111Equation Chapter 1 Section 1CEDIMENTI DIFFERENZIALI DI STRUTTURE DI FONDAZIONE

Quello trattato qui di seguito è un argomento molto delicato. In particolare si concentra l’attenzione su travi di fondazione posate su terreni elastici.Prima, tuttavia, è utile studiare il comportamento di plinti isolati in presenza di cedimenti differenziali (caso che capita abbastanza frequentemente). È chiaro che, in presenza di tali fenomeni, anche le travi, i tramezzi i solai ecc. subiranno degli spostamenti (differenziali o assoluti); tuttavia, mentre le strutture in cemento armato hanno una certa tolleranza rispetto alle deformazioni causate da detti cedimenti, le summenzionate componenti edilizie hanno un comportamento molto più fragile. In particolare murature e tramezzi, in presenza di cedimenti differenziali presentano sicuramente delle lesioni.

6.4.2.2 Verifiche agli stati limite di esercizio (SLE)

“Si devono calcolare i valori degli spostamenti e delle distorsioni per verificarne la compatibilità con i requisiti prestazionali della struttura in elevazione (§§ 2.2.2 e 2.6.2), nel rispetto della condizione (6.2.7).Analogamente, forma, dimensioni e rigidezza della struttura di fondazione devono essere stabilite nel rispetto dei summenzionati requisiti prestazionali, tenendo presente che le verifiche agli stati limite di esercizio possono risultare più restrittive di quelle agli stati limite ultimi.”

Tutte le fondazioni subiscono dei cedimenti perché nessun materiale è perfettamente rigido. Alcuni lo sono più di altri (esempio: la Torre di Pisa poggia su un terreno molto argilloso che presenta caratteristiche di compressibilità diverse nei vai punti, che hanno portato all’inclinazione della torre stessa).

Il criterio per il progetto di una fondazione è quello di limitare i cedimenti in modo che gli edifici non subiscano danni.

Primo passo fondamentale è quello di capire che rapporto c’è fra la rigidezza della struttura superiore e la rigidezza del terreno sul quale poggiano le fondazioni. Nelle figure seguenti è riportato un esempio di una struttura avente la parte superiore molto rigida (parte tratteggiata);

come struttura di fondazione viene utilizzata una normale trave rovescia.

Nel caso a), in cui il carico è centrato, proprio grazie all’elevata rigidità della struttura in elevazione, i punti di contatto della fondazione con il terreno subiscono dei cedimenti (w) ma rimangono sicuramente allineati: si ha una traslazione di corpo rigido. In questo caso i cedimenti differenziali non riguardano i pilastri, ma si hanno fra una sezione e l’altra della trave.Nel caso b), invece, in cui il carico è eccentrico, oltre al cedimento verticale w0 si verifica una rotazione dell’intero corpo di un angolo α0. Anche in questo caso, tuttavia, i punti di contatto della struttura con il suolo rimangono allineati; i cedimenti assoluti sono molto più grandi del caso precedente.

In questo secondo caso si può osservare il diverso comportamento di una struttura di fondazione se essa è infinitamente rigida a) o infinitamente flessibile b) rispetto alla sovrastruttura. Nel primo caso la struttura in elevazione trasmette i carichi alla fondazione senza interferire nella sua deformazione; gli spostamenti relativi o assoluti sono ridotti proprio al minimo: ciò significa che la

struttura superiore non risente (o risente in minima parte) di spostamenti assoluti o relativi. Normalmente questa è la soluzione migliore da adottare perché, in questo modo, la sovrastruttura subisce solo una traslazione di corpo rigido. Tuttavia bisogna tener conto che i carichi, in questo caso, devono essere simmetrici (altrimenti si verificherebbe una rotazione rigida dell’intera struttura).Riassumendo, ai fini del calcolo degli spostamenti e di conseguenza delle sollecitazioni agenti sulla struttura, giocano un ruolo fondamentale il rapporto di rigidezza fondazione/terreno e il rapporto rigidezza fondazione/sovrastruttura. Bisogna sempre cercare di ricondursi quanto più possibile al caso a).

