Christian Q. Pinedo - joinville.udesc.br · SUM`RIO PREF`CIO ... O œltimo capítulo estÆ aborda o...

Grupo de Ensino e Pesquisa em Educação Matemática

Notas de Aula No10

.5

Christian Q. Pinedo

5

ii Cálculo Vetorial e Séries

A meus pais

Noemi e Em memória: Christian .

iii

iv Cálculo Vetorial e Séries

Título do original

Cálculo Vetorial e Séries

Dezembro de 2009

Direitos exclusivos para língua portuguesa:

UFT - CAMPUS DE PALMAS

Coordenação de Engenharia Civil/Elétrica

512.8

Pinedo. Christian Quintana, 1954 -

Cálculo Vetorial e Séries / Christian José Quintana Pinedo : Universidade

Federal do Tocantins. Campus de Palmas, Curso de Engenharia Civil/Elétrica,

2009.

250 p. il. 297mm

I. Cálculo Vetorial e Séries. Christian Q. Pinedo. II. Série. III. Título

CDD 512.8 ed. CDU

SUMÁRIO

PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1 INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA 1

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Principais propriedades da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Regras de cálculo das integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Exercícios 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Exercícios 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 INTEGRAL DE LINHA 9

2.1 Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Gradiente. Divergente. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Integral de linha de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2 Propriedades Fundamentais da integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3 Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha . . . . . . . . . . 25

2.3.4 Aplicações da integral de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Exercícios 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE 35

3.1 Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Plano tangente. Vetor normal a uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.2 Existência da integral de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS 47

4.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

v

vi Cálculo Vetorial e Séries

4.2.1 Classificação: Limitação e Monotonia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.2 Subseqüências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 LIMITE DE SEQÜENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1 Limite de uma seqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.2 Propriedades do limite de seqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3.3 Seqüência de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.4 Espaço métrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4 SEQÜENCIAS CONVERGENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4.1 Propriedades Fundamentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4.2 Critérios de Convergência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.4.3 Conseqüência da Propriedade (4.18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4.4 Teorema de Bolzano - Weirstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Miscelânea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 SÉRIES 93

5.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2 SOMATÓRIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3 SÉRIES DE NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.3.1 Série geométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3.2 Série harmônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3.3 Série p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3.4 Critério do n-ésimo termo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.3.5 Condição de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3.6 Propriedade de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Exercícios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.4 SÉRIE DE TERMOS POSITIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4.1 Critério de comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.4.2 Critério de integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4.3 Critério de comparação no limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.4.4 Critério de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Exercícios 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.5 SÉRIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.5.1 Condicionalmente convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.5.2 Critério de comparação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.5.3 Critério D’Alembert’s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.5.4 Critério de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Exercícios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.6 SÉRIES ALTERNADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Christian José Quintana Pinedo vii

5.6.1 Critério de Leibnitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.6.2 Sumário dos Critérios para Séries de Números. . . . . . . . . . . . . . . . 144

Exercícios 2-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

APÊNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

História do cálculo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

viii Cálculo Vetorial e Séries

PREFÁCIO

O propósito de um primeiro curso de cálculo é ensinar ao estudante as noções básicas da

derivada assim como as técnicas e aplicações básicas que acompanham tais conceitos; Integração

e Funções de Várias Variáveis é a continuação e abordagem de conceitos e teorias novas, tais

como "Integração e o cálculo diferencial e integral com funções de varias variáveis"com aplicações

aos diferentes ramos das ciências exatas úteis no estudo das equações diferenciais.

Esta obra representa o esforço de sínteses na seleção de um conjunto de problemas e temas que,

com freqüência se apresenta quando um estudante continúa com o estudo do cálculo diferencial.

Estas notas de aula estão divididas em cinco capítulos.

No primeiro capítulo, apresenta-se os métodos para o cálculo de integrais, faz-se uma abor-

dagem prática com grande variedade de exemplos e técnicas para a solução das mesmas.

No segundo capítulo, apresenta-se os conceitos de integral definida, ao estilo dos conceitos

de Integral de Riemann; inicia-se os estudos com os conceito de somatório como interpretação

geométrica da integral.

O terceiro capítulo, está reservado para múltiplas aplicações em diferentes ramos do conhec-

imento científico.

O penúltimo capítulo apresenta as funções de várias variáveis, limites e continuidade das

mesmas.

O último capítulo está aborda o tema do calculo diferencial em funções de várias variáveis.

O objetivo deste trabalho é orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e

construir um modelo matemático e logo resolvê-lo.

Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar; os exercícios apresentados

ix

x Cálculo Vetorial e Séries

em quantidade suficiente, estão classificados de menor a maior dificuldade.

A variedade dos problemas e exercícios propostos pretende transmitir minha experiência

profissional durante mais de vinte e cinco anos de exercício como Consultor em Matemáticas

Puras e Aplicadas, assim como professor de ensino superior, com atuação na graduação da

docência universitária.

Fico profundamente grato pela acolhida desde trabalho e pelas contribuições e sugestões dos

leitores.

Christian Quintana Pinedo.

Pato Branco - PR, dezembro de 2009

“A Matemática é a honra do espírito humano”

Leibniz

Capítulo 1

INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA

F. Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss , (1777 − 1855), nasceu emBrunswick (Alemanha) em 30 de abril de 1777 e começou a freqüentara escola de sua cidade natal aos sete anos, onde seus professores no-taram seu potencial. Isso ocorreu porque certo dia, seu professor pediuque os alunos somassem os números inteiros de um a cem, pensandoque os alunos ficariam ocupados por um bom tempo e que ele poderiadescansar. Mas, logo que deu a tarefa, um menino lhe mostrou o re-sultado: 5050. Imediatamente o professor lhe repreendeu, pois pensavaque o menino estivesse brincando, porque ele próprio ainda não haviafeito o cálculo e não sabia a resposta.

Buttner, o professor que presenciara o cálculo da soma dosprimeiros cem números inteiros, deu-lhe seu primeiro livro sobrematemática. Aos dez anos, Gauss já o havia lido e assimilado por

completo. Lia tudo o que chegava às suas mãos. Alguns colegas lhe emprestavam livros inacessíveis aoseu bolso. Bartels, assistente de Buttner.

Em março 1796, um mês antes de completar dezenove anos, Gauss descobriu como construir umpolígono regular de dezessete lados, usando para tanto apenas régua e compasso. Havia mais de 2000

anos que se sabia construir, com régua e compasso, o triângulo eqüilátero e o pentágono regular (assimcomo outros polígonos regulares com número de lados múltiplo de dois, três e cinco), mas nenhum outropolígono com número de lados primo. Gauss mostrou que também o polígono regular de dezessete ladospode ser construído com régua e compasso.

Em 1809, o matemático dedicava a maior parte do seu tempo ao novo observatório, finalizado em1816, porém ainda encontrava tempo para trabalhar em outros assuntos. Algumas das publicações real-izadas por ele nesse período foram: "Indagações gerais a cerca das séries infinitas", um estudo rigorosode série e uma introdução da função hipergeomética. Também escreveu “Methodus nova integralium val-ores per approximationem inveniendi, Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen”, uma discussãosobre estatísticas estimadas, e “Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogene-orum methodus nova tractata”. Seu trabalho posterior foi inspirado por problemas geodésicos e estavaprincipalmente preocupado com a teoria potencial.

Além de inumeráveis artigos breves em revistas de matemática, física e geodésia, Gauss publicoucerca de 155 volumes sobre os seus estudos. Portanto, pode-se apenas ressaltar as principais pesquisas edescobertas de cada período de suas atividades.

Gauss faleceu em uma manhã de 23 fevereiro de 1855 em Gottingen (Alemanha), enquanto aindadormia. Quando da sua morte, estava perfeitamente lúcido e consciente .

1

2 Cálculo Vetorial e Séries

1.1 Introdução

1.2 Integrais duplas

Definição 1.1.

Uma função f : D ⊆ R2 −→ R com domínio D dizemos que é limitada (acotada) em D se

existem r, s ∈ R tais que r ≤ f(x, y) ≤ s, ∀ (x, y) ∈ D

Seja f : D ⊆ R2 −→ R uma função limitada no conjunto fechado D, e f(x, y) > 0 ∀(x, y) ∈D.

Tracemos retas paralelas aos eixos coordenados como indica a Figura (1.2), e suponhamos

que r1, r2, r3, · · · , rn sejam retângulos que cubram a região D (uma cobertura de D).

Figura 1.1:

Definição 1.2. Partição de um conjunto.

O conjunto P = r1, r2, r3, · · · , rn constitui uma partição da região fechada D.

Definição 1.3. norma de uma partição.

A norma da partição P denotada ‖P‖ por definição é o comprimento da diagonal maior de

todos os retângulos ri contidos em P.

Seja A(ri) = 4xi4yi a área do i-ésimo retângulo ri ∈ P, e seja (xi, yi) um ponto arbitrário

escolhido noi-ésimo retângulo ri.

A soma de Riemann da função f : D ⊆ R2 −→ R associada à partição P é

m∑

i=1

f(xi, yi)A(ri) =m∑

i=1

f(xi, yi)4xi4yi

onde f(xi, yi) é a imagem da função para o ponto (xi, yi) ∈ ri, i = 1, 2, 3, · · · , n.

Geometricamente, a soma de Riemann representa o volume do sólido embaixo da superfície

z = f(x, y).

Christian José Quintana Pinedo 3

1.3 Principais propriedades da integral dupla

Se a função f(x, y) é continua na região fechada D, o limite da soma integral existe e não

depende do procedimento da divisão da região D em regiões elementares e da seleção dos pontos

em P .

Nas coordenadas cartesianas a integral dupla escreve-se na forma∫

D

∫f(x, y)dA.

Se f(x, y) > 0 na região D, então a integral dupla∫

D

∫f(x, y)dA é igual ao volume do corpo

cilíndrico limitado na parte superior pela superfície z = f(x, y), nas laterais pela superfície

cilíndrica cujas geratrizes são paralelas ao eixo oz e na parte inferior pelo plano x0y.

⇓

1.∫

D

∫

[f(x, y) + g(x, y)]dA =

∫

D

∫

f(x, y)dA +

∫

D

∫

g(x, y)dA.

2.∫

D

∫

C · f(x, y)dA = C ·∫

D

∫

f(x, y)dA, onde C é uma constate..

3.∫

D

∫

f(x, y)dA =

∫

D1

∫

f(x, y)dA +

∫

D2

∫

f(x, y)dA, onde D = D1 ∪ D2 e D1 ∩ D2 = ∅.

1.4 Regras de cálculo das integrais duplas

No plano x0y distinguem-se dois tipos principais de regiões da integração.

1. A região de integração D está limitada pelo lado esquerdo e direito pelas retas x = a e x = b

respectivamente, na parte superior pela curva y = f(x), e na parte inferior pela curva

y = g(x) e cada uma de elas se intercepta com a reta vertical somente num ponto (Figura

(1.2).

Para uma região assim defina integral dupla é calculada pela fórmula:

∫

D

∫

F (x, y)dA =

b∫

a

f(x)∫

g(x)

F (x, y)dydx

onde primeiramente calcula-se a integralf(x)∫

g(x)

F (x, y)dy e na qual x é considerada con-

stante. Figura 1.2:

2. Para o caso a região integração D estivesse limitada na parte superior e inferior pelas retas

y = d e y = c , c < d e pelas linhas curvas x = g(y) e x = f(y) onde (g(y) < f(y)) cada

uma das quais se intercepta pela reta horizontal num ponto (Figura (1.3)), então


∫

D

∫

F (x, y)dA =

d∫

c

f(y)∫

g(y)

F (x, y)dxdy

onde primeiramente calcula-se a integralf(y)∫

g(y)

F (x, y)dx e na qual y é considerada

constante. Figura 1.3:

Exemplo 1.1.

Calcular∫

D

∫

xLnydxdy onde D é o retângulo 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e.

Solução.

Observe que

∫

D

∫

xLnydxdy =

4∫

0

e∫

1

xLnydxdy =

4∫

0

x(yLny − y)∣∣∣

e

1dx =

x2

2(e − e + 1)

∣∣∣

4

0= 8

Exemplo 1.2.

Definição 1.4.

Exemplo 1.3.

Definição 1.5.

Definição 1.6.

Definição 1.7.

Exemplo 1.4.

1.

2.

3.

Exemplo 1.5.

Exemplo 1.6.

Exemplo 1.7.

Exemplo 1.8.

Exemplo 1.9.

Exemplo 1.10.

Exemplo 1.11.

Definição 1.8.


Exemplo 1.12.

1.

2.

3.

Exemplo 1.13.

Exemplo 1.14.

Definição 1.9.


Exercícios 6-1

1. Calcular as seguintes integrais:

1.

2π∫

0

a∫

0

y · cos2 xdydx

2.

3∫

1

x∫

x2

(x − y)dydx

3.

2π∫

0

a∫

0

XXXXXXXXXXXXXXXXdydx

2. Mudar a ordem de integração das seguintes integrais:

1.

1∫

−1

1−x2∫

−√

1−x2

f(x, y)dydx

2.

2∫

−6

2−x∫

x2

4−1

f(x, y)dydx

3.

e∫

1

Lnx∫

0

f(x, y)dydx

4.

1∫

0

1+√

1−y2∫

2−y

f(x, y)dxdy

5.

1∫

0

x∫

0

f(x, y)dydx

6.

1∫

0

√1−x2∫

(1−x)2

2

f(x, y)dydx

7.

π∫

0

senx∫

0

f(x, y)dydx

8.

2π∫

0

a∫

0

XXXXXXXXXXXXXf(x, y)dydx

9.

2π∫

0

a∫

0

XXXXXXXXXXf(x, y)dydx

3.


4.

5.

6.


Exercícios 6-1

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Capítulo 2

INTEGRAL DE LINHA

Neste capítulo, aplicaremos conceitos e métodos de resolução de problemas a novas teorias,

para obter resultados que têm muitas aplicações nas ciências.

Abordaremos os conceitos de "campos vetoriais", sendo que as principais aplicações estão

orientadas para o estudo de campos de velocidade e campos de força, assim chamados porque

a cada partícula de uma substância seja sólida, líquida ou gaseosa esta associada um vetor

velocidade ou um vetor força.

A integral de linha, permitem achar o trabalho realizado quando uma partícula se movimenta

em uma campo de força.

O teorema fundamental do cálculo diz que:

Se f é contínua em qualquer intervalo fechado [a, b], e F é qualquer função prim-

itiva de f então

b∫

a

f(x)dx = F (b) − F (a).

Agora, queremos generalizar o conceito de integral simples

b∫

a

f(t)dt de uma função f definida

em um intervalo [a, b], a uma integral de uma função definida sobre uma curva L. Esta integral se

chama “integral de linha de f sobre a curva L", observe que, esta curva pode estar determinada

pela imagem de outra função definida em R.

2.1 Curvas regulares

Denotemos com • o operador para o produto escalar de vetores; isto é, se ~u = (u1, u2, u3) e

~v = (v1, v2, v3) são vetores, o produto escalar é definido por

~u • ~v = (u1, u2, u3) • (v1, v2, v3) = u1v1 + u2v2 + u3v3 ∈ R

Definição 2.1. Funções coordenadas.

Seja ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 uma função definida por ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) onde as coordenadas

x, y, z : [a, b] −→ R, são funções reais (denominadas “funções coordenadas").

9


Definição 2.2. Função diferenciável.

Dizemos que a função ~r(t) da Definição (2.1) é diferenciável de classe C1, se cada uma de

suas funções coordenadas x(t), y(t), z(t) for também diferenciável de classe C1.

Exemplo 2.1.

Seja ~r : R → R2 definida por ~r(t) = (t, t3). Suas funções coordenadas x(t) = t e y(t) = t2

são contínuas em R, e suas derivadas também são contínuas, então ~r(t) é diferenciável de classe

C1.

Definição 2.3. Curva parametrizada.

Dizemos que uma curva L do espaço R3 é curva parametrizada, se ela é a imagem de uma

função ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 diferenciável de classe C1

Exemplo 2.2.

A circunferência L : x2 + y2 = 9 completa pode ser escrita pela parametrização ~r(t) =

(3 cos t, 3sent), t ∈ [0, 2π] de tal modo que o gráfico de ~r encontra-se sobre a circunferência Lpercorrendo no sentido positivo (anti-horário).

A mesma curva deste exemplo, pode ser escrita na forma ~r1(t) = (3 cos 2t, 3sen2t), t ∈[0, π]. Ainda mais, a mesma curva pode ser representada como ~r1(t) = (3 cos(2π− t), 3sen(2π−t)), t ∈ [0, 2π]. Neste caso, o percorrido é no sentido horário.

Exemplo 2.3.

Seja L a curva do espaço descrita por ~r : [0, +∞) −→ R3 definida por ~r(t) = a ·~i cos t + a ·~jsent + bt~k, onde a > 0, b > 0.

Suas funções coordenadas x(t) = a · cos t, y(t) = a · sent e z(t) = bt são diferenciáveis e

contínuas, logo a L é uma curva parametrizada.

Definição 2.4. Curva fechada.

Uma curva L parametrizada definida por ~r : [a, b] −→ R3, dizemos que é fechada, se ~r(a) =

~r(b).

Exemplo 2.4.

Seja ~r : [0, 2π] → R2 definida por ~r(t) = (4 cos t, 2sent) é fechada, pois ~r(0) = ~r(2π).

Definição 2.5. Vetor velocidade.

Seja L uma curva parametrizada definida por ~r(t) = x(t)~i+y(t)~j+z(t)~k, e um ponto t0 ∈ [a, b]

de modo que ~r(t0) = P0 exista.

O vetord~r

dt(t0) = ~r ′(t0) = x′(t0)~i + y′(t0)~j + z′(t0)~k é chamado "vetor velocidade da curva L

no ponto P0".

Exemplo 2.5.

Seja ~r(t) = (a · cos t, a · sent, bt) uma curva parametrizada. O vetor velocidade para esta

curva em qualquer ponto ~r(t0) = P0 do seu domínio é ~r ′(t0) = (−a · sent0, a · cos t0, b).


Definição 2.6. Curva regular.

Uma curva parametrizada L definida por ~r : [a, b] −→ R3 é regular (ou suave) se seu vetor

velocidade ~r ′(t) é diferente do vetor nulo.

Isto é, dizemos que uma curva L do espaço R3 é regular (ou suave) se tiver uma representação

da forma ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j + z(t)~k tal que ~r(t) tem uma derivada ~r ′(t) =d~r

dt(t) contínua e que

nunca é igual ao vetor nulo.

Exemplo 2.6.

1. Seja ~r : [0, 2π] −→ R2 definida por ~r(t) = (a cos t, asent) é regular, poisd~r

dt(t) = (−asent, a cos t) 6=

(0, 0), ∀ t ∈ [0, 2π].

2. Seja ~r : [0, +∞) −→ R3 a curva definida por ~r(t) = (a cos t, asent, bt) onde a > 0, b > 0.

Tem-se que esta curva é regular, poisd~r

dt(t) = (−asent, a cos t, 0) 6= (0, 0, 0), ∀t ∈ [0, +∞).

Iremos denominar de “caminho de integração” a uma trajetória constituída por uma ou mais

(mas sempre em número finito) curvas regulares.

Definição 2.7. Comprimento de arco de uma curva regular.

Seja ~r : [a, b] ⊆ R −→ R3 uma curva regular, tal que ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k, e seja

t0 < t1 onde t0, t1 ∈ [a, b].

O comprimento de arco da curva L representada por L(S) desde ~r(t0) até ~r(t1) é dado por

L(S) =

t1∫

t0

∣∣∣∣

d~r

dt(t)

∣∣∣∣dt =

t1∫

t0

√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2dt

2.2 Campos vetoriais

Se a cada ponto P de uma região está associado exatamente um vetor que tenha P como sua

origem (ponto inicial), então a coleção de todos esse vetores constitui um campo vetorial.

Um campo de forças é um campo vetorial em que a cada ponto está associado um vetor força,

estes campos são comuns em estudos de mecânica e eletricidade.

Os campos vetoriais independentes do tempo, são chamados de campos vetoriais estacionários.

Sejam ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1) a base canônica de R3.

Definição 2.8. Campo vetorial.

Seja D ⊂ R3 e consideremos uma transformação ~F : D −→ R3, muitas vezes levando em

conta o significado físico ou geométrico de ~F , será conveniente interpretar ~F (X) com X ∈ Dcomo um vetor aplicado em X. Sempre que quisermos interpretar ~F (X) desta forma, referir-nos

a ~F como um campo vetorial e usaremos a notação ~F .

Um campo vetorial em três dimensões, é uma função ~F cujo domínio D ⊆ R3 e sua imagem

(contradomínio) é um subconjunto de R3.


Se (x, y, z) está em D ⊆ R3 então

~F (x, y, z) = F1(x, y, z)~i + F2(x, y, z)~j + F3(x, y, z)~k

onde Fi : R3 −→ Ri = 1, 2, 3, são funções escalares.

Exemplo 2.7.

Realizar a descrição do campo vetorial ~F dado por ~F (x, y) = −y~i + x~j.

Solução.

A seguinte tabela mostra os vetores ~F (x, y) associados a vários pontos (x, y) assinalados na

Figura (2.1)

(x, y) ~F (x, y)

(1, 3) −3~i +~j

(1, −3) 3~i +~j

(3, 1) −~i + 3~j

(3, −1) ~i + 3~j

(−1, 3) −3~i −~j

(−1, −3) 3~i −~j

(−3, 1) −~i − 3~j

(−3, −1) ~i − 3~j

-

6

?

1

2a

1a

3a

4a−1

a−2a

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−3−4 0

x

y

PPi

1

BB

BBBM

)

PPq

B

BBBBN

Figura 2.1:

Para chegar a uma descrição de um campo vetorial ~F consideramos um ponto arbitrário

(x, y) e definimos o vetor de posição x~i + y~j de (x, y).

2.2.1 Gradiente. Divergente. Rotacional

Consideremos o campo vetorial ~F (x, y, z) = F1(x, y, z)~i+F2(x, y, z)~j+F3(x, y, z)~k definido

no aberto D ⊂ R3. Suponhamos que F1, F2, F3 sejam de de classe C1 em D.

Definição 2.9. Gradiente.

O gradiente de ~F , que indicamos por ∇ ~F , é o campo vetorial definido em D e dado por

∇~F =∂F1

∂x~i +

∂F2

∂y~j +

∂F3

∂z~k (2.1)

Definição 2.10. Divergente.

Seja ~F = (F1, F2, F3) um campo vetorial definido no aberto D ⊂ R3 e suponhamos que as

componentes F1, F2, F3 admitam derivadas parciais em D. O campo escalar div ~F : D −→ R

dado por

div ~F =∂F1

∂x+

∂F2

∂y+

∂F3

∂z(2.2)

denomina-se divergente de F .


Definição 2.11. Rotacional.

O rotacional de ~F , que indicamos por rot ~F , é o campo vetorial definido em D e dado por

rot ~F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zF1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(2.3)

Ainda mais, podemos indicar o rotacional como rot ~F = ∇× ~F

Exemplo 2.8.

Determinar o gradiente, divergente e rotacional de ~F (x, y, z) = xy2z4~i+(2x2y+z)~j +y3z2~k.

Solução.

Tem-se: F1 = xy2z4, F2 = 2x2y + z, F3 = y3z2, logo∂F1

∂x= y2z4,

∂F2

∂y= 2x2,

∂F3

∂z= 2y3z

∇~F = y2z4~i + 2x2~j + 2y3z~k

div ~F = y2z4 + 2x2 + 2y3z

rot ~F =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zF1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

rot ~F =(∂F3

∂y− ∂F2

∂z

)

~i −(∂F3

∂x− ∂F1

∂z

)

~j +(∂F2

∂x− ∂F1

∂x

)

~k =

rot ~F = (3y2z2 − 1)~i + 4xy2z3~j + (4xy − y2z4)~k =

Definição 2.12. Região simplesmente conexa.

Uma região D ⊂ R3 dizemos que é simplesmente conexa, se toda curva simples fechada L em

D pode-se deformar continuamente a um ponto sem sair de D.

São regiões simplesmente conexa, Figuras as (2.5) e (2.7); a Figura (2.6) não é simplesmente

conexa

Figura 2.2: Figura 2.3: Figura 2.4:


2.3 Integral de linha

Chamamos caminho em Rn a qualquer função contínua ~r : [a, b] → Rn. A imagem de um

caminho chamamos curva ou linha. Dada uma curva Γ ⊂ Rn, se ~r : [a; b] → Rnfor um caminho

tal que ~r([a; b]) = Γ, então ~r também se diz uma parametrização de Γ

Exemplo 2.9.

• Considere-se o caminho ~h : [0, 2] → R2 definido por h(t) = (t,t

2+ 1): A curva ~h([0; 2]) é

o segmento de recta que une os pontos (0; 1) e (2; 2).

• Dado o caminho ~s : [0, 2] → R2 definido por ~s(t) = (t; t2 + 2); a correspondente curva

~s([0, 2]) é o pedaço da parábola y = x2 + 2 com 0 ≤ x ≤ 2 :

Exemplo 2.10.

• Para os caminhos ~r : [0, 2] → R2 e ~s : [0, π] → R2, definidos por

~r(t) = (cos t, sent) e ~s(t) = (cos 2t, −sen2t)

as respectivas curvas, ~r([0, 2]) e ~s([0, 2]), coincidem com a circunferência de raio um

centrada na origem. O caminho ~s percorre a circunferência com o dobro da velocidade de

~r e no sentido oposto.

• O caminho ~r : [0, 2π] → R2 definido por

~r(t) =

√

2

cos2 t + 2sen2t(cos t, sent)

percorre uma vez a elipsex2

2+ y2 = 1 no sentido anti-horário.

2.3.1 Integral de linha de uma função

Suponha-se que temos um fio Γ, cuja configuração é dada por uma certa função diferenciável

~r : [a, b] → R3 , com uma densidade de massa ρ.

Qual a massa total do fio?

Para termos um valor aproximado desta quantidade, podemos adoptar o esquema que já deve

ser familiar ao leitor. Ou seja, primeiro decompomos o intervalo [a, b] num núumero finito de

subintervalos

a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b

considerando ti+1 − ti = ∆t, e, de seguida, escrevemos a soma para obter aproximadamente a

massa.

M ≈n−1∑

i=0

ρ(~r(t)) ‖ ~r(ti+1) − ~r(ti) ‖=n−1∑

i=0

ρ(~r(t)) ‖ ~r(ti + ∆t) − ~r(ti) ‖


Em princípio, melhores aproximações serãao obtidas se tomarmos para ∆t um valor mais

pequeno prozimo de zero. A massa total M sería então dada pelo limite:

lim∆t→0

n−1∑

i=0

ρ(~r(t)) ‖ ~r(ti + ∆t) − ~r(ti) ‖ (2.4)

Observe que este limite tem todos os ingredientes do que deve ser um integral e, portanto, é

natural denotá-lo por∫

Γ

ρ.

No entanto, estas considerações não nos dão ainda uma forma prática de calcular o valor

exacto da massa total. Precisamos de simplificar o limite (2.4). Para isso, comecemos por notar

que

lim∆t→0

‖ ~r(ti + ∆t) − ~r(ti) ‖∆t

=‖ ~r′(t) ‖

logo

M =

∫

Γ

ρ = lim∆t→0

n−1∑

i=0

ρ(~r(t)) ‖ ~r(ti + ∆t) − ~r(ti) ‖

= lim∆t→0

n−1∑

i=0

ρ(~r(t))‖ ~r(ti + ∆t) − ~r(ti) ‖

∆t· ∆t

M =

b∫

a

ρ(~r(t)) ‖ ~r′(t) ‖ dt

supondo para a última igualdade que ρ e ~r são funções ”suficientemente regulares".

Por exemplo, se ~r é de classe C1 e é contínua, essa igualdade é válida. Fazendo ρ = 1, vemos

que∫

Γ

1 dá-nos também o comprimento do fio.

Definição 2.13.

Seja f : Ω → R uma função, com Ω um aberto de Rn, e consideremos um caminho ~r : [a, b] →Ω de classe C1. Notemos por Γ a respectiva curva, isto é, Γ = ~r([a; b]). Chamamos integral de

linha de f sobre o caminho ~r ao integral

∫

Γ

f =

b∫

a

ρ(~r(t)) ‖ ~r′(t) ‖ dt (2.5)

Quando se define o integral∫

Γ

f =, é preciso ter em atenção que a parametrização utilizada

deve ser previamente estabelecida, uma vez que a fórmula (2.5) depende em geral de ~r. No

entanto, como vamos ver agora, resta-nos alguma liberdade para escolher a parametrização.

Sejam ~r : [a, b] → Rn e ~s : [c, d] → Rn dois caminhos de classe C1, para os quais existe

um difeomorfismo1 ϕ : [a, b] → [c, d] de classe C1 (em particular, ϕ′ = 0 em [a, b]), tal que

1Função diferenciável de modo que sua função inversa também é diferenciável


~s(ϕ(t)) = ~r(t). Intuitivamente, os caminhos ~r e ~s percorrem a mesma curva, com os mesmos

pontos de inflexão, passando em cada ponto igual número de vezes, mas com velocidades e

sentidos eventualmente diferentes. Assim, uma vez que

~s ′(ϕ(t))ϕ ′(t) = ~r ′(t)

temos

d∫

c

f(~s(u)) ‖ ~s ′(u) ‖ du =

b∫

a

f(~s(ϕ(t))) ‖ ~s ′(ϕ(t)) ‖‖ ϕ ′(t) ‖ du =

b∫

a

f(~r(t)) ‖ ~r ′(t) ‖ dt

onde na primeira igualdade utilizámos o Teorema da Mudança de Variável para integrais unidi-

mensionais.

Exemplo 2.11.

Consideremos os caminhos ~r : [0, 2π] → R2 e ~s : [0, π] → R2, definidos por

~r = (cos t, sent) ~s = (cos 2t, sen2t)

Estes caminhos s ao parametrizações diferentes para uma mesma curva: ~r([0, 2π]) = ~s([0, π]).

Como ~ϕ(t) = ~r(t), sendo ϕ : [0, 2π] → [0; π] o difeomorísmo de classe C1 definido por

ϕ(t) = π − t

2, temos que o integral de linha de uma função f sobre o caminho ~r é igual ao

integral de linha de f sobre o caminho ~s.

Exemplo 2.12.

Calculemos o comprimento L da hélice cilíndrica parametrizada por ~r(t) = (cos 2t, sen2t, t), t ∈[0, 5π]

Figura 2.5: Figura 2.6: Figura 2.7:

Tem-se L =

5π∫

0

‖ ~r (t) ‖=5π∫

0

‖ (−2sen2t, 2 cos 2t, 1) ‖=

L =

5π∫

0

‖√

4(sen22t + cos2 2t) + 1 ‖=5π∫

0

√5dt = 5

√5π


Exemplo 2.13.

Exemplo 2.14.

Exemplo 2.15.


Lembrando que integrais definidas (ou integrais duplas) de funções escalares cujas imagens

são não negativas em todos os pontos do domínio D, são números também não negativos e que

representam a área da região do plano acima de D e abaixo da curva gráfico da função de uma

variável (ou o volume do sólido no espaço acima de D e abaixo da superfície gráfico da função

de duas variáveis).

Existem situações não contempladas nos casos acima descritos. Por exemplo, se quisermos

calcular a área de um "muro"construído sobre uma curva e cuja altura é variável não é possível

fazê-lo através de integral definida nem de integral dupla.

Porém, o cálculo dessa área segue o mesmo princípio, dando origem a um novo tipo de

integrais, as integrais de linha ou integrais curvilíneas.

O conceito de integral de linha constitui uma generalização do conceito de integral definidab∫

a

f(x)dx. No caso da integral definida, a integral é efetuada ao longo do segmento de reta ab

pertencente ao eixo dos−→0x, sendo f(x) uma função definida em qualquer ponto deste segmento

de reta.

Problema 2.3.1.

Consideremos uma curva L unindo dois pontos no plano x0y e uma função z = ~F (x, y)

contínua em D onde D é uma região do plano contendo a curva L.

Um muro é construído ao longo de L e tem altura igual à ~F (x, y) (supondo que ~F seja não

negativa em D) em cada ponto (x, y)) de L. Qual é a área deste muro?.

Solução.

Figura 2.8:

Para resolver o problema nós tomamos um partição da

curva L obtendo n arcos pela introdução de n − 1 pontos

em L entre os seus extremos.

Seja ~r : [a, b] −→ R3 uma curva regular, tal que

~r([a, b]) = L ⊂ R3 é a imagem de ~r.

Agora consideremos ~F : L ⊂ R3 −→ R uma função

definida sobre a curva L.

Consideremos P = t0, t1, t2, · · · , tn uma partição

de [a, b] tal que a = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = b.

Estes pontos determinam uma partição da curva L pelos pontos ~r(a) = ~r(t0), ~r(t1), ~r(t2), · · · , ~r(ti) =

(xi, yi, zi), · · · , ~r(tn) = ~r(b).

Traçando retas verticais por esses pontos (inclusive os extremos) dividimos o muro em n

"tiras". Denotando por ∆Ai a área da i-ésima "tira"a área do muro é dada por

Área = ∆A1 + ∆A2 + · · · + ∆An =n∑

i=1

∆Ai

Figura 2.9:

Em cada subintervalo [ti−1, ti] para i =

1, 2, , · · · , n escolhemos um ponto arbitrário

ti tal que ~r(ti) = (xi, yi, zi) ∈ L.


Vejamos uma aproximação para a área da

i-ésima tira, ∆Ai.

Para isso, tomemos no i-ésimo arco,

~r(ti−1)~r(ti), um ponto (xi, yi, zi) e considere-

mos a altura ~F (xi, yi, zi) do muro neste ponto.

O comprimento do arco ~r(ti−1)~r(ti) deno-

taremos por L(Si). Isto é,

L(Si) =

ti∫

ti−1

√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2dt

é o comprimento de arco da curva compreendida de ~r(ti−1) a ~r(ti).

Como ~F é uma função contínua e a i-ésima tira é estreita podemos aproximar o valor de~F para ~F (xi, yi, zi) em todo (x, y, z) do arco ~r(ti−1)~r(ti) . Assim, a área da i-ésima tira é

aproximada por

∆Ai ≈ ~F (xi, yi, zi)L(Si)

enquanto a área do muro tem aproximação

Área do muro ≈n∑

i=1

~F (xi, yi, zi)L(Si)

Como podemos intuir, se aumentarmos indefinidamente o número de arcos na partição, em

cada arco o comprimento tende a zero e a função ~F tende a assumir o valor constante ~F (xi, yi, zi)

. Desta forma a área do muro é

Área do muro = limn→∞

n∑

i=1

~F (xi, yi, zi)L(Si)

que sabemos tratar-se de uma integral e que é chamada integral de linha ou integral curvilínea

da função ~F ao longo da curva L e denotaremos∫

L

~F (x, y, z)dS. Assim,

Área do muro =

∫

L

~F (x, y, z)dS

Definição 2.14.

Se existe um número M ∈ R tal que para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

~F (xi, yi, zi)L(Si) − M

∣∣∣∣∣< ε

para toda partição P = t0, t1, t2, · · · , tn de L, então dizemos que existe a integral curvilínea


de ~F com respeito ao comprimento de arco L e se escreve como

∫

L

~F (x, y, z)dS = M = lim‖L(Si)‖→0

n∑

i=1

~F (xi, yi, zi)L(Si) (2.6)

Onde ‖L(Si)‖ é o comprimento máximo de arco correspondente à partição considerada.

Observe que ~F (x, y, z) e dS estão em R, porém dS é a imagem do diferencial d~r ∈ R3 e

a função ~F : L ⊂ R3 −→ R, podemos escrever como a função vetorial ~F = (F1, F2, F3), assim

justifica-se o produto interno ~F • d~r sobre a curva LLogo, a igualdade (2.6) em notação vetorial esta definida como

∫

L

~F (x, y, z)dS =

∫

L

~F (~r) • d~r =

b∫

a

~F [~r(t)] • d~r

dt(t)dt

Em coordenadas cartesianas, se conseguirmos representar paramétricamente as coordenadas

(x, y, z) em função de somente um parâmetro t, teríamos que

∫

L

~F (~r) • d~r =

∫

L

(F1dx + F2dy + Fzdz) =

b∫

a

[F1dx

dt+ F2

dy

dt+ F3

dz

dt]dt (2.7)

uma vez que temos x = x(t), y = y(t) e z = z(t) logo, x′ =dx

dt, y′ =

dy

dte z′ =

dz

dt, etc.

Observação 2.1.

Podemos calcular a integral de linha de uma função ao longo de uma curva, mesmo que

ela assuma também valores negativos em pontos desta curva. Como nas integrais definidas o

resultado será a diferença entre a área onde a ~F é não negativa e a área onde a F é negativa.

