25

CHƢƠNG 2: XÁC ĐỊNH BIÊN TRONG VI ẢNH DỰA TRÊN

CỰC TRỊ WAVELET

2.1. Giới thiệu

Bài toán xác định đƣờng biên của các vùng thể hiện thông tin trên bất kỳ loại

ảnh nào là rất cần thiết trong lĩnh vực xử lý ảnh. Trong bài toán này, các phƣơng

pháp nhƣ Canny, Robert, Sobel và Gradient Vector Flow (GVF) đều gặp trở ngại

khi áp dụng trên vi ảnh (thƣờng có độ nhiễu lớn). Trong khi đó, cực trị mô-đun của

biến đổi wavelet (Wavelet Transform Modulus Maxima - WTMM) đã đƣợc chứng

minh là đặc trƣng tốt cho các điểm cực trị (singularity) [74] và là các điểm zero-

crossing. Đối với xử lý ảnh, WTMM cho thấy có thể dùng để làm độ đo đặc trƣng

tốt cho các điểm trên biên. Do đặc tính của biến đổi wavelet là dựa trên phân rã đa tỉ

lệ, việc sử dụng cực trị địa phƣơng có thể giúp phát hiện các điểm biên trong điều

kiện ảnh nhiễu. Điểm biên có cực trị tồn tại trong hầu hết các cấp phân rã, trong

khi các điểm nhiễu không có tính chất này. Chƣơng này trình bày các nghiên cứu

thực nghiệm xác định biên với các phƣơng pháp khác nhau trên ảnh microarray

DNA. Chúng tôi thực hiện yêu cầu xác định biên dựa trên biến đổi wavelet không

giảm kích thƣớc mẫu (Undecimated Wavelet Transform Modulus Maxima -

UWTMM) với đề xuất về sử dụng hàm phức cũng nhƣ phƣơng pháp xác định điểm

cực trị tƣơng ứng 1-1 giữa các cấp phân rã kề nhau. Hiệu quả của thuật giải xác

định biên dựa trên UWTMM đƣợc thể hiện qua các so sánh với các phƣơng pháp

phổ biến khác.

2.2. Sơ lƣợc về biến đổi wavelet

Biến đổi wavelet (WT) liên tục do Morlet và Grossmann giới thiệu vào năm

1984 [2], [17]. Ứng dụng WT rất đa dạng trong xử lý ảnh, bao gồm xử lý trên vi ảnh

AFM [65], từ các vấn đề nén, tái tạo ảnh cho đến các vấn đề trong lĩnh vực nhận

dạng hay phân loại. Dựa trên các đặc tính phân tích đa phân giải của wavelet,

26

Mallat & Zhong đã đƣa ra phƣơng pháp sử dụng cực trị mô-đun của biến đổi

wavelet (WTMM) cho việc xác định các điểm cực trị [74]. Đối với xử lý ảnh,

WTMM cho thấy có thể dùng để làm độ đo đặc trƣng tốt cho các điểm trên biên.

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm liên quan đến wavelet (liên

tục, rời rạc), cùng với các công thức tính mô-đun trên dữ liệu hai chiều.

2.2.1. Biến đổi wavelet liên tục

Định nghĩa: Biến đổi wavelet liên tục trên hàm )(2 RLf được xác định bởi

dxxxffusWf usus)()(,),( ,,

(2.1)

Trong đó

s

ux

sxus

1)(, (2.2)

Hàm đƣợc gọi là hàm wavelet và có các tính chất:

0)( x , 0)(

dxx ,

dxx

x2

)( (2.3)

Giá trị }0{ Rs , Ru , là các tham số biểu diễn tỉ lệ và độ dời.

Biến đổi wavelet đƣợc chứng minh là có thể tái tạo đầy đủ, nghĩa là tồn tại

ánh xạ ngƣợc. Công thức biến đổi wavelet ngƣợc trên dữ liệu một chiều xác

định bởi:

dudss

xusWf

Cxf

us

0

2

, )(),(1)(

(2.4)

Trong đó, C là hằng số phụ thuộc vào hàm xác định giá của hàm wavelet

và có thể xác định bởi:

dww

wC

0

2)(̂

, )(ˆ w là biến đổi Fourier của )(x .

