Ch_2_GALAT

TKM-314

METODE NUMERIK

(GALAT)

JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIPONEGORO 2007

TKM-314 METODE NUMERIK / GALAT 2 ISMOYO H / JTM - UNDIP

GALAT (Error)

Analisa galat dalam suatu hasil numerik

merupakan dasar semua perhitungan yang baik

Metoda Numerik hasil pendekatan ada perbedaan terhadap nilai eksaknya GALAT

Data input (berdasarkan percobaan atau taksiran )

jarang tepat dan proses numeriknya sendiri

membawakan beberapa macam kesalahan

How confident we are in our approximate result?

The question is how much error is present in our

calculation and is it tolerable?


Accuracy. How close is a computed or

measured value to the true value

Precision (or reproducibility). How close is a

computed or measured value to previously

computed or measured values.

Inaccuracy (or bias). A systematic deviation

from the actual value.

Imprecision (or uncertainty). Magnitude of

scatter.


Galat Absolut dan Relatif Galat absolut: selisih nilai sebenarnya dengan

pendekatannya. Ditulis : xxex

Galat relatif: galat absolut dibagi nilai pendeka-tannya. Ditulis : xxxxex /)(/

Jika x 1 galat absolut galat relatif

Untuk menentukan tingkat ketelitian :

Kriteria galat absolut jika menyangkut bilangan bernilai besar

Kriteria galat relatif jika menyangkut bilangan bernilai kecil

00006.0xMisal : 00005.0x dan ;105xe %20/ xex

100500x 100000x dan ;500xe %5.0/ xex


Jeinis-jenis Galat

Galat Bawaan (inherent error)

Galat Pemotongan (truncation error)

Galat Pembulatan (round-off error)


Galat Bawaan Kesalahan dari nilai data. Dapat terjadi karena kekeliruan dalam

menyalin data, salah membaca skala atau karena kurangnya pengertian

mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

V = 6.4837569 Volt, beberapa angka terakhir tidak ada artinya karena

voltase tidak mungkin diukur sebegitu tepat

Contoh:

t = 5.3 detik, terdapat beberapa kesalahan inheren karena hanya dengan

suatu kebetulan selang waktu akan diukur tepat 5.3 detik

Dalam beberapa hal batas kesalahan inheren diketahui, misalkan

t = 5.3 0.1detik

Jika pengukuran fisik tanpa penjelasan maka pengukuran berkisar

sampai 0.5 unit angka terakhir L=5.63 cm maka 5.625 L 5.635 cm atau L = 5.63 0.005 cm


Galat Pemotongan

Contoh : !7!5!3

sin753 xxx

xx

Terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai

dengan prosedur matematika yang benar. Misal:

suatu proses tak berhingga menjadi proses

berhingga.

!4!3!2

1432 xxx

xex


Galat Pembulatan

Galat yang terjadi karena tidak diperhitungkannya

beberapa angka terakhir dari suatu bilangan

Contoh:

Bilangan 16.4279 dibulatkan sampai 5 angka menjadi 16.428

Bilangan 4.32541 dibulatkan sampai 5 angka menjadi 4.3254

dibulatkan sampai 4 angka menjadi 4.325




Significant Figures Number of significant figures indicates precision. Significant digits of a

number are those that can be used with confidence, e.g., the number of certain digits plus one estimated digit.

53,800 How many significant figures?

5.38 x 104 3

5.380 x 104 4

5.3800 x 104 5

Zeros are sometimes used to locate the decimal point not significant figures.

0.00001753 4

0.0001753 4

0.001753 4


PENULISAN BILANGAN RIIL Tiap bilangan dapat dituliskan sebagai pecahan (MANTISA)

dikalikan suatu pangkat bilangan dasar (EKSPONEN)

Sebuah bilangan riil dikatakan ternormalisasikan jika angka

pertama pada mantisa tidak berharga nol, maka:

Contoh: (bilangan dasar 10) 0.7392.104 (=7392)

0.1627.10-3 (=0.0001627)

1/10 f < 1

ef.bxexponent

Base of the number system

used

mantissa

Integer part


JENIS PEMBULATAN Pada umumnya hasil suatu operasi aritmetik menghasilkan setengah bagian yang berarti dan setengah bagian yang kurang berarti

Contoh: 0.1624 . 103 + 0.1769 . 101

0.1624 . 103

0.001769 . 103 +

0.164169 . 103 0.1641 . 103 + 0.6900 . 10-1

Secara umum tiap hasil operasi aritmetik dapat dinyatakan sebagai:

y = fy . 10e + gy . 10

e-t (dengan fy terdiri atas t angka significant)

dimana 1/10 fy < 1 0 gy < 1 dan

bagian berarti

bagian kurang berarti


Pemangkasan

Pembulatan Simetrik

Pembulatan pada setiap hasil aritmetik dapat

dilakukan berdasarkan hasil setengah bagian yang kurang berarti, dengan cara :


Pembulatan Pemangkasan

gy diabaikan dan fy tak termodifikasi, sehingga

y = fy . 10e + gy . 10

e-t fy . 10e

Nilai mutlak galat relatif maksimum yang terjadi

Galat relatif pada pembulatan pemangkasan hanya tergantung pada jumlah angka significant pada mantisa

11010.1.0

10.1

10.

10.

te

te

e

y

te

yy

f

g

y

e


Pembulatan Simetrik

211010.