Desta forma, não há restrição para o resultado da integral de linha, podendo ser positivo, negativo

ou nulo.

Propriedade 2.1.

Seja ~r : [a, b] −→ R3 uma curva regular definida por ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) tal que ~r(t) =

L ⊂ R3 é a imagem de ~r.

Quando ~F : L ⊂ R3 −→ R seja uma função contínua sobre L, então:

∫

L

~F (x, y, z)dS =

b∫

a

~F (~r(t))|~r′(t)|dt =

b∫

a

~F (x(t), y(t), z(t))∇~r(t)dt

Um caso típico de problemas em Física e Química que envolvem integrais de linha é o trabalho

efetuado por uma força variável para transportar um corpo de massa m do ponto A até ao ponto

B através de uma trajetória curvilínea L.

Exemplo 2.16.


De dois modos diferentes, calcular a integral de linha do campo ~F (x, y) = (x2, y2) sobre a

parábola L : y = x2, desde A(0, 0) até B(1, 1).

Solução.

1. Parametrizamos a curva L mediante ~r(t) = (t, t2), t ∈ [0, 1], logo ~r ′(t) = (1, 2t) e~F (~r(t)) = (t2, t4). Aplicando a igualdade (2.7) segue

∫

L

~F (~r) • d~r =

∫

L

(x2dx + y2dy) =

1∫

0

[F1dx

dt+ F2

dy

dt]dt =

1∫

0

[(t2)(1) + (t4)(2t)]dt =2

3

2. Parametrizamos L por ~r(t) = (

√t

2,

t

4), t ∈ [0, 4], logo ~r ′(t) = (

1

4√

t,1

4) e F (~r(t)) = (

t

4,

t2

16).

Aplicando a igualdade (2.7) segue

∫

L

~F (~r) • d~r =

4∫

0

(t

4,

t2

16)(

1

4√

t,

1

4)dt =

4∫

0

[(

√t

16+

t2

64)]dt =

2

3

Exemplo 2.17.

Consideremos uma força ~r(t) = x(t)~i+y(t)~j+z(t)~k que atua sobre uma partícula que descreve

a trajetória ~r(t) =~i cos t+~jsent+3t~k 0 ≤ t ≤ 2π, que corresponde à hélice ilustrada na Figura

(2.10):

Figura 2.10:

Temos portanto, que

x(t) = cos t, y(t) = sent, z(t) = 3t

pelo que o trabalho está representado por

∫

L

~F (~r) • d~r =

2π∫

0

(−3tsent + cos2 t + 3sent)dt = 7π

uma vez que~F (~r) • d~r = (3t~i + cos t~j + sent~k) • (−~isent +~j cos t + 3~k).

Exemplo 2.18.

Calcular a integral de linha∫

L

(xy +3x)ds, sendo L o segmento que une o ponto A(−1, 0) ao

ponto B(2, 3).

Solução.

Primeiro temos de parametrizar a curva L

y − 0 =3 − 0

2 + 1(x + 1), y = x + 1

~r(t) = (t, t + 1), t ∈ [−1, 2]


r′(t) = (1, 1), |r′(t)| =√

1 + 1 =√

2

∫

L

(xy + 3x)ds =

2∫

−1

(x(t)y(t) + 3x(t))|r′(t)|dt =

2∫

−1

[t(t + 1) + 3t]√

2dt = 9√

2

Observe que a parametrização usada foi através da equação reduzida de uma reta no plano,

e o intervalo de variação do parâmetro foi dado pelas abcissas dos pontos de extremidade do

segmento de reta, já que foi considerado x = t. O resultado obtido seria o mesmo se tomássemos

as equações paramétricas da reta para parametrizar o segmento(orientado) ~AB. Ou seja, o vetor

diretor é ~v = B − A = (3, 3) sendo a parametrização dada por

~r(t) = (−1 + 3t, 3t), t ∈ [0, 1] ou ~r(t) = A − t~v, t ∈ [0, 1]

Sugerimos que calcule a integral de linha∫

L

(xy+3x)ds, usando esta parametrização. Deverá

dar o mesmo resultado pois a integral de linha é independente da parametrização.

Claramente se observa mediante a definição a relação que existe entre uma “integral de linha"

e uma “integral definida" sobre o eixo coordenado. No entanto, não é difícil compreender que a

“integral de linha" é mais geral e flexível do que o seu parente mais pobre, a “integral definida".

2.3.2 Propriedades Fundamentais da integral de linha

As integrais de linha satisfazem algumas propriedades de certa forma intuitivas, tendo em

consideração que constituem uma generalização das integrais definidas, Se k ∈ R é uma constante

arbitrária e as curvas L1 e L2 são ilustradas na Figura (2.11), então:

1.∫

L

k ~F (~r) • d~r = k

∫

L

~F (~r) • d~r

2.∫

L

[~F (~r) + ~G(~r)] • d~r =

∫

L

~F (~r) • d~r +

∫

L

~G(~r) • d~r

3.∫

L

~F (~r) • d~r =

∫

L1

~F (~r) • d~r +

∫

L2

~F (~r) • d~r

Figura 2.11:

Para a demonstração destas propriedades, basicamente

se utilizam as propriedades dos limites e dos somatórios.

Quando calculamos uma integral de linha através de

uma curva L, estamos trabalhando com uma determinada

orientação desta curva. Se o caminho de integração for

percorrido no sentido inverso, então o valor do integral de

linha fica com sinal contrária.

É de observar que a expressão da integral de linha∫

L

~F (~r) • d~r no contexto da mecânica, tem um significado particularmente simples:


Se dividirmos a trajetória L em pequenos segmentos de reta de comprimento |d~r| que rep-

resentaremos por vetores elementares d~r, então a integral de linha não é mais do que a soma,

para todos os segmentos infinitesimais (e no limite em que |d~r| tende para zero) da componente

eficaz de ~F em cada segmento. Claro, a componente eficaz de ~F (pense ~F em como uma força e

o integral como o cálculo de um trabalho) não é mais do que a projeção de ~F segundo a direção

especificada por d~r em cada segmento de reta elementar.

É importante ter em conta que as integrais de linha dependem do caminho de integração

escolhido, mesmo quando os pontos inicial e final são os mesmos. Esta afirmação podemos

confirmar com o seguinte exemplo:

Exemplo 2.19.

Calcular a integral de caminho da função ~F (~r) = 5z~i+xy~j +x2z~k segundo dois caminhos de

integração distintos, mas com os mesmos pontos iniciais A = (0, 0, 0) e B = (1, 1, 1).

Solução.

1. Suponhamos o caminho L1 do segmento de reta que liga A a B, mediante a função ~r1(t) =

t~i + t~j + t~k. Fazendo as substituições de ~r(t) em ~F (~r) obtemos:

~F (~r1(t)) = 5t~i + t2~j + t3~kd

dt~r1(t) =~i +~j + ~k

pelo que as integrais valem

∫

L1

~F (~r) • d~r =

1∫

0

(5t~i + t2~j + t3~k)(~i +~j + ~k)dt =

1∫

0

(5t + t2 + t3)dt =37

12

2. Por outro lado, suponhamos o caminho L2 que é o arco da curva parabólica ~r2(t) = t~i+t~j+t2~k.

Fazendo as substituições de ~r2(t) em ~F (~r) obtemos:

~F (~r2(t)) = 5t2~i + t2~j + t4~kd

dt~r2(t) =~i +~j + 2t~k

pelo que as integrais valem

∫

L2

~F (~r) • d~r =

1∫

0

(5t2~i + t2~j + t4~k)(~i +~j + 2t~k)dt =

1∫

0

(5t2 + t2 + 2t5)dt =7

3

Suponhamos agora a curva não está restrita a ser parte do eixo−→0x, mas sim pode ser um

caminho de integração qualquer, inclusive esta curva pode ser do tipo “curva fechada" como se

ilustra na Figura (2.12).

Fica então a questão:

Será que existem funções para as quais os integrais de linha entre dois pontos

específicos não dependa da trajetória que os liga?


Figura 2.12:

Neste caso, quando a curva L for fechada teremos que a integral nem sempre é zero sendo a

pergunta natural. Porque?

Como é evidente da expressão acima, a complicação reside na representação paramétrica da

curva, que nem sempre é trivial.

Se o caminho de integração é uma curva é fechada, geralmente a integral escreve-se∮

~F (~r) •d~r.

Exemplo 2.20.

-

6

-6

L1

L2L3

(1, 1)

0 1

1

x

y

Figura 2.13:

Determine o valor da integral∫

L

~F para ~F (x, y) = (x + y, y2),

onde L é a curva fechada da Figura (2.13).

Solução.

Temos que L = L1 ∪ L2 ∪ L3, logo

∫

L

~F =

∫

L1

~F +

∫

L2

~F +

∫

L3

~F

a) L1 : x = t, e y = 0, t ∈ [0, 1],dx = dt, dy = 0, logo

∫

L1

~F =

∫

L1

(x + y, y2)(dx, dy) =

1∫

0

(t, 0)(dt, 0) =1

2(2.8)

b) L2 : x = 1, e y = t, t ∈ [0, 1],dx = 0, dy = dt, logo

∫

L2

~F =

∫

L2

(x + y, y2)(dx, dy) =

1∫

0

(1 + t, t)(0, dt) =

1∫

0

t2dt =1

3(2.9)

c) L3 : x = 1 − t, e y = 1 − t, t ∈ [0, 1],dx = −dt, dy = −dt, logo

∫

L3

~F =

∫

L3

(x + y, y2)(dx, dy) =

1∫

0

(2 − 2t, (1 − t)2)(−dt, −dt) = −1∫

0

(2t − t2)dt = −4

3(2.10)

Das igualdades (2.8), (2.9) e (2.10) segue que∫

L

~F =1

2+

1

3− 4

3= −1

2.


2.3.3 Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha

Teorema 2.1.

Um integral de linha∫

L

~F (~r) • d~r =

∫

L

(F1dx + F2dy + F3dz) com F1, F2, F3 contínuas

num domínio D ⊆ R3, é independente do caminho de integração em D se, e somente se ~F é o

gradiente de uma função f em D.

Como é evidente, se a integral entre os pontos a e b que constituem os extremos do caminho

de integração L é independente do caminho que une estes dois pontos, então ele só pode depender

desses pontos, pelo que podemos escrever

∫

L

~F (~r) • d~r = f(a) − f(b) (2.11)

Demonstração.

Com efeito, seja ~F = (F1, F2, F3) = ∇f =∂f

∂x~i +

∂f

∂y~j +

∂f

∂z~k, então

∫

C

~F (~r) • d~r =

∫

C

(F1dx + F2dy + F3dz) =

b∫

a

(F1x′ + F2y

′ + F3z′)dt

=

b∫

a

[∂f

∂x

dx

dt+

∂f

∂y

dy

dt+

∂f

∂z

dz

dt

]

dt =

b∫

a

df

dtdt = f(a) − f(b)

Isso significa que o integral de linha de uma função deste tipo ao longo de uma trajetória

fechada é nula, independente da trajetória.

Como vimos, a independência do caminho de integração relaciona o campo vetorial com o

gradiente de um campo escalar f . Não é de estranhar o seguinte resultado

Propriedade 2.2.

Sejam F1, F2, F3 funções contínuas com derivadas parciais contínuas num domínio D ⊂ R3

tal que∫

L

~F (~r) • d~r =

∫

L

(F1dx + F2dy + F3dz). Então:

1. Se a integral de linha é independente do caminho de integração em D, tem-se que rot ~F = 0

pelo que, em coordenadas cartesianas, podemos escrever:

∂F1

∂z=

∂F3

∂x,

∂F2

∂x=

∂F1

∂y,

∂F3

∂y=

∂F2

∂z

2. Caso aconteça∂F1

∂z=

∂F3

∂x,

∂F2

∂x=

∂F1

∂y,

∂F3

∂y=

∂F2

∂zem D, sendo D é simplesmente

conexo, então∫

L

~F (~r) • d~r é independente do caminho em D.


2.3.4 Aplicações da integral de linha

Seja ~r : [a, b] −→ R3 a representação de uma curva regular L e seja ~F : L ⊂ R3 −→ R uma

função contínua sobre L.

1. Se L representa a trajetória de um fio de arame em R3 e ~F (x, y, z) = 1, ∀ (x, y, z) ∈ L,

tem-se que o comprimento L desse fio é dado por

L =

∫

L

~F (x, y, z)dS =

∫

L

dS

2. Se ρ : L ⊂ R3 −→ R é a função de densidade da massa de um fio de arame representada pela

curva L, então a massa do arame é dado por

M =

∫

L

ρ(x, y, z)dS

Portanto, o centro de massa do arame (x, y, z), onde

x =

∫

L

xρ(x, y, z)dS

M, y =

∫

L

yρ(x, y, z)dS

M, z =

∫

L

zρ(x, y, z)dS

M

3. Seja ~F = (F1, F2, F3) a representação de uma força, e seja L uma curva em R3, suponhamos

que uma partícula se movimenta ao longo de L. O trabalho total realizado pela força ~F

ao longo da curva L é dado por

W =

∫

L

~F • d~r

Exemplo 2.21.

Uma partícula se movimenta no plano XY ao longo da reta A(a, b) ao ponto B(c, d), devido

à força ~F = (− x

x2 + y2, − y

x2 + y2). Determine o trabalho W realizado pela força ~F .

Solução.

Tem-se que a curva esta representada pela função ~r(t) = (a + t(c − a), b + t(d − b)) sendo

0 ≤ t ≤ 1, logo o trabalho ao longo da curva L é

W =

∫

L

~F • d~r =

∫

L

(− x

x2 + y2, − y

x2 + y2)(dx, dy)

W = −1∫

0

[[a + t(c − a)]c + [b + t(d − b)]d

[a + t(c − a)]2 + [b + t(d − b)]2

]

dt =1

2Ln

[a2 + b2

c2 + d2

]


2.4 Teorema de Green

Existe uma importante relação entre as integrais duplas e as integrais de linha sobre curvas

fechadas simples, que a continuação discutiremos. Vejamos como é possível relacionar integrais

de linha com integrais duplas e vicê versa. Esse é o resultado contido no teorema de Green no

plano.

Se ~F = (F1, F2) é o gradiente de um campo escalar, e se no teorema fundamental do calculo

para integrais de linha os pontos a e b coincidem, então o teorema nos diz que a integral de

linha de ~F ao longo de uma curva fechada (com restrições sobre a região D) é nula. Se ~F não

é gradiente de uma função escalar, a integral de linha pode ser relacionada à variação de ~F na

região fechada. O teorema de Green é para curvas no plano:

Teorema 2.2. De Green.

Seja L uma curva regular simples e fechada orientada positivamente e seja D ⊂ R2 a região

simplesmente conexa que consiste em L e seu interior. Se F1(x, y) e F2(x, y) são funções

contínuas com derivadas parciais primeiras contínuas em toda uma região contendo D, então

∫

D

∫ [∂F2

∂x− ∂F1

∂y

]

dxdy =

∮

L

[F1dx + F2dy] (2.12)

A demonstração deste teorema, implica um argumento de aproximação que não será apre-

sentado. É exercício para o leitor.

Como ~F = F1~i + F2

~j é um campo vetorial de classe C1 no aberto D ⊂ R2 e seja L como no

Teorema de Green. Como∂F2

∂x− ∂F1

∂y= (rot ~F ) • ~k, a expressão (2.12) pode reescrever-se em

notação vetorial da seguinte forma:

∫

D

∫

(rot ~F ) • ~kdxdy =

∮

L

~F • d~r

Figura 2.14:

O integrando sobre a região D é visto como algum

tipo de derivada do integrando ao longo do contorno

que determina a região. Nesta forma, o teorema de

Green é, também conhecido como teorema de Stokes

no plano.

Para o caso∂F2

∂x− ∂F1

∂y= 1 então a área de D é

dada por

Área(D) =

∮

L

F1dx + F2dy

O Teorema de Green podemos estender a conjuntos

mais gerais.

Suponhamos D uma região fechada e limitada do plano XY delimitada por uma curva L que

se pode representar como a união disjunta de um número finito de curvas lisas como indica a

Figura (2.14).


Isto é, suponhamos que o conjunto D tem como fronteira as curvas fechadas α1 e α2 que

percorrem no sentido positivo (anti-horário) em relação a D. Isto significa que a região D sempre

fica no lado esquerdo quando uma partícula se movimenta sobre α1 e α2.

Corolario 2.4.1.

Seja D um conjunto fechado e limitado de R2 tal que a fronteira percorre um número finito

de curvas fechadas simples Lk e suponhamos que cada Lk está orientada positivamente respeito

de D.

Se F1, F2 : D ⊂ R2 −→ R são funções contínuas em uma vizinhança de D, então

∫

D

∫ [∂F2

∂x− ∂F1

∂y

]

dxdy =n∑

k=1

∮

Lk

F1dx + F2dy (2.13)

Exemplo 2.22. Transformação de integral de linha em uma de área.

Calcular∫

L

x4dx + xydy , onde L é a curva triangular que une os pontos (0, 0), (0, 1) e

(1, 0), orientada positivamente.

Solução.

-

6

-

?

@@@I

@@@

0

y

y = 1 − x

x

1

1

Figura 2.15:

O gráfico indica la região limitada pela curva L.

Tem-se:

F1(x, y) = x4 ⇒ ∂F1

∂y= 0 e;

F2(x, y) = xy ⇒ ∂F2

∂x= y, logo

∫

L

x4dx + xydy =

∫

D

∫

(∂F1

∂y− ∂F2

∂x)dxdy =

=

1∫

0

1−x∫

0

ydydx =

1∫

0

1

2y2∣∣∣

1−x

0dx =

1

2(1 − x)3

∣∣∣

1

0=

1

6

Observe que se hubiesemos resolvido a integral curvilínea deveriamos ter resolvido três inte-

grais com as correspondentes parametrizações.

Exemplo 2.23.

Calcular a integral I =

∮

L

[(xy+x+y)dx+(xy+x−y)dy] onde L é a fronteira da circunferência

x2 + y2 = ax

Solução.

Fazendo F1 = (xy + x + y) e F2 = (xy + x − y) tem-se que

∂F1

∂y= x + 1,

∂F2

∂x= y + 1


A mudança de variável x = r cos θ e y = rsenθ para 0 ≤ r ≤ a cos θ e −π

2≤ θ ≤ π

2descreve a circunferência dada, logo

I =

∫

D

∫

(y − x)dxdy =

π2∫

−π2

cos θ∫

0

= (−r cos θ + rsenθ)rdrdθ

=a3

3

π2∫

−π2

[−cos4θ + cos3 θsenθ]dθ = −a2π

8

Portanto, o valor da integral I = −a2π

8.

Observação 2.2.

Existe uma ambigüidade no sentido em que a curva fechada é percorrida. Como vimos, neste

caso, ao integrar entre−π

2e

π

2estamos explicitamente a rodar no sentido anti-horário. Este

coincide com o sentido de circulação positivo.

O sentido de circulação é positivo quando se circula ao longo da curva fechada de tal modo

que a área que esta delimita se encontra à esquerda como indica a Figura (2.14).

Exemplo 2.24. Limitações na aplicação do Teorema de Green.

Dado F (x, y) = (F1, F2) =(−y~i + x~j)

(x2 + y2)

a) Calcular a integral de linha sobre circunferência x2 + y2 = 1

b) Calcular Área =

∫

D

∫∂F2

∂x− ∂F1

∂ydA, onde D es la região limitada pela curva de a).

c) Estes resultados estão de acordo o no con el Teorema de Green?

Solução.

a) Parametrizando a circunferência x2 + y2 = 1

x = cos t ⇒ dx = −sentdt, y = sent ⇒ dt = cos tdt, 0 ≤ t ≤ 2π

F1(x, y) =−y

(x2 + y2)⇒ F1(x(t), y(t)) =

−sent

(cos t2 + sent2)⇒ F1dx = sen2tdt

F2(x, y) =x

(x2 + y2)⇒ F2(x(t), y(t)) =

cos t

(cos t2 + sent2)⇒ F2dy = cos2 tdt

Integrando obtemos:

∫

L

[F1dx + F2dy] =

2π∫

0

[sen2t + cos2 t]dt = 2π


b) Fazendo os cálculos diretamente en coordenadas cartesianas é:

∂F1

∂y=

−(x2 + y2) + 2y2

(x2 + y2)2=

y2 − x2

(x2 + y2)2

∂F2

∂x=

(x2 + y2) − 2x2

(x2 + y2)2=

x2 − x2

(x2 + y2)2

⇒ ∂F2

∂x− ∂F1

∂y= 0 ⇒

Área =

∫

D

∫∂F2

∂x− ∂F1

∂ydA = 0

c) Aparentemente estes resultados contradizem o Teorema de Green. Não obstante, este último

não é aplicável à região en questão, dado que as funções F1 e F2 não têm derivadas parciais

contínuas no ponto (0; 0), que está contido na região.

Exemplo 2.25. Determinação de área mediante uma integral de linha.

Determine a área da região limitada pela hipociclóide que tem como equação vetorial

~r(t) = cos3 t~i + sen3t ~j, 0 ≤ t ≤ 2π

Solução.

Da parametrização da curva temos:

x = cos3 t ⇒ x2/3 = cos2 t e y = sen3t ⇒ y2/3 = sen2t.

Somando membro a membro temos:

x2/3 + y2/3 = cos2 t + sen2t = 1 então y = ± 3√

(1 − x2/3)2 e; Área =

1∫

−1

3√

(1−x2/3)2∫

− 3√

(1−x2/3)2

dydx.

Figura 2.16:

Este cálculo, utilizando a integral de área, é bas-

tante complicado.

O teorema de Green permite transformar esta in-

tegral em uma outra integral curvilínea, usando como

trajetoria a hipociclóide do enunciado e definindo uma

função apropriada para a integração. Lembre que a

área de uma região D é dada por Área =

∫

D

∫

dA.

Assim, para aplicar Green deberíamos achar funções

F1 e F2 tais que∂F2

∂x− ∂F1

∂y= 1.

Um par de funções simples que cumprem esta

condição são: F1 = 0 e F2 = x.

do a parametrização, podemos escrever:

x(t) = cos3 t ⇒ d

dtx(t) = −3 cos2 tsent e y(t) = sen3t ⇒ d

dty(t) = 3sen2t cos t


Logo, Área =

∫

D

∫

dA =

∫

L

[F1dx + F2dy] =

2π∫

0

cos3 t3sen2t cos tdt =

= 3

2π∫

0

cos4 t sen2tdt =3

4

2π∫

0

cos2 t sen22tdt =3

8

2π∫

0

(1 + cos 2t)sen22tdt =

Área =3

8

2π∫

0

(sen22t + sen22t cos 2t)dt =3

16

2π∫

0

(1 − cos 4t) + 2sen22t cos 2t)dt =

Área =3

16

[

t − 1

4sen4t +

2

3sen32t

] ∣∣∣

2π

0=

3

8π

Deste modo como podemos observar, aplicamos uma ferramenta para obter a área de uma

região limitada por uma curva fechada, que podemos adicionar ao método das coordenadas

polares.

Exemplo 2.26. Aplicação do teorema de Green a un problema físico sobre uma região não

conexa.

Determinar o momento de inércia de uma arandela homogênea de radio interno a, radio

externo b e massa M , respecto a um de seus diâmetros.

Solução.

Figura 2.17:

Determinemos o momento de inércia respeito ao

diâmetro colinear con o eixo x. Da Física sabemos que:

Ix =

∫ ∫

ρy2dA

Onde ρ é a densidade superficial da arandela,

supondo constante dado que é homogênea.

Esta região não é simplesmente conexa porém,

como vimos puedemos estender o teorema de

Green a este tipo de região com buracos, con-

siderando:

∫

D

∫ (∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)

dA =

∫

L1

F1dx + F2dy −∫

L2

F1dx + F2dy

Assim, podemos calcular a integral dupla do momento de inércia como duas integrais.

Para isto debemos achar funções F1, F2 tais que:∂F2

∂x− ∂F1

∂y= y2

Consideremos por exemplo F2 = 0 e F1 = −1

3y3


Aplicando Green con esta função tenemos:

Ix =

∫

D

∫

ρy2dA = −∫

L1

ρ1

3y3dx +

∫

L2

ρ1

3y3dx (2.14)

Parametrizando estas curvas tenemos:

L1 =

x = b cos t ⇒ dx = −bsent dt

y = bsent ⇒ dy = b cos t dt0 ≤ t ≤ 2π

L2 =

x = a cos t ⇒ dx = −asent dt

y = asent ⇒ dy = a cos t dt0 ≤ t ≤ 2π

Substituindo em (2.14)

Ix =

∫

D

∫

ρy2dA =

2π∫

0

ρ1

3b3sen4t dt −

2π∫

0

ρ1

3a4sen4t dt = ρ

1

3(b4 − a4)

2π∫

0

sen4t dt =

Ix = ρ1

3(b4 − a4)

2π∫

0

sen2t(1 − cos2 t)dt = ρ1

3(b4 − a4)

2π∫

0

(sen2t − sen22t

4)dt

Ix = ρ1

3(b4 − a4)

2π∫

0

[1 − cos 2t

2− 1 − cos 4t

8

]

dt =1

4ρ(b4 − a4)π

Como a massa M = b2 − a2 segue que

Ix ==1

4ρπ(b4 − a4) =

1

4ρπM(b2 − a2)

Isto é o modo de expressar o momento de inércia: como o produto de um comprimento ou

soma de comprimentos ao quadrado pela massa da arandela.


Exercícios 3-1

1. Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado.

1. f(x, y, z) = x203y2 + 4z2 2. f(x, y, z) = sen(x2 + y2 + z2)

3. f(x, y, z) = arctan(xy) 4. f(x, y, z) = y2e−3x

2. Para cada um dos seguintes exercícios, determine a integral de linha.

1.∫

L

[ x2

√

x2 − y2dx +

2y

4x2 + y2dy]

onde L é o arco y =1

2x2 de (0, 0) até (2, 2).

2.∫

L

[(x2 − 2y)dx + (2x + y2)dy] onde L é o arco y2 = 4x − 1 de (1

4, 0) até (

5

4, 2).

3.∫

L

[(x + y)dx + (x − y)dy]

1. Através da curva L que é o segmento−→OA e

−−→AB onde A(2, 0), B(2, 1 e O(0, 0).

2. Através da curva L que é o segmento−−→OB.

4.∫

L

[ydx + (x2 + y2)dy] onde L é o arco da circunferência y =√

4 − x2 de (−2, 0) até

(0, 2).

5.∫

L

[ −y

x√

x2 − y2dx+

1√

x2 − y2dy]

onde L é o arco da curva x2 − y2 = 9 de (3, 0) até

(5, 4).

6.∫

L

y2sen2x√

1 + cos2 xds onde L é o arco da curva y− = senx de (0, 0) até (π

2, 1).

7.∫

L

y2dx − xdy onde L é a curva y2 = 4x de (0, 0) até (1, 2).

8.∫

L

x2dy onde L é a curva y = x3 − 3x2 + 2x desde (0, 0) até (2, 0).

9.∫

L

[(y − x)dx + x2ydy] onde L é a curva y2 = x3 desde (1, −1) até (1, 1).

10.∫

L

xy2

x2 + y2dy onde L é o círculo x2 + y2 = a2 no sentido anti-horário.

11.∫

L

xdy onde L é o segmento de retax

a+

y

b= 1 desde o ponto de intersecção com o

eixo das abscissas até o ponto de intersecção com o eixo das ordenadas.

12.∫

L

[yzdx + zxdy + xydz] onde L é um arco da hélice x = R cos t, y = Rsent, z =at

2π

desde o ponto de intersecção da hélice com o ponto z = 0, até o ponto de intersecção

com o plano z = a.


13.∫

L

[y2dx+z2dy +x2dz] onde L é a curva de intersecção da esfera x2 +y2 +z2 = R2 e

o cilindro x2 +y2 = Rx, (R > 0, /z ≥ 0, sendo percorrido no processo de integração

no sentido anti-horário.

3. Determine∫

L

f(x, y)ds se L é a curva no sentido anti-horário do conjunto de pontos S,

onde

1. f(x, y) = xy onde S é o triângulo formado pelo eixos coordenados e a reta x+2y = 1.

2. f(x, y) = x2 + y2 onde S é a semi-circunferência formada pelo eixo 0x e a metade

superior da circunferência x2 + y2 = 4.

3. f(x, y) = xy − y2 onde S = (x, y) ∈ R2 /. |x| + |y| = 1 4. f(x, y) = (x − y)2 onde S é um quarto da circunferência x2 + y2 = 4 do primeiro

quadrante e os eixos de coordenadas.

5. f(x, y) = xy onde S é determinado por α(t) = (4sent, 4 cos t), 0 ≤ t ≤ π.

Fórmula de Green

4. Para os seguintes exercícios, transformar as integrais curvilineas consideradas ao longo dos

contornos fechados L, no sentido mpositivo, em integrais duplas sobre os domínios limitados

por estes mesmos contornos.

1.∫

L

(1 − x2)ydx + x(1 + y2)dy

2.∫

L

(exy + 2x cos y)ydx + (exy − x2seny)dy

5. Calcular a integral do Exercício anterior (1.) de dois modos considerando a circunferência

x2 + y2 = R2 como contorno de Integração L.

1. Diretamente.

2. Aplicando a fórmula de Green.

Capítulo 3

INTEGRAL DE SUPERFÍCIE

Para contornos que não pertencem ao plano, o Teorema de Green é generalizado pelo Teorema

de Stokes.

As integrais de superfície estão para as integrais duplas como as integrais de linha estão para

as integrais definidas.

Com efeito, as integrais definidas correspondiam a uma integral de linha muito particular,

em que a trajetória é um segmento de reta coincidente com o eixo dos −→ox e a função correspondia

apenas à componente segundo x da função vetorial. Ao generalizar o conceito de integral para

uma linha curva qualquer, tivemos de recorrer à notação vetorial, bem como vimos a conveniência

de representar paramétricamente a curva.

Do mesmo modo, as integrais duplas correspondem a integrais de superfícies no plano XY , ou

seja, superfícies planas, representáveis por funções escalares de duas variáveis. Como é evidente,

muitas superfícies de grande interesse - e mesmo até de elevada simetria, como é o caso das

superficies cilíndricas e esféricas - não são planas, pelo que, uma vez mais, vamos generalizar o

conceito de integral dupla, recorrendo a funções vetoriais.

Tal como no caso dos integrais de linha, será muito útil representar paramétricamente as su-

perfícies, pois desta forma conseguiremos transformar integrais de superfície em integrais duplas.

Comecemos portanto, por estabelecer a notação e ver alguns exemplos de superfícies curvas e

sua representação paramétrica.

3.1 Superfície

As representações de superfícies no espaço cartesiano XY Z podem escrever-se nas formas

z = x2 + y2 ou explicitamente como g(x, y, z) = 0.

Por exemplo, z = +√

a2 − x2 − y2 ou x2+y2 = a2 com a > 0 representam um semi-hemisfério

de raio a centrado na origem.

Como vimos, para as curvas C nas integrais de linha, a representação paramétrica ~r = ~r(t)

onde a ≤ t ≤ b , permitia estabelecer um mapeamento do intervalo a ≤ t ≤ b , pertencente ao

eixo t na curva C no espaço XY Z - ver Figura (3.1) seguinte.

Do mesmo modo, na representação paramétrica de uma superfície far-se-á um mapeamento

semelhante. Uma vez que as superfícies são bidimensionais, serão necessários dois parâmetros

35


Figura 3.1: Figura 3.2:

para as representar. O processo de representação paramétrica é ilustrado na Figura (3.2).

Definição 3.1. Função diferenciável.

Seja r : D ⊂ R2 −→ R3, dizemos que r é diferenciável de classe Ck, k ∈ N, se, suas funções

coordenadas r1, r2, r3 : D ⊂ R2 −→ R3 possuem derivadas parciais contínuas até a ordem k.

Definição 3.2. Parametrização própria.

Seja D ⊂ R2 um aberto, dizemos que a função r : D ⊂ R2 −→ R3 é uma parametrização

própria de R3 se

1. r é injetora.

2. r é diferenciável ao menos de classe C2 e tal que a matriz

∂r1(P )

∂u

∂r2(P )

∂u

∂r3(P )

∂u

∂r1(P )

∂v

∂r2(P )

∂v

∂r3(P )

∂v

seja de rango dois.

Exemplo 3.1.

Sejam D = (u, v) ∈ R2 /. u2 + v2 < 1 e r : D ⊂ R2 −→ R3 definido por r(u, v) =

(u, v,√

1 − u2 − v2. Tem-se que r é uma parametrização própria de R3.

Definição 3.3. Parametrização própria para subconjuntos.

Seja S ⊂ R3 um subconjunto, dizemos que R3, r : D −→ R3 é uma parametrização própria

de S, se r(D) ⊂ S, neste caso escrevemos r : D −→ S.

Definição 3.4. Superfície regular.

Dizemos que S ⊂ R3 é uma superfície regular em R3 se, para cada ponto P ∈ M existe uma

parametrização própria de S.


Isto é r : D ⊂ R2 −→ S é tal que r(D) contém uma vizinhança de P ∈ S.

Deste modo, a representação paramétrica de uma superfície S tem a forma

~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k

onde , (u, v) ∈ D sendo D uma dada região no plano-uv . Assim, todo o ponto (u, v) ∈ D é

mapeado num ponto S de cujo vetor posição é dado por r(u, v).

Exemplo 3.2.

Consideremos a representação paramétrica de um cilindro.

A equação que representa uma superfície cilíndrica de raio a e altura 2 pode escrever-se, em

coordenadas cartesianas, na forma.

S = (x, y, z) ∈ R3 /. x2 + y2 = 2 onde − 1 ≤ x ≤ 1

Uma possível representação paramétrica é dada por ~r(u, v) = a~i cos u + a~jsenv + v~k onde

0 ≤ u ≤ 2π, −1 ≤ v ≤ 1 (recordar coordenadas polares).

Qual a representação paramétrica de uma superfície esférica ?

Quantas representações paramétricas são possíveis para uma dada superfície ?

Exemplo 3.3.

Calcular∫

E

∫

g(x, y, z)dσ , onde g(x, y, z) = x2z, E =√

1 − x2 − y2.

Solução.

Temos

∫

E

∫

g(x, y, z)dσ =

∫

D

∫

x2√

1 − x2 − y2

√

1 +x2

1 − x2 − y2+

y2

1 − x2 − y2dxdy

onde D = (x, y) ∈ R2 /. x2 + y2 ≤ 4 então

I =

∫

D

∫

x2dydx =

1∫

−1

1+√

1−x2∫

−√

1−x2

x2dydx =π

4

3.1.1 Plano tangente. Vetor normal a uma superfície

Seja S ⊂ R3 uma superfície regular e P ∈ S, sabemos que existe uma parametrização própria

r : D −→ S tal que r(u, v) = (r1(u, v), r2(u, v), r3(u, v))

Seja (u0, v0) ∈ D tal que r(u0, v0) = P e seja C1 = r(u0, v0) ∈ S /. (u0, v0) ∈ D uma

curva que resulta de interceptar a superfície S com o plano u = u0, conseqüentemente

C1 = ~r(u0, v) = (r1(u0, v), r2(u0, v), r3(u0, v))


é uma curva regular em S, assim o vetor velocidade à curva C1 no ponto P é dado por

~rv(u0, v0) =∂~r(u0, v0)

∂v=

∂r1(u0, v0)

∂v~i +

∂r2(u0, v0)

∂v~j +

∂r3(u0, v0)

∂v~k

Analogamente, se consideramos C2 = r(u0, v0) ∈ S /. (u0, v0) ∈ D uma curva regular

em S que resulta de interceptar a superfície S com o plano v = v0, isto é

C2 = ~r(u, v0) = (r1(u, v0), r2(u, v0), r3(u, v0))

seu vetor velocidade no ponto P é

~ru(u0, v0) =∂~r(u0, v0)

∂u=

∂r1(u0, v0)

∂u~i +

∂r2(u0, v0)

∂u~j +

∂r3(u0, v0)

∂u~k

Definição 3.5. Plano tangente.

O plano gerado pelos vetores ~ru e ~rv é o plano tangente a S no ponto P cuja normal é~N = ~ru × ~rv.

Por ser r uma parametrização própria cumpre que o vetor ~ru × ~rv 6= 0.

Logo, dada uma superfície curva S, define-se o vetor normal ~n a essa superfície num ponto

P como o vetor que é normal ao plano tangente à superfície nesse ponto como mostra a Figura

(3.3).

Figura 3.3:

Para encontrar o vetor normal unitário a essa su-

perfície no ponto P basta considerar ~n =∇g

|∇g| onde

g(u, v, r(u, v)) = 0.

Que forma tem ~n quando se representa paramétri-

camente a superfície ?

