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Equazioni Differenziali

OrdinarieEsercizi

R. Argiolasanno accademico 2003/2004


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Equazioni Differenziali Ordinarie

2

Sommario

Introduzione

Richiami

1)

Equazioni differenziali lineari del primo ordine 5

2) Equazioni a variabili separabili 8

3) Equazioni differenziali lineari del secondo ordine 13

3.a Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti

3.b Ricerca degli integrali particolari dell’equazione completa

4) Equazioni differenziali omogenee di ordine superiore al secondo 38

5) Equazioni differenziali non omogenee di ordine superiore al secondo 41

6) Il Metodo Della Variazione Delle Costanti Arbitrarie 43

7) L’Equazioni di Bernoulli 45

8) Il Problema di Cauchy: le condizioni iniziali 48

9) Il Teorema di Cauchy: esistenza e unicità della soluzione 51

9.a Il teorema di Cauchy in 2ℜ 9.b Il corollario del teorema di Cauchy

10) Integrali singolari per equazioni in forma normale 59

11) Equazioni differenziali in forma non normale 70

11.a L’Equazioni di Clairaut

12) Il Problema di Cauchy per equazioni in forma non normale 74

13) Integrali Singolari per equazioni in forma non normale 79


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3

Introduzione

Le equazioni differenziali ordinarie nacquero come risposta diretta a molti problemi

fisici sorti nel Settecento, ma buona parte delle ricerche sulle equazioni differenziali

hanno coinvolto anche la meccanica e la geometria. Sarà Cauchy che porrà e risolverà il

problema di dimostrare a priori l’esistenza e l’unicità della soluzioni per equazioni

differenziali in forma normale introducendo per esse il problema dei dati iniziali che poi

prenderà il suo nome. Verso la fine del diciannovesimo secolo nascono invece problemi

connessi con la dipendenza continua dai dati e del comportamento della soluzione nelle

vicinanze dei punti stazionari.

Successivamente, studiando sopratutto problemi connessi con le corde vibranti, i

matematici introdussero le equazioni alle derivate parziali.

Scopo di questa dispensa è illustrare, attraverso esempi ed esercizi, le più comuni

tecniche di risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie, ponendo attenzione

sopratutto ai metodi di risoluzione delle equazioni differenziali del secondo ordine a

coefficienti costanti. Inoltre verrà affrontato il problema di esistenza e unicità della

soluzione del Problema di Cauchy per equazioni in forma normale e non normale.

Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno darmi consigli e segnalarmi

eventuali errori che permetteranno di migliorare il mio lavoro.

R.A.


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4

Richiami

Definizione

Sia f(x) una funzione definita su un intervallo I. Un’ equazione differenziale ordinaria èuna equazione che coinvolge f ed un certo numero di sue derivate e vale per ogni I x ∈

Definizione

Si dice ordine di una equazione differenziale l’ordine più alto di derivazione che

compare nell’equazione.

Definizione

Si dice che f(x) è soluzione dell’equazione differenziale( ) 0),...,,( =′ n y y y x E se per

qualsiasi I x ∈ risulta:

( ) ( ) ( ) 0),...),(,( =′ x f x f x f x E n

Definizione

Una famiglia di funzioni dipendenti da un certo numero di parametri si chiama

integrale (soluzione) generale se contiene tutte le soluzioni dell’equazione

differenziale.

Definizione

Si chiama integrale (soluzione) particolare di un equazione differenziale quella

soluzione dell’equazione che non dipende da parametri.

Definizione

Le condizioni che permettono di determinare una soluzione particolare dall’integrale

generale si chiamano condizioni iniziali .

Definizione

Assegnata un equazione differenziale e delle condizioni iniziali, il problema che

permette di determinare l’integrale particolare dell’equazione differenziale che soddisfi

le condizioni iniziali prende il nome di Problema di Cauchy (in piccolo).

Definizione

Un equazione differenziale risolta rispetto alla derivata di ordine massimo, cioè deltipo:

( ) ),...,,( 1−′= nn y y y x E y

si dice equazione differenziale in forma normale.


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5

1. Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Equazioni lineari

Definizione

Un equazione differenziale 0),...,,( 1 =′ −n y y y x E si dice lineare se

ℜ∈∀≠∀ bavuvu ,,,, si ha:

( ) ( )( )( )( ) ( )( )nn

nn

vvvbE uuuaE

bvauvbuabvau E

,.....,,,.....,,

,.....,,

′+′

=+′+′+

L’equazione differenziale della forma

( ) ( ) )()( xb x y xa x y =+′

di primo grado rispetto ad y y ,′ si chiama equazione lineare non omogenea se

0)( ≠ xb , altrimenti si dice omogenea.

La formula risolutiva di tale equazione è:

+=

∫

∫∫−

dxe xbce y

dx xadx xa )()(

)(

Vediamo qualche esempio.

Esempio

Risolvere la seguente equazione differenziale lineare del primo ordine:

2 x y y =+′

Utilizzando la formula risolutiva, si ha:


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6

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) .2222

:quindi

22222

:hasiintegraleultimol'nteseparatamecalcolando

222

2222

22

+−+=+−+=+=

+−=+−=−=

+=

+=

−−−

−−

∫

∫∫

∫∫ ∫∫

x xcee x xcedxe xce x y

e x xe xee xdx xee xdxe x

dxe xcedxe xce x y

x x x x x

x x x x x x x

x xdxdx

Esempio 2


x y x y 2cos2tan =⋅−′

Svolgimento

Utilizzando la formula risolutiva, si ricava:

( ) .2

2sin

2cos

12cos

2cos

1

2cos2cos)2log(cos

2

1)2log(cos

2

12tan2tan

+=+=

=

+=

+=

∫

∫∫ −−∫∫

xc

x xdxc

x

dxe xcedxe xce y x x xdx xdx

Esercizio 1


x y y sin=+′

Svolgimento

Si trova:


7/84


7

( )

( )

( ) ( ) ( ) x xcee x xcedx xece y

e x xdx xe

dx xe xe xedx xe xedx xe

dx xecedx xece y

x x x x x

x x

x x x x x x

x xdxdx

cossin2

1cossin

2

1sin

:Pertanto

cossin2

1sin

sincossincossinsin

:ottienesiintegraleultimol'nteseparatamecalcolando

sinsin

−+=

−+=+=

−=

⇒−−=−=

=+=

+=

−−−

−−

∫

∫

∫∫∫

∫∫ ∫∫

Esercizio 2


x y x y 2sinsin =⋅+′

Svolgimento

Si trova:

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( ) xcee xcedx xece y

e x

et dt tedx xe

dx xecedx xece y

x x x x x

x

t t x

x x xxdx xdx

cos12cos122sin

:cheseguequestoda

cos12

ndorisostitue122)tcosx posto(2sin

:integraleultimol'nteseparatamecalcoliamo

2sin2sin

coscoscoscoscos

cos

cos

coscossinsin

++=++=+=

+=

==+=−===

+=

+=

−−

−

−−−

−−

∫

∫∫

∫∫ ∫∫

Esercizio 3



8/84


8

( )( )3

3

4

3

12

>−

−=

−+′ x

x

x y

x y

Svolgimento

Si trova:

( ) ( )( )

( ) .43

1

3

1

33

4

3

1

3

4

3

2

3

12

3

1

−+

−=

=

−

−

−+

−=

−

−+= ∫∫

∫∫ −−−

xc x

dx x x

xc

xdxe

x

xce y

dx x

dx x

Esercizio 4


2

4sin2

x

x y

x y =+′

Svolgimento

Si trova:

x x x

c xc

xdx x

x

xc

x

dxe x

xcedxe

x

xce y

x xdx

xdx

x

4cos4

14cos

4

114sin1

4sin4sin

222

2

22

log2

2

log2

2

2

2

−=

−=

+=

=

+=

+=

∫

∫∫ −

− ∫∫

2. Equazioni a variabili separabiliLe equazioni a variabili separabili sono del tipo:

( ) ( ) ( ) yb xa x y =′

dove a(x) e b(y) sono funzioni continue.

