
ABe e i j k
AB
ˆˆ ˆˆ 0.8 0.36 0.48e i j k
ˆˆ ˆˆ 10 0.8 0.36 0.48e i j k
ˆˆ ˆ8 3.6 4.8i j k rad s
0.5,0,0 0.5,0,0.3BE E B BE
0,0, 0.3BE
ˆˆ ˆ0 0 0.3BE i j k
Ev BE
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ8 3.6 4.8 0 0 0.3v i j k i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
8 3.6 4.8 8 3.6
0 0 0.3 0 0
i j k i j
v
ˆˆ ˆ1.08 2.4 0E
mv i j k
s
a E B E B
0 0F A
EE B v
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
8 3.6 4.8 8 3.6
1.08 2.4 0 1.08 2.4
E
i j k i j
v
ˆˆ ˆ11.52 5.184 23.088Ev i j k
0 E
E
v
a E B E B
2ˆˆ ˆ11.52 5.184 23.088E
ma i j k
s
8. Atividade 1: Encontre a velocidade e a aceleração
do ponto C considerando que a velocidade angular é 10 rad/s e
decresce a taxa de 20 rad/s2.
9. O rotor de um motor elétrico tem freqüência de 1800
rpm quando é desligado. O rotor pára após executar 625 voltas.
Supondo movimento uniformemente retardado, pedem-se:
(a) a aceleração angular do rotor.
(b) o tempo total do movimento.
18001800 30
60f rpm f Hz f Hz
0 0 0
188.5
2 2 30 60rad
fs
3926.99
2 2 625 1250 n rad
2
2 2 00
0
22
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre
8
2 2
2
4.524
60 36001.44
2 1250 2500
rad
s
0
188.50 188.5 4.524 41.67
4.524t t t t s
10. Atividade 1: Suponha que um rotor de um motor
execute 2400 rpm em 4 s quando ligado e quando o rotor é
desligado ele retorna ao repouso em 40 s. Assumindo que a
aceleração do movimento é uniforme, determine o número de
voltas dado pelo rotor:
(a) quando é ligado até atingir 2400 rpm.
(b) estando em 2400 rpm, até parar.
11. Na figura, o disco B inicialmente em repouso, é
posto em contato com o disco A que gira inicialmente no
sentido horário com freqüência 450 rpm. Após o contato, ocorre
escorregamento com as superfícies, durante 6 s e durante os
quais, os discos apresentam acelerações angulares diferentes,
mas ambas constantes. Ao término do escorregamento, o disco
A apresenta freqüência constante de 140 rpm. Pedem-se:
(a) as acelerações angulares de cada disco.
(b) a velocidade final do ponto de contato.
Determinando a freqüência angular inicial e final do
disco A:
0 0 0 0
4502 2 47.12
60A A A A
radf
s
1402 2 14.66
60f f f fA A A A
radf
s
Disco A: MCUVR: desacelera de 450 rpm a 140 rpm.
Depois fica com MCU a 140 rpm:
MCUVR:
2
14.66 47.1214.66 47.12 6 5.41
6A A A
rad
s
MCU:
14.66 0.08 1.17A f A AP A A P P
mv r v v
s
Disco B possui os movimentos:
1. Parte do repouso e acelera uniformemente por 6 s.
MCUVA.
2. Mantem movimento uniforme. MCU.
MCU: Neste segundo movimento, as velocidades
tangenciais de B e A serão iguais:
1.17A B BP P P
mv v v
s
MCUVA:
1.171.17 0.12
0.12B f f fP B B B Bv r
9.75fB
rad
s
Ou seja, parte do repouso e atinge essa velocidade
angular fB em 6 s:
0
0
f
f
B B
B B B Btt
2
9.75 01.63
6B B
rad
s
12. Na polia dupla, ligadas por fios inextensíveis,
suspensos pelos blocos A e B, os fios não escorregam sobre a
polia. O bloco A parte no instante t = 0 s, com aceleração
constante aA = 300 mm/s2 e velocidade inicial vA = 240 mm/s,
ambas de baixo para cima. Determine:
(a) o número de revoluções executadas pela polia em t
= 3 s.
(b) a velocidade e a posição de B em 3 s.
(c) a aceleração do ponto D da polia em t = 0.
Polia menor:
0.3
0.12
A
A
T
T A A A A
A
aa r
r
22.5A
rad
s
0
0 0 0 0
0.24
0.12
A
A A A AA
A
vv r
r
0 2.0A
rad
s
2
0 0
1
2A At t
2
0 0
1
2A At t
2
0 0
1
2A At t
212 3 2.5 3
2
A
120 mm B
80 mm
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
9
2.75
17.2517.25
2rad rev
Polia maior:
0 02.0A B
rad
s
22.5A B
rad
s
0 2 2.5 3BB B Bt
9.5B
rad
s
9.5 0.18 1.71B B B B B
mv r v v
s
2
0 0
1
2B Bt t
212 3 2.5 3 17.25
2rad
17.25 0.18 3.10571B B B Bs r s s m
Aceleração em D:
22.5
DT D B D A
rada r
s
2.5 0.18D DT D B Ta r a
20.45
DT
ma
s
2
0 2D AN D B D
rada r
s
2
22 0.18 0.72
D DN N
ma a
s
2 2
D D DR T Na a a
2 2
20.45 0.72 0.849
D DR R
ma a
s
0.45
0.72
D
D
T
N
atg tg
a
0.625 32arctg
13. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um
eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular =
5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s2. No instante ilustrado, o
ponto C está subindo. Pedem-se:
(a) a velocidade no ponto C.
(c) a aceleração do ponto C.
