chapitre 2 f (ppt)

2 บทท�� การวิเคราะห์�ควิามเร�วิควิามเร�งในกลไก

2-1/57

บทท�� 2 การวิเคราะห์�ควิามเร�วิควิามเร�ง

• บทน�า• การเคล��อนท��เชิงเส้�นของอน�ภาค• การเคล��อนท��เชิงม�ม• การเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์�• วิธ์�วิเคราะห์�ห์าควิามเร�วิและควิามเร�ง• การห์าควิามเร�วิโดยวิธ์�ส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิ

• ควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ของจุ�ดร�วิมบนก�านต่�อแยกจุากก!น•ควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ของจุ�ดส้!มผั!ส้• จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ• ทฤษฎี�ของ Kennedy

• การห์าควิามเร�งด�วิยวิธ์�ส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�ง• ควิามเร�งโครโอรส้


2-2/57

ก�านต่�อท��ประกอบก!นเป2นกลไกจุะถื�อวิ�าเป2นวิ!ต่ถื�เกร�ง และการเคล��อนท��ของกลไกจุะเป2นการเคล��อนท��ในระนาบ 2( มต่)

บทน�า

เวิกเต่อร� (Vector, Vecteur) เป2นปรมาณท��ม�ท! 4งขนาดและทศูทางควิามเร�วิ : อ!ต่ราการเปล��ยนแปลงต่�าแห์น�งของจุ�ดเม��อเท�ยบก!บเวิลาควิามเร�ง : การเปล��ยนแปลงควิามเร�วิของจุ�ดเม��อเท�ยบก!บเวิลาควิามเร�วิเฉล��ย : ค�านวิณจุากชิ�วิงเวิลาท��กวิ�างมาก ห์ร�อ นานมาก ๆควิามเร�วิชิ!�วิขณะ : ค�านวิณจุากชิ�วิงเวิลาท��แคบ ๆ ซึ่8�งเป2นท��ส้นใจุในวิชิาน�4

ควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์� : ควิามเร�วิของอน�ภาคค�านวิณเท�ยบก!บอน�ภาคอ��นท��เคล��อนท��ควิามเร�วิส้!มบ(รณ� : ควิามเร�วิของอน�ภาคเม��อเท�ยบก!บจุ�ดห์ย�ดน�ง


2-3/57

ส้!ญล!กษณ�และการแส้ดง

ส้ามารถืแส้ดงปรมาณต่�าง ๆ ไม�วิ�าจุะเป2นการขจุ!ด ควิามเร�วิ ควิามเร�ง ท!4งเชิงม�มและเชิงเส้�นได�โดยต่รงลงบนร(ปส้!ญล!กษณ�ของกลไกเลย

A

B

O4O2

1

2

3

4vA

aA

vB

aB

23

42

34

ส้!ญล!กษณ�v : ควิามเร�วิเชิงเส้�นa : ควิามเร�งเชิงเส้�น

: ควิามเร�วิเชิงม�ม: ควิามเร�งเชิงม�ม


2-4/57

การเคล��อนท��ของอน�ภาคห์ร�อจุ�ด

ควิามเร�วิเชิงเส้�นของอน�ภาค P, vP ค�ออ!ต่ราการเปล��ยนแปลงต่�าแห์น�งห์ร�อการขจุ!ดของจุ�ดเม��อเท�ยบก!บเวิลาในชิ!�วิขณะห์น8�ง

ชิ�วิงเวิลาส้!4น ๆ จุ�ด P เคล��อนท��ไปท�� P’ ได�การขจุ!ดs

t

sแนวิร!ศูม� แนวิเชิงม�มRR

rRpRs

p rและ

เวิกเต่อร�ห์น8�งห์น�วิยท��ต่!4งฉาก และขนานก!บร!ศูม� R


2-5/57

การเคล��อนท��ของอน�ภาคห์ร�อจุ�ด (ต่�อ)

ควิามเร�วิของอน�ภาค P ห์าได�จุาก)(lim)(lim

00r

t

Rp

t

R

t

sv

ttP

ด!งน!4นdt

dr

rdt

dRpRv rP โดย

ด�วิยวิธ์�การใชิ�ครอส้โปรด!กต่� (Cross product, Produit vectoriel)

rdt

dRRxv rP


2-6/57

rdt

RdrRpRp

dt

dR

pdt

dRr

dt

RdrRpRp

dt

dR

rrr

rrr

2

22

2

22

2

rdt

RdRxxRxp

dt

dRa rrrrp 2

2

)(2

ทศูเวิกเต่อร�ห์น8�งห์น�วิย

ทศูเวิกเต่อร�ห์น8�งห์น�วิยp

r

rr Rdt

dR 2 22

2

rRdt

Rd โดย cross product


ควิามเร�งของอน�ภาค P ห์าได�จุาก)( r

dt

dRpR

dt

da rP


2-7/57

การเคล��อนท��ของอน�ภาคห์ร�อจุ�ด (ต่�อ) เม��อจุ�ดก�าเนดของแกนพัก!ดต่!4งอย(�ท��จุ�ดศู(นย�กลางของการเคล��อนท��แบบแนวิโค�งเราจุะได�วิ�า

2

2

dRd

ddR และ ม�ค�าเท�าก!บศู(นย�ซึ่8�งม�ผัลท�าให์�

dt

dR2

2

dt

Rdและ ม�ค�าเท�าก!บศู(นย�ด�วิย ด!งน!4นควิามเร�วิและควิามเร�งส้ามารถืเข�ยนให์�ร(ปอย�างง�ายได�ค�อ

Rx)Rx(x

Rx

rrrP

rP

a

v

ทศูนอร�ม�อล

แนวิเแทนเจุนต่� Rxr

)Rx(x rr

ควิามเร�งในร(ปให์ม�

rtP

tP

PrPr

nP

rrnP

tP

nPP

Ra

a

R

vvRa

a

aaa

Rx

)Rx(x2

2


2-8/57


ทศูทางของ nPaค�อแนวินอร�ม�อลท��ม�ทศูทางพั� �งเข�าส้(�ศู(นย�กลางของการเคล��อนท��

แบบแนวิโค�ง และ ทศูทางของtPaม�แนวิในทศูทางแทนเจุนต่�ท��ม�ทศูทางใน

การเพั�มควิามเร�วิ


2-9/57

การเคล��อนท��เชิงม�ม

ควิามเร�วิและควิามเร�งเชิงม�มค�ออน�พั!นธ์�อ!นด!บห์น8�งและอ!นด!บส้องของการขจุ!ดเชิงม�ม ของเส้�นห์น8�งท��เคล��อนท��เชิงม�ม เม��อเท�ยบก!บเวิลา

C

A

B

43

2 43

2

ส้!ญล!กษณ� : ควิามเร�วิเชิงม�ม : ควิามเร�งเชิงม�ม

ทางกลศูาส้ต่ร�• จุ�ดห์ร�ออน�ภาคจุะม�การเคล��อนท��เฉพัาะแบบเปล��ยนต่�าแห์น�งเท�าน!4น ไม�ม�การห์ม�น• เส้�นใด ๆ ท��อย(�บนวิ!ต่ถื�เกร�งเด�ยวิก!นจุะม�ควิามเร�วิและควิามเร�งเชิงม�มเท�าก!นก!บ

วิ!ต่ถื�เกร�งและเส้�นอ��น ๆ ท��อย(�บนวิ!ต่ถื�เกร�งน!4น


2-10/57

การเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์� (Relative motion, Mouvement relatif)

การค�านวิณห์าค�าควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์� vP/Q ระห์วิ�างอน�ภาคท!4งส้อง โดยใชิ�ห์ล!กการท��วิ�า การเพั�มควิามเร�วิท��ม�ขนาดเท�าก!นให์�ก!บอน�ภาคท!4งส้อง จุะไม�เปล��ยนแปลงค�าควิามเร�วิ

ส้!มพั!ทธ์�ระห์วิ�างอน�ภาคท!4งส้อง

อน�ภาค P และ Q เคล��อนท��ในระนาบ อ�างองท��อย(�น�ง และม�ควิามเร�วิ vP และ

vQ ต่ามล�าด!บ

โดยการเพั�มค�าควิามเร�วิ vQ ในทศูทางต่รงข�าม

QPQP

QQQPQP

vvv

vvvvv

/

/

PQPQ vvv /

ในท�านองเด�ยวิก!น


2-11/57

การเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์� (ต่�อ)

ควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ก�ใชิ�ห์ล!กการเด�ยวิก!น ค�าควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ของอน�ภาค P เม��อเท�ยบก!บ อน�ภาค Q จุะได� QPQP aaa /

การเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์�เชิงม�มการเคล��อนท��เชิงม�มของเส้�นห์น8�งเม��อเท�ยบก!บเส้�นอ�ก

เส้�นห์น8�งท��เคล��อนท�� ควิามเร�วิเชิงม�มส้!มพั!ทธ์�ระห์วิ�าง ก�านต่�อ2 ก�านต่�อก�ส้ามารถืห์าได�โดยห์ล!กการเด�ยวิก!น

ก!บควิามเร�วิเชิงเส้�นส้!มพั!ทธ์�323/2

323/2

ส้�าห์ร!บควิามเร�งเชิงม�ม


2-12/57

วิธ์�วิเคราะห์�ควิามเร�วิและควิามเร�ง

(ก) การวิเคราะห์�โดยใชิ�คณต่ศูาส้ต่ร�ของเวิกเต่อร�เพั��อห์าค�าควิามเร�วิและควิามเร�งในกลไก ของจุ�ดห์ร�ออน�ภาค เม��อเท�ยบก!บระบบแกนพัก!ดท��ห์ย�ดน�งและเคล��อนท��(ข) การวิเคราะห์�โดยใชิ�ส้มการควิามเร�วิและควิามเร�งส้!มพั!ทธ์� ซึ่8�งห์าค�าต่อบได�โดยวิเคาระห์� โดยต่รง ห์ร�อ โดยทางกราฟิ;คของร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิและควิามเร�ง(ค) การวิเคราะห์�โดยวิธ์�ส้มการห์�วิงป;ดของเวิกเต่อร� (Vector loop closure, Boucle close de vecteur) ซึ่8�งเข�ยนในร(ปแบบของจุ�านวินเชิงซึ่�อน

ขอบเขต่ของวิชิาน�4 : เราจุะกล�าวิถื8งเฉพัาะวิธ์�การในห์!วิข�อ (ข ) และวิธ์�ของการใชิ�จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ เป2นห์ล!กในการแก�ป<ญห์า


2-13/57

การค�านวิณห์าควิามเร�วิโดยวิธ์�ส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมเวิกเต่อร�

• เป2นวิธ์�ท��ผัส้มผัส้านระห์วิ�างการแก�ป<ญห์าทางกราฟิ;ค และ การค�านวิณทางคณต่ศูาส้ต่ร�• ม!กจุะใชิ�ห์าค�าควิามเร�วิและควิามเร�งเชิงเส้�นของท�กอน�ภาคในกลไก• ใชิ�ห์ล!กพั�4นฐานของการเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์�ของอน�ภาคบนกลไกเป2นส้�าค!ญ

ในการวิเคราะห์�กลไกจุะม�เพั�ยงควิามเร�วิส้!มบ(รณ�เพั�ยงค�าเด�ยวิท��เป2นต่!วิทราบค�า และ ควิามเร�วิส้!มบ(รณ�ท��เห์ล�อจุะเป2นส้�งท��ต่�องการห์า ซึ่8�งห์าได�จุากส้มการควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�PQQP vvv /

ในกลไก การเคล��อนท��ของอน�ภาค P และ Q ล�วินข84นต่�อก!นและก!น ซึ่8�งการเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์� ก!นอย�างม�แบบแผันท��แน�นอน ในห์!วิข�อถื!ดไปจุะกล�าวิถื8ง พั�4นฐานของชินดของการเคล��อนท��

ท��แน�นอนเพั��อค�านวิณห์าค�าขนาด แนวิและทศูทาง


2-14/57

ควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ของอน�ภาคบนก�านต่�อร�วิม (Common link, Lien commun)

3

3

QQv

3

Q

3

Q

P

แนวิการเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์� ของจุ�ด P เท�ยบก!บจุ�ด Q

3 rR=PQ

Q

P3 r

R=PQ

แนวิการเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์� ของจุ�ด Q เท�ยบก!บจุ�ด P

3

จุ�ด Q ม�ควิามเร�วิ vQ

และควิามเร�วิเชิงม�ม

3

พัจุารณาค�าต่�าง ๆ เม��อเท�ยบก!บ Q

Q เคล��อนท��แบบ วิงกลมเท�ยบก!บ P

P เคล��อนท��แบบ วิงกลมเท�ยบก!บ Q

vP/Q

vQ/P

ควิามเร�วิของ vP/Q จุะม�แนวิส้!มผั!ส้แทนเจุนต่�ก!บแบบแผันการเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์� ส้�วิน ทศูทาง vP/Q จุะชิ�4ไปต่ามทศูทางการห์ม�นของ

3


2-15/57

1 เข�ยนส้มการควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ท��เก��ยวิข�องก!บควิามเร�วิส้!มบ(รณ�ท��ต่�องการห์าค�าและควิามเร�วิส้!มบ(รณ�ท��ทราบค�า2. ต่รวิจุส้อบรายละเอ�ยดในเร��องขนาดและทศูทางของควิามเร�วิท!4งห์มดของส้มการ

ควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ในข�อ 1. ข�อส้!งเกต่ส้มการควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ท��เล�อกมาจุะม�ต่!วิแปร ห์ร�อส้�วินท��ไม�ทราบอย(�ไม�เกน 2 เท�าน!4น

3. ส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิท��ส้อดข�องก!บส้มการควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ท��ได�ท�าการต่รวิดส้อบแล�วิ โดยร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิท��ได�น!4นจุะเป2นร(ปป;ด

4. ค�าควิามเร�วิต่�าง ๆ ท��ต่�องการห์า ห์าได�จุากการวิ!ดค�าจุากร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิข�อส้!งเกต่ การวิเคราะห์�ด�วิยวิธ์�น�4เราจุะได�ภาพัต่!วิแทนควิามเร�วิ (Image) กล�าวิค�อถื�าก�านต่�อเป2นส้ามเห์ล��ยม ล!กษณะควิามเร�วิของก�านต่�อน!4นจุะเป2นส้ามเห์ล��ยมด�วิย

ข!4นต่อนการห์าควิามเร�วิด�วิยวิธ์�ส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิ


2-16/57

ต่!วิอย�าง

1

2

3

4

A

B

C

D

2

กลไก 4 ก�านต่�อท��ม�ก�านต่�อ 2 เป2นก�านข!บม�ควิามเร�วิเชิงม�มคงท�� 30 rad/s ณ ต่�าแห์น�งด!งร(ป ให์�เข�ยนร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิ และห์าค�าควิามเร�วิ

vB ของจุ�ด B ควิามเร�วิเชิงม�ม 3 และ344 32

1. ส้มการควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ABAB vvv /

2. ต่รวิจุส้อบโดยใชิ�ต่ารางชิ�วิยBv Av ABv /

ขนาดทศูทางห์ร�อแนวิ

XX


2-17/57

ต่!วิอย�าง (ต่�อ)

จุากร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิ เราจุะได�ค�า vB และ vB/A

ด!งน!4น 43 = vB/O4B= vB/A/ABและ2332 และ 4334

ห์าควิามเร�วิท��จุ�ด C ได�จุากส้มการ

ACAC vvv /

BCBC vvv /

ACABCB vvvv // ขนาด

ทศูทางห์ร�อแนวิXX

Ov

vA

แนวิ vB

แนวิ vB/A

A

B

vB/A

vB

Cแนวิ v C/A

แนวิ vC/B

vC/B

vC/AvC


2-18/57

ควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ของจุ�ดร�วิมของก�านต่�อแยกจุากก!น (Separate links, Leins sépérés)

ในห์ลาย ๆ กลไก การเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์�ท��แน�นอนเกดจุากอน�ภาค P บนก�านต่�อห์น8�งท��แบบแผันการเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์�ถื(กบ!งค!บโดยร�องน�าของอ�กก�านต่�อห์น8�ง

อน�ภาค P3 บนก�านต่�อ 3 ม�การเคล��อนท��แบบวิถื�โค�ง ต่ามแนวิร�องน�าของก�านต่�อ 2 เราจุะได�วิ�าร�องน�าจุะเป2น

ต่!วิควิบค�มแผันการเคล��อนท��ของจุ�ด P3 จุ8งเป2นไม�ได� ท�� P3 จุะเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์�เท�ยบก!บ Q2 ในทศูทาง

นอร�ม�อล ด!งน!4นจุะไม�ม�ควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ในทศูทางน�4 ควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์� vP3/Q2 จุะม�ทศูทางส้!มพั!ทธ์�ก!บ