Ci sono, poi, diversi tipi di cedimento:

Nel caso (a) è rappresentato un cedimento uniforme, che, come detto, può presentarsi, ad esempio, quando la fondazione è infinitamente rigida rispetto alla struttura soprastante o rispetto al terreno. Quando il carico è eccentrico il cedimento non sarà più costante (caso (b): Tilt), ma si presenterà anche una rotazione; la struttura sarà afflitta da un cedimento minimo (min) su un lato e da uno massimo (max) sull’altro. Ai fini di questi studi, tuttavia, non è molto importante distinguere il caso (a) dal caso (b), in quanto si tratta sempre di cedimenti assoluti (il secondo caso,

infatti, pur presentando una Distorsione angolare /l, rappresenta sempre un moto di corpo rigido). I problemi nascono quando si presenta un cedimento disuniforme (caso (c)), che si verifica quando non è possibile assicurare l’infinita rigidezza della fondazione. La struttura superiore subisce deformazioni. In questo caso giocano un ruolo fondamentale i cedimenti differenziali, cioè,

sostanzialmente, la differenza = max - min e, ancor più significativo, il rapporto /l, che è detto anche qui distorsione angolare, e che rappresenta la pendenza della retta punto per punto

tangente alla deformata (vedi figura).

Definita questa grandezza è possibile ricavare qual è la massima differenza ammissibile per la struttura oggetto di studio.Di seguito è riportata una tabella che indica gli ordini di grandezza dei vari cedimenti (assoluti o differenziali) che possono causare problemi alle strutture:

I cedimenti ammissibili possono essere riportati anche in funzione delle distorsioni angolari:

In conclusione, lo scopo da prefissarsi durante il dimensionamento delle fondazioni su terreni molto cedevoli, è quello di avvicinarsi quanto più possibile alla condizione ideale di fondazione infinitamente più rigida della sovrastruttura (o del terreno) e di carichi centrati. Oltre alle verifiche di sicurezza già viste, quindi, bisogna eseguire l’importantissima verifica di deformabilità della struttura; in tutte le normative, infatti, oltre allo SLU di verifica per le fondazioni è presente anche lo SLE: bisogna assicurarsi che le deformazioni non vadano oltre un certo limite.

TRAVI DI FONDAZIONE

In presenza di terreni molto cedevoli è ovvio che non è più consigliabile progettare fondazioni su plinti isolati, ma bisogna, quanto più possibile, aumentare la base di fondazione. Se una prima ipotesi potrebbe essere quella di aumentare le dimensione di base dei plinti, si capisce subito che, in tal modo, aumentano anche gli sbalzi rispetto ai fili dei pilastri; per mantenere l’ipotesi di plinto rigido, quindi, bisogna aumentarne l’altezza, ma, così facendo, si potrebbe arrivare a disegnare plinti con dimensioni improponibili (ad esempio con altezze dell’ordine di 2m) e quindi anti-economici.In alternativa si adottano diversi tipi di fondazione, come le travi rovesce, oppure ancora, se il terreno è molto deformabile o molto poco resistente, si creano dei reticoli di travi rovesce (travi nelle due direzioni), o, infine, si predispongono le cosiddette platee, ovvero delle piastre continue ampie quanto l’impronta dell’edificio. Se anche in questo caso, poi, le verifiche agli SLU e SLE non dovessero risultare soddisfatte, è necessario passare alle fondazioni indirette.Il problema ora diventa più complesso rispetto al precedente, perché, se prima, adottando la soluzione a plinti rigidi, l’andamento nel terreno era lineare e risolvibile riferendosi semplicemente alle equazioni cardinali della statica, nel caso di travi rovesce è molto difficile ottenere una fondazione infinitamente rigida; essa ammetterà sempre possibilità di deformarsi.Una trave di fondazione collega le basi di tutti i pilastri e, quindi, può essere schematizzata come una trave sulla quale, a distanze corrispondenti alle luci dei pilastri, agiscono carichi concentrati o momenti flettenti (trasmessi dai pilastri). I vincoli che stabiliscono l’equilibrio di questa trave sono rappresentati dal terreno: i carichi verticali puntiformi saranno equilibrati direttamente dalla reazione del terreno.