27

Vì quá trình xác định các hệ số wavelet và biến đổi ngƣợc theo các công thức

(2.1), (2.4) đòi hỏi nhiều tính toán, do đó khi thực hiện trong miền rời rạc chúng

đƣợc xấp xỉ theo các bộ lọc tần số cao và thấp. Trong quá trình thiết kế các bộ

lọc wavelet, một số tác giả đã đƣa ra các tiêu chuẩn nhƣ: tiêu chuẩn Daubechies

chú trọng đến số lần triệt tiêu của của hàm wavelet; tiêu chuẩn Coifman chú

trọng số lần triệt tiêu của cả hàm tỉ lệ và hàm wavelet. Bảng 2.1 minh hoạ một

số hàm wavelet quan trọng đƣợc sử dụng trong nhiều ứng dụng xử lý ảnh.

Bảng 2.1-Một số wavelet phổ biến

Trực giao một

chiều

Trực giao nhị phân

một chiều

Trực giao nhị

phân hai chiều

Tiêu

chuẩn

Các wavelet

Daubechies trực

giao

Daubechies 88

Các wavelet dạng

Spline song trực giao:

Cohen, Daubechies,

Feauveau 92, Vetterli,

Herley 92

Các wavelet

Quincunx song trực

giao:

Kovacevix, Vetterli

92, Cohen,

Daubechies 93

Daubechies

Coiflet trực giao

Daubechies 93

Coiflet song trực giao

Swlden 96, Wei, Tian,

Wells, Jr và Burrus 98

Coiflet Quincunx

song trực giao

Wei, Evans và

Bovik 97

Coifman

2.2.2. Biến đổi wavelet rời rạc

Dạng rời rạc của biến đổi wavelet thƣờng sử dụng tỉ lệ phân rã lũy thừa 2,

nghĩa là chọn tham số tỉ lệ dạng: 0,2 js j , j đƣợc gọi là cấp phân rã. Ảnh

đƣợc xem nhƣ tín hiệu trên lƣới hai chiều I(x,y). Các bộ lọc wavelet (hàm

wavelet), và tỉ lệ đƣợc áp lần lƣợt lên cột và dòng một cách độc lập, và ngoài ra

hàm wavelet có thể áp lên đƣờng chéo của ảnh.

Biến đổi wavelet rời rạc hai chiều (DWT) trên ảnh biểu diễn ảnh theo các

hàm wavelet tịnh tiến },,{ HHHLLH và tỉ lệ LL , tạo nên cơ sở trực giao

28

của )( 22 RL . },,{ HHHLLH đƣợc gọi là phân rã ngang, dọc và chéo thể hiện bộ

lọc tần số cao (là các hàm wavelet) trong ảnh, trong khi LL biểu diễn dữ liệu

tần số thấp. Cho ảnh I kích thƣớc NxN, điểm ảnh tại vị trí (s, t) qua phân rã

DWT J cấp đƣợc xác định bởi:

1

0, 1

1

0,

,,,,,,,, ),(.),(.),(J JN

ik B

J

j

N

ik

B

ikj

B

ikj

LL

ikJikJ tswtsutsI (2.5)

Trong đó, },,{ HHHLLHB , j thể hiện cấp phân rã rời rạc luỹ thừa hai

vớijj

NN

2 , )

2

1,

2

1(

2

1),(

2/,, itkstsjjj

LL

ikj thể hiện bộ lọc tần số thấp (gọi

là bộ lọc dựa trên hàm tỉ lệ), trong khi )2

1,

2

1(

2

1),(

2/,, itkstsjj

B

j

B

ikj là các

bộ lọc dựa trên hàm wavelet tần số cao, ts

ikJikJ tsIu,

,,,, ).,( là hệ số tỉ lệ (tần số

thấp) ở cấp phân rã thô nhất (cấp J), ts

B

ikj

B

ikj tsIw,

,,,, ).,( là các hệ số wavelet tại

vị trí ),( ik với bộ lọc B tƣơng ứng tại cấp phân rã thứ j.

Trong thực tế, sau khi biến đổi trên các ảnh với màu nền chiếm đa số, hầu

hết các giá trị hệ số wavelet là nhỏ, vì vậy để đặc trƣng cho một ảnh chỉ cần giữ

lại một vài hệ số lớn ở mỗi cấp. Hình 2.1 minh họa biến đổi wavelet giảm kích

thƣớc mẫu với hai cấp trên ảnh.

Hình 2.1-Minh hoạ biến đổi wavelet dạng giảm kích thƣớc mẫu

29

2.3. Cực trị mô-đun của biến đổi wavelet

Cực trị mô-đun của biến đổi wavelet trị thực đƣợc xác định dựa trên mô-đun của

các hệ số của biến đổi wavelet và đƣợc nhắc lại trong phần 2.3.1. Sau đó, chúng tôi

sẽ mở rộng phƣơng pháp xác định WTMM dựa trên wavelet trị phức.