Pontos x y z (x,y,z)
A 0 0.56 0 (0,0.56,0)
B 0 0 0.8 (0,0,0.8)
C 0.56 0 0 (0.56,0,0)
0,0.56,0 0,0,0.8BA A B BA
0,0.56, 0.8BA
ˆˆ ˆ0 0.56 0.8BA i j k
22 20 0.56 0.8 0.976BA BA
0 0.56 0.8 ˆˆ ˆˆ ˆ0.976 0.976 0.976
BAe e i j k
BA
ˆˆ ˆˆ 0 0.573 0.819e i j k
Como o ponto C está subindo (horário):
ˆˆ ˆˆ 5 0 0.573 0.819e i j k
ˆˆ ˆ0 2.865 4.095i j k rad s
ˆˆ ˆˆ 4 0 0.573 0.819e i j k
2ˆˆ ˆ0 2.292 3.276i j k rad s
0.56,0,0 0,0.56,0AC C A AC
0.56, 0.56,0AC
ˆˆ ˆ0.56 0.56 0AC i j k
Cv AC
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 2.865 4.095 0.56 0.56 0Cv i j k i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 2.865 4.095 0 2.865
0.56 0.56 0 0.56 0.56
C
i j k i j
v
ˆˆ ˆ2.293 2.2932 1.599C
mv i j k
s
C Ca AC v
DTa
DNa D
DRa
z
x
y
B
A C
0.56 m
0.80 m 0.56 m
D
E
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
10
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 2.292 3.276 0 2.292
0.56 0.56 0 0.56 0.56
i j k i j
AC
ˆˆ ˆ1.8346 1.8346 1.2835AC i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 2.865 4.095 0 2.865
2.293 2.293 1.599 2.293 2.293
C
i j k i j
v
ˆˆ ˆ13.97 9.389 6.569Cv i j k
C Ca AC v
ˆˆ ˆ1.8346 1.8346 1.2835
ˆˆ ˆ 13.97 9.389 6.569
Ca i j k
i j k
2ˆˆ ˆ12.1354 11.2236 7.8525C
ma i j k
s
14. O conjunto ilustrado é constituído por um disco soldado
a um eixo vertical e gira no sentido anti-horário a partir do
repouso. A aceleração angular é constante e de valor α = 1
rad/s2. Um bloco apoia-se no disco a 0.35 m do eixo e não
escorregará em relação ao mesmo até que sua aceleração total
atinja 6.5 m/s2. Pedem-se:
(a) a aceleração 1.0 s após o início do movimento do disco.
(b) o instante que o bloco deslizará.
ˆ ˆ1j j
0 1
0ˆ ˆ ˆ1j t j t j
ˆ0.35r i
v r
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ1 0.35 1 0.35
k
v t j i v t j i
ˆ0.35v t k
T Na a
a r v
ˆˆ ˆ ˆ1 0.35 1 0.35a j i t j t k
ˆ ˆ
ˆˆ ˆ ˆ1 0.35 0.35
ik
a j i t t j k
2 2ˆ ˆˆ ˆ0.35 0.35 0.35 0.35a k t i a t i k
2 ˆˆ1 0.35 1 0.35a t i k
2ˆˆ1 0.35 0.35
ma t i k
s
2 2 2ˆ ˆ0.35 0.35 T Na k t i a a a
222 2 2 2 20.35 0.35T Na a a a t
2 46.5 0.1225 0.1225 t 442.25 0.1225 0.1225 t
44
42.12750.1225 42.1275
0.1225t t
4 343.897 4.31t t s
15. O sistema ilustrado é composto por duas rodas A e
B de raios iguais a 30 mm, que giram em torno de eixos fixos e
por um anel C, encaixado entre as mesmas. O anel tem raio
interno 72 mm e raio externo 76 mm (espessura 4 mm). Não
ocorre escorregamento entre as superfícies de contato. A roda
superior A, gira com freqüência constante f = 400 rpm no
sentido anti-horário. Pedem-se:
(a) a velocidade do anel C;
(b) a velocidade angular da roda inferior B.
(c) as acelerações dos pontos das rodas em contato
com o anel.
6.667
400400 2 41.887
60A A A A A
radf rpm f Hz f
s
ext ext
ext
AA C A A C C C A
C
rv v r r
r
3041.887 16.534
76C C
rad
s
int
int int
C
B C B B C C B C
B
rv v r r
r
7216.534 39.682
30B B
rad
s
2 2ˆ ˆ41.887 0.03A AN A A Na r j a j
y
z
B 0.35 m
A
x
j
k i
B
A
C
x
y
z
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
11
2ˆ0 52.635
A A AT R N
ma a a j
s
2 2ˆ ˆ39.682 0.03B BN B B Na r j a j
2ˆ0 47.239
B B BT R N
ma a a j
s
16. Na figura estão representaas duas engrenagens A e
B, com eixos fixos e com raios rA = 800 mm e rB = 384 mm,
respectivamente. A engrenagem A parte do repouso, acelera
uniformemente no sentido horário e atinge freqüência de
rotação 120 rpm em 5 s, que matém daí por diante. Pedem-se:
(a) a aceleração angular das engrenagens;
(b) a velocidade angular final da engrenagem B;
(c) a velocidade final do ponto pertencente à
engrenagem B, que faz contato com a engrenage, A.
(d) a aceleração do ponto citado no item anterior, nas
mesmas condições.
0
2
1200 120
60A A Af rpm f Hz
12.566
2 4fA A A
radf
s
0 12.566 0
5
fA A
A A At t
22.51A
rad
s o negativo é devido ao sentido horário.
AA B A A B B B A
B
rv v r r
r
80012.566 26.17
384B B
rad
s
ˆ26.17B
radk
s
0 26.17 0
5
fB B
B B Bt t
25.236B
rad
s
26.17 0.384 10.049B B B B B
mv r v v
s
ˆ10.049B
mv j
s
0T R NB B Ba a a
2 2
2
10.049262.98
0.384N N N
BB B B
B
v ma a a
r s
2ˆ262.98
NB
ma i
s
^
17. O sistema ilustrado é formado por uma plca de
dimensões 0.20 x 0. 40 m soldada ao eixo fixo AB; no instante
ilustrado, o sistema gira em torno do eixo fixo com velocidade
angular de 15 rad/s, que decresce a taxa de 7 rad/s2. Quando
obsevada de um ponto B, a placa gira no sentido anti-horário.
Para o instante ilustrado, pedem-se:
(a) a velocidade do ponto C;
(b) a aceleração do ponto C.
Pontos x y z (x,y,z)
A 0 0.1 0 (0,0.1,0)
B 0.4 -0.1 0.2 (0.4,-0.1,0.2)
C 0.4 0 0.2 (0.4,0,0.2)
0.4, 0.1,0.2 0,0.1,0AB B A AB
0.4, 0.2,0.2AB
ˆˆ ˆ0.4 0.2 0.2AB i j k
22 20.4 0.2 0.2 0.4899AB AB
0.4 0.2 0.2 ˆˆ ˆˆ ˆ0.4899 0.4899 0.4899
ABe e i j k
AB
ˆˆ ˆˆ 0.8165 0.4082 0.4082e i j k
Anti-horário:
ˆˆ ˆˆ 15 0.8165 0.4082 0.4082e i j k
ˆˆ ˆ12.2475 6.123 6.123i j k rad s
y
x
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
12
ˆˆ ˆˆ 7 12.2475 6.123 6.123e i j k
2ˆˆ ˆ85.7325 42.861 42.861i j k rad s
0.4,0,0.2 0,0.1,0AC C A AC
0.4, 0.1,0.2AC
ˆˆ ˆ0.4 0.1 0.2AC i j k
Cv AC
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ12.2475 6.123 6.123 0.4 0.1 0.2Cv i j k i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
12.2475 6.123 6.123 12.2475 6.123
0.4 0.1 0.2 0.4 0.1
C
i j k i j
v
ˆˆ ˆ0.61232 0 1.225C
mv i j k
s
C Ca AC v
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
85.7325 42.861 42.861 85.7325 42.861
0.4 0.1 0.2 0.4 0.1
i j k i j
AC
ˆˆ ˆ4.2861 0 8.571AC i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
12.2475 6.123 6.123 12.2475 6.123
0.61232 0 1.225 0.61232 0
C
i j k i j
v
ˆˆ ˆ7.5 18.7534 3.7492Cv i j k
C Ca AC v
ˆˆ ˆ4.2861 0 8.571
ˆˆ ˆ 7.5 18.7534 3.7492
Ca i j k
i j k
2ˆˆ ˆ3.2139 18.7534 12.3202C
ma i j k
s
18. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um
eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular
constante de = 5 rad/s. No instante considerado o ponto C
está descendo. Pedem-se:
(a) o vetor velocidade angular.