In prima analisi, quindi, risulta molto importante (e anche difficile) studiare il comportamento di questa trave rispetto al terreno: bisogna capire se il comportamento sarà rigido o flessibile, se l’andamento delle tensioni sul terreno hanno andamento lineare o generico ecc.

Trave su suolo elastico (suolo alla Winkler)

Per risolvere questi problemi è stato ideato un metodo di progettazione delle fondazioni valido e molto usato a tutt’oggi: la trave su suolo elastico (suolo alla Winkler). Si ipotizza, appunto, che il terreno su cui poggia la struttura di fondazione abbia un comportamento elastico. Questo procedimento si dimostra valido se le tensioni agenti sul terreno non superano un certo limite.Le ipotesi formulate da Winkler (e poi corrette da Hetenyi) sono le seguenti:

il terreno è in grado di reagire nelle due direzioni verticali, ovvero sia agli abbassamenti che agli innalzamenti.

la reazione del terreno è in ciascun punto proporzionale allo spostamento verticale del punto stesso (t = K) secondo una specifica costante di sottofondo K che si assume indipendente dalle dimensioni e dalla rigidezza della fondazione, indipendente dalla pressione esercitata e uniforme in tutti i punti dell’area d’impronta. K rappresenta la forza da applicare all’unità di superficie per produrre un abbassamento unitario (Kg/cm3) ed è dipendente dal tipo di terreno in esame.

lo spostamento in un punto è indipendente dagli spostamenti in tutti gli altri punti, il che vale a dire che si suppone nulla la coesione del terreno (ovvero che non trasmette sollecitazioni taglianti).

Un terreno di questo tipo lo si può, quindi, immaginare come un sistema di molle elastiche (di rigidezza K e indipendenti l’una dall’altra) al di sotto la trave di fondazione.Questo schema teorico, tuttavia, non è esente da limiti: ad esempio, in prossimità delle estremità della trave, si crea una discontinuità nella deformata del terreno (se si immagina che lo spostamento di ogni punto è indipendente, infatti, è come se sotto l’estremità fosse posizionata una molla di rigidezza nota e, immediatamente affianco, non ci sia niente); in ultima analisi, però, questo è un errore accettabile.Di seguito è riportata una tabella che riporta l’ordine di grandezza di K per i tipi di terreno più comuni:

la formula per ricavare la costante di sottofondo è, invece, la seguente:

dove:

Es è il modulo di elasticità longitudinale del terreno s è il coefficiente di Poisson del terreno Iw è il fattore di forma della fondazione (variabile da 0.83 per base

quadrata a 3.58 per trave infinitamente lunga) B è la dimensione minima della base della fondazione

N.B. Commettere un errore nella valutazione di K incide poco sui risultati di

dimensionamento della trave.

Nella figura seguente è riportato lo schema del funzionamento della trave su suolo elastico: sono presenti dei carichi puntuali (P1 e P2) in corrispondenza dei pilastri, un carico distribuito q(x) (tutto avente risultante Q) e, nel terreno, per ragioni di equilibrio, la reazione totale r(x) (con risultante R = Q) sviluppata dalle molle.

N.B. Sempre per ragioni di equilibrio R deve avere lo stesso punto di applicazione di Q, altrimenti non ci sarebbe equilibrio alla rotazione della trave di fondazione.Si suppone inizialmente che la trave di fondazione abbia una larghezza costante di valore B; moltiplicando tale valore per la rigidezza K si ottiene il carico reattivo del terreno per unità di lunghezza della trave di fondazione :

Come accennato il terreno ha un comportamento elastico, quindi, chiamando (x) l’abbassamento del generico punto dell’area di impronta, la reazione del terreno sarà data da:

e ancora si avrà:

si può esprimere anche l’equazione indefinita di equilibrio della trave (equilibrio di un elemento infinitesimo) con questa relazione:

N.B. in genere il carico q(x) che agisce sulla trave di fondazione non è di grande entità (i carichi della sovrastruttura, infatti, vengono trasmessi alla trave dai pilastri; q(x) può essere un carico dovuto alla pavimentazione del piano più basso, o dei tramezzi che poggiano direttamente su di essa) e, in ultima analisi, può essere anche considerato uniformemente distribuito; se sulla trave, quindi, agisse solo questo carico q(x) uniformemente distribuito e costante, la trave subirebbe uno spostamento costante per tutta la lunghezza: ne deriva che q(x) non inciderà sul proporzionamento della trave, ma, al massimo, andrà ad incrementare il valore delle tensioni sul terreno. Di conseguenza si ipotizza, inizialmente, di trascurare il carico distribuito e prendere in esame solamente i carichi concentrati.

