César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 1 Métodos Analíticos para Simulação Dinâmica de...

César Candido Xavier - Aluno MestrCésar Candido Xavier - Aluno Mestrado CGado CG

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Métodos Analíticos para Simulação Métodos Analíticos para Simulação Dinâmica de Corpos Rígidos Não-Dinâmica de Corpos Rígidos Não-

penetrantespenetrantes

–Autor: David Baraff–Fonte:SIGGRAPH 1989–Web:http://www.pixar.com/companyinfo/research/deb/

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CGCésar Candido Xavier - Aluno Mestrado CG22

ObjetivoObjetivo Apresentar de maneira sucinta

Método Heurístico utilizado por David Baraff, para Simulação Dinâmica de Corpos Rígidos Não-penetrantes.


Heurístico ?Heurístico ?Do grego heuristike: achado,

descoberta;Relacionado a heurística, ie, uma

hipótese de trabalho adotada provisoriamente como idéia diretriz na pesquisa de fatos;

Método Heurístico: Técnicas (ex: auto-educação) que servem como ajuda na solução de um problema para o aprimoramento da performance.


RoteiroRoteiro

Introdução Motivação Revisão alguns conceitos físicos Simulação utilizando Métodos

Analíticos Modelando Contatos Calculando Dinamicamente forças de

contato corretamente Solução Heurística Restrições Adicionais Conclusão


IntroduçãoIntroduçãoMuitos trabalhos utilizam as leis

dinâmica Newtoniana para simular sistemas de corpos rígidos (CR);

Toda simulação realística de corpos rígidos exige que não haja inter-penetração de dois quaisquer corpos;

Foco do “Paper”: Dado um número de corpos rígidos poliédricos, calcular as forças que naturalmente surgem para prevenir a interpenetração.


MotivaçãoMotivação Moore e Hahn fizeram os primeiros

trabalhos (1988) utilizando métodos analíticos p/ cálculo de forças (impulso) entre CR;

O método utilizado p/ corpos em repouso, entretanto, era não analítico. Modelo Utilizado p/ corpos em repouso: série de colisões ocorrendo freqüentemente. Modelo Analítico de forças que não é válido;

Platt e Barr utilizaram “Penalty Forces”; e Moore e Wilhelms utilizaram forças

elásticas.


Motivação (continuação)Motivação (continuação)Métodos Errôneos

Vantagens:- fácil de implementar;- pouco complexidade; e- extensível p/ corpos não rígidos.

Desvantagens:- as simulações apresentam resultados aproximados;- a correção da simulação é difícil de se verificar em

alguns casos; e- requer ajustes para condições diferentes na

simulação.


Motivação (continuação)Motivação (continuação)

Métodos Analíticos

Vantagens:- dão respostas exatas;- produzem E.D.O. que requerem bem menos passos

no tempo durante simulação; e- a correção da simulação é fácil de se verificar

(baseadas diretamente da dinâmica Newtoniana).

Desvantagens:-são muito mais complexos de derivar e implementar.


RevisãoRevisão Centro de Massa:

Momento Linear:

Força:

Torque:

Momento Angular:

Momento de Inércia:

;dtdpF

;vmp

;;;M

zmz

M

ymy

M

xmx ii

cm

ii

cm

ii

cm

;Θ))(( rFsen;pxrl

2

iirmI

Fxr


Simulação via Métodos AnalíticosSimulação via Métodos Analíticos

Tratamento diferenciado entre forças de colisão e forças de contato em repouso.

Forças de colisão:- forças descontínuas (impulsivas);- dimensão mv; e- causam descontinuidades na velocidade do CR.

Forças de contato:- são contínuas em algum intervalo não-nulo;- dimensão ma; e- não causam descontinuidades na velocidade do CR.


Simulador interage na solução de um par de EDO acopladas, via uso do método numérico de Runge-Kutta de 4º Ordem ou Adams-Moulton;

Ao integrador é passado todas condições iniciais dos corpos;

Métodos Analíticos introduzem descontinuidades nas velocidades dos corpos quando há colisão. Não teremos boa solução se integrarmos sobre estes intervalos...

Solução:– Devemos descobrir o tempo no qual uma colisão

ocorrerá!!! Foi utilizado o método descrito por Moore e

Wilhelms.


Resolvendo uma Colisão:

- uma vez determinado o tempo da colisão, o integrador é parado;

- faz-se o cálculo das novas forças;

- calcula-se as novas velocidades dos corpos em colisão (novas condições iniciais); e

- reinicializa-se o integrador.


