Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF...

Chương 3

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến)

Tích phân bất định

Tích phân xác định

Tích phân suy rộng

Ứng dụng tích phân

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Nguyên hàm: Hàm 𝐹(𝑥) được gọi là nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên 𝐷 nếu

𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷

Ví dụ:

Định lý: Nếu 𝑓(𝑥) có nguyên hàm là 𝐹(𝑥) trên 𝐷 thì 𝑓(𝑥) có vô số nguyên hàm trên 𝐷, và hơn nữa, các nguyên hàm đều có dạng

𝑭 𝒙 + 𝑪,

với 𝐶 là hằng số tùy ý.

Ví dụ:


Định nghĩa tích phân bất định: Giả sử 𝑓(𝑥) có nguyên hàm 𝐹(𝑥) trên 𝐷. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên 𝐷 được gọi là tích phân bất định của 𝑓(𝑥) trên 𝐷 và được ký hiệu là 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

Ví dụ: 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶

cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶


Tính chất:

𝑘. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

[𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

′

= 𝑓(𝑥)

Ví dụ: [2 cos 𝑥 + 3𝑒𝑥]𝑑𝑥

Bảng tích phân bất định: Xem tài liệu tham khảo


Đổi biến

Nếu 𝑢 = 𝑢(𝑥) là một hàm có đạo hàm, có miền giá trị là 𝐷 và 𝑓 liên tục trên 𝐷, thì

𝑓 𝑢 𝑥 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢

Ví dụ: 2𝑥 1 + 𝑥2𝑑𝑥 = 1 + 𝑥22𝑥𝑑𝑥

= 1 + 𝑥2(1 + 𝑥2)′𝑑𝑥

= 𝑢𝑑𝑢 𝑢 = 1 + 𝑥2 =

2

3𝑢3 2 + 𝐶

= 2

3(1 + 𝑥2)3 2 +𝐶


Ví dụ:

𝑥3 cos(1 + 𝑥4) 𝑑𝑥 2𝑥 + 1𝑑𝑥

𝑥

1 − 4𝑥2𝑑𝑥

tan 𝑥 𝑑𝑥

1

1 + 𝑥2𝑑𝑥

1

1 − 𝑥2𝑑𝑥


Tích phân từng phần

Nếu 𝑢 𝑥 , 𝑣(𝑥) có đạo hàm liên tục thì

𝑢 𝑥 𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 − 𝑣 𝑥 𝑢′(𝑥)𝑑𝑥

Ví dụ: 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥(− cos 𝑥) − (−cos 𝑥)𝑑𝑥

= −𝑥 cos 𝑥 + cos 𝑥 𝑑𝑥

= −𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶

𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 arctan 𝑥 𝑑𝑥


Ví dụ: Tính các tích phân

𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 arctan 𝑥 𝑑𝑥

Ví dụ: Tính các tích phân

𝑥3 + 1

𝑥2 + 2𝑥 + 5𝑑𝑥


Tích phân hàm hữu tỷ

Phân thức tối giản

Một phân thức thực sự bằng tổng các phân thức tối giản

Một phân thức không thực sự bằng tổng của đa thức và phân thức thực sự.

𝑥 + 1

𝑥2 + 4𝑥 + 5

Tích phân hàm hữu tỷ như thế nào?

1

(𝑥 − 1)𝑛

1

𝑥 − 1

𝑥 + 1

(𝑥2 + 4𝑥 + 5)𝑛


Tích phân

với 𝑅(𝑢, 𝑣) là biểu thức tạo thành từ 𝑢, 𝑣 thông qua các phép toán cộng, trừ, nhân, và chia.

𝑅 cos 𝑥 , sin 𝑥 𝑑𝑥

Tổng quát, bằng cách đổi biến 𝑡 = tan𝑥

2, tích

phân trở thành tích phân của hàm hữu tỷ theo 𝑡.

