CESAR EDISON GALVIS RUIZ - Francisco José de Caldas District...

APROXIMACIÓN DIDÁCTICA A LOS MODELOS QUE DESCRIBEN EL MOVIMIENTO

DE LOS PLANETAS

CESAR EDISON GALVIS RUIZ

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

BOGOTÁ D.C.

2017

ii

APROXIMACIÓN DIDÁCTICA A LOS MODELOS QUE DESCRIBEN EL MOVIMIENTO

DE LOS PLANETAS


TRABAJO DE GRADO MODALIDAD MONOGRAFÍA

PARA OPTAR AL TITULO DE

LICENCIADO EN FÍSICA

Director

GIOVANNI CARDÓNA RODRÍGUEZ

UNIVERSIDAD DISTRITAL

FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

BOGOTÁ D.C.

2017

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APROXIMACIÓN DIDÁCTICA A LOS MODELOS QUE DESCRIBEN EL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS


Monografía como modalidad de trabajo de grado Presentada para optar al Título

Licenciado en física _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Director _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ GIOVANNI CARDÓNA RODRÍGUEZ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Jurado _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Jurado

iv

Contenido

1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN .............................................................................. 1

1.1. Sobre la enseñanza de la astronomía ........................................................................ 1

1.2. Planteamiento del problema ...................................................................................... 2

1.2.1. Justificación ....................................................................................................... 2

1.3. Objetivos del proyecto .............................................................................................. 4

1.3.1. Objetivo general ................................................................................................ 4

1.3.2. Objetivos específicos ......................................................................................... 4

2. MARCO TEÓRICO: SECCIONES CÓNICAS .............................................................. 4

2.1. Relaciones geométricas entre el cono y las secciones cónicas ................................. 5

2.1.1. Desarrollo de un cono en papel ......................................................................... 5

2.1.2. Elipse ................................................................................................................. 7

2.1.3. Circunferencia ................................................................................................. 10

2.1.4. Parábola ........................................................................................................... 10

2.1.5. Hipérbola ......................................................................................................... 11

2.2. Construcción de las secciones cónicas mediante cortes planos a un cono ............. 12

2.2.1. Elipse ............................................................................................................... 13

2.2.2. Circunferencia ................................................................................................. 14

2.2.3. Parábola ........................................................................................................... 15

2.2.4. Hipérbola ......................................................................................................... 16

v

2.3. Construcción de las secciones cónicas mediante doblado de papel ........................ 17

2.3.1. Elipse ............................................................................................................... 17

2.3.2. Parábola ........................................................................................................... 21

2.3.3. Hipérbola ......................................................................................................... 23

3. MARCO METODOLÓGICO ........................................................................................ 26

3.1. Tipo de estudio ........................................................................................................ 26

3.2. Participantes ............................................................................................................ 26

3.3. Entrevistas grupales ................................................................................................ 27

3.4. Observaciones ......................................................................................................... 27

3.5. Revisión del material .............................................................................................. 28

3.6. Análisis de la primera actividad .............................................................................. 28

3.7. Análisis de la segunda actividad. ............................................................................ 30

4. El PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS Y EL ALGORITMO DE VERLET ......... 32

4.1. Movimiento de fuerza central como problema de un cuerpo ................................. 33

4.2. Propiedades generales del movimiento de fuerza central ....................................... 35

4.2.1. El movimiento está confinado al plano ........................................................... 36

4.2.2. La energía y el momento angular como constantes del movimiento .............. 38

4.3. Movimiento planetario ............................................................................................ 41

4.3.1. Órbitas elípticas ............................................................................................... 44

4.4. Leyes de Keppler .................................................................................................... 45

vi

4.4.1. Primera ley de Keppler .................................................................................... 45

4.4.2. Segunda ley de Keppler ................................................................................... 45

4.4.3. Tercera ley de Keppler .................................................................................... 46

4.5. El algoritmo de Verlet ............................................................................................. 49

4.5.1. La descripción temporal del movimiento planetario ....................................... 49

5. LA DFT Y LA SOLUCIÓN TEMPORAL DEL MOVIMIENTO PLANETARIO ...... 56

5.1. Series de Fourier ..................................................................................................... 56

5.1.1. Funciones pares e impares ............................................................................... 57

5.2. La transformada de Fourier ..................................................................................... 58

5.3. La Transformada Discreta de Fourier ..................................................................... 59

5.4. Solución temporal del movimiento planetario ........................................................ 60

6. CONCLUSIONES ......................................................................................................... 65

7. Bibliografía..................................................................................................................... 66

vii

Índice de Figuras

Figura 1-1. Investigación en didáctica de la astronomía. Adaptado de (Camino, 2011) .......... 1

Figura 1-2. Características de la Didáctica de la Astronomía. Adaptado de (Camino, 2011) .. 3

Figura 2-1. Desarrollo plano de un cono circular recto ............................................................ 5

Figura 2-2. Desarrollo plano de un cono circular recto con 𝛄 = 𝛑 .......................................... 5

Figura 2-3. Cono circular recto ................................................................................................. 6

Figura 2-4. Cono de dos mantos con ángulo de inclinación 𝛃 .................................................. 7

Figura 2-5. Cono con vértice en la posición 𝟎,𝟎,−𝐳𝟎 ............................................................. 7

Figura 2-6. Proyección del cono sobre el plano "𝒙, 𝒛" .............................................................. 8

Figura 2-7. Excentricidad en función de los ángulos 𝜶 y 𝜷. .................................................... 9

Figura 2-8. Circunferencia en el plano "𝒙,𝒚" ......................................................................... 10

Figura 2-9. Parábola en el plano "𝒙,𝒚" ................................................................................... 10

Figura 2-10. Hipérbola en el plano "𝒙,𝒚" ............................................................................... 11

Figura 2-11. Desarrollo plano de la curva paramétrica de una elipse sobre un cono. ............ 13

Figura 2-12. Desarrollo plano de la curva paramétrica de una circunferencia sobre un cono. 14

Figura 2-13. Desarrollo plano de la curva paramétrica de una parábola sobre un cono. ........ 15

Figura 2-14. Desarrollo plano de la curva paramétrica de una hipérbola sobre un cono........ 16

Figura 2-15. Forma básica para la construcción de la elipse .................................................. 17

Figura 2-16. Primer paso en la construcción de la elipse........................................................ 18

Figura 2-17. Segundo paso en la construcción de la elipse .................................................... 18

Figura 2-18. Circunferencia dividida 4 veces. ........................................................................ 18

Figura 2-19. Circunferencia divida 8 veces. ........................................................................... 18

Figura 2-20. 16 puntos sobre la circunferencia ....................................................................... 18

viii

Figura 2-21. Secuencia de doblado del papel para la construcción de la elipse ..................... 19

Figura 2-22. Adaptado de (Oteyza et al., 2005) ...................................................................... 20

Figura 2-23. Dimensiones de la elipse .................................................................................... 20

Figura 2-24. Forma básica para la construcción de la parábola .............................................. 21

Figura 2-25. Distribución de puntos sobre el papel. ............................................................... 21

Figura 2-26. Secuencia de doblado del papel para la construcción de la parábola ................. 21


Figura 2-28. Dimensiones de la parábola................................................................................ 22

Figura 2-29. Forma básica para la construcción de la hipérbola. ........................................... 23

Figura 2-30. Puntos de tangencia. ........................................................................................... 23

Figura 2-31. Bisectrices y puntos sobre la circunferencia ...................................................... 23

Figura 2-32. Secuencia de doblado de papel para la construcción de la hipérbola................. 24


Figura 2-34. Dimensiones de la hipérbola .............................................................................. 25

Figura 3-1. Muestra de cono. .................................................................................................. 29

Figura 3-2. Muestra de circunferencia. ................................................................................... 29

Figura 3-3. Muestra de elipse. ................................................................................................. 29

Figura 3-4. Muestra de parábola ............................................................................................. 29

Figura 3-5. Muestra de hipérbola. ........................................................................................... 29

Figura 3-6. Muestra de elipse. ................................................................................................. 31

Figura 3-7. Muestra de elipse 2. .............................................................................................. 31

Figura 3-8. Muestra de parábola. ............................................................................................ 31

Figura 3-9. Muestra de parábola 2. ......................................................................................... 31

ix

Figura 3-10. Muestra de hipérbola. ......................................................................................... 31

Figura 3-11. Muestra de hipérbola 2. ...................................................................................... 31

Figura 4-1. Vectores de posición. Adaptado de (Kleppner, 2010) ......................................... 33

Figura 4-2. Vector posición de la masa reducida. Adaptado de (Kleppner, 2010) ................. 34

Figura 4-3. Vector centro de masa. Adaptado de (Kleppner, 2010) ....................................... 35

Figura 4-4. Momento angular. Adaptado de (Kleppner, 2010) .............................................. 38

Figura 4-5. Componentes del vector velocidad. Adaptado de (Kleppner, 2010).................... 38

Figura 4-6. Vectores de posición respecto al C.M. Adaptado de (Kleppner, 2010) ............... 40

Figura 4-7. Diagrama de Energía. Adaptado de (Kleppner, 2010) ......................................... 43

Figura 4-8. Orbitas con igual energía. Adaptado de (Kleppner, 2010) ................................... 44

Figura 4-9. Adaptado de (Kleppner, 2010) ............................................................................. 45

Figura 4-10. Adaptado de (Kleppner, 2010) ........................................................................... 47

Figura 4-11. Condiciones iniciales. ........................................................................................ 53

Figura 4-12. Trayectoria del planeta Tierra. ........................................................................... 54

Figura 4-13. Diagrama de energía para la Tierra .................................................................... 55

Figura 5-1. Deferente de la Tierra ........................................................................................... 63

Figura 5-2. Deferente y epiciclos de Plutón ............................................................................ 64

Figura 5-3. Trayectoria del cometa Halley ............................................................................. 64

x

Índice de tablas

Tabla 2-1 ................................................................................................................................. 13

Tabla 2-2 ................................................................................................................................. 14

Tabla 2-3 ................................................................................................................................. 15

Tabla 2-4 ................................................................................................................................. 16

Tabla 4-1 ................................................................................................................................. 52

Tabla 4-2 ................................................................................................................................. 53

Tabla 5-1 ................................................................................................................................. 62

1

1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

En este capítulo se pretende plantear un fundamento teórico acerca de algunos aspectos

actuales sobre la enseñanza de la astronomía, la física y su transversalidad con las ciencias

sociales.

1.1. Sobre la enseñanza de la astronomía

La astronomía es un campo que permite contextualizar muchos conceptos de la física,

como por ejemplo, masa y radios de los planetas y el sol, distancias entre estos y sus respectivas

escalas, velocidades de traslación y rotación, lo cual permite abordar tópicos tales como la

energía, momentum y trayectoria de los mismos entre otros, de una manera muy interesante para

el estudiante (Holbrow, 2012). La enseñanza y estudio de las trayectorias de los astros debe

contribuir al desarrollo de nuevas estrategias que permitan el aprendizaje de diferentes conceptos

de la física básica (Van Allen, 2006). Esta propuesta didáctica se organiza en “ejes de desarrollo

conceptual” y la teoría del aprendizaje significativo como muestra la Figura 1-1.

Figura 1-1. Investigación en didáctica de la astronomía. Adaptado de (Camino, 2011)

2

En el eje correspondiente a las teorías del aprendizaje se indica la teoría del aprendizaje

significativo de Ausubel, explicitándose las tres condiciones básicas que condicionan tales

aprendizajes: materiales lógicamente significativos (MLS), materiales psicológicamente

significativos (MPsS) y la disposición e interés del aprendiz (Disp). En el eje de enseñanza de la

astronomía se indica el eje de desarrollo conceptual sobre el cual se basa esta propuesta

didáctica. Y en el eje de los grupos etarios se indica a los estudiantes de grado 10°.

1.2. Planteamiento del problema

Cuando se cuestiona acerca del tipo de movimiento que tienen los planetas a través del espacio,

los estudiantes tienen algún tipo de respuesta (o ninguna) a estas preguntas, ya que los

estudiantes tienen preconceptos (en ocasiones errados) acerca de la tierra, el sol, los astros y el

movimiento de estos, por lo tanto, en una primera fase es necesario determinar cuáles son estos

preconceptos, analizarlos y proponer una estrategia para generar cambio un conceptual, en la

cual el estudiante interactúe durante el aprendizaje, con lo cual según estudios recientes (Bailey

& Nagamine, 2012) se logra una mejor comprensión de los temas expuestos.

1.2.1. Justificación

Estas bases permiten plantear un proyecto en didáctica de la astronomía en el cual se

fusionen conceptos propios de la física y la astronomía y las ciencias sociales (Camino, 2011).

Esto plantea una transversalidad disciplinar y una visión más amplia de la relación hombre-

universo, teniendo siempre en cuenta los proceso de aprendizaje para lograr aprendizajes

significativos. Esto se explica mediante un esquema en la Figura 1-2.