2110.

y

tee

y

y

e

y

gjikaf

gjikafy

Galat absolut yang terjadi

2110.1

2110.

y

te

y

y

te

y

ygjikag

gjikage

Nilai mutlak galat absolut: ey . 10e-t

121

21

10.5.010.510.1.0

10.

10.

10.

tte

te

e

y

tey

fy

e

Nilai mutlak galat relatif:


Contoh: y = 0.7324 . 103 + 0.8261 . 10-1

Pemangkasan :

4

3

1

10.1.110.7324.0

10.8261.0

y

ey

Pembulatan simetrik :

13 10.8261.0;10.7324.0 yey

13 10.1739.0;10.7325.0 yey

4

3

1

10.24.010.7325.0

10.1739.0

y

ey

Galat pembulatan simetrik tidak pernah melebihi galat pemangkasan


PERAMBATAN GALAT (error propagation)

Operasi Galat Absolut Galat Relatif

Penjumlahan

Pengurangan

Perkalian

Pembagian

yxyx eee

yxyx eee

xyxy eyexe

yxyx ey

xe

ye

2/

1

y

e

yx

y

x

e

yx

x

yx

e yxyx

y

e

x

e

yx

e yxyx .

.

y

e

x

e

yx

e yxyx /

/

y

e

yx

y

x

e

yx

x

yx

e yxyx


DIAGRAM PROSES

Diagram urutan pelaksanaan operasi aritmetik

dalam suatu perhitungan dan suatu skema

Untuk mempermudah mencari galat total pada

hasil akhir operasi serta mempermudah untuk

mengatahui penentuan konstribusi setiap jenis

kesalahan dalam rentetan operasi

Merupakan salah satu dasar dalam pemilihan

algoritma yang terbaik


Penjumlahan: u = a + b

1riba

bi

ba

a

ba

e

u

eba

bau

Pengurangan: u = a - b

2riba

bi

ba

a

ba

e

u

eba

bau

ia = galat bawaan relatif a

ib = galat bawaan relatif b

r1 = galat pembulatan relatif operasi penjumlahan a dan b

r2 = galat pembulatan relatif operasi pengurangan a dan b

a b

u

+

ba

a

ba

b

r1

a b

u

-

ba

a

ba

b

r2


Perkalian: u = a x b

3)1.()1.( riiab

e

u

eba

abu

Pembagian: u = a / b

3/ )1.()1.(/

riiba

e

u

eba

bau

r3 = galat pembulatan relatif operasi perkalian a dengan b

r4 = galat pembulatan relatif operasi pembagian a dengan b

a b

u

x 1 1

r3

a b

u

/ 1 1

r4


Contoh 1: u = (a + b)/c

r1 = galat pembulatan relatif operasi penjumlahan

r2 = galat pembulatan relatif operasi pembagian

21 )1()1( ririba

bi

ba

a

u

ecba

u

Jika diterapkan pembulatan simetrik maka :

tu

ba

b

ba

a

u

e

10.53

1

ba

b

ba

aJika a dan b non negatif:

110.210.20 ttu

u

e

+ c

u

/ 1 1

a b

ba

a

ba

b

r1

r2


Contoh 2 : u = a + b + c + d dengan 0 < a < b < c < d

+ c

+

+

a b

ba

a

ba

b

d

u

cba

ba

cba

c

dcba

cba

dcba

d

Anggap tidak ada galat bawaan:

321 rrdcba

cbar

dcba

cba

cba

ba

u

eu

dan

321 rdcbarcbarbaeu

Jika diterapkan pembulatan simetrik maka: tu dcbae 10.5233

Untuk penjumlahan bilangan positip dalam urutan makin besar, batas galat total

akan minimum jika bilangan yang terkecil dijumlahkan lebih dahulu

r1

r2

r3


Contoh 3: u = x1 + x2 + x3 + x4

xi = x0 + i , i =1, 2, 3, 4. dan i


Contoh 4: u = x y dengan x y

y

e

yx

y

x

e

yx

x

u

e yxu

Galat relatif pada operasi pengurangan

Jika x y


Contoh 5: u = a(b-c) = ab ac (abaikan galat bawaan)

a b

-

x

r1

a c

u

x

r2

r3

1 1 1 1

acab

ab

acab

ac

- a

u

x

1 1

b c

cb

b

cb

c

r1

r2

t

u

acab

ac

acab

ab

rracab

acr

acab

ab

u

e

10.51

321

tt

u rru

e

10.510.5

21

Jika bc, a(b-c) memberikan galat yang lebih baik dibanding ab ac


RINGKASAN

Jika menjumlahkan dan/atau mengurangkan bilangan, kerjakan pertama-tama dengan bilangan terkecil

Jika mungkin hindari pengurangan bilangan yang hampir sama

Jika terdapat bilangan-bilangan yang hampir sama, kerjakan pengurangan sebelum perkalian

Bila tak satupun di atas dapat dipergunakan, usahakan operasi aritmetik sesedikit mungkin


Anggap a dan b bilangan positif yang sudah

dibulatkan. Gambarkan diagram proses dan

turunkan batas kesalahan untuk menunjuk-

kan bahwa batas kesalahan relatif u = 3 (ab)

adalah lebih kecil dibandingkan dengan

kesalahan relatif untuk v = (a+a+a)b.

Ch_2_GALAT

Documents

Transcript of Ch_2_GALAT