数理逻辑-(0)发展简史

马 帅

北航计算机学院

13701068603

dfma@buaa.edu.cn

马 帅 计算机学院

mashuai@buaa.edu.cn

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追求希腊思想，崇尚科学精神 人类对智慧和

真理的追求。

古希腊七艺

• 语法、修辞、逻辑、数学、几何、音乐、天文

柏拉图、亚里士多德、苏格拉底、毕达哥拉斯、欧几里德、托勒密、芝诺、赫拉克利特、狄奥吉尼 拉斐尔—《雅典学院》

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3 计算机学院 3

启示 耶 稣 又 用 比 喻 对 他 们 说 ， 瞎

子 岂 能 领 瞎 子 ， 两 个 人 不 是 都 要 掉 在 坑 里 麽 。

——新约 路加福音6:39

尼德兰民间谚语：瞎子牵瞎子，一起倒霉。

耶和华说 ，看哪，他们成为一样 的人民，都是一样的言语，如 今既作起这事来，以后他们所要作的事就没有不成就的 。 ——圣经 旧约 创 世 纪11:6

彼得·勃鲁盖尔 《巴别塔》

彼得·勃鲁盖尔 《盲人寓言》

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哲学的思考 《科学哲学的兴起》[德]H.赖欣巴哈 著

• 知识的本质是概括;

• 用概括的方法从许多个别经验中得出知识。

《科学的结构》[美]欧内斯特.内格尔

• 科学事业的与众不同的目的是提供可靠地得到支持的系统说明。无论是对于单个事件，对于正在重复发生的过程，还是对于恒常规律性和统计性，都可以提供科学说明。

• 科学说明的模式 –演绎模型、或然性说明、功能性说明以及发生学说明

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哲学的思考（续）

《世界的逻辑构造》

构造系统的任务要把一切概念都从某些基本概念中逐步地引导出来，形成概念系谱。

一种理论的公理化就在于：

• 这个理论的全部命题都被安排在以公理为其基础的演绎系统中;

• 这个理论的全部概念都被安排在以基本概念为其基础的构造系统中。

鲁道夫·卡尔纳普(R.Carnap 1891-1970)

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数理逻辑发展简介

史前时期

• 亚里土多德的三段论，斯多阿学派的命题逻辑和中世纪形式逻辑。

初创时期

• 莱布尼茨的数理逻辑思想

• 逻辑代数和关系逻辑

奠基时期

• 从弗雷格的《概念文字》到希尔伯特的元数学纲领

• 逻辑演算的建立，素朴集合论、公理集合论

• 逻辑类理论，直觉主义数学基础和逻辑，形式公理学和证明论。

发展初期

• 哥德尔的几项重大结果—完全性定理、不完全性定理和连续统假设的一致性等

• 形式语言中真值概念的定义

• 一般递归函数和图灵机理论，判定问题的重要成果等。

现代时期

• 各种非经典逻辑演算

• 模型论、集合论、递归论和证明论。

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史前时期 古代希腊最伟大的哲学家，古典形

式逻辑的创始人；

在命题中引进了主谓项的变元，建立了三段论的理论；

在逻辑史上第一次应用了形式化、公理化的的演绎系统，开创了逻辑的形式化研究；

构造了模态三段论系统，开创了模态逻辑的研究；

在《工具论》中，总结了正确的推理方法，建立了形式逻辑；在《分析篇》提出公理学理论的基础。

•亚里土多德(Aristotle，公元前384—322)

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史前时期

斯多阿学派的命题逻辑

• 古希腊的一个哲学学派

• 创造了命题逻辑，用形式化和公理化的方法第一次构造了一个命题逻辑系统，给出5种公理化基本推理图式。

• 斐洛 (Philo) 第一个提出了相当于现代命题演算中实质蕴涵的真值表。

• 欧布理得发现了说谎者悖论： –一个说谎的人说“我正在说谎”；

–他是在说谎，还是说真话?

