chuyen đinh dang cell file cua tems thanh dinh dang file cua mapinfo
Chuyen de bat dang thuc co ban danh cho thcs
Transcript of Chuyen de bat dang thuc co ban danh cho thcs
A. TÝnh chÊt luü thõa bËc hai:
Ngay tõ líp 7 häc sinh ®· biÕt nhËn xÐt vÒ dÊu cña mét sè cã luü
thõa ch½n n¾m ®îc tÝnh chÊt cña luü thõa bËc hai
“B×nh ph¬ng hay luü thõa bËc hai cña mäi sè ®Òu kh«ng
©m”
(*)
DÊu “=” x¶y ra khi a = 0.
Líp 8 häc sinh ®· ®îc lµm quen víi h»ng ®¼ng thøc:
(A - B)2 = A2 – 2AB + B2
NÕu sö dông tÝnh chÊt (*) th×
ViÖc khai th¸c vµ sö dông s¸ng t¹o bÊt ®¼ng thøc (I) gióp häc
sinh rÌn luyÖn t duy vµ h×nh thµnh ph¬ng ph¸p chøng minh còng nh
c¸ch thøc ®Ó h×nh thµnh bÊt ®¼ng thøc míi tõ bÊt ®¼ng thøc ®·
biÕt.
Tõ bÊt ®¼ng thøc (I):
(a – b)2 ≥ 0 a2 + b2 ≥ 2ab
ë c¶ 3 B§T (I), (II), (III) dÊu “=” x¶y ra khi a = b.
B. Khai th¸c tÝnh chÊt luü thõa bËc hai.
I/.Khai th¸c bÊt ®¼ng thøc (I): (a – b)2 ≥ 0
Tõ bÊt ®¼ng thøc (I) ta cã thÓ ®æi biÕn ®Æt A = ay; B = bx
khi ®ã (I) trë thµnh: (ay – bx )2 ≥ 0 a, b, x, y
DÊu “=” x¶y ra khi ay = bx
Khai triÓn vµ biÕn ®æi: a2y2 – 2axby + b2x2 ≥ 0
a2y2 + b2x2 ≥ 2axby
a2y2 + b2x2 +a2x2 + b2y2 ≥ a2x2 + 2axby +
b2y2
(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
Nh vËy ta cã bµi to¸n:
1
A2 ≥ 0
a
≥ 2
(II)
(a + b)2 ≥ 4ab
(A - B)2 ≥ 0 A,B
(I)
1.Bµi to¸n 1:
Chøng minh r»ng : (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
(BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho 2 bé sè a, b, vµ x, y)
§Ó kh¾c s©u c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc ta sÏ
chøng minh bµi to¸n b»ng nhiÒu c¸ch
- Ph¬ng ph¸p 1: Dïng ®Þnh nghÜa : A > B A – B > 0.
+ LËp hiÖu A – B.
+ Chøng tá A – B > 0.
+ KÕt luËn A > B.
+ C¸ch 1 : XÐt hiÖu : (a2 + b2)(x2 + y2) – (ax + by)2
= a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2- b2y2 – 2axby
= a2y2 - 2axby + b2x2
= (ay - bx)2 ≥ 0 lu«n ®óng a, b, x, y.
VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
DÊu “=” x¶y ra khi
- Ph¬ng ph¸p 2 : PhÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng.
+ BiÕn ®æi A > B A1 > B1 A2 > B2 … (*)
+ VËy A > B.
+ C¸ch 2 : Ta cã (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2·by + b2y2
a2y2 - 2axby + b2x2 ≥ 0
(ay – bx)2 ≥ 0 lu«n ®óng a, b, x, y.
DÊu “=” x¶y ra khi
BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng lµ ®óng.
VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
- Ph¬ng ph¸p 3 : Sö dông bÊt ®¼ng thøc ®· biÕt
+ C¸ch 3 : Ta cã (ay - bx)2 ≥ 0
a2y2– 2aybx + b2x2 ≥ 0
a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2·by + b2y2(céng 2 vÕ
a2x2, b2y2).
(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
- Ph¬ng ph¸p 4 : Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng.2
+ Gi¶ sö cã ®iÒu tr¸i víi kÕt luËn.
