Chapter 2 JAG 2015

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015

http://slidepdf.com/reader/full/chapter-2-jag-2015 1/113

Chapter 4 Goodwin, Graebe, Salgado©

, Prentice Hall 2000

Capítulo 2

Elementos de la Transformada

de Laplace y la TransformadaZ

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015




Transformadas de Laplace

El estudio de ecuaciones diferenciales del tipodescrito antes es un tema mu importante e

interesante! "e todos los m#todos disponibles para elestudio de ecuaciones diferenciales lineales, el $ueutili%a la &erramienta de la Transformada de Laplacees uno de los m's rele(antes!

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015




"efinici)n de la Transformada deLaplace!

Considere una se*al continua en el tiempo y+t - 0 ≤ t . ∞! El par de la Transformada de Laplace asociado

con y+t se define como

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015




/n resultado cla(e relati(o a la transformada deLaplace de la deri(ada de una funci)n es el siguiente

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015




Tabla !1 Tabla de Trasnformadas de Laplace!

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015




Tabla !2 Propiedades de la Transformada de Laplace.

©

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015




3unciones de Transferencia

Es posible con(ertir una ecuaci)n diferencial en lasigiente ecuaci)n algebr'ica

donde

G+ s se le llama 3unci)n de Transferencia!

Esto puede e4presarse como

sn Y (s) +an 1sn 1 Y (s) +:::+a0 Y(s)

= bn 1sn 1U(s)+:::+b0U(s) +f (s;xo)

- -

--

©

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015




3unciones de Transferencia paramodelos de Estados Continuos!

Si se toma la Transformada de Laplace al modelo deEstado, se llega a

5 por tanto

G+ s es la funci)n de transferencia del Sistema!

©

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015




6 menudo los sistemas físicos presentan un retardoen tiempo entre su entrada su salida! Esto se asociafrecuentemente con el transporte de material de un

punto a otro! Por e7emplo, si se tiene un ductoconectando diferentes partes de la planta, seintroducir' in(ariablemente un retardo!

La funci)n de transferencia de un retardo puro es dela forma +(er Tabla !2

donde Td es el retardo +en segundos! Td depender'

típicamente de la (elocidad de transporte!

©

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015




Ejemplo 4.4 (Sistema de calentamiento). Comoe7emplo simple de un Sistema con retardo en tiempo

puro, considere el Sistema de calentamiento

mostrado abajo.

.

©

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015




La funci)n de transferencia de la entrada +el (olta7eaplicado al elemento de calentamiento a la salida +la

temperature como la (e un termopar esapro4imadamente de la forma

©

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015




8esumen

Las funciones de transferencia describen las

propiedades entrada-salida de sistemas lineales en

forma algebráica

©

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015




EL P89CES9 "E :/EST8E9;<T89"/CC;=<

Como se mencion) anteriormente, en estas notas ser'n presentados los conceptos mas importante del an'lisis síntesis de sistemas de control digital de procesosdin'micos caracteri%ados por mane7ar se*ales de naturale%aanal)gica!

El fen)meno m's importante $ue se presenta en lareali%aci)n de este tipo de sistemas de control es el procesode muestreo! Este consiste fundamentalmente en larepresentaci)n temporal discreta de una se*al ana1)gica, 1o

cual se muestra gr'ficamente en la 3ig 2!1

Ch 4©

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Chapter 4 Goodwin, Graebe, Salgado , Prentice Hall 2000

3ig! 2!1!> Proceso de muestreo +a se*al anal)gica +b se*almuestreada!

Ch t 4 G d i G b S l d©

P i H ll 2000

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015



Puede decirse $ue el proceso de muestreo de una se*ales la transformaci)n de #sta en una sucesi)n de

n?meros, , distribuidos temporalmente en instantes biendefinidos , de manera $ue

<ormalmente, la diferencia es constante se llama período de muestreo !

"os preguntas $ue surgen naturalmente al presentarseeste fen)meno son las siguientes!