3

Figura 1-2. Características de la Didáctica de la Astronomía. Adaptado de (Camino, 2011)

Por tal razón en este trabajo se hace un estudio de las trayectorias de los planetas en su

movimiento por el espacio desde la perspectiva tanto de la física como de la geometría analítica,

dando importancia a la necesidad de construir modelos que permitan contrastar la descripción de

la posición de los planetas en función del tiempo mediante el uso de epiciclos y deferentes, con

la descripción de la posición en función del espacio que hizo Kepler (Peralta & Reyes, 2014). Lo

cual resalta la importancia de involucrar la enseñanza y el aprendizaje de las trayectorias de los

diferentes cuerpos celestes en el espacio.

4

1.3. Objetivos del proyecto

1.3.1. Objetivo general

Hacer una revisión de los modelos planteados por los diferentes astrónomos que

describen el movimiento de los planetas.

1.3.2. Objetivos específicos

• Rescatar el uso de los epiciclos y deferentes para describir el movimiento de los planetas

en función del tiempo.

• Reconstruir los modelos de epiciclos y heliocéntrico en un software libre.

• Plantear una estrategia didáctica a partir del “método del sastre” para construir y

caracterizar las cónicas en el aula.

2. MARCO TEÓRICO: SECCIONES CÓNICAS

Las cónicas aparecen como cortes planos a conos rectos de dos mantos, y en ciertos casos, a

cilindros. También se pueden relacionar con ecuaciones de segundo grado al definirlas como

lugares geométricos de puntos que satisfacen ciertas condiciones referentes a distancias entre

puntos y rectas, estos lugares geométricos generan curvas, las cuales se pueden interpretar como

el recorrido seguido en el plano por un móvil, representado por un punto, con esta interpretación

se establece una relación entre el tiempo y la curva, de tal manera que a cada instante de tiempo

le corresponde un punto de la curva en el plano. Se pueden establecer conexiones entre estos

tipos de representaciones mediante la parametrización de dichas curvas y transformaciones entre

sistemas de coordenadas cartesianas y polares. (Oteyza, Lam, Hernández, Carrillo & Ramírez,

2005)

5

2.1. Relaciones geométricas entre el cono y las secciones cónicas

A continuación se presenta el desarrollo de la ecuación polar de las secciones cónicas a partir

de las características geométricas del cono que las genera.

2.1.1. Desarrollo de un cono en papel

Un cono circular recto se puede construir en papel, a partir de un sector circular de longitud

de arco 𝒄′ y radio 𝒓′ como se muestra en la Figura 2-1.

Figura 2-1. Desarrollo plano de un cono circular recto

En principio el ángulo 𝜸 puede tomar cualquier valor, en lo sucesivo de este trabajo usaremos

el valor de 𝜸 = 𝜋 como se indica en la Figura 2-2, ya que al calcular el arco de circunferencia, se

tiene que 𝒄′ = 𝜋𝒓′, lo cual será muy útil, por razones que se explicarán más adelante.

Figura 2-2. Desarrollo plano de un cono circular recto con 𝛄 = 𝛑

6

Al unir los dos lados del sector circular de papel de la Figura 2-2 se forma un cono como el

ilustrado en la Figura 2-3, en donde 𝒄′ será igual a la longitud de circunferencia 𝒄 de la base del

cono, y 𝒓′ será la generatriz 𝒈 del cono.

Figura 2-3. Cono circular recto

Como 𝒄′ = 𝒄 se tiene que

𝑐′ = 𝑐 (2.1) e

𝜋𝑟′ = 2𝜋𝑟 (2.2) e

𝑟 =𝑟′

2 =𝑔2

(2.3) e

Es decir el radio 𝒓 del círculo de la base del cono, será la mitad del radio del sector circular, y

el semiángulo central del cono 𝜶 que forma la generatriz 𝒈 con el eje del cono es 𝜋/6, y ya que

es un ángulo notable, es más sencillo realizar los cálculos posteriores, de ahí la importancia de

escoger 𝛾 = 𝜋.

7

2.1.2. Elipse

Las secciones cónicas pueden obtenerse al cortar un cono de dos mantos con un plano. Para

lo que sigue es conveniente denotar con 𝜷 al ángulo entre, el plano 𝑷 formado por los ejes "𝑥" e

"𝑦", y el eje del cono, como se muestra en la Figura 2-4. El plano y el eje del cono son paralelos

si 𝜷 = 0, y son perpendiculares si 𝜷 = 𝜋/2.

Figura 2-4. Cono de dos mantos con ángulo de inclinación 𝛃

Cuando el plano 𝑷 forma un ángulo 𝜶 < 𝜷 < 𝜋/2 con el eje del cono, donde el vértice del

cono 𝑽 tiene coordenadas (0,0,−𝑧0), haciendo 𝒛𝟎 ≠ 𝟎, el plano 𝑷 corta al cono y la cónica

generada es una elipse, como se muestra en la Figura 2-5

Figura 2-5. Cono con vértice en la posición (𝟎,𝟎,−𝐳𝟎)

8

Al proyectar el cono sobre el plano "𝑥, 𝑧" se observa el vértice del cono 𝑉 y los vértices 𝑉1 y

𝑉2 de la elipse generada por el corte del plano en el cono.

Figura 2-6. Proyección del cono sobre el plano "𝒙,𝒛"

El diámetro mayor de una elipse se llama eje mayor o eje focal el cual vale 2𝒂 y a partir de la

Figura 2-6 se deduce que

𝑎 =𝑧0 tan(𝛼) csc2(𝛽)

1 − (tan(𝛼) cot(𝛽))2 (2.4) e

El diámetro menor de una elipse se llama eje menor o eje no focal, el cual vale 2𝒃 y a partir

de la gráfica se deduce que

𝑏 =𝑧0 tan(𝛼) csc(𝛽)

�1 − (tan(𝛼) cot(𝛽))2

(2.5) e

La distancia entre los dos focos de una elipse se llama distancia focal, el cual vale 2𝒄 y se

puede obtener a partir de 𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑐 =𝑧0 tan(𝛼) csc(𝛽) cot(𝛽) sec(𝛼)

1 − (tan(𝛼) cot(𝛽))2 (2.6) e

9

El cociente entre la distancia focal 2𝒄 y el eje mayor 2𝒂 se llama excentricidad, el cual vale 𝝐

y se puede calcular mediante

𝜖 =2𝑐2𝑎 =

𝑐𝑎 = cos(𝛽) sec(𝛼)

(2.7) e

La cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje mayor se llama lado recto, la cual

vale 2𝒓𝟎 y se puede calcular mediante

𝑟0 =𝑏2

𝑎 = 𝑧0 tan(𝛼) (2.8) e

A partir de (2.7) y (2.8) se puede construir la ecuación polar de una cónica horizontal con un

foco en el origen de la forma

𝑟(𝜃) =𝑟0

1 − 𝜖 cos(𝜃) (2.9) e

𝑟(𝜃) =𝑧0 tan(𝛼)

1 − cos(𝛽) sec(𝛼) cos(𝜃) (2.10) e

La cual corresponde a la ecuación polar de una elipse si 0 < cos(𝛽) sec(𝛼) < 1

Figura 2-7. Excentricidad en función de los ángulos 𝜶 y 𝜷.

La Figura 2-7 muestra cómo cambia la excentricidad en función de los ángulos 𝜶 y 𝜷.

10

2.1.3. Circunferencia

Cuando el plano 𝑷 forma un ángulo 𝜷 = 𝜋/2 con el eje del cono y haciendo 𝒛𝟎 ≠ 0, la

ecuación (2.10) se reduce a

𝑟(𝜃) = 𝑧0 tan(𝛼) (2.11) e

La cual es en efecto, la ecuación polar de una circunferencia con centro en el origen y radio

𝑧0 tan(𝛼) como se muestra en la Figura 2-8.

Figura 2-8. Circunferencia en el plano "𝒙,𝒚"

2.1.4. Parábola

Cuando el plano 𝑷 forma un ángulo 𝜷 = 𝜶 con el eje del cono y haciendo 𝒛𝟎 ≠ 0, la

ecuación (2.10) se reduce a


1 − cos(𝜃) (2.12) e

La cual es en efecto, la ecuación polar de una parábola con foco en el origen. Figura 2-9.

Figura 2-9. Parábola en el plano "𝒙,𝒚"

11

2.1.5. Hipérbola

Cuando el plano 𝑷 forma un ángulo 0 ≤ 𝜷 < 𝜶 con el eje del cono y haciendo 𝒛𝟎 ≠ 0, el

plano 𝑷 corta al cono y la cónica generada es una hipérbola, como se muestra en la Figura 2-10.

Al ser 𝛽 = 0 la ecuación (2.10) se reduce a


1 − sec(𝛼) cos(𝜃) (2.13) e

La cual es en efecto, la ecuación polar de una hipérbola con un foco en el origen. Figura 2-10

Figura 2-10. Hipérbola en el plano "𝒙,𝒚"

De esta manera se ha logrado construir las ecuaciones polares de las cónicas relacionando la

longitud del lado recto 𝒓𝟎 y la excentricidad 𝒆 con los ángulos 𝜶 y 𝜷. Se debe resaltar el hecho

de que las ecuaciones polares obtenidas para las secciones cónicas, no dependen de la longitud

de la generatriz del cono ni de su radio.

Estas ecuaciones son importantes ya que en general, en los libros de texto solamente se hace

mención al hecho de que las secciones cónicas se generan a partir de cortes planos en un cono,

pero no se establece un método para determinar analíticamente las características de dichas

cónicas a partir de las características geométricas del cono que las genera.

12

2.2. Construcción de las secciones cónicas mediante cortes planos a un cono

En la sección anterior se mostró que la longitud del lado recto 𝒓𝟎 y la excentricidad 𝝐 de las

cónicas tienen relación directa con el semiángulo central 𝜶 del cono circular recto que las genera

y el ángulo 𝜷 que forma el eje de dicho cono con el plano de corte 𝑷. En esta sección lo que se

plantea es un método para parametrizar las secciones cónicas generadas por el corte de un plano

𝑷 en un cono circular recto.

Las secciones cónicas se pueden parametrizar a partir de las ecuaciones de transformación

entre sistemas de coordenadas cartesianas y polares, esto es

𝑥 = 𝑟 cos(𝜃) ⇒ 𝑥(𝑡) = 𝑟(𝑡) cos(𝜔𝑡) ⇒ 𝑥(𝑡) =𝑟𝑜

1 − 𝜖 cos(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡) (2.14) e

𝑦 = 𝑟 sin(𝜃) ⇒ 𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡) sin(𝜔𝑡) ⇒ 𝑦(𝑡) =𝑟𝑜

1 − 𝜖 cos(𝜔𝑡) sin(𝜔𝑡) (2.15) e

Al plantear la relación entre la superficie cónica y el sector circular que la genera, resulta

obvio reconocer que para cada punto de la curva en la superficie cónica que describe la sección

cónica generada en el corte, le corresponde un único punto en el sector circular que generó dicho

cono. La diferencia es que la curva debe recorrer un ángulo de 2𝜋 sobre la superficie del cono,

mientras que en la superficie del sector circular tan solo debe recorrer 𝜋. Es decir la componente

armónica del factor radial 𝑟𝑜1−𝜖 cos(𝜔𝑡) de las ecuaciones (2.14) y (2.15) se debe evaluar sobre un

periodo, mientras que los factores armónicos se deben evaluar solamente sobre medio periodo.

Esto es

𝑥(𝑡) =𝑟𝑜

1 − 𝜖 cos(𝜔𝑡) cos �𝜔2 𝑡� (2.16) e

𝑦(𝑡) =𝑟𝑜

1 − 𝜖 cos(𝜔𝑡) sin �𝜔2 𝑡� (2.17) e

13

2.2.1. Elipse

La Figura 2-11 presenta el desarrollo plano de un cono circular recto, y sobre él la curva

paramétrica que representa la elipse con base en las ecuaciones (2.16) y (2.17). En la Tabla 2-1

se muestran algunos valores de los parámetros utilizados para ejemplificar la construcción de la

elipse.

Tabla 2-1 Parámetros para la construcción de la elipse

Parámetro Expresión

Longitud del lado recto 2𝑟𝑜 = 3.6 Excentricidad 𝜖 = 0.8 Frecuencia angular 𝜔 = 2𝜋 Dominio en el tiempo 1 ≤ 𝑡 ≤ 2

Figura 2-11. Desarrollo plano de la curva paramétrica de una elipse sobre un cono.

𝑥(𝑡) =1.8

1 − 0.8 cos(2𝜋𝑡) cos(𝜋𝑡) (2.18) e

𝑦(𝑡) =1.8

1 − 0.8 cos(2𝜋𝑡) sin(𝜋𝑡) (2.19) e

14

2.2.2. Circunferencia

La Figura 2-12 presenta el desarrollo plano de un cono a partir de un sector circular, y sobre

él la curva paramétrica que representa la circunferencia con base en las ecuaciones (2.16) y

(2.17). En la Tabla 2-2 se muestran algunos valores de los parámetros utilizados para

ejemplificar la construcción de la circunferencia.