2.3.1. Mô-đun của hàm wavelet giá trị thực

WTMM có thể xấp xỉ lũy thừa Lipschitz (thể hiện đại lƣợng đo độ mạnh của

điểm cực trị) [50].

Đối với dữ liệu một chiều, điểm x0 ở tỉ lệ phân rã s0 đƣợc gọi là mô-đun

maxima nếu xsxWf /),( 0 có zero-crossing tại x0, đồng thời với các điểm x lân

cận của x0, thì ),(),( 000 sxWfsxWf . Trong đó W(. ,s0) là biến đổi wavelet của

hàm f ở tỉ lệ s0, và dấu thể hiện mô-đun của W.

Các hàm wavelet đƣợc dùng trong xác định biên thoả điều kiện trực giao với

hàm đa thức bậc lớn hơn 1, nghĩa là

0)(

dxxx k , nk 1 (2.6)

Để xác định cực trị mô-đun cho dữ liệu hai chiều, các wavelet thƣờng dùng

là đạo hàm riêng phần của hàm tỉ lệ ),( yx theo hai trục x và y. Hàm tỉ lệ

),( yx đƣợc xác định tuỳ theo mục đích xây dựng wavelet. Ví dụ hàm tỉ lệ của

wavelet Gaussian đƣợc xác định bởi.

22

),( yxeyx (2.7)

Hai wavelet ứng với hƣớng x và y đƣợc xác định bởi:

),(),(1 yxx

yx

và ),(),(2 yx

yyx

(2.8)

Khi đó biến đổi wavelet của f(x,y) theo hƣớng x và y là phép toán chập giữa

các wavelet k (k = 1,2) và f. Nghĩa là

30

),(*),(,),( 111 yxfyxfyxfW (2.9)

),(*),(,),( 222 yxfyxfyxfW

Ở tỉ lệ phân rã s, các công thức trên đƣợc viết lại nhƣ sau

),(*),(,),,( 111 yxfyxfsyxfW sss (2.10)

),(*),(,),,( 222 yxfyxfsyxfW sss

Trong đó

sysxs

yxs ,1

),( 11 và sysxs

yxs ,1

),( 22 (2.11)

Phƣơng pháp tính wavelet trên dữ liệu hai chiều nhƣ trên không đủ để tái tạo

lại dữ liệu gốc, vì các hệ số của đƣờng chéo bị bỏ qua. Tuy nhiên, biến đổi

wavelet theo hai hƣớng ngang và dọc nhƣ trên là đủ để xác định biên các đối

tƣợng trong ảnh. Điều này là vì lân cận ngang hoặc dọc đƣợc sử dụng trong quá

trình so sánh mô-đun để xác định cực trị (phần 2.3.3).

Mô-đun của wavelet đƣợc xác định bởi

22

21 ),,(),,(),,( syxfWsyxfWsyxMf ss (2.12)

Việc tính cực trị mô-đun tại một tỉ lệ phân rã s đƣợc thực hiện bằng cách tính

các cực trị địa phƣơng trên ma trận các giá trị mô-đun wavelet tại tỉ lệ tƣơng

ứng.

Quan hệ giữa mô-đun wavelet và số mũ Lipschitz [75] đƣợc xác định bởi

0,).(),,( ksksyxMf (2.13)

Trong đó, α là số mũ Lipschitz, k là hằng số. Nếu phân rã theo tỉ lệ luỹ thừa

2, với )2( js , thì quan hệ trên có thể viết là.

0,log)2,,(log 22 kjkyxMf j (2.14)

31

Một số bài viết [74], [75] đã chứng minh giá trị cực trị cục bộ của biến đổi

wavelet có thể đƣợc dùng để xấp xỉ số mũ Lipschitz và ngƣợc lại [52]. Đây là

tính chất quan trọng cho phép sử dụng WTMM để xác định biên các đối tƣợng

ảnh. Đƣờng cực trị cục bộ có đƣợc bằng cách xét các cực trị tƣơng ứng giữa các

tỉ lệ phân rã khác nhau. Nhận xét này cũng đúng trong trƣờng hợp hàm wavelet

trị phức nếu phần thực và phần ảo thỏa điều kiện trình bày trong phần 2.3.2.

Khi tỉ lệ phân rã s giảm xuống mức mịn nhất, thì các đƣờng cực trị địa

phƣơng sẽ hội tụ đến các điểm cực trị [74], [75]. Đây là tính chất quan trọng

giúp xác định cực trị chính xác hơn.