ร�องน�าเท�าน!4น


2-19/57

ต่!วิอย�าง ล(กเบ�4ยวิแบบจุานข!บล(กล�อต่!วิต่ามและต่!วิต่ามห์!วิแห์ลม ล(กเบ�4ยวิห์ม�นทวิน เข�มนาฬิกาด�วิยควิามเร�วิเชิงม�มคงท�� 10 rad/s ต่!วิต่ามท!4งส้องส้!มผั!ส้ก!บล(กเบ�4ยวิต่ลอดเวิลา

ในต่�าแห์น�งด!งร(ป จุงห์าค�าควิามเร�วิ vA4 ของจุ�ด A4 บนต่!วิต่ามล(กกล4งกลม และ vB5

ของต่!วิต่ามห์!วิแห์ลม1. ส้มการควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�

2424 / AAAA vvv

2. ต่รวิจุส้อบโดยใชิ�ต่ารงชิ�วิย

2Av

24 / AAv

4Av

X X24 / AAv

ไม�ทราบขนาดแต่�ทราบแนวิวิ�าอย(�ในแนวิส้!มผั!ส้ก!บล(กเบ�4ยวิท��ต่�าแห์น�งส้!มผั!ส้ทราบท!4งขนาดและทศูทาง

ไม�ทราบขนาดแต่�ทราบแนวิวิ�าต่!4งฉากก!บก�านต่�อ 4

2Av

4Av



2-20/57


OvA2vA2

แนวิ vA4/A2 ส้!มผั!ส้ก!บล(กเบ�4ยวิ แนวิ vA4 ต่!4งฉากก!บก�าน 4

vA4/A2 vA4 แนวิ vB5

เคล��อนท��ต่ามร�อง

แนวิ vB5/B2 ส้!มผั!ส้ก!บล(กเบ�4ยวิ

vB5

v B5/B

2

จุากร(ปห์ลายเล��ยมควิามเร�วิเราจุะได�

24 / AAv4Av และ

ส้�าห์ร!บก�านต่�อ 5 และ 22525 / BBBB vvv

X X

2Bv

5Bv


ต่ารางชิ�วิย

25 / BBv

5Bv

2Bv

25 / BBv

ไม�ทราบขนาดแต่�ทราบแนวิควิามเร�วิวิ�าอย(�ในแนวิของร�องทราบท!4งขนาดและทศูทาง

ไม�ทราบขนาดแต่�ทราบแนวิวิ�าอย(�ในแนวิส้!มผั!ส้ก!บล(กเบ�4ยวิ ณ จุ�ดส้!มผั!ส้


2-21/57

ควิามเร�วิส้!มผั!ส้ของจุ�ดบนชิ4นส้�วิน 2 ชิ4นส้!มผั!ส้ก!นแบบกล4ง

กลไกอ�กประเภทห์น8�งท��ม�แบบแผันการเคล��อนท��ท��แน�นอน เกดข84นเม��อก�านต่�อห์น8�งกล4ง ไปบนก�านต่�อห์น8�ง โดยไม�ม�การล��นไถืล ณ จุ�ดส้!มผั!ส้ ด!งน!4นอน�ภาค ณ จุ�ดส้!มผั!ส้จุะม�

ควิามเร�วิท��เท�าก!นน!�นก�ค�อ vP3 = vP2 และควิามเร�วิส้!มผั!ส้ระห์วิ�างจุ�ดท!4งส้องจุะม�ค�า เท�าก!บศู(นย� (vP3/P2 = 0)


2-22/57

ท!4งส้องพัร�อมท!4ง ห์าค�าควิามเร�วิ vD ของจุ�ด D ด�วิย


A2 3

4

5

6

1

P4

M4

M5

P1

D

vA B

C

ABv /

Av

Bvร( �ท! 4งขนาดและทศูทาง

ไม�ทราบขนาดแต่�ม�แนวิต่!4งฉากก!บ P4B ไม�ทราบขนาดแต่�ม�แนวิต่!4งฉากก!บก�านต่�อ 3 ( เส้�น AB)

1. ส้มการควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ABAB vvv /

2. ต่ารางข�อม(ลควิามเร�วิ

X XAvBv ABv /

ต่!วิอย�าง กลไกห์น8�งประกอบด�วิย 3 แท�งบาร� เฟิ?องต่รง 2 ต่!วิ และเฟิ?องแรค 1 ต่!วิ ให์�ควิามเร�วิ vA ของจุ�ด A เท�าก!บ 100 m/s ในทศูทางท��แส้ดง ให์�ห์าค�าควิามเร�วิเชิงม�ม

54 และของเฟิ?องต่รงท!4งส้องต่!วิ และให์�แส้ดงภาพัแทนควิามเร�วิของเฟิ?องต่รง


2-23/57


Ov

แนวิของ vB ต่!4งฉากก!บ P4B

แนวิข

องv B

/A

ต่! 4งฉา

กก!บ

AB

vA

vB/AvB

A

B

จุากร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิจุะได�

vB

และ

ส้มการควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ห์า vC

BCBC vvv /

2. ต่ารางข�อม(ลควิามเร�วิ

X Xขนาดทศูทางห์ร�อแนวิ

BvCv BCv /

ABv /

Bv

Bvได�ขนาดและทศูทางจุากการห์าคร!4งแรก

ไม�ทราบขนาดแต่�ม�แนวิต่!4งฉากก�านต่�อ 6 ไม�ทราบขนาดแต่�ม�แนวิต่!4งฉากก!บเส้�น BC

แนวิของ vC/B

ต่!4งฉากก!บ BC

แนวิข

องv

c

ต่! 4งฉา

กก!บก

�านต่�อ

6M4,M5

CD

Image gear 4

Image gear 5


2-24/57

จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ (Instantaneous Centers of Velocity)

แนวิคด ณ เวิลาท��ก�าห์นดห์ร�อพัจุารณาจุ�ดท��เกดข84นท��เด�ยวิก!น (จุ�ดร�วิม) ของส้องชิ4นส้�วิน ท��เคล��อนท�� จุะม�ควิามเร�วิส้!มบ(รณ� ท��เท�าก!นเม��อเท�ยบก!บก�านต่�อท��ห์ย�ดน�งห์ร�อพั�4นน�ง และ

ด!งน!4นจุะม�ควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�เป2นศู(นย� ณ ต่�าแห์น�งของท!4งส้องก�าน

ข�อส้!งเกต่ส้�าห์ร!บจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ(ก) จุ�ดร�วิมของท!4งส้องก�าน(ข) จุ�ดท��ท�าให์�ก�านต่�อ2 ก�านต่�อไม�เกดควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์� และ(ค) จุ�ดบนวิ!ต่ถื�ห์น8�งท��ห์ม�นส้!มพั!ทธ์�ก!บอ�กวิ!ต่ถื�ในชิ�วิงเวิลาท��ก�าห์นด

จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะจุะห์าได�ง�าย เม��อก�านต่�อ 2 ก�านท��ท! 4ง 2 เคล��อนท�� ห์ร�อ ก�านห์น8�ง เคล��อนท��และก�านห์น8�งห์ย�ดน�ง โดยก�านต่�อท!4ง 2 ต่�อเข�าด�วิยก!น จุ�ดศู(นย�กลางของข�อต่�อจุะเป2น จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ ในกรณ�ท��ก�านต่�อท!4งส้องไม�ได�ต่�อเข�าด�วิยก!นโดยต่รง จุะศู8กษา

ในห์!วิข�อถื!ดไป


2-25/57

AB

O4O2

1

2

3

4

vA

vB

2

3

4

Ov

3 3 B

AOv

243

จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ (ต่�อ)

ในกลไก 4 ก�านต่�อ จุ�ด O2 และ O4 เป2นจุ�ดบนก�านต่�อ 2 และ 4 ต่ามล�าด!บเท�ยบก!บพั�4นน�ง ซึ่8�งจุ�ดท!4งส้องม�ค�าควิามเร�วิเป2นศู(นย� (จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ)

ส้�าห์ร!บก�านต่�อ 3 จุ�ดท��ท�าให์�ก�านต่�อ3 ม�ควิามเร�วิเป2นศู(นย�ห์าได�โดยอาศู!ยร(ปห์ลายเห์ล��ยม ควิามเร�วิ ( ในเร��องของภาพัแทนของควิามเร�วิ (Velocity image))

ห์ล!กการขยายก�านต่�อ 3 ให์�ให์ญ�ข84นจุนรวิมเอาจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิ Ov

เข�าไปด�วิย ซึ่8�งเท�าก!บวิ�าอน�ภาคท��ม�ควิามเร�วิเท�าก!บศู(นย�ก�จุะถื(กรวิมเข�าไปก!บก�านต่�อ 3 ท��ขยายข84น