Tabla 2-2 Parámetros para la construcción de la circunferencia


Longitud del lado recto 2𝑟𝑜 = 2 Excentricidad 𝜖 = 0 Frecuencia angular 𝜔 = 2𝜋 Dominio en el tiempo 1 ≤ 𝑡 ≤ 2

Figura 2-12. Desarrollo plano de la curva paramétrica de una circunferencia sobre un cono.

𝑥(𝑡) = cos(𝜋𝑡) (2.20) e

𝑦(𝑡) = sin(𝜋𝑡) (2.21) e

15

2.2.3. Parábola

La Figura 2-13 presenta el desarrollo plano de un cono circular recto, y sobre él la curva

paramétrica que representa la parábola con base en las ecuaciones (2.16) y (2.17). En la Tabla

2-3 se muestran algunos valores de los parámetros utilizados en la construcción de la parábola.

Tabla 2-3 Parámetros para la construcción de la parábola


Longitud del lado recto 2𝑟𝑜 = 8 Excentricidad 𝜖 = 1 Frecuencia angular 𝜔 = 𝜋/2 Dominio en el tiempo −3 ≤ 𝑡 ≤ 1

Figura 2-13. Desarrollo plano de la curva paramétrica de una parábola sobre un cono.

𝑥(𝑡) =4

1 − cos �𝜋2 𝑡�cos �

𝜋4 𝑡�

(2.22) e

𝑦(𝑡) =4

1 − cos �𝜋2 𝑡�sin �

𝜋4 𝑡�

(2.23) e

16

2.2.4. Hipérbola

A continuación se presenta el desarrollo plano de un cono a partir de un sector circular, y

sobre él la curva paramétrica que representa la hipérbola con base en las ecuaciones (2.16) y

(2.17) donde

Tabla 2-4 Parámetros para la construcción de la parábola


Longitud del lado recto 2𝑟𝑜 = 2 Excentricidad 𝜖 = 2/√3 Frecuencia angular 𝜔 = 𝜋 Dominio en el tiempo 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

Figura 2-14. Desarrollo plano de la curva paramétrica de una hipérbola sobre un cono.

𝑥(𝑡) =4

1 − 2√3

cos(𝜋𝑡)cos �

𝜋2 𝑡�

(2.24) e

𝑦(𝑡) =4

1 − 2√3

cos(𝜋𝑡)sin �

𝜋2 𝑡�

(2.25) e

17

2.3. Construcción de las secciones cónicas mediante doblado de papel

En esta sección se presenta un método para la construcción de las secciones cónicas mediante

el doblado de papel en base a su definición como lugar geométrico y el desarrollo axiomático del

doblado del papel (Santa, 2011). Según Row (1996), “no es posible construir, de manera directa,

una circunferencia con el doblado de papel” (Citado por Santa, 2011), si bien es cierto que se

pueden encontrar puntos discretos de una circunferencia mediante el doblado de papel (Santa,

2011), no se aborda esta técnica ya que el propósito del doblado de papel es facilitar la

construcción de las secciones cónicas, y para el caso de la circunferencia la construcción más

sencilla es con ayuda del compás.

2.3.1. Elipse

Para la construcción de la elipse (y las demás secciones cónicas) se recomienda el uso del

papel pergamino1, ya que los dobleces en este tipo de papel son más visibles. Se empieza

dibujando una circunferencia con centro 𝑪 y marcar un punto 𝑭 dentro de ella como se muestra

en la Figura 2-15

Figura 2-15. Forma básica para la construcción de la elipse

Posteriormente se deben marcar puntos sobre la circunferencia, en un principio se pueden

marcar de forma aleatoria, pero para conseguir una mayor definición en la elipse resultante se

recomienda seguir los siguientes pasos. El primer paso consiste en trazar (con lápiz

preferiblemente) la recta que une los puntos 𝑪 y 𝑭 la cual será el eje focal de la elipse, ya que los

1 Las construcciones que se presentan en este trabajo fueron realizadas en el software GeoGebra.

18

puntos 𝑪 y 𝑭 serán los focos como se muestran en la Figura 2-16. El segundo paso consiste en

trazar una recta perpendicular al eje focal que pase por el punto 𝑭, la cual será un lado recto de la

elipse. Este procedimiento divide a la circunferencia en 4 arcos, como se ve en la Figura 2-17

Figura 2-16. Primer paso en la construcción de la elipse.

Figura 2-17. Segundo paso en la construcción de la elipse

Estas dos rectas forman 4 ángulos de 𝜋/2 cada uno, con ayuda del transportador se trazan las

bisectrices como se ilustra en la Figura 2-18. Ahora se tienen 4 rectas que forman 8 ángulos de

𝜋/4 cada uno, con ayuda del transportador se trazan cada una de las bisectrices de los 8 ángulos

como se muestra en la Figura 2-19. Ahora se tienen 8 rectas que forman 16 ángulos de 𝜋/8 cada

uno, como se ve en la Figura 2-19. Estas 8 rectas se cruzan con la circunferencia en 16 puntos

como se puede observar en la Figura 2-20.

Figura 2-18. Circunferencia dividida 4 veces.

Figura 2-19. Circunferencia divida 8 veces.

Figura 2-20. 16 puntos sobre la circunferencia

19

Estos puntos son los que se utilizarán para la construcción de la elipse. Se pueden trazar

tantas bisectrices como se desee, entre más bisectrices hayan, mayor será el número de puntos en

la circunferencia, esto dará una mayor definición a la elipse que se desea construir.

El paso final consiste en doblar el papel de tal manera que cada punto sobre la circunferencia

caiga sobre el punto 𝑭 como se muestra en la Figura 2-21

Figura 2-21. Secuencia de doblado del papel para la construcción de la elipse

20

2.3.1.1. La elipse como lugar geométrico

La Figura 2-22 muestra que al doblar la hoja de tal manera que un punto 𝑨 en la

circunferencia coincide con el punto 𝑭, se forma un triángulo isósceles 𝑨𝑫𝑭 en el cual, el punto

𝑫 es el punto del doblez que pertenece a la elipse, ya que 𝐷𝐶�� + 𝐷𝐹�� = 𝐷𝐶�� + 𝐷𝐴�� = 𝑟

Figura 2-22. Adaptado de (Oteyza et al., 2005)

Donde 𝒓 es el radio del círculo original. Así que para cualquier doblez tenemos que el punto

𝑫, que es la intersección del radio 𝑨𝑪 con el doblez, pertenece a la elipse cuyos focos son 𝑭 y 𝑪,

en la que 2𝑎 = 𝑟. (Oteyza et al., 2005)

Figura 2-23. Dimensiones de la elipse

Donde para cualquier 𝑐 < 𝑟/2 se cumple que 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2. Por lo tanto, al determinar a 2𝒄

como una fracción de 𝒓, la elipse generada por los dobleces en el papel estará descrita por

𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1 (2.26) e

21

2.3.2. Parábola

El primer paso para construir una parábola en papel, consiste en marcar un punto 𝑭 cerca de

un lado de la hoja, Luego se marcan diferentes puntos sobre el borde de la hoja cercano al punto

𝑭 como muestra la Figura 2-24, en un principio se pueden marcar de forma aleatoria, para

conseguir una mayor definición en la parábola, se recomienda trazar una recta perpendicular al

borde cercano al punto 𝑭, que pase por el punto 𝑭 y marcar el punto donde se cruza esta recta

con el borde de la hoja, a partir de este punto se deben marcar igual cantidad de puntos

equidistantes en ambas direcciones sobre este borde de la hoja como muestra la Figura 2-25.

Figura 2-24. Forma básica para la construcción de la parábola

Figura 2-25. Distribución de puntos sobre el papel.

El paso final consiste en doblar el papel de tal manera que cada punto sobre el borde del

papel caiga sobre el punto 𝑭 como se muestra en la Figura 2-26.

Figura 2-26. Secuencia de doblado del papel para la construcción de la parábola

22

2.3.2.1. La parábola como lugar geométrico

La Figura 2-27 muestra que, si doblamos la hoja de manera que el punto 𝑨 del lado inferior

coincida con 𝑭, la distancia de cada punto del doblez a 𝑭 y a 𝑨 es la misma, ya que el doblez

determina la mediatriz del segmento 𝑭𝑨��.


En particular, el punto 𝑩, que es la intersección del doblez con la recta perpendicular al lado

cercano al punto 𝑭, trazada desde 𝑨, dista lo mismo de F y de 𝑨 (𝐹𝐵�� = 𝐵𝐴��) por lo que 𝑩, está

en la parábola cuya directriz es el borde en el cual se marcaron los puntos y cuyo foco es el punto

𝑭 (Oteyza et al., 2005). De esta manera cuando 𝑭𝑩�� + 𝑩𝑨�� = 𝑭𝑨��

Figura 2-28. Dimensiones de la parábola

El segmento 𝑭𝑨�� es equivalente a la mitad de la longitud del lado recto, esto es 𝑭𝑨�� = 𝟐𝒑, y

para cualquier valor de 𝒑 en la parábola generada por los dobleces de papel, se cumple que

4𝑝𝑦 = 𝑥2 (2.27) e

23

2.3.3. Hipérbola

La hipérbola se empieza a construir dibujando una circunferencia con centro 𝑪 y marcando

un punto 𝑭 fuera de ella como se indica en la Figura 2-29. Posteriormente se deben marcar

puntos sobre la circunferencia, en un principio se pueden marcar de forma aleatoria, pero para

conseguir una mayor definición en la hipérbola resultante se recomienda seguir los siguientes

pasos. El primer paso consiste en trazar las rectas tangentes a la circunferencia que pasan por el

punto 𝑭. El segundo paso consiste en marcar dichos puntos de tangencia sobre la circunferencia

y trazar la recta que los une como se muestra en la Figura 2-30

Figura 2-29. Forma básica para la construcción de la hipérbola.

Figura 2-30. Puntos de tangencia.

Este procedimiento divide al círculo en cuatro arcos de circunferencia semejantes a los que se

desarrollaron para la elipse en la Figura 2-17. El tercer paso consiste trazar bisectrices de manera

sucesiva, tal como se explica en la sección 2.3.1 y se ilustra en la Figura 2-31.

Figura 2-31. Bisectrices y puntos sobre la circunferencia

24

Estas bisectrices se cruzan en 16 puntos con la circunferencia, estos puntos son los que se

utilizarán para la construcción de la hipérbola.

El paso final consiste en doblar el papel de tal manera que cada punto sobre la circunferencia

caiga sobre el punto 𝑭

Figura 2-32. Secuencia de doblado de papel para la construcción de la hipérbola

Cabe resaltar que al doblar el papel haciendo coincidir los puntos de tangencia con el punto

𝑭, los pliegues formados representan las asíntotas de la hipérbola.

25

2.3.3.1. La hipérbola como lugar geométrico

La muestra que al doblar la hoja de manera que el punto 𝑭 coincida con un punto 𝑨 del

círculo, y al prolongar el radio 𝑪𝑨��, se forma un triángulo isósceles 𝑨𝑫𝑭, ya que el doblez es la

mediatriz del segmento 𝑨𝑭��. El punto 𝑫 es el punto del doblez que pertenece a la hipérbola, ya

que 𝐷𝐶�� − 𝐷𝐹�� = 𝐷𝐶�� − 𝐷𝐴�� = 𝑟 como se muestra en la Figura 2-33. Donde 𝒓 es el radio del

círculo original. Así, para cualquier doblez, tenemos que el punto 𝑫, que es la intersección del

radio 𝑨𝑪�� con el doblez, pertenece a la hipérbola cuyos focos son 𝑭 y 𝑪, en la que 2𝑎 = 𝑟.

(Oteyza et al., 2005)


Figura 2-34. Dimensiones de la hipérbola

Donde para cualquier 𝑐 > 𝑟/2 se cumple que

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 (2.28) e

Por lo tanto, al determinar a 2𝒄 como un múltiplo de 𝒓, la elipse generada por los dobleces en

el papel estará descrita por

𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 = 1 (2.29) e

26

3. MARCO METODOLÓGICO

A continuación se explica cómo se desarrollaron con los estudiantes, las diferentes

actividades propuestas en el capítulo 2, las características generales de la actividad, los métodos

empleados por los estudiantes y el resultado de los análisis que se pudieron realizar.

3.1. Tipo de estudio

Esta investigación de corte interpretativo sobre la enseñanza de la Astronomía y

particularmente sobre la trayectoria de los planetas, permite explicar los fenómenos en los

términos del significado que las personas les otorgan (Vasilachis, 2006), basándose en las

actividades planteadas en el capítulo 2, que permitirán obtener las perspectivas y los puntos de

vista de los participantes, en este caso los estudiantes de grado 10° de un colegio de carácter

público-privado ubicado en el municipio de Soacha, ya que el interés de este tipo de

investigación se centra en las vivencias de los participantes.