Ví dụ: cos 𝑥

2 + cos 𝑥𝑑𝑥

2 − sin 𝑥



Tích phân

Đặc biệt:

𝑅 cos 𝑥 , sin 𝑥 𝑑𝑥

𝑅 lẻ theo sin 𝑥, đặt 𝑡 = cos 𝑥

Ví dụ:

sin3 𝑥


cos 𝑥

cos4 𝑥 − 4 sin2 𝑥 + 4𝑑𝑥

𝑅 lẻ theo cos 𝑥, đặt 𝑡 = sin 𝑥

𝑅 chẵn theo cả sin 𝑥 và cos 𝑥 đặt 𝑡 = tan 𝑥

sin 𝑥

cos2 𝑥 (cos 𝑥 − sin 𝑥)𝑑𝑥


Tích phân

Đặc biệt:

𝑅 𝑥, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥

𝑅 lẻ theo sin 𝑥, đặt 𝑡 = cos 𝑥

Ví dụ:

sin3 𝑥


cos 𝑥

cos4 𝑥 − 4 sin2 𝑥 + 4𝑑𝑥

𝑅 lẻ theo cos 𝑥, đặt 𝑡 = sin 𝑥

𝑅 lẻ theo cả sin 𝑥 và cos 𝑥 đặt 𝑡 = tan 𝑥

sin 𝑥

cos2 𝑥 (cos 𝑥 − sin 𝑥)𝑑𝑥

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Bài toán tính diện tích hình thang cong

Chia hình thang cong thành 𝑛 hình thang cong nhỏ có

đáy Δ𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛, bởi các

đường 𝑥 = 𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘.Δ𝑥

𝑛,

𝑘 = 0, 𝑛

Hình thang thứ 𝑘 có diện tích 𝑓 𝑥𝑘 . Δ𝑥 với 𝑘 = 1, 𝑛

𝑆𝑛 = 𝑓 𝑥𝑘 . Δ𝑥

𝑛

𝑘=1

→ 𝐴 diện tích hình thang cong


Định nghĩa

Cho 𝑓 liên tục trên [𝑎; 𝑏]. Chia [𝑎; 𝑏] thành 𝑛

đoạn con có độ dài Δ𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛 bởi các điểm

𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘.Δ𝑥

𝑛, 𝑘 = 0, 𝑛. Trên đoạn con thứ 𝑘 ta

chọn điểm 𝑥𝑘∗ . Tích phân xác định của hàm 𝒇 từ

𝒂 đến 𝒃 là

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= lim𝑛→∞

𝑓 𝑥𝑘∗ . Δ𝑥

𝑛

𝑘=1


Ví dụ: Tính tích phân 𝑥2𝑑𝑥

1

0

Chia [0; 1] bởi các điểm 𝑥𝑘 =𝑘

𝑛 và chọn 𝑥𝑘

∗ là

mút bên phải của đoạn con thứ 𝑘, 𝑘 = 1, 𝑛.

𝑓 𝑥𝑘∗ . Δ𝑥

𝑛

𝑘=1

= 𝑘

𝑛

21

𝑛

𝑛

𝑘=1

=1

𝑛2 𝑘2

𝑛

𝑘=1

=1

𝑛3.𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6

→1

3 = 𝑥2𝑑𝑥

1

0


Tính chất

[𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

2.

𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

3.

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑐

𝑎


𝑐

4.

𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

= − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

𝑏

1.


Tính chất

𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 ⇒ 𝑓 𝑥𝑏

𝑎

≥ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑎 < 𝑏, 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

≤ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎

6.

𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 ⇒ 𝑓 𝑥𝑏

𝑎

≥ 0 5.

𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 7.

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥𝑏

𝑎

≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)


Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân

Giả sử 𝑓 liên tục trên 𝑎; 𝑏 . Với mỗi 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] đặt

𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥

𝑎

Khi ấy, 𝐹(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên 𝑎; 𝑏 .

Công thức Newton - Leibniz

Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎; 𝑏 và 𝐺(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥) trên đó thì


𝑎

= 𝐺 𝑏 − 𝐺 𝑎 = 𝐺(𝑥) 𝑎

𝑏


Đổi biến

Nếu 𝑔′ liên tục trên 𝑎; 𝑏 và 𝑓 liên tục trên miền giá trị của 𝑔 thì

𝑓 𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑓 𝑢 𝑑𝑢𝑔(𝑏)

𝑔(𝑎)

Ví dụ


Tích phân hàm chẵn, hàm lẻ

Giả sử 𝑓 liên tục trên [−𝑎; 𝑎].