(b) a velocidade do ponto C na forma vetorial.
(c) a aceleração do ponto C na forma vetorial.
Pontos x y z (x,y,z)
A 0 0.203 0 (0,0.203,0)
B 0 0 0.152 (0,0,0.152)
C 0.178 0.203 0 (0.178,0.203,0)
D 0.178 0 0 (0.178,0,0)
0,0.203,0 0,0,0.152BA A B BA
0,0.203, 0.152BA
ˆˆ ˆ0 0.203 0.152BA i j k
22 20 0.203 0.152 0.254BA BA
0 0.203 0.152 ˆˆ ˆˆ ˆ0.254 0.254 0.254
BAe e i j k
BA
ˆˆ ˆˆ 0 0.8 0.599e i j k
ˆˆ ˆˆ 5 0 0.8 0.599e i j k
ˆˆ ˆ0 4 3i j k rad s
ˆ 0e
0.178,0.203,0 0,0.203,0AC C A AC
0.178,0,0AC
ˆˆ ˆ0.178 0 0AD i j k
v AD
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 4 3 0.178 0 0v i j k i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4 3 0 4
0.178 0 0 0.178 0
i j k i j
v
ˆˆ ˆ0 0.53 0.71m
v i j ks
Ca C A v
0C A
z
x
y
B
A C
0.203 m
0.152 m 0.178 m
D
E
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
13
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4.0 3 0 4.0
0 0.53 0.71 0 0.53
C
i j k i j
v
ˆˆ ˆ4.43 0 0Cv i j k
C Ca C A v
ˆˆ ˆ0 0 0
ˆˆ ˆ 4.43 0 0
a i j k
i j k
2ˆ4.43
ma i
s
19. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um
eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular
constante de = 5 rad/s. No instante ilustrado, o ponto C está
descendo. Pedem-se:
(a) o vetor velovidade angular.
(b) a velocidade do ponto E na forma vetorial.
(c) a aceleração do ponto E na forma vetorial.
Pontos x y z (x,y,z)
A 0 0.5 0 (0,0.5,0)
B 0 0 0.5 (0,0,0.5)
E 0.4 0.1 0 (0.4,0.1,0)
0,0.5,0 0,0,0.5BA A B BA
0,0.5, 0.5BA
ˆˆ ˆ0 0.5 0.5BA i j k
22 20 0.5 0.5 0.707BA BA
0 0.5 0.5 ˆˆ ˆˆ ˆ0.707 0.707 0.707
BAe e i j k
BA
ˆˆ ˆˆ 0 0.707 0.707e i j k
ˆˆ ˆˆ 5 0 0.707 0.707e i j k
ˆˆ ˆ0 3.535 3.535i j k rad s
ˆ 0e
0.4,0.1,0 0,0.5,0AE E A AE
0.4, 0.4,0AC
ˆˆ ˆ0.4 0.4 0AE i j k
Ev AE
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 3.535 3.535 0.4 0.4 0Ev i j k i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 3.535 3.535 0 3.535
0.4 0.4 0 0.4 0.4
E
i j k i j
v
ˆˆ ˆ1.414 1.414 1.414E
mv i j k
s
E Ea E A v
0E A
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 3.535 3.535 0 3.535
1.414 1.414 1.414 1.414 1.414
E
i j k i j
v
ˆˆ ˆ10 5 5Cv i j k
E Ea E A v
ˆˆ ˆ0 0 0
ˆˆ ˆ 10 5 5
Ea i j k
i j k
2ˆˆ ˆ10 5 5E
ma i j k
s
20. Uma pedra de esmeril, de formato cilíndrico, com
raio R = 0.45 m, gira com freqüência constante f0 = 1800 rpm;
quando se desliga o motor elétrico do esmeril, a pedra gasta 10
s até parar; considerando movimento uniformemente variado,
pedem-se:
(a) a aceleração angular α da pedra;
(b) a velocidade de um ponto P da borda da pedra
quando a freqüência é 1800 rpm;
(c) a aceleração de um ponto P da borda da pedra,
quando a freqüência é 1800 rpm.
z
x
y
B
A C
0.4 m
0.1 m
D G
0.1 m
0.4 m
0.2m
0.2m
D E
F
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
14
30
0 0
18001800 2 188.5
60
radf rpm f Hz f
s
0 0 188.5
10t t
218.85
rad
s
188.5 0.45 84.82P P P
mv r v v
s
2 2
2188.5 0.45 15989.1
N N NP P P
ma r a a
s
0 é cteTPa
R N T R NP P P P Pa a a a a
21. Dois discos de raios RB = 45 mm e RA = 20 mm
estão em contato sem escorregar.
O disco A(inferior) parte do repouso e acelera de forma
uniforme com aceleração αA = 3 rad/s2. Para o instante em que
a velocidade angular do disco A atinge valor A = 20 rad/s,
pedem-se:
(a) a aceleração angular do disco B.
(b) a velocidade angular do disco B.
(c) a velocidade de um ponto na borda do disco B.
(d) a aceleração de um ponto na borda do disco B.
Disco A: MCUVA:
0A A A t
6.67
2020 0 3
3t t s
Disco B:
AA B A A B B B A
B
Rv v R R
R
2020 8.89
45B B
rad
s
0B B B t
2
1.33
8.898.89 0 6.67
6.67B B
rad
s
20 0.02 0.4A A A A A B
mv R v v v
s
21.33 0.045 0.05985
T T TB B B B B
ma R a a
s
2 2
2
0.43.55
0.045N N N
BB B B
B
v ma a a
R s
2 2
R N T R N TB B B B B Ba a a a a a
2 2
23.55 0.05985 3.56
R RB B
ma a
s
22. O disco de raio R = 80 mm parte do repouso e
acelera de maneira uniforme, atingindo a velocidade angular
= 30 rad/s em 10 voltas. Pedem-se:
(a) a aceleração angular do disco;
(b) o tempo gasto nessas 10 voltas iniciais.