3.2. Participantes

Este trabajo se desarrolló con estudiantes de grado 10° aunque también puede ser aplicado

sin mayor variación a estudiantes de primeros semestres. En particular se realizó con estudiantes

de una institución educativa del municipio de Soacha hacia finales del año 2016, ya que por esa

época, según el plan de estudios de la institución, se debe abordar el tema de las secciones

cónicas.

Esta institución es de jornada única y atiende estudiantes desde la edad preescolar hasta la

culminación del bachillerato en grado 11°. Cuenta con un solo grupo para cada uno de los grados

de educación media vocacional 10° y 11° con aproximadamente 25 estudiantes cada uno, lo cual

contrasta con los grados de preescolar y primaria, en los cuales pueden haber hasta cinco grupos

por grado y en cada aula pueden haber hasta 45 estudiantes.

27

La planta física si bien es suficiente en cuanto al número de aulas, es pequeña en cuanto a

otros servicios, como por ejemplo baterías sanitarias, comedor y/o cafetería y patios o espacios

para la recreación y el deporte. Espacios como sala de informática, laboratorio de física y/o

biología y biblioteca son prácticamente obsoletos.

3.3. Entrevistas grupales

Se realizó una entrevista grupal que buscaba indagar acerca de los conceptos previos que los

estudiantes tenían acerca de las secciones cónicas, acerca de los movimientos planetarios y las

relaciones que podían establecer entre estos.

3.4. Observaciones

La observación se realizó con los estudiantes del grado 10° durante el desarrollo de cada una

de las actividades, empezando por la construcción de los conos, como se estableció en la sección

2.2 del capítulo 2. El objetivo era determinar si la estrategia planteada con los materiales

indicados, permitía una mejor interpretación acerca de lo que son los cortes planos en un cono

circular recto. Tuve el privilegio de estar con los estudiantes como guía de cada una de las

actividades ya que yo era el docente tanto de la asignatura de física como de trigonometría desde

ya hacía poco más de un año, esto me permitió interactuar con ellos de una forma más natural y

espontánea ya que nuestra relación era muy cercana.

La segunda observación se realizó durante el desarrollo de la actividad descrita en la sección

2.3 del capítulo 2. El objetivo era determinar si los estudiantes lograban relacionar las secciones

cónicas obtenidas mediante el doblado de papel, con las obtenidas mediante la construcción de

conos con cortes planos.

28

3.5. Revisión del material

Se recopiló y analizó el material de algunos estudiantes, producto tanto de la actividad acerca

de la construcción de los conos, como la actividad acerca del doblado de papel.

3.6. Análisis de la primera actividad

La actividad se ha propuesto para una duración de 90 minutos. Previamente se han impreso

las plantillas (Figura 2-11, Figura 2-12, Figura 2-13 y Figura 2-14) suficientes para que cada

estudiante pueda realizar su trabajo de manera individual. Luego de una breve explicación acerca

del propósito de la actividad, cada estudiante procede a construir cada uno de los 4 conos

propuestos para obtener las diferentes secciones cónicas. La observación de esta actividad

permitió determinar que si hay una mayor interiorización de los conceptos por parte de los

estudiantes al realizar la construcción de un cono y determinar las diferentes secciones cónicas

que se forman al realizar cortes planos sobre este, dependiendo del ángulo de inclinación que

tenga el eje del cono respecto a dicho plano, ya que cada estudiante puede manipular y construir

su propio cono, a diferencia de las prácticas más comunes, en las cuales se suelen presentar las

secciones cónicas (en el mejor de los casos) mediante cortes hechos en un cono de madera

(Carmona, Arango & Echavarría, 2013), esto implica que el estudiante no participa en la

construcción del objeto de conocimiento y queda relegado al plano de un simple observador. De

esta actividad surgieron numerosos materiales elaborados por los estudiantes que se involucraron

en el análisis del proceso de comprensión, algunos de ellos se muestran de la Figura 3-1 a la

Figura 3-5.

29

Figura 3-1. Muestra de cono.

Figura 3-2. Muestra de circunferencia.

Figura 3-3. Muestra de elipse.

Figura 3-4. Muestra de parábola

Figura 3-5. Muestra de hipérbola.

También es de resaltar la motivación y el interés mostrado por los estudiantes, esto en parte

gracias a que los conos eran construidos por ellos mismos de manera individual, lo cual generó

30

como valor agregado disciplina y alta concentración en cada uno de ellos, cosa que no se hubiese

logrado con solo mostrarles un cono en madera ya cortado, además en el contexto de esta (y

muchas otras escuelas) el comprar un cono en madera ya cortado, se suele ver como un gasto

innecesario, además si la escuela decide invertir en material de este tipo, por lo general invierte

en un solo ejemplar para todo el curso, mientras con el material aquí propuesto cada estudiante

puede realizar la práctica de manera individual a un muy bajo costo. Con lo cual se puede

concluir que esta herramienta es útil para la enseñanza de los conceptos geométricos.

3.7. Análisis de la segunda actividad.

La actividad se propuso para una duración de 90 minutos. Previamente se había solicitado a

los estudiantes llevar papel pergamino, como en un principio se planteó en la actividad, pero

algunos estudiantes no lo llevaron, entonces decidí que realizaran la actividad en hojas de block

blancas, para sorpresa de todos, se logran mejores resultados doblando el papel bond y resaltando

los pliegos con lápiz, marcador o esfero ya que el papel bond es más maleable que el papel

pergamino. Luego de una breve explicación acerca del propósito de la actividad, cada estudiante

procede a desarrollar las actividades de doblado de papel que le permitirán obtener las 3 cónicas

planteadas en las secciones 2.3.1, 2.3.2 y 2.3.3. Esta actividad permitió establecer un sistema de

control a la primera actividad, ya que se podía diferenciar claramente cuales estudiantes podían

relacionar las secciones cónicas obtenidas en la construcción de los conos con las secciones

cónicas obtenidas mediante el doblado del papel.

De esta actividad he resaltado seis trabajos ya que por sus características muestran los

principales aciertos y desaciertos que tuvieron los estudiantes a la hora de construir las secciones

cónicas mediante esta técnica, los cuales se pueden apreciar de la Figura 3-6 a la Figura 3-11.

31

Figura 3-6. Muestra de elipse.

Figura 3-7. Muestra de elipse 2.

Figura 3-8. Muestra de parábola.

Figura 3-9. Muestra de parábola 2.

Figura 3-10. Muestra de hipérbola.

Figura 3-11. Muestra de hipérbola 2.

32

En la mayoría de los casos los estudiantes las podían relacionar exitosamente salvo en el caso

de la hipérbola, dado que en la actividad anterior solamente construyeron un cono con este corte

característico, es decir, solo habían observado un brazo de la hipérbola, por lo tanto fue necesario

hacer la aclaración de que la hipérbola se construye a partir de un cono de dos mantos, en este

caso, dos conos unidos por el vértice. Al construir la elipse y la hipérbola, la mayoría de

estudiantes no siguieron la recomendación planteada en las secciones 2.3.1 y 2.3.3 para lograr

una alta definición en la elipse y la hipérbola, por lo cual algunas no se pueden apreciar de la

mejor manera. En general la actividad permitió que los estudiantes establecieran criterios acerca

de las características generales de las cónicas, así como de su relación con los movimientos

planetarios, y en general con los movimientos de los cuerpos en movimiento por acción de

fuerzas gravitacionales.

4. El PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS Y EL ALGORITMO DE VERLET

En este capítulo se aplica la física newtoniana para el problema general del movimiento de

fuerza central. Inicia buscando las características generales de un sistema de dos partículas

interactuando con una fuerza central 𝑓(𝑟)𝒓� donde 𝑓(𝑟) es una función de distancia 𝑟 entre las

partículas y 𝒓� es un vector unitario a lo largo de la línea que une los centros de las partículas.

Después de hacer un simple cambio de coordenadas, muestra cómo encontrar una solución

completa usando las leyes de conservación del momentum angular y la energía. Finalmente se

aplican estos resultados al caso del movimiento planetario 𝑓(𝑟) ∝𝟏𝒓𝟐

y muestra como esto predice

las leyes empíricas de Kepler. (Kleppner & Kolenkow, 2010)

33

4.1. Movimiento de fuerza central como problema de un cuerpo

Considerando un sistema aislado de dos partículas interactuando sobre una fuerza central 𝑓(𝑟).

La masa de las partículas es 𝑚1 𝑦 𝑚2 y los vectores posición son 𝒓𝟏 𝒚 𝒓𝟐 respectivamente como

se muestra en la Figura 4-1.

Figura 4-1. Vectores de posición. Adaptado de (Kleppner, 2010)

Se tiene que

𝒓 = 𝒓𝟏 − 𝒓𝟐 (4.1) e

𝑟 = |𝒓| (4.2) e

𝑟 = |𝑟1 − 𝑟2| (4.3) e

Las ecuaciones de movimiento son:

𝑚1𝒓�̈� = 𝑓(𝑟)𝒓� (4.4) e

𝑚2𝒓�̈� = −𝑓(𝑟)𝒓� (4.5) e

La fuerza es atractiva para 𝑓(𝑟) < 0 y repulsiva para 𝑓(𝑟) > 0. Las ecuaciones (4.4) y (4.5)

están acopladas por 𝒓; el comportamiento de 𝒓 depende de 𝒓 = 𝒓𝟏 − 𝒓𝟐. El problema es fácil de

manejar si se reemplaza 𝒓𝟏 𝑦 𝒓𝟐 por 𝒓 = 𝒓𝟏 − 𝒓𝟐.

34

La ecuación de movimiento del centro de masas es trivial desde que no actúen fuerzas

externas sobre él. La ecuación para 𝒓 es como la ecuación de movimiento de una sola partícula y

tiene una sencilla solución.

Para encontrar la ecuación de movimiento para 𝒓 se divide la ecuación (4.4) por 𝑚1 y la

ecuación (4.5) por 𝑚2, restando se encuentra:

𝒓�̈� − 𝒓�̈� = �1𝑚1

+1𝑚2

� 𝑓(𝑟)𝒓� (4.6) e

�𝑚1𝑚2

𝑚1 + 𝑚2� (𝒓�̈� − 𝒓�̈�) = 𝑓(𝑟)𝒓� (4.7) e

Haciendo

�𝑚1𝑚2

𝑚1 + 𝑚2� = 𝜇 (4.8) e

Y teniendo en cuenta que

𝒓�̈� − 𝒓�̈� = �̈� (4.9) e

La ecuación (4.7) se puede reescribir como

𝜇�̈� = 𝑓(𝑟)𝒓� (4.10) e

Figura 4-2. Vector posición de la masa reducida. Adaptado de (Kleppner, 2010)

La ecuación (4.10) es idéntica a la ecuación de movimiento para una partícula de masa 𝜇

sobre la cual actúa una fuerza 𝑓(𝑟)𝒓� como se ilustra en la Figura 4-2.

35

El problema ahora es encontrar a 𝒓 como función del tiempo desde la ecuación (4.10). Una

vez hallado 𝒓 se puede encontrar fácilmente 𝒓𝟏 𝑦 𝒓𝟐 usando las relaciones

𝒓 = 𝒓𝟏 − 𝒓𝟐 (4.11) e

𝑹 =𝑚1𝒓𝟏 + 𝑚2𝒓𝟐𝑚1 + 𝑚2

(4.12) e

Donde 𝑹 es el vector centro de masa como se ilustra en la Figura 4-3.

Figura 4-3. Vector centro de masa. Adaptado de (Kleppner, 2010)

Resolviendo para 𝒓𝟏 y 𝒓𝟐 se tiene

𝒓𝟏 = 𝑹 + �𝑚2

𝑚1 + 𝑚2�𝒓 (4.13) e

𝒓𝟐 = 𝑹 − �𝑚1

𝑚1 + 𝑚2�𝒓 (4.14) e

4.2. Propiedades generales del movimiento de fuerza central

La ecuación 𝜇�̈� = 𝑓(𝑟)𝒓� es una ecuación vectorial, y a pesar de que solamente está

involucrada una partícula, hay tres componentes que deben ser consideradas. En la siguiente

sección deberemos ver cómo usar las leyes de conservación para encontrar algunas propiedades

generales de la solución y reducir la ecuación a una con una sola variable escalar.