(a) Nếu 𝑓 là hàm chẵn, 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓,

thì

Ví dụ

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

−𝑎

= 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

0

(b) Nếu 𝑓 là hàm lẻ, 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓,

thì

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

−𝑎

= 0


Tích phân từng phần

Nếu 𝑓, 𝑔 có đạo hàm liên tục trên 𝑎; 𝑏 thì

𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑎

𝑏− 𝑔 𝑥 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Ví dụ

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Loại 1: Miền lấy tích phân vô hạn

(a) Nếu 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑡

𝑎 tồn tại với mọi 𝑡 ≥ 𝑎, ta định

nghĩa tích phân suy rộng của 𝑓 trên [𝑎; +∞) là

𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞

𝑎

= lim𝑡→+∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑡

𝑎

với điều kiện, giới hạn bên phải tồn tại.

Khi giới hạn bên phải hữu hạn ta nói 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞

𝑎

hội tụ; ngược lại, ta nói 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞

𝑎 phân kỳ.

Ví dụ 𝑑𝑥

𝑥2

+∞

1

𝑑𝑥

𝑥

+∞

1

𝑑𝑥

𝑥

+∞

1

𝑑𝑥

1 + 𝑥2

+∞

0


Loại 1: Miền lấy tích phân vô hạn

𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞

−∞

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

−∞

+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞

𝑎

(b) Định nghĩa tương tự cho tích phân 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

−∞

(c) Nếu 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

−∞ và 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

+∞

𝑎 hội tụ, ta

định nghĩa

Ví dụ 𝑑𝑥

𝑥2

−1

−∞

𝑑𝑥

1 + 𝑥2

0

−∞

Ví dụ 𝑑𝑥

1 + 𝑥2

+∞

−∞

𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥0

−∞


Định lý

𝑑𝑥

𝑥𝑝𝑑𝑥

+∞

1

= lim𝑡→+∞

𝑑𝑥

𝑥𝑝

𝑡

1

𝑑𝑥

𝑥𝑝

+∞

1

=

1

𝑝 − 1, 𝑝 > 1

+∞, 𝑝 ≤ 1

= lim𝑡→+∞

𝑥1−𝑝

1 − 𝑝 1

𝑡

= lim𝑡→+∞

𝑡1−𝑝

1 − 𝑝−

1

1 − 𝑝

𝑝 ≠ 1

𝑝 > 1 𝑡1−𝑝 → 0 khi 𝑡 → +∞

𝑝 < 1 𝑡1−𝑝 → +∞ khi 𝑡 → +∞

𝑝 = 1 𝑑𝑥

𝑥𝑑𝑥

+∞

1

= lim𝑡→+∞

𝑑𝑥

𝑥

𝑡

1

= lim𝑡→+∞

ln 𝑡


Loại 2: Hàm lấy tích phân không bị chặn (a) Nếu 𝑓 liên tục trên [𝑎; 𝑏) nhưng không liên tục tại 𝑏, ta định nghĩa tích phân suy rộng của 𝑓 trên [𝑎; 𝑏] là


𝑎

= lim𝑡→𝑏−

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑡

𝑎

với điều kiện, giới hạn bên phải tồn tại.

Khi giới hạn bên phải hữu hạn ta nói 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

hội tụ; ngược lại, ta nói 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎 phân kỳ.