Uma vez que u e v são coordenadas no plano-uv,

se calcularmos a derivada direcional de ~r(u, v) segundo

u e v, ou seja, ~ru =∂r

∂u

∣∣∣P

e ~rv =∂r

∂v

∣∣∣P, e se estes

vetores forem linearmente independentes (isto é, se ~N =

~ru×~rv 6= 0), podemos utilizar a propriedade do produto

vetorial para gerar um versor normal a S em P :

~n =~N

| ~N |=

~ru × ~rv

|~ru × ~rv|

Quando ~ru e ~rv satisfazem ~ru × ~rv 6= 0, sendo contínuos em todos os pontos P em S, então

S tem uma tangente bem definida em todos os seus pontos, bem como uma única normal que

é gerada pelos vetores ~ru e ~rv, cuja direção depende continuamente dos pontos P de S. Diz-se

então que é uma superfície regular.

Figura 3.4:

Existe sempre uma ambigüidade na definição do ve-

tor normal unitário a uma superfície. Essa ambigüidade

refere-se ao seu “sentido", e essa vai constituir, na maior


parte dos casos, uma escolha nossa. No entanto, e tal

como no caso das integrais de linha, em que estabele-

cemos um “sentido" de circulação positivo, também

no caso das integrais de superfície se torna necessário

orientar as superfícies. Essa orientação será feita relati-

vamente ao sentido de circulação ao longo da fronteira

(curva) que as delimita.

Definição 3.6. Superfície orientável.

Consideremos então uma superfície regular. Esta diz-se orientável se um vetor unitário,

especificado num qualquer ponto de pode ser continuado de uma forma única e contínua por toda

a superfície .

Claro que uma porção suficientemente pequena de qualquer superfície regular é orientável.

No entanto, esta propriedade não se verifica necessariamente em superfícies finitas (é como nas

rotações dos corpos - rotações infinitesimais comutam, mas rotações finitas não - recordar as

aulas de mecânica, por exemplo). Um exemplo claro é a banda de Möbius (Figura (3.4)).

Consideremos então uma superfície S que se pode representar como um conjunto finito de

superfícies regulares. Esta diz-se orientável se conseguirmos orientar cada uma das superfícies

regulares de tal modo que ao longo de cada curva C∗ que constitui uma fronteira comum entre

2 superfícies regulares S1 e S2, a direção positiva de C∗ relativamente a S1 é oposta à direção

positiva de C∗ relativamente a S2 - ver Figura (3.5):

Figura 3.5:

Desta forma também temos um modo de definir um sentido para o vetor normal unitário a

cada superfície regular, da forma como se ilustra na Figura (3.5) acima - é o sentido de avanço

de um saca rolhas posicionado perpendicularmente à superfície no ponto em causa, fazendo-o

rodar no sentido de circulação positivo ao longo da curva C (à esquerda) ou C∗(à direita).

3.1.2 Existência da integral de superfície

Seja S ⊂ R2 uma superfície regular e g : S −→ R uma função definida sobre S, e seja

f : D ⊂ R2 → S uma parametrização própria de S, onde D é a região fechada em R2 como

mostra a Figura (3.6).

Seja P = R1, R2, R3, · · · , Rn uma partição da região fechada D ⊂ R2 (cada Ri é um

retângulo), esta partição induz uma partição P ∗ = σ1, σ2, σ3, · · · , σn onde σi = r(Ri) para


Figura 3.6:

i = 1, 2, 3, · · · , n.

Seja (u′i, v′i) ∈ Ri um ponto arbitrário tal que r(u′

i, v′i) = (x′i, y′i, z′i), a soma de Riemann de

g correspondente à partição P ∗ é

n∑

i=1

g(x′i, y′i, z′i)A(σi), onde A(σi) = Área de σi

Caso exista o limite lim‖A(σi)‖→0

n∑

i=1

g(x′i, y

′i, z

′i)A(σi) onde ‖A(σi)‖ é a área máxima da superfície

σi na partição P ∗.

O valor deste limite é a integral de superfície g sobre S e denotamos

I =

∫

S

∫

g(x, y, z)dσ = lim‖A(σi)‖→0

n∑

i=1

g(x′i, y′i, z′i)A(σi)

Observação 3.1.

1. Quando ‖A(σi)‖ → 0, explicitamente n → ∞

2. A integral de superfície representa a área da superfície, é por isso que sua grandeza é medida

em unidades quadradas.

3. Se S = r(D), então a integral de superfície está dada por

I =

∫

S

∫

g(r(u, v))‖~ru × ~rv‖dudv =

Teorema 3.1. Fundamental de integral de superfície.

Seja S uma superfície regular de R3, r : D ⊂ R2 −→ S uma parametrização tal que ~r(u, v) =

(r1(u, v), r2(u, v), r3(u, v)). Se g : S −→ R é uma função contínua, então:

1. Existe∫

S

∫

g(x, y, z)dσ


2.∫

S

∫

g(x, y, z)dσ =

∫

D

∫

g(r1(u, v), r2(u, v), r3(u, v))‖ru × rv‖dudv

Observação 3.2.

Seja D ⊂ R2 uma região fechada, e f : D −→ R uma função diferenciável de classe C2, e seu

gráfico é a superfície S = (x, y, z) /. z = f(x, y), ∀ (x, y) ∈ D a parametrização própria

de S é r : D −→ S ⊂ R3 definida por r(x, y) = (x, y, f(x, y)).

Seja g : S −→ R uma função contínua, então

∫

S

∫

g(x, y, z)dσ =

∫

S

∫

g(x, y, f(x, y))

√

1 +

[df

dx

]2

+

[df

dy

]2

dA

Exemplo 3.4.

Calcular a integral I =

∫

S

∫

(x2 + y2)dσ sendo S a superfície do cone z2 = 3(x2 + y2) entre

z = 0 e z = 3.

Solução.

Temos que z =√

3(x2 + y2),dz

dx=

√3x

√

x2 + y2,

dz

dy=

√3y

√

x2 + y2, logo

I =

∫

S

∫

(x2 + y2)

√√√√1 +

[ √3x

√

x2 + y2

]2

+

[ √3y

√

x2 + y2

]2

= 2

∫

S

∫

(x2 + y2)dxdy

I = 8

√3∫

0

√3−x2∫

0

(x2 + y2)dydx = 8π

Portanto, o valor da integral I = 8π

Para um tratamento vetorial, consideremos então uma superfície S, representada paramétri-

camente através da equação genérica

~r(u, v) = x(u, v)~i + y(u, v)~j + z(u, v)~k

Sendo uma superfície regular ou então a soma de um número finito de superfícies regulares,

de tal forma que tem um vetor normal ~N = ~ru × ~rv e um vetor normal unitário ~n =~ru × ~rv

|~ru × ~rv|em todos os pontos de S (exceto, eventualmente em alguns pontos angulosos, como os vértices

de um cubo ou o vértice de um cone) define-se integral de superfície de uma função vetorial F

em S como ∫ ∫

S

~F • ~ndA =

∫ ∫

D

~F (u, v) • ~N(u, v)dudv (3.1)

Note-se que ~F • ~n é a componente de ~F normal à superfície S em cada ponto, pelo que a

integral de superfície vai corresponder ao cálculo do fluxo do campo vetorial F através de S .


• Recordando a definição de ~ru e ~rv como derivadas direcionais segundo u e v.

• Tendo em conta que, pela definição de produto vetorial, ‖−→N ‖ = |~ru × ~rv| é igual à área do

paralelogramo definido por ~ru e ~rv

temos que dA = ‖ ~N‖dudv , pelo que ~ndA = ~n‖ ~N‖dudv = ~Ndudv.

3.2 Teorema de Stokes

O teorema de Stokes permite-nos relacionar integrais de linha em integrais de superfície e

vicê-versa.

Teorema 3.2.

Seja S ⊂ R3 uma superfície regular ou que se decompõe num número finito de superfícies

orientadas regulares, consideremos C a fronteira de S, constituindo uma curva suave ou que se

decompõe num número finito de curvas suaves. Então, se ~F (u, v, z) é uma função vetorial

contínua com primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém S. Nestas

condições, temos que ∫ ∫

S

(∇× ~F ) • ~ndA =

∮

C

~F • d~r (3.2)

onde ~n é o vetor normal unitário a S de acordo com o sentido de circulação em ~C - ver Figura

(3.7).

Figura 3.7:

É importante não esquecer que o teorema de Stokes

se aplica a superfícies abertas, pois só neste caso se

estabelece inequívocamente uma curva delimitadora.

De reparar que, pelo teorema de Stokes, se torna

evidente que, se uma função vetorial se pode escrever

como o gradiente de uma função escalar, então o inte-

gral ao longo de qualquer circuito fechado é zero. Volta-

mos a encontrar funções cujo integral de linha não de-

pende da trajetória que liga os pontos inicial e final -

são as denominadas funções conservativas.

Aqui como no Teorema de Green, a curva fechada

C é a fronteira da superfície S, e novamente, se ~F é

olhado como uma “anti-derivada"de (rotF ), então a integral sobre a região é igual a anti-derivada

avaliada sobre a fronteira da região. Existem muitas superfícies que tem a mesma fronteira, e

Teorema de Stokes diz que a integral sobre qualquer superfície apropriada dà o mesmo valor da

integral sobre o contorno.

Exemplo 3.5.

Seja S a parte do parabolóide z = 9 − x2 − y2 com z ≥ 0 e seja C o traço de S o plano-xy.

Verifique o teorema de Stokes.

Solução.


Devemos mostrar que as duas integrais de (3.2) tem o mesmo valor.

A superfície é um parabolóide elíptico, obtém-se que n =2x~i + 2y~j + ~k√

4x2 + 4y2 + 1o rotacional

rotF =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z3z 4x 2y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 2~i + 3~j + 4~k

Conseqüentemente

∫ ∫

S

(∇× ~F ) • ~ndA =

∫ ∫

S

4x + 6y + 4√

4x2 + 4y2 + 1dS

aplicando propriedades para resolver esta integral de superfície temos

∫ ∫

S

(∇× ~F ) • ~ndA =

∫ ∫

R

(4x + 6y + 4)dA

onde R é a região do plano-xy limitada pelo círculo de raio 3 e centro na origem. Passando para

coordenadas polares, obtemos

∫ ∫

S

(∇× ~F ) • ~ndA =

2π∫

0

3∫

0

(4r cos θ + 6rsenθ)rdrdθ =

=

2π∫

0

(36 cos θ + 54senθ + 18)dθ = 36π

Por outro lado, para o calculo da integral curvilínea, podemos escrever na forma

∮

C

~F • d~r =

∮

C

(3zdx + 4xdy + 2ydz)

onde C é o círculo x2 + y2 = 9 no plano-xy. Como z = 0 em C esta integral curvilínea se reduz a

∮

C

~F • d~r =

∮

C

4xdy = 4

∮

C

xdy

Como∮

C

xdy é a áres da região (um círculo de raio 3) delimitada por C e, assim

∫ ∫

S

(∇× ~F ) • ~ndA == 36π


3.3 Teorema de Gauss

O teorema de Gauss permite-nos relacionar integrais de superfície com os integrais triplas já

estudados anteriormente.

Teorema 3.3.

Seja T uma região fechada e limitada no espaço R3, cuja fronteira é uma superfície S orien-

tável ou então se pode decompor num conjunto finito de superfícies orientáveis. Seja uma função

vetorial contínua com primeiras derivadas parciais contínuas num dado domínio que contém T .

Nestas condições, temos que

∫ ∫

S

~F • ~ndA =

∫ ∫

T

∫

div ~FdV (3.3)

onde ~n é o vetor unitário normal que aponta para fora da superfície S. Em coordenadas

cartesianas, podemos escrever

∫ ∫

T

∫ [∂Fx

∂x+

∂Fy

∂y+

∂Fz

∂z

]

dxdydz =

∫ ∫

S

(F1dydz + F2dzdx + F3dxdy)

Figura 3.8:

Se uma superfície para a qual o Teorema de Stokes é

aplicado fosse deformada de tal maneira para criar uma

superfície fechada , ou duas superfícies que compartil-

ham a mesma fronteira, a superfície resultante não teria

fronteira e assim o teorema de Stokes diz que a inte-

gral da componente normal do rotacional (circulação)

de uma função vetorial sobre uma superfície fechada

é nula. Se o integrando não é rotacional de alguma

função, então a integral de superfície está relacionada

à variação do integrando no interior da região fechada.

Aqui olhando ~F como a anti-derivada de div ~F , a

integral sobre a região T é igual a anti-derivada do in-

tegrando avaliado na fronteira de T .


Exercícios 4-1

1. Calcular as seguintes integrais:

1.∫

S

∫

(z +2x+4

3)dq onde S é uma parte do plano

x

2+

y

3+

z

4= 1, situada no primeiro

otante.

2.∫

S

∫

xyzdq onde S é uma parte do plano x + y + z = 1, situada no primeiro otante.

3.∫

S

∫

xdq onde S é uma parte da esfera x2 +y2 + z2 = r2, situada no primeiro otante.

4.∫

S

∫

ydq onde S é parte da semi-esfera z =√

r2 − x2 − y2

5.∫

S

∫√

r2 − x2 − y2dq onde S é a semi-esfera z =√

r2 − x2 − y2

6.∫

S

∫

x2y2dq onde S é a semi-esfera z =√

r2 − x2 − y2

7.∫

S

∫dq

r2onde S é o cilíndro x2 + y2 = r2, limitado pelos planos z = 0 e z = H; r é a

distância entre entre a superfície e a origem de coordenadas.

8.∫

S

∫dq

r2onde S é a esfera x2 + y2 + z2 = r2 e r é a distância entre entre a superfície

e o ponto fixo P (0, 0, c), c > 0.

2. Calcular as integrais de superfície.

1.∫

S

∫

xdydz + ydxdz + zdxdy onde S é o lado positivo do cubo formado pelos planos

x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1.

2.∫

S

∫

x2y2zdxdy onde S é o lado positivo da metade inferior da esfera x2+y2+z2 = r2.

3.∫

S

∫

xdxdy onde S é a fase exterior do elipsoidex2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1.

4.∫

S

∫

z2dxdy onde S é a fase exterior do elipsoidex2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1.

5.∫

S

∫

xzdxdy+xydydz +yzdxdz onde S é a parte exterior da piramide formada pelos

planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.

6.∫

S

∫

yzdxdy + xzdydz + xydxdz onde S é a fase exterior da superfície situada no

primeiro otante e formada pelo cilíndro x2 +y2 = r2 e os planos x = 0, y = 0, z =

0, z = H.


7.∫

S

∫

y2zdxdy + xzdydz + x2ydxdz onde S é a fase exterior da superfície situada no

primeiro otante e formada pelo paraboloide de revolução z = x2 + y2, pelo cilíndro

x2 + y2 = 1 e os planos x = 0, y = 0, z = 0.

3. Aplicando a fórmula de Stokes transformar a integral∫

L

(y2+z2)dx+(x2+z2)dy+(x2+y2)dz

considerada ap longo de certo caminho fechado, na integral de superfície estendida sobre

essa curva.

4. Calcular a integral∫

L

x2y3dx + dy + zdz, onde o contorno Lé a circunferência x2 + y2 =

r2, z = 0:

1. Diretamente.

2. Aplicando a fórmula de Stokes e considerando a semiesfera z =√

r2 − x2 − y2 como

superficie. A integração ao longo da circunferência no plano xOy, debe efetuarse no

sentido positivo.

Definição 3.7.

Exemplo 3.6.

Definição 3.8.

Definição 3.9.

Definição 3.10.

Exemplo 3.7.

1.

2.

3.

Exemplo 3.8.

Exemplo 3.9.

Exemplo 3.10.

Exemplo 3.11.

Exemplo 3.12.

Exemplo 3.13.

Exemplo 3.14.

Definição 3.11.

Capítulo 4

SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS

L. Euler

Leonhard EulerNasceu em 15 de abril de 1707 Basiléia na Suíçae Faleceu em 18 de setembro de 1783 em São Petersburgo na Rússia.Euler ampliou as fronteiras da geometria analítica e da trigonometriamodernas deu contribuições decisivas para a geometria, o cálculo e aanálise numérica.

Euler conseguiu de seu pai o consentimento para mudar seus estu-dos para a Matemática ajudado pela persuasão de Johann Bernoulli,que intercedeu junto a seu pai. Johann Bernoulli tornou-se então seuprofessor.

Euler ingressou na Academia de Ciências de São Petersburgo em1727, dois anos após a sua fundação por Catarina I. Em São Peters-

burgo ele viveu com Daniel Bernoulli e tornou-se professor de Física na academia em 1730, e professorde Matemática em 1733. Neste mesmo ano ele casou-se e deixou a casa de Johann Bernoulli. Destecasamento Euler teve 13 filhos, dos quais apenas cinco sobreviveram à primeira infância. Ele costumavadizer que algumas de suas maiores descobertas foram feitas enquanto segurava um bebê nos braços, tendoos outros filhos brincando em suas pernas.

A publicação de diversos artigos e de seu livro “Mechanica”(1736 − 37) - no qual apresentava pelaprimeira vez a dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática - iniciaram Euler nos caminhos deum trabalho matemático mais incisivo.

Em 1741, por convite de Frederico o Grande, Euler associou-se à Academia de Ciência de Berlim,onde ele permaneceu por vinte e cinco anos. Neste período em Berlim ele escreveu cerca de 200 artigos,três livros de análise matemática, e uma publicação científica popular, “Cartas para uma princesa daAlemanha” (3 volumes, 1768 − 72).

Em 1766 Euler voltou à Rússia e perdeu a visão do olho direito aos 31 anos e logo após retornar aSão Petersburgo ficou quase inteiramente cego após uma operação de catarata. Graças à sua formidávelmemória ele foi capaz de continuar seus trabalhos em Ótica, Álgebra e movimentos lunares. Surpreen-dentemente após 1765 (quando tinha 58 anos) ele produziu quase metade de seu trabalho, a despeito deestar totalmente cego.

Depois de sua morte, em 1783, a Academia de São Petersburgo continuou a publicar todos os seustrabalhos ainda não publicados durante quase cinqüenta anos.

47


4.1 INTRODUÇÃO

Ao definir uma função f sobre um conjunto A com imagem no conjunto B, denotada por

f : A −→ B, estamos associando a cada a ∈ A um único elemento b ∈ B, para todos os elementos

de A.

O que caracteriza o nome da função é o contradomínio B da mesma. Se B é um conjunto de:

• números reais, temos uma função real.

• vetores, temos uma função vetorial.

• matrizes, temos uma função matricial.

• números complexos, a função é complexa.

No decorrer de estudos de matemática, seja no ensino médio ou preparatório para a graduação,

você deve ter encontrado por exemplo expressões da forma: 6; 8; 10; 12; 14; 16 coleções deste

tipo definem uma “seqüência”. Dizemos que esta seqüência é finita pelo fato ter um número finito

de elementos. Existem expressões por exemplo fa forma:

6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; · · · ou · · · ; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18

estas seqüências representam a idéia de seqüências infinitas. Esses três pontos indicam que na

escrita, temos a continuar indefinidamente.

Este capítulo trata principalmente de seqüências em números reais, porém as propriedades

fundamentais sobre convergência explicam-se com a mesma facilidade para casos mais gerais. A

menos que se faça referência, estaremos considerando seqüências com elementos no conjunto de

números reais R.

Representamos por N+ o conjunto dos números naturais positivos, isto é:

N+ = 1, 2, 3, 4, · · · , n, · · ·

Observe que N+ é um subconjunto próprio do conjunto N; logo N+ ⊂ N.

4.2 SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS

Definição 4.1. Seqüência.

Uma seqüência ou sucessão de números reais é uma função a : N+ −→ R que associa a cada

número natural n um número real a(n) o qual denotamos an.

O valor da seqüência a no número natural n é denominado “n-ésimo termo” ou “termo geral

da seqüência a”; assim an representa o termo da posição n-ésima de uma seqüência.

Do modo como definimos a seqüência, o domínio da função a é um conjunto infinito, mas

o contradomínio poderá ser finito ou infinito. O domínio de uma seqüência é indicado por

D(a) = N+ e a imagem de uma seqüência por Im(a) = a1, a2, a3, · · · .Denotamos o conjunto de todos os termos de uma determinada seqüência por ann∈N+ .


Deve-se escrever uma seqüência ann∈N+ na ordem dos valores que ela representa, assim por

exemplo:

a1, a2, a3, · · · , an, · · ·

Os números a1, a2, a3, · · · , an, · · · são chamados “elementos da seqüência”, sendo an seu

termo geral.

A função a : N+ −→ R não é necessariamente injetiva, pode-se ter am = an com m 6= n,

quando a seqüência ann∈N+ for injetiva, isto é, quando m 6= n implicar am 6= an ∀m, n ∈ N+,

diremos que ela é uma seqüência de termos “dois a dois distintos”.

Exemplo 4.1.

Seqüência identidade : É a função a : N′ −→ R definida pelo termo geral an = n.

Seqüência de números pares : É definida pelo termo geral an = 2n.

Seqüência de números ímpares : É definida pelo termo geral an = 2n − 1.

Seqüência dos recíprocos : Seu termo geral an =1

n.

Seqüência constante : Seu termo geral an = C, onde C é qualquer número real fixo.Para o caso

C = 0 é chamada seqüência nula.

Seqüência alternada : Uma seqüência alternada an pode ser definida por an = (−1)nn. Esta

seqüência de números fica alternando o sinal de cada termo, sendo um negativo e o seguinte

positivo, e assim por diante.

Seqüência aritmética : A seqüência aritmética é definida por an = a1 + (n − 1)r onde a1, r ∈ R

são constantes, r é chamado razão. Esta seqüência também é chamada de progressão

aritmética P.A.

Seqüência geométrica : Uma seqüência geométrica é definida por an = a1qn−1 onde a1, q ∈ R

são constantes, r é chamado razão. Esta seqüência também é chamada de progressão

aritmética P.A.

Seqüência recursiva : Uma seqüência é recursiva se, o termo de ordem n é obtido em função dos

termos das posições anteriores.

A importante seqüência de Fibonacci, definida por a1 = 1, a2 = 1 e an+2 = an+1 + an.

A seqüência de Fibonacci aparece de uma forma natural em estudos de Biologia, Arquite-

tura, Artes e Padrões de beleza 1.

Exemplo 4.2.

Seja a seqüência de termo geral an = (−1)n, observe que a2 = 1 e a4 = 1, isto não implica

que 2 = 4.

Portanto, a função que determina a seqüência (−1)nn∈N+ não é injetiva.

1O livro "A divina proporção", Huntley, Editora Universidade de Brasília, trata do assunto.


Em particular o conjunto ann∈N+ = a1, a2, a3, · · · , an, · · · pode ser finito, ou até mesmo

reduzir-se a um único elemento, como é o caso de uma seqüência constante, em que an = α ∈ R

para todo n ∈ N+.

Uma seqüência pode ser representada pelo seu termo geral, ou explicitando-se seus primeiros

termos, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 4.3.

(a)2

1;

2

2;

2

3; · · · seu termo geral é an =

2

n

(b) 12; 22; 32; · · · seu termo geral é an = n2

(c) −1; 1; −1; 1; · · · seu termo geral é an = (−1)n

(d) 1;√

2;√

3;√

4; · · · seu termo geral é an =√

n

(e)1

2;

2

3;

3

4; · · · seu termo geral é an =

n

n + 1

(f) 2;5

2;

8

3;

11

4; · · · seu termo geral é an = 3 − 1

n

(g) c; c; c; c · · · seu termo geral é an = c

(h) a; a2; a3; a4 · · · seu termo geral é an = an, onde a ∈ R

Em cada um destes exemplos exibimos o termo n-ésimo ( termo geral), para assim ter uma

forma compacta do modo geral na formação dos elementos da seqüência.

Na seqüência (e) o quarto termo é4

5, e o n-ésimo termo é an =

n

n + 1Uma representação gráfica bastante conveniente de uma seqüência é obtida assinalando os

pontos a1; a2; a3; · · · ; an; · · · num segmento da reta numérica real como se indica no seguinte

desenho.

ann∈N+ = 2

n

n∈N+0 a4 a3 a2 a1

r r r r r1/2 2/3 1 2

bnn∈N+ = (−1)nn∈N+

0

−1 1

b1 = b3 = · · · b2 = b4 = · · ·r rr

cnn∈N+ = n

n + 1

n∈N+0

1/2 2/3 3/4

c1 c2 c3 · · ·r r r r

4.2.1 Classificação: Limitação e Monotonia.

Definição 4.2. Limitada superiormente.


Uma seqüência ann∈N+ é dita limitada superiormente, quando existe um número real N ,

denominado cota superior da seqüência, que atende à seguinte condição:

an ≤ N ∀ n ∈ N+ (4.1)

Isto significa que todos os termos an pertencem à semi-reta (−∞, N ]. Logo, qualquer número

real maior do que N também será uma cota superior da seqüência ann∈N+ .

A menor dessas cotas é denominada supremo da seqüência ann∈N+ e denotada sup .an.Definição 4.3. Limitada inferiormente.

Uma seqüência ann∈N+ é dita limitada inferiormente, quando existe um número real M ,

denominado cota inferior da seqüência, que atende à seguinte condição:

M ≤ an ∀ n ∈ N+ (4.2)

Isto significa que todos os termos an pertencem à semi-reta [M, +∞). Logo, qualquer número

real menor do que M também será uma cota inferior da seqüência ann∈N+ .

A maior dessas cotas é denominada ínfimo da seqüência ann∈N+ e denotada inf .an.Exemplo 4.4.

• A seqüência −2nn∈N+ é limitada superiormente; observe que existe N ≥ −2 tal que

−2n ≤ N ∀ n ∈ N+. Neste caso sup .−2n = −2

• A seqüência 2nn∈N+ é limitada inferiormente; observe que existe M ≤ 2 tal que M ≤2n ∀ n ∈ N+. Neste caso inf .2n = 2

Observação 4.1.

Lembre os seguintes fatos fundamentais:

1. Toda seqüência limitada superiormente tem supremo finito, e toda seqüência limitada inferi-

ormente tem ínfimo finito.

2. Para todo ε > 0, o número real α = sup .an−ε por ser menor do que o supremo da seqüência,

não pode ser cota superior de ann∈N+ . Logo pode existir um elemento an1 ∈ ann∈N+

tal que:

α = sup .an − ε < an1 (4.3)

3. Sendo β = inf .an + ε um número real maior do que o ínfimo da seqüência, não pode ser

cota inferior de ann∈N+ . Logo pode existir um elemento an2 ∈ ann∈N+ tal que:

an2 < β = inf .an + ε (4.4)

Definição 4.4. Seqüência limitada.

Uma seqüência ann∈N+ é dita limitada, quando o for limitada superior e inferiormente;

isto é, quando existir uma constante C > 0 tal que atende à seguinte condição:

|an| ≤ C ∀ n ∈ N+ (4.5)


A conclusão desta definição é que, uma seqüência ann∈N+ é limitada quando o conjunto de

todos os termos da seqüência pertencem ao intervalo [M, N ].

Observemos que todo intervalo [M, N ] está contido num intervalo da forma [−C, C], sendo

C > 0. Para isto é suficiente considerar C = max|M |, |N |.Como a condição an ∈ [M, N ] ⊆ [−C, C] é equivalente a |an| ≤ C, então justifica-se (4.5);

isto é, uma seqüência ann∈N+ é limitada se, e somente se, existe um número real C > 0 tal

que |an| ≤ C para todo n ∈ N+.

Daí resulta que ann∈N+ é limitada se, e somente se, |an|n∈N+ é limitada.

Quando uma seqüência ann∈N+ não é limitada, diz-se que ela é “ilimitada”.

Evidentemente, uma seqüência é limitada se, e somente se, é limitada superior e inferiormente.

Exemplo 4.5.

Mostre que a seqüência nn∈N+ não é limitada.

Demonstração.

Suponhamos que esta seqüência seja limitada. Então existe um C ∈ R tal que n ≤ C, ∀n ∈N+.

Pelo Axioma de Arquimedes2, sempre existe um q ∈ N tal que C + 1 ≤ q.

Comparando estas duas últimas desigualdades tem-se que n ≤ C e C + 1 ≤ q ⇒ n ≤C ≤ C + 1 ≤ q. Sem perda de generalidade, podemos considerar n = q ∈ N, assim q ≤ C <

C + 1 ≤ q ⇒ q < q. Contradição!

Portanto nn∈N+ não é limitada.

Exemplo 4.6.

1. A seqüência de termo geral an = n é limitada inferiormente, mas não superiormente. Observe

que inf .an = 1

2. A seqüência de termo geral an = 1 − n2 é limitada superiormente, mas não inferiormente.

Tem-se que sup .an = 0

3. A seqüência de termo geral an =1

n2é limitada, tem-se que sup .an = 1 e inf .an = 0;

note que o ínfimo não é termo da seqüência.

4. A seqüência de termo geral an = (−1)n é limitada , sendo que sup .an = 1 e inf .an = −1.

5. A seqüência de termo geral an = (−1)nn não é limitada nem superiormente, nem inferior-

mente.

6. A seqüência de termo geral an =n

n + 1é limitada , tem-se que sup .an = 1 e inf .an =

1

2;

note que o supremo não é termo da seqüência.

Definição 4.5. Seqüência crescente.

Dizemos que uma seqüência ann∈N+ é estritamente crescente ou simplesmente crescente,

quando a1 < a2 < a3 < · · · isto é, quando an < an+1 para todo n ∈ N+.

2Axioma de Arquimedes: Para todo x ∈ R, existe n ∈ N tal que x ≤ n.


Se temos que an ≤ an+1 para todo n ∈ N+, diz-se que a seqüência é “não–decrescente”.

Definição 4.6. Seqüência decrescente.

Dizemos que uma seqüência ann∈N+ é estritamente decrescente ou simplesmente decres-

cente, quando a1 > a2 > a3 > · · · , isto é, quando an > an+1 para todo n ∈ N+.

Se temos que an+1 ≤ an para todo n ∈ N+, diz-se que a seqüência é “não–crescente”.

Definição 4.7. Seqüência monótona.

As seqüências crescentes, não–decrescentes, decrescentes e não–crescentes são chamadas “se-

qüências monótonas”.

Uma conseqüência destas definições é a seguinte:

1o Toda seqüência monótona crescente é limitada inferiormente pelo seu primeiro termo.

2o Toda seqüência monótona decrescente é limitada superiormente pelo seu primeiro termo.

3o A única seqüência monótona simultaneamente crescente e decrescente, é a seqüência con-

stante.

Exemplo 4.7.

1. A seqüência de termo geral an =1

né decrescente.

2. As seqüências de termos gerais an = − 1

ne bn = n2 são crescentes.

3. A seqüência de termo geral an = 0n é monótona crescente.

4. A seqüência de termo geral an =(−1)n+1

nnão é crescente nem decrescente.

Exemplo 4.8.

1. As seqüências de termos gerais an = n2 e bn = Ln n são crescentes.

2. As seqüências de termos gerais an =1

n2e bn = −n3 são decrescentes.

3. A seqüência de termo geral an = (−1)n é não monótona, isto pelo fato não ser crescente nem

decrescente.

Note que seus termos são alternados, positivos e negativos; por essa razão recebe o nome

de seqüência alternada.

Exemplo 4.9.

Mostre que a seqüência de termo geral an =n

n + 1é crescente.

Demonstração.

Tem-se que an =n

n + 1e an+1 =

n + 1

n + 2, logo

an+1

an=

n + 1

n + 2· n + 1

n=

n2 + 2n + 1

n2 + 2n> 1 ∀ n ∈ N+

isso implica que, an < an+1 ∀ n ∈ N+.


Para descobrir se uma determinada seqüência em monótona, um recurso é a investigação do

sinal da derivada da função extensão.

Para o Exemplo (4.9) podemos considerar a função extensão a R de an. Por exemplo, para

todo número real x ≥ 1, seja f(x) =x

x + 1⇒ f ′(x) =

1

(x + 1)2.

Sendo esta derivada positiva, implica que a função f(x) é crescente para todo x ≥ 1; isto é

f(x) ≤ f(x + 1).

Logo em particular ann∈N+ é crescente para todo n ∈ N+.

Exemplo 4.10.

Determine se a seqüência 1

n2 + 1

n∈N+é crescente ou decrescente.

Solução.

Considere a função f(x) =1

n2 + 1⇒ f ′(x) = − 2x

x2 + 2< 0, ∀ x > 0, isto quer indicar

que f(x) é decrescente para todo x > 0.

Portanto, a seqüência 1

n2 + 1

n∈N+é decrescente.

Esta técnica embora eficiente, não podemos aplicar a todas as seqüências como mostra o

seguinte exemplo.

Exemplo 4.11.

Mostre que a seqüência de termo geral an =n!

(2n − 1)!é decrescente.

Demonstração.

Observe que aqui não podemos definir a função extensão f(x) =x!

(2x − 1)!, isto pelo fato que

o fatorial somente é definido para números inteiros não negativos. Por outro lado

an+1

an=

(n + 1)!

(2n + 1)!· (2n − 1)!

n!=

n + 1

2n + 1< 1 n ∈ N+

de onde resulta que an+1 < an, ∀ n ∈ N+.

Portanto, a seqüência n!

(2n − 1)!

n∈N+é decrescente.

Exemplo 4.12.

A seqüência cujo termo geral é:

an = 1 + 1 +1

2!+

1

3!+

1

4!+ · · · + 1

n!

é crescente.

Ela também é limitada, pois como n! ≥ 2n−1 ∀n ∈ N+

2 ≤ an ≤ 1 + 1 +1

2+

1

22+

1

23+ · · · + 1

2n−1< 3


4.2.2 Subseqüências.

Consideremos o subconjunto infinito N′ = n1 < n2 < · · · < nk < · · · de N+ lembre que,

se existe alguma função f : N+ −→ R, também existem funções g : N′ −→ R, chamadas “função

restrição de f ” e denotadas f |N′ = g.

Em principio poderíamos denominar seqüência qualquer função a : N′ −→ R. A esta restrição

daremos o nome de subseqüência ou subsucessão.

Definição 4.8. Subseqüência.

Dada uma seqüência a : N+ −→ R de números reais, as restrições de a a subconjuntos

infinitos de N+ serão denominadas subseqüências de ann∈N+ .

Representando a seqüência pelo conjunto ordenado ann∈N+ podemos dizer que suas subse-

qüências são da forma anknk∈N′ , sendo N′ um subconjunto infinito de N+.

Lembre que N′ ⊂ N+ é subconjunto infinito se, e somente se, é ilimitado; isto é, para todo

n0 ∈ N+ existe nk ∈ N′ com nk > n0.

Naturalmente, uma toda seqüência é subseqüência dela própria.

Exemplo 4.13.

• Tem-se que 1

2n

n∈N+é subseqüência de

1

n

n∈N+.

• Tem-se que 3nn∈N+ é subseqüência de nn∈N+ .

• Tem-se que 2n

2n + 1

n∈N+é subseqüência de

n

n + 1

n∈N+.

Observação 4.2.

Observe que 1

2n

n∈N+podemos escrever na forma

1

m

m∈N′

, onde N′ = 2N+.

Isso justifica que 1

2n

n∈N+seja subseqüência de

1

n

n∈N+.

Exemplo 4.14.

Demonstre que a seqüêncian2 + 1

n2 + 2

n∈N+é limitada.

Demonstração.

Considere a função de variável real definida por: f(x) =x2 + 1

x2 + 2, calculando a primeira

derivada respeito de x tem-se que f ′(x) =2x

(x2 + 2)2> 0, ∀ x ≥ 1.

Logo a seqüêncian2 + 1

n2 + 2

n∈N+é crescente.

Podemos escrever an =n2 + 1

n2 + 2= 1 − 1

n2 + 2. Observe que a1 =

2

3, a2 =

5

6, a3 =

10

11, · · ·

quando n cresce indefinidamente para +∞, tem-se que an decresce para o valor 1.

Portanto, 1 ≤ an ≤ 2

3, ∀ n ∈ N+.

Dentre as subseqüências de uma seqüência dada ann∈N+ , destacamos duas particularmente

importantes: a subseqüência par a2kk∈N+ e a subseqüência ímpar a2k−1k∈N+ .

Toda subseqüência de uma seqüência limitada é limitada (respectivamente limitada superior

ou inferiormente)


Propriedade 4.1.

Toda seqüência monótona é limitada se ela possui uma subseqüência limitada.

Demonstração.

Seja, por exemplo, an1 ≤ an2 ≤ · · · ≤ ank≤ · · · ≤ N uma subseqüência limitada, da seqüência

não-decrescente ann∈N+ . Então, para qualquer n ∈ N+, existe um nk > n e, portanto, an ≤ank

≤ N .

Logo an ≤ N para todo n ∈ N+; isto é ann∈N+ é limitada.

Exemplo 4.15.