36

4.2.1. El movimiento está confinado al plano

La fuerza 𝑓(𝑟)𝒓� está a lo largo de 𝒓� por lo tanto no ejerce torque sobre la masa reducida 𝜇 por

lo tanto el momentum angular 𝑳 de 𝜇 es una constante, el cual está determinada por 𝑳 = 𝒓 × 𝜇𝒗

donde 𝒗 = �̇�

Como el movimiento está confinado al plano, se puede, sin perder generalidad, usar el

sistema de coordenadas polar:

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 (4.15) e

𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 (4.16) e

En donde el vector posición es:

𝒓 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 �̂� + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃�̂� (4.17) e

Con vector unitario radial

𝒓� =𝜕𝒓𝜕𝑟�𝜕𝒓𝜕𝑟�

= 𝑐𝑜𝑠𝜃�̂� + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃�̂� (4.18) e

𝒓� = 𝑐𝑜𝑠𝜃�̂� + 𝑠𝑒𝑛𝜃�̂� (4.19) e

𝒓 = 𝑟𝒓� (4.20) e

Y vector unitario tangencial

𝜽� =𝜕𝒓𝜕𝜃�𝜕𝒓𝜕𝜃�

=−𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃�̂� + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃�̂�

𝑟 (4.21) e

𝜽� = −𝑠𝑒𝑛𝜃�̂� + 𝑐𝑜𝑠𝜃�̂� (4.22) e

Derivando 𝜽� 𝑦 𝒓� respecto al tiempo tenemos

𝒓�̇ = −�̇�𝑠𝑒𝑛𝜃�̂� + �̇�𝑐𝑜𝑠𝜃�̂� (4.23) e

𝒓�̇ = �̇�𝜽� (4.24) e

37

𝜽�̇ = −�̇�𝑐𝑜𝑠𝜃�̂� − �̇�𝑠𝑒𝑛𝜃�̂� (4.25) e

𝜽�̇ = −�̇�𝒓� (4.26) e

Según (4.20) 𝒓 = 𝑟𝒓� entonces:

�̇� = �̇�𝒓� + 𝑟𝒓�̇ (4.27) e

Como (4.24) establece que 𝒓�̇ = �̇�𝜽� por lo tanto

�̇� = �̇�𝒓� + 𝑟�̇�𝜽� (4.28) e

Entonces

�̈� = �̈�𝒓� + �̇�𝒓�̇ + �̇��̇�𝜽� + 𝑟�̈�𝜽� + 𝑟�̇�𝜽�̇ (4.29) e

Reemplazando (4.24) y (4.26) en (4.29) se obtiene

�̈� = �̈�𝒓� + �̇��̇�𝜽� + �̇��̇�𝜽� + 𝑟�̈�𝜽� + 𝑟�̇��−�̇�𝒓�� (4.30) e

�̈� = ��̈� − 𝑟�̇�2�𝒓� + �2�̇��̇� + 𝑟�̈��𝜽� (4.31) e

De este modo la ecuación de movimiento (4.10) se convierte en:

𝜇 ��̈� − 𝑟�̇�2�𝒓� + �2�̇��̇� + 𝑟�̈��𝜽�� = 𝑓(𝑟)𝒓� (4.32) e

Por lo tanto

𝜇��̈� − 𝑟�̇�2� = 𝑓(𝑟) (4.33) e

2�̇��̇� + 𝑟�̈� = 0 (4.34) e

38

4.2.2. La energía y el momento angular como constantes del movimiento

Se tiene el problema reducido a dos dimensiones teniendo en cuenta el hecho de que la

dirección del momento angular 𝑳 es constante como se muestra en la Figura 4-4. Usando la

energía total 𝐸 y la magnitud del momentum angular |𝑳| ≡ 𝑙 se puede resolver el problema

fácilmente.

Figura 4-4. Momento angular. Adaptado de (Kleppner, 2010)

En general, el vector velocidad tiene dos componentes, una radial y una tangencial como se

muestra en la Figura 4-5.

Figura 4-5. Componentes del vector velocidad. Adaptado de (Kleppner, 2010)

Donde

𝒗 = 𝒗𝑟 + 𝒗𝜃 (4.35) e

𝒗 = �̇� = �̇�𝒓� + 𝑟�̇�𝜽� (4.36) e

𝑙 = 𝜇𝑟𝑣𝜃 = 𝜇𝑟2�̇� (4.37) e

39

La energía total de 𝜇 es

𝐸 =12 𝜇𝑣

2 + 𝑈(𝑟) (4.38) e

𝐸 =12𝜇

��̇�2 + 𝑟2�̇�2�+ 𝑈(𝑟) (4.39) e

Reemplazando �̇� desde (4.37)

𝐸 =12 𝜇�̇�

2 +12𝜇𝑟

2 �𝑙2

𝜇2𝑟4�+ 𝑈(𝑟) (4.40) e

𝐸 =12𝜇�̇�

2 +𝑙2

2𝜇𝑟2 + 𝑈(𝑟) (4.41) e

Ahora la ecuación de movimiento de la partícula está en términos de una sola dimensión. En

donde

𝑈𝑒𝑓𝑓(𝑟) =𝑙2

2𝜇𝑟2 + 𝑈(𝑟) (4.42) e

Es llamado el potencial efectivo. El cual difiere de 𝑈(𝑟) por el término 𝑙2

2𝜇𝑟2 llamado potencial

centrífugo. De modo que

𝐸 =12𝜇�̇�

2 + 𝑈𝑒𝑓𝑓(𝑟) (4.43) e

Entonces

𝑑𝑟𝑑𝑡 = ��

2𝜇��𝐸 − 𝑈𝑒𝑓𝑓�

(4.44) e

�𝑑𝑟

��2𝜇� �𝐸 − 𝑈𝑒𝑓𝑓�

𝑟

𝑟0

= 𝑡 − 𝑡0 (4.45) e

Esta es la ecuación que permite encontrar 𝑟 en función de 𝑡.

40

Para encontrar 𝜃 en función de 𝑡 utilizamos

𝑑𝜃𝑑𝑡 =

𝑙𝜇𝑟2

(4.46) e

𝜃 − 𝜃0 = �𝑙𝜇𝑟2 𝑑𝑡

𝑡

𝑡0

(4.47) e

Conociendo 𝑟 en función de 𝑡, es posible integrar para hallar 𝜃 en función del tiempo. Para

encontrar la órbita, es decir 𝑟(𝜃) se elimina la dependencia de las ecuaciones (4.44) y (4.46)

𝑑𝜃𝑑𝑟 =

𝑙𝜇𝑟2

1

�(2/𝜇)�𝐸 − 𝑈𝑒𝑓𝑓�

(4.48) e

Esto completa la solución formal del problema de fuerza central. Se puede obtener

𝑟(𝑡)2, 𝜃(𝑡) 𝑦 𝑟(𝜃) evaluando las integrales apropiadamente. Aparentemente no se han usado las

ecuaciones de movimiento, pero si se deriva 𝑙 respecto al tiempo se tiene (4.34) y si se deriva 𝐸

respecto al tiempo se encuentra (4.33). A partir de las ecuaciones (4.13) y (4.14), los vectores

posición de 𝑚1 𝑦 𝑚2 respecto al centro de masa, 𝑟1′ y 𝑟2′ se pueden representar como:

Figura 4-6. Vectores de posición respecto al C.M. Adaptado de (Kleppner, 2010)

𝒓𝟏′ =𝑚2

𝑚1 + 𝑚2𝒓 (4.49) e

𝒓𝟐′ = −𝑚1

𝑚1 + 𝑚2𝒓 (4.50) e

2 La forma de obtener 𝑟(𝑡) se planteará en el capítulo 5.

41

4.3. Movimiento planetario

Al denotar la masa del sol como 𝑀 = 𝑚2 y la masa del planeta como 𝑚𝑝 = 𝑚1 se tiene que

𝑈(𝑟) = −𝐺𝑀𝑚𝑝

𝑟 ≡ −𝐶𝑟

(4.51) e

Reemplazando (4.51) en el potencial efectivo descrito por (4.42) se tiene

𝑈𝑒𝑓𝑓 =𝑙2

2𝜇𝑟2 −𝐶𝑟

(4.52) e

Al reemplazar (4.52) en (4.48) se obtiene

𝑑𝜃𝑑𝑟 =

𝑙𝜇𝑟2

1

��2𝜇� �𝐸 −

𝑙22𝜇𝑟2 + 𝐶

𝑟�

(4.53) e

Simplificando la ecuación (4.53) se puede reescribir como

𝑑𝜃𝑑𝑟 =

𝑙𝑟�2𝜇𝐸𝑟2 + 2𝜇𝐶𝑟 − 𝑙2

(4.54) e

Separando variables e integrando se obtiene

𝜃 − 𝜃0 = 𝑙 �𝑑𝑟

𝑟�2𝜇𝐸𝑟2 + 2𝜇𝐶𝑟 − 𝑙2

(4.55) e

La integral planteada en la ecuación (4.55) es de la forma

�𝑑𝑥

𝑥√𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

(4.56) e

Cuya solución es

1√−𝑐

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 � 𝑏𝑥+2𝑐|𝑥|√𝑏2−4𝑎𝑐

�+ ℂ ; 𝑐 < 0 (4.57) e

42

Por lo tanto

𝜃 − 𝜃0 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛�𝜇𝐶𝑟 − 𝑙2

𝑟�𝜇2𝐶2 + 2𝜇𝐸𝑙2�

(4.58) e

𝜇𝐶𝑟 − 𝑙2 = 𝑟�𝜇2𝐶2 + 2𝜇𝐸𝑙2𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝜃0) (4.59) e

𝑟 =� 𝑙

2

𝜇𝐶�

1 −�1 + 2𝐸𝑙2𝜇𝐶2 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝜃0)

(4.60) e

La convención habitual es tomar 𝜃0 = −𝜋2 e introducir los parámetros

𝑟0 ≡𝑙2

𝜇𝐶 (4.61) e

𝜖 ≡ �1 +2𝐸𝑙2

𝜇𝐶2 (4.62) e

Físicamente 𝑟0 es el radio de la órbita circular correspondiente a los valores dados de

𝑙,𝜇,𝑦 𝐶. El parámetro 𝜖 llamado excentricidad caracteriza la forma de la órbita. De esta manera

se tiene la descripción de la órbita para un planeta de la forma

𝑟 =𝑟0

1 − 𝜖 cos(𝜃) (4.63) e

La cual corresponde a la ecuación polar de las secciones cónicas.

Dado que la forma de la órbita depende del parámetro 𝜖 en la ecuación (4.63), que a su vez

depende de la energía total 𝐸, según la relación (4.62), es conveniente hacer un análisis de las

posibles órbitas que se pueden obtener dependiendo del valor de la energía total 𝐸.

43

Si 𝑙 ≠ 0, el potencial centrífugo de repulsión 𝑙2

2𝜇𝑟2 domina para valores pequeños de 𝑟,

mientras que el potencial gravitacional de atracción para valores grandes de 𝑟. En la Figura 4-7

se muestra cuatro valores para la energía total. La energía cinética del movimiento radial es

𝐾 = 𝐸 − 𝑈𝑒𝑓𝑓, y el movimiento está restringido a regiones donde 𝐾 ≥ 0.

El movimiento está determinado por la energía total. Estas son las cuatro posibilidades:

• Si 𝐸 = 𝐸1 y 𝐸1 > 0: 𝑟 crece ilimitadamente pero tiene un mínimo y las partículas se

mantienen separadas por la barrera de “potencial centrífugo”, es decir 𝜖 > 1 por tanto su

órbita describe una hipérbola.

• Si 𝐸 = 𝐸2 y 𝐸2 = 0: Este caso es equivalente al caso 1 pero en el límite entre un

movimiento ilimitado y limitado, es decir 𝜖 = 1 por tanto su órbita describe una parábola.

• Si 𝐸 = 𝐸3 y −𝜇𝐶2

2𝑙2< 𝐸3 < 0: En este caso 𝑟 está limitado tanto para valores grandes

como pequeños y las partículas forman un sistema cerrado, es decir 0 < 𝜖 < 1 por tanto

su órbita describe una elipse.

• Si 𝐸 = 𝐸4 y −𝜇𝐶2

2𝑙2= 𝐸4: en este caso 𝑟 está restringido a un único valor, las partículas

siempre están separadas por una distancia constante, es decir 𝜖 = 0 por tanto su órbita

describe una circunferencia.