2.3.2. Mô-đun của hàm wavelet giá trị phức

Biến đổi wavelet giá trị phức trên hàm f đƣợc xác định khi là hàm phức và

thỏa điều kiện xác định bởi công thức (2.3). Biến đổi wavelet liên tục đƣợc xác

định bởi

dxxxfsxWf s )()(),( (2.15)

Wavelet đƣợc gọi là có n điểm triệt tiêu nếu và chỉ nếu

nkdxxx k 0,0)( (2.16)

Để xác định cực trị mô-đun với DWT sử dụng hàm wavelet trị phức, điều

kiện cần là phần thực và phần ảo của hàm wavelet trị phức phải thoả điều kiện

có độ lệch hữu hạn ở các tỉ lệ phân rã (đặc biệt là các tỉ lệ nhỏ) trong miền xác

định I cho trƣớc [74], nghĩa là phần thực và phần ảo thoả điều kiện đƣợc tóm tắt

nhƣ sau:

Hai hàm a(x) và b(x) ứng với phần thực và phần ảo của hàm wavelet trị

phức có độ lệch hữu hạn trong miền xác định I cho trước với bất kỳ miền con

Iv (độ dài e), nếu có thể chia làm nhiều nhất M (hữu hạn) miền xác định

32

},,,{ 21 Mvvv (không nhất thiết rời nhau) sao cho hai hàm trên thoả một trong

hai điều kiện sau

o ivxxbxa ),()(

o )(),()( ivxxbxa , ][),()( ivxxbxa . (nghĩa là chỉ bằng nhau ở hai

giá trị biên của mỗi miền xác định, và khác nhau ở những giá trị còn lại).

Nếu wavelet trị phức thoả điều kiện trên, thì có thể xác định đƣợc các điểm

cực trị của dữ liệu thông qua mô-đun của WT với wavelet trị phức tƣơng tự nhƣ

trƣờng hợp wavelet thực.

Các hàm wavelet trị phức sau thƣờng dùng trong các ứng dụng thực tế. Các

hàm này có phần thực và phần ảo thoả mãn yêu cầu trong xác định cực trị mô-

đun.

Cauchy: 21

1

2

1)(

ixx

(2.17)

Morlet: bc fxxfi

b

eef

x2.21

)(

(2.18)

Wavelet Morlet [2] thƣờng đƣợc dùng để phân tích ảnh texture và các tín

hiệu tần số cao. Thật ra, wavelet Morlet không thỏa điều kiện của một

wavelet (vì tích phân khác zero), tuy nhiên với giá trị fb đủ lớn thì tích phân

hàm Morlet đủ nhỏ để dùng cho biến đổi wavelet.

B-Spline phức: xfim

bb

cem

xffx

.2sin)(

(2.19)

Đạo hàm bậc n hàm Gaussian phức:2)1(

)(xi

edx

dx

nn

(2.20)

Đối với ảnh microarray mà chúng tôi dùng trong các thực nghiệm, chỉ

cần dùng đạo hàm bậc nhất hay bậc hai là đủ. Đối với hàm tỉ lệ Gaussian

(2.7), hai wavelet theo hƣớng x và y đƣợc xác định bởi:

33

221 .2

),(),(

yx

exx

yxyx

(2.21)

222 .2

),(),(

yx

eyy

yxyx

Các wavelet Gaussian thực nhƣ trên có thể chuyển thành wavelet trị phức

thông qua biến đổi Hilbert đƣợc xác định bởi:

)()1()( xiHx nn (2.22)

Wavelet giá trị phức có ƣu điểm là mô-đun của nó ít dao động hơn so với

wavelet giá trị thực [11]. Vì vậy, số đƣờng cực trị địa phƣơng sẽ ít hơn và tác

động do nhiễu cũng nhỏ hơn so với phân tích dựa trên wavelet trị thực.

Để tính mô-đun của wavelet trị phức, đặt

)),(*Re()),(,Re(),,(1 yxfyxfsyxfW ss

là phần thực của biến đổi wavelet của f qua wavelet trị phức .

)),(*Im()),(,Im(),,(2 yxfyxfsyxfW ss

là phần ảo của biến đổi wavelet của f qua wavelet trị phức . Khi đó, mô-đun

của biến đổi wavelet trị phức đƣợc xác định theo công thức (2.12).