2-26/57


ข�อส้!งเกต่ จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะของก�านต่�อ 3 เท�ยบก!บ 1 จุะเปล��ยนแปลงต่�าแห์น�งต่ลอดเวิลา

ข84นอย(�ก!บชิ�วิงเวิลาห์ร�อต่�าแห์น�งก�านต่�อในกลไก

การห์าต่�าแห์น�งจุ�ด Ov ห์ร�อจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะของก�านต่�อ 3 เท�ยบก!บก�านต่�อ 1ห์ร�อพั�4นน�งโดยการส้ร�างส้ามเห์ล��ยมควิามเร�วิเส้ม�อน OvBA บนกลไก ซึ่8�งส้ามเห์ล��ยมควิามเร�วิเส้ม�อนจุะต่!4งฉากก!บส้ามเห์ล��ยมควิามเร�วิ OvBA และส้�งท��ส้�าค!ญส้�าห์ร!บอน�ภาคบนก�านต่�อ 3 ท��จุ�ด A และ B ก�ค�อเวิกเต่อร� vA และ vB ของก�านต่�อ 3 จุะต่!4งฉาก (นอร�ม�อล ) ก!บเส้�นท��ลากมาจุากจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิ Ov ถื8งจุ�ด A และ B


2-27/57

• ในกรณ�ท��ก�านต่�อม�การเคล��อนท��แบบเชิงเส้�นห์ร�อเปล��ยนต่�าแห์น�งอย�างเด�ยวิ ต่!วิอย�างเชิ�นต่!วิเล��อนไถืลห์ร�อล(กส้(บในกลไกข�อเห์วิ��ยง- ต่!วิเล��อนไถืล แนวิของควิามเร�วิของท�กอน�ภาค

บนล(กส้(บจุะอย(�ในแนวิของต่!วิเล��อนไถืล ด!งน!4นจุ�ดศู(นย�กลางชิ!�วิขณะของก�านต่�อท��เคล��อนท�� แบบต่!วิเล��อนไถืลจุะอย(�ท��ระยะอน!นต่� ในทศูทางต่!4งฉากก!บการเคล��อนท�� (นอร�ม�อล)


• ในกลไกท!�วิไป ต่�าแห์น�งของจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะของชิ4นส้�วินท��เคล��อนท��เท�ยบ ก!บพั�4นน�งจุะเป2นจุ�ดท��ห์ามาได�ก�อน ส้�าห์ร!บก�านต่�อ 2 และ 4 จุ�ด O2 และ O4เป2นจุ�ดท��ม�

ควิามเร�วิเป2นศู(นย� ส้�วินก�านต่�อ 3 เฉพัาะแนวิควิามเร�วิของส้องอน�ภาคบนก�านต่�อ ก�เพั�ยง พัอในการห์าจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะของก�านต่�อ 3 โดยลากเส้�นเชิ��อมแนวิควิามเร�วิ

ท!4งส้องในทศูทางนอร�ม�อลมาต่!ดก!นก�จุะได�จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะของก�านต่�อ 3เท�ยบก!บพั�4นน�ง


2-28/57

ส้!ญล!กษณ�ของจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ

AB

O4O2

1

2

3

4

2

3

4

Ov

I12,I21

I23,I32

I14,I41

I34,I43

I13,I31

จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะของก�านต่�อ 3 เท�ยบก!บพั�4นน�ง จุะใชิ�ส้!ญล!กษณ� ค�อ I31 ซึ่8�ง บ�งบอกถื8งการเคล��อนท��ของ 3 ส้!มพั!ทธ์�ก!บ 1 และก�านต่�อ 1 เท�ยบก!บ 3 เม��อพัจุารณา 3 เป2น

พั�4นน�ง I13 ก�ม�จุ�ดศู(นย�กลางเด�ยวิก!นก!บ ก�านต่�อ 3 เท�ยบก!บ 1 ด!งน!4นเราจุะใชิ�ส้!ญล!กษณ�ท��ง�าย ค�อ I13 จุ�ดศู(นย�กลางชิ!�วิขณะของ 2 เท�ยบก!บ 1 เข�ยนได�เป2น I12

จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะของก�านต่�อห์น8�ง ส้!มพั!ทธ์�ก!บก�านต่�ออ��นท��ไม�ใชิ�พั�4นน�ง ค�อต่�าแห์น�ง

ท��ก�านต่�อท!4งส้องม�ควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�เท�าก!บศู(นย� ต่!วิอย�างเชิ�น จุ�ด A ซึ่8�งเป2นจุ�ด I23


2-29/57

ทฤษฎี�ของเคนนด�4 (Kennedy’s theorem, Théorème de Kennedy)

1ก�านต่�อห์ย�ดน�ง2

3

I12

I13

k

C2,C3

D3

E3

A2

B2

vC2vC3vB2

vA2

vE3

vD3

ส้�าห์ร!บวิ!ต่ถื� 3 ชิ4นท��เคล��อนท��อส้ระต่�อก!นในระนาบ จุ�ดศู�นย์�กลางความเร็�วชั่��วขณะ 3 จุ�ดจุะวางร็�วมก�นบนเส้�นตร็งเด�ย์วก�น

ก�านต่�ออส้ระต่�อก!น 3 ก�าน (1,2,3)เคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์�ซึ่8�งก!นและก!น

ต่�าแห์น�งของ I12 ได�มาจุากจุ�ดต่!ดของแนวิต่!4วิฉากห์ร�อนอร�ม�อลของควิามเร�วิส้!มบ(รณ�vA2 และ vB2 ส้�าห์ร!บ I13 ได�มาจุากควิามเร�วิ

ส้!มบ(รณ� vD3 และ vE3

บนเส้�นเชิ��อมระห์วิ�างจุ�ด I12 และ I13 จุะ ปรากฏจุ�ด C ท��ม�ควิามเร�วิส้!มบ(รณ� vC2 บนก�านต่�อ 2 เท�าก!บ vC3 บนก�านต่�อ 3

ซึ่8�งจุ�ด C น�4จุะเป2นจุ�ดศู(นย�กลางชิ!�วิขณะ เน��องจุากควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์� vC2/C3

และ vC3/C2 ม�ค�าเท�าก!บศู(นย�


2-30/57

การห์าจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะโดยทฤษฎี�ของเคนนด�4

ในกลไกท��ประกอบด�วิยก�านต่�อจุ�านวิน n ก�าน ก�านต่�อแต่�ละก�านต่�อส้ามารถืเคล��อนท�� ส้!มพั!ทธ์�ก!บก�านต่�ออ��นได� n-1 (จุ�านวินจุ�ดศู(นย�กลางชิ!�วิขณะ) ส้�าห์ร!บกลไก n ก�านต่�อ

ก�จุะม�จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะท!4งห์มด n(n-1) จุ�ด แต่�เน��องจุากต่�าแห์น�งจุ�ดศู(นย� กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ 1 จุ�ดจุะม� 2 จุ�ดอย(�ร �วิมก!น (ซึ่�4าก!น) ด!งน!4นจุ�านวินจุ�ดศู(นย�กลาง

ควิามเร�วิชิ!�วิขณะท!4งห์มดในกลไกจุะเป2น

2

1)n(nN


2-31/57

วิธ์�การห์าต่�าแห์น�งจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะท!4งห์มดในกลไกค�อ(ก ) ส้ร�างวิงกลมชิ�วิยน!บใด ๆ ท��แบ�งออกเป2นจุ�านวินเท�าก!บจุ�านวินก�านต่�อในกลไก และเข�ยนห์มายเลขก�าก!บส้�วินท��แบ�งไวิ� (ข ) เร�มต่�นจุากต่�าแห์น�งของจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะท��ทราบท!นท�จุากต่�าแห์น�งในร(ปของกลไก จุ�ดศู(นย�กลางชิ!�วิขณะท��ทราบท!นท�น!4นจุะเป2นจุ�ดร�วิมท��ควิามเร�วิส้!มบ(รณ�ห์ร�อส้!มพั!ทธ์�เป2นศู(นย� เชิ�น ท��ข�อต่�อห์ร�อจุ�ดส้!มผั!ส้ต่�าง ๆ และท��ระยะอน!นต่�ส้�าห์ร!บข�อต่�อแบบล��นไถืล อย�าล�มลากเส้�นเชิ��อมระห์วิ�างห์มายเลขก�านต่�อท��แผันผั!งวิงกลมชิ�วิยน!บ (ค ) ในการห์าจุ�ดอ��น ๆ ท��เห์ล�อ จุะใชิ�ทฤษฎี�ของเคนนด�4ห์ร�อแผันผั!งวิงกลมชิ�วิยน!บ โดยจุ�ดท��ต่�องการห์าน!4นจุะเกดจุากการต่!ดก!นระห์วิ�างแนวิต่�อของจุ�ดศู(นย�กลางชิ!�วิขณะท��ร( �ต่�าแห์น�ง โดยจุ�ดท��ต่�องการห์าน!4นจุะเป2นฐานของส้ามเห์ล��ยม 2 ร(ป (ในวิงกลมชิ�วิยน!บ ) และด�าน 4 ด�านท��ประกอบก!นเป2นส้ามเห์ล��ยม 2 ร(ป จุะใชิ�เป2นแนวิของการต่!ดก!นเพั��อให์�ได�จุ�ดให์ม� เม��อได�จุ�ด