Consideriamo un intervallo J in cui ( ) 0≠ yb e dividiamo entrambi i membridell’equazione per ( ) yb :


9/84


9

( )( )

( ) xa yb

x y=

′

Integrando ambo i membri rispetto ad x, si trova:

( )( )( )

( )∫∫ =′

dx xadx x yb

x y

da cui segue che:

( ) ( ) cdx xa

yb

dy+= ∫∫

Esempio

Risolvere la seguente equazione differenziale a variabili separabili

( ) ( )213 y x x y +=′

Svolgimento

Si trova:

∫∫ =+

xdx y

dy3

1 2

integrando:

c x y += 22

3arctan

da cui segue che:

+= c x y 2

2

3tan

Esercizio 1


( ) 22 1 ye x y x −=′

svolgimento

Si osservi che ( ) 22 1 ye x y x −=′ è definito per 01 2 ≥− y quindi [ ]1,1−∈ y . Si osserviche poter dividere è necessario richiedere che 1±≠ y ,


10/84


10

∫∫ =−

dxe y

dy x221

da cui segue che

ce

y x

+=2

arcsin2

quando [ ]1,1−∈ y

quindi:

+= c

e y

x

2sin

2

purché222

2 π π ≤+≤− c

e x

Esercizio 2


( )( )2

2

1

1

x xy

y x y

−

−=′

Svolgimento

L’equazione è definita per 0 e 1,1,0 ≠∀−≠∀ y x

Si osservi che poter dividere è necessario richiedere che 1±≠ y ,

Separando le variabili si ottiene:

( )( )22 1

1

1 x x x y

y

y

−=′

−

integrando separatamente primo e secondo membro:

( ) ( )( ) 22

2

2

1log1log

2

11log

2

1log

11

1

1

1

1log2

1

1

x

xcc x x xdx

x x xdx

x x

ydy y

y

−=++−−−=

+−=

−

−=−

∫∫

∫

da cui segue che:

2

2

1log1log

2

1

x

xc y

−=−

esplicitando si ricava:


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11


12/84


12

Supponendo che ( ) 0≠t N l’equazione è a variabili separabili. Dividendo per ( )t N eintegrando rispetto a t si ottiene:

( ) ( ) pt c pt Aeet N c pt t N −+− ==⇒+−=log

La costante A indica che non è possibile conoscere il numero dei neutroni all’istante t se

non si conosce il numero di neutroni all’istante iniziale0

t . Ponendo 00 == t t si ottiene

( ) A N =0 , di conseguenza la costante A rappresenta il numero di neutroni presentiall’istante 0. Possiamo quindi dire che ( ) pt Aet N −= è soluzione del problema diCauchy:

( ) ( )

( )

=

−=′

A N

t pN t N

0

Esempio

Il modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni

Si considera una popolazione che evolve isolata, i cui fattori di evoluzione sono soltanto

la fertilità e la mortalità.

Indichiamo con ( )t N il numero di individui presenti al tempo t e con α e β rispettivamente il numero di nuovi nati e di morti per individuo nell’unità di tempo t.

In un intervallo temporale h il numero di individui in un tempo h sarà:

( ) ( ) ( ) ( )t hN t hN t N ht N β α −=−+

dividendo per h facendo tendere h a zero si ottiene:

( ) ( ) ( )t N t N β α −=′

la cui soluzione (procedendo separando le variabili) è:

( ) ( )t

Aet N

β α −

= .


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13

3.Equazioni differenziali lineari del secondo ordine

Le equazioni differenziali lineari del secondo ordine si presentano nella seguente forma:

(1) )()()()()()( x f x y xb x y xa x y =+′+′′

E’ possibile dimostrare che l’insieme delle soluzione dell’equazione differenziale del

secondo ordine è, in generale, costituita da una famiglia di funzioni dipendenti da due

parametri21

, cc . Tale famiglia prende il nome di integrale generale dell’equazione

differenziale del secondo ordine. Se il termine noto f(x) è uguale a zero l’equazione si

dice omogenea, in caso contrario non omogenea. Se poi a(x) e b(x) sono costanti,l’equazione si dirà a coefficienti costanti.

Sappiamo che l’integrale (soluzione) generale dell’equazione differenziale lineare del

secondo ordine (1) può essere scritta come somma dell’integrale generaledell’equazione omogenea associata alla (1) più un integrale particolare della (1).

In particolare si ha:

Teorema fondamentale delle equazioni differenziali lineari

“L’insieme delle soluzioni dell’equazione differenziale lineare non omogenea (1) è dato

dall’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea associata sommata ad una

soluzione particolare dell’equazione non omogenea.”

In altre parole l’integrale generale dell’equazione non omogenea (cioè la soluzione) può

essere rappresentato come somma di una soluzione particolare della stessa equazionenon omogenea sommata all’integrale generale dell’equazione omogenea.

3.a Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee a coefficienti

costanti.Iniziamo quindi a vedere come è possibile determinare le soluzione di un’ equazioneomogenea a coefficienti costanti, cioè un equazione del tipo:

(2) 0)()()( =+′+′′ xcz x z b x z a

Le soluzioni di tale equazione si trovano risolvendo prima l’equazione caratteristicaassociata alla (2):

(3) 02 =++ cba λ λ

La (3) rappresenta un’equazione di secondo grado, le cui radici sappiamo dipendono dal

segno del delta: acb 42 −=∆ Sappiamo che possono verificarsi tre casi:

1. 042 >−=∆ acb


14/84


14

In tal caso l’equazione (3) presenta due radici reali distinte .,21

λ λ L’integrale generale

della (2) sarà:

x x ecec x z 22

1

1)( λ λ +=

2. 042 =−=∆ acb

l’equazione (3) ha due soluzioni reali coincidenti .21 λ λ λ =≡ . L’integrale generale

della (2) sarà:

x x xecec x z λ λ 21

)( +=

3. 042 ∆

x x xecec λ λ 21

+ se 0=∆

)sincos(21

xc xce x β β α + se 0


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15

Il polinomio caratteristico associato all’equazione omogenea e’ 0384 2 =+− λ λ , le cui

radici reali distinte sono2

3 ,

2

121 == λ λ .

Seguendo lo schema precedente, l’integrale generale cercato e’ 23

22

1

x x

ecec y += .

b) 02116 =−′−′′ y y y

Il polinomio caratteristico associato e’ 021162 =−− λ λ , anche in questo caso le radici

del polinomio sono reali distinte sono6

1 ,2 21 −== λ λ .

L’integrale generale cercato e’ 6

2

2

1

x

x ecec y−

+= .

c)

051112 =−′−′′ y y y

Il polinomio caratteristico associato e’ 051112 2 =−− λ λ , la cui radici reali distinte

sono4

5 ,

3

121 =−= λ λ . L’integrale generale cercato e’

4

5

23

1

x x

ecec y += −

.

d) 02110 =−′+′′ y y y

Il polinomio caratteristico associato e’ 021102 =−+ λ λ , la cui radici reali distinte

sono5

7 ,

2

321 =−= λ λ . L’integrale generale cercato e’

5

7

22

3

1

x x

ecec y += −

.

e) 016249 =+′−′′ y y y

Il polinomio caratteristico associato e’ ( ) 04316249 22 =−=+− λ λ λ . In questo caso le

radici sono reali coincidenti e sono3

421 == λ λ .

Seguendo lo schema sopra indicato si ha che l’integrale generale cercato e’

3

4

23

4

1

x x

xecec y += .

f) 049284 =+′+′′ y y y

Il polinomio caratteristico associato e’ ( ) 07249284 22 =+=++ λ λ λ , la cui radici reali

coincidenti sono2

721 −== λ λ . L’integrale generale cercato e’

2

7

22

7

1

x x

xecec y−−

+= .


16/84


16

g) 069 =+′−′′ y y y

Il polinomio caratteristico associato e’ ( ) 013169 22 =−=+− λ λ λ , la cui radici reali

coincidenti sono3121 == λ λ . L’integrale generale cercato e’

32

31

x x

xecec y += .

h) 0366025 =+′−′′ y y y

Il polinomio caratteristico associato e’ ( ) 065366025 22 =−=+− λ λ λ , la cui radici

reali coincidenti sono5

621 == λ λ . L’integrale generale cercato e’

5

6

25

6

1

x x

xecec y += .

i) 08119 =+′−′′ y y y

Il polinomio caratteristico associato e’ 08119 2 =+− λ λ , la cui radici complesse sono

18

167

18

11 ,

18

167

18

1121 ii −=+= λ λ . L’integrale generale cercato e’

+= xc xce y

x

18

167sin

18

167cos 21

18

11

.

j) 0972 =+′−′′ y y y

Il polinomio caratteristico associato e’ 0972 2 =+− λ λ , la cui radici complesse sono

4

23

4

7 ,

4

23

4

721 ii −=+= λ λ . L’integrale generale cercato e’

+= xc xce y

x

4

23sin

4

23cos 21

4

7

.

k) 075 =+′+′′ y y y

Il polinomio caratteristico associato e’ 0752 =++ λ λ , la cui radici complesse sono

2

3

2

5 ,

2

3

2

521 ii −−=+−= λ λ . L’integrale generale cercato e’

+=

−

xc xce y

x

2

3sin

2

3cos 21

2

5

.

l)

0234 =+′+′′ y y y


17/84


17

Il polinomio caratteristico associato e’ 02342 =++ λ λ , la cui radici complesse sono

4

23

4

3 ,

4

23

4

321 ii −−=+−= λ λ . L’integrale generale cercato e’

+=

−

xc xce y

x

4

23sin

4

23cos 21

4

3

.