P ti H ll 2000

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015



6dem's de 1as diferencias e(identes, en el dominio de1tiempo, entre ambas se*ales @c)mo afecta el muestreo a

las características frecuenciales de una se*alA @Cu'l es e1 (alor m's grande del período de muestreo

$ue garantice la reconstrucci)n de dic&a se*a1- es decirla obtenci)n de a partir de la sucesi)n A

El ob7eti(o de esta secci)n es responder adecuadamente aambas preguntas! Para ello, es necesario introducirformalmente el proceso de muestreo! Su an'1isis re$uierede ciertos conceptos b'sicos de teoría de


P ti H ll 2000

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015



se*ales , $ue ser'n presentados en las primeras secciones!Posteriormente se e4p1icar' propiamente e1 proceso de

muestreo se presentar'n las modificaciones $ue resultanen el espectro frecuencial correspondiente, obteni#ndosede a$uí e1 teorema de S&annon! Por ?ltimo, se abordar' e1

problema de 1a reconstrucci)n física de la se*a1 se

discutir' bre(emente el efecto $ue tiene 1a presencia deruido en e1 proceso de muestreo

Chapter 4 Goodwin Graebe Salgado©

Prentice Hall 2000

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015



SE8;ES "E 39/8;E8 5T86<S398:6"6 "E 39/8;E8

Consid#rese una funci)n peri)dica , de período frecuencia ! puede ser e4presada como 1a serie

+2!1Le e4presi)n +2!1 representa 1a serie de 3ouriertrigonom#trica de en e1 inter(alo Las constantes est'ndadas por


Prentice Hall 2000

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015



+2!2a

+2!2b

+2!2c


Prentice Hall 2000

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015



La funci)n puede ser e4presada tambi#n, de manerae4ponencial, como

+2!Bdonde

+2!


Prentice Hall 2000

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015



9bs#r(ese $ue, en genera1, es un n?mero comp1e7o! Lase4presiones +2!1 +2!B son dos formas distintas de

representar la misma funci)n! Puede (erificarse $ue+2!

Transformada de Fourier.

La transformada de 3ourier de una se*al se define, sie4iste, como la integral

+2!D


Prentice Hall 2000

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015



representa e1 espectro en frecuencia de - es decir, esla representaci)n de en el dominio de la frecuencia!

es, en general, comple7a, por lo $ue puede escribirsecomo

+



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015



La 3unci)n ;mpulso,

La funci)n impulso o delta de "irac, , 7uega un papelmu importante en el an'lisis del proceso de muestreo,

como se (er' m's adelante! Esta funci)n se define comosigue

+F



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015



Propiedad de muestreo de lafunci)n impulso

Consid#rese una funci)n , definida en ! "e acuerdo a +F,el producto de por un impulso da como resultado

6dem's

+

es decir, para obtener la funci)n en , es suficientemultiplicarla por un impulso efectuar 1a integral del

producto



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Chapter 4 , , g ,

Transformada de 3ourier de lafunci)n impulso!

La transformada de 3ourier de una funci)n impulso secalcula, de acuerdo a la definici)n +D a +, como sigue

+10

Esto se representa en la figura 2!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


p , , g ,



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


p g

Teorema del Corrimiento!

El teorema de corrimiento postula $ue el producto de unafunci)n por una e4ponencial de un n?mero puramente

imaginario, , tiene un espectro frecuencial $ue es e1espectro de , , despla%ado a unidades a la derec&a esdecir

+11

La demostraci)n de +11 se reali%a a partir de ladefinici)n de 1a transformada de 3ourier, como sigue



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


p

Este teorema ser' tambi#n ?til en el an'lisis del procesode muestreo, como se (er' m's adelante!

Transformada de Fourier de una Función eriódica.La obtenci)n de la transformada de 3ourier de unafunci)n peri)dica puede lograrse a partir de 1arepresentaci)n de dic&a funci)n en su serie de 3ourier

+12



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


p

La transformada de 3ourier de +12 es

Considerando a&ora la transformada de 3ourier de lafunci)n constante el teorema de corrimiento +11

+1B

Chapter 4 Goodwin, Graebe, Salgado© , Prentice Hall 2000

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


es decir, 1a transformada de 3ourier de una funci)n peri)dica consiste en una serie de impulsos, locali%ados

en modulados por los coeficientes de 3ourier de lase*al !