+ Suy ra ®iÒu m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt hoÆc ®iÒu ®· biÕt.
+ Gi¶ sö sai – kÕt luËn ®óng.
+ C¸ch 4: Gi¶ sö (a2 + b2)(x2 + y2) < (ax + by)2
a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 < a2x2+ 2·by + b2y2
a2y2– 2aybx + b2x2 < 0
(ay - bx)2 < 0. V« lý
VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
Bèn ph¬ng ph¸p trªn thÓ hiÖn trong 4 c¸ch gi¶i bµi to¸n 1 lµ 4
ph¬ng ph¸p th«ng thêng ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc.
Khai th¸c tiÕp tôc bÊt ®¼ng thøc (I) ta cã:
(ay - bx)2 ≥ 0
(az - cx)2 ≥ 0 (ay - bx)2 + (az - cx)2 + (cy - bz)2 ≥ 0
(cy - bz)2 ≥ 0
Khai triÓn, chuyÓn vÕ céng vµo 2 vÕ B§T : a2x2 + b2y2 + c2z2 ta
®îc:
a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2≥a2x2+b2y2+c2z2+2axby
+2axcz+2bycz
(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2
2.Bµi to¸n 2 :
CMR : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2
( B§T Bunhiac«pxki cho 2 bé 3 sè a, b, c vµ x, y, z).
Gi¶i
XÐt hiÖu : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) - (ax + by +cz)2
=a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2- a2x2- b2y2- c2z2-
2abxy-2acxz-2bcyz
=(a2y2-2abxy+b2x2)+(a2z2–2acxz+c2x2)+(b2z2-2bcyz+ c2y2)
=(ay - bx)2+ (az - cx)2+ (cy - bz)2 ≥ 0
DÊu “=” x¶y ra khi
B»ng c¸ch lµm t¬ng tù ta cã thÓ ph¸t triÓn bµi to¸n B§T Bunhiac«pxki
tæng qu¸t:
3
(a2
1 + a22 +…+ a2
n)(x21 + x2
2 +…+ x2n) ≥ (a1x1 + a2x2 +…+ anxn )2
DÊu “=” x¶y ra khi
§Ó ý r»ng nÕu a vµ x lµ 2 sè nghÞch ®¶o cña nhau th× ax = 1 (x
= )
Tõ bµi to¸n 2 ta cã thÓ ®Æt ra bµi to¸n:
3.Bµi to¸n 3:
Cho ba sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng
Chøng minh r»ng: (a + b + c)( + + ) ≥ 9
Gi¶i
Theo bµi to¸n 2 (B§T Bunhiac«pxki):
(a + b + c)( + + ) ≥ 2
(a + b + c)( + + ) ≥ 32 = 9
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c.
Tõ bÊt ®¼ng thøc (x+ y+ z)( + + )≥ 9
§Æt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta ®îc B§T:
2(a + b + c)( + + )≥ 9
( + + +3) ≥ 9
+ + ≥
Bµi to¸n t×m ®îc:
4.Bµi to¸n 4:
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng CMR: + + ≥
Gi¶i
¸p dông bµi to¸n 2 tacã:
(a+b+c+b+c+a)( + + )≥ 2
2(a + b + c)( + + )≥ 9
( + + +3) ≥ 9
4
+ + ≥ (1)
Ta tiÕp tôc khai th¸c bµi to¸n 4 theo 2 bíc sau:
- Bíc 1 : Nh©n 2 vÕ cña (1) víi a+b+c > 0.