Disco: MCUVA:
2
0
1
2t t
62.832
2 10 20 rad
2 2 2 2
0 2 30 0 2 62.831
2
2
307.16
2 62.831
rad
s
0 30 0 7.16t t
304.19
7.16t t s
22. A haste ABCD gira apoiada nas articulações A e D;
no instante ilustrado, a velocidade angular da barra é 95 rad/s,
que decresce à taxa de 380 rad/s2. E o ponto C está subindo.
Pedem-se:
(a) a velocidade do ponto B, para o instante ilustrado;
(b) a aceleração do ponto B, no instante ilustrado.
z
y
R
x
A
PB
B
PA
80 mm
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
15
Pontos x y z (x,y,z)
A 0 0.2 0.12 (0,0.2,0.12)
B 0.3 0.2 0.12 (0.3,0.2,0.12)
D 0.3 0 0 (0.3,0,0)
0,0.2,0.12 0.3,0,0DA A D DA
0.3,0.2,0.12DA
ˆˆ ˆ0.3 0.2 0.12DA i j k
2 2 20.3 0.2 0.12 0.38DA DA
0.3 0.2 0.12 ˆˆ ˆˆ ˆ0.38 0.38 0.38
DAe e i j k
DA
ˆˆ ˆˆ 0.789 0.5263 0.3158e i j k
Anti-horário:
ˆˆ ˆˆ 95 0.789 0.5263 0.3158e i j k
ˆˆ ˆ75 50 30i j k rad s
ˆˆ ˆˆ 380 0.789 0.5263 0.3158e i j k
2ˆˆ ˆ300 200 120i j k rad s
0.3,0.2,0.12 0,0.2,0.12AB B A AB
0.3,0,0AB
ˆˆ ˆ0.3 0 0AB i j k
Bv AB
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ75 50 30 0.3 0 0Bv i j k i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
75 50 30 75 50
0.3 0 0 0.3 0
B
i j k i j
v
ˆˆ ˆ0 9 15B
mv i j k
s
B Ba AB v
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
28500 19000 11400 28500 19000
0.3 0 0 0.3 0
i j k i j
AB
ˆˆ ˆ0 3420 5700AB i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
75 50 30 75 50
0 9 15 0 9
B
i j k i j
v
ˆˆ ˆ1020 1125 675Bv i j k
B Ba AB v
ˆˆ ˆ0 3420 5700
ˆˆ ˆ 1020 1125 675
Ba i j k
i j k
2ˆˆ ˆ1020 4545 5025B
ma i j k
s
23. O sistema de engrenagens ilustrado, deve
suspender o bloco alçando-o por 6.10 m. A engrenagem A parte
do repouso e, mantendo aceleração angular constante, atinge a
freqüência de 120 rpm em 5 s, mantendo-se constante após
atingí-la. Pedem-se:
(a) o número de rotações da engrenagem;
(b) o tempo gasto na operação.
Engrenagem A:
0
1200 2 2
60A A Af
A
D z
x
300 mm
200 mm
120 mm C
B
76.2
381
76.2
457
Em mm
A B
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
16
12.566A
rad
s
2
12.5662.513
5A A A
rad
t s
AA B A A B B B A
B
rv v r r
r
0.076212.566 2.095
0.457B B
rad
s
N o MUV o de B percorrido em 5s será: 2 2
0 2B B
2 2 2 2
0 2.095 0
2 2 0.419B
05.2375
BB irad s r
0 00.381 5.2375 2B Bs s m
6.1
0.381i
i
BB B B B B
B
ss r
r
16.01B rad
2
2.0950.419
5B B B
rad
t s
Faltam: 0
6.1 6.1 2 4.1Bs m
Nesses 4.1 m a engrenagem B percorre em velocidade
angular constante; o tempo gasto será de:
4.12.095 0.381
iB B B
sv r
t t
4.15.1365
2.095 0.381t t s
A polia A gastará 5 s em MUVA e 5.1365 s em MU:
12.566A
rad
s
12.566 5.1365A A At
64.546MUA rad
Em MUV:
0
21
2MUVA A At t
210 2.513 5 31.4125
2MUV MUVA At rad
64.546 31.4125MU MUVA A
95.9585MU MUVA A rad
95.9585
2 2
MU MUVA Arev
15.272
MU MUVA Arev
5 5.1365T MUV MUt t t 10.1365Tt
24. A polia ilustrada na figura possui raio R = 0.32 m
e é acionada por um motor elétrico, com o intuito de suspender
o bloco A. Quando a polia apresenta freqüência de rotação f0 =
120 rpm, o motor é desligado. Mesmo assim, o bloco ainda sobe
h = 0.80 , antes de parar. Pedem-se:
(a) a aceleração angular da polia;
(b) o tempo gasto até parar.
0 0 0
1202 2 12.566
60
radf
s
0.82.5
0.32
hh R rad
R
2 22 2 0
0 22
FF
2 2
2
0 12.56631.58
2 2.5
rad
s
0 0 12.566 31.58t t
12.5660.397
31.58t t s
A R
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
17
25. A figura figura ilustra uma correia que move-se
entre duas polias A e B, de raios RA = 0.06 m e RB = 0.02 m,
respectivamente, sem que ocorra escorregamento entre as
superfícies em contato. A velocidade da correia aumenta
uniformemente, desde v1 = 0.8 m/s até v2 = 2.4 m/s, em 5 s.
Pedem-se: (a) a aceleração angular de cada polia; (b) o número
de voltas efetuadas por cada uma das polias, nos 5 s.
2.4 0.80.32
5c c c
v ma a a
t s
Ac A A A A A
A
aa a a R
R
2
0.325.33
0.06A A
rad
s
Bc B B B B B
B
aa a a R
R
2
0.3216
0.02B B
rad
s
BB B B B
B
vv R
R
2.4120
0.02B B
rad
s
0
0 0 0
B
B B B B
B
vv R
R
0 0
0.840
0.02B B
rad
s
0
0
2 2
2 2 22
B B
B B B B B
B
2 2120 40400
2 16B B rad
63.7
400
2B rev
AA A A A
A
vv R
R
2.440
0.06A A
rad
s
0
0 0 0
A
A A A A
A
vv R
R
0 0
0.813.33
0.06A A
rad
s
0
0
2 2
2 2 22
A A
A A A A A
A
2 240 13.33133.42
2 5.33A A rad
21.2
133.42
2A rev
26. Uma polia dupla, de raios R1 = 1.5 m e R2 = 0.8 m,
gira sob ação de dois blocos A e B, conforme ilustrado. O bloco
A apresenta aceleração aA = 4 m/s², com velocidade inicial (em
t = 0 s), vA0 = 5 m/s. Considerando o intervalo de tempo de 2 s,
pedem-se:
(a) o número de voltas da polia;
(b) as correspondentes velocidade e percurso do bloco
B;
(c) a aceleração centrípeta de um ponto da borda mais
externa da polia (R1 = 1.5 m).
