本章主要内容 6.1 网络函数 6.2 典型网络的频率特性 6.3 串联谐振电路 6.4 并联谐振电路

第六章 频率特性与谐振

6.1 网络函数

1. 网络函数反映的是电路自身特性，仅与电路结构与参数有关，与外加激励无关。

)j(H RE

E

R)j(H

输入激励输出响应

一、网络函数

2. 网络函数的分类：两类六种策动点函数：响应、激励变量属于同一端口。1)策动点阻抗 Z （输入阻抗）2)策动点导纳 Y （输入导纳）

1

1

I

UZ

1

1

U

IY

转移函数：响应与激励变量属于不同端口。3)转移阻抗 ZT

4) 转移导纳 YT1

2T I

UZ

1

2T U

IY

5) 电压转移函数 Au

6) 电流转移函数 Ai 1

2u U

UA

1

2i I

IA

二、频率响应

一个电路的响应不仅与构成网络的元件连接方式及其参数有关，还与激励信号的频率有关。响应与频率的关系称为频率响应。

2. 定义：网络函数与信号频率的关系称为频率响应，亦称频率特性。

表示为

)()j(H)j(H

频率特性包括

1）幅频特性（模频特性）： ( )H j2 ）相频特性： ( )

45

90

Co 相频特性

arctg RC

2

1

1 ( )uA

RC

10.707

o C

uA幅频特性

几种典型的 RC 电路频率特性

2

1u

UA

U

1

1

jC

R jC

1

1 j RC

uA

C

1j

+

_

R+

_1U 2U

2

1

1 ( )RC

arctg RC

+

_

R Cu1 u2

+

_

1 、一阶低通电路

2

21

1

1 ( )u

UA

U RC

arctg RC

说明： 1）工程规定：幅频特性下降到 对应的频率叫截止频率。

RC

11C

10.707,

2

2 ）频率在通频带 CC ～0:BW 或

0 C 能通过，此频率范围称为又称低通电路

2

1

1 ( )uA

RC

10.707

o C

uA幅频特性

45

90

Co 相频特性

arctg RC

C

u

j1

kA

2 、一般低通函数表达式。

+

_

+

_

R1

R2C

u1 u2

3 、另一种低通电路：

L+

_ _

+

Ru1 u2

根据频率特性分类◇低通◇高通◇带通◇带阻◇全通

滤波器介绍

根据是否有源分类◇无源滤波器◇有源滤波器根据实现手段分类◇模拟滤波器◇数字滤波器

2 、一阶高通电路

+

_

+

_

Cu1 u2R

+

_

+

_R1U 2UC

1j

2

1u

UA

U

1

R

R jC

11

1 jRC

式中

1

RC

1C 截止频率

幅频特性2

1

1 ( )u

C

A

相频特性 Carctg

1

1 Cj

uA1

0.707

o C

2

1

1 ( )u

C

A

o

90

45

C

Carctg

C

u

j1

kA

3 、一般高通函数表达式。

4、另一种高通电路

+

_

+

_

Ru1 u2L

+

_ _

+

u1 u2LR1 R2

一、电路分析

6.3 串联谐振电路

如图电路中，回路在外加电压 us=Umsinωt 作用下，电路中的复阻抗为：Z= )

1(

CLjRXjR

当改变电源频率，或者改变 L 、 C 的值时都会使回路中电流达到最大值，使电抗 =0 ，

电路呈电阻性，此时我们就说电路发生谐振。由于是 R、 L、 C元件串联，所以又叫串联谐振。

CL

1

电路的性质1. 电感性电路 : XL>XC ， X>0, UL>UC 。

0arctan R

X阻抗角

2. 电容性电路 : XL<XC

此时 X<0, UL<UC 。 阻抗角 φ <0 。3. 电阻性电路 : XL=XC ，此时 X=0, UL=UC 。 阻抗角 φ=0 。

(a )

U L

.

U C

.

U.

U R

.

I.

U C

.

U L

.

U.

U R

. I.

(b ) (c )

U L

.

U C

.

I.U R £½U

. .

U X £½U L£«U C

. . .

U X £½U L£«U C

. . .

RLC 串联电路的相量图

二、串联谐振

i

u

R

L

C

£«

£

总电压 U和总电流 I同相，即 X=XL-XC

=0 时 , 电路相当于“纯电阻”电路 , 此时称为串联“谐振”。

1. 谐振条件

2.谐振角频率C

L

1

LCff

LC

2

1

1

0

0

ω0 和 f 0 称为固有角频率

（ 1） 电路的阻抗最小RXXRZZ CL 22

00 )(

（ 2） 电感电压和电容电压远大于端口电压：

Q0只和网络 R、 L、 C 的参数有关。电感及电容两端电压模值相等，且等于外加电压的 Q0倍。UL=UC= Q0Us 同时，两电压反相。

3.谐振特点

ss

oco

ss

oLo

UCR

jCjR

U

CjIU

UR

LjLj

R

ULjIU

000

000

111

通常把ω0L/R （或 1/ω0CR ）称为回路的品质因素，用 Q0 表示。

通常，回路的 Q值可达几十到几百，谐振时电感线圈和电容两端的电压可以比信号源电压大几十到几百倍，所以又叫电压谐振。（中心频率与通频带之比值。是衡量幅频特性的重要参数。）