Seja a seqüência de termo geral an =1

n!é monótona e limitada, 0 ≤ an ≤ 1.

Em virtude da Propriedade (4.1), ela possui uma subseqüência limitada a2nn∈N+ , observe

que a2n =1

(2n)!, também é limitada e é uma subseqüência de ann∈N+ .

Exemplo 4.16.

Seja a seqüência de termo geral an =

1

n, se, n-ímpar

n, se, n-par

Tem-se que a seqüência ann∈N+ possui uma subseqüência limitada a2n−1n∈N+ , observe

que |a2n−1| ≤ 1, porém a Propriedade (4.1) não se aplica.

Pois, ann∈N+ não é monótona.


Exercícios 1-1

1. Obter a razão da P.A. em que o primeiro termo é −8 e a vigésimo termo é 30.

2. Obter o primeiro termo da PA de razão 4 cujo 230 termo é 24 e a razão é 2?

3. Qual é o primeiro termo negativo da PA ( 60, 53, 46, · · · )

4. Quantos números inteiros positivos formados por 3 algarismos são múltiplos de 13.

5. Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele

percorre um total de 35200 metros. Quantos metros ele correu no último dia.

6. Qual a quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre −m e 20m, a fim de

se obter uma PA de razão 7?

7. Qual é a soma dos números inteiros de 1 a 350?

8. Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :(7

5, 1,

3

5, · · · ) , a partir do

primeiro termo, para que a soma seja negativa?

9. Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá

, de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.

10. Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo

com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.

11. Escreva uma P.A. de três termos, sabendo que a soma desses termos vale 12 e que a soma

de seus quadrados vale 80.

12. Um operador de máquina chegou 30 minutos atrasado no seu posto de trabalho, mas como

a máquina que ele monitora é automática, começou a trabalhar na hora programada. a)

Sabendo-se que a máquina produz 10n peças por minuto, em que n é o números de minutos,

quantas peças a máquina produziu até a chegada do operador? b) Sabendo-se que depois

de 1 hora, a máquina produz a mesma quantidade de peças, quantas peças terá feito a

máquina ao final do expediente de 4 horas?

13. Dar exemplo de uma seqüência não constante, para ilustrar cada situação abaixo indicada:

1. limitada e crescente. 2. limitada e decrescente.

3. limitada e não monótona 4. não limitada e não decrescente.

5. não limitada e não monótona.

14. Determine os quatro primeiros termos das seqüências indicadas:

1. 1

2n − 1

n∈N+2.

√n + 1 −√

nn∈N+ 3. (−1)nnn∈N+

15. Esboce o gráfico da seqüência de termo geral an =n

n + 1e verifique quantos pontos da

forma (n, an) estão fora da faixa horizontal determinada pelas retas 5y = 4 e 5y = 6.


16. Escreva a forma mais simples para o termo n-ésimo de cada uma das seguintes seqüências.

Determine se ela é limitada.

17.

1. 1,1

2,

1

3,

1

4, · · · 2.

1

2,

1

4,

1

8,

1

16, · · · 3. 1, 0, 1, 0, 1, · · ·

4. 0, 2, 0, 2, 0, 2, · · · 5. 1, 9, 25, 49, 81, · · · 6. 0, 3, 2, 5, 4, · · ·

7. 2, 1,3

2, 1,

4

3, 1, · · · 8. 0,

3

2, −2

3,

5

4, −4

5, · · · 9. 1,

3

2, 2,

5

2, 3 · · ·

18. Expresse pelo seu termo geral cada seqüência dada.

1. 1,1

2,

2

3,

3

4,4

5, · · · 2. 2, 1, 2,

3

2, 2,

7

4, 2,

15

8, 2,

31

16, · · ·

3. 0,Ln2

2,

Ln3

3,

Ln4

4, , · · · 4. 1,

2

22 − 12,

3

32 − 22,

4

42 − 32, · · ·

5. 0,1

22,

2

32,

3

42, · · · 6. sen1o,

sen2o

2,

sen3o

3, · · ·

19. Dê um exemplo de uma seqüência limitada e não monótona que possui uma subseqüência

crescente.

20. Classifique as seqüências do Exercício 1-1 (??) quanto à limitação e monotonia, e selecione

de cada uma delas uma subseqüência monótona. Qual de aquelas seqüências possui uma

subseqüência constante?.

21. Determine o sup . e o inf . das seguintes seqüências.

1.

− n2 + n

n∈N+2.

2n

n!

n∈N+3.

2

3n − 4

n∈N+

4.

1 − 1

n

n∈N+5. Lnnn∈N+ 6.

3n2

n2 + n

n∈N+

7. (−2)nn∈N+

22. Dê um exemplo de uma seqüência ann∈N+ não constante, crescente e limitada superior-

mente.

23. Dê exemplo de uma seqüência ann∈N+ cuja distância entre quaisquer de seus termos

consecutivos seja sempre 4.

24. Determine para cada caso, se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não monótona:

1.(2n − 1)!

2n · n!

n∈N+2.

5n

1 + 52n

n∈N+3.

5n

(30 − k0) + 52n

n∈N+

4. 2n

1 + 2n

n∈N+5.

n!

3n

n∈N+6.

1

n + sen(n2)

n∈N+

7.nn

n!

n∈N+8.

n!

(2n − 1)!

n∈N+9.

n!

1.3.5...(2n − 1)

n∈N+


4.3 LIMITE DE SEQÜENCIA

4.3.1 Limite de uma seqüência.

O conceito de limite de uma seqüência, está estreitamente ligado a os conceitos de limites

ao infinito estudados numa primeira disciplina de Cálculo I3. Consideremos a restrição de uma

função de R em R restrita ao conjunto de partida N+; logo temos a seguinte definição de limite

ao infinito.

Definição 4.9. Limite ao infinito.

Seja f : R −→ R , uma função e L ∈ R, diz-se que L é o limite de f(x) quando x tende para

+∞ e escreve-se limx→+∞

f(x) = L se e somente se dado ε > 0, existe N > 0 tal que | f(x)−L |< ε

sempre que x > N .

Definição 4.10. Limite de uma seqüência.

Seja ann∈N+ uma seqüência de números reais, dizemos que o número real L é o limite de

ann∈N+ , ou que a seqüência ann∈N+ converge para L, quando para todo numero real ε > 0,

for possível obter n0 ∈ N+ tal que |an − L| < ε, sempre que n > n0.

Em linguagem simbólica temos:

limn→+∞

an = L ⇔ ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N+; n > n0 ⇒ |an − L| < ε

Outra notação para indicar que uma seqüência ann∈N+ converge para L é:

an → L; n → +∞

Se ann∈N+ é uma seqüência de números reais, então as seguintes expressões:

1. ann∈N+ é convergente para L em R.

2. ann∈N+ converge a L em R.

3. ann∈N+ tem um limite L em R.

4. ann∈N+ tende a um limite L em R.

5. O limite de ann∈N+ existe em R, é o valor L.

são equivalentes; sempre que an → L ∈ R, quando n → +∞.

É importante ressaltar que em nossa definição de “seqüência convergente” o valor L depende

não somente de ann∈N+ ; também depende do espaço (conjunto) em que estamos trabalhando.

Exemplo 4.17.

Utilizar a definição de limite de uma seqüência, para demonstrar que n

2n + 1

n∈N+tem o

limite1

2.

3Christian Q. Pinedo.- Elementos de Cálculo I - Volume I (Notas de aula no10). − 2003.


Demonstração.

Devemos mostrar que para qualquer ε > 0, existe um número n0 > 0 tal que:

∣∣∣∣

n

2n + 1− 1

2

∣∣∣∣< ε para todo n > n0

Com efeito,

∣∣∣∣

n

2n + 1− 1

2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

2n − (2n + 1)

2(2n + 1)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

−1

4n + 2

∣∣∣∣=

1

4n + 2

Logo, devemos determinar um número n0 > 0 tal que:

1

4n + 2< ε para todo n > n0

Tem-se que1

4n + 2< ε é equivalente a 2n + 1 >

1

2ε⇒ n >

1 − 2ε

4ε.

Portanto, se n0 =1 − 2ε

4ε, a definição é válida; e

n

2n + 1

n∈N+tem o limite

1

2.

Exemplo 4.18.

Mostre que a seqüência nn∈N+ não é convergente.

Demonstração.

Suponhamos que a seqüência nn∈N+ seja convergente para algum L ∈ R. Dado ε =1

3> 0

existe n0 ∈ N+ tal que |an − L| = |n − L| < ε sempre que n > n0.

Como |an − L| <1

3, |an+1 − L| <

1

3, logo |n − L| <

1

3, |n + 1 − L| <

1

3.

Sendo n < n + 1, deduzimos que:

1 = |(n + 1) − n| ≤ |n + 1 − L| + |n − L| <1

3+

1

3=

2

3

então 1 <2

3, isto é contradição !

Portanto, supor que nn∈N+ converge é falso!

Observação 4.3.

Para o Exemplo (4.11), a seqüência cujo termo geral é:

an = 1 + 1 +1

2!+

1

2!+

1

4!+ · · · + 1

n!

provamos que é limitada e crescente.

Escrevemos e = limn→∞

an

O número e é uma das constantes mais importantes em diversos ramos do estudo da matemática,

como observamos 2 < e < 3; na verdade e = 2, 7182 · · · .

Exemplo 4.19.

Mostre que a seqüência cujo termo geral é : an = rn onde r ∈ R é um número fixado tal

que −1 < r < 1 converge para zero.

Demonstração.


Se r = 0 ⇒ an = 0, ∀ n ∈ N+, logo an → 0 quando n → +∞.

Suponhamos que r 6= 0. Dado ε > 0, como 0 < |r| < 1, então Ln|r| é bem definido, além

disso como a função logaritmo é crescente, e Ln|r| < 0:

|rn − 0| = |rn| < ε ⇔ nLn|r| < Lnε ⇔ n >Lnε

Ln|r|

É suficiente escolher qualquer número natural n0 =Lnε

Ln|r| , e teremos que an → 0 quando

n → +∞. Por exemplo, isso acontece quando ε = |r|k onde k ∈ N+.

Exemplo 4.20.

A seqüência:

− 1

n

n∈N+converge no conjunto de números reais negativos para 0; porém

não converge no conjunto dos números reais positivos.

Exemplo 4.21.

Mostre usando a definição, que a seqüência: n

n + 1

n∈N+converge para o número L = 1.

Demonstração.

A mostrar que, dado qualquer ε > 0, existe um n0 ∈ N+ tal que |an − 1| < ε sempre que

n > n0.

Com efeito, dado qualquer ε > 0 :

|an − 1| = | n

n + 1− 1| =

1

n + 1< ε ⇔ n >

1

ε− 1.

Isto quer dizer que, dado qualquer ε > 0, existe n0 =1 − ε

εtal que

n > n0 ⇒ |an − 1| < ε.

Exemplo 4.22.

Mostre que a seqüência de termo geral an =3n

n + sen2nconverge.

Demonstração.

Observa-se que seu limite deve ser 3, é suficiente dividir numerador e denominador por n e

lembrar quesen2n

n→ 0.

Observe que:

|an − 3| =3|sen2n|

|n + sen2n| ≤3

|n + sen2n| ≤3

n − |sen2n| ≤3

n − 1

as duas últimas desigualdades havendo sido obtidas graças às desigualdades |n + sen2n| ≥ n −|sen2n| ≥ n − 1. Fazendo agora intervir o número ε, obtemos uma desigualdade imediata de

resolver em n:

|an − 3| ≤ 3

n − 1< ε ⇔ n > 1 +

3

ε


Isto quer dizer que, dado qualquer ε > 0, existe n0 =3 + ε

εtal que

n > n0 ⇒ |an − 3| < ε.

Portanto, a seqüência de termo geral an =3n

n + sen2nconverge para 3.

Exemplo 4.23.

Determine o limite das seguintes seqüências:

a) 1; −1

2;

1

3; −1

4; · · · ;

(−1)n−1

n; · · ·

b) 2;4

3;

6

5;

8

7; ; · · · 2n

2n − 1; · · ·

c)√

2;√

2√

2;

√

2√

2√

2 ; · · ·

Solução.

a) O termo geral da seqüência está dado por an =(−1)n−1

n, ∀ n ∈ N+, n > 1, logo se n par

resulta limn→+∞

(−1)n−1

n= lim

n→+∞1

n= 0; para o caso n ímpar lim

n→+∞(−1)n−1

n= lim

n→+∞−1

n=

0.

Portanto, limn→+∞

(−1)n−1

n= 0

b) Observe que o termo geral da seqüência é: an =2n

2n − 1, calculando o limite temos: lim

n→+∞2n

2n − 1=

limn→+∞

2

2 − 1n

= 1. Portanto limn→+∞

2n

2n − 1= 1

c) Observe que:

a1 =√

2 = 212

a2 =√

2√

2 = 212 2

14 = 2

12+ 1

4

a3 =

√

2√

2√

2 = 212 2

14 2

18 = 2

12+ 1

4+ 1

8

...

an =

√

2√

2√

2 · · · = 212+ 1

22+ 1

23+ 1

24+ 1

25+··· 1

2n

Porém1

2+

1

22+

1

23+

1

24+

1

25+ · · · 1

2n=

1

2

[

1 +1

2+

1

22+

1

23+

1

24+

1

25+ · · · 1

2n−1

]

= 2(1 − 1

2n).

Assim, an = 2(1 − 1

2n), aplicando propriedade seguinte lim

x→aKf(x) = K

limx→a

.f(x), resulta

limn→+∞

2(1− 12n ) = 2

limn→+∞

(1− 12n )

= 21 = 2.

Portanto limn→+∞

an = 2.


Propriedade 4.2.

Seja ann∈N+ uma seqüência, e L ∈ R, então as seguintes afirmações são equivalentes:

1. A seqüência ann∈N+ converge para L.

2. A seqüência an − Ln∈N+ converge para zero.

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

4.3.2 Propriedades do limite de seqüência.

Da definição de limite para uma seqüência, é necessário compreender o seguinte:

1. O número real n0 da Definição (4.10) em geral depende do número ε.

2. A desigualdade |an − L| < ε implica L − ε < an < L + ε, então an ∈ (L − ε, L + ε), isto

significa que fora do intervalo real (L − ε, L + ε) existe no máximo uma quantidade finita

de termos da seqüência.

Lembre a seguinte propriedade de números reais:

Propriedade 4.3.

i) Seja x ∈ R e x ≥ 0, se x < ε para todo ε > 0, então x = 0.

ii) Quando | x |< ε, ∀ ε > 0 ⇒ x = 0.

Demonstração.

i) Como x ≥ 0, então x = 0 ou x > 0. A possibilidade x > 0 não pode acontecer, pois se x > 0

então do fato x < ε e como ε > 0 em particular podemos escolher ε = x de onde ε = x < x

o que é contraditório.

Por tanto x = 0.

ii) Exercício para o leitor.

Observação 4.4.

a) Se os termos de uma dada seqüência permanecem, a partir de uma certa ordem, constante,

então a seqüência é convergente e seu limite é esse valor constante.

b) Existem seqüências (não limitadas) cujos termos crescem indefinidamente à medida que o

índice n aumenta, neste caso dizemos que a seqüência tem limite infinito e denotamos

limn→+∞

an = ∞

c) Dizer que uma seqüência ann∈N+ diverge equivale a admitir que limn→+∞

an = ∞ ou que não

existe limn→+∞

an.


d) Ao invés de escrever limn→+∞

an = L , simplesmente escreveremos limn→∞

an = L .

e) Ao invés de escrever uma seqüência na forma ann∈N+ , simplesmente escreveremos an,entendendo que o índice n percorre o conjunto N+.

Propriedade 4.4. Unicidade do limite.

Se limn→∞

an = L1 e limn→∞

an = L2 então L1 = L2; isto é, quando exista o limite de uma

seqüência, este limite é único.

Demonstração.

Seja ε > 0 qualquer número real; e suponha que limn→∞

an = L1 e limn→∞

an = L2 sendo L1 6= L2.

Será suficiente mostrar que | L1 − L2 |< ε para todo ε > 0.

Do fato limn→∞

an = L1 da definição de limite temos que, dado qualquer ε > 0, existe um

n1 > 0 tal que | an − L1 |< ε

2sempre que n > n1 ; de modo análogo dado lim

n→∞an = L2 da

definição de limite temos que, dado qualquer ε > 0, existe um n2 > 0 tal que | an − L2 |< ε

2sempre que n > n2.

Considere n0 = max . n1, n2 e n > n0 então cumprem-se as desigualdades | an − L1 |< ε

2e | an − L2 |< ε

2.

Das propriedades de números reais, temos que:

| L1 − L2 |=| L1 − an + an − L2 |≤

≤| an − L1 | + | an − L2 |< ε

2+

ε

2= ε para n > n0

Assim mostramos que para todo ε > 0, sendo n > n0 verifica-se pela Propriedade (4.3)

| L1 − L2 |< ε o que implica L1 = L2.

Exemplo 4.24.

Demonstre que a seqüência n

3n − 1

converge para1

3.

Demonstração.

Dado qualquer ε > 0, temos a encontrar um n0 > 0 tal que:

∣∣∣∣

n

3n − 1− 1

3

∣∣∣∣< ε, ∀ n > n0

Com efeito, tem-se que

∣∣∣∣

n

3n − 1− 1

3

∣∣∣∣=

1

6n − 3< ε ⇔ 6n − 3 >

1

ε

Considerando n0 =1 + 3ε

6εtem-se que para todo n > n0, então

∣∣∣∣

n

3n − 1− 1

3

∣∣∣∣< ε.

Portanto, a seqüência n

3n − 1

converge a1

3.

Exemplo 4.25.

Mostre que a seqüência (−1)n não é convergente.

Demonstração.


Suponhamos que limn→∞

(−1)n = L e consideremos ε = 1, então existe n0 > 0 tal que para

todo n > n0 tem-se |(−1)n − L| < 1.

Suponha n1 seja par, logo tem-se que se n1 > n0 ⇒ |1 − L| < 1; para o caso n2 ímpar

tal que n2 > n0 tem-se | − 1 − L| < 1.

Assim, resulta que | − 1 − 1| < | − 1 − L| + |1 − L| < 2 ⇔ 2 < 2 contradição !.

Portanto, a seqüência (−1)n é divergente.

Exemplo 4.26.

Determine se a seqüência

n · senπ

n

é convergente.

Solução.

Tem-se que limn→∞

n · senπ

n= lim

n→∞senπ

n1n

= π · limn→∞

senπn

πn

.

Podemos considerar a mudança de variável m =π

n, assim quando n → ∞ tem-se que m → 0;

logo no limite:

limn→∞

n · senπ

n= π · lim

n→∞senπ

nπn

= π · limm→0

senm

m= π. · 1 = π

Portanto, a seqüência

n · senπ

n

é convergente para π.

4.3.3 Seqüência de Cauchy.

Definição 4.11. Seqüência de Cauchy.

Uma seqüência an é dita de Cauchy, quando para todos os ε > 0 dado, existe n0 ∈ N+ tal

que |am − an| < ε sempre que m, n > n0.

Exemplo 4.27.

Mostre que a seqüência 1

n

é de Cauchy.

Demonstração.

Com efeito, para todo ε > 0, tem-se que:

|am − an| =

∣∣∣∣

1

m− 1

n

∣∣∣∣

(4.6)

1o Se m = n, em (4.6) seque que |am − an| = 0 < ε, ∀ no ∈ N+.

2o Se m > n, em (4.6) seque que |am − an| <1

n− 1

m<

1

n.

Como deve cumprir que |am − an| < ε ⇒ 1

n< ε ⇒ n >

1

ε= n0.

Logo como m > n > n0, é suficiente considerar n0 =1

ε.

3o Se m < n, em (4.6) seque que |am − an| <1

n− 1

m<

1

m.

Como deve cumprir que |am − an| < ε ⇒ 1

m< ε ⇒ m >

1

ε= n0.


Logo como n > m > n0, é suficiente considerar n0 =1

ε.

Portanto, a seqüência 1

n

é de Cauchy.

Propriedade 4.5.

Toda seqüência convergente é de Cauchy.

Demonstração.

Suponhamos que a seqüência an seja convergente para L.

Podemos adaptar a definição de convergência para afirmar que, dado ε > 0 existe um inteiro

n0 > 0 tal que:

|an − L| <ε

2sempre que n > n0 (4.7)

Tanto faz m ou n, desde que sejam maiores que n0, podemos adaptar nossa definição de

convergência para obter:

|am − L| <ε

2sempre que m > n0 (4.8)

Das desigualdades (4.7) e (4.8) seque que:

|am − an| = |(am − L) − (an − L)| <ε

2+

ε

2+ ε sempre que m, n > n0

Portanto, an é de Cauchy.

A diferencia entre a definição de convergência e de seqüência de Cauchy, é que o limite está

incluído explicitamente na primeira definição e não na segunda.

Posteriormente estudaremos o caso de que se uma seqüência é de Cauchy, então ela é con-

vergente. Isto permitira determinar se uma determinada seqüência converge ou não, sem ter que

calcular seu limite.

4.3.4 Espaço métrico.

Definição 4.12. Espaço métrico.

Um conjunto E cujos elementos chamaremos de pontos, dizemos que é um espaço métrico,

se para cada dois pontos p, q ∈ E podemos associar um número real d(p, q) chamado distância

de p a q, tal que:

• d(p, q) > 0, se p 6= q; e d(p, p) = 0.

• d(p, q) = d(q, p).

• d(p, r) ≤ d(p, q) + d(q, r) para todo r ∈ E.

Considerando d(p, q) = |p − q| em R, resulta que R é um espaço métrico.

Definição 4.13. Espaço métrico completo.

Um espaço métrico C dizemos que é completo se, nele toda seqüência de Cauchy converge.


Exemplo 4.28.

O conjunto dos números racionais Q com a métrica d(p, q) = |p−q| não é completo. Observe

a seqüência:

1, 4; 1, 41; 1, 414; 1, 4142; 1, 41421; 1, 414213; 1, 4142135; 1, 41421356; · · ·

Esta seqüência é de Cauchy, converge para√

2 /∈ Q.

Propriedade 4.6.

Se f : R −→ R é contínua então: limx→∞

f(x) = f( limx→∞

x)


Exemplo 4.29.

Determine se a seqüência de termo geral an = en é convergente.

Solução.

Como a função exponencial f(x) = ex é contínua em R ⊃ N+, temos que limn→∞

f(n) =

limn→∞

en = exp( limn→∞

n) = f( limn→∞

n) = ∞.

Portanto, a seqüência en é divergente.

Exemplo 4.30.

Calcular o limite de an = n√

n√

n.

Solução.

Como an =n

√

n√

n = (n1n )

1n = n

1n2 = exp(Ln(n

1n2 )) = exp(

Lnn

n2), então aplicando

L’Hospital e a Propriedade (4.6) temos:

limn→∞

n

√

n√

n = limn→∞

exp(Lnn

n2) = exp( lim

n→∞1

2n2) = exp(0) = 1

Propriedade 4.7. Da média aritmética.

Seja a seqüência an que converge para L, então limn→∞

a1 + a2 + a3 + · · · + an

n= L.

Demonstração.

Como limn→∞

an = L ⇒ an = L + δn onde limn→∞

δn = 0.

Logo a soma expressamos na forma:

a1 + a2 + a3 + · · · + an

n=

(L + δ1) + (L + δ2) + (L + δ3) + · · · + (L + δn)

n

= L +δ1 + δ2 + δ3 + · · · + δn

n

Sendo limn→∞

δn = 0 ⇒ |δn| < ε sempre que n > n0, logo a soma δ1 + δ2 + δ3 + · · ·+ δp = k

(constante) para algum p ∈ N+, e |δk| < ε, ∀ k > p.

Então |δp+1 + δp+2 + δp+3 + · · · + δn| < |δp+1| + |δp+2| + |δp+3| + · · · + |δn| < (n − p)ε.

Logo, 0 ≤∣∣∣∣lim

n→∞a1 + a2 + a3 + · · · + an

n− L

∣∣∣∣≤ lim

n→∞

∣∣∣∣

k

n

∣∣∣∣+ lim

n→∞(n − p)ε

n< ε.

Portanto, limn→∞

a1 + a2 + a3 + · · · + an

n= L, em virtude da Propriedade (4.3) ii).


Exemplo 4.31.

Calcular o limn→∞

1√16n2 + 3

[√

3

4+

√

4

5+

√

5

6+ · · · +

√

n + 2

n + 3

]

Solução.

Este limite podemos escrever na forma:

limn→∞

1√16n2 + 3

[√

3

4+

√

4

5+

√

5

6+ · · · +

√

n + 2

n + 3

]

=

= limn→∞

n√16n2 + 3

· limn→∞

1

n

[√

3

4+

√

4

5+

√

5

6+ · · · +

√

n + 2

n + 3

]

.

Sabe-se que limn→∞

n√16n2 + 3

=1

4e lim

n→∞

√

n + 2

n + 3= 1, assim pela propriedade da média

aritmética tem-se: limn→∞

1

n

[√

3

4+

√

4

5+

√

5

6+ · · · +

√

n + 2

n + 3

]

= 1.


1√16n2 + 3

[√

3

4+

√

4

5+

√

5

6+ · · · +

√

n + 2

n + 3

]

=1

4.

Propriedade 4.8. Da média geométrica.

Suponhamos an seja convergente, tal que limn→∞

an = L, então:

limn→∞

n√

a1 · a2 · a3 · · · an = L

Demonstração.

Como limn→∞

an = L, tem-se aplicando a Propriedade (4.6) à função f(x) = Lnx x > 0 , que

Ln( limn→∞

an) = LnL, de onde limn→∞

(Lnan) = LnL.

Seja un = n√

a1 · a2 · a3 · · · an ⇒ Lnun =1

n(Lna1 + Lna2 + Lna3 + · · · + Lnan).

Calculando o limite quando n → ∞ e aplicando a Propriedade (4.6) segue que:

limn→∞

un = limn→∞

n√

a1 · a2 · a3 · · · an ⇒

⇒ Ln( limn→∞

un) = limn→∞

1

n(Lna1 + Lna2 + Lna3 + · · · + Lnan) = LnL.

Sendo a função exponencial g(x) = exp(x), x ∈ R contínua e inversa da função logaritmo,

tem-se: exp(Ln( limn→∞

un)) = exp(LnL) ⇒ limn→∞

un = L.


n√

a1 · a2 · a3 · · · an = L.

Exemplo 4.32.

Calcular limn→∞

n

√

3

5· 5

8· 7

11· · · 2n + 1

3n + 2Solução.


Observe que a1 =3

5, a2 =

5

8, a3 =

7

11, · · · , an =

2n + 1

3n + 2de onde lim

n→∞2n + 1

3n + 2=

2

3.

Logo pela propriedade da média geométrica segue que:

limn→∞

n

√

3

5· 5

8· 7

11· · · 2n + 1

3n + 2=

2

3

Propriedade 4.9.

Se uma seqüência an converge para um limite L, e se M < L < N , então, a partir de um

certo índice n tem-se que M < an < N .

Demonstração.

Dado qualquer ε > 0, existe n0 ∈ N+ tal que a partir desse índice L − ε < an < L + ε.

Assim, podemos reescrever ε como o menor dos números L−A e B −L, para obter L− ε >

L − (L − A) = A e L + ε < L + (B − L) = B sempre que n0 > n.

De onde para n < n0 tem-se que A < an < B.

Definição 4.14. Seqüência contrativa.

Uma seqüência an é dita contrativa se existe a constante c com, 0 < c < 1 tal que |an+2 −an+1| ≤ c|an+1 − an| ∀n ∈ N+.

Exemplo 4.33.

São seqüências contrativas:

• 1

n

•(−1)n

n

Propriedade 4.10.

Toda seqüência contrativa é limitada.

Demonstração.

Observe que |an+2 − an+1| ≤ c|an+1 − an| ≤ c2|an − an−1| ≤ · · · ≤ cn|a2 − a1| ∀n ∈ N+.

Seja sn = (an − an−1) + (an−1 − an−2) + · · · + (a3 − a2) + (a2 − a1), então sn = an − a1.

Logo, |an − a1| = |sn| ≤ |an − an−1| + |an−1 − an−2| + · · · + |a3 − a2| + |a2 − a1| ≤ [cn−1 +

cn−2 + · · · c2 + c + 1]|a2 − a1|.Como 0 < c < 1 ⇒ 0 < 1 − cn < 1, ∀ n ∈ N+, assim |an − a1| ≤

1 − cn

1 − c|a2 − a1| <

1

1 − c|a2 − a1|

M = a1 −|a2 − a1|

1 − c≤ an ≤ a1 +

|a2 − a1|1 − c

= N

Considere o max .|M |, |N | = P e teremos que existe P ∈ R tal que |an| ≤ P, ∀n ∈ N+.

Portanto, toda seqüência contrativa é limitada.

Propriedade 4.11. Critério de Stolz - Cesaro.


Sejam an e bn duas seqüências tais que: limn→∞

bn = +∞ e bn monótona. Então:

limn→∞

an

bn= lim

n→∞an+1 − an

bn+1 − bn= λ ∈ R

A demonstração é exercício para o leitor.

Exemplo 4.34.

Determine se a seqüência de termo geral cn =Ln(n!)

Ln(nn)converge.

Solução.

Suponhamos as seqüências de termo geral an = Ln(n!) e bn = Ln(nn), como bn é monótona

crescente, segue que:

limn→∞

Ln(n!)

Ln(nn)= lim

n→∞Ln(n + 1)! − Ln(n!)

Ln(n + 1)n+1 − Ln(nn)= lim

n→∞Ln(n + 1)

(n + 1)Ln(n + 1) − nLnn=

= limn→∞

Ln(n + 1)

nLn[

n+1n

]+ Ln(n + 1)

= limn→∞

1nLn(n + 1)

Ln[

n+1n

]+ 1

nLn(n + 1)

= limn→∞

Ln n√

n + 1

Ln[1 + 1

n

]+ Ln n

√n + 1

=Lne

Ln1 + Lne=

1

1= 1

Conseqüentemente, limn→∞

cn = 1; portanto a seqüência cn converge.


Exercícios 1-2

1. Mostre que a seqüência ann∈N+ , onde a1 = 0, an+1 =3an + 1

4∀ n ∈ N+ é crescente

e limitada.

2. Quais das seguintes seqüências são monótonas. Quais são limitadas ?

1. n2n∈N+ 2. 1

n2

n∈N+3.

1√n

n∈N+7.

k

k + 1

k∈N+

4.n + 1

n

n∈N+5.

1

m2

m∈N+6. 2nn∈N+ 8

r

r2 + 1

r∈N+

3. Mostre que a seqüência de termo geral : an =

(1+

√5

2

)n−(

1−√

52

)n

√5

∀ n ∈ N é uma

seqüência de números naturais.

4. Considere as seqüências an : 1,1

2,

1

3,

1

4, · · · e bn : 5, 3; 5, 33; 5, 333; · · · .

1. Os termos de an aproximam-se de 0, e os de bn de 5, 3334. Em qual dos casos a

aproximação é mais rapidamente?

2. Quantos elementos de an estão fora do intervalo de centro 0 e raio1

10? E, quantos

elementos de bn estão fora do intervalo de centro 5, 3334 e raio1

10?

3. Com a informação da parte 2., você tem algum argumento que permita decidir em quais

dos casos a aproximação é mais rapidamente?

5. Pense na seqüência 1, 0, 1, 0, 1, · · · obviamente é limitada. Mostre que não existe nenhum

número real que seja limite dessa seqüência.

6. Você deve ter estudado seqüências limitadas que não possuem l,imite. Pense na propriedade

recíproca. Existem seqüências com limite que não sejam limitadas?

7. Mostre que, se limn→+∞

an = L e limn→∞

an = M então L = M .

8. Construa uma seqüência que tenha subseqüências convergindo, cada uma para cada um

dos números inteiros positivos.

9. Construa uma seqüência que tenha uma subseqüência convergindo para −3 e outra con-

vergindo para 8.

10. Se limn→∞

an = L então limn→∞

|an| = |L|. Dar um contra-exemplo mostrando que a recíproca

é falsa, salvo quando a = 0.

11. Demonstre que a seqüência 1

n2

converge para zero.

12. Demonstre que a seqüêncian + 1

n

converge para 1.


13. Para os seguintes exercícios, escreva os quatro primeiros termos da seqüência e determine

se ela é convergente ou divergente. Caso seja convergente, achar seu limite:

1. n + 1

2n − 1

2.n2 + 1

n

3.3 − 2n2

n2 − 1

4.en

n

5.

senhn

6. 2n2 + 1

3n2 − n

7. n

n + 1sen

nπ

2

8.senhn

senn

9. 1√

n2 + 1 − n

10. 1√

n2 + 1

11.(−1)n+1(n + 1)

2n

12.Lnn

n2

13. 1√

n2 + 1 − 1

14.√

n + 2 −√

n + 1

15.

n

[1

n

]

16.

(1 +1

3n)n

Sugestão: use limx→0

(1 + x)1/x = e.

17.

r1/n

e r > 0 Sugestão: considere os dois casos: r ≤ 1 e r > 1.

14. Uma seqüência é tal que: a1 = 0, 9, a2 = 0, 99, a3 = 0, 999, · · · , an = 0, 999999 · · ·︸︷︷︸

.

Determine o limn→∞

an. n-vezes .

15. No Exercício anterior, qual o valor de n para que, o valor absoluto da diferença entre an e

seu limite não seja maior do que 0, 0001?

16. Calcular se existem os seguintes limites:

1. limn→∞

n3 − 100n2 + 1

100n2 + 15n2. lim

n→∞

n√

2 − 1n√

2 + 13. lim

n→∞2n − 1

2n + 1

4. limn→∞

n

n − 15. lim

n→∞(2n + 1)2

2n26. lim

n→∞n + 1

n

7. limn→∞

(n + 1)4 − (n − 1)4

(n + 1)4 + (n − 1)48. lim

n→∞(n + 1)2

2n29. lim

n→∞n2 − 1

2n2 + 1

10. limn→∞

5√

n3 + 2n − 1

n + 211. lim

n→∞n3

n2 + 1+ n 12. lim

n→∞n2 + 5

n2 − 3

17. Verificar o valor dos seguintes limites:

1. limn→+∞

4n3 + 2n2 − 5

n + 2 − 8n3= −1

22. lim

n→−∞5n3 − n2 + n − 1

n4 − n3 − 2n + 1= 0

3. limn→+∞

3n2 − 2

2n + 1+

n2 − 4n

n − 3=

3

24. lim

n→+∞2n + 3

n + 3√

n= 2

5. limn→+∞

3

√

8n − 4

(3 −√n)(

√n + 2)

= −2 6. limn→+∞

√

n +√

n +√

n + 3√

n + 3= 1

.7 limx→+∞

[√

n2 − 5n + 6 − 2] = −5

28. lim

n→−∞[√

n2 − 2n + 4 + n] = 1

9. limn→+∞

[

√

n√

2n − 5n + 6 − n] = −∞ 10. limn→∞

(

√n2 + 1 + n)2

3√

n6 + 1= 2


18. Nos seguintes exercícios, use a Definição (4.10) para provar que a seqüência dada tem o

limite L.

1. 4

2n − 1

; L = 0 2. 3

n − 1

; L = 0 3. 1√

n

; L = 0

4. 8n

2n + 3

; L = 4 5. 5 − n

2 + 3n

; L = −1

36.

2n2

5n2 + 1

; L =2

5.

7. 5k0n

2n + 3

; L =5k0

28.

3(30 − k0)

2n − 1

; L = 0 .

19. Mostre que as seqüências n2

n − 3

e n2

n + 4

divergem; porém, a seqüência n2

n − 3−

n2

n + 4

é convergente.

20. Calcule o 4to elemento das seqüências logk0

n2

n

e k0n√

n e determine se elas convergem

ou divergem. Caso convergir ache o seu limite.

21. Determine quais das seguintes seqüências são convergentes. Caso seja convergente, calcular

seu limite.

1. n2 + 1

n2 − 2n + 3

2. n

Ln(n + 1)

3. 3√

n + 4√n − 1

4.3n + n4

4n − n5

5.5 + Lnn

n2 + n

6. e−n · senn

7. n√

n 8. n√

n2 + n

22. Determine o limite da seqüência:√

2,√

2 +√

2,

√

2 +√

2 +√

2, · · ·

23. Determine o limites das seguintes seqüências, sendo seu termo geral:

1. an =(

1 +1

3n − 1

)3n+12. an =

(

1 +1

n + 4

)n3. an =

(

1 +1

2n

)2

4. an =(

1 +1

n + 1

)6n5. an =

(

1 +1

n2

)n2

6. an =(

1 +1

n!

)n!

7. an =(

1 +2

n

)n8. an =

(

1 +3

n

)n

24. Determine se a seqüência de termo geral, an =(2n + 5)2n+5nn−3

(4n + 1)n+2(n + 3)2né convergente.