Ví dụ 𝑑𝑥

1 − 𝑥

1

0

𝑑𝑥

1 − 𝑥2

1

0


Loại 2: Hàm lấy tích phân không bị chặn


𝑎

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑐

𝑎


𝑐

(b) Định nghĩa tương tự cho tích phân 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

khi 𝑓 liên tục trên (𝑎; 𝑏] nhưng không liên tục tại 𝑎

(c) Nếu 𝑓 không liên tục tại 𝑐, với 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 và cả

𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑐

𝑎 và 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑐 hội tụ, ta định nghĩa

Ví dụ 𝑑𝑥

𝑥

1

0

Ví dụ 𝑑𝑥

𝑥 − 13

2

0

𝑑𝑥

𝑥

1

0

𝑑𝑥

(𝑥 − 1)2

2

0


Định lý

𝑑𝑥

𝑥𝑝

1

0

=

1

1 − 𝑝, 𝑝 < 1

+∞, 𝑝 ≥ 1

𝑑𝑥

𝑥𝑝𝑑𝑥

1

0

= lim𝑡→0+

𝑑𝑥

𝑥𝑝

1

𝑡

= lim𝑡→0+

𝑥1−𝑝

1 − 𝑝 𝑡

1

= lim𝑡→0+

1

1 − 𝑝−

𝑡1−𝑝

1 − 𝑝

𝑝 ≠ 1

𝑝 > 1 𝑡1−𝑝 → +∞ khi 𝑡 → 0+

𝑝 < 1 𝑡1−𝑝 → 0 khi 𝑡 → 0+

𝑝 = 1 𝑑𝑥

𝑥𝑑𝑥

1

0

= lim𝑡→0+

𝑑𝑥

𝑥

1

𝑡

= lim𝑡→0+

(−ln 𝑡)


Tiêu chuẩn so sánh 1

Giả sử 𝑓, 𝑔 liên tục, và 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 ≥ 0 với 𝑥 ≥ 𝑎.

(a) Nếu 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞

𝑎 hội tụ thì 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

+∞

𝑎 hội tụ

(b) Nếu 𝑔 𝑥 𝑑𝑥+∞

𝑎 phân kỳ thì 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

+∞

𝑎

phân kỳ.

Ví dụ 𝑒−𝑥

𝑥

+∞

1

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑥3 + 1

+∞

1

𝑑𝑥

𝑥3 + 1

+∞

0

𝑑𝑥

𝑥 + 𝑒𝑥

+∞

1


Tiêu chuẩn so sánh 2

Giả sử 𝑓, 𝑔 liên tục, không âm trên [a; +∞) và tồn tại giới hạn

𝐾 ∈ ℝ\ 0 : 𝑔 𝑥 𝑑𝑥+∞

𝑎 hội tụ ⇔ 𝑓(𝑥)

+∞

𝑎 hội tụ

Ví dụ

𝑑𝑥

𝑥3 + 1

+∞

1

𝑑𝑥

𝑥 + 𝑒𝑥

+∞

1

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝐾

𝐾 = 0: 𝑔 𝑥 𝑑𝑥+∞

𝑎 hội tụ ⇒ 𝑓(𝑥)

+∞

𝑎 hội tụ

𝐾 = +∞: 𝑔 𝑥 𝑑𝑥+∞

𝑎 phân kỳ ⇒ 𝑓(𝑥)

+∞

𝑎 phân

kỳ


Chú ý:

Các định lý so sánh được phát biểu tương tự cho tích phân suy rộng loại 2.

Ví dụ 𝑥

𝑒sin 𝑥 − 1𝑑𝑥

1

0

𝑥𝛼𝑑𝑥

𝑥(𝑥 + 1)

1

0

(𝑥𝛼+1)𝑑𝑥

𝑥2 + 1 sin 𝑥

1

0


Hội tụ tuyệt đối

(a) Nếu 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞

𝑎 hội tụ thì 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

+∞

𝑎 hội

tụ. Khi ấy ta nói 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+∞

𝑎 hội tụ tuyệt đối.

(b) Nếu 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎 hội tụ thì 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎 hội tụ.

Khi ấy ta nói 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎 hội tụ tuyệt đối.

Ví dụ cos 𝑥

𝑥2𝑑𝑥

+∞

1

sin

1𝑥

𝑥𝑑𝑥

1

0

sin 𝑥

𝑥𝑑𝑥

+∞

1

sin 𝑥

𝑥𝑑𝑥

+∞

1

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Tính diện tích

Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝑔 𝑥 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

𝑆 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑦 = 𝑔(𝑥)

𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑎 𝑏

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥.