05 4 2 13A A A A A
mv v a t v v
s
1
1
AA A A
vv R
R
138.667
1.5A A
rad
s
0
0 0 01
1
A
A A A
vv R
R
v
v
RA
RB
R1 R2
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
18
0 0
53.33
1.5A A
rad
s
1
1
AA A A
aa R
R
2
42.67
1.5A A
rad
s
0
0
2 2
2 2 22
A A
A A A A A
A
2 28.667 3.3311.99
2 2.67A A rad
11.991.91
2A Arev rev
2 8.667 0.8B B Bv R v
6.93B
mv
s
0 0 0 02 2B B B Bv R v R
0 03.33 0.8 2.664B B
mv v
s
2 2.67 0.8B B Ba R a
22.136B
ma
s
0
0
2 2
2 2 22
B B
B B B B B
B
v vv v a s s
a
2 26.93 2.6649.58
2 2.136B Bs s m
0
2 2
2
1
516.67
1.5A A A
A
cp cp cp
v ma a a
R s
27. As engrenagens ilustradas A, B e C, tem
respectivamente raios RA = 0.24 m, RB = 0.16 m e RC = 0.32 m
e apresentam eixos fixos. A engrenagem A gira com velocidade
angular constante A = 5 rad/s, no sentido horário. Pedem-se:
(a) as velocidades angulares das engrenagens B e C;
(b) a aceleração de um ponto periférico da engrenagem
A.
27.50 3.75 ; 4.5B C
rad rad ma
s s s
Exercícios 1. Uma polia está conectada por cabos inextensíveis
conforme mostra a figura. O movimento da polia é controlado
pelo cabo C o qual tem uma aceleração constante de 9 in/s2 e
uma velocidade inicial de 12 in/s, ambas para a
direita.Determine:
(a) o número de revoluções executados pela polia em
2 s.
(b) a velocidade e a mudança na posição do corpo B
após 2s.
(c) a aceleração do ponto D da polia interior no
instante t = 0s.
Solução:
0 0 0 012 3 4Dv r rad s
29 3 3tDa r rad s
1
14 2.23 rev2
revrad
rad
0 4 3 2 10t rad s
2 2
0
1 14 2 3 2 14
2 2t t rad
5 10 50B B Bv r v v in s
5 14 70B B By r y y in
29D Cta a in s
2 2 2
0 3 4 48D D D Dn n na r a a in s
48 48tan arctan 79.4
9 9
2
4879.4 48 48.8
79.4D D D
ina sen a a
sen s
RB
RA
RC
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
19
2. O movimento de um corpo é dado por:
3 29 15t t t t SI .
Determine a posição angular, a velocidade angular e a
aceleração angular nos instantes:
(a) t = 0 s (b) t =3s.
3. No problema anterior, determine a posição angular
e a aceleração nos instantes em que a velocidade angular se
anula.
4. A cinta conecta as rodas do auto. O eixo B possui
aceleração angular constante de 120 rad/s2 em sentido anti-
horário, Ela está inicialmente em repouso, Determine a
aceleração da cinta no ponto C, quando:
(a) t = 0.5 s (b) t = 2s.
5. Uma série de componentes pequenos estão
sendo movidos por um transportador. O cinto passa por
uma polia tensora de 6 in de raio. No instante mostrado,
a velocidade do ponto A é 15 in/s para a esquerda e sua
aceleração vale 9 in/s2 para a direita.
Determinar:
(a) a velocidade angular e aceleração angular
da polia,
(b) a aceleração total da máquina
componente em B.
152.5
6
BB B B B
v radv r
r s
2
91.5
6
B
B
T
T
a rada r
r s
2 2
2
1537.5
6B B B
BN N N
v ina a a
r s
2 2
B BB N Ta a a
2 237.5 9Ba
238.6B
ina
s
37.5tan tan
9
B
B
N
T
a
a
037.5arctan 76.5
9
6. A vara dobrada ABCDE gira sobre uma linha que
une os pontos A e E com uma velocidade angular constante de
9 rad/s. Sabendo que a rotação observada do ponto E é no
sentido horário, determine a velocidade e a aceleração de C.
Obs.:
ˆAE
AC CE AE eAE
e
AC AC AE CE
EC CE
0 pois AE
AC AE EC AE EC
AC EC
Logo, tanto faz escolher o ponto A ou E!!!
A (0,0.4,0.2); C(0,0.15,0); E(0.4,0,0)
ACr C A
(0,0.15,0) (0,0.4,0.2)ACr
ˆˆ ˆ0 0.25 0.2ACr i j k
ˆEA
EAn
EA
0,0.4,0.2 0.4,0,0EA A E EA
ˆˆ ˆ0.4 0.4 0.2AE i j k
2 2 20.4 0.4 0.2 0.6AE AE
0.4 0.4 0.2 ˆˆ ˆˆ0.6 0.6 0.6
AEn i j k
ˆEAn
0.4 0.4 0.2 ˆˆ ˆ90.6 0.6 0.6
i j k
B BTa
BNa
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
20
ˆˆ ˆ6 6 3i j k
Cv r
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ6 6 3 0 0.25 0.2Cv i j k i j k
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
6 6 3 6 6
0 0.25 0.2 0 0.25
C
i j k i j
v
ˆˆ ˆ6 0.2 0.25 3 1.2 6 0.25Cv i j k
ˆˆ ˆ0.45 1.2 1.5Cv i j k m s
C Ca v
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
6 6 3 6 6
0.45 1.2 1.5 0.45 1.2
C
i j k i j
a
2ˆˆ ˆ12.6 7.65 9.9Ca i j k m s
7. A aceleração angular de um disco oscilando é
definida pela relação:
k
Determine:
(a) o valor de k para o qual = 8 rad/s quando = 0 e
= 4 rad quando = 0.
(b) a velocidade angular do disco quando = 3 rad.
(a) 4 s-2 (b) 5.29 rad/s
8. Resolva o problema 2 encontrando a posição
angular e a aceleração angular quando a velocidade angular for
nula.