25. Estude a convergência da seqüência

√3n + 1(n + 7)n+ 1

2

(3n +√

n2 + 5)(n + 3)n

26. Determine o valor do limite: limn→∞

n

√

n ·[

Ln4n

Ln10n

]n [3

2· 8

5· 13

8· · · 5n − 2

3n − 1

]

.


27. Determine se a seqüência de termo geral an é convergente, onde:

an = 2

[1

4

]

+ 3

[1

4

]2

+ 4

[1

4

]3

+ · · · + (n + 1)

[1

4

]n

28. Estudar a convergência da seqüência de termo geral: an =n∏

k=2

k3 − 1

k3 + 1.

29. Mostre que limn→∞

2n · n!

nn= 0.

30. Sejam a1 = 1, an =2an−1 + 3

4para n ≥ 2. Mostre que a seqüência an converge.

31. Sejam a1 = 1, a2 = 2, · · · , an =an−2 + an−1

2para n ≥ 3. Mostre que a seqüência an

converge.

32. Determine se a seqüência de termo geral, an =12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2

12 + 22 + 32 + · · · + n2converge.


4.4 SEQÜENCIAS CONVERGENTES

4.4.1 Propriedades Fundamentais.

Propriedade 4.12.

Toda seqüência monótona convergente, é necessariamente limitada.

Demonstração.

Seja an uma seqüência convergente com limite L.

Der acordo com a definição de limite, para qualquer ε > 0, em particular para ε = 1, existe

n0 a partir do qual se tem |an − L| < 1.

Usando a desigualdade triangular podemos assegurar que:

|an| = |an − L + L| ≤ |an − L| + |L| < 1 + |L| ∀ n ≥ n0 (4.9)

Os únicos termos da seqüência que possivelmente não atendem esta condição (4.9) são:

a1, a2, a3, · · · , an0−1.

Considerando o número real c como o maior entre os números 1+|L|, |a1|, |a2|, |a3|, · · · , |an0−1|teremos |an| ≤ C ∀ n > n0

Observe que a recíproca desta propriedade nem sempre é verdadeira; por exemplo a seqüência

(−1)n ela é limitada, porém não é convergente.

Exemplo 4.35.

Mostre que a seqüência√

2,√

2√

2,

√

2√

2√

2, · · · é limitada.

Demonstração.

Pelo Exemplo (4.23) sabe-se que esta seqüência é convergente.

Seja a1 =√

2, a2 =√

2a1, a3 =√

2a2, · · · , an =√

2an−1.

Mostrarei que ela crescente, logo limitada.

Afirmo : Para todo n ∈ N+ tem-se an ≤ an+1.

Com efeito, se n = 1 segue que a1 =√

2 < 2 além disso a1 =√

2 <√

2√

2 = a2.

Suponhamos para n = h que ah ≤ ah+1 e além disso que ah < 2.

Para n = h + 1 tem-se:

O termo geral é da forma ah+1 =√

2ah, aplicando a hipótese de indução seque (ah+1)2 =

2ah ≤ 2ah+1, logo ah+1 ≤ √2ah+1 = ah+2.

Por outro lado, ah+1 =√

2ah ≤√

4 = 2, pois 2a ≤ 4 pela hipótese indutiva.

Portanto, a seqüência√

2,√

2√

2,

√

2√

2√

2, · · · é limitada.

Propriedade 4.13.

Se f : [β, +∞) −→ R é uma função tal que limx→∞

f(x) = L, então a seqüência de termo geral

an = f(n), n > β, é convergente e seu limite é igual a L.

Se limx→∞

f(x) = ±∞ então a seqüência é divergente.


Demonstração.

Pela definição de limite no infinito para funções reais definidas em intervalos, segue que para

cada ε > 0 , existe um número real N > 0, tal que |f(x) − L| < ε, ∀ x ≥ N .

Considerando que a seqüência de termo geral an = f(n), n > β é uma ‘´função restrição”

de f(x), escolhemos um índice n0 ≥ N e teremos |f(n) − L| < ε, ∀ n ≥ n0.

A propriedade acima mencionada, resulta importante para o caso em que seja possível utiliza-

la.

O cálculo de limites torna-se relativamente simples, especialmente quando se usam técnicas

de Cálculo, particularmente a Regra de L’Hospital.

Propriedade 4.14.

Se limn→∞

an = L, então toda subseqüência de ann∈N+ converge para o limite L.

Demonstração.

Seja an1 , an2 , · · · , ani , · · · uma subseqüência de ann∈N+ . Dado ε > 0, existe n0 ∈ N+

tal que n > n0 ⇒ |an − L| < ε.

Como os índices da subseqüência formam um subconjunto infinito, existe entre eles um ni0 >

n0. Então ni > ni0 ⇒ ni > n0 ⇒ |ani − L| < ε.

Portanto, limni→∞

ani = L

Propriedade 4.15.

Uma seqüência an converge para L se, e somente se, as subseqüências a2n e a2n−1convergem para L.


Uma seqüência divergente pode ter uma ou mais subseqüências convergentes, para limites dis-

tintos. Pode acontecer também que dada uma seqüência divergente, todas as suas subseqüências

também sejam divergentes, como o caso da seqüência n.Isso não contradiz o resultado da Propriedade (4.15), pois as duas subseqüências citadas na

propriedade, juntas contém todos os termos da seqüência original an.

Exemplo 4.36.

A seqüência (−1)n é divergente, pois suas subseqüências par e ímpar convergem a valores

distintos.

De fato a2n = (−1)2n = 1, ∀ n ∈ N+ converge para 1, enquanto a2n−1 = (−1)2n−1 =

−1, ∀ n ∈ N+ converge para −1.

Exemplo 4.37.

A seqüência de termo geral an =(−1)n

nembora possua seus termos alternadamente positivos

e negativos, ela converge para zero.

Isto pelo fatos das subseqüências a2n =(−1)2n

2ne an =

(−1)2n+−1

2n − 1convergem para zero.


Exemplo 4.38.

A seqüência de termo geral an =

n, se, n ímpar1

n, se n par

é divergente.

De fato, a subseqüência ímpar tem como termo geral a2n−1 = 2n− 1, ∀n ∈ N+ ela diverge;

e a seqüência par a2n =1

2n, ∀ n ∈ N+, ela converge.

Exemplo 4.39.

Consideremos a seqüência de termo geral an =

1

n, se n par ou primo

n, se, n ímpar ou não-primo.

Observe que esta seqüência an é divergente pelo fato não ser limitada.

Note que pelo menos possui duas subseqüências convergentes.

Propriedade 4.16.

Sejam an e bn seqüências convergentes com limite L e M respectivamente, então:

1. A seqüência C · an converge para C · L.

2. A seqüência |an| converge para |L|.

3. A seqüência an ± bn converge para L ± M .

4. A seqüência an · bn converge para L · M .

5. A seqüênciaan

bn

converge paraL

M, sempre que M 6= 0 e bn 6= 0, ∀ n ∈ N+.

Demonstração.

Seja ε > 0 dado. Pela definição de limite, existem índices n1 e n2 tais que:

|an − L| < ε, ∀ n > n1 (4.10)

|bn − M | < ε, ∀ n > n2 (4.11)

Considerando n0 = max .n1, n2 de modo que (4.10) e (4.11) ocorram simultaneamente,

temos para n > n0 que:

1. Tem-se que |C · an − C · L| = |C||an − L| < |C|ε

2. Tem-se que ||an| − |L|| ≤ |an − L| < ε;

3. Tem-se que |(an ± bn) − (L ± M)| ≤ (|an − L| ± |bn − M |) < ε + ε = 2ε;

4. Tem-se que |an · bn − L · M | ≤ (|anbn − bnL + bnL − L · M | ≤ (|bn||an − L| + |L||bn − M |) ≤(D + |L|)ε, onde D é uma constante positiva que limita a seqüência bn;

5. Tem-se que:∣∣∣∣

an

bn− L

M

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

M · an − L · bn − LM + LM

M · bn

∣∣∣∣≤

≤ 1

|bn|(

|an − L| + |L||M | |bn − M |

)

< C(

1 +|L||M |

)

ε


Onde C é um número positivo tal que1

|bn|≤ C, ∀ n ≥ n0 (demonstre !).

Observação 4.5.

De posse das propriedades apresentadas na Propriedade (4.16), fica mais prático o cálculo de

limites. Não é mais necessário utilizar da função extensão f(x), a menos que se faça referencia

às propriedades analíticas como continuidade, derivabilidade, etc.

Exemplo 4.40.

Por exemplo para calcular limn→∞

n3 + 4

3n3 − 2n + 3, procedemos aplicando a Propriedade (4.16)

colocando em evidência o termo de maior grau, resultando:

limn→∞

n3 + 4

3n3 − 2n + 3= lim

n→∞n3(1 + 4

n3 )

n3(3 − 2n2 + 3

n3 )=

1

3

lembre que limn→∞

1

np= 0, p > 0.


n3 + 4

3n3 − 2n + 3=

1

3

Observação 4.6.

Mostra-se que, se an é uma seqüência convergente então:

1. Se α ≤ an, ∀n ∈ N+, então α ≤ limn→∞

an.

2. Se an ≤ β, ∀n ∈ N+, então limn→∞

an ≤ β.

4.4.2 Critérios de Convergência.

Propriedade 4.17.

Se uma seqüência an converge para zero, e bn é limitada, então a seqüência an · bnconverge para zero.

Demonstração.

Seja ε > 0; como an converge para zero, para este ε, corresponde um n0 > 0 tal que

|an| < ε, sempre que n ≥ n0.

Por outro lado, sendo bn uma seqüência limitada, existe uma constante N > 0 tal que

|bn| ≤ N, ∀ n ∈ N+.

E certamente para qualquer n ≥ n0 teremos:

|an · bn − 0| = |an · bn| = |an| · |bn| < ε N

Isto significa que limn→∞

an · bn = 0.

Portanto, a seqüência an · bn converge para zero.


Para a propriedade que acabamos de demonstrar, se exige que a seqüência bn seja somente

limitada, podendo ser convergente ou não; por essa razão não foi usada na demonstração a pro-

priedade referente au produto de seqüências, a qual exige a existência dos limites das seqüências

envolvidas.

Exemplo 4.41.

Determine se a seqüência de termo geral an =sen(nπ + 2)

n2é convergente.

Solução.

Observe que an podemos escrever na forma an = bn · cn onde os termos gerais são: bn =

sen(nπ + 2) e cn =1

n2.

Sabe-se que a seqüência bn é limitada, e a seqüência cn converge para zero.

Portanto a seqüência de termo geral an converge para zero.

Uma propriedade importante dos números reais, é o fato que eles são completos. Intuitiva-

mente, isto significa que a reta real não tem buracos; isto não ocorre com o conjunto dos números

racionais, não satisfaz esta propriedade.

Axioma 4.1. Axioma de completamento.

Todo conjunto de números reais que tem uma cota superior tem uma mínima cota superior.

Também, todo conjunto de números reais que tem uma cota inferior, tem uma máxima cota

inferior.

Por exemplo, o supremo da seqüêncian + 1

n + 2

é 1.

O axioma de completamento, junto com as propriedades algébricas de números reais e o

axioma da boa ordem, descrevem o conjunto dos números reais como um sistema completo.

O “axioma do completamento”, será usado na demonstração da seguinte propriedade.

Propriedade 4.18.

Toda seqüência que é ao mesmo tempo limitada e monótona, é convergente. Se ann∈N+ é

crescente, então limn→∞

an = sup .an.

Demonstração.

Suponhamos que a seqüência ann∈N+ seja monótona crescente e limitada, suponha que

L = sup .an.Para todo ε > 0, L − ε não é o limite superior, pois L − ε < L e L é o menor dos limites

superiores da seqüência.

Assim, para algum número natural n0 > 0, tem-se que:

L − ε < an0 (4.12)

a1 a2 · · · · · · Lan0L − εrr r r r rrr


Do fato ser L o menor dos limites superiores da seqüência, então:

an ≤ L, ∀ n ∈ N+ (4.13)

Como a seqüência ann∈N+ é crescente, então:

an ≤ an+1, ∀ n ∈ N+ ⇒ an0 ≤ an sempre que n ≥ n0 (4.14)

Das desigualdades (4.12), (4.13) e (4.14) tem-se:

L − ε < an0 ≤ an ≤ L < L + ε sempre que n ≥ n0

Assim, L − ε < an < L + ε ⇔ |an − L| < ε sempre que n ≥ n0.

Pela definição do limite, isto é equivalente a: limn→∞

an = sup .an.

Observação 4.7.

• Na Propriedade (4.15), se a seqüência for monótona decrescente e limitada, mostra-se que:

limn→∞

an = inf .an.

• Se ann∈N+ é crescente e suponhamos que D seja limite superior desta seqüência, então

ann∈N+ é convergente, e limn→∞

an ≤ D.

• Se ann∈N+ é decrescente e suponhamos que C seja limite inferior desta seqüência, então

ann∈N+ é convergente, e limn→∞

an ≥ D.

Propriedade 4.19.

Se limn→∞

an = L, então para todo k ∈ N+, limn→∞

an+k = L.

Demonstração.

Com efeito, a1+k, a2+k, · · · , an+k, · · · é uma subseqüência de ann∈N+ .

Exprime-se esta propriedade acima dizendo que o limite de uma seqüência não se altera

quando dela se omite um número finito de termos.

Pelas Propriedades (4.4) e (4.14) podemos concluir que:

Para mostrar que uma seqüência ann∈N+ não converge: basta obter duas subseqüências

com limites diferentes.

Para determinar o limite de uma subseqüência aknkn∈N+ que, a- priori, se sabe que con-

verge: basta determinar o limite de alguma subseqüência. Ele será o limite procurado.

Exemplo 4.42.

Consideremos a seqüência an, onde:

a1 = 0, an+1 =2an + 4

3para todo n ∈ N+

Então converge para 4.


Com efeito, para todo n ∈ N+ tem-se que an ≤ an+1. Observe, se n = 1 então a1 = 0 de

onde a2 − a1 =2a1 + 4

3− a1 =

4

3≥ 0.

Suponhamos que para n = h, cumpra que ah ≤ ah+1. Então ah+2 − ah+1 =2ah+1 + 4

3−

2ah + 4

3=

2

3(an+1 − ah) ≥ 0.

Portanto, an é crescente.

Afirmo: |an| ≤ 5.

Com efeito, |a1| = 0 ≤ 5. Suponhamos que para n = h compre que |ah| ≤ 5.

Para n = h + 1 segue que |ah+1| ≤2|ah| + 4

3≤ 2(5) + 4

3=

14

3≤ 5.

Portanto a seqüência é crescente e limitada.

Por último, suponhamos que limn→∞

an = L, então aplicando a Propriedade (4.19) L =

limn→∞

an+1 = limn→∞

2an + 4

3=

2L + 4

3.

De onde 3L = 2L + 4 ⇒ L = 4.


an = 4.

Propriedade 4.20.

Sejam: an uma seqüência; L ∈ R, e bn uma seqüência positiva de números reais tal que

limn→∞

bn = 0.

Se |L − an| ≤ bn, ∀ n ∈ N+, então limn→∞

an = L.

Demonstração.

Por hipótese bn converge para zero, pela Definição (4.10), para todo ε > 0, existe n0 ∈ N+

tal que bn = |bn − 0| < ε sempre que n > n0.

Para todo n > n0 tem-se que: |L − an| ≤ bn < ε.

De onde |an − L| < ε sempre que n > n0.

Portanto, como ε é arbitrário segue-se que an converge para L.

Exemplo 4.43.

Determine se a seqüência n

n + 1

converge.

Solução.

Observe quen

n + 1=

(n + 1) − 1

n + 1= 1 − 1

n + 1, além disso sabe-se que

1

n + 1<

1

n.

Logo,

∣∣∣∣1 − n

n + 1

∣∣∣∣

=1

n + 1<

1

n, como

1

n

é uma seqüência de números positivos tal que

limn→∞

1

n= 0, então aplicando a Propriedade (4.20) tem-se que: lim

n→∞n

n + 1= 1.


n + 1

converge.


Propriedade 4.21. Critério de confronto.4

Sejam an, bn e cn três subseqüência tais que an ≤ bn ≤ cn ∀ n ∈ N+, com an e

cn convergindo para o mesmo limite L. Então bn também converge para L.

Demonstração.

Como limn→∞

an = limn→∞

an = L, então dado ε > 0, existe n0 > 0 a partir do qual tem-se:

−ε < an − L < ε e − ε < cn − L < ε (4.15)

Como an ≤ bn ≤ cn ∀ n ∈ N+ ⇒ an − L < bn − L < cn − L, usando a desigualdade

(4.15) obtemos que −ε < bn − L < ε, ∀ n ∈ N+.


bn = L

Exemplo 4.44.

Dada as seqüências de termos gerais an = sen2nπ, cn =1

ne bn =

1

n2usando a Propriedade

(4.21) verificar que bn converge para zero.

Solução.

Tem-se que: 0 = sen2nπ ≤ 1

n2≤ 1

n, ∀ n ∈ N+, então:

0 = limn→∞

sen2nπ ≤ limn→∞

1

n2≤ lim

n→∞1

n= 0

Conseqüentemente, limn→∞

1

n2= 0.

Exemplo 4.45.

Determine se a seqüência 1

2n

converge.

Solução.

Sabe-se que 2n ≥ n, ∀ n ∈ N+, então

1

2n=

∣∣∣∣

1

2n− 0

∣∣∣∣≤ 1

n, ∀ n ∈ N+

Em virtude da Propriedade (4.21) segue que limn→∞

1

2n= 0.

Portanto a seqüência 1

2n

converge.

Propriedade 4.22. Teste da razão para seqüência.

Se una seqüência an de termos positivos satisfaz à condição limn→∞

an+1

an= L < 1, então ela

converge para zero.

Demonstração.

Seja 0 < L < 1, e suponhamos que limn→∞

an+1

an= L, então existe n0 > 0 tal que

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣< L,

sempre que n0 > 0.

4Teorema da seqüência intercalada ou Teorema do sanduíche.


Seja p ∈ N+ maior do que n0, então:

|ap+1| < L|ap|; |ap+2| < L|ap+1| < L2|ap|

Em geral para qualquer k ∈ N+ tem-se:

|ap+k| < Lk|ap| isto é − Lk|ap| < ap+k < Lk|ap|

Como L ∈ (0, 1), limk→∞

Lk = 0.

Portanto, pela Propriedade (4.19), segue que: limk→∞

ap+k = 0; isto é limn→∞

an = 0.

Exemplo 4.46.

Determine se a seqüência5n

n!

é convergente.

Solução.

Tem-se limn→∞

an+1

an= lim

n→∞

5n+1

(n+1)!

5n

n!

= limn→∞

5n+1n!

5n(n + 1)!= lim

n→∞5

n + 1= 0 < 1.

Logo a seqüência converge5n

n!

para zero.

Exemplo 4.47.

Determine se a seqüência2n + n4

3n − n7

é convergente.

Solução.

Tem-se limn→∞

2n + n4

3n − n7= lim

n→∞(2/3)n + n4/3n

1 − n7/3n=

limn→∞

(2/3)n + limn→∞

n4/3n

1 − limn→∞

n7/3n.

Aplicando o critério da razão separadamente a cada um dos limites, concluímos que a se-

qüência2n + n4

3n − n7

converge para zero.

Propriedade 4.23. Desigualdade de Bernoulli 5

Quaisquer que sejam o número x ≥ −1 e o número inteiro n ≥ 1 vale a seguinte desigualdade

: (1 + x)n ≥ 1 + nx.

Demonstração.

Como x ≥ −1 ⇒ 0 ≤ (x + 1), pela fórmula do binômio tem-se:

(1 + x)n =

(

n

0

)

x0(1)n +

(

n

1

)

x1(1)n−1 +

(

n

2

)

x2(1)n−2 + · · ·

· · · +(

n

n − 1

)

x1(1)n−1 +

(

n

n

)

x0(1)n

Logo, (1 + x)n ≥(

n

0

)

x0(1)n +

(

n

1

)

x1(1)n−1 = 1 + nx.

Portanto, (1 + x)n ≥ 1 + nx sempre que x > −1.

Exemplo 4.48.

5Jaques Jacob Bernoulli (1654 − 1705)


(a) Mostre que se r > 1, então a seqüência rn é limitada inferiormente.

(b) Mostre que se |r| > 1, a seqüência rn diverge.

Demonstração. (a)

Como 1 < r ⇒ r < r2 < r3 ⇒ r < rn < · · · , ∀ r ∈ N+, logo rn é limitada

inferiormente por r.

Por outro lado, temos que r = 1 + d, e pela desigualdade de Bernoulli, seque que rn =

(1 + d)n ≥ 1 + dn.

Assim, dado qualquer c ∈ R, podemos obter rn > c, desde que consideremos 1 + dn > c, isto

é n >c − 1

d.

Demonstração. (b)

Como |r| > 1 ⇒ |r| = 1+ b para algum b > 0, pela desigualdade de Bernoulli tem-se que

|r|n = (1 + b)n ≥ 1 + nb ∀ n ∈ N+.

Dado qualquer número positivo L ∈ R, pelo axioma de Arquimedes existe p ∈ N+ tal que

p ≥ 1

b(L − 1).

Considerando p = n e como 1 + nb ≥ L ⇒ 1 + (1 + n)b ≥ L de onde |rn+1| = |r|n+1 ≥1 + (n + 1)b > L.

Conseqüentemente, não existe L ∈ R tal que L ≥ |rn|, ∀ n ∈ N+.

Portanto, a seqüência rn diverge se, |r| > 1.

Exemplo 4.49.

Mostre que se r > 0, então a seqüência n√

r converge para 1.

Demonstração.

Suponhamos bn = n√

r − 1; então bn > 0.

Por outro lado, como n√

r = bn + 1 pela desigualdade de Bernoulli tem-se que r = ( n√

r)n =

(bn + 1)n ≥ 1 + nbn, de onde bn ≤ r − 1

n.

Deste modo 0 < bn ≤ r − 1

nde onde pelo critério do confronto segue que bn → 0; isto é

n√

r → 1 .

4.4.3 Conseqüência da Propriedade (4.18).

Propriedade 4.24.

Seja an uma seqüência crescente que converge para L. Então an ≤ L, ∀ n ∈ N+, além

disso se ap ≤ α, ∀ n ∈ N+ então L ≤ α.

Demonstração.

De fato, se p ∈ N+ então limn→∞

(an − ap) = L − ap.

Como an é crescente então an−ap ≥ 0 se n ≥ p. Aplicando a primeira parte da Observação

(4.6) segue que ap ≤ L ∀ p ∈ N+.

Se ap ≤ α ∀ p ∈ N+, aplicando a segunda parte da Observação (4.6) segue que limn→∞

an =

L ≤ α.


Propriedade 4.25.

Seja bn uma seqüência decrescente que converge para M . Então M ≤ bn, ∀n ∈ N+, além

disso se β ≤ bp, ∀ n ∈ N+ então β ≤ M .

Demonstração.

De fato, se p ∈ N+ então limn→∞

(bn − bp) = M − bp.

Como bn é decrescente então bn − bp ≤ 0 se n ≥ p. Aplicando a primeira parte da

Observação (4.6) segue que M ≤ bp ∀ p ∈ N+.

Se β ≤ bp ∀p ∈ N+, aplicando a segunda parte da Observação (4.6) segue que β ≤ limn→∞

bn =

M .

Propriedade 4.26.

i Para cada n ∈ N+ seja [an, bn] um intervalo, suponhamos que:

[a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ [a3, b3] ⊃ · · · ⊃ [an, bn] ⊇ · · · (4.16)

então existe c ∈ R tal que:

c ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N+ (4.17)

ii) Suponhamos que limn→∞

(bn − an) = 0. Então existe um único c ∈ R que satisfaz (4.17). Além

disso, se λn ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N+, então λn converge para c.

Demonstração. i)

Das inclusões (4.16) deduzimos que a seqüência an é crescente, e a seqüência bn é de-

crescente. Como os termos desta seqüência estão contidos em [a1, b1] logo elas são limitadas;

pela Propriedade (4.18) concluímos que elas convergem.

Selam L = limn→∞

an e M = limn→∞

bn.

Pelas propriedades (4.25) e (4.26) temos que an ≤ L e M ≤ bn, ∀n ∈ N+. Da desigualdade

(4.15) tem-se que ap ≤ bq, ∀ p, q ∈ N+ de onde pela primeira parte da Observação (4.6)

concluímos que L ≤ bq. Sendo para todo p ∈ N+, novamente usando a primeira parte da

Observação (4.6) concluímos que L ≤ M .

Seja c ∈ R tal que L ≤ c ≤ M ⇒ c ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N+.

Portanto, então existe c ∈ R tal que: c ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N+.

Demonstração. ii)

Seja c ∈ [an, bn] ∀n ∈ N+, então pela Observação (4.6) L ≤ c ≤ M . Como limn→∞

(bn−an) = 0

então:

L = limn→∞

an + limn→∞

(bn − an) =

= limn→∞

[an + (bn − an)] = limn→∞

bn = M

Portanto, L = c = M ; se λn ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N+, então an ≤ λn ≤ bn ∀ n ∈ N+, então

pelo critério do confronto segue que λn converge para L = c = M .


4.4.4 Teorema de Bolzano - Weirstrass.

Propriedade 4.27. Bolzano - Weirstrass

Toda seqüência an limitada de números reais, possui uma subseqüência convergente.

A condição de seqüência limitada é essencial. por exemplo a conclusão não é válida para a

seqüência n.Por outro lado, seja an uma seqüência e A ⊆ R então uma e somente uma das seguintes

situações cumpre:

1. Existe somente um n0 ∈ N+ tal que an /∈ A para todo n ≥ n0.

2. Não há nenhum n0 tal que n0 ∈ N+.

Para o caso 1. os únicos termos da seqüência an que podem pertencer a A são a1, a2, a3, · · · , an0−1.

Isto é A contém um número finito de termos da seqüência.

O caso 2. diz que A contem um número infinito de termos da seqüência.

Isto tem a er com a demonstração pelo seguinte:

Seja [a, b] um intervalo, e a < c < b. Suponhamos que [a, b] contenha um número infinito

de termos da seqüência an, então ao menos um dos intervalos [a, c], [c, b] também contém um

número infinito de termos da seqüência an. Caso contrario, como [a, b] = [a, c] ∪ [c, b] teria

um número finito de termos (contradição!).

Demonstração. do Teorema de Bolzano - Weirstrass.

Seja an uma seqüência limitada por L ∈ R ⇒ −L ≤ an ≤ an, ∀ n ∈ N+; isto é

an ∈ [−L, L], ∀ n ∈ N+.

Seja α1 = −L, β1 = L ⇒ [α1, β1] contém um número infinito de termos da seqüência

an. Conseqüentemente um dos dois intervalos

[α1,α1 + β1

2], [

α1 + β1

2, β1] (4.18)

contém um número infinito de termos da seqüência an. Denotemos um dos intervalos que

contém um número infinito de termos da seqüência an por [α2, β2].

Agora consideremos:

[α2,α2 + β2

2], [

α2 + β2

2, β2] (4.19)

contém um número infinito de termos da seqüência an. Denotemos um dos intervalos que

contém um número infinito de termos da seqüência an por [α3, β3].

Continuando com este processo, obtém-se uma seqüência de intervalos:

[α1, β1] ⊇ [α2, β2] ⊇ [α3, β3] ⊇ · · · ⊇ [αn, βn] ⊇ · · · (4.20)

cada um dos quais contém uma quantidade infinita de termos da seqüência an e,

β1 − α1 = 2L, β2 − α2 =(2L)

2, β3 − α3 =

(2L)

22, · · · , βn − αn =

(2L)

2n−1, · · · (4.21)


Pela Propriedade (4.27), existe λn ∈ [an, bn] ∀ n ∈ N+, onde λn é convergente.

Seja n1 ∈ N+ tal que an1 ∈ [α1, β1], e n2 ∈ N+ tal que an2 ∈ [α2, β2] onde n1 < n2. Existe

n2 assumindo que [α2, β2] contém um número infinito de termos.

Seguindo este processo, escolhemos n1, n2, n3, · · · , nk, · · · com nk < nk+1 e nk+1 ∈[αk+1, βk+1] (de fato, [αk+1, βk+1] contém uma quantidade infinita de termos da seqüência

an. Deste modo obtemos o conjunto N ′ = n1 < n2 < n3 < · · · < nk < · · · tal que

λn = ank+1∈ [ak, bk]

Portanto, existe anknk∈N′ subseqüência convergente de an

Propriedade 4.28.

Seja an uma seqüência convergente para L ∈ R, e seja N′ = n1 < n2 < n3 < · · · < nk <

· · · , então anknk∈N′ converge para L.

Demonstração.

Seja ε > 0, como an converge a L, então existe n0 ∈ N+ tal que |an − L| < ε sempre que

n > n0. Se j > n0, ⇒ nj > j > n0 e assim |anj − L| < ε.

Conseqüentemente se j > n0, então |anj − L| < ε. Como ε > 0 é arbitrário, deduzimos que

anknk∈N′ converge a L.

Propriedade 4.29.

Se L ∈ R, então existe um número natural n ∈ N+ tal que n ≥ L.

Demonstração.

Pelo absurdo.

Suponhamos que, n < L, ∀ n ∈ N+, então a seqüência n é limitada por L, além disso

sabemos que é crescente.

Pela Propriedade (4.18) a seqüência n é convergente; isto contradiz o que foi mostrado no

Exemplo (4.18).

Portanto, se L ∈ R, então existe um número natural n ∈ N+ tal que n ≥ L.


Exercícios 1-3

1. Calcular se existem os seguintes limites:

1. limn→∞

(n + 2)! + (n + 1)!(n + 3)!

2. limn→∞

[1

n2+ (1 + 2 + 3 + · · · + n)

]

3. limn→∞

(2n + 1)4 − (n − 1)4

(2n + 1)4 + (n − 1)44. lim

n→∞

[1 + 2 + 3 + · · · + n

n + 2− n

2

]

5. limn→∞

(n + 1)3 − (n − 1)3

(n + 1)2 + (n − 1)26. lim

n→∞

√n3 − 2n + 1 + 3

√n4 + 1

4√

n6 + 6n5 + 2 − 5√

n7 + 3n3 + 1

7. limn→∞

n3 + n

n4 − 3n2 + 18. lim

n→∞100n3 + 3n2

0, 001n4 − 100n3 + 1


11. limn→∞

√

a + a2n2 +√

b + a2n2 − 2

√

a2n2 − a + b

2= 0

2. limn→∞

7√

a7n7 + a +√

a2 − 45√

a − 1 − a5n5 + 4√

a4 − 25a2 + 144=

1 + a

1 − a

3. Mostre que limx→+∞

anxn + an−1xn−1 + · · · a1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · · b1x + b0existe se e somente se m ≥ n. Qual é

o valor do limite se m = n?. E quando m < n ?

4. Calcular os seguintes limites:

1. limx→+∞

x3

2x2 − 1− x2

2x + 1

2. limx→+∞

anxn + an−1xn−1 + · · · a1x + a0

bmxm + bm−1xm−1 + · · · b1x + b0

3. limx→+∞

(x + 1) + (x + 2)2 + (x + 3)3 + · · · + (x + n)n

x5 − a5n ∈ N.

5. Determine quais das seguintes seqüências são convergentes:

1.

n(3

4

)n

2.

n(n + 1)(2

3

)n

3. n!

100n

6. É verdade que se an é de Cauchy implica que an é limitada? justifique sua resposta

7. Usando a definição de seqüência de Cauchy, mostre que: 7√

n + 7

e n + 4

n2 + 10

são de

Cauchy.

8. Mostre que a seqüência an, onde a1 = 0, an+1 =3an + 1

4∀ n ∈ N+ é crescente e

limitada por C = 1. Qual o limite desta seqüência?

9. Mostre que a seqüência bn, onde b1 = −3, bn+1 =3bn − 4

5∀ n ∈ N+ é crescente e

limitada. Qual o limite desta seqüência?

10. Mostre que a seqüência an, onde a1 = 1, an+1 =√

2an ∀ n ∈ N+ é crescente e

limitada. Qual o limite desta seqüência?


11. Sejam an e bn duas seqüências tais que an ≤ bn, ∀ n ∈ N+. Mostre que limn→∞

an ≤lim

n→∞bn.

12. Mostre que, se an é uma seqüência convergente então:

1. Se α ≤ an, ∀ n ∈ N+, então α ≤ limn→∞

an.

2. Se bn ≤ β, ∀ n ∈ N+, então limn→∞

bn ≤ β.

13. Construir um exemplo:

a) De uma seqüência que possui duas subseqüências divergentes mostrando pelo menos

duas delas.

b) De uma seqüência que seja limitada superiormente e não seja de Cauchy.

c) De uma seqüência não monótona e de Cauchy.

14. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras respeito a seguinte seqüência:

an = −4 cos n5 + 7(−1)2n+1 senn

n3

justifique sua resposta?

a) Ela é limitada superiormente;

b) Ela possuí no mínimo uma subseqüência convergente;

c) Ela possuí mais de duas subseqüências convergentes;

d) Ela é de Cauchy;

e) 12 e −12 são limites superior e inferior respectivamente.

15. Usando a definição de seqüência de Cauchy, provar que: an = 7√7n+3

e yn = 2nn2+7

.

16. Construir um exemplo:

a) de uma seqüência que possui duas subseqüências (uma divergente e outra convergente)

mostrando-as;

b) de uma seqüência que seja limitada inferior e não seja de Cauchy.

c) De uma seqüência não monótona, limitada e de Cauchy.

a) De uma seqüência que possui duas subseqüências divergentes mostrando elas.

17. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras respeito a seguinte seqüência:

an = −4cos n2

en+ [4(−1)2n+6]sen2n

justifique sua resposta?

a) Ela é limitada superiormente;

b) Ela possuí no mínimo uma subseqüência convergente;


c) Ela possuí mais de duas subseqüências convergentes;

d) Ela é de Cauchy;

e) 102 e −120 são limitantes superior e inferior respectivamente.

18. Idem ao exercício anterior, para respeito a seguinte seqüência:

zn = −4cos n2

en+ [4(−1)n+5]sen2n

19. Usando a definição provar que a seguinte seqüência converge para L:

a)(

5k0n

7n − 3

)

; L =5k0

7onde k0 é constante.

20. Resolva as seguintes questões :

(a) Calcule o 4 elemento das seqüências 2n√

n e determine se ela converge ou diverge.

Caso convergir ache o seu limite.

(b) Determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não monótona:

(7n

31 + 52n

)

.

21. Dê um exemplo de uma seqüência que seja limitada e convergente, porém não monótona.

22. Dada a seqüência (an), onde an < 0 para todo n e an+1 > kan com 0 < k < 1. Prove que

(an) é convergente.


Miscelânea 1-1

1. Determine se as seguintes seqüências são convergentes ou divergentes:

a)2

3,

3

5,

4

7,

5

9, · · · b)

2

3,

3

5,

4

7,

5

9, · · ·

c)3

2,

9

10,

19

24,

33

44, · · · d)

2

1,

5

6,

10

15,

17

28, · · ·

e)4

3,

25

17,

82

55,

193

129, · · · f)

1

3,

2

5,

3

7,

4

9, · · ·

2. Um triângulo isósceles cuja base esta dividida em

2n partes (quadrados) tem inscrito uma figura

escalonada segundo a Figura 1.. Demonstre que

a diferença entre a área do triângulo e a figura

escalonada é infinitesimal quando n cresce infini-

tamente.

@@

@@

@@

@@

· · ·......

Figura 1.

3. Determine se as seguintes seqüências são convergentes ou divergentes:

a) n√

1 + n + n2n≥1 b)

√3n3 + 2n − 1 −

√3n3 − 2n − 1√

n3 + n2 + 3n −√

n3 + n2 − 3n

n≥1

c)cos n

n

n≥1d)

[

3 − 2(na + 1

na

)]tan π2[na+1

na]

n≥1

e)

n

√

3

5· 5

8· 7

11· · · 2n + 1

3n + 2

n≥1

f)

n

√

Ln3

Ln5· Ln6

Ln10· · · Ln3n

Ln5n

n≥1

g)

(2n + 5)(2n+5)nn−3

(4n + 1)n+2(n + 3)2n

n≥1

h)

n

√

Ln3

Ln5· Ln6

Ln10· · · Ln3n

Ln5n

n≥1

4. Mostre que a seqüência n√

an + bnn≥1 converge para b, sempre que 0 < a < b.

5. Consideremos a seqüência ann≥1 convergente; mostre que se limn→∞

an = a, então

limn→∞

a1 + a2 + a3 + · · · + an

n= a

6. Calcular se existem os seguintes limites do termo geral an de uma seqüência:

1. limn→∞

(n + 2)! + (n + 1)!(n + 3)!