Modelando ContatosModelando Contatos Contato:colidindo ou em repouso; Dois corpos A e B se tocam em um

número finito de contatos (pontos de contato);

pa(to):posição de um ponto de contato de um CR A no instante t0;

Sejam dois pontos ‘a’ e ‘b’ dos CR A e B que estão em contato:

pa (t0)=p=pb (t0)


Características pa(to) e pb(to) :

- Variáveis no tempo;

- Variam de acordo com os movimentos independentemente dos CR A e B respectivamente; e

- indica:i. colisão;ii. repouso; ouiii. separando-se,

)(.

)(.

00 ttbapp


Associado a cada ponto de contato:

– Força (possivelmente nula); e– Um vetor unitário normal a superfície .

Contatos tipo Vértice-Plano– Corpo A: vértice; e– Corpo B: plano com normal em pb.

Contatos tipo Aresta-Aresta– Um corpo é definido como Corpo A arbitrariamente.– N é mutuamente perpendicular as arestas em contato e

direcionado se afastando de B.

Obs.: na ausência de atrito é colinear com .

Fn

n

nF


Pontos de Contato Degenerados

Obs: usualmente estes casos existem apenas instantaneamente, e a escolha para n tem pouco efeito na simulação.


Pontos de Contato DegeneradosPontos de Contato Degenerados

Cálculo da intensidade nestes casos é um problema NP-completo (teorema de Palmer);

Solução: extensão de um plano local em B, e dá-se o tratamento de contatos tipo Vértice-Plano.

Restrição dos Pontos de Contato

– Pontos extremos;– Vértices do segmento de reta; e– Polígono de contato das regiões.

F


Restrição Pontos de ContatoRestrição Pontos de Contato

n: número de pontos de contato; : vetor normal a superfície do iésimo ponto de

contato; :intensidade da força do iésimo ponto de contato;

in

if

;nfFii


Calculando dinamicamente forças de Calculando dinamicamente forças de contato corretamentecontato corretamente

Um vetor é uma força de contato de magnitude correta se:

1. não permite que os corpos interpenetrem-se;2. a força de contato “empurra” mas não “puxa”;3. forças de contato ocorrem apenas nos pontos

de contato; e4. visto como uma função do tempo, as forças de

contato são contínuas.

F


Restrições p/ Não-PenetraçõesRestrições p/ Não-Penetrações

É suficiente examinar o movimento relativo dos corpos em cada ponto de contato;

Seja a função característica:))()(()(oboattnt ppi

i


Quem seriam e ?

Seja to o instante no qual há o choque entre os CR A e B.

- A e B estão colidindo (nunca acontecerá)

- A e B estão se separando (fi=0)

- se χ”i (to) <0, χi está diminuindo em to e uma interpenetração é eminente, e portanto devemos ter:

)(.ti

));()(())()(()(oboaoboattttt ppnppn iii

)(..

ti

))()((2))()(()(oboaoboattttt ppnppn iii

))()((oboatt ppni

:0)(0

.ti:0)(

0

.ti:0)(

0

.ti

0)(0

..ti


Exemplo 1:


Exemplo 2:


Matriz formulação das condições (1) e (2)Matriz formulação das condições (1) e (2)

, para 1≤ i ≤ n

(não há inter-penetração);

fi ≥ 0, para 1≤ i ≤ n (forcas somente “empurram”);

0...2211

)0(

ib

nf

niaf

iaf

iati


Podemos escrever a representação matricial, portanto, da seguinte forma:

–

–

–

;)()(ibA ffi

ebfAementeequivalentoubfA ;,0

.0f


Programação Linear (PL)Programação Linear (PL) Encontrar um vetor que satisfaz: Mx ≥ c (M é

matriz e c é um vetor) que minimiza uma função linear z(x) é um exemplo de um problema típico de PL;

Se existem x que satisfazem todas as restrições dizemos que o sistema é realizável e cada x é uma solução realizável;

Se x é uma solução realizável que minimiza z, são ditos sistemas limitados e x uma solução ótima.

PL é um problema polinomial no tempo; Se, entretanto, é explorado o fato de A ser

tipicamente uma matriz esparsa, a solução é O(n);

.x

.x


Formulação das condições (3) e (4)Formulação das condições (3) e (4)

Uma f que atenda a e , não será necessariamente correta!!!

