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2019/11/7 第9章频率特性和谐振现象 1

第九章频率特性和谐振现象

4 并联谐振电路

3 串联谐振电路

2 RLC串联电路的频率特性

1 网络函数和频率特性

本章目录


线性

无独立源

−

+u

i

)(tx 线性

无独立源

−

+U

I

X)(ty Y

(a)时域分析 (b)频域分析

X

YH

d ef

)j( =

1 网络函数的定义: 电路在单一激励作用下，响应相量与激励相量之比称为网络函数，即

§9.1 网络函数和频率特性


2 网络函数分类：

（1）激励和响应属于同一端口

（2）激励和响应属于不同端口

等效输入阻抗线性

无独立源

Is

+

−

U

S/)j( IUH =

等效输入导纳S/)j( UIH =

线性无独

立源

I+

−

Us

转移电压比

转移电流比

转移阻抗

转移导纳

线性无独立源

−

+U

Is+

−

SU

I

S/)j( IIH =

S/)j( IUH =

S/)j( UIH =

S/)j( UUH =



−

+

UR

−

+

CUC

在图示 RC 电路中，若以电容电压为响应，以输入电压为激励，其网络函数为:

CRCR

C

U

UH C

j1

1

j/1

j/1)j(

+=

+==

、都写成极坐标式，即CU )j( H将和

)()(|)j(|

−=

= C

CCC

U

U

U

UH

相频特性网络函数的辐角

幅频特性网络函数的模

由此可得

UUHC

/|)j(| =

−= C)(

频率特性

RC串联电路



式中 RC 之积具有时间的量纲，其倒数具有频率的量纲，设

RC

10 =

CRCR

C

U

UH C

j1

1

j/1

j/1)j(

+=

+==

代入网络函数表达式得

)a rc tan()/(1

1

/j1

1)j(

02

00

−

+=

+=H

RC串联电路

−

+

UR

−

+

CUC

称其为 RC 电路的固有频率或自然频率(natural frequency)



)a rc tan()/(1

1

/j1

1)j(

02

00

−

+=

+=H

模和辐角与角频率的对应关系表

………

-90°0

-63.43°1/2

-45°1/1

0°10

()|H(j)|/0

2

5

RC串联电路

−

+

UR

−

+

CUC



低通网络：网络允许低频信号顺利通过，而使高频信号产

生较大衰减。

将网络函数的模下降到最大值的 2/1。c

时所对应的频率称

为截止频率(out-off frequency)，记为

1 2 3 4 5

(a)幅频特性曲线 (b)相频特性曲线

1 2 3 4 5

0/

0/

|)j(| H )(

0.5

1

0.745−

90−

O

O

幅频特性和相频特性曲线


)a rc tan()/(1

1

/j1

1)j(

02

00

−

+=

+=H


O 10/2

|)j(| H

1

O 10/

|)j(| H

O 10/2

|)j(| H

高通网络带通网络带阻网络

使用不同电路还可以实现具有下列特性的网络

几种理想滤波器的特性



Lj

R

Cj

1

−

+

RU

−

+

U

)]/(1[j)j(

CLR

R

U

UH R

R

−+

==

当以电阻电压 RU1 为响应时，其网络

函数(即转移电压比为)

)/ (1 00 CL =当频率达到某一量值时有：LC

10=，即

称为RLC串联电路的谐振角频率(resonance angular frequency) 。

C

LCL === 00 /1 令

称为RLC串联电路的特性阻抗( characteristic impedance)。

称为RLC串联电路的品质因数(quality factor)。

C

L

RRQ

1==

又令

CRR

LQ

0

0 1

==进而有

RLC串联电路

§9.2 RLC串联电路的频率特性


)]/(1[j)j(

CLR

R

U

UH R

R

−+

==

将谐振角频率和品质因数引入上式，写出其幅频特性和相频特性：

2

0

0

2

2

2 1

1

111

1)j(

−+

=

−+

=

QC

LR

HR

−−=

0

0

a rc tan)( QR

1

1 0/

|)j(| RH

0

1c

0

2c

1 0/

90

90−

)( R

(a)幅频特性 (b)相频特性

O

O

RLC串联电路

Lj

R

Cj

1

−

+

RU

−

+

U



求截止角频率:2

1

1

1

2

0

0

2

=

−+

C

CQ

令

由上式求得两个截止角频率:

++−= 1

4

1

2

1

201QQ

C

++= 1

4

1

2

1

202QQ

C

通带宽度、谐振角频率和品质因数的关系：

QCC

012

=−=

这说明带宽与品质因数 Q 成反比，Q 越大，

越小，通带越窄，曲线越尖锐，对信号的选择性越好。



例9.2 设计 RLC 带通滤波器电路，已知总电阻为R=20，要求谐振频率为 f0 =104Hz，带宽为 f =103Hz,，求电感L和电容C的值以及低频截止频率和高频截止频率。

H z9 5 0 012

11

4

1

2

10201c =

+−

++−=

Qf

QQff

H z1 0 5 0 012

11

4

1

2

10202c =

++

+++=

Qf

QQff

最后求得低频和高频截止频率分别为

m H1 8.3s)1 0π2(

2 01 01-4

0

==

Q RLF0 .0 7 9 6

s)1 0π2(2 01 0

111-4

0

==Q R

C

进一步求得：

解

由公式

++−= 1

4

1

2

1201c

QQ

++= 1

4

1

2

1202c

QQ和

1000 =

=

=f

fQ

品质因数为



R

Cj

1

Lj−

+

CU−

+

U

2 以电容电压uC为响应，有

)j/(1j

)j/(1)j(

CLR

C

U

UH C

C

++==

幅频特性和相频特性分别为

2

0

2

22

0

11

1|)j(|

+

−

=

Q

H C

)(

1arctan)(

0

0

−

−=

QC

对应不同品质因数的频率特性曲线如图： 1

10/

|)j(| CH

1=Q

2=Q

2

2

7.0=Q

1 0/2

)( C

2=Q

1=Q

7.0=Q

90−

180−

(a)幅频特性 (b)相频特性O

O

RLC串联电路



3 以电感电压为响应，其转移电压比为：

)j/(1j

j)j(

CLR

L

U

UH L

L

++==

则其幅频特性和相频特性分别为：

2

0

2

22

01

1

1|)j(|

+

−

=

Q

HL

−

−−=

0

0

1arctan)(

Q

L

R

Cj

1 Lj

−

+

LU

−

+

U

对应不同品质因数的频率特性曲线如图：

RLC串联电路

o

1

10/

|)j(| LH

1=Q

2=Q

2

2

7.0=Q

o 1

0/

2

)( L

2=Q

1=Q

7.0=Q

90

180

(a)幅频特性 (b)相频特性

以电感电压为响应的网络函数频率特性曲线



1 定义：对于含有电感和电容的一端口电路，如

果在一定条件下呈现电阻性，即端口电压与电流

同相位，则称此一端口电路发生谐振。

右图为RLC串联谐振电路。

改变电源频率，或改变电感，或改变电容均可实现串联谐振。在给定电感和电容时，电路的谐振角频率为

LC

10 =

)/ (1 CL =

根据谐振定义，RLC串联电路发生谐振的条件是：

0)]1

(jIm []Im [ =−+=C

LRZ

即

Lj

R

Cj

1

−

+

RU

−

+

U

−+ LU

+− CU

I

RLC串联谐振电路

§9.3 串联谐振电路


RLC串联电路的电流、电感电压和电容电压分别为

R

UH

R

UI

R

R

)j( ==

UHULL

)j( =

UHUCC

)j( =

由上三式，可画出电流 I 和电压UC、UL随频率变动的曲线[下图(a)]，以及谐振时的相量图［下图(b)］（以电流为参考相量）

10/2

I

LUCU

U

O RUU =

CU0I

LU

(a) 谐振曲线 (b) 谐振时相量图

RLC串联谐振电路

Lj

R

Cj

1

−

+

RU

−

+

U

−+ LU

+− CU

I



2 串联谐振的特点

（2）电流方面

R

UI

=0此时串联电路电流为：达到最大值。

（3）电压方面00j ILU L

=0

0

1j I

CU

C

−=

特性阻抗和品质因数为

)/ (1 00 CL == RQ /=

Q UR

UIUU CL ==== 0

代入上式得RUU =

CU0I

LU

（1）阻抗方面 )/ (1 00 CL =

谐振时，感抗与容抗相抵消，串联电路呈电阻性。 0

O

XXL

XC

X= XL+ XC

电抗频率特性曲线

串联谐振相量图



例9.3 一个线圈与电容相串联，线圈电阻R=16.2，电感L=0.26mH ，当把电容调节到100pF时发生串联谐振。(1)求谐振频率和品质因数；(2)设外加电压为10V，其频率等于电路的谐振频率，求电路中的电流和电容电压；(3)若外加电压仍为10V ，但其频率比谐振频率高10%，再求电容电压。