2. limn→∞

[1

n2+ (1 + 2 + 3 + · · · + n)

]

3. limn→∞

(2n + 1)4 − (n − 1)4

(2n + 1)4 + (n − 1)44. lim

n→∞

[1 + 2 + 3 + · · · + n

n + 2− n

2

]


5. limn→∞

(n + 1)3 − (n − 1)3

(n + 1)2 + (n − 1)26. lim

n→∞

√n3 − 2n + 1 + 3

√n4 + 1

4√

n6 + 6n5 + 2 − 5√

n7 + 3n3 + 1

7. limn→∞

n3 + n

n4 − 3n2 + 18. lim

n→∞1

1 × 3+

1

3 × 5+ · · · 1

(2n − 1)(2n + 1)

9. limn→1

n2 − 2n + 1

n3 − n10. lim

n→1

x + 2

x2 − 5x + 4+

x − 4

3(x2 − 3x + 2)

11. limx→1

xm − 1

xn − 1m, n ∈ Z 12. lim

n→∞3n2

2n + 1− (2n + 1)(3n2 + n + 2

4n2

13. limn→∞

100n3 + 3n2

0, 001n4 − 100n3 + 114. lim

n→−∞5n3 − n2 + n − 1

n4 − n3 − 2n + 1


1. limn→+∞

4n3 + 2n2 − 5

n + 2 − 8n3= −1

22. lim

n→−∞15n3 − n2 + n − 1

n4 − n3 − 2n + 1= 0

3. limn→+∞

3n2 − 2

2n + 1+

n2 − 4n

n − 3=

3

24. lim

n→+∞2n + 3

n + 3√

n= 2

5. limn→+∞

3

√

8n − 4

(3 −√n)(

√n + 2)

= −2 6. limn→+∞

√

n +√

n +√

n + 3√

n + 3= 1

7. limx→+∞

[√

n2 − 5n + 6 − 2] = −5

28. lim

n→−∞[√

n2 − 2n + 4 + n] = 1

9. limn→+∞

[

√

n√

2n − 5n + 6 − n] = −∞ 10. limn→∞

(

√n2 + 1 + n)2

3√

n6 + 1= 2

11. limn→+∞

√

a + a2n2 +√

b + a2n2 − 2

√

a2n2 − a + b

2= 0

12. limn→+∞

7√

a7n7 + a +√

a2 − 45√

a − 1 − a5n5 + 4√

a4 − 25a2 + 144=

1 + a

1 − a

8. Consideremos a seqüência ann≥1 convergente; mostre que se limn→∞

an = a, então

limn→∞

n√

a1 · a2 · a3 · · · an = a

9. A seqüência de Fibonacci define-se como segue: a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 +an−2 para

n ≥ 3. Mostre por indução que: an =

(1+

√5

2

)n−(

1−√

52

)n

√5

.

10. Determine se a seqüência de termo geral, an =n

√

30n + 40n + · · · + 600n

né convergente.

11. Estude a seqüência de termo geral: an =16 + 26 + 36 + · · · + n6

n7

12. Mostre que toda seqüência contrativa é convergente.

Capítulo 5

SÉRIES

5.1 INTRODUÇÃO

Seja an uma seqüência de números reais, a partir de ela podemos obter os seguintes ele-

mentos:

s1 = a1;

s2 = a1 + a2;

s3 = a1 + a2 + a3;...

sn−1 = a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1;

sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1 + an

Isto é, podemos obter outra seqüência sn, chamada série onde seus elementos são somas

parciais de elementos da seqüência an.Quando o índice n seja o maior possível (por exemplo n → +∞), teremos a escrever o termo

geral da seqüência sn como uma soma de uma quantidade indeterminada de elementos da

forma ai, i ∈ N+.

A notação que permite exprimir esta soma é: sn =n∑

k=1

ak.

Por se tratar sn de uma seqüência de números reais, todo o estudado no Capítulo I

podemos aplicar a nossa série sn; por exemplo limitação, monotonia, convergência entre outros.

Logo, a série sn é limitada, se existe uma constante C ∈ R tal que |sn| ≤ C ou

∣∣∣∣∣

∞∑

n=1

an

∣∣∣∣∣≤

C, ∀ n ∈ N+.

A série sn é convergente, se limn→∞

sn = S ou limn→∞

[n∑

i=1

ai

]

= S, para algum S ∈ R fixo e

único.

Logo, podemos dizer que existem séries convergentes e séries divergentes. O objetivo deste

capítulo é aprender a distinguir umas das outras.

Antes de continuar com a análise de nossa seqüência sn, temos a entender melhor como

trabalhar com o símbolo∑

(sigma) que abrevia nossas somas.

93


5.2 SOMATÓRIOS

Considere m e n dois números inteiros tais que m ≤ n e f(x) uma função definida para

cada i ∈ Z , onde m ≤ i ≤ n. A expressãon∑

i=m

f(i) representa uma soma da seguinte forma:

f(m) + f(m + 1) + f(m + 2) + · · · + f(n− 1) + f(n) ; isto én∑

i=m

f(i) = f(m) + f(m + 1) +

f(m + 2) + · · · + f(n − 1) + f(n) .

A letra grega “sigma”∑

é o símbolo do somatório, i é o índice ou variável, m é o limite

inferior e n é o limite superior.

Exemplo 5.1.

a) Seja f(i) = i + 2 , então5∑

i=1

f(i) = (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + (4 + 2) + (5 + 2) = 20.

b) Seja g(i) = cos(ix) , entãon∑

i=1

g(i) = cosx + cos(2x) + cos(3x) + · · · + cos(nx).

Observação 5.1.

Na expressãon∑

i=m

f(i) existem, (n − m + 1) somandos.

Propriedade 5.1.

a)n∑

i=m

K = (n − m + 1)K.

b)n∑

i=m

[f(i) ± g(i)] =n∑

i=m

f(i) ±n∑

i=m

g(i). · · · distributiva

c)n∑

i=m

[f(i) − f(i − 1)] = f(n) − f(m − 1) · · · telescópica

d)n∑

i=m

[f(i − 1) − f(i − 1)] = f(n + 1) + f(n) − f(m) − f(m − 1) · · · telescópica

Demonstração.

A demonstração desta propriedade, é exercício para o leitor.

Exemplo 5.2.

Calcular o valor de S =200∑

i=1

[√

i + 1 −√

i − 10].

Solução.


Pela Propriedade (5.1) temos que:

S =200∑

i=1

[√

i + 1 −√

i] −200∑

i=1

10 = [√

201 −√

1] − 200(10) = −2001

Portanto S =200∑

i=1

[√

i + 1 −√

i − 10] =√

201 − 2001.

Exemplo 5.3.

Calcular uma fórmula para S =n∑

i=m

[(i + 1)2 − (i + 1)2].

Solução.

Considere f(i) = i , segundo a Propriedade (5.1) d) segue:

S =n∑

i=m

[(i + 1)2 − (i + 1)2] =

= f(n + 1) + f(n) − f(1) − f(n − 1) + f(n + 1) − f(n) − f(1) − f(0) =

= (n + 1)2 + n2 − 1 − 0 = 2n(n + 1)).

De outro modo, observe que [(i + 1)2 − (i − 1)2] = 4i, assim temos que S =n∑

i=m

[(i + 1)2 −

(i + 1)2] =n∑

i=m

4i = 2n(n + 1).

Portanto, S =n∑

i=m

[(i + 1)2 − (i + 1)2] = 2n(n + 1).

Exemplo 5.4.

Usando as propriedades do somatório, mostre as seguintes igualdades:

1. S =

n∑

i=1

i =n(n + 1)

22. T =

n∑

i=1

i2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

3. U =n∑

i=1

i3 =n2(n + 1)2

44. V =

n∑

i=1

i4 =n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n + 1)

30

Solução. a)

É conseqüência do Exemplo (5.3), observe quen∑

i=14i = 4

n∑

i=1i = 2n(n + 1) então S =

n∑

i=1

i =

n(n + 1)

2Solução. b)

Consideremos f(i) = i3, pela Propriedade (5.1) d) temos que a soma:

n∑

i=1

[(i + 1)3 − (i + 1)3] = (n + 1)3 + n3 − 13 − 03 = 2n3 + 3n2 + 3n (5.1)


Por outro lado:

n∑

i=1

[(i + 1)3 − (i + 1)3] =

n∑

i=1

[6i2 + 2] = 6

n∑

i=1

[i2] + 2n (5.2)

De (5.1) e (5.2) segue que 6n∑

i=1[i2] + 2n = 2n3 + 3n2 + 3n.

Portanto,n∑

i=1

i2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

Solução. c)

Consideremos f(i) = i4, pela Propriedade (5.1) d) temos que a soma:

n∑

i=1

[(i + 1)4 − (i + 1)4] = (n + 1)4 + n4 − 14 − 04 = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n (5.3)

Por outro lado, da parte a) deste exemplo,n∑

i=1

[(i + 1)4 − (i + 1)4] = 8n∑

i=1

i3 + 8n∑

i=1

i =

8n∑

i=1

[i3] + 4n(n + 1).

Igualando a (5.3), temos 8n∑

i=1

[i3] + 4n(n + 1) = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n.

Portanto, U =n∑

i=1

[i3] =n2(n + 1)2

4

Solução. d)

Exercício para o leitor.

Exemplo 5.5.

Se a > 0, determine uma fórmula para a progressão geométrican∑

k=1

ak.

Solução.

Seja S =n∑

k=1

ak = a+a2 +a3 +a4 + · · ·+an−2 +an−1 +an , se multiplicamos por −a à soma

S obtém-se −aS = −a2 − a3 − a4 − · · · − an−2 − an−1 − an − an+1; logo S - aS = a− an+1 onde

S(a − 1) = a(an − 1)

Portanto, S =n∑

k=1

ak =a(an − 1)

a − 1.

Exemplo 5.6.

Achar uma fórmula para S =n∑

k=1

6

2k−1.

Solução.

Temos que S =

n∑

k=1

6

2k−1= 6

n∑

k=1

2

2k= 12

n∑

k=1

1

2k; pelo Exemplo (5.5) concluímos: S =

12(1 − (1

2)n].


Portanto, S =n∑

k=1

6

2k−1= 12[1 − 1

2)n].

Exemplo 5.7.

Determine uma fórmula paran∑

k=1

k

3k.

Solução.

Aplicando a propriedade telescópica,n∑

k=1

[k

3k− k − 1

3k−1] =

n

3n− 0.

Por outro lado,n∑

k=1

k

3k−

n∑

k=1

k − 1

3k−1=

n∑

k=1

k

3k− 3[

n∑

k=1

k

3k−

n∑

k=1

1

3k] =

= −2n∑

k=1

k

3k+ 3

n∑

k=1

1

3k= −2

n∑

k=1

k

3k+ 3 ·

13 [(1

3)n − 1]13 − 1

= −2n∑

k=1

k

3k+

3

2[1 − (

1

3)n]

logo −2n∑

k=1

k

3k+

3

2[1 − (

1

3)n] =

n

3n− 0 onde

n∑

k=1

k

3k=

3

4− 3 + 2n

4(3)n.

Portanto,n∑

k=1

k

3k=

3

4− 3 + 2n

4(3)n

Exemplo 5.8.

Determine a soma S =

n∑

k=1

k · (k!).

Solução.

Considere f(k) = (k + 1)!, pela Propriedade (5.1) c) temos:n∑

k=1

[(k + 1)! − k!] = (n + 1)! − 1 ; isto én∑

k=1

[(k + 1) · k! − k!] =n∑

k=1

k · (k!) = (n + 1)! − 1.

Portanto S = (n + 1)! − 1

Exemplo 5.9.

Achar uma fórmula paran∑

k=1

sen(kx).

Solução.

Lembre a identidade cos(a + b) − cos(a − b) = −2sen(a)sen(b).

Logo:n∑

k=1

[−2sen x · sen(kx)] =n∑

k=1

[cos(k + 1) − cos(k − 1)] então −2senxn∑

k=1

sen(kx) =

cos(n + 1)x + cos(nx) − cos x − 1.

Portanto,n∑

k=1

sen(kx) = − cos(n + 1)x + cos(nx) − cos x − 1

2senx

Exemplo 5.10.

Calcular a soma S =

n∑

k=1

sen2n2x.

Solução.


Aplicando a propriedade telescópica temos:

n∑

k=1

[sen2k2x − sen2(k−1)2x] = sen2n2x − 1 (5.4)

Por outro lado,n∑

k=1

[sen2k2x − sen2(k−1)2x]n∑

k=1

sen2k2x −n∑

k=1

sen−22x · sen2(k−1)2x = [1 −

sen−22x]n∑

k=1

sen2k2x = [sen22x − 1

sen22x]

n∑

k=1

sen2k2x = cot2 2xn∑

k=1

sen2k2x .

De (5.4) temos cot2 2x

n∑

k=1

sen2k2x = sen2n2x − 1.

Portanto, S = tan2 2x(sen2n2x − 1).

Exemplo 5.11.

Determine o valor da seguinte soma T =

n∑

k=1

1

loga(22k) loga(2

2k+2)

Solução.

Temos que:1

loga(22k) loga(2

2k+2)=

1

loga(22)

[1

loga(22x)− 1

loga(22x+2)

]

Logo T =n∑

k=1

1

loga(22)

[1

loga(22k)− 1

loga(22k+2)

]

Assim, T =1

loga(22)

[1

loga22− 1

log2(22n+2)

]

.

Exemplo 5.12.

Calcular a soma T =n∑

k=1

tanh(19kx)

sech(19kx).

Solução.

Observe que, T =

n∑

k=1

tanh(19kx)

sech(19kx)=

n∑

k=1

senh(19kx) , análogo ao Exemplo (5.9) temos da

identidade para funções hiperbólicas cosh(a + b) − cosh(a − b) = − 2senh(a)senh(b).

Logon∑

k=1

[−2senh(19x)senh(19kx)] =n∑

k=1

[cosh(19(k+1)x)−cosh(19(k−1))] então −2senh(19x)·n∑

k=1

senh(19kx) = cosh(19(n + 1)x) + cosh(19nx) − cosh(19x) − 1,

Portanto,

T =

n∑

k=1

tanh(19kx)

sech(19kx)=

cosh(19(n + 1)x) + cosh(19nx) − cosh(19x) − 1

2senh(19x)

Exemplo 5.13.

Determine uma fórmula paran∑

k=1

bk · sen(x + ky).

Solução.


Considere S =n∑

k=1

[bk · sen(x+ ky)− bk−1sen(x+(k− 1)y)] , temos pela Propriedade (5.1) d):

S =n∑

k=1

[bk · sen(x + ky) − bk−1sen(x + (k − 1)y)] = bnsen(x + ny) − senx (5.5)

Por outro lado, S =n∑

k=1

[bk · sen(x + ky) − bk−1sen(x + (k − 1)y)] =

n∑

k=1

bksen(x + ky) − 1

b

n∑

k=1

bksen(x + (k − 1)y) =

n∑

k=1

bksen(x + ky) − 1

b

n∑

k=1

bk[sen(x + ky) · cos y − seny · cos(x + ky)]

logo:

S = (1 − 1

bcos y)

n∑

k=1

bk · sen(x + ky) − 1

bseny

n∑

k=1

bk · cos(x + ky) (5.6)

Para determinar U =n∑

k=1

bk · cos(x + ky), pela Propriedade (5.1).

Seja T =n∑

k=1

[bk · cos(x + ky) − bk−1 cos(x + (k − 1)y)] = bn cos(x + ny) − cos x , isto é

T = U − 1

b

n∑

k=1

bk cos(x + (k − 1)y) =

U − 1

b

n∑

k=1

bk[cos(x + ky) · cos y + seny · sen(x + ky)] =

(1 − 1

bcos y)U − 1

bseny

n∑

k=1

bksen(x + ky) = bn cos(x + ny) − cos x

De onde U =n∑

k=1

bk · cos(x + ky) =

seny

b − cos y

n∑

k=1

bk · sen(x + ky) +b

b − cos y[bn · cos(x + ny) − cos x]

Em (5.6) temos S = (1−1

bcos y)

n∑

k=1

bksen(x+ky)−1

bseny[

n∑

k=1

bksen(x+ky)]+b

b − cos y[bn cos(x+

ny) − cos x]

Logo da identidade (5.5) vem:

S = [b − cos y

b− sen2y

b(b − cos y)]

n∑

k=1

bksen(x+ky)+b

b − cos y[bn cos(x+ny)−cos x] = bnsen(x+


ny) − senx.

Portanto:n∑

k=1

bk · sen(x + ky) =b(b − cos y)

b2 − cos2 y + sen2y[bnsen(x + ny)−

−senx − bnseny · cos(x + ny) + seny · cos x

b − cos y].


Exercícios 2-1

1. Escrever os seis primeiros termos das somas dadas.

1.n∑

k=1

k

k + 12.

20∑

k=0

2k + 1

3k + 23.

10∑

k=1

k2 − 2k + 3

2k2 + k + 14.

n∑

k=1

(−1)k ak

k3

5.

∞∑

k=1

(3

2)k 6.

30∑

k=1

sen(kπ) 7.

∞∑

k=1

Ln(3

k) 8.

n∑

k=1

k2

k + 1

2. Determinar uma fórmula para cada uma dos seguintes somatórios:

1.n∑

i=1

[√

2i + 1 −√

2i − 1] 2.n∑

k=1

4

(4k − 3)(4k + 1)3.

100∑

k=1

Ln[k

k + 2]

4.

n∑

k=1

2k + k(k + 1)

2k+1(k2 + k)5.

n∑

k=1

k

(k + 1)(k2 + 5k + 6)6.

n∑

k=1

2k + 3k

6k

7.n∑

k=1

[

√k + 1 −

√k√

k2 + k] 8.

n∑

k=1

Ln[(1 + 1k )k(1 + k]

(Lnkk)(Ln(k + 1))k+19.

n∑

k=1

ek + 2

3k

10.n∑

k=1

1

2x2 + 6x + 411.

n∑

k=1

ek − [3sena · cos a]k

3k12.

n∑

k=1

2k + 1

k2(k + 1)2

13.

n∑

k=1

1

k2 − 114.

n∑

k=1

16 csc5 kx

cot5 kx · sec9 kx15.

n∑

k=1

cos(3kx)

16.n∑

k=1

[25

10k− 6

100k] 17.

n∑

k=1

sen2k(2x) 18.n∑

k=1

k

5k

19.n∑

k=1

5k · sen(5k − x) 20.n∑

k=1

k · xk+1 21.n∑

k=1

k · 2k

22.

n∑

k=1

1

24 + 10k − 25k223.

n∑

k=1

cos2k 24.

n∑

k=1

[√

3 + x]k

3. Determine a validade da igualdade:n∑

k=1

Ln 2k =n(n + 1)

2Ln2.

4. Mostre que a fórmula é evidente:n∑

k=1

(m + k)!

k!=

(m + n + 1)!

(m + 1)n!.

5. Se X =1

n[

n∑

k=1

Xk] , mostre quen∑

k=1

[Xk − X]2 =n∑

k=1

X2k − X

n∑

k=1

Xk.

6. Determine o valor de n ∈ N , se:n∑

k=1

(2 + k2) =n∑

k=1

(k + k2).

7. Seja | a | < 1, mostre que : S =n∑

k=1

ak =1

1 − aquando n → ∞.


8. Nos seguintes exercícios expresse as dizimas periódicas dadas como series geométricas e em

seguida expresse as somas destas últimas como o quociente de dois inteiros.1. 0, 6666 2. 0, 2323 3. 0, 07575 4. 0, 21515

9. Quando um determinado empregado recebe seu pagamento ao final de cada mês, ele de-

posita P reais em uma conta especial para a aposentadoria. Esses depósitos são feitos

mensalmente, durante t anos e a conta rende juros anuais de r%. Se os juros são capital-

izados mensalmente, o saldo A na conta ao final de t anos é:

A = P + P (1 +r

12) + · · · + P (1 +

r

12)12t−1 = P (

r

12)[(1 +

r

12)12t − 1]

Se os juros são capitalizados continuamente, o saldo A ao final de t anos é: A = P +Per12 +

Pe2r12 + · · ·+ P · e

(12t−1)r12 =

P (en − 1)

er12 − 1

. Use a fórmula para a n-ésima soma parcial de uma

série geométrica para provar que cada uma das somas acima está correta.

10. Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros, começa a quicar ao atingir o solo, como

indica a Figura (5.1). A altura máxima atingida pela bola após cada batida no solo é

igual a três quartos da altura da queda correspondente. Calcule a distância vertical total

percorrida pela bola.

-

6

?0 x

y6

4

2

CCCCCCCCC

Tempo

uu

CCCCCCuu

CCCCuu

CCu

u

Figura 5.1:

11. Mostre quen∑

k=1

Ln(k + 1) = Ln[(n + 1)!].


5.3 SÉRIES DE NÚMEROS REAIS

Dada uma seqüência an de números reais, a soma infinita a1 +a2 +a3 + · · ·+an−2 +an−1 +

an + · · · , será representada simbolicamente por∞∑

n=1

an.

Nosso objetivo agora é estabelecer condições sobre a seqüência an para que a soma infinita∞∑

n=1an tenha como resultado um valor de número real. Se este for o caso dizemos que a soma

infinita converge.

Estas somas infinitas são denominadas ‘´séries infinitas” ou simplesmente séries.

Exemplo 5.14.

Consideremos a série 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · · que representaremos por

∞∑

n=1

1

2n−1.

Para cada número natural n temos:

sn = 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · · + 1

2n−1=

1 − (12)n

1 − 12

= 2[1 − (1

2)n]

de modo que:

limn→∞

sn = limn→∞

2[1 − (1

2)n] = 2 (5.7)

Ora a soma infinita∞∑

n=1

1

2n−1entenda-se como o limite da soma parcial sn quando n → ∞ e,

desse modo, segue de (5.7) que∞∑

n=1

1

2n−1= 2.

Exemplo 5.15.

Figura 5.2:

Suponhamos temos a estudar a série 1+1

2+

1

3+

1

4+ · · · que representa a série infinita

∞∑

n=1

1

n.

A Figura (5.2) representa o gráfico da função

f(x) =1

x, definida para x > 0, sobre o qual estão os

pontos (n,1

n).

Comparando as áreas dos retângulos com a área

sob o gráfico de f(x), observa-se que:

f(1) + f(2) + f(3) + · · · + f(n) ≥n∫

1

f(x)dx

esta soma pelo fato de que cada área de retângulo de base uma unidade e altura f(n) é o proprio

f(n), assim:

1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · · + 1

n≥ Lnn (5.8)


Como limn→∞

Lnn = +∞, usando a desigualdade (5.8) concluímos que:

limn→∞

[

1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · · + 1

n

]

= +∞

Logo é justo afirmar que∞∑

n=1

1

n= +∞

Estes dois exemplos tratados, motivam o conceito de convergência para séries numéricas.

A convergência de uma série∞∑

n=1an está relacionado com a convergência de sua seqüência de

somas parciais sn. O n-ésimo termo sn é denominado n-ésima soma parcial da série.

Definição 5.1.

Dizemos que a série é convergente, quando a seqüência sn de suas somas parciais for

convergente. Neste caso, a soma da série é o limite da seqüência sn, isto é:

∞∑

n=1

an = limn→∞

sn = S (5.9)

Quando uma série não converge, ela é denominada divergente.

Exemplo 5.16.

Se an = 0 ∀ n ∈ N+, a série gerada pela seqüência an é convergente, sua soma é zero; isto

é∞∑

n=1an = 0.

Exemplo 5.17.

Se bn = 1∀n ∈ N+, a série gerada pela seqüência bn é divergente, sua soma é indeterminada;

na verdade∞∑

n=1bn = +∞

Exemplo 5.18.

Se an = (−1)n+1 ∀ n ∈ N+, então a série gerada pela seqüência an é divergente, a soma

de todos seus termos é indefinida; isto é∞∑

n=1(−1)n+1 = 1 ou

∞∑

n=1(−1)n+1 = −1.

Pela unicidade do limite limn→∞

sn = S, concluímos que essa soma não existe.

5.3.1 Série geométrica.

Uma “série geométrica” é da forma S =∞∑

n=1arn−1, onde o número r é denominado razão da

série, e a é seu coeficiente.

Exemplo 5.19.

Determine se a série geométrica converge.

Solução.


Pela propriedade de somatório podemos escrever S =∞∑

n=1αrn−1 = α

∞∑

n=1rn−1. Pelo resultado

do Exemplo (5.5) segue-se que:

sn = αn∑

i=1

ri−1 = α1 − rn

1 − r(5.10)

Quando |r| < 1, mostramos no Exemplo (4.19) que limn→∞

rn = 0, tomando o limite em (5.10)

quando n → ∞ tem-se: limn→∞

sn = α limn→∞

1 − rn

1 − r=

α

1 − r= S.

Isto é: S =∞∑

n=1arn−1 = lim

n→∞sn =

α

1 − rconverge quando |r| < 1.

É imediato que para o caso |r| > 1 a série diverge.

Exemplo 5.20.

A série∞∑

n=1

4

3n=

4

3+

4

32+

4

33+ · · · é uma série geométrica com r =

1

3< 1, então a série

converge e sua soma é 2.

5.3.2 Série harmônica.

Uma “série harmônica” é da forma∞∑

n=1

1

n.

Exemplo 5.21. Série harmônica.

Determine se série harmônica∞∑

n=1

1

nconverge.

Solução.

Sabe-se que esta série representa o termo n-ésimo de uma seqüência sn, onde sn =∞∑

n=1

1

n.

Consideremos duas subseqüência de sn:

sn = 1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · · + 1

n+ · · ·

s2n = 1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · · + 1

n+ · · · + 1

2n − 1+

1

2n

Suponha que sn → L quando n → ∞, então pela Propriedade (4.15) tem-se que sn → L

quando n → ∞ e s2n → L quando n → ∞, e pela Propriedade (4.16) (sn − s2n) → 0 quando

n → ∞.

Porém, sn − s2n =1

n + 1+

1

n + 2+

1

n + 3+ + · · · + 1

n+ · · · + 1

2n − 1+

1

2n≥ 1

2n+

1

2n+

1

2n+ · · · + 1

2n=

1

2de onde lim

n→∞(sn − s2n) ≥ 1

26= 0, caso o limite existisse.

Portanto, a série harmônica∞∑

n=1

1

n. é divergente.


5.3.3 Série p.

Uma “série p” é da forma∞∑

n=1

1

np, onde p ∈ R é uma constante fixa.

Na próxima seção mostraremos que a série:

∞∑

n=1

1

np= 1 +

1

2p+

1

3p+ · · · + 1

np+ · · · (5.11)

converge se p > 1, p ∈ R, e que diverge se p ≤ 1, p ∈ R.

Observação 5.2.

A série∞∑

n=1

(bn − bn+1) é denominada série de encaixe devido á natureza de seus termos:

(b1 − b2) + (b2 − b3) + (b3 − b4) + · · · + (bn − bn+1) + · · ·

A seqüência de suas somas parciais sn, vem dado pela expressão:

sn = (b1 − b2) + (b2 − b3) + (b3 − b4) + · · · + (bn − bn+1) = b1 − bn+1 (5.12)

Se a seqüência bn convergir para um número L, segue que sn converge para b1 − L.

Exemplo 5.22.

Mostre que a série∞∑

n=1

1

n2 + nconverge.

Demonstração.

Observe que∞∑

n=1

1

n2 + n=

∞∑

n=1

[1

n− 1

n + 1

]

= 1 − 1

n + 1, logo;

limn→∞

n∑

i=1

1

n2 + n= lim

n→∞

[

1 − 1

n + 1

]

= 1 − 0 = 1

Portanto, a série∞∑

n=1

1

n2 + nconverge.

Exemplo 5.23.

Determine se a série∞∑

n=1Ln( n

n + 1

)

converge.

Solução.

Observe que, podemos escrever∞∑

n=1

Ln( n

n + 1

)

=∞∑

n=1

[Lnn − Ln(n + 1)].

Logo,∞∑

n=1Ln( n

n + 1

)

= Ln1 − Ln(n + 1) ⇒ limn→∞

∞∑

n=1

Ln( n

n + 1

)

= limn→∞

[Ln1 − Ln(n +

1)] = 1 −∞ = −∞Portanto, a série

∞∑

n=1Ln( n

n + 1

)

diverge.


5.3.4 Critério do n-ésimo termo.

A propriedade a seguir fornece uma condição necessária, mas não suficiente para que uma

série numérica seja convergente.

Propriedade 5.2. Critério do n-ésimo termo.

Seja∞∑

n=1

an convergente, então:

i) A seqüência sn de somas parciais é limitada.

ii) limn→∞

an = 0.

Demonstração. i)

Se∞∑

n=1an converge, então existe em R o limite L = lim

n→∞sn logo, sendo sn uma seqüência

convergente, ela é limitada.

Demonstração. ii)

Denotando por sn a seqüência de somas parciais da série,∞∑

n=1an temos que an = sn − sn−1

e admitindo que a série é convergente, resulta que a seqüência de somas parciais sn converge

para um certo número L, o mesmo ocorrendo com a subseqüência sn−1, então:

limn→∞

an = limn→∞

(sn − sn−1) = limn→∞

sn − limn→∞

sn−1 = L − L = 0

Observação 5.3.

Nos Exemplos (5.21) e (5.23) observamos que as séries∞∑

n=1

1

ne

∞∑

n=1Ln( n

n + 1

)

divergem,

embora limn→∞

1

n= 0 e lim

n→∞Ln( n

n + 1

)

= 0.

Com isso justificamos que a condição limn→∞

an = 0 não é suficiente para garantir a convergên-

cia.

A observação precedente, justifica a seguinte propriedade.

Propriedade 5.3.

Se limn→∞

an 6= 0, então a série∞∑

n=1an diverge.


Exemplo 5.24.

A séries∞∑

n=1

n

n + 1e

∞∑

n=1

√n ambas são divergentes.

A Propriedade (5.3) constitui-se no primeiro critério de convergência, para séries. Ao analisar

a convergência de uma série, em primeiro lugar observamos a convergência de seu primeiro termo

geral sn, como sugere o seguinte diagrama:


an diverge -∞∑

n=1an diverge - Fim

L 6= 0∞∑

n=1an diverge Fim

∞∑

n=1an

-

-

- -

-

-

- -

limn→∞

an = L

L = 0-

?

A condição limn→∞

an = 0 não dá informação sobre a convergência da série∞∑

n=1an sendo

necessária uma análise adicional para determinar se a série converge ou diverge.

Exemplo 5.25.

A seguinte tabela ilustra algumas situações:

∞∑

n=1

Lnn

n20 indefinida

∞∑

n=1

n

3n + 5

1

3divergente

∞∑

n=1

en

n2∞ divergente

∞∑

n=1an lim

n→∞an situação

Observação 5.4.

Suponha temos uma série∞∑

n=1

an convergente; isto é limn→∞

sn = S existe. Então é correto

afirmar que:

limn→∞

(sn − S) existe se, e somente se limn→∞

sn = S existe.

Deduzimos assim, que podemos omitir um número finito de termos (entre os primeiros) de

uma série infinita sem afetar sua convergência.

Como no caso das seqüências numéricas, o acréscimo ou a omissão de um número finito de

termos não altera a convergência de uma série, podendo alterar o valor de sua soma.


Propriedade 5.4.

Se as séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn diferem apenas em seus primeiros termos em uma quantidade

finita, então ambas são convergentes ou ambas são divergentes.

Demonstração.

Por hipótese, existe um índice n0 a partir do qual an = bn e, se sn e tn são as seqüências

de somas parciais de∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn respectivamente, então para n > n0 temos:

sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an (5.13)

tn = b1 + b2 + b3 + · · · + bn (5.14)

e sendo an = bn a partir da ordem n0, resulta das igualdades (5.13) e (5.14) que:

sn = tn + [(a1 − b1) + (a2 − b2) + (a3 − b3) + · · · (an − bn)] (5.15)

Observando a igualdade (5.15), e considerando que a expressão entre colchetes é constante,

isto é, não depende do índice n deduzimos que as seqüências∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn são ambas conver-

gentes ou ambas divergentes.

Exemplo 5.26.

As séries∞∑

n=9

1

ne

∞∑

n=9

1

n − 8ambas são divergentes, entanto as séries

∞∑

n=9

1

n2e

∞∑

n=9

1

(n − 8)2

ambas são convergentes.

Procure justificar estas afirmações, identificando a quantidade de termos que elas diferem.

Ainda mais, uma conseqüência da Propriedade (5.4), temos que para cada número k ∈ N+,

as séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=k

an são ambas convergentes ou ambas divergentes.

Propriedade 5.5.

Sejam∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn duas séries numéricas e α ∈ R.

(a) Se as séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn são convergentes, então∞∑

n=1

(an + bn) e∞∑

n=1

α · an também

convergem, e valem as relações:

∞∑

n=1

(an + bn) =∞∑

n=1

an +∞∑

n=1

bn (5.16)

∞∑

n=1

α · an = α ·∞∑

n=1

an (5.17)

(b) Se∞∑

n=1

an e convergente e∞∑

n=1

bn é divergente, a série∞∑

n=1

(an + bn) diverge.


(c) Se∞∑

n=1

an é divergente e α 6= 0, então a série∞∑

n=1

α · an é também divergente.

Demonstração.

Na demonstração utilizaremos a Propriedade (4.16).

Denotando por sn, tn, un e vn as seqüencias de somas parciais das séries:∞∑

n=1

an,∞∑

n=1

bn,∞∑

n=1

(an+

bn) e∞∑

n=1

α · an respectivamente, temos un = sn + tn e vn = α · sn, e se as seqüencias sn e

tn forem convergentes, então as seqüencias un e vn também serão convergentes e, além

disso

limn→∞

un = limn→∞

sn + limn→∞

tn e limn→∞

vn = α · limn→∞

sn

Isto mostra a parte (a).

Demonstração. (b)

Pelo absurdo.

Suponhamos que a série∞∑

n=1

(an +bn) seja convergente, então a seqüência un é convergente

e, por conseguinte, a seqüência tn também é convergente, pois tn = un − sn.

Logo a série∞∑

n=1

bn é convergente. Isto é contradição com a hipótese.


n=1

(an + bn) diverge.

Demonstração. (c)

Pelo absurdo.


n=1

α · an seja convergente, então a seqüência vn é convergente

e, por conseguinte, a seqüência sn também é convergente, pois sn =1

α· vn.

Logo a série∞∑

n=1

sn é convergente. Isto é contradição com a hipótese.


n=1

α · an diverge.

Observação 5.5.

Quando as séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn são ambas divergentes, a Propriedade (5.5) não dá infor-

mação sobre a convergência da série∞∑

n=1

(an + bn).

Exemplo 5.27.

As séries∞∑

n=1

1

ne

∞∑

n=1

−1

nsão ambas divergentes, entanto que a serie

∞∑

n=1

(1

n+

−1

n)

converge.


Exemplo 5.28.

Observe, a série∞∑

n=1

[1

n2 + n+

3

4n−1

]

é convergente, enquanto as séries∞∑

n=1

1

n2 + ne

∞∑

n=1

3

4n−1são convergentes.

Exemplo 5.29.

A série∞∑

n=1

n + 1

n4é convergente.

Observe quen + 1

n4=

1

n3+

1

n4∀ n ∈ N+; sabemos que a série p converge se p > 1, logo as

séries∞∑

n=1

1

n3e

∞∑

n=1

1

n4são convergentes.

Portanto,∞∑

n=1

n + 1

n4é convergente.

5.3.5 Condição de Cauchy.

Propriedade 5.6. Condição de Cauchy.

Seja sn uma seqüência de números reais para a série convergente∞∑

n=1

an, então para qual-

quer ε > 0, existe n0 > 0 tal que |sm − sn| < ε sempre que m, n > n0.

Demonstração.

Como∞∑

n=1

an é convergente, seja S sua soma, isto é limn→∞

sn = S; pela definição de seqüência

convergente segue que:

∀ ε > 0, ∃ n0 > 0 tal que |sn − S| < ε sempre que n > n0

Em particular podemos considerar: |sn − S| <ε

2, portanto, se m, n > n0:

|sm − sn| = |sm − S + S − sn| ≤ |sn − S| + |sm − S| <ε

2+

ε

2= ε

Assim, ∀ ε > 0, ∃ n0 > 0 tal que |sm − sn| < ε sempre que m, n > n0.

Observe que se m = n − 1 ⇒ |sn−1 − sn| = |an| < ε sempre que n > n0; isto é

limn→∞

an = 0. Embora esta seja uma condição necessaria para a convergência da série∞∑

n=1

an, não

é uma condição suficiente

Exemplo 5.30.

Determine quais das séries convergem ou divergem:

1.∞∑

n=1

(n − 1)!

n · n!.


2.∞∑

n=1

√n(n − 1)!

n!.

Solução. 1.