2.3.3. Xác định cực trị dựa trên biến đổi wavelet

Để xác định cực trị của một điểm ảnh, ta cần so sánh mô-đun của nó với các

điểm ảnh lân cận. Lân cận có thể là lân cận-8 hay lân cận-4 thƣờng dùng trong

xử lý ảnh. Trong trƣờng hợp WTMM, ta có thể sử dụng góc tạo thành bởi phần

thực và phần ảo, cũng nhƣ góc giữa ),,(1 syxfW và ),,(2 syxfW để xác định cực

trị. Cụ thể hơn trong trƣờng hợp sử dụng hàm wavelet trị phức, đặt:

),,(.),,(arg),,( 21 syxfWisyxfWsyxAf (2.23)

Thì giá trị góc đƣợc tính nhƣ sau:

34

0),,(

0),,(),,(

1

1

syxfW

syxfWsyxAf

, với (2.24)

0),,(2

0),,(,),,(

),,(arctan

1

1

1

2

syxfW

syxfWsyxfW

syxfW

(2.25)

Điểm cực trị địa phƣơng là điểm có giá trị mô-đun lớn hơn hai lân cận theo

hƣớng đƣợc xác định bởi Af(x,y,s) đƣợc định nghĩa nhƣ sau.

Định nghĩa: Điểm (x0, y0) = u0 là cực trị địa phương nếu

),(),( 00 suMfsuMf

và ),(),( 00 suMfsuMf

(2.26)

Trong đó vector

thuộc về một trong hai hướng (ngang và dọc) và được xác

định bởi:

)1,0( v

(hướng dọc) nếu )(),()(),( 0000 vh uAfsuAfuAfsuAf

hay )0,1( h

(hướng ngang) trong trường hợp ngược lại.

Ngoài việc sử dụng hai lân cận dọc hoặc ngang nhƣ công thức (2.26), chúng

ta có thể sử dụng so sánh mô-đun của điểm ảnh đang xét và các điểm ảnh lân

cận theo hƣớng khác để quyết định xem đó có phải là cực trị hay không (thƣờng

là các lân cận chéo).

2.3.4. Xác định biên dựa trên wavelet không giảm kích thƣớc mẫu

Nhƣ đã trình bày ở phần trƣớc, việc sử dụng wavelet trị phức thay vì trị thực

cho kết quả ổn định hơn. Tuy nhiên trong nhiều thực nghiệm, việc chỉ sử dụng

wavelet trị phức chƣa thể giải quyết triệt để vấn đề nhiễu. Nguyên nhân chính là

vì mô-đun của hệ số của WT ở cấp j chỉ được xem là cực trị, nếu 4 mô-đun của

hệ số WT ở cấp phân rã 1j tương ứng cũng là cực trị. Từ nhận xét này, chúng

tôi đề nghị thay vì WT, ta sẽ sử dụng biến thể của nó bằng cách giữ nguyên kích

thƣớc mẫu sau mỗi cấp phân rã và đƣợc gọi là wavelet bảo toàn kích thƣớc mẫu

(Undecimated Wavelet Transform – UWT).

35

Rõ ràng dữ liệu của UWT là dƣ thừa, nhƣng lại rất hiệu quả trong bài toán

xác định biên. Do luôn phải xử lý trên dữ liệu có kích thƣớc không đổi, nên tốc

độ là hạn chế của UWT. Thuật giải a trous [41], [54] có thể cải tiến đƣợc tốc độ

thực hiện UWT. Từ đây, chúng tôi sử dụng song song hai thuật ngữ a trous và a

trous wavelet khi đề cập đến phân rã không giảm kích thƣớc mẫu.

Thuật giải a trous sử dụng bộ lọc tần số thấp thay đổi tại mỗi tỉ lệ phân rã và

xác định bởi

02

0

02)(

j

jlj

l l

lh

h (2.27)

Ví dụ: ),,0,,0,,0,,( 2112

)1( hhhhh . Các hệ số tỉ lệ và wavelet tại cấp phân

rã (j+1) đƣợc xác định:

k

kljkljj

lj jchchc2,

)(,1 )*

~( (2.28)

k

kljkljj

lj jcgcgw2,

)(,1 )*~(

Đặc điểm chính là các giá trị zero sẽ đƣợc thêm vào vị trí thích hợp của bộ

lọc tỉ lệ tƣơng ứng với cấp phân rã nhƣ hình 2.2 dƣới đây.

Hình 2.2-Biến đổi wavelet không giảm kích thƣớc mẫu trên dữ liệu một chiều.