–这一悖论现在归属于语义悖论。

中世纪的形式逻辑

• 中世纪逻辑学家总共陈述了60多条推论原理

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传统逻辑 传统逻辑主要是指亚里士多德逻辑

• 经过中世纪的演变一直沿用到十九世纪;

• 在中世纪被认为金科玉律、完美元缺;

• 到了十九世纪，它的缺点突出，急需改革。

传统逻辑主要缺点：

• 传统逻辑所讨论的子句仅限于主宾式语句，分成四种： –全称肯定A：Asp，凡s均为p；

–全称否定E，Esp，凡s均非p；

–特称肯定I，Isp，有的s为p；

–特称否定O，Osp；有的s非p。

• 限于三段论。

• 没有关于量词的研究，没有“变元”的概念。

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初创时期 德国哲学家和数学家，17世纪末创

建了数理逻辑。

建立一种理想的“通用语言”进行推理。

他曾经给一位友人的信上写道：

• “要是我少受搅扰，或者要是我更年青些，或有一些年青人来帮助我，我将作出一种 “通用代数”(在其中，一切推理的正确性将化归于计算．

• 它同时又将是通用语言，但却和目前现有的一切语言完全不同；其中的字母和字将由推理来确定，除却事实的错误以外；所有的错误将只由于计算失误而来。要创作或发明这种语言或字母将是困难的，但要学习它，即使不用字典，也是很容易的。”

莱布尼茨 (Leibniz，1646—1716)

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初创时期

莱布尼茨预创造两种工具，

• 其一是通用语言 –使用简单明了的符号；

–合理的语言规则；

–便于逻辑分析和综合。

• 另一种是推理演算 –它将处理通用语言；

–规定符号的演变规则、运算规则；

–使得逻辑的演算进行机械式计算。

莱布尼茨的思想是用代数方法处理古典形式逻辑的推理，延续了大约二百年。

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初创时期

德.摩根—关系逻辑

• 19世纪英国数学家和逻辑学家，生于印度；

• 1838年提出“数学归纳法”的概念；

• 首先提出“论域”的概念，第一次明确用公式表达合取和析取的关系，称为德摩根律；

• 主张判断扩充为一般的关系语句，明确主张发展关系逻辑，逻辑代数的创始人之一。 DeMorgan 1806-1871

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初创时期

布尔—英国数学家

• 1847年，发表了《逻辑的数学分析，论演绎推理演算》，1854年出版了《思维法则的探讨，作为逻辑与概率的数学理论的基础》

• 建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念，这是一种新的逻辑。

• 建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。

George Boole 1815-1864

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初创时期 耶芳斯

• 使用相等记号来表示命题中的系词

• 布尔代数引入相容的或运算。

文恩（英国逻辑学家）

• 用图解法表示布尔代数

• 1881年提出符号逻辑

麦柯尔(H．McColl)

• 用字母及字母的组合表示整个命题；

• 沿用流行的符号把“A或B”，“A且B ”，“非A”表为：A+B，AB，A’；

• 引入了A蕴涵B的概念，表示为A:B。

Stanley Jevons 1835-1882

John Venn 1834-1923

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初创时期

皮尔斯C.S.Peirce • 1885年独立地引进了量词这个名称，以及存在量词∑x 和全称量词∏x两个符号。

• 命题代数或命题演算．

• “既非…，又非”作为逻辑作为初始运算。

• 在逻辑史上第一次全面、系统地建立了关系演算。

皮尔斯和弗雷格都明确指出命题只有真假二值，命题的研究实质上是真假值的研究。

Charles S. Peirce （1839-1914）

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奠基时期 弗雷格，德国人，数学家，逻辑学家，哲

学家

1879年的《表意符号》引入和使用量词与约束变元。

1879年出版著作《概念文字：一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》；

第一次把谓词演算形式化,完备地发展了命题演算和谓词演算；

历史上第一个严格的关于逻辑规律的公理系统；这个系统共有三个基本概念：蕴涵、否定和全称量词，共有九条公理。

第一个引入了符号“├” ；

接近于完成数理逻辑整个基础，标志着数理逻辑的发展由创建时期进入奠基时期。

Gottlob Frege 1848-1925

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奠基时期 皮亚诺，意大利数理逻辑学家；

提出了自然数算术的一个公理系统

• 1894年出版《数学公式》，逻辑符号体系沿用至今；

• 用逻辑演算表述数学、推导数学；

• 区分集合论中的“属于”关系和包含关系；

• 关于自然数论的五个公理一直沿用到现在，成为自然数论的出发点。

Giuseppe Peano 1858-1932

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奠基时期 罗素，英国逻辑学家，哲学家；

继承皮亚诺的研究，完备了命题演算和谓词演算的成果；

以集合论为基础，给出了自然数定义，证明了自然数满足皮亚诺的五个公理；

罗素总结了数理逻辑的成果，和怀特海合著了《数学原理》，他的成果汇集成为一本巨著，奠定了数理逻辑的基础。

Bertrand Russell 1872-1970

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公理系统 亚里士多德关于演绎证明的逻辑结构：

• 基本概念

• 通过定义派生概念

• 公理或公设

• 通过逻辑证明定理

• 由初始概念、定义、公理、推理规则、定理等所构成的演绎体系，称为公理系统。

三个公理系统

• 实质公理学：欧几里德， 《几何原本》

• 概括公理：罗巴切夫斯基和黎曼，非欧几何

• 形式公理：希尔伯特，《几何基础》

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欧几里德几何学 欧几里德（325 BC -265 BC ），古希腊数学家；