(3) 谐振时，能量只在 R上消耗，电容和电感之间进行磁场能量和电场能量的转换，电源和电路之间没有能量转换。电路处于无功功率完全补偿，频率特性出现尖峰现象。

C

L

R

1

CR

1

R

LQ

0

0

R

U

Z

UI SS

SR UIRU

SS0

0L UQjUR

LjILjU

SS00

C UQjURC

1jI

Cj

1U

例：串联谐振电路中， U=25 mV ， R=5 Ω ， L=4 mH ， C=160 pF ，求电路的 f 0 、 I 0 、 ρ 、 Q 和 U C0 。

解 谐振频率

kHzLC

f 200101601042

1

2

11230

500010160

1041

5

25

12

3

00

0

C

L

CL

mR

UI

端口电流

特性阻抗

VmVQUUUR

Q

CL 5.2250025100

10050

5000

00

品质因数

4. 通频带

2

1u

UA

U

1

R

R j L jC

11

1 ( )L

jR RC

2

1

11 ( )

uAL

R RC

1( )

Larctg

R RC

电流的频率特性曲线又称 电流谐振曲线 ,两个截止角频率的差值定义为电路的通频带 Bw

0 0

I0

I

1 2

12 WB

RBQ

W

0

12

00

品质因数为

注： Q具有电路的选择性， Q越大幅频特性曲线越尖锐， 选择性越好， 但通频带过窄 , 所以 Q值不是越大越好 , 要取得合适 , 二者要兼顾。

6.4 并联谐振电路串联谐振回路适用于信号源内阻等于零或很小的情况，如果信号源内阻很大，采用串联谐振电路将严重地降低回路的品质因数，使选择性显著变坏（通频带过宽）。这样就必须采用并联谐振回路。

YUUjBGUBBjGIII LC

......

)()(

2222 )( LCGBG IIIIII

22

)11

(1

CL XXRY 其导纳模为：

相应的阻抗模： 22 )

11()

1(

1

CL XXR

Z

可以看出：只有当 XL=XC 时 |Z|=R ，电路呈电阻性。由于 R-L-C 并联，所以这时又称为并联谐振。故并联谐振的条件是 XL=XC ，即当 ω0L= 时发生并

联谐振。其谐振频率为：CO

1

LCf

LCo

2

110 或

并联谐振电路的特点为：（ 1） XL=XC ， |Z|=R ，电路阻抗为纯电阻性。（ 2）谐振时，因阻抗最大，在电源电压一定时， 总电流最小，其值为：

R

U

Z

UIO

（ 3 ）电感和电容上电流相等，其电流为总电流的 Q倍，即：

式中 Q称为并联谐振电路的品质因素，其值为：

000

QIL

R

R

U

L

UII LC

CRL

RQ O

O

因为纯电阻电路，故总电流与电源电压同相。并联谐振电路的电流及各电压相位关系如图所示。

并联谐振时电压和电流相量图

（ 4 ）谐振时激励电流全部通过电阻支路，电感与电容支路的电流大小相等，相位相反，使图 7-5 中 A 、 B 间相当于开路，所以并联谐振又称为电流谐振。

又：电感线圈和电容器的并联谐振电路：

工程上广泛应用电感线圈与电容器组成并联谐振电路，由于实际电感线圈的电阻不可忽略，与电容器并联时，其电路模型如图所示。

图 电感与电容的并联谐振电路

其相应的回路阻抗为：

)1

(

1)(

1

1)(

CjLjR

CjLjR

CjLjR

CjLjR

Z

L C 并联谐振时电压电流相量图

sinRLC II

2222L

L

Lc XR

X

XR

U

X

U

20

20

0 )( LR

LC

从图相量中看出

即

整理后

上式就是发生谐振的条件。可以得到谐振时的角频率为： 2

2

0

1

L

R

LC

可以看出，不论 R、 L、 ω为何值，调节电容量 C总可以达

到谐振，但要调节激励频率使电路发生谐振，必须使

（ ω0才有可能为实数），即 R< 。在

时，并联谐振的近似条件为 。

01

2

2

L

R

LCC

L

2

21

L

R

LC远大于

CL 0

0

1

并联谐振的频率特性 回路中电流幅值与外加电压频率之间的关系曲线称为谐振曲线。 在任意频率下回路电流 与谐振时回路电流 之比为 :

)(1

1

)(1

1

)1

(1

1

0

0

0

0

0

jQR

Lj

RC

Lj

I

I

o

I

0I

20

0

2 )(1

1

Q

I

I

o

据上式可以作出相应的谐振曲线：

串联谐振时谐振曲线 串联谐振时的通频带

品质因素： Q=ω0 L/R=1/ω0CR

谐振特点： I0=Us/R （最大）

UR=Us

Z0=R( 最小 )

UL0=UC0=QUs

注意：

sradLC

/1

0

1 、在 RLC 串联谐振电路中其谐振角频率为：

2 、在 RLC 并联谐振电路中其谐振角频率 (频率 )为：

LCf

LCo

2

110 或

谐振特点：

（ 1） XL=XC ， |Z|=R ，电路阻抗为纯电阻性。

（ 2）谐振时，因阻抗最大，在电源电压一定时，

总电流最小，其值为：

R

U

Z

UIO

总电流与电源电压同相。

3 、在电感和电容并联的谐振电路中谐振角频率 :

品质因数 Q=ω0 L/R=1/ω0CR=

谐振特点 Z0= R0 =L/RC=Q ( 最大 )

sradLC

/1

0

R

CL

CL

U0 = R0Is

IC0=IL0=QIs