Un caso semplice

• Risolvere la seguente equazione differenziale del secondo ordine omogenea acoefficienti costanti:

0=′′ y

Procedendo come negli esempi precedenti si verifica facilmente che il polinomio

caratteristico associato ha due soluzioni reali coincidenti ed uguali a zero, quindi

l’integrale generale dell’equazione differenziale è:

xcc y21

+=

Un altro metodo per risolvere questo tipo di equazione è quello di integrale membro a

membro (rispetto ad x) e dopo una prima integrazione si trova:

c y =′

Integrando ulteriormente si ricava:

d cx y += .

• Risolvere la seguente equazione differenziale del secondo ordine non omogeneaa coefficienti costanti:

a y =′′

Procedendo come negli esempi precedenti si verifica facilmente che il polinomio

caratteristico associato ha due soluzioni reali coincidenti ed uguali a zero, quindi


xcc y21

+=

L’integrale particolare sarà un polinomio di grado due del tipo

2~ Ax y =


18/84


18

Derivando e sostituendo nell’equazione differenziale si trova:

22

a Aa A =⇒=

quindi

2

2

~ xa

y =

l’integrale generale è:

2

21

2

xa

xcc y ++=

Un altro metodo per risolvere questo tipo di equazione è quello di integrale membro a

membro (rispetto ad x) e dopo una prima integrazione si trova:

bax y +=′

Integrando ulteriormente si ricava:

cbx xa

y ++= 2

2

.

Esercizi proposti

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali del secondo

ordine omogenee.

a) 0247324 =+′−′′ y y y

b)

094864 =+′−′′ y y y

c) 025309 =+′−′′ y y y

d)

0432 =+′+′′ y y y

e)

074 =+′+′′ y y y

f) 0542120 =−′−′′ y y y

g) 08307 =+′+′′ y y y

h) 0753 =+′−′′ y y y

i)

01112011 =−′−′′ y y y

j) 02616526 =−′−′′ y y y

Soluzioni


19/84


19

a) L’integrale generale cercato e’ 83

23

8

1

x x

ecec y += .

b) L’integrale generale cercato e’ 83

28

3

1

x x

xecec y += .

c)

L’integrale generale cercato e’ 35

23

5

1

x x

xecec y += .

d) L’integrale generale cercato e’

+=

−

xc xce y

x

4

23sin

4

23cos 21

4

3

.

e) L’integrale generale cercato e’ ) xc xce y 3sin3cos 212x += − .

f) L’integrale generale cercato e’ 56

24

9

1

x x

ecec y−

+= .

g) L’integrale generale cercato e’ 72

2

4

1

x

x ecec y−

− += .

h) L’integrale generale cercato e’

+= xc xce y

x

6

59sin

6

59cos 21

6

5

.

i) L’integrale generale cercato e’ 11

2

11

1

x

x ecec y−

+= .

j) L’integrale generale cercato e’ 132

22

13

1

x x

ecec y−

+= .

3.b Ricerca degli integrali particolari

Ci occupiamo ora di determinare una soluzione dell’equazione differenziale lineare non

omogenea. Sappiamo già come si determinare l’integrale dell’equazione omogenea

associata, iniziamo a considerare il caso in cui il termine noto si presenta in una maniera

particolarmente semplice.

• Termine noto di tipo polinomiale.

)()()()()()( x f x y xb x y xa x y =+′+′′ con )()( x p x f n

= polinomio di grado n.

Nel caso in cui il termine noto sia di tipo polinomiale, per determinare l’integrale

particolare dell’equazione completa si sommano il grado del polinomio assegnato con

il grado minimo di derivazione.

Indicheremo con ( ) x y l’integrale generale dell’omogenea associata e con ( ) x y~

l’integrale particolare.


20/84


20

Esempio 1:

Risolvere la seguente equazione differenziale

2373710 −=+′−′′ x y y y

Svolgimento

Iniziamo a calcolare l’integrale generale dell’omogenea associata, calcoliamo quindi le

soluzioni del polinomio caratteristico:

Il polinomio caratteristico associato all’equazione completa e’ 073710 2 =+− λ λ .

le cui radici reali distinte sono2

7 ,

5

121

== λ λ .

L’integrale generale dell’omogenea associata e’ 27

2

5

1

x x

ecec y += .

Per determinare una soluzione particolare dell’equazione completa asserviamo che il

termine noto è un polinomio di grado uno e l’ordine più basso di derivazione (al primo

membro) è zero, cerchiamo quindi una soluzione particolare della forma ( ) bax x y +=~ ,dove il grado di ( ) x y~ è dato dalla somma del grado del polinomio p(x) assegnato piùl’ordine minimo di derivazione. Derivando si ha:

( )

( )

( ) 0~

~

~

=′′

=′

+=

x y

a x y

bax x y

Sostituendo nell’equazione assegnata si trova:

237737 −=++− xbaxa

Sfruttando il principio di identità dei polinomi (condizione che equivale che i due

membri dell’equazione sono uguali) si trova:

−=+−

=

2737

37

ba

a

⇒

=

=

49

97

7

3

b

a

segue che ( ) 4997

7

3~ += x x y .

La soluzione cercata e’49

97

7

32

7

2

5

1 +++= xecec y

x x

.

Esempio 2


7683 +=′−′′ x y y


21/84


21

Svolgimento

Il polinomio caratteristico associato e’ 083 2 =− λ λ , la cui radici reali distinte sono

3

8

,0 21 == λ λ . L’integrale generale cercato e’3

8

21

x

ecc y += . Cerchiamo una

soluzione particolare della forma ( ) )(~ bax x x y += in quanto il termine noto ha gradouno e l’ordine minimo di derivazione è uno. Sostituendo nell’equazione assegnata e

sfruttando il principio di identità dei polinomi si trova:

=+−

=−

768

616

ab

a ⇒

−=

−=

32

27

8

3

b

a

segue che ( ) )32

37

8

3( −−= x x x p . La soluzione cercata e’

)32

37

8

3(3

8

21 +−+= x xecc y

x

.

Esempio 3


353 −=′′ x y

Svolgimento

Il polinomio caratteristico associato e’ 032 =λ , la cui radici reali coincidenti sono

021 == λ λ . L’integrale generale cercato e’ xcc y 21 += . Cerchiamo una soluzione

particolare della forma ( ) )(~ 2 bax x x y += in quanto il termine noto ha grado uno el’ordine minimo di derivazione è due . Sostituendo nell’equazione assegnata e

sfruttando il principio di identità dei polinomi si trova:

−=

=

36

518

b

a ⇒

−=

=

2

1

18

5

b

a

segue che ( ) )2

1

18

5(~ 2 −= x x x y . La soluzione cercata e’ )

2

1

18

5(2

21 −++= x x xcc y .

Schema riassuntivo

termine noto ( ) xb integrale particolare ( ) x y~ grado dell’integraleparticolare

p

p xb xb xbb ++++ ...2

210

polinomio di grado p

q

q xa xa xaa ++++ ...2

210

polinomio di grado q

r pq += dove r è

l’ordine minimo di

derivazione


22/84


22

Esercizi

Determinare una soluzione delle seguenti equazioni differenziali non omogenee:

a)

153972 2 +−=−′−′′ x x y y y b)

326122 2 ++=′−′′ x x y y

c) 543 2 +=′′ x y

Svolgimento

Esercizio a)

Il polinomio caratteristico associato e’ 09722 =−− λ λ , la cui radici reali distinte

sono 2

9

,1 21 =−= λ λ .

L’integrale generale cercato e’ x22

9

1

−+= ecec y x

.

Cerchiamo una soluzione particolare della forma ( ) cbxax x p ++= 2 .Sostituendo nell’equazione assegnata e sfruttando il principio di identità dei

polinomi si trova:

=+−

=+

=−

149

5914

39

ac

ba

a

⇒

−=

=

−=

27

727

29

3

1

c

b

a

segue che ( )

27

7

27

29

3

12 −+−= x x x p .

La soluzione cercata e’27

7

27

29

3

12 x

2

2

9

1 −+−+= − x xecec y

x

.

Esercizio b)

Il polinomio caratteristico associato e’ 0122 2 =− λ λ , la cui radici reali distintesono 6 ,0 21 == λ λ .

L’integrale generale cercato e’ 6x21 ecc y += .

Cerchiamo una soluzione particolare della forma ( ) )( 2 cbxax x x p ++= .Sostituendo nell’equazione assegnata e sfruttando il principio di identità dei

polinomi si trova:

=+−

=+−

=−

3412

21224

636

bc

ab

a

⇒

−=

−=

−=

36

11

6

1

6

1

c

b

a

segue che ( )

−−−=

36

11

6

1

6

1 2 x x x x p .