《几何原本》是一个实质公理系统

• 把点、线、面、角等分为原始定义概念（23）和可定义概念；

• 命题分为公理（5）、公设（5）；

• 由公理公设出发加以证明的定理（467）

从简单到复杂，证明相当严格。从而建立了欧几里得几何学的第一个公理化数学体系。

公设

1.由任意一点到另外任意一点可以画直线。

2.一条有限直线可以继续延长。

3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。

4.凡直角都彼此相等。

5．(平行公设)若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

公理

1．等于同量的量彼此相等。

2．等最加等量，其和仍相等。

3，等量减等量，其差仍相等。

4．彼此能重合的物体是全等的。

5．整体大于部分。

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21 计算机学院 21

平行公理 在《几何原本》所给的公理公设中，第五公设是关于平行线的，通常叫做平行公理。

• 5．(平行公设)若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

1733年，意大利数学家萨克利(Girolamo Saccheri，1667- 1733) ，用反证法证明

• 假设欧氏几何五公设的否定命题，结果推出了一系列命题，始终没有得到矛盾。

非欧几何的发现产生于对平行公设的研究

• 第一，一条直线是否能无限延长？

• 第二，如果二直线无限延长，是否既不平行又不相交，而是无穷接近？

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22 计算机学院 22

非欧几何 俄国数学家罗巴切夫斯基发现了锐角非

欧几何。

• 反证法：从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。

• 三角形内角和小于90度，圆周率大于π。

1854年黎曼发现了钝角非欧几何。

• 在同一平面内任何两条直线都有交点。

• 三角形内角和大于90度，圆周率小于π。

非欧几何是否为真？哪个为真？

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23 计算机学院 23

非欧几何的模型 意大利数学家贝尔特拉米（E.Beltrami）的模型：“

伪球面”它由平面曳物线绕其渐近线旋转一周而得。

• 1868年用伪球面作为罗氏几何的平面有限部分的模型

• 1869提出了用球面作为黎曼儿何的模型，用球面上大圆的部分作为直线。

1870年，德国数学家克莱因用不包括圆周的圆内部一罗氏平面一来解释罗巴切夫斯基几何的工作，使非欧几何在欧氏几何中得到解释。

19世纪末，希尔伯特在实数算术理论中为欧氏几何建立了一个模型。

贝尔特拉米和克莱因使非欧几何建立在欧氏几何模型上；希尔伯特使欧氏几何建立在实数模型上。

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24 计算机学院 24

几何相容性

非欧几何相容性证明

• 只能证明其相对相容性——相对于欧氏几何的相容性，并不能证明非欧几何的(绝对)相容性(即不矛盾性)；

• 如果欧氏几何没有矛盾，那末非欧几何亦没有矛盾。

欧氏几何相容性证明

• 借助于解析几何，一切几何命题都可以表示为代数(实数论上的）命题。

• 如果欧氏几何出现矛盾，那末表述为代数命题以后，也将得出两条互相矛盾的（实数的)代数定理，即实数的代数也就出现矛盾了。

• 欧氏几何相对于(实数)代数的相容性。

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25 计算机学院 25

希尔柏特规划 希尔柏特规划

• 直接证明数学理论的相容性

• 数学理论公理化 –一一规定数学基本概念

–一一列出基本概念的基本性质(作为公理)，

–一一列出逻辑概念(如命题联结词和量词等)

–一一列出逻辑概念的基本性质(所谓逻辑法则)