ศู(นย�กลางชิ!�วิขณะแล�วิก�ให์�ลากเส้�นเต่�ม ท�าต่�อไปเร��อย ๆ จุนครบจุ�านวิน12

34

512

4

5

3

1

2

4

5

3

(ก) (ข) (ค)


2-32/57

ต่!วิอย�าง ห์าต่�าแห์น�งจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะท!4งห์มดในกลไกวิธ์เวิร�ธ์ ด!งร(ป

จุ�านวินจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะท!4งห์มดม� 6*(6-1)/2 = 15 จุ�ด

1

23

4

4 5

6

I16 ท��อน!นต่�

I56I45

I14

I12

I23

I34 ท��อน!นต่�1

2

3

4

5

6

I24 ได�จุากแนวิของ I23,I34

ต่!ดก!บแนวิของ I12,I14

แนวิ I12,I14

แนวิ I

23 ,I34

I24

I13 ได�จุากแนวิของ I12,I23

ต่!ดก!บแนวิของ I14,I34

I13

แนวิ I

14 ,I34

แนวิ I12,I23


2-33/57

การห์าควิามเร�วิโดยใชิ�จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ

การห์าค�าควิามเร�วิจุากจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะน�4จุะให์�ประโยชิน�จุากทฤษฎี�ของเคนนด�4 ซึ่8�งเป2นวิธ์�ท��ส้ะดวิกและรวิดเร�วิในการห์าค�าควิามเร�วิส้!มบ(รณ�โดยต่รงของท�ก ๆ จุ�ด (อน�ภาค ) ในกลไก โดยเฉพัาะกลไกท��ม�ห์ลาย ๆ ก�านต่�อ โดยไม�จุ�าเป2นต่�องใชิ�ควิามเร�วิต่!วิกลางของอน�ภาคบนก�านต่�อต่�าง ๆ เห์ม�อนในการห์าควิามเร�วิโดยวิธ์�การส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิ แต่�วิธ์�น�4จุะใชิ�เฉพัาะเวิลาขณะน!4นเท�าน!4น

ข!4นต่อนการห์าค�าโดยย�อ1. เล�อกจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิท��จุะใชิ�2. ใชิ�ทฤษฎี�ของเคนนด�4เข�าชิ�วิยในการห์า (จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ 3 จุ�ดอย(�บนเส้�นต่รงเด�ยวิก!น)


2-34/57

การห์าควิามเร�วิโดยใชิ�จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ (ต่�อ)

วิธ์�การห์าจุะใชิ�ต่!วิอย�างมาชิ�วิยในการอธ์บายต่!วิอย�าง ส้�าห์ร!บกลไกวิธ์เวิร�ทด!งร(ป ให์�ห์าค�าควิามเร�วิส้!มบ(รณ� vC ของล(กส้(บ เม��อก�านต่�อ 2

ห์ม�นด�วิยควิามเร�วิด�วิย vA = 30 ft/s ท��แส้ดงในร(ป

1

23

4

4

56

A

B C

vA

ห์ล!งจุากท��ห์าจุ�ดศู(นย�กลางชิ!�วิขณะเป2นท��เร�ยบร�อยแล�วิก�ด�าเนนการเล�อกจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะท��จุะใชิ�ในการห์า


2-35/57

การห์าควิามเร�วิโดยใชิ�จุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะ (ต่�อ)

ห์ล!กการพัจุารณาเล�อกจุ�ดศู(นย�กลางควิามเร�วิชิ!�วิขณะท��ใชิ�ในการห์าก�ค�อ จุ�ดศู(นย�กลาง ชิ!�วิขณะเห์ล�าน!4นจุะต่�องเก��ยวิข�องก!บข�อม(ลท��ทราบค�าห์ร�อให์�มา และข�อม(ลท��ต่�องการห์า และ

จุ�านวินจุ�ดศู(นย�กลางชิ!�วิขณะ 3 จุ�ด จุะถื(กใชิ�ในการห์าค�าควิามเร�วิท��ต่�องการ 1 ค�า

ข�อม(ลท��ทราบค�า ข�อม(ลท��ต่�องการห์าvA vC

ก�านต่�อ2 ก�านต่�อ 3 ก�านต่�อ 5 ก�านต่�อ 6

ก�านต่�อ 1 จุะถื(กเล�อกโดยอ!ต่โนม!ต่

เน��องจุากข�อม(ลท!4งส้องเป2นควิามเร�วิส้!มบ(รณ�

กล��มก�านต่�อ (3 ก�านต่�อ ) ท��เป2นไปได�ม�ท! 4งห์มด 4 กล��ม 1 2 5 1 3 6, ,

I12, I25, I15 I13, I36, I16

1 2 6, ,I12, I26, I16

1 3 5, ,I13, I35, I15


2-36/57

1

A2

3

4

4

56

B C

vA

I35

I13

v’A

P3, P5vP3 = vP5

vC

1 3 5, ,I13, I35, I15

ส้�าห์ร!บกล��ม ท��ใชิ�ในการห์า vCจุะใชิ�ห์ล!กการของส้ามเห์ล��ยมคล�ายI15

จุ�ด I13 และ I15 จุะส้!มพั!ทธ์�ก!บก�านย8ดน�งห์ร�อพั�4นน�งซึ่8�งเร�ยกวิ�า pivot point ส้�วินจุ�ด I35 จุะเป2นจุ�ดบนก�านต่�อ เคล��อนท��จุะเร�ยกวิ�าจุ�ดถื�ายทอด (Transfer point)

เร�มจุากการห์ม�นควิามเร�วิ vA โดยใชิ�จุ�ด I13 เป2น จุ�ดห์ม�นเข�าส้(�เส้�นต่รงท��เชิ��อมระห์วิ�างจุ�ด IC ท!4ง 3

เพั��อใชิ�ส้ร�างส้ามเห์ล��ยมคล�ายท��ใชิ�ในการห์าควิามเร�วิ ของอน�ภาค P ต่รงจุ�ด I35 ซึ่8�งเป2นต่�าแห์น�งร�วิมของ

อน�ภาค P3 บนก�านต่�อ 3 และ P5 บนก�านต่�อ 5 ณ ต่�าแห์น�งด!งกล�าวิควิามเร�วิส้!มบ(รณ� vP3 = vP5 เน��อง

จุากท!4งจุ�ด P5 และ C เป2นจุ�ดบนก�านต่�อ 5 ควิามเร�วิ ส้!มบ(รณ� vC ห์าได�จุากการใชิ�ส้ามเห์ล��ยมคล�ายเชิ�นก!น

เพั��อส้ร�างควิามเร�วิท��จุ�ดร�วิมของก�านต่�อ ส้!มพั!ทธ์�ก!น (vP3, vP5)

โดยการเห์วิ��ยงควิามเร�วิ vP5 เข�าส้(�แนวิของจุ�ดI15 และ C โดยใชิ�จุ�ดของ I15 เป2นศู(นย�กลางของการเห์วิ��ยง