23/84


23

La soluzione cercata e’ ( )116636

1 26x21 ++−+= x x xecc y .

Esercizio c)Il polinomio caratteristico associato e’ 03 2 =λ , la cui radici reali coincidenti sono

021 == λ λ . L’integrale generale cercato e’ xcc y 21 += .

Cerchiamo una soluzione particolare della forma ( ) )( 22 cbxax x x p ++= .Sostituendo nell’equazione assegnata e sfruttando il principio di identità dei

polinomi si trova:

=

=

=

56

018

436

c

b

a

⇒

=

=

=

65

0

9

1

c

b

a

segue che ( ) )6

5

9

1( 22 += x x x p .

La soluzione cercata e’ )6

5

9

1( 2221 +++= x x xcc y .

• Termine noto di tipo esponenziale

Consideriamo ora il caso in cui il termine noto sia di tipo esponenziale.

)()()()()()( x f x y xb x y xa x y =+′+′′ con x Ae x f α =)( ℜ∈α

Per determinare l’integrale particolare dell’equazione completa si confronta ℜ∈α conle soluzione dell’equazione omogenea associata.

Esempio 1


xe y y y 465 =+′−′′

Svolgimento

Il polinomio caratteristico associato e’ 0652 =+− λ λ , la cui radici reali distinte sono3 ,2

21 == λ λ . L’integrale generale dell’omogenea associata cercato e’

3x

2

2

1ecec y x += . Osserviamo che 4=α non è soluzione del polinomio caratteristico,

quindi cerchiamo un integrale particolare del tipo: x Ae x y 4)(~ = .

Derivando si ha:

x Ae x y 44)(~ =′ x Ae x y 416)(~ =′′

Sostituendo nell’equazione completa si trova:


24/84


24

x x x x e Ae Ae Ae 4444 64516 =+⋅−

da cui segue che:

2

1162016 =⇒=+− A A A A

L’integrale generale dell’equazione completa è:

x x eecec x y 43x2

2

1

2

1)( ++=

Analizziamo ora il caso in cui α sia soluzione dell’equazione omogenea associata.

Esempio 2


xe y y y 4127 =+′−′′

Svolgimento

Il polinomio caratteristico associato e’ 01272 =+− λ λ , la cui radici reali distinte sono3 ,4

21 == λ λ . L’integrale generale dell’omogenea associata cercato e’

3x

2

4

1ecec y x += . Osserviamo che 4=α è soluzione semplice del polinomio

caratteristico. In tal caso si cerca un integrale particolare del tipo: x

Axe x y4

)(~ = .Derivando si ha:

( ) xe x A x y 414)(~ +=′ xe x A x y 4)12(8)(~ +=′′


x x x x e Axee x Ae x A 4444 12)14(7)12(8 =++⋅−+

da cui segue che (dopo aver diviso ambo i membri per l’esponenziale ed aver raccolto i

termini simili):

1= A


x x xeecec x y 43x2

4

1)( ++= .

Esempio 3



25/84


25

xe y y y 244 =+′−′′

Svolgimento

Il polinomio caratteristico associato e’ 0442 =+− λ λ , la cui radici reali coincidentisono 2

21 == λ λ . L’integrale generale dell’omogenea associata cercato e’2x

2

2

1 xecec y x += . Osserviamo che 2=α è soluzione doppia del polinomio

caratteristico. In tal caso si cerca un integrale particolare del tipo: xe Ax x y 22)(~ = .

Derivando xe Ax x y 22)(~ = si ha:

( ) xe x Ax x y 212)(~ +=′ xe x x A x y 22 )142(2)(~ ++=′′


x x x x

ee Axe x Axe x x A222222

4)1(24)142(2 =++⋅−++

da cui segue che (dopo aver diviso ambo i membri per l’esponenziale ed aver raccolto i

termini simili):

2

1= A

quindi

x x e xe Ax x y 2222

2

1)(~ ==


x x e x xecec x y 222x2

2

1

2

1)( ++= .

Schema riassuntivo

termine noto integrale particolare xbeλ x Aeλ se λ non è soluzione del

polinomio caratteristico x Axeλ se λ è soluzione semplice

del polinomio caratteristico xe Ax λ 2 se λ è soluzione doppia

del polinomio caratteristico xme Ax λ se λ è soluzione di

molteplicità m del polinomio caratteristico

Osservazione

Per equazioni differenziali del secondo ordine la molteplicità della soluzione sarà al

massimo due. Questo metodo vale anche per equazioni differenziali di ordine superiore

al secondo.


26/84


26

• Termine noto della forma x A β sin o x A β cos

Consideriamo il caso in cui il termine noto sia di tipo trigonometrico. In questo caso si

può utilizzare il seguente schema:

termine noto integrale particolare

x A β sin x B x A β β sincos + se i β non soddisfa

l’equazione omogenea

associata

( ) x B x A x m β β sincos + se i β soddisfa l’equazioneomogenea associata

In modo analogo:


x A β cos x B x A β β sincos + se i β non soddisfa


associata

( ) x B x A x m β β sincos + se i β soddisfa l’equazioneomogenea associata

Esempio 4


x y y y sin65 =+′+′′

Svolgimento

Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 0652 =++ λ λ le cui radici reali distinte sono: 3,2

21 −=−= λ λ . L’integrale generale dell’omogenea

associata è -3x2

2

1ecec y x += −

Il termini noto va ricercato in quelli del tipo: x B x A y sincos~ +=

Derivando si ottiene:

x B x A y cossin~

+−=′ x B x A y sincos~

−−=′′

Imponendo che x B x A y sincos~ += sia soluzione, si trova:

( ) x x B x A x B x A x B x A sin)sincos(6cossin5sincos =+++−+−−

per il principio di identità dei polinomi si ha:

10

1

10

1

5

1

0

=−=⇒

=+−

=+

B A

B A

B A


27/84


27

da cui segue che

x x y sin10

1cos

10

1~ +−=

L’integrale generale dell’equazione completa assegnata è

)cos(sin10

13x-2

2

1 x xecec y x −++= − .

Osservazione

Il termine noto si può anche presentare come prodotto tra un fattore esponenziale e seno

o coseno. In tal caso si può scegliere un integrale particolare (dell’equazione completa)come indicato nella seguente tabella:


x Ae x β α sin oppure

x Ae x β α cos

( ) xc xce x β β α sincos21

+ se β α i+ non soddisfa


associata

( ) xc xce x xm β β α sincos21

+ se β α i+ soddisfa


associata

Esempio 5


xe y y y x cos22 =+′−′′

Svolgimento

Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 0222 =+− λ λ ,la cui radici sono ii +=−= 1,1

21 λ λ . L’integrale generale dell’omogenea associata

cercato e’ ( ) x B x Ae y x

sincos += .Utilizzando lo schema precedente si ottiene:

11 == β α

quindi l’integrale particolare sarà del tipo:

( ) xc xc xe x y x sincos)(~21

+=

Derivando:


28/84


28

( ) ( ) ( )( ) xcc xcc xe xc xce x y x x sincossincos)(~212121

+−++++=′

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xc xc xe xcc xcce x y x x sin2cos2sin2cos2)(~121221

−++−++=′′

sostituendo nell’equazione differenziale si ottiene:

=

=⇒=−

0

2

1

cossin2cos2

1

2

12

c

c x xc xc

quindi l’integrale particolare cercato è:

x xe x y x cos

2

1)(~ =


( ) x xe xc xce y x x cos2

1sincos

21 ++= .

Un esercizio, tipo il precedente, può essere risolto in un modo più semplice ragionando

come segue:

EsercizioRisolvere la seguente equazione differenziale

xe y y y x cos2 =−′−′′

Svolgimento

Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 022 =−− λ λ ,la cui radici reali distinte sono 2,1

21 =−= λ λ . L’integrale generale dell’omogenea

associata cercato e’ 2x21ecec y x += − .

Analizziamo, ora il termine noto. I metodi con i quali si può procedere in questo caso

sono diversi. Iniziamo a presentarne uno, sfruttando la conoscenza dei numeri

complessi. Infatti è si può osservare che xe x cos corrisponde alla parte reale del numero

complesso:

)sin(cos)1( xi xee x xi +=+

l’idea è quindi quella di supporre che )sin(cos)(~ )1( xi x Ae Ae x y x xi +== + sia l’integrale

particolare cercato, sostituire nell’equazione differenziale assegnato imponendo che y

sia soluzione della stessa e poi considerare solo la parte reale del numero complesso.