解

H z1 09 8 7F1 01 0 0H1 02 6.0π2

1

π2

1 3

1 230 =

==

−−L Cf

5.9 92.1 6

H1 02 6.0s1 09 8 7π2π2 313

00 =

===

−−

R

Lf

R

LQ

(1)谐振频率和品质因数分别为

R L

CU

+

−−

+

U C

线圈

线圈与电容串联电路



m V 9 9 5.0V1 01 05.9 9 6 === −Q UU C

UC也可用下式直接得到

线圈与电容串联电路

R L

CU

+

−−

+

U C

线圈

−=

−=−=−−

1 6 1 0F1 01 0 0s)1 09 8 72(

111 213

0 CX C

(2) 谐振时的电流和电容电压为

A6 1 7.02.1 6

V1 01 0 6

0 =

==

−

R

UI

m V9 9 5.0A1 06 1 7.01 6 1 0|| 6

0 === −IXU CC



H z1 01 0 9 0H z1 09 8 71.1)1.01( 33

0 ==+= ff

=== −− 1 7 8 0H1 02 6.0s)1 01 0 9 0π2( 313LX L

−=

−=

−=−−

1 4 6 0F1 01 0 0)s1 01 0 9 02 π(

111 213C

X C

=−+=++= 3 2 0)1 4 6 01 7 8 0()2.1 6()(|| 2222

CL XXRZ

m V0 4 6.01 4 6 03 2 0

V1 01 0||

||

6

=

=

=

−

CC XZ

UU

(3) 电源频率比电路谐振频率高10%的情形线圈与电容串联电路

R L

CU

+

−−

+

U C

线圈



G

CjL1 /j

GI CI LI

−

+

UI

1 GCL并联谐振电路

谐振角频率为 L C/10 =

BGLCGY j)/1(j +=−+=

GCL并联电路的导纳为：

0/1 =− LC

实现谐振的条件是导纳的虚部为零，

谐振时导纳达到最小值，即 | Y |=G

)/ (j)j/ ( 000 L GILUI L −==

GICUCIC

/jj000

==

在电感和电容中产生较大电流(但不是最大)

并联谐振的特点

GIYIU //0 ==

在总电流有效值一定的条件下，并联电压达到最大

GCL并联谐振电路

§9.4 并联谐振电路


−

+

UI

Lj

R

C1 /j

CI LI2 电感线圈和电容器构成并联谐振电路，

即RL与C并联谐振电路。

产生谐振的条件是导纳的虚部为零。因此谐振时电容为

220)( LR

LC

+=

])(

[j)(

jj

12222 LR

LC

LR

RC

LRY

+−+

+=+

+=

电路模型如右图，等效导纳为

当改变频率时，可得谐振角频率：

2

2

0

1

L

R

LC−= （当（当时存在）CLR /

C

RCL

2

222

02

411

−=

若改变电感，可得谐振时电感为：

（当R<1/2C 时存在）

线圈与电容并联谐振



RL 与 C 并联谐振的特点

谐振时其等效阻抗为一个电阻，记为

R

LRR

2

0

2

0

)(+=

RC

L

L

R

L CR

LRR =

−+=

2

22

0

1

将谐振角频率代入上式得：

如果线圈与电容相并联的电路用一定的电流源来激励，在谐振时由于阻抗接近于最大值，电压U也接近于最大值，这时在线圈和电容中产生的电流可能比电源电流大得多。

U

CI

I

LI

−

+

UI

Lj

R

C1 /j

CI LI

谐振时电压电流相量图

线圈与电容并联谐振



通过正弦电流电路和非正弦周期电流电路的学习得知，感抗和容抗分别与频率成正比和反比关系。由此得知电路特性与电源频率密切相关。本章专门研究电路特性与频率的关系。包括网络函数及其频率特性的概念及一般分析方法、典型电路的频率特性、串联谐振与并联谐振的条件及特点、滤波的概念等。

小结

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