2-37/57

1

23

4

4 5

6

I12

I24

Q2,Q4

I16 ท��อน!นต่�

A

B C

v’A

vQ2 = vQ6 = vC

vC = vQ6

เร�มต่�นโดยการเห์วิ��ยง vA เข�าส้(�แนวิของ ICท!4ง 3 โดยใชิ�จุ�ด I12 เป2นจุ�ดห์ม�นและห์าค�าควิามเร�วิถื�ายทอดท��จุ�ด I26 (จุ�ดถื�ายทอด)ด�วิยส้ามเห์ล��ยมคล�าย จุ�ด I26 เป2นจุ�ดร�วิมท��ควิามเร�วิส้!มบ(รณ�ของ Q2 บนก�านต่�อ 2เท�าก!บควิามเร�วิส้!มบ(รณ� Q6 บนก�านต่�อ 6เน��องจุากจุ�ดน�า I16 อย(�ท��ระยะอน!นต่�และก�านต่�อ 6 น!4นเคล��อนท��แบบเปล��ยนต่�าแห์น�งห์ร�อเชิงเส้�นเท�าน!4นเม��อเท�ยบก!บก�านต่�อ 1ด!งน!4นท�าให์�ควิามเร�วิ vC ม�ขนาดและทศูทางเด�ยวิก!บ Q

2 และ Q6

1 2 6, ,I12, I26, I16

ส้�าห์ร!บกล��ม


2-38/57

การวิเคราะห์�ควิามเร�งด�วิยวิธ์�ร(ปห์ลายเห์ล��ยมเวิกเต่อร�

QPQP aaa /

เห์ม�อนในห์!วิข�อของควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์� ควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�QPa / จุะข84นอย(�ก!บชินดของค(�ต่�อท��ท�าให์�เกดแบบแผันการเคล��อนท��

ห์ล!กการท��ใชิ�ก�เชิ�นเด�ยวิก!นก!บห์ล!กการท��ใชิ�ในการห์าควิามเร�วิของอน�ภาคบนกลไก โดย วิธ์�ส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�งและ Image ของควิามเร�ง และส้�งส้�าค!ญท��ขาดไม�ได�ก�ค�อ

ควิามร( �ควิามเข�าใจุในเร��องควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ระห์วิ�างค(�ของอน�ภาคบนกลไกท��เคล��อนท�� ส้!มพั!ทธ์�ก!น

ควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ระห์วิ�างอน�ภาคในกลไก

ถื�าควิามเร�ง aQ ของอน�ภาค Q เป2นค�าท��ทราบ ควิามเร�งของอน�ภาคอ��น aP ส้ามารถืห์าค�าได� โดยเพั�มควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ระห์วิ�างอน�ภาคท!4งส้อง aP/Q ได�ด!งน�4ค�อ


2-39/57

ควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ของอน�ภาคบนก�านต่�อร�วิมเด�ยวิก!น

3

Q

P

แนวิการเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์� ของจุ�ด P เท�ยบก!บจุ�ด Q

3 rR=PQ

Q

P3 r

R=PQ

แนวิการเคล��อนท��ส้!มพั!ทธ์� ของจุ�ด Q เท�ยบก!บจุ�ด P

vP/Q

vQ/P3 r

3 r

เม��ออน�ภาค P และ Q อย(�บนก�านต่�อแข�งเกร�งเด�ยวิก!น อน�ภาค P เคล��อนท��แบบวิงกลม ส้!มพั!ทธ์�ก!บอน�ภาค Q ท��ม�การเคล��อนท��ส้!มบ(รณ�เชิงเส้�นท��จุ�ด Q ด�วิยระยะ PQ คงท��

เน��องจุากแผันการเคล��อนท��เป2นแบบวิงกลม0

dt

dR เวิกเต่อร�ควิามเร�ง aP/Q ส้ามารถื

แส้ดงได�ด�วิยเวิกเต่อร�ประกอบในแนวินอร�ม�อลan

P/Q และในแนวิส้!มผั!ส้ก!บการเคล��อนท�� atP/Q

ควิามเร�วิและควิามเร�งเชิงม�มของร!ศูม�การเคล��อนท��แนงโค�ง rr และ จุะม�ค�าเด�ยวิก!บค�าควิาม

ควิามเร�วิและควิามเร�งส้!มบ(รณ�ของก�านต่�อ3 3และ

ขนาดของ anP/Q ม�ค�าด!งน�4

23/ )( PQa n QP

ขนาดของ atP/Q ม�ค�าด!งน�4

3/ )( PQa t QP


2-40/57

ข!4นต่อนการห์าควิามเร�งด�วิยวิธ์�ส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�ง

1. ท�าการห์าค�าควิามเร�วิของอน�ภาคต่�าง ๆ ท��จุ�าเป2นห์ร�อท��ต่�องการด!งท��เคยท�ามาแล�วิในห์!วิข�อการห์าควิามเร�วิของอน�ภาคบนกลไก2. เข�ยนส้มการควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ท��เก��ยวิข�องก!บควิามเร�งส้!มบ(รณ�ท��ต่�องการห์าค�าและควิามเร�งส้!มบ(รณ�ท��ทราบค�า3. ต่รวิจุส้อบรายละเอ�ยดในเร��องขนาดและทศูทางของควิามเร�งท!4งห์มดของส้มการ

ควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ในข�อ 2. ข�อส้!งเกต่ส้มการควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ท��เล�อกมาจุะม�ต่!วิแปร ห์ร�อส้�วินท��ไม�ทราบอย(�ไม�เกน 2 เท�าน!4น

4. ส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�งท��ส้อดคล�องก!บส้มการควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ท��ได�ท�าการ ต่รวิดส้อบแล�วิ โดยร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�งท��ได�น!4นจุะเป2นร(ปป;ด

5. ค�าควิามเร�งต่�าง ๆ ท��ต่�องการห์า ห์าได�จุากการวิ!ดค�าจุากร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�งข!4นต่อนการห์าค�าควิามเร�งจุะเห์ม�อนก!บการห์าควิามเร�วิเพั�ยงแต่�ท�าเพั�มเต่มและต่�อจุากการห์าควิามเร�วิ


2-41/57

ต่!วิอย�าง กลไกด!งร(ป ก�านต่�อ 2 ห์ม�นด�วิยควิามเร�วิเชิงม�ม 30 rad/s และควิามเร�งเชิงม�ม240 rad/s2 ในทศูทางด!งร(ป ห์าค�าควิามเร�งของจุ�ด B และ C (aB, aC) ควิามเร�งเชิงม�ม 3 4และควิามเร�งเชิงม�มส้!มพั!ทธ์�34

ก�อนที่��จุะเร็!�มหาความเร็�งจุ#าเป็%นต�องด#าเน!นการ็หาความเร็�วของอน�ภาคที่��จุ#าเป็%นบนกลไกเส้�ย์ก�อน

1 ส้มการควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�

O2

1

O4

A

B

C

3

2

22 ABAB vvv /

2. ต่รวิจุส้อบโดยใชิ�ต่ารงชิ�วิย Bv

Av

ABv /


XX

Bv

Av ABv /

ขนาดไม�ทราบแต่�ร( �แนวิวิ�าต่!4งฉากก!บ O4B ทราบท!4งขนาดและทศูทางซึ่8�งต่!4งฉากก!บ O2A

ไม�ทราบขนาดแต่�ร( �แนวิวิ�าต่!4งฉากก!บ AB


2-42/57


แน

วิ vB/

A

ต่! 4งฉา

กAB

แนวิ vB ต่!4งฉากก!บ O4B

vA

vB

vB/A

แนวิ vC/A ต่!4งฉากก!บ AC

แนวิ vC/B

ต่! 4งฉากก!บ BC

จุากร(ปห์ลายเห์ล��ยมจุะได�vC/B และ vC/A

การห์าควิามเร�วิของอน�ภาค C

AcAc vvv / BcBc vvv /

BcBACA vvvv //

ขนาดแนวิห์ร�อทศูทาง

X X

Bcv /

ACv / ไม�ทราบขนาดแต่�ทราบแนวิวิ�าต่!4งฉากก!บ AC

ไม�ทราบขนาดแต่�ทราบแนวิวิ�าต่!4งฉากก!บ BC

จุากร(ปห์ลายเห์ล��ยมจุะได�vB และ vB/A


2-43/57

ต่!วิอย�าง (ต่�อ) ส้�าห์ร!บการห์าควิามเร�ง ณ จุ�ดต่�าง ๆ ส้มการควิามเร�งส้!มพั!ทธ์� ค�อ