9. No problema 6, determine a velocidade e a
aceleração do ponto B. Assuma que a velocidade angular é 9
rad/s e aumenta a uma taxa de 45 rad/s2.
10. A Terra faz uma volta completa a cada 23h e 56
min. Sabendo que o seu raio é 3960 mi, determine a velocidade
linear e a aceleração linear em um ponto sobre o equador.
11. O anel C possui raio interno de 55 mm e raio
externo de 60 mm e está posicionado entre duas rodas A e B,
cada uma de raio externo de 24 mm. Sabendo que a roda A gira
com freqüência 300 rpm e que não ocorre deslizamento,
determine:
(a) a velocidade angular do anel C e da roda B.
(b) a aceleração dos pontos A e B que estão em contato
com C.
A A Av r ext extA C C Cv v r
2 2ext extA A C C A A C Cr r f r f r
300 24120 rpm
60ext
A AC C C
C
f rf f f
r
int int2 2B B C C B B C Cr r f r f r
int120 55
275 rpm24
C C
B B B
B
f rf f f
r
22 A
A A A A
A
va r a
r
3002 2 0.024
60A A A Av f r v
0.754A
mv
s
2
2
0.75423.7
0.024A A
ma a
s
2752 2 0.024
60B B B Bv f r v
0.6911B
mv
s
22 B
B B B B
B
va r a
r
2
2
0.691119.9
0.024B B
ma a
s
12. Um cilindro A está se movendo para baixo a uma
velocidade de 9 ft/s quando um breque é aplicado
repentinamente no tambor. Sabendo que o cilindro se move 18
ft para baixo antes de parar, e, assumindo movimento com
aceleração uniforme, determine:
(a) a aceleração angular da roda.
(b) o tempo que leva para o cilindro parar.
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
21
912
0.75
AA A A A A A
A
v radv r
r s
2 2
0 2
1824 rad
0.75
ss r
r
22 2
2
120 12 2 24 3
48
rad
s
2
0 0
1
2t t
2124 0 12 3
2t t
2 23 24 48 0 8 16 0t t t t
2 4 8 64 644
2 2
b b a ct t t s
a
13. Uma polia e dois pesos são conectados por uma
corda inextensível. O peso A tem uma aceleração constante de
300 mm/s2 e uma velocidade inicial de 240 mm/s, ambos
dirigidos para cima. Determine:
(a) o número de revoluçõe executados pela polia em 3 s.
(b) a velocidade e a posição do peso B após 3s.
(c) a aceleração do ponto D na borda da polia, em t = 0s.
14. Uma chapa circular está inicialmente em repouso.
Sabendo que r = 200 mm e que a placa possui aceleração
angular constante de 0.3 rad/s2, determine a magnitude da
aceleração total no ponto B quando:
(a) t = 0, (b) t = 2 s, (c) t = 4 s.
15. O anel B tem um raio interno r2 e externo r3. A
barra A de raio r1 gira com velocidade angular constante A.
Não há escorregamento entre as superfícies. Determine as
relações entre os raios r1, r2, r3 e A para: (a) a velocidade
angular do anel B; (b) a aceleração dos pontos entre a barra A e
o anel B que estão em contato.
16. Um disco circular de raio r = 0.16 m gira em
relação a um eixo fixo O com velocidade angular = 2 rad/s e
aceleração angular = 3 rad/s2 com sentidos indicados na
figura. Determine os valores instantâneos da velocidade e da
aceleração no ponto A da figura.
ˆ ˆcosAr OA r i r sen j
21cos 1 cos
4sen
21
14
sen
150.968
4sen sen
ˆ ˆ0.25 0.968Ar r i r j
ˆ ˆ0.16 0.25 0.16 0.968Ar i j
ˆ ˆ0.04 0.15488Ar i j
ˆ ˆ2k k
A Av r
A
O x
y
4
r
r
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre
22
ˆ ˆ ˆ2 0.04 0.15488Av k i j
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ2 0.04 2 0.15488A
j i
v k i k j
ˆ ˆ ˆ ˆ0.08 0.30976 0.30976 0.08A Av j i v i j
ˆ ˆ3k k
A A Aa r v
ˆ ˆ ˆ3 0.04 0.15488Aa k i j
ˆ ˆ ˆ2 0.30976 0.08k i j
ˆ ˆˆ ˆ0.12 0.4646Aa k i k j
ˆ ˆˆ ˆ0.6194 0.16k i k j ˆ ˆ0.12 0.4646Aa j i
ˆ ˆ0.6194 0.16j i
ˆ ˆ0.12 0.4646Aa j i
ˆ ˆ0.6194 0.16j i ˆ ˆ0.3046 0.739Aa i j
17. Para testar a resistência de um adesivo, é colocado
um bloco de massa m = 0.3 kg em um disco que gira a partir do
repouso em t = 0 s com aceleração angular uniforme = 2
rad/s2. Se a fita se solta depois de 3 s do movimento do disco,
quantas voltas o disco execuitará?
18. A correia acoplada ao conjunto de polias faz girar
o sistema aumentando sua velocidade angular. Num certo
instante, a velocidade da correia é 1.5 m/s e a aceleração total
do ponto A é 75 m/s2.Para esse instante, determine:
(a) a velocidade angular e a aceleração angular da
polia B. (b) a aceleração total do ponto B.
(c) a aceleração do ponto C.
19. O ponto A da polia está na posição angular = 0
em t = 0s. O disco tem velocidade angular inicial 0 = 0.1 rad/s
em t = 0 e é acelerado com uma aceleração angular constante
= 2 rad/s2. Determine a velocidade e a aceleração do ponto A,
no instante t = 1 s, em função dos vetores unitários i e j .
20. Uma fita magnética utilizada para gravar dados em
um computador consiste no sistema indicado.
Se a velocidade v da fita é constante e a magnitude da
aceleração do ponto A é 4/3 a aceleração do ponto B, determine
o raio de A.
21. As características de um sistema de engrenagens é
ilustrado a seguir:
A engrenagem B está girando no sentido horário, com
300 rev/min, quando um torque é aplicado na engrenagem A,
em t = 2 s, forçando-a a girar no sentido anti-horário com uma
aceleração angular que varia com o tempo conforme o gráfico
indicado, durante 4 s. Determine a velocidade da polia B,
quando t = 6 s.
23. A potência de um motor elétrico quando ligado o
faz girar a 3300 rpm em 6 s, e quando é desligado ele retorna
ao repouso em 80 s. Assumindo aceleração uniforme, determine
o número de revoluções dado pelo motor quando:
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
23
(a) é ligado e atinge a máxima rotação;
(b) é desligado a partir da máxima rotação até atingir
o repouso.