Thuật giải a trous UWT có thể mở rộng cho dữ liệu hai chiều với các công

thức sau

36

lkjjj

lkj chhc ,)()(

,,1 )*~~

( (2.29)

lkjjj

lkvj chgw ,)()(

,,,1 )*~~(

lkjjj

lkhj cghw ,)()(

,,,1 )*~~(

lkjjj

lkdj cggw ,)()(

,,,1 )*~~(

Mặt khác, nhằm đơn giản hoá quá trình tính toán, chúng ta có thể sử dụng

biến đổi wavelet đẳng hƣớng bảo toàn kích thƣớc mẫu (Isometric Undecimated

Wavelet Transform - IUWT) [46] dựa trên các bộ lọc có hƣớng, trong đó hàm

phân rã và tổng hợp bằng nhau, nghĩa là gghh ~,~

. Bộ lọc tần số cao ở các

cấp phân rã có thể xác định bởi:

00 1 hg và 0, lhg ll

Trong đó h0 là bộ lọc tần số thấp tại cấp mịn nhất. Ở tỉ lệ thô kế tiếp, gọi

)}({ 1 kc là tích chập của f và hàm tỉ lệ ở tỉ lệ gấp đôi. Giá trị )}()({ 10 kckc chứa

thông tin là hiệu giữa hai tỉ lệ. Hàm wavelet đƣợc xác định bởi

)2

(2

1)()

2(

2

1 xx

x (2.30)

Khoảng lấy mẫu tăng gấp đôi từ cấp )1( i , với i > 0 lên cấp i kế tiếp, và các

hệ số )}({ kci xác định bởi

l

i

ii lkclhkc )2().()( 1

1 (2.31)

Chỉ số l quét trong dữ liệu gốc, hệ số )}({ kh có thể xác định đƣợc từ hàm tỉ

lệ )(x với công thức l

lxlhx

)()()2

(2

1 , và biến đổi wavelet (cũng là hệ số

wavelet) xác định bởi

)()()( 1 kckckw iii (2.32)

37

Mở rộng lên trƣờng hợp hai chiều, các hệ số đƣợc xác định bởi

lkjjj

lkj chhc ,)()(

,,1 )*~~

(

lkjlkjlkhj ccw ,,1,,,,,1 (2.33)

Một số dạng hàm tỉ lệ thƣờng đƣợc dùng cho IUWT, trong đó 1 là hàm B-

Spline bậc 3:

333331 2146142

12

1)( xxxxxx (2.34)

)()(),( 11 yxyx ,

và hàm wavelet đƣợc xác định bởi

)2

,2

(4

1),()

2,

2(

4

1 yxyx

yx (2.35)

Với dữ liệu hai chiều, thuật giải a trous đƣợc thực hiện với mặt nạ 3x3 cho

toán tử chập. Trong trƣờng hợp hàm tỉ lệ tuyến tính với

1,10

1,1||1)(

x

xxx

thì mặt nạ cho bộ lọc tỉ lệ xác định bởi:

16

1

8

1

16

18

1

4

1

8

116

1

8

1

16

1

Áp dụng vào xử lý ảnh, tại cấp phân rã j, tập các hệ số wavelet )},({ lkw j có

cùng kích thuớc ảnh gốc. Nếu sử dụng hàm tỉ lệ B-Spline bậc 3 nhƣ (2.34), mặt

nạ cho bộ lọc tỉ lệ xác định bởi.

256

1

64

1

128

3

64

1

256

164

1

16

1

32

3

16

1

64

1128

3

32

3

64

9

32

3

128

364

1

16

1

32

3

16

1

64

1256

1

64

1

128

3

64

1

256

1

38

Không khó để xây dựng mặt nạ wavelet theo công thức (2.35). Hình 2.3

minh hoạ biến đổi wavelet đẳng hƣớng không giảm kích thƣớc mẫu trên ảnh với

hàm Db3 ở cấp phân rã thứ 5.

(a)-Hình gốc (b)-Hình tái tạo lại từ hệ số của IUWT cấp 5

(Nguồn phòng thí nghiệm tế bào gốc ĐHQG TPHCM)

Hình 2.3-Minh hoạ biến đổi IUWT với thuật giải a trous.

Nhận xét rằng ƣu điểm của phân rã không giảm kích thƣớc mẫu là các cực trị

thực sự không bị mất đi so với wavelet giảm kích thƣớc mẫu. Ngoài ra việc xác

định lời giải hội tụ cũng đơn giản hơn khi chỉ cần so sánh 1-1 các giá trị WTMM

giữa hai cấp phân rã kề nhau, thay vì so sánh 1-4 của WT (hình 2.4) khi xác định

đƣờng cực trị. Mặt khác, tƣơng tự nhƣ WTMM, các điểm nhiễu (các hệ số WT

hoặc UWT có giá trị nhỏ hơn ngƣỡng xác định và bị gán giá trị zero) cũng sẽ bị

loại bớt trong quá trình thô hoá nhƣng không làm triệt tiêu các cực trị.