Figura 4-7. Diagrama de Energía. Adaptado de (Kleppner, 2010)

44

4.3.1. Órbitas elípticas

Cuando −𝜇𝐶2

2𝑙2< 𝐸 < 0 es decir cuando 0 < 𝜖 < 1 la partícula describe una trayectoria

elíptica de la forma (4.63), la cual tiene valor máximo en 𝑟𝑚𝑎𝑥 = 𝑟(0) = 𝑟01−𝜖

y valor mínimo en

𝑟𝑚𝑖𝑛 = 𝑟(𝜋) = 𝑟01+𝜖

de esta manera la longitud del eje mayor 𝐴, se puede expresar mediante

𝐴 = 𝑟𝑚𝑎𝑥 + 𝑟𝑚𝑖𝑛 =𝑟0

1 − 𝜖 +𝑟0

1 + 𝜖 =2𝑟0

1 − 𝜖2 (4.64) e

Expresando 𝑟0 𝑦 𝜖 en términos de 𝐸, 𝑙,𝜇,𝐶 usando (4.61) y (4.62)

𝐴 =

2𝑙2𝜇𝐶

1 − �1 + 2𝐸𝑙2𝜇𝐶2 �

=𝐶−𝐸 (4.65) e

Es decir

𝐸 = −𝐶𝐴

(4.66) e

La excentricidad de la elipse puede ser calculada mediante

𝑟𝑚𝑎𝑥𝑟𝑚𝑖𝑛

=𝑟0/(1 − 𝜖)𝑟0/(1 + 𝜖) =

1 + 𝜖1 − 𝜖 ∴ 𝜖 =

𝑟𝑚𝑎𝑥 − 𝑟𝑚𝑖𝑛𝑟𝑚𝑎𝑥 + 𝑟𝑚𝑖𝑛

(4.67) e

Según (4.65), la longitud del eje mayor es independiente del valor de 𝑙, por lo tanto orbitas

con el mismo eje mayor tendrán la misma energía como se muestra en la Figura 4-8.

Figura 4-8. Orbitas con igual energía. Adaptado de (Kleppner, 2010)

45

4.4. Leyes de Keppler

• Todos los planetas se mueven describiendo una trayectoria elíptica, con el sol en uno de

sus focos.

• El radio vector que va desde el sol hasta los planetas barre áreas iguales en tiempos

iguales.

• El periodo de traslación de un planeta 𝑇 está relacionado con la longitud del eje mayor 𝐴

mediante:

𝑇2 = 𝐾𝐴3 (4.68) e

Donde 𝐾 es la misma para todos los planetas.

4.4.1. Primera ley de Keppler

La primera ley se deduce a partir del desarrollo anterior.

4.4.2. Segunda ley de Keppler

Para la segunda ley imaginemos una partícula que se desplaza de en un intervalo de tiempo

(𝑡, 𝑡 + Δ𝑡), que en coordenadas polares (𝑟,𝜃) está representado por (𝑟, 𝑟 + Δ𝑟) y (𝜃,𝜃 + Δ𝜃)

como se ilustra en la Figura 4-9.

Figura 4-9. Adaptado de (Kleppner, 2010)

En el límite cuando Δ𝑡 → 0, el diferencial de área es:

𝑑𝐴 =12 𝑟

2𝑑𝜃 (4.69) e

46

Por tanto

𝑑𝐴𝑑𝑡 =

12 𝑟

2 𝑑𝜃𝑑𝑡

(4.70) e

Recordando la velocidad en coordenadas polares desde la ecuación (4.36)

𝒗 = �̇� = �̇�𝒓� + 𝑟�̇�𝜽� (4.71) e

Entonces el momentum angular es

𝑳 = (𝒓 × 𝜇𝒗) = 𝜇𝑟𝒓� × ��̇�𝒓� + 𝑟�̇�𝜽�� (4.72) e

𝑳 = 𝜇𝑟2�̇�𝒌� (4.73) e

Por lo tanto

𝑑𝐴𝑑𝑡 =

𝑙𝑧2𝜇

(4.74) e

Como 𝑙𝑧 es una constante, el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales.

4.4.3. Tercera ley de Keppler

Para la tercera ley, partimos de la definición de momentum angular (4.37)

𝑙 = 𝜇𝑟2𝑑𝜃𝑑𝑡

(4.75) e

Lo cual se puede escribir como

𝑙2𝜇 𝑑𝑡 =

12 𝑟

2𝑑𝜃 (4.76) e

Pero 12𝑟2𝑑𝜃 es el elemento diferencial de área en coordenadas polares, al integrar sobre una

vuelta, en el lado izquierdo se encuentra el periodo y al lado derecho el área de la elipse.

𝑙2𝜇 𝑇 = 𝜋𝑎𝑏

(4.77) e

47

Dónde 𝑎 es:

𝑎 =𝐶

−2𝐸 (4.78) e

y 𝑏 se puede obtener a partir de la Figura 4-10

Figura 4-10. Adaptado de (Kleppner, 2010)

𝑏 = �𝑟2 − 𝑥02 (4.79) e

Con

𝑥0 = 𝑎 − 𝑟𝑚𝑖𝑛 (4.80) e

𝑥0 = 𝑟0 �1

1 − 𝜖2 −1

1 + 𝜖�

(4.81) e

𝑥0 =𝑟0𝜖

1 − 𝜖2 (4.82) e

Según la Figura 4-10 se tiene que

cos 𝜃 =𝑥0𝑟 (4.83) e

Reemplazando (4.83) en la ecuación (4.63) se tiene que

𝑟 =𝑟0

1 − 𝜖 �𝑥0𝑟 � (4.84) e

𝑟 = 𝑟0 + 𝜖𝑥0 (4.85) e

48

𝑟 =𝑟0

1 − 𝜖2 (4.86) e

Por lo tanto

𝑏 = �𝑟2 + 𝑥02 (4.87) e

𝑏 =𝑟0

1 − 𝜖2�1 − 𝜖2 (4.88) e

𝑏 =𝑟0

√1 − 𝜖2 (4.89) e

Reemplazando (4.61) y (4.62) en (4.89) se tiene que

𝑏 =𝑙

�−2𝜇𝐸

(4.90) e

Reemplazando (4.90) y (4.78) en (4.77)

𝑙2𝜇 𝑇 = 𝜋 �

𝐶−2𝐸

��𝑙

�−2𝜇𝐸�

(4.91) e

Elevando al cuadrado

𝑇2 =𝜇𝜋2𝐶2

−2𝐸3 (4.92) e

𝑇2 =𝜋2

2𝐺(𝑀 + 𝑚)𝐴3

(4.93) e

Este resultado muestra que la tercera ley de Kepler no es exacta, la constante 𝐾 en la

ecuación (4.93) depende de la masa del planeta, para el caso del sistema solar es una buena

aproximación, ya que el planeta con mayor masa es Júpiter, y su masa es tan solo la milésima

parte de la masa del sol.

49

4.5. El algoritmo de Verlet

En la sección anterior quedaron pendientes la soluciones para 𝑟(𝑡) y 𝜃(𝑡), en principio, de la

ecuación (4.45) se podría obtener 𝑡(𝑟), que al invertir proporcionaría 𝑟(𝑡), a su vez sustituida en

(4.47) proporcionaría 𝜃(𝑡), resolviendo el problema, sin embargo las soluciones para 𝑡(𝑟) no son

analíticas haciendo impracticable la inversión (Peralta, Calles & Yépez, 2003). La otra opción es

solucionar (4.47) y encontrar 𝜃(𝑡) que sustituida en (4.63) permitiría encontrar 𝑟(𝑡). En un trabajo

realizado por Morales & Arturo (2003) se determinó que

2 arctan�(𝜖 − 1) tan �𝜃2�

√1 − 𝜖2��

𝑚𝜖2𝑑2

√1 − 𝜖2(𝜖2 − 1)� +

𝑚𝜖2𝑑2 sin(𝜃)(𝜖2 − 1)(1 + 𝜖 cos(𝜃))− 𝑙𝑡 = 0

(4.94) e

Donde 𝑑 es una constante dada por la distancia del foco a la directriz

Es evidente que de la ecuación (4.94) tampoco se puede obtener 𝜃(𝑡) y por ende la solución

analítica para 𝑟(𝑡) sigue pendiente.

4.5.1. La descripción temporal del movimiento planetario

En el marco de la teoría de Euler-Lagrange (Goldstein, Poole & Safko, 2002).

𝐿 = 𝑇 − 𝑉 (4.95) e

La función de Lagrange se escribe como como

𝐿�𝑟,𝜃,�̇�,�̇�� =𝜇2��̇�2 + 𝑟2�̇�2� + 𝑈(𝑟) (4.96) e

Las ecuaciones de Euler-Lagrange

𝑑𝑑𝑡�𝑑𝐿𝑑�̇�� −

𝜕𝐿𝜕𝑟 = 0

(4.97) e

𝑑𝑑𝑡�𝑑𝐿𝑑�̇�� −

𝜕𝐿𝜕𝜃 = 0

(4.98) e

50

Conducen a

𝑑𝑑𝑡

(𝜇�̇�) − 𝜇𝑟�̇�2 +𝜕𝑈𝜕𝑟 = 0

(4.99) e

𝑑𝑑𝑡�𝜇𝑟2�̇�� = 0

(4.100) e

Reescribiendo la función de Lagrange en el plano cartesiano

𝐿(𝑥,𝑦,�̇�,�̇�) =𝜇2

(�̇�2 + �̇�2) +𝐶

�𝑥2 + 𝑦2

(4.101) e

Con las siguientes ecuaciones de movimiento

𝜇�̈� +𝐶𝑥

�(𝑥2 + 𝑦2)3= 0

(4.102) e

𝜇�̈� +𝐶𝑦

�(𝑥2 + 𝑦2)3= 0

(4.103) e

De estas ecuaciones no es posible eliminar al tiempo ni tampoco separar las variables de una

forma que sea manejable para encontrar una solución analítica de 𝑥(𝑡) o 𝑦(𝑡), entonces la solución

de las ecuaciones (4.102) y (4.103) debe realizarse de otra forma. En este capítulo se empleará el

algoritmo de Verlet (Verlet, 1967) para calcular, con muy buena aproximación y de forma

simple, muestras de las soluciones a las ecuaciones (4.102) y (4.103), haciendo directamente uso

de la segunda ley de newton (Peralta et al., 2003).

Este algoritmo se puede deducir mediante el siguiente desarrollo

Desarrollando en serie de Taylor (Apostol, 1988) el vector posición en el punto 𝑎, se tiene

𝑟(𝑡) = �𝑟(𝑎)

(𝑘)

𝑘!(𝑡 − 𝑎)𝑘

∞

𝑘=0

= 𝑟(𝑎) + 𝑟(𝑎)′ (𝑡 − 𝑎) +

𝑟(𝑎)′′

2(𝑡 − 𝑎)2 + ⋯

(4.104) e

Desplazando el vector posición +𝑇 unidades, y desarrollándolo nuevamente en serie de

Taylor alrededor del punto 𝑎, se tiene

51

𝑟(𝑡+𝑇) = 𝑟(𝑎+𝑇) + 𝑟(𝑎+𝑇)′ (𝑡 − 𝑎) +

𝑟(𝑎+𝑇)′′

2(𝑡 − 𝑎)2 + ⋯

(4.105) e

El último paso consiste en desplazar el vector posición +𝑇 unidades, desarrollarlo en serie de

Taylor alrededor del punto 𝑎 = 𝑡 − 𝑇, con lo que (4.105) se convierte en

𝑟(𝑡+𝑇) = 𝑟(𝑡) + �̇�(𝑡)𝑇 +12 �̈�(𝑡)𝑇2 + ⋯ (4.106) e

De manera análoga, el vector posición desplazado −𝑇 unidades, se puede representar

mediante

𝑟(𝑡−𝑇) = 𝑟(𝑡) − �̇�(𝑡)𝑇 +12 �̈�(𝑡)𝑇2 − ⋯

(4.107) e

Que al escribirlas en el plano cartesiano se obtiene

𝑥(𝑡+𝑇) = 𝑥(𝑡) + �̇�(𝑡)𝑇 +12 �̈�(𝑡)𝑇2 + ⋯ (4.108) e

𝑥(𝑡−𝑇) = 𝑥(𝑡) − �̇�(𝑡)𝑇 +12 �̈�(𝑡)𝑇2 −⋯

(4.109) e

𝑦(𝑡+𝑇) = 𝑦(𝑡) + �̇�(𝑡)𝑇 +12 �̈�(𝑡)𝑇2 + ⋯ (4.110) e

𝑦(𝑡−𝑇) = 𝑦(𝑡) − �̇�(𝑡)𝑇 +12 �̈�(𝑡)𝑇2 −⋯

(4.111) e

Al sumar las expresiones (4.108) y (4.109) hasta segundo orden, se obtiene la posición

avanzada 𝑥(𝑡+𝑇)

𝑥(𝑡+𝑇) = 2𝑥(𝑡) − 𝑥(𝑡−𝑇) + �̈�(𝑡)𝑇2 (4.112) e

De igual forma, al sumar las expresiones (4.110) y (4.111) hasta segundo orden, se obtiene la

posición avanzada 𝑦(𝑡+𝑇)

𝑦(𝑡+𝑇) = 2𝑦(𝑡) − 𝑦(𝑡−𝑇) + �̈�(𝑡)𝑇2 (4.113) e

52

Las ecuaciones (4.112) y (4.113) constituyen el algoritmo para obtener las muestras de las

soluciones a las ecuaciones (4.102) y (4.103), donde 𝑇 se denomina intervalo de muestreo. Este

algoritmo inicia en 𝑥(−𝑇) y 𝑦(−𝑇), es decir, evaluando las ecuaciones (4.109) y (4.111) en el

instante 𝑡 = 0 hasta segundo orden, esto es

𝑥(−𝑇) = 𝑥(0) − �̇�(0)𝑇 +12 �̈�(0)𝑇2

(4.114) e

𝑦(−𝑇) = 𝑦(0) − �̇�(0)𝑇 +12 �̈�(0)𝑇2

(4.115) e

Las condiciones iniciales del movimiento se evalúan a partir de las constantes que

caracterizan el sistema, estas son la masa del planeta 𝑚𝑝, la masa del sol 𝑀, la constante

gravitacional 𝐺, el periodo de traslación del planeta 𝑇0y las distancias mínima 𝑟𝑚𝑖𝑛. y máxima

𝑟𝑚𝑎𝑥. entre el sol y el planeta, es decir en el afelio y el perihelio, así como la aceleración y

velocidad inicial, ilustradas en la Figura 4-11. Estos datos se basan en los reportes de Williams,

(2016) y de Flixer, J. B., Foster, G. T., McGuirk, J. M. & Kasevich, M. A. (2007) los cuales se

muestran en la Tabla 4-1 y Tabla 4-2. Cabe resaltar que en el presente trabajo se utilizará el

periodo sideral, sin embargo, no difiere en mucho del periodo tropical ya que ambos tienen el

mismo orden de magnitud, por tanto, se puede utilizar uno u otro sin mayor cambio en los

resultados al desarrollar el algoritmo de Verlet.