QPQP aaa /tAB

nAB

tA

nA

tB

nB aaaaaa //


XX

nABa /

tAa

nAa

tBa

nBa

tABa /

ขนาด = v2B/O4B ทศูทางจุาก B พั� �งเข�าห์า O4

ไม�ทราบขนาดแต่�ทราบแนวิวิ�าต่!4งฉากก!บ anB

ไม�ทราบขนาดแต่�ทราบแนวิวิ�าต่!4งฉากก!บ anB/A

ขนาด = )( 222 AO ทศูทางจุากจุ�ด A พั� �งเข�าห์า O2

ขนาด = 2(O2A) ทศูทางต่!4งฉากก!บ O2A ต่าม2

ขนาด = )(23

2/ AB

AB

v AB ทศูทางจุากจุ�ด B พั� �งเข�าห์า A

ส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�งจุะได�

atB และ at

B/A


2-44/57

เชิ�นเด�ยวิก!บการห์าควิามเร�วิ ควิามเร�งของจุ�ด C ได�จุากACAC aaa / BCBC aaa /

tAC

nAC

tA

nA

tBC

nBC

tB

nB aaaaaaaa ////


A

B

OaC

แนวิ atB

ต่!4งฉากก!บ anB

แน

วิ at B/A

ต่!4งฉา

กก!บ

AB

แน

วิat

C/A

ต่! 4ง

ฉากก

!บA

C

แนวิ atC/B

ต่! 4งฉาก

ก!บ CB anAat

A

an

C/A

anB

anC/B


x x

tACa /

nACa /

tBCa /

nBCa / ขนาด = )(23

2/ BC

BC

v Bc

)(23

2/ ACAC

v Ac

ทศูจุากจุ�ด C พั� �งเข�าห์า B

ขนาดไม�ทราบแต่�ทราบแนวิต่!4งฉากก!บ BC

ขนาดไม�ทราบแต่�ทราบแนวิต่!4งฉากก!บ AC

ขนาด = ทศูจุากจุ�ด C พั� �งเข�าห์า A


2-45/57

ควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ของอน�ภาคร�วิมบนก�านต่�อแยกจุากก!น , ควิามเร�งโครโอรส้

1

4

3

2

A2,A3,A4

22

กลไกห์น8�งท��ม�การล��นไถืลส้!มพั!ทธ์�ระห์วิ�างส้องก�านต่�อ เชิ�น ก�านต่�อ 3 และ 4 ในร(ป ซึ่8�งค�าท��ต่�องการค�อ 4 4และ โดยท�� 2

2และเป2นค�าท��ทราบค�าห์ร�อให์�มา ในกลไกน�4 จุ�ด A2 และ A3 เป2นจุ�ดเด�ยวิก!น และจุ�ด A4

ก�ค�อแนวิการเคล��อนท��ของก�านต่�อ 4

ส้มการควิามเร�วิของจุ�ด A4 ส้ามารถืเข�ยนได�ด!งน�4

2424 / AAAA vvv

ในส้มการน�4 ควิามเร�วิ vA2 เป2นค�าท��ทราบท!4งขนาดและ ทศูทาง และ vA4 และ vA4/A2 เป2นค�าท��ทราบเฉพัาะแนวิ ด!งน!4น vA4 ส้ามารถืห์าได�โดยง�าย

โดยการส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิ และ 4 ก�ห์าได�จุาก vA4


2-46/57

ควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ของอน�ภาคร�วิมบนก�านต่�อแยกจุากก!น , ควิามเร�งโครโอรส้ (ต่�อ)

ควิามเร�งของอน�ภาค A4 ส้ามารถืค�านวิณได�จุากส้มการด!งน�42424 / AAAA aaa

2424242244 /// AAtAA

nAA

tA

nA

tA

nA vxaaaaaa 22

และส้มการข�างต่�นน�4ย!งส้ามารถืกระจุายแต่�ละส้�วินประกอบด!งต่�อไปน�4

ควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ระห์วิ�างส้องจุ�ดท��เคล��อนท��ไปพัร�อมก!น จุ�าเป2นต่�องเพั�มส้�วินประกอบท��ส้าม ซึ่8�งเร�ยกวิ�าส้�วินประกอบโครโอรส้ (Coriolis): ซึ่8�งแนวิขององค�ประกอบน�4

จุะอย(�ในแนวิต่!4งฉาก (นอร�ม�อล) ก!บแผันการเคล��อนท��ของ24 /22 AAvxnAAa 24 /


2-47/57


nAAa 24 /

ถื�าพัจุารณาขนาดของควิามเร�งเราส้ามารถืใชิ�ส้มการR

va

AAnAA

24

24

/

/

โดยท�� R ค�อร!ศูม�ควิามโค�งของแนวิทางการเคล��อนท��ของจุ�ด A4 เท�ยบก!บจุ�ด A2 ซึ่8�งขนาด ของ R ม�ขนาดไม�คงท��และห์าไม�ได�ง�ายน!ก ด!งน!4นจุ8งม�ควิามจุ�าเป2นจุะต่�องจุ!ดเปล��ยนร(ป

ส้มการควิามเร�งให์ม�เพั��อให์�การวิเคราะห์�ง�ายข84น ค�อ4242424422 /// AA

tAA

nAA

tA

nA

tA

nA vxaaaaaa 42

จุะเห์�นได�วิ�าการเคล��อนท��ของ A2 เท�ยบก!บก�านต่�อ 4 จุะ เป2นเส้�นต่รง จุ8งท�าให์�ร!ศูม�ควิามโค�ง R ม�ค�าเป2นอน!นต่�

ด!งน!4น nAAa 42 /จุะม�ค�าเท�าก!บศู(นย�


2-48/57

R

C

3

4

2O2

O4

1

A2,A422

แผันการเคล��อนท�� A2 เท�ยบก!บ A4 จุะเป2นแนวิโค�งท��ทราบค�าร!ศูม�และจุ�ดศู(นย�กลาง

ของแนวิโค�ง ขนาดของnAAa 42 /

nAAa 42 /

nAAa 42 /

จุะไม� เท�าก!บศู(นย�อ�กต่�อไป และเวิกเต่อร�ของ

ควิามเร�งน�4จุะม�ทศูทางจุากจุ�ด A2 ไปย!ง จุ�ดศู(นย�กลาง C

ควิามเร�ง Coriolis จุะม�แนวิเด�ยวิก!นก!บ

nAAa 42 /

nAAa 42 /ทศูทางอาจุจุะเห์ม�อนห์ร�อต่�างก!นก�ได�

ซึ่8�งควิามเร�งน�4จุะม�ทศูทางเด�ยวิก!บ42 / AAv ห์ม�นไป 90° ในทศูทางของ 4

42 /42 AAvx42 / AAv

4 90°



2-49/57

ต่!วิอย�าง กลไกข�อเห์วิ��ยงแท�งเล��อนด!งแส้ดง ก�านต่�อ 2 ห์ม�นด�วิยควิามเร�วิเชิงม�มคงท�� เท�าก!บ 10 rad/s ให์�ห์าค�าควิามเร�ง aA4 ของจุ�ด A4 บนก�านต่�อ 4 และควิามเร�ง เชิงม�ม 4 1. จุากส้มการควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�

2424 / AAAA vvv

2. ต่ารางต่รวิจุส้อบข�อม(ล

24 / AAv

2Av

4Av


X X

4Av

2Av

24 / AAv

ไม�ทราบขนาดแต่�ร( �แนวิวิ�าต่!4งฉากก!บ O4A4

ไม�ทราบขนาดแต่�ทราบแนวิซึ่8�งขนานก!บก�านต่�อ 4

A2,A3,A4 12

3

4

2= 10 rad/s

B

)( 222 AO ขนาด = ทศูทางต่!4งฉากก!บ O2A2

ร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิ

2Av

แนวิ

vA4/A

2

ต่ามก�านต่�อ4

แนวิ v A4

ต่! 4งฉากก!บ O 4A 4

4Av

vA4/

A2


2-50/57

ต่!วิอย�าง (ต่�อ)ส้มการควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�

4242 / AAAA aaa

ต่ารางข�อม(ล4242424422 /4// 2 AA

tAA

nAA

tA

nA

tA

nA vxaaaaaa


xx

tAAa 42 /

nAAa 42 /

tAa 2

nAa 2

tAa 4

nAa 4

42 /4 *2 AAv

)( 4424 AO

ทศูทางจุากจุ�ด A2 พั� �งเข�าห์า O2

ขนาดไม�ทราบส้�วินทศูทางต่!4งฉากก!บ O4A4

)( 2222 AO

ทศูทางจุากจุ�ด A4 พั� �งเข�าห์า O4

0= )0(

)(02/ 42 RR

v AA

ขนาดไม�ทราบแต่�ทราบแนวิวิ�าขนานก!บก�านต่�อ 4 ขนาด =

42 /42 AAvx

ทศูทางต่!4งฉากก!บ42 / AAv

Oa

anA2

42 /42 AAvx

anA4

แนวิ at

A4

atA4

แนวิ at

A4/A

2

atA4/A2

ร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�ง


2-51/57

ต่!วิอย�าง bis กลไกท��แส้ดงด!งร(ป ก�านต่�อ 2 ข!บก�านต่�อ 3 ด�วิยห์ม�ดท��จุ�ด B ก�านต่�อ 2 ห์ม�นด�วิยควิามเร�วิเชิงม�มคงท��เท�าก!บ 50 rad/s ห์าค�าควิามเร�ง aB3 ของจุ�ด B3