(a)-Wavelet (b)-UWT

Hình 2.4-Lƣợc đồ xác định đƣờng cực trị theo WT và UWT

39

Giá trị WTMM dựa trên UWT với thuật giải a trous [41] [54] đƣợc thực hiện

tƣơng tự nhƣ cách xác định cực trị dựa trên WT. Trong đó các mô-đun wavelet

rời rạc và cực trị trên ảnh đƣợc xác định dựa trên các công thức (2.12), (2.26).

Tóm lại, điều kiện để một điểm ảnh là điểm biên khi WTMM của nó tồn tại ở

các cấp phân rã. Tuy nhiên, trong thực tiễn cài đặt UWTMM, chúng ta chỉ cần

có nhiều hơn K (với 2/LK , L là số cấp phân rã) tỉ lệ có WTMM tại điểm ảnh

đang xét.

2.4. Thực nghiệm xác định biên trên vi ảnh DNA microarray

Phát hiện spot (vùng tròn) trong ảnh DNA microarray (còn gọi là gene chip hay

DNA chip-hình 2.5) là bƣớc rất quan trọng và đòi hỏi sự chính xác cần cho phân

tích ở các bƣớc kế tiếp.

Hình 2.5-Ảnh microarray chụp các vùng tròn DNA. (nguồn Đại học Nevada).

Một số phƣơng pháp xử lý ảnh dùng để tách vùng tròn là di chuyển hình tròn

đƣờng kính cố định, phân ngƣỡng theo histogram, v.v. Tuy nhiên, các vùng tròn

thƣờng khác nhau về hình dáng và kích thƣớc, vì vậy phƣơng pháp dựa trên di

chuyển hình tròn có kích thƣớc cố định nhằm xác định vùng tròn có nhiều nhƣợc

điểm.

Trong phần này, chúng tôi trình bày các phân tích thực nghiệm việc sử dụng

UWTMM cho bài toán xác định vùng tròn. Kết quả cũng đƣợc so sánh với các

phƣơng dò cạnh phổ biến khác nhƣ Sobel, Canny, Roberts, Prewitt. So sánh đƣợc

40

thực hiện bằng cách tính tổng độ lệch bit giữa ảnh kết quả và ảnh lý tƣởng đƣợc tạo

thủ công. Độ lệch càng nhỏ thể hiện với chất lƣợng xác định biên tốt hơn.

Tập ảnh thực nghiệm trích từ 19 tập ảnh microarray từ các nguồn khác nhau nhƣ

www.microarray.org, www.dsp.utoronto.ca, v.v, mỗi tập chứa từ 3 đến 12 ảnh.

Khảo sát ý nghĩa việc sử dụng wavelet giá trị phức xác định điểm biên

Hình 2.6 minh hoạ sự khác biệt giữa việc sử dụng hàm thực và hàm phức trong

WTMM để xác định điểm biên.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(a) Ảnh gốc. (b)- Db2. (c)- Coiflet. (d)- Gaussian phức ở tỉ lệ s=1.5. (e)- Morlet với

Fb=1.5, Fc=1 ở tỉ lệ s=1.1. (f)-B-Spline phức với M=2, Fb=0.5, Fc=1 ở tỉ lệ s=1.2.

Hình 2.6-Kết quả thực nghiệm dùng WTMM.

Với các wavelet khác nhau thì vị trí của các điểm cực trị cũng khác nhau. Các

thử nghiệm trên ảnh microarray bị nhiễu khá nhiều nhƣng kết quả là các biên vùng

tròn vẫn đƣợc trích đúng. Hình minh hoạ phần nào cho thấy rằng các điểm biên

đƣợc xác định bằng WTMM với wavalet trị phức rõ hơn so với WTMM giá trị thực.

41

Với hàm Gaussian phức, các biên vùng tròn đƣợc trích gần nhƣ khớp với các vùng

tròn trong ảnh gốc. Các vùng tròn khá mờ cũng có thể đƣợc phát hiện. Với thực

nghiệm đƣợc thực hiện sử dụng hàm wavelet Morlet với WTMM, các biên vùng

tròn đƣợc trích lệch về bên trái so với các vùng tròn trong ảnh gốc. Các vùng tròn

mờ đƣợc phát hiện không tốt. Với thực nghiệm trên hàm B-Spline phức, các biên

vùng tròn đƣợc trích lệch về bên phải so với các vùng tròn trong ảnh gốc, các vùng

tròn mờ đƣợc phát hiện không tốt nhƣ wavelet Gaussian nhƣng tốt hơn so với

wavelet Morlet. Với ảnh microarray DNA thì wavelet Gaussian phức cho kết quả

tốt nhất. Các vùng tròn mờ cũng đƣợc phát hiện tốt với wavelet Gaussian.

