人的逻辑推理能力，主要来自语言和数学．学好数学就等于掌握了提高逻辑推理能力的一把金钥匙．

20.5 等腰梯形的判定

知识网络

等腰梯形

四边形四边形

平行四边形

梯形

矩形正方形

直角梯形

菱形

学习目标： 1 、掌握等腰梯形的三种判定方法。2 、能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的证明和计算。3 、通过添加辅助线，把梯形问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化思想。

想一想 我们在前面学过了梯形，那么什么样的图形叫梯形？

B

( 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形 )什么又叫等腰梯形呢？( 两腰相等的梯形 )等腰梯形有那些性质？

① 两腰相等② 同一底上的两个角相等③ 两条对角线相等

A D

C

A B

C D

除此之外，等腰梯形还是轴对称图形，它有一条对称轴，是上下底中点所在直线。

猜想探究

我们知道等腰梯形有三个性质：①等腰梯形的两腰相等；②等腰梯形同一底上的两个底角相等；③等腰梯形的两条对角线相等。 按照前几节课的探索方法，我们可以构造这三个性质的逆命题，只要我们能证明逆命题是真命题，那么这个逆命题就成了判定定理。(1) 等腰梯形的两腰相等的逆命题是什么？

两腰相等的梯形是等腰梯形（这是等腰梯形的定义，这样我们可以把它作为其中一个判定定理。）判定定理 1 ：两腰相等的梯形是等腰梯形 .

A D

B C

∵ AD∥BC ， AB=DC∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形

猜想探究(2) 等腰梯形同一底上的两个角相等的逆命题又是什么呢？

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

你能想出什么方法证明这个命题是真命题吗？

已知：如图：在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，∠ B=∠C求证：四边形 ABCD 是等腰梯形。 A D

B C

过点 A 作 AE∥DC ，交 BC 于点 E 。证明：E

∵ AD∥BC ，即 AD∥EC ，∴ 四边形 AECD 是平行四边形。∴ AE=CD∵ AE∥CD ，∴ ∠AEB=∠C又∵ ∠ B=∠C∴ ∠B=∠AEB ，∴ AB=AE∴ AB=CD∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形

判定定理 2 ：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

A D

B C

∵ AD∥BC ，∠ B=∠C∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形

已知：梯形 ABCD 中， 求证：梯形 ABCD 是等腰梯形 .

A

B C

D

E F

△ABC≌△DCF(AAS)

AD∥BC ，∠ B = ∠C .

1 2A

B C

D

E

△EBC 是等腰三角形△EBC 是等腰三角形

猜想探究(3) 谁能说出等腰梯形的两条对角线相等的逆命题 ?两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

你又能想出什么方法能证明这是个真命题吗？

已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC ， AC=BD 。求证：四边形 ABCD 是等腰梯形。 A D

B C

证明：过点 D 作 DE∥AC ，与 BC 的延长线交于点 E. 得到平行四边形 ACEDE∴ AC∥DE ，且 AC=DE∴ ∠ E=∠1又∵ AC=DB

∴ DE=DB∴ ∠2=∠E∴ ∠1=∠2又∵ AC=DB ， BC=BC∴ △ABC≌△DCB （ SAS ）∴ AB=DC∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形

12

判定定理 3 ：两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

A D

B C ∵ AD∥BC ， AC=DB∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形

A

C

D

B

梯形 ABCD ， AD∥BC结论：① 若 AB=DC

梯形 ABCD 是等腰梯形② 若∠ B= ∠ C 或∠ A= ∠ D

梯形 ABCD 是等腰梯形记住：这些是等腰梯形的判定方法哦！

③ 若 AC = BD梯形 ABCD 是等腰梯形

练一练，比一比 1 、已知：矩形 ABCD 中，点 E 、 F 在边 AD 上， AE=FD 。 求证：四边形 EBCF 等腰梯形。 A E F D

B C2 、已知：如图，梯形 ABCD 中， AD∥BC ，∠ 1=∠2 。 求证：四边形 ABCD 是等腰梯形。

A D

B C

证明：∵　四边形 ABCD 是矩形 ∴ AB=DC ， AD BC∥ ， ∠A= D=∠ 900

∵ AE=DF ∴ △ABE DCF≌△ （ SAS ） ∴ EB=FC ∴ 四边形 EBCF 是等腰梯形。

1 2

证明：过点 D 作 DE AC∥ ，与 BC 的延长线交于点 E 得到平行四边形 ACED 。 ∴ AC DE∥ 且 AC=DE ∴ ∠2= E∠ ∵ ∠1= 2∠ ∴ ∠1= E∠ ∴ DB=DE ∴ AC=DB　 ∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形。（两条对角线相等的梯形是等腰梯形）

E

如图，在梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， 给出条件：∠ A 与∠ C 互补A

C

D

B

梯形 ABCD 是等腰梯形吗？结论：一组对角互补的梯形是等腰梯形一组对角互补的梯形是等腰梯形

达标训练：1 、抢答题 判断正误：（ 1 ）有两个角相等的梯形一定是等腰梯形 .（ 2 ）两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形 .（ 3 ）如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是等腰梯形 .（ 4 ） 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 .（ 5 ）对角互补的梯形一定是等腰梯形 .

2. 有两个内角是 70 度的梯形一定是等腰 梯 形 . ( )

3 、下列说法中，错误的是（ ） A. 有一组对边平行，另一组对边相等的梯形 是等腰梯形 B. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形 C. 有一组邻角相等的四边形是等腰梯形 D. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

C

4 、如图，梯形 ABCD 中， AB∥CD ， M 是 DC 的中点，且 AM=BM ， 梯形 ABCD 是等腰梯形吗？说说你的理由。D

A B

CM

5. 如图，在梯形 ABCD 中， AD BC∥ ，E 是 BC 的中点， EF AB⊥ 于 F ， EG C⊥D 于 G ，且 EF=EG 。 求证：梯形 ABCD 是等腰梯形

5 、如图，四边形 ABCD 由三个全等的正

三角形围成，它是 ____________( 图形），说说为什么？A

B C

D

E

等腰梯形

知识拓展：梯形问题中常用的辅助线作法

1 、平移一腰 2 、作底边上的两条高

3 、平移对角线4 、延长两腰

课堂小结1 、这节课我们学习了等腰梯形的三种判定方法： ① 两腰相等的梯形是等腰梯形。 ② 同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。 ③ 对角线相等的梯形是等腰梯形。2 、我们要能运用等腰梯形的判定方法完成几何证明题。3 、我们还学会了解决梯形问题过程中常用的辅助线的作法。

作业设计• 课本 P 122 习题 20.5 第 1 、 2 、 3 题