Dal punto di vista matematico ciò significa che al posto di considerare la precedente equazione differenziale del quarto ordine, si utilizza l’omogenea associata, ovvero si annulla il termine noto; si ottiene:

dove , cioè , con H altezza della trave; osservando i termini dell’equazione si capisce che ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza (1/m), quindi,

ovviamente la grandezza avrà le dimensioni di una lunghezza .N.B. dipende dalla radice quarta di K; ciò implica che, pur commettendo errori molto grossi su K, l’influenza su è minima: ad esempio, se si sceglie un valore di K 16 volte più grande di quello che è in realtà, la variazione di sarà solo del doppio; ma, dato che è impossibile sbagliare di così tanto il valore di K, l’influenza di un eventuale errore su sarà davvero minima: se si prende un valore di K pari al doppio di quello reale, si commette un errore di circa il 10% su

. Ricordando, poi, che per avere la soluzione generale dell’equazione differenziale, bisogna aggiungere alla soluzione dell’omogenea associata, indicata con (0), la soluzione dell’integrale particolare, indicata con (1), si ha:

per q = cost

dove la soluzione dell’omogenea associata è data da:

Nota: gli spostamenti (0) sono dati dalla somma di due contributi, uno dipendente da e-x e l’altro dipendente da ex; si capisce, quindi che, se il primo sarà tanto minore quanto maggiore sarà la coordinata x rispetto all’origine, il secondo, al contrario, crescerà all’aumentare della stessa distanza x.

Una volta calcolati gli spostamenti (0) (conoscendo le costanti C1, C2, C3 e C4), inoltre, si possono ricavare le rotazioni , i valori del momento M e i valori del taglio T:

Travi di lunghezza infinita con carico verticale

Immaginando di avere una trave di lunghezza seminfinita sulla cui sezione d’estremità vi siano una forza e un momento generici, ne consegue che, all’altra estremità, posta a distanza infinita, le sollecitazioni e gli spostamenti tendano a 0; il ragionamento è lo stesso per travi di lunghezza infinita con carico centrato. Tuttavia nell’espressione di (0), per x = , il secondo termine tende a e, quindi, anche le sue derivate, e di conseguenza i valori delle sollecitazioni, tendono a . Per fare in modo che questo non accada le costanti C3 e C4 devono essere pari a 0; l’equazione della linea elastica si semplifica notevolmente:

Nota: in molti libri di testo questa equazione si può trovare anche in quest’altra forma:

dove è posto

In sostanza basta conoscere due costanti (C1 e C2) per ricavare l’andamento degli spostamenti. Per ricavare tali costanti basta imporre le condizioni al contorno:

ne deriva che le costanti hanno valgono:

andando a sostituire nell’equazione della linea elastica si ottiene:

Come si può notare in figura il fattore e-x è un fattore di smorzamento; ciò significa che al crescere della distanza x dall’origine 0, diventa sempre più piccolo. Si possono ricavare anche i valori di spostamento e momento massimi che saranno pari a:

Conoscendo lo spostamento massimo e moltiplicandolo per la costante di sottofondo si può ottenere il valore massimo della tensione:

Come è possibile riscontrare anche dalle unità di misura: , che è proprio l’unità di misura di una tensione.