Tabla 4-1 Constantes características del sistema.

Constantes Notación Unidades Magnitud

Masa del sol 𝑀 𝐾𝑔 1.99 × 1030

Constante gravitacional 𝐺 𝑁𝑚2/𝐾𝑔2 6.69 × 10−11

53

Tabla 4-2 Datos planetarios

Planeta Masa �𝑚𝑝� Perihelio (𝑟𝑚𝑖𝑛) Afelio (𝑟𝑚𝑎𝑥) Periodo (𝑇𝑜) [𝐾𝑔] [𝑚] [𝑚] [𝐷í𝑎𝑠]

Mercurio 3.33011 × 1023 4.6 × 1010 6.982 × 1010 87.969 Venus 4.8675 × 1024 1.0748 × 1011 1.0894 × 1011 224.701 Tierra 5.9723 × 1024 1.4709 × 1011 1.521 × 1011 365.256 Marte 6.4171 × 1023 2.0662 × 1011 2.4923 × 1011 686.980 Júpiter 1.89819 × 1027 7.4052 × 1011 8.1662 × 1011 4332.589 Saturno 5.6824 × 1026 1.35255 × 1012 1.51450 × 1012 10759.22 Urano 8.6813 × 1025 2.7413 × 1012 3.00362 × 1012 30685.4

Neptuno 1.02413 × 1025 4.44445 × 1012 4.54567 × 1012 60189 Plutón 1.303 × 1022 4.43682 × 1012 7.37593 × 1012 90560 Halley 2.2 × 1014 8.57434 × 1010 5.265 × 1012 27484.5

Figura 4-11. Condiciones iniciales.

A partir de la Figura 4-11se puede establecer que la velocidad inicial en el eje "𝒙" es igual a

cero, así como la posición y aceleración inicial en el eje "𝒚". Esto es

�̇�(0) = 0 𝑦(0) = 0 �̈�(0) = 0 (4.116) e

De esta manera las ecuaciones (4.114) y (4.115) se reducen a

𝑥(−𝑇) = 𝑥(0) +12 �̈�(0)𝑇2

(4.117) e

𝑦(−𝑇) = −�̇�(0)𝑇 (4.118) e

54

En base a los datos de la Tabla 4-2 se pueden calcular la posición inicial en el eje "𝒙". La

aceleración inicial en el eje "𝒙" se puede calcular mediante

�̈�(0) = −𝐺𝑀𝑟𝑚𝑖𝑛2

(4.119) e

Y la velocidad inicial en el eje "𝒚" se puede calcular mediante

�̇�(0) = �2�𝐸 − 𝑈(𝑟𝑚𝑖𝑛)�𝜇 = ��

2𝜇� �𝐸 +

𝐺𝑀𝑚𝑝

𝑟𝑚𝑖𝑛� (4.120) e

En base a estos resultados, se puede inicializar el algoritmo de Verlet descrito por las

ecuaciones (4.112) y (4.113) con un intervalo de muestreo dado por

𝑇 =𝑇0𝑁 (4.121) e

Estas ecuaciones serán evaluadas en puntos discretos dados por 𝑘𝑇 donde 𝑘 varía desde cero

hasta 𝑁 − 1, esto con el propósito de que la primera muestra, es decir cuando 𝑘 = 0 y la última

muestra, cuando 𝑘 = 𝑁 no se superpongan Brigham (1988).

Figura 4-12. Trayectoria del planeta Tierra.

La Figura 4-12 muestra la trayectoria del planeta tierra descrita por el desarrollo del

algoritmo de Verlet, en la cual se aprecia, como era de esperar, una órbita casi circular, lo cual

evidencia la precisión y practicidad del algoritmo empleado.

55

En el caso particular de la tierra, la energía total 𝐸 tendrá un valor de

𝐸 = −𝐶𝐴 =

𝐺𝑀𝑚𝑝

𝑟𝑚𝑖𝑛 + 𝑟𝑚𝑎𝑥= −2.66 × 1033 𝐽

(4.122) e

A partir de la ecuación (4.67) y la Tabla 4-1, la excentricidad puede calcularse mediante

𝜖 =𝑟𝑚𝑎𝑥 − 𝑟𝑚𝑖𝑛𝑟𝑚𝑎𝑥 + 𝑟𝑚𝑖𝑛

= 0.0167 (4.123) e

A partir de la ecuación (4.62) y el resultado obtenido en (4.123) se puede calcular el valor de

𝑙2 mediante

𝑙2 =(𝜖2 − 1)𝜇𝐶2

2𝐸 = 7.1 × 1080 𝐽2𝑠2 (4.124) e

Con el valor de 𝑙2 encontrado en (4.124) se puede construir de manera precisa el diagrama de

energía para la Tierra en base a la ecuación (4.42)

Figura 4-13. Diagrama de energía para la Tierra

La Figura 4-13 muestra que el valor de energía mínimo para el potencial efectivo, es de

−2.67 × 1033 𝐽 el cual es ligeramente menor que el valor de la energía total para la tierra

encontrado en (4.122), lo cual concuerda con la pequeña excentricidad encontrada en (4.123) de

aquí se puede concluir que la energía cinética radial tendrá variaciones como máximo en

0.01 × 1033 𝐽.

56

5. LA DFT Y LA SOLUCIÓN TEMPORAL DEL MOVIMIENTO PLANETARIO

En el capítulo anterior se describió el la trayectoria de un planeta bajo la acción de la fuerza

gravitacional ejercida por el sol en función del tiempo, con ayuda del algoritmo de Verlet. Esta

descripción consistió en una muestra de 𝑁 puntos para las funciones 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡). El propósito de

este capítulo es proponer soluciones para las ecuaciones (4.102) y (4.103) en base a las muestras

obtenidas mediante el algoritmo de Verlet y la Transformada Discreta de Fourier para funciones

periódicas. A continuación se presenta un breve soporte teórico basado en Hsu (1987) y en

Brigham (1988) que fundamenta el análisis de Fouirer para las muestras de tiempo obtenidas

mediante el algoritmo de Verlet.

5.1. Series de Fourier

Una función periódica de periodo 𝑇𝑜 se puede representar por la serie compleja

𝑓(𝑡) = � 𝑐𝑛𝑒𝑖2𝜋𝑛𝑓𝑜𝑡∞

𝑛=−∞

(5.1) e

Donde 𝑓0 = 1/𝑇0 y los coeficientes 𝑐𝑛 están determinado por

𝑐𝑛 =1𝑇𝑜

� 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖2𝜋𝑛𝑓𝑜𝑡𝑇𝑜/2

−𝑇𝑜/2

(5.2) e

Los cuales en términos generales, son complejos. Otra forma de expresar una función

periódica de periodo 𝑇0 es mediante una serie trigonométrica

𝑓(𝑡) =𝑎02 + �(𝑎𝑛 cos(2𝜋𝑛𝑓0𝑡) + 𝑏𝑛 sin(2𝜋𝑛𝑓0𝑡))

∞

𝑛=1

(5.3) e

Donde los coeficientes 𝑎0, 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 están dados por las siguiente expresiones

𝑎0 =2𝑇0

� 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑇0/2

−𝑇0/2

(5.4) e

57

𝑎𝑛 =2𝑇0

� 𝑓(𝑡) cos(2𝜋𝑛𝑓0𝑡)𝑑𝑡

𝑇0/2

−𝑇0/2

(5.5) e

𝑏𝑛 =2𝑇0

� 𝑓(𝑡) sin(2𝜋𝑛𝑓0𝑡)𝑑𝑡

𝑇0/2

−𝑇0/2

(5.6) e

Los coeficientes reales 𝑎𝑛, 𝑏𝑛 y 𝑎0 se relacionan con los coeficiente complejos 𝑐𝑛 mediante

las siguientes expresiones

𝑎02 = 𝑐0 (5.7) e

𝑎𝑛 = 𝑐𝑛 + 𝑐−𝑛 = 𝑐𝑛 + 𝑐𝑛∗ = 2𝑅𝑒[𝑐𝑛] (5.8) e

𝑏𝑛 = 𝑖(𝑐𝑛 − 𝑐−𝑛) = 𝑖(𝑐𝑛 − 𝑐𝑛∗) = −2𝐼𝑚[𝑐𝑛] (5.9) e

Donde 𝑅𝑒[𝑐𝑛] denota “la parte real de [𝑐𝑛]” y 𝐼𝑚[𝑐𝑛] denota “la parte imaginaria de [𝑐𝑛]

5.1.1. Funciones pares e impares

Se dice que una función 𝑓(𝑡) es par si satisface la condición

𝑓(−𝑡) = 𝑓(𝑡) (5.10) e

Se dice que una función 𝑓(𝑡) es impar si satisface la condición

𝑓(−𝑡) = −𝑓(𝑡) (5.11) e

También se cumple que

• El producto de dos funciones pares es una función par

• El producto de dos funciones impares es una función par

• El producto de una función par y una función impar es una función impar

• Cualquier función 𝑓(𝑡) se puede expresar como la suma de dos funciones componentes, de

las cuales una es par y la otra es impar

Si 𝑓(𝑡) es par, entonces

58

�𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎

−𝑎

= 2�𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎

0

(5.12) e

Si 𝑓(𝑡) es impar, entonces

�𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎

−𝑎

= 0 (5.13) e

5.2. La transformada de Fourier

La integral de Fourier o transformada de Fourier de 𝑓(𝑡) está definida por la expresión

𝐹(𝑓) = � 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡∞

−∞

(5.14) e

Si 𝑓(𝑡) = 0 para |𝑡| > 𝑇02

la transformada de Fourier de 𝑓(𝑡) se puede expresar como

𝐹(𝑓) = � 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡

𝑇0/2

−𝑇0/2

(5.15) e

Al comparar las ecuaciones (5.15) y (5.2) se puede establecer que

𝑐𝑛 =1𝑇𝑜𝐹(𝑛𝑓0) =

1𝑇𝑜𝐹�𝑛𝑇0�

(5.16) e

En base a la ecuación (4.121), la ecuación (5.16) se puede reescribir como

𝑐𝑛 =1𝑇0𝐹� 𝑛𝑁𝑇�

(5.17) e

59

5.3. La Transformada Discreta de Fourier

La Transformada Discreta de Fourier de funciones periódicas está definida por la expresión

𝐹� 𝑛𝑁𝑇�= 𝑇� 𝑓(𝑘𝑇)

𝑁−1

𝑘=0

𝑒−𝑖2𝜋𝑘𝑛𝑁 (5.18) e

Donde 𝑓(𝑘𝑇) son muestras de la función continua 𝑓(𝑡) y 𝑇 es el intervalo de muestreo. La

ecuación (5.18) también se puede expresar como

𝐹� 𝑛𝑁𝑇�= 𝑇� 𝑓(𝑘𝑇)

𝑁−1

𝑘=0

�cos �2𝜋𝑘𝑛𝑁� − 𝑖 sin �2𝜋𝑘

𝑛𝑁�� (5.19) e

Para facilitar los cálculos, se denota por 𝑅𝑒 �𝐹� 𝑛𝑁𝑇�

� a la parte real de la ecuación (5.19) y por

𝐼𝑚 �𝐹� 𝑛𝑁𝑇�

� a la parte imaginaria de (5.19)

𝑅𝑒 �𝐹� 𝑛𝑁𝑇�� = 𝑇� 𝑓(𝑘𝑇)

𝑁−1

𝑘=0

cos �2𝜋𝑘𝑛𝑁�

(5.20) e

𝐼𝑚 �𝐹� 𝑛𝑁𝑇�� = −𝑇� 𝑓(𝑘𝑇)

