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数理とデザイン 第１１回 数理⼯学のツール（３） 数理⼯学専攻 南 裕樹 17. Dec. 2013
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数理とデザイン第１１回 数理⼯学のツール（３）
数理⼯学専攻 南 裕樹
17. Dec. 2013
前回の続き・・・
Up/DownカウンタD/A
変換器
モータ エンコーダ
振⼦ (ボディ)
⾞輪 (モータにより回転)
マイコン
⾞輪型倒⽴振⼦を安定化せよ
A/D変換器
ジャイロ
制御系設計設計の流れ 実験装置の
設計・製作 モデリング
制御系設計
制御系解析
シミュレーション
実機実験
PID 制御，極配置，最適レギュレータ，オブザーバ，
制御，LMI，etc...
数学モデル，パラメータ同定，線形化，etc...
アクチュエータ，センサ，インタフェース etc...
実装(組み込みプログラム， 離散化，
ノイズ除去 etc...)
制御系設計制御系設計 極配置，最適レギュレータ
状態フィードバック制御
を で安定化する
が安定（固有値の実部が負）となるように を決める
⽅法１）
⽅法２）
を最⼩化する を求める
制御系設計制御系設計 レギュレータ
ＬＱ極配置
0 2 4 6 8 10-1
0
1
2
t
thet
a
0 2 4 6 8 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t
phi
0 2 4 6 8 10-1
0
1
2
3
t
thet
a
0 2 4 6 8 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t
phi
制御系設計制御系設計 サーボ系
を⽬標値 に追従させる
拡⼤系を⽤いて設計（極配置，最適レギュレータ）
積分器
制御系設計制御系設計 サーボ系
0 2 4 6 8 10-5
0
5
10
t
thet
a
0 2 4 6 8 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t
phi
ＬＱ
0 2 4 6 8 10-5
0
5
10
t
thet
a
0 2 4 6 8 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t
phi
極配置
制御系設計制御系設計 LMI を⽤いた多⽬的設計
LMI (Linear Matrix Inequality) ，線形⾏列不等式
⾏列が正定 ⇒ ⾏列不等式
に関して線形 ⇒ 線形⾏列不等式
制御系の解析や設計問題は，LMI で記述できることが多い
例）安定性解析 ⇒
制御系設計制御系設計 LMI を⽤いた多⽬的設計
SDP ソルバ ：半正定値計画問題を解くアルゴリズム・LMILAB (Matlab LMI control toolbox)・SeDuMi・SDPT3・CSDP・SDPA-M
LMI パーサ ：LMIの記述を補助するインターフェース・LMI Control Toolbox (Matlab)・YALMIP・CVX LMITOOL
SciYalmip
LMITOOL
制御系設計制御系設計 LMI を⽤いた多⽬的設計
を最⼩化する初期値に依存しない形で定式化可能
を最⼩化する
制御系設計制御系設計 LMI を⽤いた多⽬的設計
を最⼩化する仕様１）
仕様２） 極配置
円領域への配置 実部の⼤きさを指定
-16 -12 -8 -4 0-8
-4
0
4
8
制御系設計制御系設計 サーボ系
0 2 4 6 8 10-5
0
5
10
t
thet
a
0 2 4 6 8 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t
phi
ＬＱＬＭＩ
ＬＱ＋極領域指定
0 2 4 6 8 10-5
0
5
10
t
thet
a
0 2 4 6 8 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t
phi
制御系設計制御系設計 状態推定
の情報をすべて知っていればＯＫ
⇒ 知らなければ，推定する必要がある
・オブザーバ・カルマンフィルタ 極配置
ＬＱ
から を推定
制御系設計設計の流れ 実験装置の
設計・製作 モデリング
制御系設計
制御系解析
シミュレーション
実機実験
PID 制御，極配置，最適レギュレータ，オブザーバ，
制御，LMI，etc...
数学モデル，パラメータ同定，線形化，etc...
アクチュエータ，センサ，インタフェース etc...
実装(組み込みプログラム， 離散化，
ノイズ除去 etc...)