(a + b + c)( + + )≥ (a + b + c)
- Bíc 2 : Khai triÓn rót gän vÕ tr¸i sau ®ã chuyÓn vÕ ta ®îc:
+ + ≥
§©y lµ néi dung cña bµi to¸n 5
5.Bµi to¸n 5 :
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng
CMR: + + ≥
Chøng minh bµi to¸n 5 ta cã thÓ dÉn tõ bµi to¸n 1 theo híng khai
th¸c ®Ó ®i ®Õn kÕt qu¶. Nhng ta cã thÓ gi¶i ®éc lËp nh sau:
- Ph¬ng ph¸p 1: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc bµi to¸n 2
[( + ( +( ][( )2+ ( )2+ ( )2] ≥
2(a + b + c)( + + ) ≥ (a + b + c)2
+ + ≥ (®pcm)
- Ph¬ng ph¸p 2: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si
+ ≥ 2 = a
+ ≥ b
+ ≥ c
VËy + + ≥ (céng theo vÕ 3 B§T trªn )
Ta tiÕn hµnh khai th¸c bµi to¸n 5 b»ng c¸ch:+Trang bÞ thªm cho bµi to¸n 5 ®iÒu kiÖn : abc = 1.+ ¸p dông B§T C« si cho 3 sè d¬ng :
a + b + c ≥ 3 = 3x1 = 3
5
6.Bµi to¸n 6:
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng tho¶ m·n : abc = 1.
CMR + + ≥ (2)
Gi¶i
Theo bµi to¸n 5
+ + ≥ ≥
+ + ≥
Xem xÐt bµi to¸n 6 ta nhËn thÊy:
+ NÕu ®Æt a = ; b = ; c = abc = = 1.
Khi ®ã : x + y = + = = c(a + b).
T¬ng tù : y + z = a(b + c).
z + x= b(c + a).
Do ®ã B§T (2) + + ≥ .
+ + ≥ .
7.Bµi to¸n 7:
Cho x, y, z lµ 3 sè d¬ng tho¶ m·n : xyz = 1
CMR : + + ≥ .
Gi¶i
§Æt a = ; b = ; c = abc = = 1.
Ta cã : x+y = c(a+b)
y+z = a(b+c)
6
z+x = b(c+a)
Do ®ã : + + = + + ≥ (theo bµi to¸n
6)
Nh vËy tõ tÝnh chÊt vÒ luü thõa bËc hai ta ®· khai th¸c ®îc chïm
7 bµi to¸n tõ dÔ ®Õn khã hoÆc rÊt khã mÆt kh¸c còng rÌn luyÖn t duy
s¸ng t¹o cña häc sinh.
II/.Khai th¸c bÊt ®¼ng thøc II. ≥ 2
§Æt th× Ta cã ngay bµi to¸n:
8. Bµi to¸n 8:
Cho sè d¬ng x.
Chøng minh r»ng: x + ≥ 2.
Khai th¸c bµi to¸n 8 ta thÊy: x. .
Do ®ã nÕu ta dïng 4 sè d¬ng a, b, c, d tho¶ m·n : abcd=1.
Khi ®ã: ab= (cd=
Ta kh¸m ph¸ ®îc bµi to¸n míi:
9. Bµi to¸n 9:
Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1
CMR: ab + cd ≥ 2 (hoÆc ac + bd ≥ 2; ad + bc ≥ 2)
(Chøng minh bÊt ®¼ng thøc nµy chØ cÇn ®a vÒ bµi to¸n 8 b»ng
c¸ch dïng ®iÒu kiÖn abcd=1)
L¹i cã: a2 + b2 ≥ 2ab ; c2 + d2 ≥ 2cd.
Do ®ã : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2ab + 2cd
Liªn kÕt víi bµi to¸n 9 ta cã: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2(ab + cd) ≥ 4
10. Bµi to¸n 10:
Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1
CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4
TiÕp tôc liªn kÕt bµi to¸n 9 vµ 10 ta cã:
11. Bµi to¸n 11:
7
Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1
CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10
Gi¶i
Tõ ®iÒu kiÖn a. b, c, d > 0 vµ abcd=1
Ta cã: : ab = ; ad = ; ca =
Do ®ã: (ab + cd) + (da + bc) + (ac + bd)
= (cd + + (bc + + (bd + ≥ 2 + 2 + 2 = 6 (Bµi to¸n 9)
Mµ a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4 (bµi to¸n 10)
a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = d
V©y tõ bÊt ®¼ng thøc (II) ta khai th¸c thµnh 1 chïm 4 B§T (8 )
III. Khai th¸c bÊt ®¼ng thøc III: (a + b)2 ≥ 4ab a, b
Lµ bÊt ®¼ng thøc ®a ra mèi quan hÖ cña b×nh ph¬ng1tæng víi tÝch
cu¶ chóng.