Travi di lunghezza infinita con coppia

Lo stesso procedimento visto in precedenza può essere adottato nel caso in cui, al posto di un carico P0, fosse applicata una coppia. Partendo sempre dall’equazione della linea elastica

si impongono come condizioni al contorno, per x = 0

se ne ricavano i valori delle due costanti

e l’espressione degli spostamenti

anche in questo caso, infine, si possono ricavare i valori massimi di spostamento e sollecitazione tagliante:

In questo caso la sezione di applicazione della coppia diventa una sezione di emisimmetria; in figura sono riportati deformata, grafico degli spostamenti, delle rotazioni, del momento flettente e del taglio. A differenza del caso precedente lo spostamento massimo non si avrà più in corrispondenza dell’origine, ma sarà più spostato verso destra (positivo) e verso sinistra (negativo). Analogamente il taglio massimo, essendo la sezione di emisimmetria, non si attingerà più in mezzeria, ma immediatamente dopo.

Ritornando all’esempio precedente di trave di lunghezza infinita con carico concentrato si possono fare delle considerazioni importanti.Come detto il grafico dello spostamento assume un andamento man mano smorzato quanto più ci si allontana dall’asse di simmetria (passante per l’origine 0); più precisamente si dice che l’andamento di è descritto da una funzione sinusoidale smorzata avente fattore di smorzamento pari a e-x.Essendo una funzione sinusoidale, se ne può definire la lunghezza d’onda, indicata con . Nel caso in esame la lunghezza d’onda (che è una distanza) può essere ricavata tramite:

Si può introdurre, quindi, una nuova grandezza detta lunghezza caratteristica della trave che sarà data da:

Nota: anche in questo caso si può ottenere un riscontro dal punto di vista delle unità di misura: se, infatti, come detto, ha come unità di misura 1/m, L* avrà proprio le dimensioni di una lunghezza.

La lunghezza caratteristica L* rappresenta la distanza fra le sezioni della trave in figura in cui lo spostamento è circa la metà di quello massimo max. Per farsi un’idea dell’ordine di grandezza di L*, basta notare che equivale praticamente a un terzo di .Il fattore di smorzamento, inoltre, vale

il che dà la misura del rapido abbattimento degli effetti generati dal carico all’allontanarsi della sezione di applicazione dello stesso.

A distanze superiori a /2 dalla sezione di applicazione del carico, la trave rimane praticamente inerte e, pertanto, in pratica, se una trave di lunghezza finita ha gli estremi distante sezione di almeno /2 i risultati della trave di lunghezza infinita o seminfinita sono applicabili anche ad essa.

Rigidezza relativa fra trave e terreno

Hetenyi, nel suo famosissimo libro “Beam on elastic foundations”, definisce la deformabilità e la rigidezza della trave; ciò è utile per capire qual è il comportamento della stessa rispetto al terreno e rispetto alla struttura superiore.Si introducono due grandezze fondamentali:

D=L/L* deformabilità relativa trave-terreno

W=L*/L rigidezza relativa trave-terreno (sarà quella utilizzata nella trattazione di seguito)

REM: La grandezza L* non è correlata alla lunghezza L della trave

A seguire sono riportati alcuni casi fondamentali:

a) TRAVE RIGIDA

ovvero In questo caso la trave è all’incirca 2.5 volte più piccola di L* (grandezza ricavata rispetto alla trave di lunghezza infinita). Le sue dimensioni, quindi, sono molto piccole e, di conseguenza, lo saranno anche gli spostamenti dei quali sarà affetta. Un carico applicato alla trave fa in modo che gli abbassamenti siano praticamente gli stessi, qualsiasi punto si prenda in esame. Ciò significa che la trave, rispetto al terreno, ha un comportamento rigido. Gli spostamenti seguono la legge lineare, quindi sono sufficienti solo equazioni di equilibrio per risolvere il problema.Nel caso in cui sia presente un carico eccentrico la situazione non cambia di molto: il diagramma non è più uniforme, ma, essendo la trave molto corta, esso si mantiene lineare. La tensione risulta più grande ad un’estremità rispetto ad un’altra, ma il problema può essere risolto comunque utilizzando solamente equazioni di equilibrio.Risulta chiaro a questo punto che, per far si che i cedimenti siano ridotti al minimo, bisogna progettare la fondazione in modo tale che il carico sia centrato e che essa sia circa 1/3 della lunghezza caratteristica (questa dipende da , la quale, a sua volta, è funzione delle dimensioni della trave); è importante, quindi, dare delle dimensioni adeguate alla trave in modo che la lunghezza caratteristica risulti 2.5 volte maggiore della lunghezza L (è chiaro che questo, tuttavia, va ad influire sui costi di realizzazione).