Observe que

∞∑

n=1

(n − 1)!

n · n!=

∞∑

n=1

(n − 1)!

n · n(n − 1)!=

∞∑

n=1

1

n2onde p = 2 > 1

Logo a série∞∑

n=1

(n − 1)!

n · n!é convergente.

Solução. 2.

Tem-se que

∞∑

n=1

√n(n − 1)!

n!=

∞∑

n=1

√n(n − 1)!

n · (n − 1)!!=

∞∑

n=1

1√n

onde p =1

2< 1

Logo a série∞∑

n=1

√n(n − 1)!

n!é divergente.

5.3.6 Propriedade de Cauchy.

Existem casos onde a série têm seus termos decrescentes, então podemos utilizar a seguinte

propriedade.

Propriedade 5.7.

Suponhamos temos uma série de termo geral an de modo que an+1 ≤ an para todo n ∈ N+;

logo:

A série∞∑

n=1

an converge se, e somente se, a série∞∑

n=1

2n · a2n também converge.


Exemplo 5.31.


1.∞∑

n=1

1

n2.

∞∑

n=1

1

nLnn

3.∞∑

n=1

1

n2.

Solução. 1.

Temos que an =1

n, logo a2n =

1

2n.

Assim,∞∑

n=1

2n · 1

2n=

∞∑

n=1

1 = +∞ diverge.


Pela Propriedade (5.7) a série∞∑

n=1

1

ndiverge.

Solução. 2.

Tem-se que an =1

nLnn, logo a2n =

1

2nLn2n.

Então,∞∑

n=1

2n · a2n =∞∑

n=1

2n · 1

2nLn2n=

∞∑

n=1

1

nLn2=

1

Ln2

∞∑

n=1

1

n= +∞ isto último pela parte

1.


n=1

1

nLnndiverge.

Solução. 3.

Tem-se que an =1

n2, então a2n =

1

(2n)2.

Logo,∞∑

n=1

2n · a2n =∞∑

n=1

2n · 1

(2n)2=

∞∑

n=1

2n

22n=

∞∑

n=1

1

2n= lim

n→∞1

2·

1 −(1

2

)n

1 − 1

2

= 1.

Como a série∞∑

n=1

1

2nconverge, então a série

∞∑

n=1

1

n2também converge.


Exercícios 2-2

1. O que significa uma série∞∑

n=1

an ser divergente?

2. Expresse cada decimal periódica como uma série e ache a expressão ord inária que ela

representa.

1. 0, 232323 · · · 2. 5, 146146146 · · · 3. 3, 2394394 · · ·

3. Verifique se as seguintes séries são divergentes:

1.∞∑

n=1

(√

n +√

n + 1) 2.∞∑

n=1

[(1 + (−1)n] 3.∞∑

n=1

n3

n3 + n2 + 9

4.

∞∑

n=1

n

cosn5.

∞∑

n=1

nsen

[1

n

]

6.

∞∑

n=1

n!

2n

7.

∞∑

n=1

[sen4πn + 4]

4n8.

∞∑

n=1

(1

3n+

1

5n) 9.

∞∑

n=1

1√n2 + 4n

10.

∞∑

n=1

n!

3n)!11.

∞∑

i=1

(n + 2)!

5n12.

∞∑

i=1

(1

7n+

5

8n

)

4. Encontre uma série cuja n-ésima soma vem dado por:

1. sn =2n

3n + 12. sn =

n2

n + 13. sn =

1

2n

5. Para cada uma das séries, calcule a n-ésima soma parcial e o valor da soma da série no

caso de ela convergir.

1.∞∑

n=1

[2

3

]n

2.∞∑

n=1

4

[2

5

]n

3.∞∑

n=1

3

9n2 + 3n − 2

4.∞∑

n=1

Ln

[n

n + 1

]

5.∞∑

n=1

2n + 1

n2(n + 1)26.

∞∑

n=1

[1

2n−2− 1

3n+2

]

7.∞∑

n=1

[1

2n+

1

3n

]

8.∞∑

n=1

1

4n2 − 19.

∞∑

n=1

2

(4n − 3)(4n + 1)

10.∞∑

n=1

Ln

[(n + 1)2

n(n + 2)

]

11.∞∑

n=1

2n+1

32n12.

∞∑

n=1

[2nsen(nπ + π

2 )

32n−2

]

13.∞∑

n=1

ln n√n2

14.∞∑

n=1

1

nn15.

∞∑

n=1

e−n + en

6

16.∞∑

n=1

n

en2 17.∞∑

n=1

(−1)n

√n + 1

3n − 218.

∞∑

n=1

1 − 2 cos n

en

6. Encontre os valores de x que tornam a série∞∑

n=1

x2n convergente; e calcule o valor da soma.


7. Idem ao Exercício 6 para a série∞∑

n=1

(x − 3)n

2n+1.

8. Sejam ai, bi ∈ R onde i = 1, 2, 3, · · · , n. Mostre a desigualdade de Cauchy - Schwarz:

( ∞∑

n=1

anbn

)2 ≤( ∞∑

n=1

a2n

)(∞∑

n=1

b2n

)

9. A série∞∑

n=1

an converge se, e somente se, para todo ε > 0, existe um n0 > 0 tal que n > n0

implica:

|an+1 + an+2 + an+3 + · · · + an+p| < ε para cada p ∈ N+

10.

11.

12.


5.4 SÉRIE DE TERMOS POSITIVOS

Uma série∞∑

n=1

an onde cada termo an é maior ou igual do que zero é denominada série de

termos positivos.

Propriedade 5.8.

Seja an uma seqüência com an ≥ 0 para todo n ∈ N+. Então a série∞∑

n=1

an é convergente

se, e somente se, a seqüência de somas parciais sn é limitada.

Demonstração.

Temos pela Propriedade (5.5) que se a série∞∑

n=1

an converge, então sua seqüência de somas

parciais é limitada.

Inversamente.

Suponhamos que a seqüência de somas parciais sn é limitada, como an ≥ 0 para todo

n ∈ N+ então:

sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an ≤ a1 + a2 + a3 + · · · + an + an+1 = sn+1

Logo, a seqüência de somas parciais sn é crescente; ainda mais sendo limitada segue pela

Propriedade (4.18) que sn é convergente, assim∞∑

n=1

an é convergente .

Exemplo 5.32.

A série∞∑

n=1

1

n(n + 1)é convergente.

Observe que1

n(n + 1)=

1

n− 1

n + 1para todo n ∈ N+.

Como sn =1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 + · · · + 1

n(n + 1), tem-se que sn = 1 − 1

n + 1≤ 1 para todo

n ∈ N+.

Sendo os termos positivos, e a seqüência de somas parciais sn limitada, então série∞∑

n=1

1

n(n + 1)

é convergente.

Definição 5.2.

Dizemos que a série∞∑

n=1

an é dominada pela série∞∑

n=1

bn quando an ≤ bn, ∀ n ∈ N+.

Nesse caso∞∑

n=1

an é a série dominada e∞∑

n=1

bn é a série dominante.

Observação 5.6.

Para séries de termos positivos, os seguintes fatos são imediatos:

1. A seqüência sn de somas parciais é monótona crescente.


2. Se a série∞∑

n=1

an é dominada pela série∞∑

n=1

bn, as respectivas séries de somas parciais sn

e tn satisfazem a relação sn ≤ tn, ∀ n ∈ N+.

Estes fatos junto com a Propriedade (4.21) estabelecem o seguinte critério de convergência

conhecido como critério de comparação.

5.4.1 Critério de comparação.

Propriedade 5.9. Critério de comparação.

Sejam∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn duas séries de termos positivos:

i) Se a série∞∑

n=1

bn converge e an ≤ bn, ∀ n ∈ N+, então a série∞∑

n=1

an também converge.

ii) Se a série∞∑

n=1

an diverge e an ≤ bn, ∀ n ∈ N+, então a série∞∑

n=1

an também diverge.

Sendo as afirmações i) e ii) equivalentes, é suficiente mostra apenas uma delas.

Demonstração. i)

Sejam sn e tn as seqüências de somas parciais das séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn respectivamente.

Como tn é uma seqüência convergente, ela é limitada e; sendo 0 ≤ sn ≤ tn, ∀n ∈ N+ então

sn, além do monótona também é limitada e, portanto convergente.

Logo a série∞∑

n=1

an correspondente é convergente.

Observação 5.7.

Embora os resultados que envolvem uma série dominada por outra sejam, em geral, enuncia-

dos e demonstrados, admitindo-se que esse domínio ocorra para todos os termos das séries, eles

continuam sendo válidos quando uma das séries é dominada pela outra a partir de uma certa

ordem.

Exemplo 5.33.

Determine a convergência ou divergência da série∞∑

n=1

1 + n

1 + n2

Solução.

Como n ≥ 1, então 1 + n2 ≤ n + n2 ≤ n(n + 1), logo1 + n

1 + n2≥ 1

n, ∀ n ∈ N+

Sendo a série∞∑

n=1

1

né divergente, segue pelo critério de comparação que a série

∞∑

n=1

1 + n

1 + n2

também diverge.

Exemplo 5.34.


(a) Da relação Lnn ≥ 1, ∀ n ≥ 3, segue queLnn

n≥ 1

n, n ≥ 3 e, como a série harmônica

∞∑

n=1

1

n

diverge, segue pelo critério de comparação que a série∞∑

n=1

Lnn

ntambém diverge.

(b) As séries∞∑

n=1

1

n!e

∞∑

n=1

1

2n2são convergentes, pois elas são dominadas respectivamente, pelas

séries∞∑

n=1

1

2n−1e

∞∑

n=1

1

n2 + n.

Exemplo 5.35.

Se a série dominada for convergente, então a série dominante pode convergir ou divergir.

A série convergente∞∑

n=1

1

n2é dominada pela série divergente

∞∑

n=1

1

n.

Exemplo 5.36.


n=1

1

npé divergente se p ∈ R, p ≤ 1.

Demonstração.

Com efeito, se p ≤ 1 ⇒ np ≤ n, ∀ n ∈ N+, logo1

n≤ 1

np∀ n ∈ N+. Como a série

harmônica∞∑

n=1

1

né divergente, então a série

∞∑

n=1

1

npp ∈ R, p ≤ 1 também é divergente.

5.4.2 Critério de integral.

Propriedade 5.10. Critério da integral.

Consideremos a função f : [1, +∞) −→ R contínua e suponhamos que f seja não negativa e

monótona decrescente; isto é:

(a) f(x) ≥ 0, ∀ x ≥ 1.

(b) f(x) ≥ f(y), sempre que 1 ≤ x ≤ y.

Nessas condições a série∞∑

n=1

f(n) é convergente se, e somente se, a integral

∞∫

n=1

f(n) for

convergente.

Demonstração.

Seja sn = f(1)+f(2)+f(3)+· · ·+f(n) para n ∈ N+, e consideremos a função F : [1, +∞) −→R definida por:

F (t) =

t∫

1

f(x)dx para t ∈ [1, +∞)

como f(x) é contínua, pelo Teorema do Valor Médio para Integrais existe α ∈ R tal quek+1∫

k

f(x)dx = [(k + 1) − k]f(α) = f(α) sendo que α ∈ (k, k + 1); isto é k < α < k + 1.


Pelo fato ser f(x) decrescente não negativa, temos:

0 ≤ f(k + 1) ≤k+1∫

k

f(x)dx ≤ f(k)

para k ∈ N+. Assim obtemos:

F (n + 1) =

2∫

1

f(x)dx +

3∫

2

f(x)dx +

4∫

3

f(x)dx + · · · +n+1∫

n

f(x)dx

≤ f(1) + f(2) + f(3) + · · · + f(n) = sn

≤ f(1) +

2∫

1

f(x)dx +

3∫

2

f(x)dx +

4∫

3

f(x)dx + · · · +n∫

n−1

f(x)dx = f(1) + F (n)

De onde:

F (n + 1) ≤ sn ≤ f(1) + F (n) para n ∈ N+ (5.18)

Suponhamos que a integral

∞∫

1

f(x)dx seja convergente. Como F (x) é decrescente, temos em

(5.18) que:

sn ≤ f(1) + F (n) ≤ f(1) + limn→∞

F (n) ≤ f(1) +

∞∫

1

f(x)dx

para todo n ∈ N+. Assim a seqüência de somas parciais sn é limitada e, sendo monótona, pela

Propriedade (5.8) segue que a série∞∑

n=1

f(n) é convergente.

Inversamente.


n=1

f(n) seja convergente então existe N ∈ R tal que sn ≤ N para

todo n ∈ N+.

De (5.18) temos que F (n + 1) ≤ N para todo n ∈ N+.

Como F (t) é decrescente, isto implica que F (t) ≤ N para todo t ∈ [1, +∞). Sendo f(x)

positivo, deduzimos de (5.18) que a integral imprópria

∞∫

1

f(x)dx converge.

Além de dar informação relativa à convergência de uma série, o critério da integral pode ser

usado para calcular a soma da série.

Exemplo 5.37.

A função f(x) =1

x3atende as condições da propriedade no intervalo [1, ∞). De fato, nesse

intervalo a função f(x) é claramente contínua e não negativa e como sua derivada f ′(x) =−3

x4

é negativa para todo x ≥ 1, então f(x) é decrescente.


A integral imprópria

∞∫

1

f(x)dx = 1 é convergente, por conseguinte a série∞∑

n=1

1

n3converge.

Observação 5.8.

Quando utilizamos o critério da integral, o valor da integral imprópria não é necessariamente

igual ao valor da soma da série, no caso de esta convergir.

Propriedade 5.11.

Consideremos a função f : [1, +∞) −→ R contínua e suponhamos que f(x) seja não negativa

e monótona decrescente. Se a integral imprópria

∞∫

1

f(x)dx converge, então a série∞∑

n=1

f(n)

converge, e:

∞∫

1

f(x)dx ≤∞∑

n=1

f(n) ≤ f(1) +

∞∫

1

f(x)dx.


Exemplo 5.38.


n=1

1

np, p ∈ R converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.

Demonstração.

Tem-se f(x) =1

xp, e observe que, quando p 6= 1:

+∞∫

1

f(x)dx =1

1 − p·[

1

xp−1

] ∣∣∣∣

m

1

=1

1 − p

[

limm→+∞

1

mp−1− 1

]

(5.19)

Na igualdade (5.19) quando p > 1 tem-se que

∞∫

1

f(x)dx =1

p − 1, logo a série

∞∑

n=1

1

xpconverge

quando p > 1, p ∈ R.

Para o caso p < 1, na igualdade (5.19) tem-se que

∞∫

1

f(x)dx = −∞, logo a série∞∑

n=1

1

xp

diverge quando p < 1, p ∈ R.

Se p = 1 ⇒∞∫

1

f(x)dx = Lnx∣∣∣

+∞

1= lim

m→+∞Lnm = +∞.

Exemplo 5.39.

A série∞∑

n=1

e−n é convergente.

Com efeito,

∞∫

1

e−xdx = − e−x∣∣∣

+∞

1=

1

e


5.4.3 Critério de comparação no limite.

Propriedade 5.12. Critério de comparação no limite.

Sejam∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn duas séries de termos positivos e seja L = limn→∞

an

bn.

i) Se L > 0, então as séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn são ambas convergentes ou ambas divergentes.

ii) Se L = 0 e∞∑

n=1

bn converge, então∞∑

n=1


iii) Se L = ∞ e∞∑

n=1

bn diverge, então∞∑

n=1

an também diverge.

Demonstração.

A demonstração é conseqüência imediata da Propriedade (5.9) observe que em i) e ii) a série∞∑

n=1

bn a partir de um certo momento, passa a dominar a série∞∑

n=1

an, enquanto em iii) a série

∞∑

n=1

bn passa a ser dominada pela série∞∑

n=1

an.

Por exemplo, em i), fixando ε =1

3na definição de limite de seqüência encontramos um índice

n0 tal que1

3bn ≤ an ≤ 4

3bn, ∀ n ≥ n0.

Exemplo 5.40.

Determine se a série∞∑

n=1

1

nnconverge ou diverge.

Solução.

Seja an =1

nne consideremos bn =

1

2n; sabe-se que a série geométrica

∞∑

n=1

1

2né convergente

(r =1

2< 1).

Então, limn→∞

an

bn= lim

n→∞

1

nn

1

2n

= limn→∞

2n

nn= lim

n→∞

[2

n

]n

= 0.

Pela parte ii) da Propriedade (5.12) segue que a serie∞∑

n=1

1

nné convergente.

Exemplo 5.41.

Estamos a estudar a convergência da série∞∑

n=1

7√

n

6n − 3, logo an =

7√

n

6n − 3.

Observe que quando bn =1√n

, resulta limn→∞

7√

n6n−3

1√n

= limn→∞

7√

n

6n − 3·√

n

1=

7

6> 1.


Como a série∞∑

n=1

1√n

diverge, então∞∑

n=1

7√

n

6n − 3também diverge.

Observação 5.9.

Observemos que a propriedade associativa não é válida para qualquer soma infinita.

Por exemplo, a série∞∑

n=1

(−1)n torna-se convergente quando seus termos são agrupados de

modo conveniente. De fato:

(−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · + ((−1)n + (−1)n+1) + · · ·+ = 0

Este fenômeno não ocorre para série de termos positivos convergentes como mostra a seguinte

propriedade.

Propriedade 5.13. Do reagrupamento.

O valor da soma de uma série de termos positivos convergente, não é alterado por um rea-

grupamento de seus termos.

Demonstração.

Seja∞∑

n=1

an uma série convergente para S, e seja∞∑

n=1

bn a série obtida por reagrupamento.

Se sn e tn denotam, respectiva,mente, as somas parciais de∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn, então a

seqüência sn converge para S e para cada n temos tn ≤ S.

Ora, a seqüência tn é monótona e limitada por S, logo convergente. Se T é seu limite,

então T ≤ S e, invertendo o raciocínio podemos analisar a série∞∑

n=1

an como obtida de∞∑

n=1

bn

por reagrupamento, e uma repetição do argumento acima descrito implica que S ≤ T .

Por tanto S = T .

5.4.4 Critério de Raabe

Propriedade 5.14.

Seja∞∑

n=1

an uma série de termos positivos, se k = limn→∞

n

[

1 − an+1

an

]

então:

1. k > 1, a série∞∑

n=1

an converge.

1. k < 1, a série∞∑

n=1

an diverge

1. k = 1 nada a concluir.



Exemplo 5.42.

Determine quais das seguintes séries são convergentes, ou quais são divergentes:

1.∞∑

n=1

1

n2 + 12.

∞∑

n=1

n2 − 1

2n2 + 1

3.∞∑

n=1

a

4n2 − 1

Solução. 1.

Tem-se que an =1

n2 + 1e an+1 =

1

(n + 1)2 + 1.

Logo k = limn→∞

n

[

1 − an+1

an

]

= limn→∞

n

[

1 − n2 + 1

(n + 1)2 + 1

]

=

= limn→∞

2n2 + n

n2 + 2n + 2= 2 > 1.

De acordo com a Propriedade (5.14) a série∞∑

n=1

1

n2 + 1é convergente.

Solução. 2.

Observe que para todo n ∈ N+ tem-se:

an =n2 − 1

2n2 + 1e an+1 =

(n + 1)2 − 1

2(n + 1)2 + 1=

n2 + 2n

2n2 + 4n + 3

De onde: k = limn→∞

n

[

1 − an+1

an

]

=

= limn→∞

n

[

1 − n2 + 2n

2n2 + 4n + 3· 2n2 + 1

n2 − 1

]

= limn→∞

−6n2 − 3n

(n2 − 1)(2n2 + 4n + 3)= 0 < 1.


n=1

n2 − 1

2n2 + 1é divergente.

Solução. 3.

Na série∞∑

n=1

a

4n2 − 1tem-se que: an =

a

4n2 − 1e an+1 =

a

4(n + 1)2 − 1.

Pelo critério da Propriedade (5.14) tem-se:

k = limn→∞

n

[

1 − an+1

an

]

= limn→∞

n

[

1 − a

4(n + 1)2 − 1· 4n2 − 1

a

]

=

k = limn→∞

n

[8n + 4

4n2 + 3n + 3

]

= limn→∞

[

1 − 8n2 + 4n

4n2 + 3n + 3

]

= 2 > 1


n=1

a

4n2 − 1é convergente.

Exemplo 5.43.


A seguinte série∞∑

n=1

cos(2n + 1

n2 + n

)

· sen( 1

n2 + n

)

é convergente., calcular sua soma.

sol

Aplicando a seguinte identidade 2senA. · cos B = sen(A + B) + sen(A − B) temos:

an = cos(2n + 1

n2 + n

)

· sen( 1

n2 + n

)

=1

2

[

sen(2n + 2

n2 + n

)

+ sen( −2n

n2 + n

)]

an =1

2

[

sen( 2

n

)

− sen( 2

n + 1

)]

Assim. sn = a1 + a2 + a3 + · · · ,. então:

sn =1

2

[

sen 2 − sen2

n + 1

]

⇒ limn→∞

sn =sen 2

2

Portanto,∞∑

n=1

cos(2n + 1

n2 + n

)

· sen( 1

n2 + n

)

=sen 2

2.


Exercícios 2-3

1. Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:

1.∞∑

n=1

1

n2 + 12.

∞∑

n=1

1

n3 + 4n3.

∞∑

n=1

1√n + 1

4.∞∑

n=1

1

Lnn5.

∞∑

n=1

1

n√

n + 16.

∞∑

n=1

1

nLnn

7.∞∑

n=1

[| cos(4πn + π

2 ) + 4|]4n

8.∞∑

n=1

(1

3n− 1

n5) 9.

∞∑

n=1

1

(2n)n

10.∞∑

n=1

e−n − en

611.

∞∑

n=1

1√n2 + n

12.∞∑

n=1

n!

(5n)!

13.∞∑

n=1

ln n

5n14.

∞∑

n=1

n

en2 15.∞∑

n=1

(−1)n

√n + 1

3n2 + 2

16.∞∑

n=1

Lnn

n217.

∞∑

n=1

Lnn

n18.

∞∑

n=1

1

n · 2n

19.∞∑

n=1

1√n2 + 4

20.∞∑

n=1

1

(n + 1)(n + 2)21.

∞∑

n=1

n · e−n

22.∞∑

n=1

1

2n − 123.

∞∑

n=1

1

(2n + 1)224.

∞∑

n=1

n − 1

n

25.∞∑

n=1

n + 1

n + 226.

∞∑

n=1

arctan n

n227.

∞∑

n=1

1

n(Lnn)2

2. Usando o critério de comparação no limite, determine se as séries∞∑

n=1

e−n2e

∞∑

n=1

sen4( 1

n

)

são convergentes. Sugestão compará-las com as séries∞∑

n=1

1

n2e

∞∑

n=1

1

n4

3. Determine quais das séries convergem ou divergem:

∞∑

i=1

|[cos 2πn + 1 |]2n

∞∑

i=1

senh(2n)

n3

∞∑

i=1

7

(4n − 3)(4n + 1)

∞∑

i=1

[2 + (−1)2n+3]


4. Use o critério da integral para determinar se a série dada converge ou diverge:

1.∞∑

i=1

1

n + 22.

∞∑

i=1

e−n 3.∞∑

i=1

ne−n

4.∞∑

i=1

1

4n + 35.

∞∑

i=1

1

n2 + 16.

∞∑

i=1

1

2n + 1

7.∞∑

i=1

Lnn

n8.

∞∑

i=1

n

n2 + 39.

∞∑

i=1

nk−1

nk + c, k ∈ N+

10.∞∑

i=1

nke−n, k ∈ N+ 11.∞∑

i=1

1

n312.

∞∑

i=1

13√

n

5. A função zeta de Riemann para números reais é dada por : ξ(x) =∞∑

i=1

n−x. Determine

o domínio dessa função.

6.

7.


5.5 SÉRIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE

Definição 5.3. Série absolutamente convergente.

Dizemos que uma série∞∑

n=1

an é absolutamente convergente, se a série∞∑

n=1

|an| é convergente.

Observe, se an ≥ 0, ∀ n ∈ N+ ⇒ |an| = an, assim, a série é∞∑

n=1

an se e somente se é

absolutamente convergente. Para o caso de alguns termos an positivos e negativos, a convergência

e a convergência absoluta não são as mesma.

Exemplo 5.44.

Toda série convergente, cujos termos não mudam de sinal é absolutamente convergente. Em

particular quando −1 < r < 1, a série geométrica∞∑

n=1

rn é absolutamente convergente, pois

|rn| = |r|n, com 0 ≤ |r| < 1.

A propriedade seguinte pode ser interpretada assim:

“se tomarmos uma série convergente cujos termos são todos positivos e, de ummodo completamente arbitrário, trocamos as sinais de alguns dos seus termos, obter-emos ainda uma série convergente”.

Propriedade 5.15.

Toda série absolutamente convergente, é convergente.

Demonstração.

Seja∞∑

n=1

an uma série absolutamente convergente, para cada n ∈ N+, seja bn = |an| − an.

Por hipótese, a série∞∑

n=1

|an| é convergente, além disso como:

0 ≤ bn = |an| − an ≤ |an| + |an| = 2|an|

para todo n ∈ N+. Logo deduzimos pelo critério de comparação que a série∞∑

n=1

bn é convergente.

Mais, an = |an| − bn e pela Propriedade (5.12) segue que a série∞∑

n=1

an é convergente.

Exemplo 5.45.

A série∞∑

n=1

(−1)n

n2é absolutamente convergente. Observe que:

∣∣∣∣

(−1)n

n2

∣∣∣∣=

1

n2, ∀ n ∈ N+

Como∞∑

n=1

1

n2é convergente, segue-se que a série

∞∑

n=1

(−1)n

n2é absolutamente convergente.


Exemplo 5.46.

A série∞∑

n=1

(−1)n

nnão é absolutamente convergente. Observe que:

∣∣∣∣

(−1)n

n

∣∣∣∣=

1

n, ∀ n ∈ N+

Como∞∑

n=1

1

né divergente, segue-se que a série

∞∑

n=1

(−1)n

nnão é absolutamente convergente.

Mais ainda, mostraremos na Seção 5.6 que a série∞∑

n=1

(−1)n

né convergente.

5.5.1 Condicionalmente convergente.

Definição 5.4. Série condicionalmente convergente.

Dizemos que uma série∞∑

n=1

an é condicionalmente convergente, se a série∞∑

n=1

|an| for diver-

gente.

Exemplo 5.47.

A série∑

n→∞(−1)n 1

n2é condicionalmente convergente.

Com efeito, a série∑

n→∞

∣∣∣∣(−1)n 1

n2

∣∣∣∣=∑

n→∞

1

n2sabemos que é convergente.

Propriedade 5.16.

Seja∞∑

n=1

an uma série dada de números reais, e definimos:

pn =|an| + an

2, qn =

|an| − ann ∈ N+ (5.20)

i) Se∞∑

n=1

an é condicionalmente convergente então,∞∑

n=1

pn e∞∑

n=1

qn são ambas divergentes.

ii) Se∞∑

n=1

|an| é convergente então,∞∑

n=1

pn e∞∑

n=1

qn são ambas convergentes, e temos:∞∑

n=1

an =

∞∑

n=1

pn −∞∑

n=1

qn.

Demonstração. i)

Consideremos an = pn − qn, |an| = pn + qn.

Suponhamos que se∞∑

n=1

an seja convergente e∞∑

n=1

|an| seja divergente.

Caso∞∑

n=1

qn seja convergente então∞∑

n=1

pn também é convergente, pois pn = an + qn. De

modo análogo, se∞∑

n=1

pn é convergente então∞∑

n=1

qn também é convergente.


Por conseguinte, se uma ou outra das séries convergem, ambas devem convergir, e deduzimos

que a série∞∑

n=1

|an| converge pelo fato |an| = pn + qn.

Esta contradição mostra i).

Demonstração. ii)

Para demonstrar ii) utilizamos as igualdades em (5.20) junto com a Propriedade (5.5)

A Propriedade (5.13) pode ser considerada de forma mais geral para as séries absolutamente

convergentes.

Propriedade 5.17.

Se a série∞∑

n=1

an é absolutamente convergente com soma S, e∞∑

n=1

bn é obtida de∞∑

n=1

an por

um reagrupamento, então∞∑

n=1

bn é absolutamente convergente e tem soma S.

Demonstração.

É claro que:

0 ≤∞∑

n=1

|bn| ≤∞∑

n=1

|an|, ∀ n ∈ N+

de onde segue que as somas parciais da série∞∑

n=1

|bn| formam uma seqüência monótona crescente

e limitada, sendo portanto convergente.

Assim, a série∞∑

n=1

bn converge absolutamente, e resta mostrar que ela tem soma S.

Denotemos, por sn e tn as somas parciais das séries∞∑

n=1

an e∞∑

n=1

bn, respectivamente

e consideremos ε > 0 dado. A convergência absoluta da série∞∑

n=1

an garante a existência de um

índice n tal que

|sn − S| <ε

2e |an+1| + |an+2| + |an+3| · · · + |an+p| <

ε

2, ∀ p ∈ N+

Se m é um índice suficientemente grande, então a soma parcial tn contém todos os termos

aj , 1 ≤ j ≤ n, e certamente outros, e dessa forma podemos escrever:

tm = a1 + a2 + a3 + · · · + an + ak1 + ak2 + · · · + akr

onde k1, k2, k3, · · · kr são inteiros maiores do que n. Se n+p0 é o maior dos números k1, k2, k3, · · · kr

então:

|tm − sn| ≤ |ak1 | + |ak2 | + |ak3 | · · · + |akr | ≤ |an+1| + |an+2| + |an+3| · · · + |an+p0 | <ε

2


e usando esta desigualdade obtemos:

|tm − S| ≤ |tm − sn| + |sn − S| <ε

2+

ε

2= ε

A seguinte propriedade sobre o produto de Cauchy para séries absolutamente convergentes,

será apresentado sem demonstração, o leitor interessado pode consultar [?].

Propriedade 5.18.

Sejam∞∑

n=1

an é∞∑

n=1

bn séries absolutamente convergentes, então:

i) A série∞∑

n=1

anbn é absolutamente convergente.

ii) O produto de Cauchy∞∑

n=1cn das séries

∞∑

n=1

an é∞∑

n=1

bn é absolutamente convergente, e:

∞∑

n=1

cn =( ∞∑

n=1

an

)( ∞∑

n=1

an

)

O critério de convergência a seguir, embora não conclusivo em alguns casos, constitui-se

no mais importante teste de convergência para séries numéricas, não apenas do ponto de vista

técnico, mais também como nas aplicações às “Séries de Potências” que estudaremos no próximo

capítulo.

5.5.2 Critério de comparação.

Propriedade 5.19. Critério de comparação.

Sejam∞∑

n=1

an tais que∞∑

n=1

bn duas séries e |an| ≤ K|bn|, ∀ n ∈ N+, K > 0:

i) Se a série∞∑

n=1

bn é absolutamente convergente, então a série∞∑

n=1

an também é absolutamente

convergente.

ii) Se a série∞∑

n=1

an não é absolutamente convergente, então a série∞∑

n=1

an não é absolutamente

convergente.

Demonstração. i)

Se a série∞∑

n=1

|bn| é convergente, pela Propriedade (5.12) segue-se que∞∑

n=1

|an| é convergente,

de onde pela Propriedade (5.15) segue que∞∑

n=1

an é absolutamente convergente.

A demonstração de ii) é exercício para o leitor.


Exemplo 5.48.

A série∞∑

n=1

sen n

2né absolutamente convergente.

É imediato que∣∣∣sen n

2n

∣∣∣ ≤ 1

2npara todo n ∈ N+. Como a série

∞∑

n=1

1

2né absolutamente

convergente, pela Propriedade (5.19), a série∞∑

n=1

sen n


Exemplo 5.49.

A série∞∑

n=1

(−1)n n − 2

n3 + 1é absolutamente convergente.

Com efeito,

∣∣∣∣(−1)n n − 2

n3 + 1

∣∣∣∣≤ n + 2

n3 + 1para todo n ∈ N+.

Por outro lado, como n + 2 ≤ 3n e n3 < n3 + 1 então temos que:

∣∣∣∣(−1)n n − 2

n3 + 1

∣∣∣∣≤ n + 2

n3 + 1≤ 3n

n3=

3

n2

Como a série∞∑

n=1

(−1)n 3

n2é convergente, obtemos que a série

∞∑

n=1

(−1)n n − 2

n3 + 1é absoluta-

mente convergente.

Observação 5.10.

Se a série∞∑

n=1

an é absolutamente convergente, então ela é convergente e:

∣∣∣∣∣

∞∑

n=1

an

∣∣∣∣∣≤

∞∑

n=1

|an|

Propriedade 5.20.

Seja∞∑

n=1

bn una série absolutamente convergente, com bn 6= 0 para todo n ∈ N+. Se a seqüên-

ciaan

bn

for limitada (em particular se for convergente), então a série∞∑

n=1

an será absolutamente

convergente

Demonstração.

Pelo fato a seqüênciaan

bn

ser limitada, ent çao existe C ∈ R tal que a seqüência∣∣∣an

bn

∣∣∣ ≤

C ⇒ |an| ≤ C|bn| para todo n ∈ N+.

Pela Propriedade (5.19) segue que a série∞∑

n=1


5.5.3 Critério D’Alembert’s.

Propriedade 5.21. Critério D’Alembert’s1.

1Também conhecido como Critério da razão.


Seja an 6= 0 para todo n ∈ N+ e suponhamos que limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= r ∈ R.

i) Se r < 1, a série∞∑

n=1


ii) Se r > 1, a série∞∑

n=1

an diverge.

Demonstração. i)

Seja r < 1, e s ∈ R de modo que r < s < 1. Como limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= r < s, existe p ∈ N+ tal

que

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣< s para n ≥ p.

De onde |ap+1| < s|ap|, também |ap+2| < s|ap+1| e assim sucessivamente, obtém-se que

|ap+k| ≤ sk|up| para k ∈ N+.

Seja K = max . |ai|si

/.i = 1, 2, 3, · · · p então:

|an| ≤ K · sn para todo n ∈ N+

Como 0 < s < 1, e sabemos que∞∑

n=1

sn converge; logo pelo critério de comparação∞∑

n=1

|an|

também converge.

Portanto∞∑

n=1


Demonstração. ii)

Seja r > 1 e consideremos t ∈ R tal que 1 < t < r, logo existe p ∈ N+ que satisfaz

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣> t

para n ≥ p.

de modo análogo mostra-se que:

|ap+k| ≥ tk · |ap| para k ∈ N+

Temos que:∞∑

n=1

tk · |ap| ≤∞∑

n=1

|ap+k|.

Sendo t > 1, e |ak| > 0, a série∞∑

k=1

tk · |ap|diverge quando k → ∞; logo∞∑

k=1

|ap+k| também

diverge.

Portanto,∞∑

n=1

an

Observação 5.11.

1. Se o limite limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣

não existe ou for igual a 1, o critério D’Alembert’s não pode ser

usado, e teríamos que recorrer a outros métodos.


2. Segue do critério de D’Alembert’s e da Propriedade (5.2) que se an é uma seqüência de

números não negativos e se:

limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣< 1, ⇒ lim

n→∞an = 0

3. Se limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= +∞, as séries divergem.

Fica como exercício para o leitor a demonstração da parte 3. desta observação.

Exemplo 5.50.

A série∞∑

n=1

n


Com efeito, seja an =n

2npara n ∈ N+, então:

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣=

n + 1

2n· 2n

n=

(1 +1

n)

2

Calculando o limite, r = limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣=

1

2.

Portanto a série∞∑

n=1

n


Exemplo 5.51.

A série∞∑

n=1

an

n!é absolutamente convergente, para todo a ∈ R.

Com efeito, se a = 0 é imediato.

Suponhamos que a 6= 0, e seja an =an

n!para n ∈ N+, então:

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

an+1

(n + 1)!· n!

an

∣∣∣∣=

|a|n + 1


∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= lim

n→∞|a|

n + 1= 0.


n=1

an

n!é absolutamente convergente.

Exemplo 5.52.

A série∞∑

n=1

3n

2n + 3é divergente.

Seja an =3n

2n + 3para todo n ∈ N+, logo

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

3n+1

2n + 5· 2n + 3

3n

∣∣∣∣= 3 ·

2 +3

n

2 +5

2n



∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= 3.


n=1

3n

2n + 3é divergente.

5.5.4 Critério de Cauchy.

Propriedade 5.22. Critério de Cauchy2.

Suponhamos que limn→∞

n√

|an| = r ∈ R.

i) Se r < 1, a série∞∑

n=1


ii) Se r > 1, a série∞∑

n=1

an diverge.

Demonstração. i)

Seja r < 1, e s ∈ R de modo que r < s < 1. Como limn→∞

n√

|an| = r < s, existe p ∈ N+ tal

que | n√

|an|| < s para n ≥ p.