§Ó khai th¸c B§T (III) ta thªm ®iÒu kiÖn a,b lµ 2 sè d¬ng.
Chia 2 vÕ cña (III) cho ab(a + b) ta ®îc:
≥ + ≥
12. Bµi to¸n 12:
Cho a,b lµ 2 sè d¬ng
Chøng minh r»ng: + ≥
Gi¶i
XÐt hiÖu + - = = ≥ 0
VËy + ≥
DÊu “=” x¶y ra khi a=b
Khai th¸c bµi to¸n 12 t¬ng tù nh c¸ch khai th¸c bµi to¸n 1.
Ta cã: + ≥ c2 + d2 ≥ 4
+ ≥
+ ≥
Do ®ã nÕu céng theo vÕ cña 3 B§T trªn ta ®îc:
8
+ + ≥
13. Bµi to¸n 13:
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng.
CMR: + + ≤
Gi¶i
Theo bµi to¸n 12:
≤ )
≤ )
≤ )
Céng theo vÕ cña 3 B§T trªn:
+ + ≤
DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c
Khai th¸c bµi to¸n 13 b»ng c¸ch :
+ §Æt a= x + y; b= y + z; c= z + x
≤ + )
≤ + )
≤ + )
+ Thªm ®iÒu kiÖn : + = 4
Ta h×nh thµnh bµi to¸n 14 lµ mét B§T ®· lµ mét bµi thi ®¹i häc khèi A
n¨m 2005. §iÒu nµy cµng chøng tá viÖc häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc
ngay tõ líp díi lµ v« cïng quan träng.
14. Bµi to¸n 14:
Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n: + = 4
CMR: + + ≤ 1
(§¹i häc khèi A – n¨m 2005)Gi¶i
- C¸ch 1
9
Ta cã : = ≤ ( + ) ≤ ( + + + )
T¬ng tù:
≤ ( + + + )
≤ ( + + + )
Céng theo vÕ 3 B§T trªn:
+ + ≤ . 4 ( + )
Mµ + = 4
VËy + + ≤ 1
DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z =
- C¸ch 2:
Ta cã = ≤ ( + ) ≤ + ( + ) = + +
T¬ng tù:
≤ + +
≤ + +
Céng theo vÕ c¸c B§T:
+ + ≤ ( + + )=1
VËy + + ≤ 1
Khai th¸c bµi to¸n 14 b»ng c¸ch ®Æt vµo tam gi¸c ta cã:
15. Bµi to¸n 15:
XÐt tam gi¸c ABC cã: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi a+b+c = 2p kh«ng ®æi.
CMR: + + ≤
Gi¶i¸p dông bµi to¸n 12
Ta cã: = ≤ ( + )
≤ ( + )
10
≤ ( + )
Céng theo vÕ cña 3 B§T ta ®îc:
+ + ≤ ( + + + + + ) =
(a + b + c) = .2p =
DÊu “=” x¶y ra khi Δ ABC ®Òu cã a = b =c =
TiÐp tôc khai th¸c b¶i to¸n trong tam gi¸c vÒ mèi quan hÖ gi÷a c¹nh cña tam gi¸c vµ chu vi cña nã ta cã:
16. Bµi to¸n 16
Trong Δ ABC cã chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh ).
CMR : + + ≥ 2 ( + + )
Gi¶i
NhËn xÐt : p - a = - a = > 0 ( v× b + c > a bÊt ®¼ng
thøc tam gi¸c )
T¬ng tù : p - b > 0 ; p- c > 0.
MÆt kh¸c : p - a + p - b = 2p - a - b = c
p - b + p - c = a
p - c + p - a = b
Do ®ã ta nghÜ ®Õn viÖc dïng bÊt ®¼ng thøc bµi to¸n 12 nh sau:
+ ≥ =
+ ≥
+ ≥
Céng theo vÕ cña bÊt ®¼ng thøc ta cã :
+ + ≥ 2 ( + + )
DÊu ‘=’ x¶y ra khi Δ ABC ®Òu
11