Vediamo come. Se supponiamo che xi Ae x y )1()(~ += sia soluzione dell’equazione

differenziale, si ha:


29/84


29

( ) xiei A x y )1(1)(~ ++=′ ( ) xiei A x y )1(21)(~ ++=′′

Da cui segue che:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xi xi xi xi e Aeei Aei A ++++ =−+−+ 111)1(2 211

da questo segue che:

( ) ( )10

1

10

3

10

3

3

11211

2

ii

i A Ai Ai A −−=

+−=

−=⇒=−+−+

Sostituendo si ha:

( ) ( ) x x

x xi xi

e x xie x x

xi xeiei Ae x y

sin3cos10

1sincos3

10

1

)sin(cos10

1

10

3

10

1

10

3)(~ )1()1(

+−−−=

=+

−−=

−−== ++

Del risultato trovato ci interessa solo la parte reale, ovvero:

( ) xe x x sincos3

10

1−−

Finalmente la soluzione dell’equazione differenziale assegnata è:

( ) x x x e x xecec x y sincos310

1)( 2

21 −−+= −

Esempio 6


xe y y y x sin34 =+′+′′

Svolgimento

Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 0342 =++ λ λ ,la cui radici reali distinte sono 3,1

21 −=−= λ λ . L’integrale generale dell’omogenea

associata cercato e’ -3x21ecec y x += − .

In questo caso si può osservare che xe x sin corrisponde alla parte immaginaria del

numero complesso:

)sin(cos)1( xi xee x xi +=+


30/84


30

l’idea è quindi quella di supporre che )sin(cos)(~ )1( xi x Ae Ae x y x xi +== + sia l’integrale

particolare cercato, sostituire nell’equazione differenziale assegnato imponendo che y

sia soluzione della stessa e poi considerare solo la parte immaginaria del numero

complesso. Vediamo come. Se supponiamo che xi Ae x y )1()(~ += sia soluzionedell’equazione differenziale, si ha:

( ) xiei A x y )1(1)(~ ++=′ ( ) xiei A x y )1(21)(~ ++=′′

Da cui segue che:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xi xi xi xi e Aeei Aei A ++++ =++++ 111)1(2 3141


( ) ( )85

6

85

7

10

3

67

113141

2

ii

i A Ai Ai A −=

+−=

+=⇒=++++

Sostituendo si ha:

( ) ( ) x x

x xi xi

e x xie x x

xi xeiei Ae x y

sin7cos6851sin6cos7

851

)sin(cos85

6

85

7

85

6

85

7)(~ )1()1(

+−++=

=+

−=

−== ++


( ) xe x x sin7cos685

1+−


( ) x x x

e x xecec x y sin7cos685

1)(

3

21 +−++= −−

.

Esercizio


xe y y y x cos22 −=+′+′′

Svolgimento


31/84


31

Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 0222 =++ λ λ ,la cui radici sono ii −−=+−= 1,1

21 λ λ . L’integrale generale dell’omogenea

associata cercato e’ ( ) xc xce y x sincos21

+= − .

Osserviamo che xe

x

cos

−

corrisponde alla parte reale del numero complesso:

)sin(cos)1( xi xee x xi += −+−

inoltre l’esponente i+−1 è soluzione dell’equazione omogenea associata quindil’integrale particolare dell’equazione completa sarà del tipo:

)sin(cos)(~ )1( xi x Axe Axe x y x xi +== −+−

Derivando si ha:

( ) xieix x A x y )1(1)(~ +−+−=′ ( )( ) xiei xi A x y )1(2122)(~ +−+−++−=′′

sostituendo nell’equazione assegnata e semplificando si ottiene:

22

112

i

i AiA −==⇒=

Sostituendo si ha:

( ) xi x xe xi x xei

xe

i

x y x x xi

cossin2

1

)sin(cos22)(~ )1(

−=+−=−= −−+−

La parte reale è:

x xe x y x sin2

1)(~Re −=


( ) x xe xc xce x y x x sin

2

1sincos)(

21

−− ++=

• Prodotto tra polinomio ed esponenziale

Esempio 7


( ) xe x y y y 132 −=−′+′′


32/84


32

Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 0322 =−+ λ λ ,la cui radici reali distinte sono 3,1

21 −== λ λ . L’integrale generale dell’omogenea

associata cercato e’ -3x21 xecec y x += . Il termine noto si presenta come prodotto tra un

polinomio e un esponenziale. Il procedimento per determinare l’integrale particolaredell’equazione completa non è molto differente dai metodi analizzati negli esercizi

precedenti. Osserviamo intanto che il polinomio 1− x è di primo grado e l’ordineminimo di derivazione è 0, quindi cerchiamo un polinomio di grado uno, del tipo

bax + , inoltre osserviamo che 1=α (esponente dell’esponenziale) è soluzionesemplice del polinomio caratteristico. In tal caso si cerca un integrale particolare del

tipo: x Axe .

Quindi l’integrale particolare è del tipo:

( ) xebax x x y +=)(~ .

Derivando si trova:

( ) xebbxaxax x y +++=′ 2)(~ 2 ( ) xebabxaxax x y 224)(~ 2 ++++=′′

imponendo la condizione che ( ) xebax x x y +=)(~ sia soluzione dell’equazione si trova:

−=

=⇒

−=+

=

16/5

8/1

142

18

b

a

ba

a

da cui segue che:

( ) xe x x x y 5216

1)(~ −=

L’integrale generale è:

x x e x x xecec y )52(16

13x-

21 −++=

OsservazioneLa proprietà di linearità delle equazioni differenziali (lineari) consente spesso permette

di semplificare il procedimento per determinare l’integrale particolare di un equazione

differenziale il cui termine noto è costituito da più termini.

Esempio 8


x xe y y y x sin36 2 +=−′+′′


33/84


33

Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 062 =−+ λ λ ,la cui radici reali distinte sono 3,2

21 −== λ λ . L’integrale generale dell’omogenea

associata cercato e’ -3x2

2

1ecec y x += .

Per avere ora un integrale particolare dell’equazione assegnata, basta addizionare dueintegrali particolari delle due equazioni:

x xe y y y 26 =−′+′′ x y y y sin36 =−′+′′

Il termine noto della prima equazione si presenta come prodotto tra un polinomio e un

esponenziale. Abbiamo già analizzato il procedimento per determinare l’integrale

particolare dell’equazione completa. Osserviamo intanto che il polinomio è di primo

grado e l’ordine minimo di derivazione è 0, quindi cerchiamo un polinomio di grado

uno, del tipo bax + , inoltre osserviamo che 2=α (esponente dell’esponenziale) èsoluzione semplice del polinomio caratteristico. In tal caso si cerca un integrale

particolare del tipo: x Axe 2 .Quindi l’integrale particolare è del tipo:

( ) xebax x x y 21

)(~ += .

Derivando si trova:

( ) xebbxaxax x y 221

222)(~ +++=′ ( ) xebabxaxax x y 221

42482)(~ ++++=′′

imponendo la condizione che ( ) xebax x x y 21

)(~ += sia soluzione dell’equazione si trova:

−=

=⇒

=+

=

25/1

10/1

052

110

b

a

ba

a

da cui segue che:

( ) xe x x x y 21

2550

1)(~ −=

Il termini noto della seconda equazione va ricercato in quelli del tipo:

( ) x B x A x y sincos~2

+=

Derivando si ottiene:

x B x A y cossin~2

+−=′ x B x A y sincos~2

−−=′′

Imponendo che x B x A y sincos~ += sia soluzione, si trova:

( ) x x B x A x B x A x B x A sin3)sincos(6cossinsincos =+−+−+−−


34/84


34

per il principio di identità dei polinomi si ha:

50

21

50

3

37

07−=−=⇒

=−−

=+− B A

B A

B A

da cui segue che

x x y sin50

21cos

50

3~2

−−=

L’integrale generale dell’equazione completa assegnata è

( ) ( ) ( ) ( ) x xe x xecec x y x y x y x y x x sin50

21cos

50

325

50

1~~)( 23x-2

2

121 −−−++=++= .

Esercizio 9


13cos22 22 +++=+′−′′ x xe xe y y y x x

Per avere ora un integrale particolare dell’equazione assegnata, basta addizionare tre

integrali particolari delle equazioni:

xe y y y x cos22 2=+′−′′ x xe y y y =+′−′′ 22 1322 2 +=+′−′′ x y y y

Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 0222 =+− λ λ ,le cui radici complesse sono ii −=+= 1 ,1

21 λ λ . L’integrale generale cercato e’

( ) xc xce y sincos21

x += .