𝑁−1

𝑘=0

sin �2𝜋𝑘𝑛𝑁�

(5.21) e

Al desarrollar la serie (5.19) para 𝑛 = 0 se obtiene 𝐹(0), por lo tanto se puede obtener el

coeficiente 𝑐0 y por ende el coeficiente 𝑎0/2 a partir de las ecuaciones (5.17) y (5.7)

respectivamente

𝑎02 = 𝑐0 =

𝑇𝑇0� 𝑓(𝑘𝑇)

𝑁−1

𝑘=0

(5.22) e

Al desarrollar la serie (5.20) para 0 < 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 se obtiene la parte real de 𝐹� 𝑛𝑁𝑇�

, por lo

tanto se puede obtener la parte real de los coeficientes 𝑐𝑛 a partir de la ecuación (5.17) y los

coeficientes 𝑎𝑛 a partir de la ecuación (5.8)

60

𝑎𝑛2 = 𝑅𝑒[𝑐𝑛] =

1𝑇𝑜𝑅𝑒 �𝐹� 𝑛𝑁𝑇�

� =𝑇𝑇0� 𝑓(𝑘𝑇)

𝑁−1

𝑘=0


(5.23) e

De igual forma, al desarrollar la serie (5.21) para 0 < 𝑛 ≤ 𝑁 − 1 se obtiene la parte

imaginaria de 𝐹� 𝑛𝑁𝑇�

, por lo tanto se puede obtener la parte imaginaria de los coeficientes 𝑐𝑛 a

partir de la ecuación (5.17) y los coeficientes 𝑏𝑛 a partir de la ecuación (5.9)

𝑏𝑛2 = −𝐼𝑚[𝑐𝑛] = −

1𝑇0𝐼𝑚 �𝐹� 𝑛𝑁𝑇�

� =𝑇𝑇0� 𝑓(𝑘𝑇)

𝑁−1

𝑘=0


(5.24) e

5.4. Solución temporal del movimiento planetario

Las observaciones astronómicas muestran que el movimiento de los planetas es periódico con

periodo 𝑇0, por lo tanto se puede describir el movimiento mediante una función de la forma

(5.3), es decir

𝑥(𝑡) =𝑎02 + �(𝑎𝑛 cos(2𝜋𝑛𝑓0𝑡) + 𝑏𝑛 sin(2𝜋𝑛𝑓0𝑡))

∞

𝑛=1

(5.25) e

𝑦(𝑡) =𝛼02 + �(𝛼𝑛 cos(2𝜋𝑛𝑓0𝑡) + 𝛽𝑛 sin(2𝜋𝑛𝑓0𝑡))

∞

𝑛=1

(5.26) e

Los planetas describen una trayectoria cerrada, es decir, 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) tienen el mismo periodo,

por lo tanto 𝑓0 es el mismo tanto para la ecuación (5.25) como para la ecuación (5.26) donde

𝑓0 = 1/𝑇0. De la Figura 4-11 se puede establecer que la función 𝑥(𝑡) debe ser simétrica con

respecto a la inversión temporal, es decir 𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡), por lo tanto es una función par, y la

función 𝑦(𝑡) debe ser simétrica con respecto al eje mayor de la elipse, es decir 𝑦(−𝑡) = −𝑦(𝑡), por

lo tanto es una función impar. Al ser 𝑥(𝑡) una función par, y en base a las propiedades de las

funciones par e impar establecidas en 5.1.1 y la ecuación (5.12) se puede determinar que

61

𝑏𝑛 = 0 (5.27) e

Al ser 𝑦(𝑡) una función impar, y en base a las propiedades de las funciones par e impar

establecidas en 5.1.1 y la ecuación (5.13) se puede determinar que

𝛼0 = 0 (5.28) e

𝛼𝑛 = 0 (5.29) e

Entonces las ecuaciones (5.25) y (5.26) se pueden reescribir como

𝑥(𝑡) =𝑎02 + �𝑎𝑛 cos(2𝜋𝑛𝑓0𝑡)

∞

𝑛=1

(5.30) e

𝑦(𝑡) = �𝛽𝑛 sin(2𝜋𝑛𝑓0𝑡)∞

𝑛=1

(5.31) e

Por lo tanto, conocer los coeficientes 𝑎0, 𝑎𝑛 y 𝛽𝑛 de las ecuaciones (5.30) y (5.31) es

equivalente a conocer las soluciones para 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡). Estos coeficientes se pueden calcular en

base a las expresiones (5.22), (5.23) y (5.24) respectivamente, de esta manera se tiene que

𝑎02 = 𝑐0 =

𝑇𝑇0� 𝑥(𝑘𝑇)

𝑁−1

𝑘=0

(5.32) e

𝑎𝑛 = 2𝑅𝑒[𝑐𝑛] =2𝑇0𝑅𝑒 �𝐹� 𝑛𝑁𝑇�

� =2𝑇𝑇0

� 𝑥(𝑘𝑇)

𝑁−1

𝑘=0


(5.33) e

𝑏𝑛 = −2𝐼𝑚[𝑐𝑛] = −2𝑇0𝐼𝑚 �𝐹� 𝑛𝑁𝑇�

� =2𝑇𝑇0

� 𝑦(𝑘𝑇)

𝑁−1

𝑘=0


(5.34) e

En donde 𝑥(𝑘𝑇) y 𝑦(𝑘𝑇) son los valores de las muestras obtenidas mediante el algoritmo de

Verlet y 𝑇 es el intervalo de muestreo establecido en (4.121)

A continuación se relaciona la Tabla 5-1 con los valores obtenidos para los coeficientes 𝑎0,

𝑎𝑛 y 𝛽𝑛 mediante las ecuaciones (5.32), (5.33) y (5.34) obtenidos mediante este método.

62

Tabla 5-1 Amplitud de los primeros cinco coeficientes.

𝜖 𝑎0 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5

𝛽1 𝛽2 𝛽3 𝛽4 𝛽5

Mercurio 0.2057 -0.1185 0.3804 0.0383 0.0057 0.0009 0.0001

0.3756 0.0376 0.0053 0.0007 -0.0001

Venus 0.0067 -0.0063 0.7219 0.0018 -0.0002 -0.0001 -0.0001

0.7209 0.0011 -0.0008 -0.0005 -0.0004

Tierra 0.0167 -0.023632 0.997917 0.007413 -0.000267 -0.000195 -0.000122

0.996424 0.006463 -0.000980 -0.000766 -0.000598

Marte 0.0935 -0.2106 1.5160 0.0691 0.0042 0.0000 -0.0002

1.5102 0.0674 0.0029 -0.0010 -0.0010

Jupiter 0.0489 -0.3754 5.1886 0.1234 0.0032 -0.0006 -0.0005

5.1804 0.1199 0.0006 -0.0026 -0.0022

Saturno 0.0565 -0.8632 9.5136 0.3023 0.0265 0.0085 0.0049

9.5598 0.3382 0.0535 0.0302 0.0230

Urano 0.0457 -1.3131 19.1340 0.4375 0.0154 0.0008 0.0002

19.1254 0.4384 0.0161 0.0014 0.0007

Neptuno 0.0113 -0.4491 29.9942 0.1309 -0.0133 -0.0078 -0.0049

29.9361 0.0927 -0.0419 -0.0307 -0.0240

Plutón 0.2488 -14.6587 38.4940 4.6823 0.8489 0.1791 0.0394

37.8331 4.6052 0.8222 0.1620 0.0258

Halley 0.9680 -25.9991 11.8228 4.0388 2.1133 1.3250 0.9189

3.9676 1.5707 0.9087 0.6153 0.4543 Nota: La magnitud de los coeficientes se expresa en U.A. con el propósito de ser comparadas con el trabajo desarrollado por Peralta et al. (2003)

En base a estos coeficientes se pueden establecer las funciones 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡) para cada uno de

ellos. Para la Tierra se utilizarán solo los dos primeros coeficientes ya que los demás son

menores a 1/1000 𝑈.𝐴.

𝑥(𝑡) = −0.02363 + 0.9979 cos(2𝜋𝑓0𝑡) + 0.0074 cos(4𝜋𝑓0𝑡) (5.35) e

𝑦(𝑡) = 0.9964 sin(2𝜋𝑓0𝑡) + 0.0065 sin(4𝜋𝑓0𝑡) (5.36) e

63

Para Plutón se utilizarán solo los tres primeros coeficientes, ya que los demás son pequeños

en comparación con 𝑎0

𝑥(𝑡) = −14.7 + 38.5 cos(2𝜋𝑓0𝑡) + 4.7 cos(4𝜋𝑓0𝑡) + 0.8 cos(6𝜋𝑓0𝑡) (5.37) e

𝑦(𝑡) = 37.8 sin(2𝜋𝑓0𝑡) + 4.6 sin(4𝜋𝑓0𝑡) + 0.8 sin(6𝜋𝑓0𝑡) (5.38) e

El primer término en la función 𝑥(𝑡) para todos los cuerpos, corresponde al desplazamiento

del centro de la elipse respecto del sol. Para los casos de Mercurio a Plutón los coeficientes 𝑎𝑛

son muy similares a los coeficientes 𝛽𝑛 por lo tanto según Peralta et al. (2003) se puede

considerar el movimiento de estos cuerpos como la superposición de movimientos casi

circulares. Según Hoyle (1973) en el modelo copernicano, la trayectoria del planeta Tierra

representada mediante las expresiones (5.35) y (5.36) estaría descrita por un circulo principal

llamado deferente y un pequeño círculo cuyo centro se traslada sobre el deferente llamado

epiciclo, los cuales se ilustran en la Figura 5-1

Figura 5-1. Deferente de la Tierra

Debido a la pequeña amplitud del epiciclo, se hace indistinguible en la gráfica.

La trayectoria de Plutón representada por las expresiones (5.37) y (5.38) estaría descrita por

un deferente el cual no podría catalogarse como círculo si no como elipse de baja excentricidad,

y dos pequeños epiciclos los cuales se ilustran en la Figura 5-2

64

Figura 5-2. Deferente y epiciclos de Plutón

En la gráfica son claramente visibles el deferente y el primer epiciclo, el segundo epiciclo es

de amplitud pequeña, pero se alcanza a visualizar tenuemente.

De la misma manera, se puede determinar la posición en función del tiempo para el cometa

Halley cuya trayectoria se muestra en la Figura 5-3. Para el caso del cometa Halley se utilizaron

106 muestras debido a su gran periodo de traslación (75 años aprox.) distribuidas en 10

segmentos de 105 muestras cada uno, esto permite corroborar de manera gráfica que al estar más

cerca del perihelio su velocidad aumenta y por lo tanto recorre una mayor trayectoria en

intervalos iguales de tiempo, siendo también consecuente con la segunda ley de Kepler. Cabe

anotar que debido al gran número de muestras necesarias para completar la trayectoria, no se

puede utilizar la herramienta para el cálculo de la transformada rápida de Fourier incluida en

algunos paquetes de software.

Figura 5-3. Trayectoria del cometa Halley

65

6. CONCLUSIONES

El objetivo general de este trabajo era “Hacer una revisión de los modelos planteados por los

diferentes astrónomos que describen el movimiento de los planetas.” Para la consecución de este

objetivo se realizó el planteamiento del problema de los dos cuerpos, el cual permitió abarcar las

principales teorías acerca de las leyes que rigen el movimiento de los planetas, desde las ideas

Copernicanas acerca del movimiento de los planetas sobre epiciclos y deferentes, pasando por las

leyes de Keppler y describiendo las órbitas en términos de las secciones cónicas, en base a los

fundamentos de la física Newtoniana y finalmente proponiendo una solución numérica a la

posición de los planetas en función del tiempo. Por lo tanto se puede afirmar que el objetivo

general de este trabajo se cumplió.

Uno de los objetivos específicos consistía en “rescatar el uso de los epiciclos y deferentes

para describir el movimiento de los planetas en función del tiempo” el cual se cumplió de

manera satisfactoria mediante el uso de la transformada discreta de Fourier y el computo de

muestras de la posición tomadas a partir del algoritmo de Verlet, lo cual permitió recrear la

órbita de Plutón en términos de epiciclos y deferentes. Además la construcción teórica se

desarrolló de tal manera que tanto el algoritmo de Verlet como el análisis de Fourier y la

descripción gráfica de las trayectorias planetarias, se puedan desarrollar en cualquier software de

acceso libre. El último objetivo que se cumplió fue el de diseñar una estrategia para la

construcción y caracterización de las cónicas en el aula, la cual fue muy productiva ya que se

pudieron abordar las diferentes secciones cónicas desde el punto de vista de los cortes planos en

un cono, desde la parametrización de curvas en el plano, y desde la definición de las secciones

cónicas como lugar geométrico mediante la técnica de doblado de papel conocida popularmente

como el método del sastre.

66

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