• 数学上的推导 –不但不必再依靠空间关系、不必再依靠直觉，而

且不必再依靠逻辑法则，可以纯粹机械地推演。

–每步推演表现为由某个逻辑式子变成另一个逻辑式子，逐步演算，便能够由公理出发，最后达到定理．即数学的推演表现为一系列逻辑式子的演变。

证明论的数学基础是形式公理学

证明数学理论的相容性，那便等于要求证明，在数学的推导中，只要从公理出发，绝不可能导出两个互相反对的矛盾命题。

David Hilbert 1826-1943

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26 计算机学院 26

希尔伯特—几何基础

希尔伯特l899年的《几何基础》是形式公理学的奠基著作，它不但给出了欧氏几何的一个形式公理系统，而丛具体地解决了公理方法的一些逻辑理论问题。

• 在《几何基础》里，点、线、面这三个基本概念此没有定义，也没有直观的解释。这是形式公理方法的特征。

• 其它概念是基本概念的导出概念

由于《几何基础》的基本概念没有直观的具体内容，这个系统可以有各种不同的解释即模型。

逻辑理论问题

• 第一个逻辑理论问题是公理的无矛盾性 –在实数的算术理论中为欧氏几何构造一个模型，这就是笛卡儿几何，在此

模型中欧几里德几何五组公理都真。

• 第二个逻辑理论问题是公理的相互独立性 –利用模型方法作出了证明。

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27 计算机学院 27

公理系统比较 实质公理学：欧几里德， 《几何原本》

• 对象、性质和关系先是具体唯一给定的；

• 给定具体初始概念，以及具体导出概念；

• 公理是从已知的事实中选出的少数自明的基本原理；

• 用演绎推理来证明这个对象域中的真理

• 欧几里得几何和牛顿力学都是实质公理学。

概括公理：罗巴切夫斯基和黎曼，非欧几何

• 抽象初始概念；

• 从直观的空间上升到抽象的空间，几何公理不具有自明性；

• 数学绝对真理变为相对真理

形式公理：希尔伯特，《几何基础》

• 抽象的符号对象域；

• 初始概念不加定义；

• 公理是初始概念的定义；

• 公式形式的推演；

• 对初始概念经过不同的解释，一个形式公理系统可以有许多对象域（模型）。

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28 计算机学院 28

形式系统

一个形式系统应当包括以下几部分。

• (1)各种初始符号。初始符号是一个形式系统的“字母”，经解释后其中一部分是初始概念。

• (2)形成规则。规定初始符号组成各种合适符号序列的规则。经解释后合式符号序列是一子句，称为系统里的合式公式或命题。

• (3)公理。把某些所要肯定的公式选出，作为推导其它所要肯定的公式的出发点，这些作为出发点的公式称为公理。

• (4)变形规则。变形规则规定如何从公理和已经推导出的一个或几个公式经过符号变换而推导出另一公式。经过解释，变形规则就是推理规则。应用变形规则进行推导可以得到一系列公式，这些公式经过解释是系统的定理。

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29 计算机学院 29

塔尔斯基的语义学 在1931年，塔斯基(ATarski) 发表了

论文《形式语言中真概念》,提出了形式系统真理论，开拓了逻辑语义学这一重要领域；

塔尔斯基以现代逻辑为手段，用逻辑分析和语义分析的方法，给出了“真”概念实质上适当、形式上正确的定义；

提出了著名的语言层次论，创建了现代意义上的系统的语义学；

1954年，塔斯基建立了模型论；

塔尔斯基证明不可判定性的一般方法。

Alfred Tarski 1902-1983

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30 计算机学院 30

数理逻辑的三大流派 以罗素为代表的逻辑主义派

• 数学即逻辑，两者之间没有分界线。

• 《数学原理》罗素推演，以表明怎样一步一步地从逻辑而过渡到数学；缺乏二公理：无穷公理和选择公理。

• 从逻辑过渡到数学时，必须发展集合论。

以希尔柏特为代表的形式主义派

• 数学的真理性体现在什么地方?

• 逻辑规律的真理性

以布鲁维(L.E.J.Brouwer)为代表的直觉主义派

• 排中律断定每个命题或真或假，两者必居其一．直觉主义不承认排中律

• 一命题真是指已证明其真，一命题假是指证明它为假，亦即当假设它为真时可导致矛盾，因此反证法是可以用的，但只限于用以证明否定命题。

布鲁维

1881 – 1966

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31 计算机学院 31

哥德尔

1931年发表了一篇论文《关于数学原理》一书，证明数理逻辑的不完全定理。在数理逻辑发展史上具有划时代意义。

• 哥德尔完全性定理

• 哥德尔不完全性定理

Kurt Gödel's 1906-1978

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32 计算机学院 32

哥德尔定理 哥德尔利用原始递归函数的工具

• 所使用的符号与式子对应于自然数；

• 推理过程，即式子到式子的变换，则对应于原始递归函数(它是数到数的变换）；

• 性质能够在自然数中反映出来，元定理也都可以表示为自然数论的定理。

哥德尔不完全性定理

• 如果公理包括有自然数理论为其一部分，那末可以找到一个式子A，使将只要该理论是不矛盾的，那末这个式子A及其否定(非A)都不能在该理论中推出。这个A便是所谓形式不可判定的语句。