Il termine noto della prima equazione differenziale è xe x cos2 che corrisponde alla parte

reale del numero complesso:

)sin(cos2)2(

xi xee x xi

+=+

Come già più volte osservato,l’idea è quindi quella di supporre che

)sin(cos)(~ 2)2(1

xi x Ae Ae x y x xi +== + sia l’integrale particolare cercato, sostituire

nell’equazione differenziale assegnato imponendo che y sia soluzione della stessa e poi

considerare solo la parte reale del numero complesso. Vediamo come. Se supponiamo

che xi Ae x y )2(1

)(~ += sia soluzione dell’equazione differenziale, si ha:

( ) xiei A x y )2(1

2)(~ ++=′ ( ) xiei A x y )2(21

2)(~ ++=′′

Da cui segue che:


35/84


35

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xi xi xi xi e Aeei Aei A ++++ =++−+ 222)2(2 2222


( ) ( ) 112222 2 =⇒=++−+ A Ai Ai A

Sostituendo si ha:

xie xe

xi xee Ae x y

x x

x xi xi

sincos

)sin(cos)(~

22

2)2()2(

1

+=

=+=== ++


xe x cos2

L’integrale particolare della prima equazione differenziale è:

xe x y x cos)(~ 21

= .

Il termine noto della seconda equazione si presenta come prodotto tra un polinomio e un

esponenziale. Abbiamo già analizzato il procedimento per determinare l’integrale

particolare dell’equazione completa. Osserviamo intanto che il polinomio è di primo

grado e l’ordine minimo di derivazione è 0, quindi cerchiamo un polinomio di gradouno, del tipo bax + , inoltre osserviamo che 1=α (esponente dell’esponenziale) non èsoluzione del polinomio caratteristico. In tal caso si cerca un integrale particolare del

tipo: x Ae .

Quindi l’integrale particolare è del tipo:

( ) xebax x y +=)(~2

.

Derivando si trova:

( ) x

ebaax x y ++=′ )(~

2 ( ) x

ebaax x y ++=′′ 2)(~

2

imponendo la condizione che ( ) xebax x y +=)(~2

sia soluzione dell’equazione si trova:

=

=

0

1

b

a

da cui segue che:

x xe x y =)(~2


36/84


36

Il termine noto della terza equazione differenziale è un polinomio di grado due. Il grado

minimo di derivazione è zero quindi cerchiamo una soluzione particolare della forma

( ) cbxax x y ++= 23

~ .

Derivando, sostituendo nell’equazione assegnata e sfruttando il principio di identità dei

polinomi si trova:

=−+

=+−

=

1222

024

32

bac

ba

a

⇒

=

=

=

2

3

2

3

c

b

a

segue che ( ) 232

3~ 23

++= x x x y .

L’integrale generale cercato è:

( ) ( ) 2323cossincos22

21x

++++++= x x xe xe xc xce x y x x .

Esempio fisico

Le vibrazioni lineari

Consideriamo una particella di massa m che si muove lungo una retta e che sia soggetta

ad una forza di richiamo elastica, proporzionale allo spostamento e ad una resistenza

viscosa, proporzionale alla velocità. Secondo la legge di Newton il moto della particella

è descritto dell’equazione (differenziale del secondo ordine):

( ) ( ) ( )t kxt xt xm −′−=′′

dove ( )t x x = è lo spostamento al tempo t rispetto alla posizione di equilibrio, mentre ke sono delle costanti positive che caratterizzano la forza elastica e la resistenza

viscosa e che si chiamano costante elastica e costante di smorzamento del sistema.

Supponiamo che all’istante iniziale t=0 la particella occupi la posizione ed abbia

velocità, in tal caso il moto è descritto dal problema di Cauchy:

( ) ( ) ( )( )

( )

=′

=−′−=′′

0

0

0

0

v x

x x

t kxt xt xm µ

Il precedente sistema descrive molti modelli di sistemi lineari di natura assai diversa.

Si tratta di un’ equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti. Per risolverla

consideriamo l’equazione caratteristica associata:

02 =++ k m µλ λ

le cui radici sono:


37/84


37

m

km

2

42 −±−=

µ µ λ .

Nell’ipotesi in cui non c’è resistenza viscosa 0=µ , l’integrale generale dell’equazione

differenziale è:

( ) t Bt At x sincos +=

dovem

k =ω . Imponendo le condizioni iniziali si ottiene:

ω

0

0

v B x A ==

L’integrale generale è:

( ) t v

t xt x ω ω

ω sincos 00

+=

Utilizzando le formule goniometriche, si può anche scrivere:

( ) ( )φ += t Rt x sin

dove Rv

R xv x R

ω φ φ

ω

00

2

2

02

0cossin, ==+= .

Nell’ipotesi di resistenza viscosa nulla, la particella si muove di moto armonico.

Se invece mk 20


38/84


38

4. Equazioni differenziali omogenee di ordine superiore al

secondo

Lo studio delle equazioni differenziali omogenee di ordine superiore al secondo è deltutto analogo allo studio delle equazioni differenziali del secondo ordine per quanto

riguarda la ricerca dell’integrale dell’omogenea associata (avremo un polinomio

caratteristico di grado superiore al secondo). Vediamo alcuni esempi:

Esempio 1


065 =′+′′−′′′ y y y

Il polinomio caratteristico associato e’ ( )( ) 03265 23 =−−=+− λ λ λ λ λ λ , la cui radicireali distinte sono 3 ,2 ,0 321 === λ λ λ . L’integrale generale cercato e’

x x ececc y 332

21 ++= .

Esempio 2


073 =′′′− y y IV

Il polinomio caratteristico associato e’ ( ) 07373 334 =−=− λ λ λ λ , la cui radici reali

sono ,37 ,3)ita'(molteplic 0 21 == λ λ . L’integrale generale cercato e’

3

7

4

2

321

x

ec xc xcc y +++= .

Esempio 3


06116 =−′+′′−′′′ y y y y

Il polinomio caratteristico associato e’ 06116

23 =−+− λ λ λ , che può essere scrittocome: ( )( )( ) 0321 =−−− λ λ λ . Le radici reali sono 3 2 1

321 === λ λ λ .

L’integrale generale cercato e’ x x x ececec y 33

2

21 ++= .

Esercizi

Risolvere le seguenti equazioni differenziali omogenee di ordine superiore al secondo:

a) 03103 =+′′+′′′ y y y

b) 044 =+−′′−′′′ y y y

c) 0365 =−′′+ y y IV

d)

012197 =−+′′−′′′− y y y y IV


39/84


39

Svolgimento

a)

Il polinomio caratteristico associato e’

( )( ) 03133103 23 =++=++ λ λ λ λ λ λ , la cui radici reali distinte sono

3 ,3

1 ,0 321 −=−== λ λ λ . L’integrale generale cercato e’

x x

ececc y 333

1

21

−−

++= .

b) Il polinomio caratteristico associato e’

( ) 04144 223 =−−=+−− λ λ λ λ λ , la cui radici reali distinte sono

4 ,1 ,1 321 ==−= λ λ λ . L’integrale generale cercato e’ x x x ececec y 4321 ++=

− .

c) Il polinomio caratteristico associato e’

09)4(365 2224 =+−=−+ λ λ λ λ , la cui radici sono

3 ,3 2 ,-2 4321 ii −==== λ λ λ λ . L’integrale generale

cercato e’ xc xcecec y x x 3sin3cos 432

2

2

1 +++= − .

d)

Il polinomio caratteristico associato e’( ) 0127)1(12197 22234 =+−−=−+−− λ λ λ λ λ λ λ , la cui radici

reali distinte sono 4 ,3 1 ,-1 4321 ==== λ λ λ λ . L’integrale

generale cercato e’ x x x x ecececec y 443

321 +++= − .

Esercizi proposti

Risolvere le seguenti equazione differenziali omogenee a coefficienti costanti di ordine

superiore al secondo

a)

0182723 =+−′′−′′′ y y y

b)

0317228 =++′′+′′′ y y y

c) 01284720 =++′′−′′′ y y y

d) 03 =′′−′′′ y y

e) 0122 =−+′′′ y y

f) 03019 =+−′′′ y y

g) 056 =′′+′′′+ y y y IV

h) 092 =′′− y y IV

i) 015228 =+′′− y y IV


40/84


40

j) 0939405256 =−+′′−′′′− y y y y IV

Soluzioni

a) L’integrale generale cercato e’ x

x xececec y 3

2

3

3

2

3

1 ++= − .

b)

L’integrale generale cercato e’ x x

x ececec y 41

32

3

21

−−− ++= .

c) L’integrale generale cercato e’ x x

x ececec y 52

34

3

2

2

1

−

++= .

d)

L’integrale generale cercato e’ xec xcc y 3321 ++= .

e) L’integrale generale cercato e’

)5sin5cos( 322

1 xc xceec y x x ++= − .

f)

L’integrale generale cercato e’ x x

x ececec y 6939

36

939

23

1

−+

− ++= .

g) L’integrale generale cercato e’ x x ecec xcc y −− +++= 4

5

321 .

h) L’integrale generale cercato e’ x x

ecec xcc y 23

42

3

321

−

+++= .

i) L’integrale generale cercato e’

x x x x

ecececec y 25

42

5

32

3

22

3

1

−−

+++= .

j) L’integrale generale cercato e’ x x x x

ecececec y 73

42

1

32

3

22

3

1 +++= −

.