!escripción del "uestreo.

Consid#rese una se*al anal)gica , presente en la entrada

de un con(ertidor anal)gico>digital! La funci)n de estecon(ertidor es de proporcionar en su salida un n?mero$ue es proporcional a la amplitud de la se*a1 en elinstante de con(ersi)n!


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


El inter(alo de tiempo entre un muestreo el siguiente puede o no ser constante pero en estas notas se

considerar' $ue el muestreo es peri)dico es decir, $ueocurre a cada inter(alo , siendo constante!

El proceso de muestreo puede entonces traducirse comouna modulaci)n de la se*al por una funci)n peri)dica!

"ic&a funci)n peri)dica consiste en un tren de pulsos+3ig! B de amplitud duraci)n El resu1tado es unase*a1 muestreada, , dada por 1a e4presi)n


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


+1


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Espectro de una Se*al:uestreada

La se*al de muestreo, , puede e4presarse por medio de suserie de 3ourier

+1

La se*al muestreada, $ueda entonces como sigue

+1D

La transformada de 3ourier de +1D es

+1


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Considerando el teorema de corrimiento, +1 puedeescribirse como sigue

+1F

El espectro en frecuencia de una se*al muestreada por unase*al peri)dica es 1a suma de los espectros de la se*alcentrados en ponderados por e1 coeficiente ! Si tiene un

espectro +en magnitud como el mostrado en 1a fig! a,tendr' un espectro $ue es 1a suma de 1os espectrosmostrados en 1a fig! b!


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Es e(idente $ue 1a se*a1 muestreada , contiene toda la inforrnaci)n necesaria para reconstruir la se*al original, ! Sinembargo, la recuperaci)n fíe1 del espectro s)lo es posible

si se cump1en 1as tres condiciones siguientesi! $ue la se*al tenga un espectro limitado en frecuencia-

ii! $ue el período de muestreo, , sea lo suficientemente

pe$ue*o para $ue los diferentes espectros fig! + est#ncolocados a una distancia suficiente para $ue no setraslapen-


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


iii! $ue e4ista un filtro con el cual pueda recuperarsefielmente la se*al

Las dos primeras condiciones constituen lo $ue seconoce como teorema de S&annon!


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Teorema de S&annon

Sea una se*al, cuo espectro en frecuencia est' limitado aEntonces podr' ser reconstruída por filtra7e lineal si la

frecuencia de muestreo es, al menos el doble de IEn efecto sea una se*al cuo espectro en frecuencia+magnitud se muestra en la 3ig!


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Cuando es posible, en el caso ideal, recuperar la se*al a partir de lase*al muestreada, , por medio de un filtro con las característicasmostradas en la 3ig!D! Sin embargo, si , los diferentes espectros setras1aparían la se*a1 obtenida estaría deformada con respecto a la

se*al original!


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


En 1a rea1idad, nunca se tienen espectros de banda1imitada ni f i1tros con las características ideales

mostradas en la 3íg! D,! como se (er' m's adelante, por lo$ue siempre e4istir' una distorsi)n de la se*al originalmuestreada!

Estudio de la Función de "uestreo.

La funci)n de muestreo +3ig! B!Bb puede ser e4presada ent#rminos de su serie de 3ourier +ec , +1! puede sercalculada a partir de la e4presi)n +


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


+1

donde es la funci)n +JSamplingK definida como +20

"e acuerdo a la e4presi)n +1F la se*al muestreada porfunci)n de la 3ig! B!Bb tiene un espectro en frecuencia comoel mostrado en 1a 3i g! !


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Cuando la funci)n de muestreo es un tren de impulsos +deltas de"irac, los coeficientes de la serie de 3ourier son constantes e igualesa , por lo $ue 1a transformada de 3ourier de 1a se*al muestreada es

+21


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


5 su espectro se muestra en la 3ig!F!


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


8EC9<ST8/CC;9< "E L6SE6L!

Filtro #deal.

Se &abía mencionado anteriormente $ue una de las

condiciones para recuperar una se*al muestreada es lae4istencia de un filtro con las características mostradas enla fig!