24. Assumindo que a Terra gira em torno de seu eixo
em 23h e 56 min e seu raio é aproximadamente 6400 km,
determine a velocidade de rotação sobre um ponto da superfície
do Equador. E num ponto na latitude de 400 N?
25. No sistema de polias abaixo, o disco B está em
repouso quando é colocado em contato com o disco A que está
girando no sentido horário a 450 rpm. Após 6 s de
deslizamento, cada disco tem uma aceleração angular constante
e o disco A possui uma freqüência de 140 rpm no sentido
horário. Determine a aceleração angular de cada disco durante
o período de deslizamento.
26. Devido ao parafuso em E, o atuador fornece
movimento linear para o braço em F quando o motor gira a
engrenagem em A. Se as engrenagens têm os raios listados na
figura e o parafuso em E tem um passo de p = 2 mm, determine
a velocidade em F quando o motor gira a 20A rad s .
Sugestão: O passo do parafuso indica a quantidade de avanço
do parafuso para cada volta completa.
1 rad/s 0.318 mm/s
27. O cordão de diâmetro d é enrolado em torno
do tambor afunilado que tem as dimensões ilustradas. Se
o tambor está girando a uma taxa constante de ,
determinar a aceleração para cima do bloco. Negligenciar
o pequeno deslocamento horizontal do bloco.
r2 – r1
r - r1 r2
r r1
x L
1
2 1
r r x
r r L
1 2 1
xr r r r
L
2x n d x d
1
2
dx dd
dt dt
1 2 1
xr r r r
L
2 1
1dr dxr r
dt L dt
dv d drv r r
dt dt dt
0dv dr
rdt dt
dv dr
dt dt
2 1
1dv dxr r
dt L dt
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
24
2 1
1 1
2a
dv dr r d
dt L dt
22 1
2
r ra d
L
28. O mecanismo é utilizado para converter o
movimento circular de constante da haste AB no movimento
de translação da haste CD na fenda vertical anexa. Determine a
velocidade e aceleração de CD para qualquer ângulo de AB.
cosx l
dx dl sen
dt dt
v l sen
dv d da l cos l sen
dt dt dt
2a l cos
29. O motor gira a engrenagem A de modo que
sua freqüência aumenta uniformemente de zero a 3000
rev/min depois que o eixo gira 200 rev. Determine a
velocidade angular da engrenagem D quando t = 3 s. Os
raios das engrenagens A, B, C e D são:
rA = 25 mm, rB = 100 mm, rC = 40 mm e rD = 100 mm,
respectivamente.
Ponto P de contato de A e B:
P A A B Bv r r
2 2A A B B A A B Bf r f r f r f r
253000 750
100
AB A B B
B
rf f f f rpm
r
81.68
13
7502 26
60B B B B
radf Hz f
s
Eixo do motor é o mesmo da enfrenagem A: n = 200
1256.64
2 2 200 400A A An rad
0
0
2 2
2 2 22
A A
A A A A A
A
314.2
30002 2 100
60A A A A
radf
s
2 2
2
314.2 039.28
2 1256.64A A
rad
s
PT A A B Ba r r
2
2539.28 9.82
100
AB A B B
B
r rad
r s
Mesmo eixo C e B:
Em t = 3s:
00 9.82 3B B B Bt
29.46B
rad
s
29.46B C
rad
s
29.82C B
rad
s
Ponto P´ de contato de C e D:
P D D C Cv r r
4029.46 11.784
100
CD C D D
D
r rad
r s
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori
Notas de aula 01 – 1° Bimestre
25
30. A manivela AB está girando a uma velocidade
angular constante de = 150 rad/s. Determine a velocidade do
pistão P no instante em que = 30 °.
220.2 cos 0.75 0.2x sen
2 20.2 cos 0.75 0.04x sen
1
2 2 20.2 cos 0.75 0.04x sen
1
12 2 2
10.2 0.75 0.04 0.04 2 cos
2
dx d dsen sen sen
dt dt dt
1
2 2 2
0.08 cos1
0.22
0.75 0.04
dsen
dx d dtsendt dt
sen
2 2
cos0.2 0.04
0.75 0.04
dx sensen
dt sen
Pois d
dt
; Para = 300 e = 150 rad/s:
0 00
2 2 0
30 cos30 1500.2 30 150 0.04
0.75 0.04 30
dx sensen
dt sen
64.951 2.59815 0.04 15
0.74330.5625 0.01
dx
dt
15 3.4952 18.49dx ft
vdt s
31. O tambor do freio está preso a um volante
maior que não é mostrado. O movimento do tambor de
freio é definido pela relação θ(t) = 36t-1.6t2, onde θ é
expresso em radianos e t em segundos. Determine:
(a) a velocidade angular em t = 2 s,
(b) o número de revoluções executadas pelo
tambor do freio antes de parar.
Solução:
(a)
236 1.6d d
t t t tdt dt
36 3.2t t
2 36 3.2 2t
2 29.6 rads
t
(b) Quando parar: 0t
36
36 3.2 03.2
t t t
11.25t s
236 1.6t t t
211.25 36 11.25 1.6 11.25 11.25 202.5t t rad
202.5rad
202.5
2 2n n
32.2n
32. Um motorista está em seu carro com a porta
do lado do passageiro bem aberta (θ = 00). À medida que
o carro avança com aceleração constante, a aceleração
angular da porta é α = 2.5 cos θ, onde α está em rad/s2.
Determine a velocidade angular da porta quando ela é
fechada (θ = 90 °).
Solução:
d
tdt
d d d
td dt d
2.5 cos 2.5 cosd
d dd
0
2
0
2.5 cosd d
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre
26
0
0
2
20
0
2.52
sen
2
0 2.5 2.5 02 2
sen sen
2
2.5 1 2.5 02
222.5 5 5
2
2.24rad
s ⭮
33. A montagem mostrada gira em torno da haste
AC. No instante mostrado, a montagem possui uma
velocidade angular de 5 rad/s que aumenta com uma
aceleração angular de 25 rad/s2. Sabendo que o
componente y da velocidade do canto D é negativo neste
instante no tempo, determine a velocidade e a aceleração
do canto E.