41/84


41

5. Equazioni differenziali non omogenee di ordine superiore al

secondo.

Lo studio delle equazioni differenziali non omogenee di ordine superiore al secondo èdel tutto analogo allo studio delle equazioni differenziali del secondo ordine anche per

quanto riguarda la ricerca dell’integrale particolare (la discussione è del tutto analoga ai

metodi precedentemente descritti).

Vediamo alcuni esempi:

165 +=′+′′−′′′ x y y y

Abbiamo già determinato l’integrale generale dell’omogenea associata:

x x ececc y 33

2

21 ++= .

Il termine noto è un polinomio di grado uno e l’ordine minimo di derivazione è uno,

cerchiamo quindi un integrale particolare che sia un polinomio del secondo ordine del

tipo:

( )bax x y +=~ Derivando, sostituendo nell’equazione e utilizzando il principio di identità dei polinomi

si trova:

=+−

=

1610

112

ba

a

⇒

=

=

36

11

12

1

b

a

segue che ( ) x x x y 3611

12

1~

2

+=

L’integrale generale cercato è:

x xececc y x x

36

11

12

123

3

2

21 ++++= .

Esempio


xe y y y y 212198 =−′+′′−′′′

Il polinomio caratteristico associato e’ 012198 23 =−+− λ λ λ , la cui radici reali distintesono 4 3 ,1

321 === λ λ λ . L’integrale generale dell’omogenea associata cercato e’

x x ececec y 43

3x

21 ++= . Osserviamo che 2=α non è soluzione del polinomio

caratteristico, quindi cerchiamo un integrale particolare del tipo: x Ae x y 2)(~ = .

Derivando si ha:


42/84


42

x Ae x y 22)(~ =′ x Ae x y 24)(~ =′′ x Ae x y 28)(~ =′′′


x x x x x e Ae Ae Ae Ae 22222 12219488 =−⋅+⋅−

da cui segue che:

2

111238328 =⇒=−+− A A A A A


x x x eececec y 243

3x

21

2

1+++= .

Esempio


x y y IV 2sin=−

Il polinomio caratteristico associato e’ 014 =−λ , la cui radici sonoii −==−==

4321 1 ,1 λ λ λ λ . L’integrale generale dell’omogenea associata

cercato e’ xc xcecec y x sincos43

x

21 +++= − . Cerchiamo un integrale particolare del

tipo: x B x A x y 2sin2cos)(~ += .Derivando si ha:

x B x A x y 2cos22sin2)(~ +−=′ x B x A x y 2sin42cos4)(~ −−=′′

x B x A x y 2cos82sin8)(~ −=′′′ x B x Asi x y IV 2sin162cos16)(~ +=


x x A x B 2sin2cos152sin17 =+

da cui segue che:

17

10 == B A


x xc xcecec y x 2sin17

1sincos

43

x

21 ++++= − .


43/84


43

Esercizi proposti

Risolvere le seguenti equazione differenziali non omogenee a coefficienti costanti di

ordine superiore al secondo

a)

2182723 +=+−′′−′′′ x y y y b) x xe y y y =++′′+′′′ 317228

c) 21284720 x y y y =++′′−′′′

d) ( ) xe x y y 313 +=′′−′′′ e) 1122 −=−+′′′ y y

f) 23019 =+−′′′ y y

Osservazione

Tutti i metodi precedentemente descritti si possono applicare quando il termine noto

assume una particolare espressione (polinomio, esponenziale, funzione trigonometrica

etc...). Nel caso in cui il termine noto fosse, ad esempio, un logaritmo nessuno dei

metodi precedenti è efficace per determinare l’integrale particolare dell’equazione

completa. E’ necessario quindi studiare un metodo che consenta una maggiore

applicazione rispetto ai metodi sopra illustrati. Tale metodo, chiamato Metodo della

Variazione delle Costanti Arbitrarie, ha una validità “quasi” generale ma rispetto alletecniche già studiate, quest’ultimo è più elaborato. Come detto più volte tralasciamo la

dimostrazione che il lettore potrò trovare in un qualsiasi testo di analisi matematica II.

6. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie

Il metodo di variazione delle costanti arbitrarie permette di determinare una soluzione

particolare dell’equazione completa qualunque sia il termine noto f(x), purché si

conoscano già due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea

associata. Il metodo di variazione delle costanti è applicabile non solo quando

l’equazione omogenea è a coefficienti costanti ma anche quando i coefficienti sono

variabili. In quest’ultimo caso però non vi sono metodi generali che consentano di

determinare due soluzioni indipendenti dell’equazione omogenea.

Indicate con ( ) ( ) x y x y21

e due soluzioni indipendenti dell’equazione omogenea

associata (osservando che queste sono due soluzioni dell’equazione note), si vuole

determinare una soluzione particolare della forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y xc x y xc x y2211

~ +=

dove ( ) ( ) xc xc21

e non sono costanti ma funzioni di x.

Imponendo che ( ) ( ) x y x y21

e siano linearmente indipendenti e siano soluzioni

dell’equazione differenziale si ottiene:


44/84


44

( ) ( )1212

1

2

1212

2

1e

y y y y

f y xc

y y y y

f y xc

′−′

−=′

′−′

−=′

Integrando si ottengono

( ) ( ) xc xc

21

e che sostituiti in () danno l’integrale particolare

cercato.

In definitiva il problema di determinare una soluzione dell’equazione completa è

ricondotto a quello di calcolare i due integrali indefiniti.

Esempio

Utilizzando il metodo di variazione delle costanti arbitrarie, risolvere la seguente

equazione differenziale

( ) ( ) x

x y x y2sin

14 =+′′

sapendo che ( ) ( ) x x y x x y 2cose2sin21

== sono due integrali dell’omogenea

associata.

Dobbiamo inizialmente verificare che le soluzioni assegnate siano linearmente

indipendenti. Per questo è sufficiente verificare che risulta non nullo il seguente

determinante:

.21

21

y y

y y

′′

Nel nostro caso si ha:

022sin22cos2

2cos2sin

21

21 ≠−=−

=′′ x x

x x

y y

y y

Cerchiamo un integrale particolare del tipo:

( ) ( ) ( ) xc x xc x x y21

2cos2sin~ ′⋅+′⋅=

( )

( )2

2cot

2

2sin

12cos

2

1

2

2sin

12sin

1212

1

2

1212

2

1

x x x

y y y y

f y xc

x x

y y y y

f y xc

=−

⋅−

′−′

−=′

=−

⋅−=

′−′

−=′

Integrando (rispetto ad x) si ottiene:


45/84


45

( )

( ) b xdx xdx xcc

a xdxdx xcc

+==′=

+==′=

∫∫

∫∫

2sinlog21

22cot

2

1

2

1

22

11

quindi l’integrale particolare cercato è:

( ) ( ) ( ) xb x xa x xc x xc x x y 2cos2sinlog2

12sin

2

12cos2sin~

21

++

+=⋅+⋅=

l’integrale generale, come sempre, sarà dato dalla somma dell’integrale generale

dell’omogenea associata più l’integrale particolare:

( ) xb x xa x xh xk x y 2cos2sinlog2

12sin

2

12cos2sin

++

+++= .

7. L’equazione di Bernoulli

Si chiama equazione di Bernoulli, un equazione differenziale del primo ordine del tipo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )α x y xb x y xa x y +=′

con ( ) ( ) xbe xa funzioni continue nell’intervallo [c,d] di α eℜ numero reale diversoda 0 e da 1.

L’equazioni di Bernoulli viene ricondotta, per poter essere risolta, ad un equazione

lineare del primo ordine, tramite una sostituzione.

La sostituzione è:

( ) ( ) α −= 1 x y x z

la cui derivata prima è:

( ) ( ) ( ) ( ) x y x y x z ′−=′ −α α 1

Esempio 1Risolvere la seguente equazione differenziale

(*) ( ) x

y x

x

y x y 32log

2

−−=′ ( )0≠ x

Si tratta di un equazione differenziale di Bernoulli con 2=α . La sostituzione è:

( ) ( ) ( ) 121 −− == x y x y x z ( )0≠ y

derivando:


46/84


46

( ) ( ) ( ) x y x y x z ′−=′ −2

Sostituendo in (*) si trova:

( ) ( ) ( ) ( )

x

x yy x

x

x y y x y x y

222

2

32log

−−

−

+=′−

da cui segue:

( ) x

x

x

z x z

2log3=−′

che rappresenta un equazione differenziale lineare del primo ordine.