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


La respuesta al impulso de1 filtro mostrado se encuentraaplicando 1a definici)n de la transformada in(ersa de

3ourier +22

Esta e4presi)n corresponde a 1a respuesta de un sistemano causa1, por lo tanto físicamente no reali%able, a $ue se

tiene una respuesta a la e4citaci)n antes de su aplicaci)n!


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


3iltros físicamente reali%ables!los filtros normalmente uti1i%ados para reconstruir unase*al muestreadas son 11amados retenedores! Lareconstrucci)n se basa en lo siguiente

sup)ngase $ue se desea obtener a partir de ! Si es unafunci)n analítica puede desarrollarse en su serie de Ta1oral rededor de , como sigue


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Por otra parte, las deri(adas de pueden apro4imarse comosigue

/n retenedor de orden se obtiene apro4imando la funci)n, para , &asta el >#simo termino de la serie es decir



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Sea una funci)n muestreada $ue se desea reconstruir! Comose mencion), un retenedor de orden cero es un sistema cuasalida, cuando es e4citado con esta funci)n, se define como

sigue



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


+2B

/na representaci)n gr'fica de la salida de estedispositi(o se muestra en la 3ig! 10!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


La funci)n de transferencia de este retenedor puede serobtenida a partir de su respuesta a un impulso $ue se

muestra en 1a 3ig! 11! Esta respuesta puede serdescompuesta en dos se*ales, como se muestra en la 3ig!12! 6 partir de esta figura, se obser(a $ue la funci)n detransferencia de este retenedor es la siguiente

+2



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


El espectro en frecuencia correspondiente se puede encontrar&aciendo ! Este se muestra en la 3ig! 1B!

+2



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Es necesario obser(ar $ue e1 retenedor de orden cero

introduce un desfasamiento $ue crece 1inealmente con 1afrecuencia de manera $ue a frecuencias a1tas puede &aberuna in(ersi)n tota1 de 1a se*al de entrada!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


b 8etenedor de orden 1!

/n retenedor de orden 1 apro4ima la funci)n por la

siguiente e4presi)n

La representaci)n gr'fica de la salida de esteretenedor se muestra en la 3ig! 1!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Es posible reali%ar un an'lisis de este retenedor mostrar$ue su respuesta en frecuencia tiene la forma $ue se indicaen la 3ig! 1!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Si bien un retenedor de orden 1 proporciona unareconstituci)n m's e4acta de la se*al, el retenedor de ordencero se &a repandido de tal manera $ue, en aplicaciones de

control digital, es el $ue se utili%a normalmente!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


:uestreo de una Se*al con 8uido!

Las se*ales pro(enientes de los instrumentos de medici)n

utili%ados en un proceso $ue se desea controlarnormalmente contienen un cierto ni(el de ruido! Estase*al ruidosa puede abarcar una gama de frecuenciasmuc&o maor $ue 1a de1 espectro de 1a se*a1 de

informaci)n! Esto se representa gr'ficamente en la 3ig!1D!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


El muestreo de una se*a1, como se (i) anteriormente, ocasionaun desdoblamiento de su espectro! En este caso el espectroresultante seria como el mostrado en la 3ig!1!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Como se obser(a el muestreo aumenta a1 ni(el de ruido!

Por ello, es recomendable fi1trar 1a se*a1 con un fi1troadecuado antes de proceder a su muestreo, con el ob7eto deno introducir ruido adicional a dic&a se*al!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Transformada en %! "efiniciones

"efinici)n temporal

Consid#rese una se*al muestreada por un muestreador

ideal! La e4presi)n para la se*al muestreada es+2!1

donde es el período de muestreo!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


La transformada de Laplace de tiene la forma

o sea, puesto $ue+2!2

Si se considera la transformaci)n

+2!B



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


La e4presi)n $ueda como sigue

+2!

La transformada en de se define como la sumatoriamostrada en +, o sea, con !

En esta primera forma, aparece como una serie de potencias crecientes de , donde los coeficientes son los

(alores de la funci)n f+t en los instantes de muestreo!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


E7emplo

Sea la funci)n e4ponencial de +2!

+2!Es decir



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Es decir

En el caso particular en $ue

"efinici)n algebraica!