実装ロータリーエンコーダ回転⾓度を計測
通過
遮断
A B
A B
発光部
回転円板
スリット
受光部
軸
パルス数をカウントすれば，回転⾓度がわかる
位相で，回転⽅向がわかる
Ａ相
Ｂ相
実装エンコーダ回転⾓度を計測
⾓度 ⾓速度ローパスフィルタ
実装ジャイロ
⾓速度を計測ハイパスフィルタ
⾓速度 ⾓度
ドリフト
⾓速度 ⾓度
実装離散化
ゼロ次ホールド
Tustin 変換
離散化
サンプリング
サンプリング
Ts=0.01 [s]
Ts=0.1 [s]
参考⽂献システム／制御／情報
2012 VOL.56 NO.4: 初学者のための図解でわかる制御⼯学Ⅰ 特集号
2011 VOL.55 NO.5: 制御系設計・解析における数値計算／数式処理
ソフトウェアの活⽤ 特集号
Scilab の紹介
問１
(1) の固有値と固有ベクトルを求めよ
⾏列 を考える
(2) を対⾓化せよ(3) の⾏列式を計算せよ(4) のランクを計算せよ
問３
のときの
⾏列 に対して，
の値を計算せよ
Scilab の紹介
問４ を部分分数分解せよ
問５ の概形を描け
Scilab の紹介
Up/DownカウンタD/A
変換器
モータ エンコーダ
振⼦ (ボディ)
⾞輪 (モータにより回転)
マイコン
⾞輪型倒⽴振⼦を安定化せよ
A/D変換器
ジャイロ
・解析（安定性，可制御性，可観測性）
・設計（極配置，最適レギュレータ）
Matlab による画像処理・画像の読み込み
R:157G: 55B: 70
R:176G: 66B: 76
R:185G: 65B: 70
R:199G: 77B: 83
R:141G: 36B: 60
R:183G: 68B: 74
R:188G: 72B: 78
R:200G: 76B: 77
R:138G: 35B: 60
R:180G: 65B: 72
R:192G: 72B: 77
R:196G: 77B: 82
R:156G: 41B: 57
R:173G: 61B: 74
R:181G: 70B: 78
R:187G: 74B: 80
R:164G: 52B: 67
R:175G: 65B: 68
R:184G: 57B: 62
R:182G: 61B: 67
R:174G: 59B: 68
R:175G: 59B: 73
R:168G: 69B: 82
R:176G: 67B: 74
・ヒストグラムの平坦化
・２値化
100 200 300 400 500
100
200
300
400
500100 200 300 400 500
100
200
300
400
500
100 200 300 400 500
100
200
300
400
500100 200 300 400 500
100
200
300
400
500
100 200 300 400 500
100
200
300
400
5000
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 50 100 150 200 250
100 200 300 400 500
100
200
300
400
5000
1000
2000
3000
4000
5000
0 50 100 150 200 250
しきい値：64
しきい値：196しきい値：128
Matlab による画像処理・アフィン変換
・ダウン／アップサンプル
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
10 20 30
5
10
15
20
25
30
100 200 300 400 500
100
200
300
400
500
100 200 300 400 500
100
200
300
400
500100 200 300 400 500
100
200
300
400
500
↓16
拡⼤縮⼩ 平⾏移動 回転
↑16（nearest）
↑16（bicubic）↑16（bilinear）
Matlab による画像処理・空間フィルタリング
100 200 300 400 500
100
200
300
400
500100 200 300 400 500
100
200
300
400
500
100 200 300 400 500
100
200
300
400
500100 200 300 400 500
100
200
300
400
500
Average filter (Lowpass)
Laplacian filter (Highpass)Motion blur
Matlab による画像処理・周波数フィルタリング
0 200 400
0
100
200
300
400
5000 200 400
0
100
200
300
400
500
0 200 400
0
100
200
300
400
5000 200 400
0
100
200
300
400
5000 200 400
0
100
200
300
400
5000 200 400
0
100
200
300
400
500
0 200 400
0
100
200
300
400
5000 200 400
0
100
200
300
400
500
0 200 400
0
100
200
300
400
5000 200 400
0
100
200
300
400
500
0 200 400
0
100
200
300
400
5000 200 400
0
100
200
300
400
500
FFT
フィルタ
逆FFT
Lowpass filter
Freq. ⾼
Freq. ⾼
Motion blur
Highpass filter