Khảo sát ý nghĩa việc sử dụng UTWMM xác định điểm biên

Hình 2.7 minh họa một kết quả xác định biên với UWTMM trên ảnh DNA

microarray đã đƣợc thêm nhiễu Gaussian, và so sánh với các phƣơng pháp khác.

Nhận thấy rằng, sử dụng hàm phức với UWTMM cho kết quả tốt hơn so với các

phƣơng pháp dò cạnh phổ biến khác. Bảng 2.2 và biểu đồ trong hình 2.8 cho thấy

sai số của phƣơng pháp UWTMM hầu hết đều thấp hơn so với các phƣơng pháp

Canny, Prewitt, Robert và Sobel.

(a) (b)

(c) (d)

(a) Ảnh gốc. (b)-Canny, (c)-Robert, (d)-UWTMM.

Hình 2.7-Minh hoạ kết quả xác định biên trên ảnh microarray

42

Bảng 2.2-So sánh giữa các phƣơng pháp xác định biên trên ảnh microarray

Canny (%) Prewitt (%) Robert (%) Sobel (%) UWTMM (%)

18.160 18.170 16.770 18.160 17.845

14.115 13.995 14.260 14.015 13.530

14.745 14.755 15.135 14.745 14.745

20.475 20.505 20.450 20.475 20.575

21.115 21.175 19.950 21.115 20.765

16.770 16.760 16.820 16.770 16.385

17.395 19.420 16.710 17.395 17.200

17.430 17.450 16.760 17.430 17.225

15.775 15.770 15.705 15.780 14.620

21.440 21.400 20.680 21.450 19.635

14.875 14.880 14.950 14.890 14.260

14.775 14.775 15.030 14.770 14.185

19.060 19.075 19.045 19.070 18.925

15.945 15.975 15.530 15.925 15.740

12.265 12.265 12.465 12.265 11.915

17.520 17.510 16.540 17.535 16.350

19.325 19.310 19.470 19.350 18.955

19.820 19.805 19.100 19.810 18.985

26.535 26.570 26.495 26.520 26.720

Hình 2.8-Biểu đồ so sánh tỉ lệ lỗi trung bình giữa các phƣơng pháp xác định biên

43

2.5. Tóm tắt

Phƣơng pháp cực trị mô-đun của wavelet dựa trên hàm giá trị thực hay phức

hoàn toàn có thể sử dụng để xác định biên ảnh, đặc biệt là các vùng tròn của ảnh

microarray DNA và các ảnh y khoa có nhiễu. Ƣu điểm của phƣơng pháp là làm việc

hiệu quả trên ảnh nhiễu. Việc sử dụng cực trị mô-đun với wavelet trị phức ổn định

vì số lƣợng đƣờng cực trị ít hơn và ít bị tác động bởi nhiễu so với wavelet thực. Dựa

trên các đặc điểm này, chúng tôi đã vận dụng một biến thể của WTMM gọi là

UWTMM kết hợp với sử dụng wavelet giá trị phức cho bài toán xác định biên dữ

liệu vi ảnh. Kết quả thực nghiệm so sánh cho thấy rằng phƣơng pháp UWTMM với

thuật giải a trous dựa trên hàm thực hay hàm phức phần lớn có kết quả tốt hơn so

với các phƣơng pháp Canny, Sobel, Prewitt, hay Roberts.

Về ý nghĩa thực tiễn ứng dụng của đề tài chúng tôi nhận xét rằng xác định biên

chỉ là một trong các bƣớc quan trọng để lấy đƣợc một lớp thông tin cần cho phân

tích dữ liệu vi ảnh ở các bƣớc tiếp theo nhằm hỗ trợ giải quyết các bài toán thực tế

(nhƣ chẩn đoán chất lƣợng trong quy trình chế tạo wafer, vi mạch, v.v). Về mặt

phƣơng pháp luận, chúng tôi muốn khai thác biến đổi đa phân giải để giải quyết các

vấn đề trong xử lý ảnh. Vì vậy trong chƣơng kế tiếp, chúng tôi đề xuất thuật giải

phân đoạn ảnh và các cải tiến nhằm thực hiện tốt công đoạn tiền xử lý vi ảnh trƣớc

khi chuyển sang thực hiện các bài toán khác.