Es posible obtener una e4presi)n para la transformadaen de una funci)n a partir del teorema de in(ersi)ncomple7a del teorema de los residuos!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Sea la funci)n cua transformada se desea obtener!La funci)n muestreada se e4presa como

+2!DSea

+2!

La transformada de Laplace de es, entonces

+2!F



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Sup)ngase $ue

Por el teorema de in(ersi)n comple7a es posible

mostrar $ue +2!

donde c es un numero real llamado abscisa decon(ergencia!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


"e +2!

entonces de +2!

aplicando el teorema de los residuos se llega a lae4presi)n



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Mue puede ser utili%ada para el c'lculo de latransformada en como

+2!10

<9T6



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


C'lculos de 8esiduos

Sea

a Polos simples si tiene polos simples, el residuocorrespondiente a uno de los polos tiene pore4presi)n

+2!11

b Polos :?ltiples Cuando tiene polos m?ltiples, elresiduo correspondiente a uno de esos polos es paraun polo de orden n



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


+2!12

E7emplos

1

a c'lculo de por series de potencias

La transformada in(ersa de es



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


entonces



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


entonces

b C'lculo por el m#todo de los residuos!



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


residuo correspondiente a l polo simple

8esiduo correspondiente al polo doble 0



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


entonces

2 Sea ! Calculemos por el m#todo de los residuos



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


La transformada de Laplace de es

Se tienen polos simples

El c'lculo de los residuos se efect?a de la manerasiguiente



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


La transformada en de es, entonces



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


B Como ?ltimo e7emplo, consideremos la funci)n

La transformada de Laplace de esta funci)n es

s)lo tiene un polo m?ltiple! El residuocorrespondiente es



7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


entonces

<9T6 9bs#r(ese $ue las funciones transformadasen Laplace en son del mismo orden! 6dem's,e4iste una correspondencia entre los polos por medio

de la transformaci)n !



P89P;E"6"ES "E L6

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


En esta secci)n se mencionar'n demostrar'nalgunas propiedades de la transformaci)n en N! Linealidad

Se dice $ue una funci)n f es lineal cuando, paracual$uier par, de n?meros O se cumple $ue

6plicando esta definici)n a la transformada en N deuna funci)n, se tiene

P89P;E"6"ES "E L6T86<S398:6"6 E< N

Chapter 4 Goodwin, Graebe, Salgado

©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


o sea +2!1B

La propiedad de linealidad es la $ue permite la

obtenci)n de la transformada en N de una funci)n pore4pansi)n en fracciones parciales!


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


"espla%amiento en tiempo!

Se demostrar' esta ?ltima e4presi)n!Por definici)n

entonces, multiplicando por desarrollando

la sumatoria se tiene:

+2!1

+2!1


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


o seaTeorema del (alor inicial!

"emostraci)nPor definici)n-Si para cual$uier entero ! Entonces


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


+2!1D

Teorema del valor final.

Si F(Z) no tiene más de un polo en el círculo

unitario y ninguno fuera de él, entonces :

+2!1

"emotraci)n

demás, de acuerdo a la propiedad de adelanto

en el tiempo


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


"#isten otras propiedades de la transformada

en Z !ue pueden ser $tiles en el análisis

síntesis de sistemas de control discretos.

"ntre ellas se tienen las siguientes, de las

cuales no se presentará la demostraci%n:

* &erivaci%n e integraci%n con respecto a un

parámetro

+2!1F

+2!1


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


;<QE8S;9< "E L6T86<S398:6"6 E< N!

eneralmente, las funciones tratadas en estas

notas serán raones de polinomios en . "n

esta secci%n se discutirá la forma de

calcular la secuencia asociada con una ra%nde polinomios dada.

*or division

Sea la funci%n

+ealiando la divisi%n se tendrá entonces un

polinomio en , cuyos coeficientes


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


corresponden a los valores de la funci%n

evaluados en .