Solução:
P x(m) y(m) z(m)
A 0 0.13 0
B 0.24 0.2 0
E 0.24 0 0.1
0.24;0.2;0 0;0.13;0AB B A
0.24 0.07 0AB i j k
2 2 20.24 0.07 0AB
0.25AB
ABe
AB
0.24 0.07 0
0.25 0.25 0.25e i j k
0.96 0.28 0e i j k
e
5 0.96 0.28 0i j k
4.8 1.4 0rad
i j ks
e
25 0.96 0.28 0i j k
224 7 0
radi j k
s
0.24;0;0.1 0.24;0.2;0Er E B
0 0.2 0.1Er i j k
E Ev r
4.8 1.4 0 0 0.2 0.1Ev i j k i j k
4.8 1.4 0
0 0.2 0.1
E
i j k
v
4.8 1.4 0 4.8 1.4
0 0.2 0.1 0 0.2
E
i j k i j
v
1.4 0.1 0 0.2 0 0 0.1 4.8 4.8 0.2 0 1.4Ev i j k
0.14 0.48 0.96 mE s
v i j k
E E Ea r v
E T Na a a
T Ea r
24 7 0 0 0.2 0.1Ta i j k i j k
24 7 0
0 0.2 0.1
T
i j k
a
24 7 0 24 7
0 0.2 0.1 0 0.2
T
i j k i j
a
7 0.1 0 0.2 0 0 0.1 24 24 0.2 0 7Ta i j k
20.7 2.4 4.8 mT s
a i j k
N Ea v
4.8 1.4 0 0.14 0.48 0.96Na i j k i j k
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre
27
4.8 1.4 0
0.14 0.48 0.96
N
i j k
a
4.8 1.4 0 4.8 1.4
0.14 0.48 0.96 0.14 0.48
N
i j k i j
a
1.4 0.96 0 0.48 0 0.14 0.96 4.8Na i j
4.8 0.48 0.14 1.4 k
1.344 0 4.608Na i j
2.304 0.196 k
21.344 4.608 2.5 mN s
a i j k
E T Na a a
0.7 2.4 4.8
1.344 4.608 2.5
Ea i j k
i j k
20.644 2.208 7.3 mE s
a i j k
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre
28
Movimento Plano Geral
Um movimento plano geral pode ser considerado
como a soma de uma translação e de uma rotação:
Movimento geral = Translação + Rotação
Movimento de um corpo decomposto em uma
translação e uma rotação:
Velocidade absoluta e relativa:
/B A B Av v v
:Bv velocidade absoluta do ponto B.
:Av translação da placa com A.
/ :B Av velocidade relativa associada à rotação da placa
ao redor do ponto A, medida em relação a eixos com origem em
A e de orientações fixas. Denotando por :
/ :B Ar vetor de posição de B em relação a A:
/B Ar B A
k : velocidade angular em relação aos eixos de
orientações fixas.
/ /ˆ
B A B Av k r
/ˆ
B A B Av v k r
Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A.
Observe que:
//
B AB A B A
vv v tg v l
l
/
/
coscos
A AB A
B A
v vv
v
cos
Av
l
Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como
pono de referência. Decompondo-se o movimento dado em
uma translação com B e uma rotação ao redor de B (vide figura),
teremos:
Movimento plano = Translação com B + Rotação em torno de B.
/A B A Bv v v
Observe que:
/ / / /A B B A A B B Av v v v l
O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de
referência escolhido e deverá ser cuidadosamente determinada
a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que
a velocidade angular da barra em sua rotação ao redor de B é
a mesma que em sua rotação ao redor de A. Em ambos os casos
é medida pela derivada temporal do ângulo :
d
dt
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre
29
Este resultado é geral; assim, sempre a velocidade
angular de um corpo rígido animado de movimento plano
é independente do ponto de referência.
A maior parte dos mecanismos mecânicos constam
não de um, mas de vários elementos em movimento. Quando
tais elementos se encontram articulados, pode-se estudá-los
considerando cada um como um corpo rígido, sem, contudo,
esquecer que os pontos de articulação de dois deles devem ter a
mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser
feito quando se trata de engrenagens, já que os dentes em
constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto, se
os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento
relativo entre si, deve-se levar em consideraçãoa velocidade
relativa das partes em contato.
Exemplos resolvidos
1. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre
a cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro
A é de 1.2 m/s para a direita. Determinar:
(a) a velocidade angular da engrenagem,
(b) as velocidades da cremalheira superior R e do
ponto D da engrenagem.
Como a engrenagem rola sobre a cremalheira inferior,
seu centro A percorrerá uma distância igualao comprimento da
circunferência exterior, 2r1, para cada rotação completa da
engrenagem. Como 1 ver = 2 rade, quando A rola para a
direita, (xA > 0), a engrenagem gira em sentido horário ( < 0),
escrevemos:
1Ax r
1 1A
A
dx dr v r
dt dt
1
1.28
0.150
Av rad
r s
ˆ ˆ8rad
k ks
O rolamento é decomposto em dois movimentos: um
de translação do centro A e outro de rotação ao redor deste
centro. Na translação, todos os pontos da engrenagem
deslocam-se com a mesma velocidade va. Na rotaça, cada ponto
P da engrenagem se desloca ao redor de A com velocidade:
P APv r APr P A
Aqui PAr é o vetor de posição de P em relação a A.
Assim, a velocidade da cremalheira superior é a
velocidade do ponto B:
R B B A ABv v v v v
B A ABv v r
ˆˆ ˆ1.2 8 0.1Bv i k j
ˆ
ˆˆ ˆ1.2 0.8
i
Bv i k j
ˆ ˆ ˆ1.2 0.8 2.0B B
mv i i v i
s
Velocidade do ponto D:
D A ADv v r
ˆˆ ˆ1.2 8 0.15Dv i k i
ˆ
ˆˆ ˆ1.2 8 0.15
j
Dv i k i
ˆ ˆ1.2 1.2D
mv i j
s
2 21.2 1.2 2.88 1.7D D
mv v
s
tan 1 45
ˆ ˆ1.2 1.2 1.7 45D D
m mv i j v
s s
2. No sistema esboçado, a manivela AB possui uma
velocidade angular constante de 2000 rpm (freqüência f) no
sentido horário. Determinar para a posição da manivela
indicada na figura:
(a) a velocidade angular da biela BD.
(b) a velocidade do pistão P.
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre
30
1 1002000 2000
60 3f rpm f Hz f Hz
2002 209.45
3
rad radf
s s
0.0762 209.45AB AB ABv r v
015.95 50AB
mv
s
Movimento da Biela BD:
Aplicando a lei dos senos:
40 400.0762
0.0762 0.203 0.203
sen sen sensen
0.241 0.241 13.96sen arcsen
Observe que a velocidade vD do ponto D, onde a biela
se une ao pistão, deve ser horizontal. Decompondo o
movimento de BD:
Movimento plano de BD= Translação + rotação
D B DBv v v
Fazendo o diagrama vetorial dessa relação:
53.9 50 76.1
D DB Bv v v
sen sen sen
15.9 15.950
53.9 50 76.1 76.1
D DBDB
v vv sen
sen sen sen sen
12.5DB
mv
s
76.1°
15.953.9 13.2
76.1D D
mv sen v
sen s