( )

+−=

+=

=

+=

+=

∫

∫∫ −

−∫∫

12log39

12log

2log2log)(

3

3

4

3

log33

33

x x

c xdx x

xc x

dxe x

xcedxe

x

xce x z

x xloxdx

xdx

x

risostituendo si trova:

( )

( ) ( )( )

+−

=

+−=

⇒

+−==

−

−

12log39

1

112log3

9

1

12log391)()(

3

3

1

3

3

3

31

x x

c x

x x

c x x y

x x

c x x y x z

Esempio 2


(*) ye y y x22 =−′

Si tratta di un equazione differenziale di Bernoulli con2

1=α . La sostituzione è:

( ) ( ) ( )21

2

11

x y x y x z == −

derivando:


47/84


47

( ) ( ) ( ) x y x y x z ′=′ − 21

2

1

Sostituendo in (*) si trova:

( ) ( ) ( ) ( ) ye x y y x y x y x y x22

12

2

1

2

12

1

2

1

2

1

⋅=⋅−′ −−−

da cui segue:

xe z z =−′

che rappresenta un equazione differenziale lineare del primo ordine.

( ) xcedxeece x z xdx xdx

+=

⋅+= ∫ ∫∫

−)(

risostituendo si trova:

( ) ( ) ( )2221

)()( xce x y xce x y x z x x +=⇒+==


48/84


48

8. Il Problema di Cauchy: le condizioni iniziali

Abbiamo già osservato che l’insieme delle soluzione dell’equazione differenziale del

secondo ordine è, in generale, costituita da una famiglia di funzioni dipendenti da due

parametri21

, cc . Tale famiglia prende il nome di integrale generale dell’equazione

differenziale del secondo ordine. Per poter determinare una soluzione particolare

dall’integrale generale è necessario assegnare due condizioni (tante quanti sono i

parametri), se queste sono del tipo:

( )

( )

=′

=

10

00

y x y

y x y

il problema corrispondente si chiama Problema di Cauchy per un equazione

differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti.

Esempio 1

Risolvere il seguente problema di Cauchy:

=′

=

=+′−′′

0)0(

0)0(

127 4

y

y

e y y y x

Abbiamo già risolto l’equazione di secondo grado completa e abbiamo trovato comeintegrale generale:

(*) x x xeecec x y 43x2

4

1)( ++=

E’ possibile determinare le due costanti utilizzando le condizioni assegnate. Deriviamo

prima l’integrale generale:

x x x xeeecec x y 443x2

4

1434)( +++=′

Sostituendo le condizioni assegnate si trova:

0)0(21

=+= cc y

0134)0(21 =++=′ cc y

ponendo a sistema e risolvendo si trova:

1121

=−= cc

Sostituendo in (*) il risultato trovato si trova il seguente integrale:


49/84


49

( ) x x ee x x y 341)( +−= .

Naturalmente il problema di Cauchy si può avere anche per un equazione differenziale

del primo ordine:

Esempio 2


=

=−′

0)0(

22

y

ye y y x

Abbiamo già risolto l’equazione di Bernoulli il cui integrale generale è:

(*) ( ) ( )22 xce x y x +=

Sostituendo la condizioni assegnata si trova:

00)0( 2 =⇒== cc y

Sostituendo in (*) il risultato trovato si trova il seguente integrale:

( ) xe x x y 22=

Esempio 3Risolvere il seguente problema di Cauchy:

=

=′

4)0(

23

y

y y

Integrando membro a membro si ottiene:

( )44 2424

1c x yc x y +±=⇒+=

L’integrale generale è definito per ogni2

c x −≥ .

Imponendo la condizione inizi le si trova:

64c

:quindi positivo,quelloèsceglieredasegnoilcheimplicaquesto

44 4

=

±= c


50/84


50

Si ottiene perciò:

( )4 328 += x y

Esempio 4


=

+=′

π )0(

cos

31

y

y

x y

Si tratta di un equazione differenziale risolvibile col metodo di separazione delle

variabili. Supposto π π

k y 2

2

+±≠ e moltiplicando ambo i membri per cosy, infine

integrando si ottiene:

c x x y ++= 22

3sin

Determiniamo la costante c imponendo la condizione iniziale e otteniamo c=0 quindi:

2

2

3sin x x y +=

ora verrebbe naturale scrivere

+= 2

2

3arcsin x x y

ma questo non è consentito in quanto ( ) ( ) 00arcsin0 == y e non sarebbe più soddisfattala condizione iniziale. La spiegazione di questo dipende dal fatto che la funzione seno

non è globalmente invertibile, infatti la sua inversa, l’arcoseno, esiste solo

nell’intervallo

−

2,

2

π π . Noi siamo interessati ad invertire la funzione seno in un

intorno del punto π . Per far questo consideriamo la funzione π −= y z che soddisfa lacondizione ( ) 00 = z e inoltre

+−=⇒−−=−=−= 22

2

3arcsin

2

3sin)sin(sin x x z x x y y z π

quindi:

+−= 2

2

3arcsin x x y π .


51/84


51

9. Il Teorema di Cauchy: esistenza e unicità della

soluzione.

A differenza di quanto avviene per le equazioni differenziali lineari, dove in generale è

ragionevole aspettarsi che una o più soluzioni siano definite in tutto un intervallo

assegnato a priori, nel caso di equazioni differenziali non lineari le soluzioni risultano,

in generale, definite soltanto nell’intorno di un punto iniziale assegnato. Ecco perché si

parla di Problema di Cauchy in piccolo (o locale), intendendo con questo che la

soluzione del problema è relativa all’intorno considerato (cioè è locale).

9.a Teorema di Cauchy (in 2ℜ )

Sia ( ) y x f , definita in un intorno rettangolare IxJ del punto ( )2

00 , ℜ∈ y x .Supponiamo che:

1. ( ) y x f , sia continua nel rettangolo IxJ

2. ( ) y x f , sia lipschitziana rispetto ad y uniformemente per I x ∈ , cioè esiste unacostante 0> K tale che:

( ) ( )2121

,, y y K y x f y x f −≤−

per J y y I x ∈∈∀ 21 ,, .

Allora esiste un numero reale 0>δ ed esiste una ed una sola funzione )( x y y = ,

derivabile in [ ]δ δ +−00

, x x , che risolve in tale intervallo il problema di Cauchy

=

=′

00)(

),(

y x y

y x f y

Osservazioni

•

Il teorema di Cauchy da una condizione sufficiente per l’esistenza e unicità dellasoluzione.

• L’ipotesi 1 garantisce l’esistenza della soluzione, mentre l’ipotesi 2 garantiscel’unicità.

Verificare su una funzione è o meno lipschitziana non è sempre facile, ecco perché

spesso non per stabilire la lipschitzianità si ricorre al seguente corollario.


52/84


52

9.b Corollario (del teorema di Cauchy)

Sia ( ) y x f , una funzione reale definita in IxJ . Supponiamo che f con la sua derivata

parziale rispetto ad y, y

f

∂

∂ siano funzioni continue in IxJ . Allora esiste un numero

reale 0>δ ed esiste una ed una sola funzione )( x y y = , derivabile in [ ]δ δ +−00

, x x ,

che risolve in tale intervallo il problema di Cauchy

=

=′

00)(

),(

y x y

y x f y.

Il significato del corollario è il seguente:

y

f

∂∂ continua in ( ) IxJ y x ∈

00, ⇒ ( ) y x f , lipschitziana rispetto ad y uniformemente

rispetto ad x.

Calcolare una derivata e verificare che sia continua nel punto assegnato è senza dubbio

più facile che stabilire la lipschitzianità della funzione.

Osservazione importante.

Se y

f

∂

∂ non è continua in ( ) IxJ y x ∈

00, questo non implica che ( ) y x f , lipschitziana

rispetto ad y uniformemente rispetto ad x. L’implicazione vale solo in un verso!!!

In mancanza della condizione sulla derivata non possiamo che andare a studiare la

lipschitzianità della funzione. Anche se possiamo ancora fare alcune osservazioni.

Dire che y

f

∂

∂ non è continua in ( ) IxJ y x ∈

00, cosa significa?

Essenzialmente due cose.

• Può capitare che nel punto iniziale la derivata della funzione sia illimitata, in tal

caso se il limite del rapporto incrementale è infinito, il rapporto incrementale(che poi sarebbe la condizione di lipschitzianità) non può essere limitato. Quindi

diciamo meglio che se la derivata prima valutata nel punto iniziale non è

continua ma tende all’infinito allora possiamo affermare che la funzione non è

lipschitziana e che quindi la sol

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