b) TRAVE DEFORMABILE DI LUNGEZZA FINITA

ovvero In questo secondo caso la lunghezza della trave varia da 1/3 a 3 volte la lunghezza caratteristica; ciò significa che la trave è una trave di lunghezza finita, il che equivale a dire che qualunque sia il carico applicato sulla stessa, gli effetti sono risentiti su tutta la trave ed essa risulta deformabile (gli effetti di un carico applicato ad un’estremità non sono trascurabili sull’altra estremità). Gli abbassamenti , inoltre, non seguono la legge lineare.

c) TRAVE DEFORMABILE DI LUNGHEZZA INFINITA

ovvero La lunghezza della trave è maggiore di tre volte la lunghezza caratteristica L*. In queste condizioni la trave può essere considerata di lunghezza infinita, nel senso che un’azione applicata ad un estremo produce effetti trascurabili all’altro estremo. Si verificheranno dei forti cedimenti differenziali fra una sezione e l’altra.

In conclusione, dato che la lunghezza L è dettata dal progetto strutturale dell’edificio (distanza fra i pilastri), per ottenere delle condizioni ottimali il progettista deve intervenire sulle dimensioni della sezione della trave (altezza e profondità).

N.B. Quanto detto finora, però, non va preso pedissequamente alla lettera; si possono verificare delle condizioni di carico tali da cambiare il comportamento della trave: il modello preso in esame, infatti, è costituito da una trave soggetta ad un solo carico concentrato, quando, nella realtà progettuale, i carichi applicati sono svariati. L’applicazione di più carichi non è più importante tanto la lunghezza totale della trave, ma diventa fondamentale la distanza fra i punti di applicazione delle forze (Lm).

Dimensionamento di una trave continua di fondazione

Il diagramma di riportato in figura può, con buona approssimazione, essere ricondotto ad un diagramma lineare, in modo tale che lo studio sia molto più semplice. Nel caso di carichi tutti uguali e luci Lm uguali con L*/ Lm = 1 (ovvero Lm = L*) si ottiene un diagramma costante della reazione del terreno (esclusi gli sbalzi). Se si approssima la campana degli abbassamenti con un triangolo di base 2/ = 2 L* ed altezza pari a max si ottiene il diagramma di figura (tensione

costante esclusi gli sbalzi). In questo modo la trave di fondazione risulta infinitamente rigida, perché, appunto, presenta un diagramma lineare costante (tranne che per gli sbalzi laterali). Il problema può essere risolto con sole equazioni di equilibrio.Si capisce allora come, mentre nel caso di carico isolato è fondamentale la lunghezza della trave, nel caso di più carichi concentrati diventa preminente l’interasse fra gli stessi per capire se la trave può avere un comportamento rigido o meno.

Nel caso di carichi tutti uguali e luci uguali con L*/ Lm < 1, si ottiene un diagramma della reazione del terreno non più uniforme. Se si approssima la campana degli abbassamenti con un triangolo di base 2/ ed altezza pari a max con L*/ Lm = 0.5, ossia Lm = 2L*, i carichi, a differenza del caso precedente, non si influenzano fra di loro.

La trave può essere, quindi, assimilata ad una trave di lunghezza infinita sottoposta a carico P. Anche in questo caso la soluzione è nota. L’espressione della tensione massima è la seguente:

dove si assume il coefficiente 1.15 per tenere conto del peso proprio della trave e il coefficiente 2 perché l’andamento del diagramma è triangolare.

N.B. Come accennato in precedenza si capisce quanto L* sia una grandezza

fondamentale. Bisogna ricordare sempre che, tanto più è piccolo , tanto più sarà grande L* e, tanto più è grande L*, tanto più la trave sarà rigida. È il progettista che diventa “artefice” della rigidezza della trave, decidendone le dimensioni e di conseguenza il rapporto L*/L. Ne consegue che, in tal modo, si possono controllare i cedimenti assoluti e relativi che possono affliggere la struttura di fondazione.