– Exemplo 1: f=mgcos(θ) é a única solução correta, porém f=2mgcos(θ) é solução realizável que previne a inter-penetração, porém acelera incorretamente, afastando o CR A de B.

bfA 0f


Sabemos que se para o i-ésimo ponto de contato, se

então é estritamente crescente e os CR A e B estão se

separando.

Para atendermos (3) devemos ter:

,0)(

fi

i

.0)(

fif i


Para 1≤ i ≤ n, nossas restrições passam a ser escritas como:

Ou:


O termo que envolve a forma é quadrático em fi;

Programação Quadrática, diferentemente de PL é um problema NP-difícil de um modo geral;

Modelando contatos sem atrito A é positivamente semidefinida (PSD), e programas quadráticos podem teoricamente ser resolvidos em tempo polinomial (não existe tal algoritmo...)

Não há porque acreditar que com atrito A continuará sendo PSD...

SOLUÇÃO: desenvolvimento de um algoritmo heurístico para este problema...

ff AT


Solução HeurísticaSolução Heurística

Uma determinada configuração de corpos tem apenas uma configuração de movimentos corretos.

Seja V e C os conjuntos de pontos que estão deixando de existir e não estão deixando de existir, ou seja:

V={j | ponto de contato que está sumindo}

C={k | ponto de contato que não está sumindo}


Sabemos que para qualquer solução correta :

–

–

Podemos escrever:

ejfVjse ;0

.0)(

fkCkse

f


Exemplo: Seja um sistema quadrático com restrições em quatro pontos de contato, com V={1,3} e C={2,4}


Como achar V ?Como achar V ?


1) Solução mais simples: V=Ø

Não existem pontos de contato que estão deixando de existir, e f está sujeito às seguintes restrições:

Através de diversas simulações constatou-se que a solução V=Ø é correta para a grande maioria dos casos.

0 febfA


2) Predizendo um conjunto não-vazio de V Se for encontrado uma configuração com pontos de

contatos que estão deixando de existir, a adivinhação de que V=Ø resultará em um sistema indeterminado.

Solução: encontrar uma solução aproximada fa que satisfaça às restrições:

Seja o vetor residual:

.00)(

afeafi

r


Se fa for uma solução correta, para todos pontos j,

que estão deixando de existir, ,

e para todos os outros pontos k, .

2.1) Encontrando fa Aproximadas A heurística utilizada para encontrar a solução

aproximada é: escolha fa que minimiza a seguinte função:

,sujeita às seguintes restrições:

0)(

afjjr

0)(

afkkr


2.2) Tratando com Predições Incorretas

-Tendo n pontos de contatos, deveríamos testar todas as 2n possibilidades ?

- A implementação desenvolvida leva em consideração que pontos deixando de existir ocorrem com pouquíssima freqüência...

- Energia é adicionada ao sistema, produzindo resultados incorretos...


- ... porém o (d)efeito é mascarado pelo fato de que estas configurações são singulares, ou seja é aplicado apenas por um período pequeno no tempo.

- Descobriu-se que, no pequeno intervalo de tempo na qual é aplicado, levando-se em conta que é usualmente uma boa aproximação da solução correta produziu resultados satisfatórios.

afaf

af


Restrições AdicionaisRestrições Adicionais

Restrições Holonômicas (figuras articuladas) podem ser adicionadas de uma maneira consistente;

Barzel e Barr mantiveram restrições holonômicas pela introdução de forças de restrição que satisfaziam ao sistema linear

Todo o sistema é resolvido conforme descrito anteriormente , à exceção do somatório mínimo das forças, o qual levará em consideração tão somente as restrições não holonômicas das forças.


É consistente com a formulação proposta, uma vez que programação linear permite restrições com igualdades;

Não estão sujeitos as condições (2); Todo o sistema é resolvido conforme

metodologia apresentada, à exceção do somatório mínimo de forças, o qual levará em questão apenas as forças de restrições não-holonômicas; e

Utilizado pacote de PL esparsa p/ resolver em O(n).


ExemplosExemplos


ConclusãoConclusão A solução proposta para encontrar as forças de

contato entre corpos poliédricos, foi baseada em uma heurística, cuja solução é encontrada via uso de técnicas de Programação Linear;

A solução proposta permite trabalhar com restrições holonômicas;

O grande esforço computacional do algoritmo é voltado na solução de um sistema linear de desigualdades; e

O algoritmo heurístico utilizado ocasionalmente falhará e uma solução aproximada é utilizada. Isto adiciona energia a simulação mas não resulta em nenhum efeito visual insatisfatório.

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