"emplo:

"ncontrar la transformada inversa de la

funci%n

&ividiendo el numerador entre el denominador,

se tiene

de donde se o-tiene :


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


de donde, por identificaci)n de t#rminos, se obtiene +2!2B


©


Por la integral de in(ersi)n

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Por la integral de in(ersi)ncomple7a

"s posi-le mostrar !ue, si es la

transformada en de la funci%n , entonces

puede calcularse por medio de la integral

siguiente:

+2!2donde la trayectoria / se escoge de manera

!ue encierre todos los polos de .

"emplo:

"ncontrar la transformada inversa de lafunci%n:


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


tiene dos polos: y 'a transformada inversa es:

"l cálculo de la integral puede realiarse a

partir del teorema de los residuos de la teoría

de varia-le complea.

(suma de residuos de la integral)

(0.01)

o sea:


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Por descomposici)n de

"ntonces:

"n este método se e#pande en fracciones

parciales de forma tal !ue resulte simple

la evaluaci%n de la transformada inversade cada una de dic2as fracciones. 'a

transformada inversa total es la suma de

las transformadas inversas parciales.


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


TE98E:6 "E C9<Q9L/C;9<"l teorema de convoluci%n para sistemas

muestreados proporciona un medio de

calcular la salida de un sistema en los

instantes de muestreo en funci%n de la

entrada aplicada en los mismos instantes.

5onsidérese la figura siguiente:

Fig. 0.6


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


"n la figura se tiene una se7al de entrada

!ue, al ser muestreada, se convierte en la

se7al !ue e#cita a un sistema cuya

respuesta al impulso es . 'a salida del

sistema es cuya transformada de 'aplace

está dada por la e#presi%n:

+2!2D'a salida puede ser calculada a partir

de(0.08) con el teorema de convoluci%n:(0.09)


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


*ero:

"ntonces:

o sea:

(0.0)

"sta e#presi%n constituye el teorema de

convoluci%n para sistemas muestreados.


©


3/<C;9<ES "E T86<S3E8E<C;6 "E

7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


3/<C;9<ES "E T86<S3E8E<C;6 "ES;STE:6S :/EST8E6"9S!

La e4presi)n +2!2D contiene t#rminos en en por lo,$ue no es mu c)moda de emplear!

El an'lisis de este sistema , particularmente el c'lculo de, puede simplificarse si se e(al?a la salida s)lo en losinstantes de muestreo! Para ello, se imagina unmuestreador ficticio $ue se coloca a la salida del sistema

se sincroni%a con el de la entrada defini#ndose unafunci)n de transferencia muestreada entre


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Haci#ndose la sustituci)n , se transforma en funci)nde

Consid#rese el sistema de la 3ig! 2!l! Por definici)n, latransformada en de la salida es

+2!2

6plicando el teorema de con(oluci)n +2!2F a


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


sustituendo en +!2 se llega a la e4presi)n

"efiniendo una (ariable $ueda como $ueda como


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Para sistemas causales ! Entonces

o sea

La transformada en de la salida de un sistema es el producto de la funci)n de transferencia en , , la

transformada en de la se*al de entrada, !


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


E7emplos1 Consid#rese el circuito de la 3ig! 2!2a, donde es un

interruptor ideal $ue se conecta desconectainstant'neamente cada unidades de tiempo, de

manera $ue se genera una se*al como en la figura2!2b! Calcular

3ig! 2!2a 3ig!2!2b


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


Puesto $ue , se re$uiere calcular primero

eR+t es un escal)n unitario muestreado!

Entonces

puede obtenerse comose calcula como sigue


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


2 Para el sistema de la 3ig! 2 !, se calcula comosigue-

3ig! 2!

6l muestrear , la e4presi)n anterior se transforma


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


5 en transformada en $ueda

donde significa la transformada en del producto de !

B La 3ig! 2!, es mu parecida a la 3ig! 2!, s)lo $uese intercala un muestreador entre , a la misma

frecuencia $ue los otros


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


<9T6 9bs#r(ese $ue en general,

En la 3ig! 2!D se muestra un sistema de controlretroalimentado!

3ig! 2!D!


©


7/17/2019 Chapter 2 JAG 2015


6l muestrear la salida

$ue puede e4presarse como

La funci)n de transferencia $ueda entonces comosigue

+2!B0

Chapter 2 JAG 2015

Documents

Transcript of Chapter 2 JAG 2015