บนก�านต่�อ 3 และควิามเร�วิเชิงม�ม 3ส้มการควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�

2323 / BBBB vvv


X X

23 / BBv

3Bv ขนาดไม�ทราบแต่�ทราบแนวิวิ�าต่!4งฉากก!บ O3B3

ทศูทางต่!4งฉาก O2B2

ขนาดไม�ทราบแต่�ม�แนวิส้!มผั!ส้ก!บร�องของก�านต่�อ 3

)( 222 BO

ร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิ

2Bv3B

v

แนวิ vB3/B2

23 / BBv

2Bv

แนวิvB3


2-52/57

ต่!วิอย�าง bis (ต่�อ)ส้มการควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�3232 /BBBB aaa

3232323322 /3// 2 BBtBB

nBB

tB

nB

tB

nB vXaaaaaa

ต่ารางข�อม(ล


X X

32 /BBv

tBBa 23 /

nBBa 32 /

tBa 2

nBa 2

tBa 3

nBa 3 ทศูทางจุากจุ�ด B3 พั� �งเข�าห์า O3

ขนาดไม�ทราบแต่�ร( �แนวิวิ�าต่!4งฉากก!บ O3B3

ทศูทางจุากจุ�ด B2 พั� �งเข�าห์า O2

ทศูทางจุากจุ�ด B2 พั� �งเข�าห์า C

ขนาดไม�ทราบแต่�ม�แนวิต่!4งฉากก!บ ขนาด =

32 /32 BBvX

ทศูต่!4งฉากก!บ32 /3 *2 BBv

nBBa 32 /

)( 3323 BO

)( 2222 BO

)0(0

2

2/ 32

CB

v BB

OanBa 2

nBBa 32 /

32 /32 BBvX

แนวิ atB3/B2

แนวิ

at

B3

tBa 3

tBBa 32 /

ร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�ง

nBa 3


2-53/57

23

P3P2

anP3an

P2

atP3at

P2

atP3/P2= 0

233

2

vP3/P2 ของอน�ภาคร�วิมม�ค�าเท�าก!บศู(นย� และควิามเร�วิ ส้!มบ(รณ� vP3 และ vP2 ม�ค�าเท�าก!น

ส้�าห์ร!บควิามเร�ง aP3/P2

anP3/P2 at

P3

/P2 ควิามแต่กต่�างระห์วิ�าง anP3

และ anP2 แต่�ท!4งส้องเวิกเต่อร�

อย(�ในแนวิเด�ยวิก!นแต่�ทศูต่รงข�าม ด!งน!4น an

P3/P2 = |anP3|+|an

P2|

กลไกอ�กชินดห์น8�งท��ส้�าค!ญท��ม�แบบแผันการเคล��อนท��ท��แน�นอน ก�ค�อ ก�านต่�อห์น8�งห์ม�นกล4งไปบนอ�กก�านต่�อห์น8�ง โดยไม�เกดการล��นไถืลส้!มพั!ทธ์�ของส้องพั�4นท�� ณ จุ�ดส้!มผั!ส้ เชิ�น เฟิ?อง2 ต่!วิขบก!น ด!งท��เคยกล�าวิมาแล�วิในเร��องควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์� ซึ่8�งควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์�ท��จุ�ดส้!มผั!ส้

ควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�ของอน�ภาคร�วิมท��จุ�ดส้!มผั!ส้ของชิ4นส้�วินห์ม�นกล4ง

เน��องจุากไม�ม�การล��นไถืลเกดข84น ท�าให์� at

P2=at P3 ด!งน!4น

atP3/P2 = 0


2-54/57

O4

AO2

13

2

B

P2,P3

2 vA

vB

vB/A

vP2/AP2,P3

AB

แนวิ

vB

vP2

แนวิ vP2

แนวิ v

B/A

และ vP2/A

Ov

Image Gear 2

ร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�วิและ Images

ต่ารางข�อม(ลABAB vvv / ABv /

AvBv


x xBv Av ขนาดไม�ทราบแต่�ม�แนวิต่!4งฉากก!บ O4B

)( 22 AO ทศูทางต่!4งฉากก!บ O2A

ขนาดไม�ทราบแต่�ม�แนวิต่!4งฉากก!บ ABABv /

ต่!วิอย�าง ในกลไกท��แส้ดงด!งร(ป เฟิ?อง 2 ห์ม�นรอบ O2 ด�วิยควิามเร�วิเชิงม�มคงท��เท�าก!บ10 rad/s และเฟิ?อง 3 ห์ม�นกล4งไปบนเฟิ?อง 2 ให์�ค�านวิณห์าค�าควิามเร�ง aP3 ของ

จุ�ด P3 บนเฟิ?อง 3 และ Image ของควิามเร�วิและควิามเร�งของเฟิ?อง 2 และเฟิ?อง 3

Image Gear 3


2-55/57

ต่!วิอย�าง (ต่�อ)ส้มการควิามเร�วิส้!มพั!ทธ์� ต่ารางข�อม(ล

APAP vvv /22

APv /2

Av2Pv


x x2Pv Av ขนาดไม�ทราบแต่�ม�แนวิต่!4งฉากก!บ O2P2

)( 22 AO ทศูทางต่!4งฉากก!บ O2A

ขนาดไม�ทราบแต่�ม�แนวิต่!4งฉากก!บ AP2

APv /2

ห์าควิามเร�วิของจุ�ด P2

ห์าควิามเร�ง aB โดยส้มการควิามเร�งส้!มพั!ทธ์�tAB

nAB

tA

nA

tB

nB aaaaaa //


XX

nABa /

tAa

nAa

tBa

nBa

tABa /

ขนาด = v2B/O4B ทศูทางจุาก B พั� �งเข�าห์า O4

ไม�ทราบขนาดแต่�ทราบแนวิวิ�าต่!4งฉากก!บ anB

ไม�ทราบขนาดแต่�ทราบแนวิวิ�าต่!4งฉากก!บ anB/A

ขนาด = )( 222 AO ทศูทางจุากจุ�ด A พั� �งเข�าห์า O2

ขนาด = 0, 02 ขนาด = )(23

2/ AB

AB

v AB ทศูทางจุากจุ�ด B พั� �งเข�าห์า A

ส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�งจุะได�

atB และ at

B/A


2-56/57

ต่!วิอย�าง (ต่�อ) ส้�าห์ร!บควิามเร�งท��จุ�ด P2จุะใชิ�ส้มการtAP

nAP

tA

nAP aaaaa // 222

ขนาด

แนวิห์ร�อทศูทางXX

tAPa /2

nAPa /2

2Paไม�ทราบท!4งขนาดและทศูทาง

ขนาด = 0 00 02

2

2/2

AP

v AP ทศูจุาก P2 พั� �งเข�าห์า A

ส้�าห์ร!บควิามเร�งท��จุ�ด P3จุะใชิ�ส้มการtBP

nBPBP aaaa //3 33

tPP

nPPPP aaaa

23232 //3

tPP

nPPP

tBP

nBPB aaaaaa

2323233 //// XX

tBPa /3

nBPa /3

tPPa 23 /

nPPa 23 /

ขนาด = 0

ขนาดไม�ทราบแต่�ม�แนวิขนานก!บ AB ทศูจุาก P3 พั� �งเข�าห์า B

ขนาดไม�ทราบแต่�ม�แนวิต่!4งฉากก!บ anP3/B

3

2/3

BP

v BPขนาด=

ส้ร�างร(ปห์ลาบเห์ล��ยมควิามเร�งจุะได�aP2


2-57/57


AaA

anP2

aP2

aB

P2

anP3/P2

anP3/B

P3

แน

วิa

n P3/P

2

แนวิ a tP3/B

aP3Oa

A

แนวิ a t

B/A

แนวิ

atB

aBaA

atB

anB

anB/A

Oa

Image gear 3

Oa

Image gear 2

tAB

nAB

tA

nA

tB

nB aaaaaa //

tBP

nBPBP

tPP

nPPPP

nAP

nAPAP

aaaa

aaaa

aaaa

/3/3

2/32/3

/2/2

3

23

2

การส้ร�างร(ปห์ลายเห์ล��ยมควิามเร�ง

chapitre 2 f (ppt)

Documents

Transcript of chapitre 2 f (ppt)