Seja K = max . 1,|ai|si

/.i = 1, 2, 3, · · · p então:

|an| ≤ K · sn para todo n ∈ N+

Como 0 < s < 1, e sabemos que∞∑

n=1

sn converge; logo pelo critério de comparação∞∑

n=1

|an|

também converge.

Portanto∞∑

n=1


Demonstração. ii)

Se r > 1, então existe p ∈ N+ tal que n√

|an| ≥ 1 para n ≥ p.

Como |an| ≥ 1 para n ≥ p, seqüência |an| não converge para zero, pela Propriedade (5.2)

esta série diverge.


n√

|an| diverge se r > 1.

Observação 5.12.

1. Se o limite limn→∞

n√

|an| não existe ou for igual a 1, o critério de Cauchy não pode ser usado,

e teríamos que recorrer a outros métodos.

2. Segue do critério de Cauchy e da Propriedade (5.2) que se an é uma seqüência se:

limn→∞

n√

|an| < 1, ⇒ limn→∞

an = 0

3. Se limn→∞

n√

|an| = +∞, as séries divergem.

2Também conhecido como Critério da Raíz


Exemplo 5.53.


n=1

n


Demonstração.

Aplicando o critério de Cauchy e a Propriedade (4.6)tem-se que:

limn→∞

n

√n

2n=

1

2lim

n→∞n√

n =1

2· exp( lim

n→∞Lnn

n) =

1

2· e0 =

1

2

Segundo o critério de Cauchy, a série∞∑

n=1

n


Exemplo 5.54.

A série∞∑

n=1

npan é absolutamente convergente se |a| < 1, e é divergente se |a| > 1.

Com efeito, n√

|npan| = ( n√

n)p|a| para n ∈ N+, de onde limn→∞

n√

|npan| = |a|.Se |a| < 1 pelo critério de Cauchy, a série é absolutamente convergente.

Se |a| > 1 a série diverge.

A propriedade seguinte relaciona os critérios de D’Alembert’s e Cauchy, para determinar a

convergência de seqüências.

Propriedade 5.23.

Seja an uma seqüência cujos termos são diferentes de zero. Se limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣

= L, então

limn→∞

n√

|an| = L

Demonstração.

Sem perda de generalidade podemos supor que an > 0 para todo n ∈ N+.

Dado ε > 0, fixemos K, M tais que L − ε < K < L < M < L + ε. Existe p ∈ N+ tal que

n ≥ p ⇒ K <an+1

an< M .

Multiplicando ambos os membros as n−p desigualdades K <ap+i

ap+i−1< M, i = 1, 2, · · · , (n−

p), obtemos Kn−p <an

ap< Mn−p para n > p.

Ponhamos α =ap

Kpe β =

ap

Mp.

Então Knα < an < Mnβ. Extraindo raízes, temos que K n√

α < n√

an < M n√

β para todo

n > p.

Considerando que L − ε < K, M < L + ε, limn→∞

n√

α = 1 e limn→∞

n√

β = 1, concluímos que

existe n0 > p tal que L − ε < K n√

α e M n√

β < L + ε sempre que n > n0.

Assim, L − ε < n√

an < L + ε sempre que n > n0. isto mostra a propriedade quando L > 0.

Para o caso L = 0, é suficiente somente considerar M e não K e M .

Exemplo 5.55.

Por exemplo, dada a seqüênciann

n!

estamos a determinar a convergência da seqüência n

n√

n!

.


Consideremos an =nn

n!, então n

√

|an| =n

n√

n!.

Comoan+1

an=

(n + 1)(n+1)

(n + 1)!· n!

nn=

(n + 1)(n + 1)n

(n + 1)n!· n!

nn=(

1 +1

n

)n, então, no limite

limn→∞

an+1

an= lim

n→∞

(

1 +1

n

)n= e.


n√

n!

converge para a constante e.

Propriedade 5.24. Riemann.

Seja∞∑

n=1

an uma série condicionalmente convergente. Alterando convenientemente ordem dos

termos da série dada, podemos fazer que sua soma fique igual a qualquer número pre-fixado.

Demonstração.

Seja∞∑

n=1

an a série dada. Fixado o número c, começamos a somas os termos positivos de

∞∑

n=1

an, na sua ordem natural, um a um, parando quando, ao somar an1 , a soma pela primeira

vez ultrapasse o número c (isto é possível, pois a soma dos termos positivos de∞∑

n=1

an é +∞).

Fazemos o mesmo processo com os termos negativos até parar quando somando an2 que é

negativo fique o mais próximo possível inferior que c (isto é possível, pois a soma dos termos

negativos de∞∑

n=1

an é −∞).

Prosseguindo analogamente, obtemos uma nova série, cujos termos são os mesmos de∞∑

n=1

an

numa ordem diferente.

As reduzidas desta nova série oscilam em torno do valor c, de tal modo que (a partir da

ordem n1) a diferença entre cada uma delas e c é inferior, em valor absoluto ao termo ank, onde

houve a última mudança de sinal.

Ora limk→∞

ank= 0 porque a série

∞∑

n=1

an converge.

Portanto as reduzidas da nova série convergem para c.

Exemplo 5.56.


Exercícios 2-4

1. Determine quais das seguintes séries são absolutamente convergentes. Quais são conver-

gentes? Quais são divergentes?

1.∞∑

n=1

(−1)n−1 1

2n − 12.

∞∑

n=1

(−1)n 1

(2n)23.

∞∑

n=1

(−1)n 1√n

4.∞∑

n=1

(−1)n 1

n + 35.

∞∑

n=1

cos n

n2 + 16.

∞∑

n=1

n3 + 2

n4 + 1

7.∞∑

n=1

(−1)n n

Lnn8.

(−1)n

n2 − n9.

∞∑

n=1

(−1)nsen(n−3/2)

10.∞∑

n=1

(−1)n n

n + 111.

∞∑

n=1

n3

2n12.

∞∑

n=1

n23n

13.∞∑

n=1

(−1)n n2

2n14.

∞∑

n=1

(−2)n

n!15.

∞∑

n=1

senhn

n2

16.∞∑

n=1

nn

2nn!17.

∞∑

n=1

nn

3nn!18.

∞∑

n=1

n!

10n

19.∞∑

n=1

(−1)nn!

(2n − 1)!20.

∞∑

n=1

22n

(2n)!21.

∞∑

n=1

(n − 3)2

n4

22.

∞∑

n=1

(2n + 1)!

(3n)!23.

∞∑

n=1

2n2

n!24.

∞∑

n=1

1

(2n + 1)!

2. Suponha mostrado que limn→∞

nn√

n!= e. Usando este resultado, discuta a convergência das

séries:

1.∞∑

n=1

nn

2nn!2.

∞∑

n=1

nn

3nn!3.

∞∑

n=1

(2n)!

(2n)nn!

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.


12.

13.

14.

15.

16.

17.


5.6 SÉRIES ALTERNADAS

Para uma série de termos positivos∞∑

n=1an a seqüência sn de somas parciais é crescente, e sua

convergência passa a ser uma conseqüência de sua limitação. Precisamente, esse foi o argumento

usado na demonstração do critério de comparação e o da integral, os quais são válidos para series

de termos positivos.

Observe que a série∞∑

n=1

−2n não é convergente, embora seja dominada pela série∞∑

n=1

1

n2que

é convergente.

Definição 5.5.

Uma série cujos termos são alternadamente positivos e negativos, é denominada “série alter-

nada”

Séries alternadas encontramos quando estamos a estudar fenômenos ondulatórios, cujos mod-

elos matemáticos tem por solução funções representadas mediante séries trigonométricas (séries

de Fourier) da forma:

u(x, t) =∞∑

n=1

(

an cosnπt

L+ bnsen

nπt

L

)

sennπt

L(5.21)

onde os coeficientes an e bn que aparecem na série representam a posição e a velocidade inicias,

respectivamente, de um ponto da onda.

As séries alternadas se apresentam em uma das seguintes formas:

∞∑

n=1

(−1)nan ou∞∑

n=1

(−1)n−1an

onde an são termos de números reais positivos.

5.6.1 Critério de Leibnitz.

Propriedade 5.25. Critério de Leibnitz.

Seja an uma seqüência de números tais que:

i) a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ 0 para todo n ∈ N+

ii) limn→∞

an = 0

Então a série∞∑

n=1

(−1)n−1an é convergente

Demonstração.

Seja sn uma seqüência de somas parciais de∞∑

n=1

(−1)n−1an, então:

s2n = (a1 − a2) + (a3 − a4) + (a5 − a6) + · · · + (a2n−1 − a2n)


Como (ak − ak+1) ≥ 0 então a seqüência s2n é crescente.

Por outro lado, temos:

s2n = a1 − (a2 − a3) − (a4 − a5) − (a6 − a7) − · · · − (a2n−2 − a2n−1) − a2n

Como (ak − ak+1) ≥ 0 então a seqüência s2n é limitada por a1, isto é s2n ≤ a1 para todo

n ∈ N+.

Sendo sn uma seqüência crescente limitada, pela Propriedade (4.18) ela é convergente para

algum S ∈ R, onde S ≤ a1.

A mostrar que a seqüência sn converge para S.

Dado ε > 0 seja n0 > 0 tal que para n > n0

|s2n − S| ≤ ε

2e |a2n+1| ≤

ε

2

Logo, se n > n0, então:

|s2n+1 − S| = |s2n + a2n+1 − S| ≤ |s2n − S| + |a2n+1| ≤ε

2+

ε

2= ε

Assim toda soma de um número ímpar de termos também depende de ε e S. Como ε é

arbitrário, deduzimos que limn→∞

sn = S.


n=1

(−1)n−1an é convergente.

Observação 5.13.

O critério de Leibnitz pode ser modificado de modo a exigir apenas que 0 < an+1 ≤ an, para

todo n maior ou igual a algum inteiro N .

Exemplo 5.57.

Determine se a série alternada∞∑

n=1

(−1)n+1 1

Lnnconverge ou diverge.

Solução.

Temos que an =1

Lnn, então an+1 =

1

Ln(n + 1), além disso sendo n < n + 1 para todo

n ∈ N+, ⇒ Lnn < Ln(n + 1).

Logo,1

Ln(n + 1)<

1

Lnnpara n ≥ 2, e como lim

n→∞an = lim

n→∞1

Lnn= 0.

Segue da Propriedade (5.25) que a série∞∑

n=1

(−1)n+1 1

Lnné convergente.

Exemplo 5.58.

Estude a série∞∑

n=1

(−1)n+1 1

2n.

Solução.


Observe que an =1

2ne an+1 =

1

n + 1para todo n ∈ N+. Do fato 2n < 2n+1 ⇒ an+1 =

1

2n+1<

1

2n= an para todo n ≥ 1.

Como limn→∞

1

2n= 0. Segue da Propriedade (5.25) que a série

∞∑

n=1

(−1)n+1 1

2né convergente.

A Propriedade (5.25) é útil para determinar o ínfimo da n-ésima soma parcial de uma

série convergente. Para o caso de séries alternadas, isto é facilmente determinado; de fato,

nós mostraremos que o erro é não é maior que o primeiro termo.

Propriedade 5.26. Resto de uma série alternada.

Se as hipóteses da Propriedade (5.25) são satisfeitas, e S e sn denotam a soma e a n-ésima

soma parcial respectivamente, então:

|S − sn| ≤ an+1 para todo n ∈ N+

Demonstração.

Sejam m, n ∈ N+ tais que m ≥ n, então:

sm − sn = an+1 − (an+2 − an+3) − (an+4 − an+5) − · · · − (am−1 − am) ≤ an+1

Como limn→∞

sm = S, então 0 ≤ S − sn ≤ an+1.

Portanto, |S − sn| ≤ an+1 para todo n ∈ N+.

Exemplo 5.59.

Aproxime a série∞∑

n=1

(−1)n−1 1

n!pelos seus seis primeiros termos.

Solução.

O critério de Leibnitz diz que esta série converge, pois1

(n + 1)!≤ 1

n!e lim

n→∞1

n!= 0.

A soma dos seus seis primeiros termos é:

s6 = 1 − 1

2+

1

6− 1

24+

1

120≈ 0, 63194

Pela Propriedade (5.26) temos:

|S − s6| = |R6| ≤ a7 =1

5.040≈ 0, 0002 ⇒ |S − 0, 63194| ≤ 0, 0002

De onde 0, 63174 ≤ S ≤ 0, 63214.

Portanto, 0, 63174 ≤∞∑

n=1

(−1)n−1 1

n!≤ 0, 63214.

Propriedade 5.27.

Se a série∞∑

n=1

|an| converge, então a série alternada∞∑

n=1



Demonstração.

Por hipótese a série∞∑

n=1

|an| converge; pela propriedade do valor absoluto −|an| ≤ an ≤ |an|,

então 0 ≤ an ≤ |an| ≤ 2|an|. Logo 0 ≤ an + |an| ≤ 2|an|, ∀ n ∈ N+.

Podemos escrever 0 ≤∞∑

n=1

(an + |an|) ≤∞∑

n=1

2|an|. Como a série∞∑

n=1

2|an| é convergente, pelo

critério de comparação segue que∑

n = 1∞(an + |an|) também é convergente.

Porém∞∑

n=1

an =∞∑

n=1

[(an + |an|) − |an|] é soma de séries convergentes.

Portanto,∞∑

n=1

an é convergente.

Exemplo 5.60.

A série∞∑

n=1

(−1)n−1

npé convergente se p > 0 e, é divergente se p ≤ 0.

Para o caso p > 0, a seqüência 1

np é monótona decrescente e tende para zero.

Se p = 0, então1

np= 1 para todo n ∈ N+, e a série diverge. Se p < 0 é imediato que a série

diverge.

Exemplo 5.61.

A série∞∑

n=1

(−1)n−1

né convergente.

É claro que a seqüência 1

n é monótona decrescente e tende para zero. Conseqüentemente

esta série é convergente (embora não o seja absolutamente convergente).

Exemplo 5.62.


(a)∞∑

n=1

n

(−2)n−1(b)

∞∑

n=1

(−1)nn

Ln2n

Solução. (a)

Para aplicar o teste, note que, para n ≥ 1, tem-se1

2≤ n

n + 1.

Isto implica que2n−1

2n≤ n

n + 1de onde

n + 1

2n≤ n

2n−1, então an+1 ≤ an.

Por outro lado, temos a calcular limn→∞

n

2n−1.

Aplicando a regra de L´Hospital , tem-se que:

limx→∞

x

2x−1= lim

x→∞1

2x−1Ln2= 0 ⇒ lim

n→∞n

2n−1= 0



n=1

n

(−2)n−1converge.

Solução. (b)

Pela regra de L´Hospital temos que: limn→∞

x

Ln2x= lim

n→∞11x

= ∞.

Portanto o critério para séries alternadas não se aplica; porém, aplicando o critério do n-ésimo

termo podemos concluir que a série diverge,

Observação 5.14.

A notação∞∑

n=1

an < +∞ significa que a série é convergente; e∞∑

n=1

an ≮ +∞ indica que a

série diverge.

Definição 5.6.

Dizemos que a série alternada∞∑

n=1

an é absolutamente convergente, se a série∞∑

n=1

|an| é con-

vergente.

Definição 5.7.

Uma a série alternada∞∑

n=1

an que é convergente, porém não absolutamente convergente, dize-

mos que ela é condicio0nalmente convergente.

Observação 5.15.

A Propriedade (5.27) estabelece que toda série absolutamente convergente é convergente. Não

obstante, uma série convergente pode não ser absolutamente convergente.

Exemplo 5.63.

(a) A série alternada∞∑

n=1

(−1n+1 1

né convergente, não obstante a série

∞∑

n=1

∣∣∣∣(−1n+1 1

n

∣∣∣∣=

∞∑

n=1

1

n, não é convergente.

(b) A série∞∑

n=1

(−1)n 3

2né absolutamente convergente, pois a série

∞∑

n=1

∣∣∣∣(−1)n 3

2n

∣∣∣∣

=

∞∑

n=1

3

2né uma série geométrica de razão r =

1

3<.

Portanto, a serie∞∑

n=1

(−1)n 3

2né convergente.

Observação 5.16.

Para determinar a convergência ou divergência de uma série alternada, recomenda-se utilizar

o critério da razão.


5.6.2 Sumário dos Critérios para Séries de Números.

Critério Série Converge Diverge Comentário

do n-ésimo termo

∞∑

n=1

an limn→∞

an 6= 0 O critério não pode serusado para provar con-vergência

da série geométrica

∞∑

n=1

arn |r| < 1 |r| ≥ 1 soma: S =

a

1 − r

para séries p

∞∑

n=1

1

npp > 1 p ≤ 1

Propriedade (5.5)∞∑

n=1

an

∞∑

n=1

(an + bn) se∞∑

n=1

bn < +∞


n=1

an

∞∑

n=1

(an + bn) se∞∑

n=1

bn ≮ +∞


n=1

an

∞∑

n=1

an < +∞ se∞∑

n=1

2n · a2n < +∞

para séries teles-cópicas

∞∑

n=1

(bn − bn+1) limn→∞

bn = L soma: S = b1 − L

de comparação

(an, bn > 0)

∞∑

n=1

an

se, 0 ≤ an ≤ bn

e∞∑

n=1

bn < +∞

se, 0 ≤ bn ≤ an

e∞∑

n=1

bn ≮ ∞

da integral (f con-tínua, positiva edecrescente)

∞∑

n=1

an

an = f(n) ≥ 0

∞∫

1

f(x)dx < +∞

∞∫

1

f(x)dx ≮ +∞

resto:

0 < RN <

∞∫

N

f(x)dx

dos limites da com-paração

(an, bn > 0)

∞∑

n=1

an

limn→∞

an

bn= L > 0

e∞∑

n=1

bn < +∞

limn→∞

an

bn= L > 0

e∞∑

n=1

bn ≮ +∞

∞∑

n=1

an < +∞ caso L =

0 e∞∑

n=1

bn < +∞

de Raabe∞∑

n=1

an k > 1 k < 1 k = limn→∞

n

[

1 −an+1

an

]

de D’Alembert’s ou

da razão

∞∑

n=1

an

limnto∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣< 1

absolutamente

limnto∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣> 1

inconclusivo se:

limn→∞

∣∣∣∣

an+1

an

∣∣∣∣= 1

de Cauchy ou da

raíz

∞∑

n=1

anlim

nto∞

n

√

|an| < 1

absolutamente

limnto∞

n

√

|an| > 1 inconclusivo se:

limnto∞

n

√

|an| = 1

de Leibnitz ou para

séries alternadas

∞∑

n=1

(−1)nan 0 < an+1 ≤ an

e limnto∞

an = 0Resto: |RN | ≤ aN+1


Exercícios 2-5

1. Determine quais das seguintes séries são convergente ou divergentes. Quias delas são ab-

solutamente convergentes?

1.∞∑

n=1

(−1)n−1 1

2n + 12.

∞∑

n=1

(−1)n−1 1√n

3.∞∑

n=1

(−1)n−1 1

Lnn

4.∞∑

n=1

(−1)n−1 n

Lnn5.

∞∑

n=1

(−1)n−1 1

(2n − 1)!6.

∞∑

n=1

(−1)n−1 1

n2n

7.∞∑

n=1

(−1)n−1sen( 1

n

)

8.∞∑

n=1

(−1)n−1 1

n2 + n9.

∞∑

n=1

(−1)n−1 Lnn

n

10.∞∑

n=1

(−1)n−1 Lnn

n211.

∞∑

n=1

(−1)n−1 12.∞∑

n=1

(−1)n−1

2. A série 1 − 1

2+

2

3− 1

3+

2

4− 1

4+

2

5− 1

5+

2

6− 1

6+ · · · tem termos alternados positivos e

negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto é divergente. Porque não contradiz

a Propriedade (5.25)?

3.


4.

APÊNDICE

História do Cálculo.

As idéias principais que sustentam o cálculo desenvolveram-se certamente num período de

tempo muito longo [?]. As primeiras etapas foram feitas por matemáticos gregos.

Para os gregos, os números representavam relações inteiras, posteriormente perceberam que

seus estudos de número tinha "furos". Eles deram a volta a esta dificuldade usando compri-

mentos, áreas e volumes além de números para os gregos, não todas os comprimentos eram

números.

Zeno de Elea (490a.C−430a.C) aproximadamente em 450a.C, apresentou vários problemas de

número que foram baseados no infinito. Por exemplo, ele discutiu que o movimento é impossível:

"Se um corpo se movimenta de A até B então antes que alcance B tem que

passar pelo ponto médio, suponhamos B1 de AB. Para mover-se agora de A até B1

deve primeiramente alcançar o ponto médio B2 de AB1 Continue este argumento

para observar que o corpo a partir de A deve se movimentar um número infinito das

distâncias e assim que não possa mover-se."

Leucippus (480 − 420 a.C), Democritus (460 - 370 a.C) e Antiphon (480 − 411 a.C)

todos fizeram contribuições ao método grego da exaustão que foi posto sobre uma base científica

por Eudoxus (408 − 355a.C) aproximadamente em 370 a.C. O método da exaustão é assim

chamado porque a pessoa calcula a área de uma determinada figura a partir de áreas conhecidas

expandindo estas últimas de forma que cada vez mais se aproximem para a área da figura exigida.

Entretanto Arquimedes (287 − 212 a.C), aproximadamente em 225 a.C, fez uma das mais

significativas contribuições gregas. O primeiro avanço importante devia mostrar que a área de o

segmento de uma parábola é4

3da área de um triângulo com a mesma base e vértice e

2

3da área

do paralelogramo circunscrito. Arquimedes construiu uma seqüencia infinita dos triângulos que

começam com uma da área A para logo adicionar continuamente área de triângulos semelhantes

entre o existente e a parábola para conseguir a área procurada segundo o seguinte roteiro:

A, A +A

4, A +

A

4+

A

16, A +

A

4+

A

16+

A

64, . . .

A, A +A

4, A +

A

4+

A

16, A +

A

4+

A

16+

A

64, . . .

147


A área do segmento da parábola é conseqüentemente

A(1

4+

1

16+

1

64+ . . .) = (

4

3)A.

Este é o primeiro exemplo conhecido da adição de uma série infinita.

Figura 5.3:

Arquimedes usou o método da exaustão para achar uma

aproximação à área de um círculo. Este, naturalmente, é um

exemplo cedo da integração e que conduz para a aproximação de

valores para π. Mostra-se diagrama de Arquimedes na Figura

(5.3).

OA = 1, AB = sen(πk )

AT = tan(π

k), onde k = 3 × 2n−1

Entre outras “integrações"feitas por Arquimedes estavam o

volume e a área da superfície de uma esfera, o volume e a área

de um cone, a área da superfície de uma elipse, o volume de um

segmento de parabolóide de revolução e de um segmento de um

hiperbolóide de revolução.

Nenhum progresso adicional foi feito até o 16o século em que os mecânicos começaram a

induzir matemáticos para examinar problemas tais como centros de gravidade. Luca Valerio

(1552 − 1618) publicou em Roma em 1606 “De quadratura parabolae” que foi continuação dos

métodos para resolver problemas de áreas feito pelos gregos. Kepler, em seu trabalho de movi-

mento planetário, teve que encontrar a área de setores de uma elipse. Seu método consistiu em

calcular a área como somas de retas, outra forma crua de integração, mas Kepler (1571 − 1630)

dedicou pouco tempo para continuar com o rigor grego e foi bastante afortunado para obter uma

resposta correta depois de fazer dois erros de cancelamento neste trabalho.

Três matemáticos, nascidos num intervalo de três anos um do outro fizeram contribuições

principais. Eles eram Fermat (1601 − 1665), Roberval (1602 − 1675) e Cavalieri (1598 − 1647)

. Este último conduziu um “ método de indivisíveis"pelas tentativas de Kepler , na integração.

Cavalieri não era rigoroso em sua aproximação e é difícil entender como pensou sobre seu método.

Parece que o pensamento de uma área para Cavalieri era como sendo composto das componentes

que eram retas e somado então um número infinito “de indivisíveis”. Mostrou, usando estes

métodos, que a integral de xn de 0 até a eraan+1

(n + 1)mostrando o resultado para vários valores

de n ∈ N e deduzindo o resultado geral.

Roberval considerou problemas do mesmo tipo mas foi muito mais rigoroso do que Cavalieri.

Roberval observou a área entre uma curva e uma reta como sendo composto de um número

infinito de tiras retangulares infinitamente estreitas. Aplicou isto para ao integrar xm de 0 até 1

que mostrou o valor aproximado

0m + 1m + 2m + · · · + (n − 1)m

nm+1

Roberval afirmou então que todo esta expressão tende para1

m + 1quando n tende infinito,


calculando assim a área.

Fermat era também mais rigoroso em sua aproximação, mas não dava nenhuma prova. Gen-

eralizou a parábola e a hipérbole.

Parábola:y

a= (

x

b)2 para (

y

a)n = (

x

b)m.

Hipérbole: :y

a=

b

xpara (

y

a)n = (

b

x)m.

No curso de examinary

a= (

x

b)p , Fermat calculou a soma de rp para r = 1 até r = n. Fermat

também investigou máximos e mínimos considerando quando a tangente à curva estava paralela

ao eixo−x. Ele escreveu a Descartes (1.596 - 1.650) explicando o método essencialmente como é

usado hoje, a saber, encontrando máximos, mínimos e calculando a derivada da função quando

esta era 0. De fato, por causa deste trabalho, Lagrange (1736 − 1813) declarou que ele considera

que Fermat como o inventor do cálculo.

No ano de 1637, Descartes escreveu um método importante para determinar normais em ”

La Géométrie"baseados na interseção dupla. De Beaune (1601 − 1652) estendeu estes métodos

e aplicou-os as tangentes onde a interseção dupla traduz em raízes duplas. Hudde (1628 − 1704)

descobriu um método mais simples, conhecido como a Regra de Hudde, que envolve basicamente

a derivada. O método de Descartes e a Regra de Hudde influenciaram muito a Newton (1643 −1727).

Huygens (1629 − 1695) era crítico das provas de Cavalieri e diz que o que se necessita é

uma prova que convencesse ao menos uma prova rigorosa poderia ser construída. Huygens era

uma influência principal em Leibniz (1646 − 1716) e assim que jogou uma parte considerável

produzindo uma aproximação mais satisfatória para o cálculo.

Figura 5.4:

O próximo passo principal foi provido por Torricelli

(1608 − 1647) e por Barrow Barrow (1630 − 1677). Este

último deu um método das tangentes a uma curva tangente

é determinada como o limite de uma corda com um de seus

pontos se aproximando ao outro este método, e conhecido

como o ”triângulo diferencial de Barrow” (Figura (5.4)).

Torricelli e Barrow B. consideraram o problema do movi-

mento com velocidade variável. A derivada da distância é a

velocidade e a operação inversa faz exame da velocidade para

a distância.

Conseqüentemente uma consciência da inversa da diferen-

ciação começou a evoluir naturalmente e a idéia que a integral e a derivada eram inversas uma da

outra, foi familiar a Barrow B. Do fato, embora Barrow B. nunca indicasse explicitamente o teo-

rema fundamental do cálculo, estava trabalhando com esse resultado, e Newton devia continuar

neste sentido para depois indicar explicitamente o Teorema Fundamental do Cálculo.

O trabalho de Torricelli foi continuado na Itália por Mengoli (1626 − 1686) e por Angeli

(1623 − 1697).. Newton escreveu um tratado sobre fluidos em outubro 1666. Este era um

trabalho que não foi publicado naquele tempo, mas visto por muitos matemáticos e teve influência

principal no sentido da direção que o cálculo devia seguir. Newton pensou em uma partícula

movimentando-se para fora de uma curva em um sistema de duas retas que eram as coordenadas.


Da velocidade horizontal denotada por x′, e da velocidade vertical denotada y′ que, eram os

fluidos de x e y associados com o fluxo de tempo. Os fluentes ou as quantidades fluindo eram x

e y. Esta notação de fluidosy′

x′ era a tangente de f(x, y) = 0.

Em seu tratado de 1666 Newton discute o problema inverso, dado a relação entre x ey′

x′

determinar y. Daqui a inclinação da tangente foi dada para cada x quandoy′

x′ = f(x) então

Newton resolve o problema pela antidiferenciação.

Calculou também áreas pela antidiferenciação e estes trabalhos contem a primeira indicação

desobstruída do Teorema Fundamental do Cálculo.

Newton teve problemas para publicar seu tratado matemático. Barrow B. era de algum modo

responsável por esta publicação Barrow B. tinha falido e os editores eram, cautelosos em publicar

trabalhos matemáticos. O tratado de Newton em Análises com Séries Infinitas foi escrito em

1669 e circulou somente no manuscrito.

Só foi publicado em 1711. Similarmente seu ”Métodos de Fluidos e Séries Infinitas” foi escrito

em 1671 e publicado na tradução inglesa em 1736. O original em latim não foi publicado até

muito mais tarde.

Nestes dois trabalhos Newton calculou a expansão da série para o senx e cos x e a expansão

para o que hoje é a função exponencial, embora esta função não fosse estabelecida até que Euler

(1707 − 1783) introduziu a notação atual ex .

As expansões de série para seno e para o cosseno, são chamadas agora de serie de Taylor ou

serie de Maclaurin.

O seguinte tratado matemático de Newton era “Tractatus de Quadratura Curvarum” que

escreveu em 1693 mas não foi publicado até 1704 em que o fez como um apêndice a seu “Optiks”.

Estes trabalhos contem uma outra aproximação que envolve fazer os limites. Newton diz:

no tempo em que x converge para x + o , a quantidade xn converge para (x + o)n

isto é pelo método da série infinita,

xn + n × xn−1 +nn − n

2× xn−2 + · · ·

Na extremidade deixa o incremento o desaparecer ”fazendo exame de limites”.

Leibniz aprendeu muito em uma excursão européia que lhe conduzisse se encontrasse com

Huygens em Paris em 1672. Encontrou-se também com Hooke (1635−1703) e Boyle (1627−1691)

em Londres em 1673 onde comprou diversos livros da matemática, incluso os trabalhos de Barrow

B. Leibniz devia ter uma correspondência longa com Barrow B., ao retornar a Paris Leibniz fez

um tratado muito fino de cálculo.

Newton considerou as variáveis que mudam com o tempo; Leibniz pensou sobre as variáveis

de x, y como seqüencias de valores variando infinitamente próximos, introduziu a notação dx e

dy como diferenças entre valores sucessivos destas seqüencias. Leibniz soube quedy

dxrepresenta

a tangente, mas não o usou como uma propriedade definida.

Para Newton a integração consistiu em encontrar fluentes para um determinado fluxo, assim

o fato que a integração e a diferenciação eram inversas estava implícito. Leibniz usou a integração


como uma soma, uma maneira bastante similar á de Cavalieri. Ele também estava feliz em usar

os infinitesimais dx e dy entanto Newton usava x′ e y′ que representavam velocidades finitas.

Naturalmente nem Leibniz nem Newton pensaram nos termos das funções, entretanto, ambos

pensaram sempre nos termos dos gráficos. Para Newton o cálculo era geométrico entanto Leibniz

levou isto para análise.

Leibniz era muito consciente sobre este achado, já que encontrar uma notação boa era da

importância fundamental e foi pensado muito sobre ela. Newton, na outra mão, escreveu mais

para ele mesmo e, conseqüentemente, suja notação não foi aceita em geral.

A notação de Leibniz de d e∫

destacava o aspecto dos operadores que provou importante

desenvolvimentos. Já em 1675 Leibniz tinha-se estabelecido como notação

∫

y · dy =y2

2

escritos exatamente como seria hoje. Seus resultados no cálculo integral foram publicados em

1684 e em 1686 conhecido sob o nome ”Calculus Summatorius” o nome que cálculo integral foi

sugerido por Jacob Bernoulli (1654 − 1705) em 1690.

Depois do Newton e Leibniz o desenvolvimento do cálculo foi continuado por Jacob Bernoulli

e Johann Bernoulli (1667 − 1748). Porém quando Berkeley (1685 − 1753) publicou ”Analyst”

em 1734 claramente notava-se a falta de rigor no cálculo e disputando com a lógica o leitor tinha

que fazer muito esforço para entender-lo. Maclaurin (1698 − 1746) tentou pôr o cálculo em uma

base geométrica rigorosa, mas a base realmente satisfatória para o cálculo teve que esperar pelo

trabalho de Cauchy (1789 − 1857) no 19o século.

Índice

Angeli, 149

Antiphon, 147

Arquimedes, 147

Axioma

de Arquimedes, 52, 84

de completamento, 79

Barrow Barrow, 149

Bolzano, 86

Boyle, 150

Cauchy, 88

Cavalieri, 148

Cesaro, 70

Condição de Cauchy, 111

Cota

inferior, 51

superior, 51

Critério de confronto, 82

D’Alembert’s, 132

De Beaune, 149

Democritus, 147

Descartes, 149

Desigualdade de Bernoulli, 83

Dizimas periódicas, 102

Elementos da seqüência, 49

Espaço métrico, 66

completo, 66

Eudoxus, 147

Euler, 150

Exaustão, 147

Fermat, 148

Fluidos, 149

Hooke, 150

Hudde, 149

Huygens, 149

Infimo, 51

Kepler, 148

L´Hospital, 142

Lagrange, 149

Leibnitz, 139

Leibniz, 149

Leucippus, 147

Limite

ao infinito, 59

de uma seqüência, 59

unicidade, 64

Luca Valerio, 148

Média

aritmética, 67

geométrica, 68

Mengoli, 149

Produto de Cauchy, 130

Propriedade de Cauchy, 112

Raabe, 122

Reagrupamento, 122

Regra de L’Hospital, 76

Riemann, 126

Roberval, 148

Série

p, 106

absolutamente convergente, 127

alternada, 139

condicionalmente convergente, 128

de termos positivos, 116

152


geométrica, 104

harmônica, 105

Série infinita, 148

Séries

infinitas, 103

Segmento

da parábola, 148

Seqüência

constante, 50

contrativa, 69

convergente, 59

crescente, 52

de Cauchy, 65

decrescente, 53

limitada, 51

monótona, 53

Serie de

Maclaurin, 150

Taylor, 150

Somatórios, 94

Stolz, 70

Subseqüência, 55

ímpar, 55

par, 55

Sucessão, 48

Supremo, 51

Telescópica, 94

Teorema

de Bolzano - Weirstrass, 86

do sanduíche, 82

Fundamental do Cálculo, 149

Torricelli, 149

Weirstrass, 86

Zeno de Elea, 147


CHRISTIAN JOSÉ QUINTANA PINEDO

Decada do 80

Christian é de nacionalidade brasileira, nasceu em

Lima - Perú, onde graduou-se como Bacharel em

Matemática Pura na Universidade Nacional Mayor de

San Marcos; realizou estudos de Mestrado e Doutorado

em Ciências Matemáticas na Universidade Federal do

Rio de Janeiro.

Atualmente é professor Adjunto IV da Universidade

Federal do Tocantins no Curso Engenharia de Alimen-

tos.

Christian, tem trabalhos publicados na área de

equações diferenciais em derivadas parciais, história da matemática e outros; suas linhas de

pesquisa são: História da Matemática, Filosofia da Matemática, Epistemologia da Matemática

e Equações Diferenciais em Derivadas Parciais.


DO MESMO AUTOR

Livros Páginas

• Introdução as Estruturas Algébricas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230

• Fundamentos da Matemática.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254

• Cálculo Diferencial em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312

• Introdução as Equações Diferenciais Ordinárias (em edição). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

Notas de Aula

No 01 Estruturação para o ensino da Matemática - Pró-Ciências - Vol 1 - 1999. . . . . . . . . 140

No 02 Estruturação para o ensino da Matemática - Pró-Ciências - Vol 2 - 1999. . . . . . . . . 236

No 03 Estruturação para o ensino da Matemática.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180

No 04 Matemática Aplicada (à economia). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

No 05 História da Matemática I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

No 06 Epistemologia da Matemática I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

No 07 Epistemologia da Matemática II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

No 08 Tópicos de Cálculo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

No 09 Elementos de Cálculo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

No 10 Integração e Funções de Várias Variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

No 11 Cálculo Vetorial e Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

No 15 Complemento da Matemática I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

No 16 Suplemento de Cálculo I - Vol 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

No 18 Suplemento de Cálculo II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

No 19 Elementos de Cálculo III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

No 20 Manual do Estudante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

No 21 Introdução à Análise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

No 22 Suplemento de Análise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

No 23 Cálculo em Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

No 25 Matemática II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

No 26 Transformada de: Fourier, Laplace e de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Christian Q. Pinedo - joinville.udesc.br · SUM`RIO PREF`CIO ... O œltimo capítulo estÆ aborda o...

Documents

Transcript of Christian Q. Pinedo - joinville.udesc.br · SUM`RIO PREF`CIO ... O œltimo capítulo estÆ aborda o...