上述表明希尔伯特规划不可能实现。

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33 计算机学院 33

图灵机和可计算函数 1936年，图灵24岁时发表一篇论文 《论数字计算在判决难题中的应用》，提出著名的“图灵机”的设想。这一思想奠定了现代计算机的基础。

美国计算机协会在图灵去世12年后以他的名字命名了计算机领域的最高奖“图灵奖”。

艾伦·图灵（1912－1954）

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34 计算机学院 34

能行可计算 一般递归函数

• 作出一个形式系统，在其中利用代入及替换两个极有力的运算而能够计算该函数的值的，这个函数便叫做一般递归函数．

图灵机（A.M.Turing）

λ演算（A.Church）

• 函数、自变量、替换规则

Church理论

• 能行可计算的函数与一般递归函数、图灵机、 λ演算相同

波斯特（POST）的符号处理系统

Alonso Church 1903-1995

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35 计算机学院 35

知识论 亚里斯多德的《形而上学》

• 求知是人类的本性

柏拉图将知识定义为被证实的真实信念

• 三个特征：被证实的（justified）、真的（true）和被相信的（believed）。

唯理论与经验论

• 先验知识(先于经验观察)；

• 后验知识 (经验观察之后),也被称作经验性知识。

分析性与综合性

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36 计算机学院 36

自然规律表达—数学描述 伽利略落体定律发现，使他成为精

确描述自然知识的创始人。

经典物理学中的因果原理

• 牛顿用数学描述运动规律；

• 傅立叶传热学基本定律，用来计算热量的传导量

• 麦克斯韦用数学建立电磁学理论和统计物理学原理

用数学函数表达的事件间的相互联系。

• 每一事件均被解释为状态的变化；

• 每一状态均由某些量值表明其特征;

• 而每一自然律则陈述这些量值的各种变化之间的关系，正是这些量值的变化描述了各种各样的事件。

伽利略 牛顿

麦克斯韦 傅立叶

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37 计算机学院 37

自然规律表达—数学描述（续） 数学依然是自然规律描述方法

• 数学分析；

• 微分方程；

• 函数论；

• 泛函分析；

• 拓扑学、运筹学

自然知识获取方式

• 自然知识采用数学方法进行描述。

• 通过数学方法研究其性质、定理。

• 而后，用数学方法获得的结论解释自然现象。

• 如果符合自然现象，则得到了自然知识，否则，修改自然知识的数学描述。

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38 计算机学院 38

科学知识表达 《人类的知识》 [英]罗素

• 关于人类的知识我们可以提出两个问题： –第一、我们知道什么？ –第二、我们是怎样知道这些知识的？

• 科学知识的目的在于去掉一切个人的因素，说出人类集体智慧的发现。

• 语言，这个我们借以表达科学知识的唯一工具 《自然哲学》 [德]莫里茨.石里克

• 自然知识表述为命题；所有的自然律也同样是以命题的形式来表达的。

• 自然科学的全部任务仅仅就在于坚持不懈地审查其命题的正确性，结果这些命题就发展成为越来越牢固地确立的假设。

• 自然科学在普遍性之外还具有精确性。精确知识就是那种可以按照逻辑的原则完全地清楚地表达出来的知识。

• 一门科学所达到的抽象程度越高，它洞察实在的本质就愈深。

石里克

罗素

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39 计算机学院 39

科学知识表达（续） 《逻辑与演绎科学方法论导论》

每一种科学理论都是许多语句组成的系统，这些语句都是被断定为真的，可以叫做定律或断定了命题，或者，就简单的称谓命题。

在数学中，这些语句都按照一些规则一个接着一个排成确定的序列。在数学中，这些语句的正确性都要建立起来。建立语句的正确性，就叫做证明。被证明过的语句，就是我们所谓的定理。

——塔尔斯基

Alfred Tarski 1902-1983

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40 计算机学院 40

自然知识与逻辑语言 自然知识或科学理论都表示为命题描述。

这些命题用一阶逻辑公式。

一阶逻辑的证明方法来进行逻辑演绎。

逻辑结论解释自然现象或科学研究论域。如果符合自然现象或科学研究论域，则获得自然知识，否则，修改自然知识的命题描述。

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罗丹-思想者