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥4.


Tính diện tích

Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑥 = 𝑔 𝑦 , 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑.

𝑥 = 𝑓(𝑦)

𝑥 = 𝑔(𝑦) 𝑑

𝑐

𝑆 = 𝑔 𝑦 − 𝑓 𝑦 𝑑𝑦𝑑

𝑐

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong 𝑥 = 𝑦2, 𝑥 = 𝑦 + 2.


Tính diện tích

Cho cung 𝐶 𝑥 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 = 𝑦 𝑡 , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, tương ứng giữa 𝑥 và 𝑦 là 1 − 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 𝐶 , 𝑥 = 𝑥 𝑎 , 𝑥 = 𝑥 𝑏 , 𝑂𝑥.

𝑆 = 𝑦 𝑡 𝑥′(𝑡) 𝑑𝑡𝑏

𝑎

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung

𝑥(𝑎)

𝑥(𝑏)

(𝐶)

𝑥 = 𝑟 𝑡 − sin 𝑡 , 𝑦 = 𝑟 1 − cos 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

và 𝑂𝑥.


Tính diện tích

Hình phẳng giới hạn bởi đường cong kín, không tự cắt, cho bởi phương trình tham số

𝑆 = 𝑦 𝑡 𝑥′(𝑡) 𝑑𝑡𝑏

𝑎

𝑥 = 𝑥(𝑡)𝑦 = 𝑦(𝑡)

, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏,

(𝑥 𝑎 , 𝑦(𝑎)) ≡ (𝑥 𝑏 , 𝑦(𝑏))

Ví dụ: Tính diện tích ellipse 𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 ≤ 1.


Tính độ dài cung phẳng

Cho cung trơn có phương trình tham số

𝐿 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡

2

+𝑑𝑦

𝑑𝑡

2

𝑑𝑡𝑏

𝑎

𝑥 = 𝑥(𝑡)𝑦 = 𝑦(𝑡)

, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏.

Độ dài cung là

Ví dụ: Tính độ dài cung của đường cong tham số 𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 𝑡3, nằm giữa hai điểm (1; 1) và (4; 8)

Ví dụ: Tính độ dài cung của đường cong tham số 𝑥 = 𝑟 𝜃 − sin 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 1 − cos 𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋



Cho cung trơn có phương trình

𝐿 = 1 +𝑑𝑦

𝑑𝑥

2

𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Xem 𝑥 là tham số, độ dài cung là

Ví dụ: Tính độ dài cung 𝑦 =1

2𝑥2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.



Cho cung trơn có phương trình

𝐿 = 1 +𝑑𝑥

𝑑𝑦

2

𝑑𝑦𝑏

𝑎

𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑎 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏

Xem 𝑦 là tham số, độ dài cung là

Ví dụ: Tính độ dài cung 𝑥 = 𝑦2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1.


Thể tích vật thể tròn xoay Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong: 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 quay quanh 𝑂𝑥 tạo nên vật thể tròn xoay có thể tích

𝑉 = 𝜋 𝑓(𝑥) 2𝑑𝑥𝑏

𝑎

Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo bởi hình phẳng giới

hạn bởi các đường 𝑦 = ln 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 𝑒 quay quanh 𝑂𝑥.


Thể tích vật thể tròn xoay Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong: 𝑥 = 𝑓 𝑦 , 𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏, 𝑎 < 𝑏 quay quanh 𝑂𝑦 tạo nên vật thể tròn xoay có thể tích

𝑉 = 𝜋 𝑓(𝑦) 2𝑑𝑦𝑏

𝑎

Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = 0, 𝑦 = 1 quay quanh 𝑂𝑦.

1

0

1

𝑦 = 𝑥2


Thể tích vật thể tròn xoay Hình phẳng giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑓 𝑥 ≥0, 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏, 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 quay quanh 𝑂𝑦 tạo nên vật thể tròn xoay có thể tích

𝑉 = 2𝜋𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2, 𝑦 = 0 quay quanh 𝑂𝑦.

0

𝑎

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑏

Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF...

Documents

Transcript of Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN (Hàm một biến) · PDF...