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第三章晶体的对称性理论

3.1 对称性概念，对称动作和对称要素

3.2 晶体的宏观对称性及32个点群

3.3 晶体的微观对称性及230个空间群

什么是对称性？

自然界中的对称性

建筑中的对称性

生活中的对称性

微观世界中的对称性

如何定义“对称”这一概念?

生活当中许多物品具有一定的对称性；

◆晶体的外形和各种性质常具有一定的对称性；

◆选取单位的外形对称性（宏观对称性）应能充分反应空间

点阵的对称性……

什么是对称性？

4

3.1 对称性概念，对称动作和对称要素

3.1.1 基本概念

1、等同图形：几何学上，将具有对称形象的物体的

各部分称为等同图形。

等同图形分为相等图形和不相等图形

2、相等图形：完全迭合的等同图形，或称全等图形。

例如:花瓣、雪花

3、不相等图形：互成镜像的等同而不相等图形。

例如:左右手

4、对称图形：由两个或两个以上的等同图形构成，并且很有

规律地重复着。对称图形中既包括相等图形又包括不相等图形。

5

5、对称动作：将对称图形中某一部分中的任意点带到一个等

同部分中的相应点上去，使新图形与原图形重合的动作。

如：旋转、反映、倒反、平移……

6、对称要素：进行对称动作时，必须依据的几何元素，如点、

线、面等。

7、对称性：物体中各等同部分在空间排列的特殊规律性。

8、阶 次：对称图形中所包括的等同部分的数目，它代表

着对称程度的高低。

3.1 对称性概念，对称动作和对称要素

等同图形

不相等图形相等图形

对称图形

完全叠合 互成镜像

两个或两个以上等同图形构成

重复着有规律

阶 次

等同部分数目

7

3.1 对称性概念，对称动作和对称要素

1、是否对称图形？

2、等同图形？

3、对称动作？

4、对称要素？

3、对称图形阶次？

是

如图分割

3

旋转120°

旋转轴（直线）

举例：三叶小风扇

8

3.1 对称性概念，对称动作和对称要素

举例：吉大唐敖庆楼

1、是否对称图形？

2、等同图形？

3、对称图形阶次？

4、对称动作？

5、对称要素？

是

如图分割

2

反映

反映面

9

10

11

天然晶体，是在大自然中自发结晶形成的，一提起天然晶体，您是否会

想到雪花？雪花晶体就像是“仙女散花”般地从天而落，给人们带来无限的

遐想。可以说，雪花是人们最熟悉的天然晶体之一，有着变化万千的美丽的

形态。而雪花作为晶体，则是枝晶枝晶的典型例子。 1611年开普勒

（Kepler）发表《论六角形雪花》时，对雪花形态进行科学思考。他通过观

察与对比，发现所有雪花形态总体上都是六方对称的，但每片雪花形态细节

变化多样。他企图弄清为什么雪花会成六方对称的，但由于当时没有测试晶

体结构的手段，这个秘密没有被解开。

雪花的六角对称的形态有多种多样的不同图案形状，雪花的枝晶具有一

些非平衡系统都具有分维特点。仪态万千的雪花是纯粹天然的杰作，每一朵

雪花内，都有一粒灰尘作为其晶体生长的种子。它们的生长，有着非平衡态

生长的印记。

12

举例：雪花图案：六个角。

对称图形：雪花 等同图形：一个角，相等图形

阶次：6 对称要素：直线 对称动作：旋转

自然界八种雪花的图案

13

早在公元前的西汉时代，《韩诗外传》中就指出：

“凡草木花多五出，雪花独六出。”雪的基本形状是六角

形。但在不同的环境下，却可表现出各种样的形态。

世界上有不少雪花图案收集者，他们收集了各种雪

花图案。有人花了毕生精力拍摄了成千上万张雪花照片，

发现将近有六千种彼此不同的雪花，但他死前认为这不过

是大自然落到他手中的少部分雪花而已。以致于有人说没

有两朵大小和形状完全相同的雪花。

(http://news.xinhuanet.com/forum/2005-01/30/content

_2519823. htm)

3.1.2 对称动作和对称要素

（1）对称动作

将对称图形中某一部分中的任意点带到一个等同部分中的相应点上去，使新图形与原图形重合的动作

动作结果：旋转、反映、倒反、平移……

§3.1对称性概念、对称动作和对称要素

§3.1对称性概念、对称动作和对称要素

（2）对称要素

进行对称动作时，必须依据的几何元素，如：点、线、面等称为对称元素

(i) 旋转轴n (ii)反映面m

对称要素和对称动作可以分为七类：

(iii)对称中心i

(v)点阵Tmnp

(iv)反轴n

(vi)螺旋轴nm (vii)滑移面MT

§3.1对称性概念、对称动作和对称要素

(i) 旋转轴—绕轴旋转a角度

对称动作：旋转， 符号：L(a)，a为基转角；

对称要素：旋转轴，符号：n（轴次，旋转一周重复次数）；

三叶小风扇中有3

对应的对称动作有： L( )。3

2

规律：n

2=

阶 次：n ；

等同图形：旋转只能使相等图形重合

小花中有6

对应的对称动作有： L( )。

轴次与阶次相等

(ii) 反映面—以此面为镜面，两侧互为镜像

对称动作：反映， 符号：M；

对称要素：反映面，符号：m；

规律：两个等同部分的对应点之间连线的中点必在反映面上。

阶 次：2 ；

等同图形：一次反映只能使左右手图形重合。

水分子有2个m

对应的对称动作为M

H2O NH3

氨分子有3个m

对应的对称动作为M

请大家思考：具有二重旋转轴和具有对称面的对称图形有何区别？

(iii) 对称中心—小孔成像

对称动作：倒反， 符号：I；对称要素：对称中心，符号：i；

规律：两个等同部分的对应点之间连线的中点必在对称中心上。

阶 次：2 ；

等同图形：一次倒反只能使左右手图形重合。

具有一个i 对应的对称动作为L

具有一个i 对应的对称动作为L

(iv) 点阵—按照点阵中的平移向量移动

对称动作：平移， 符号：T；对称要素：点阵， 符号：Tmnp ；

阶 次：∞ ；

等同图形：平移可使相等图形重合。

例如：每一种三维晶体都有一个Tmnp 。

总结

(i) 旋转轴n

(ii)反映面m (iii)对称中心i

对称动作：旋转 对称动作：反映 对称动作：倒反

(iv)点阵Tmnp

对称动作：平移

(vi)螺旋轴nm (vii)滑移面MT(v)反轴n-

(v) 反轴—按轴旋转a角，再按轴上某一点倒反

旋转轴的轴次与基转角的关系为：n

2=

阶 次：如果n是偶数，反轴的阶次为n；如果n是奇数，反轴的阶次为2n。

等同图形：一次旋转倒反只能使左右手图形重合。

对称动作：旋转-倒反(复合)， 符号：L(a)M，a为基转角；

对称要素：反轴， 符号：n（轴次）；

甲烷：有1个3

复合动作：通常我们可以理解为是两个或者两个以上的对称动作的一个组合。

(v) 反轴—按轴旋转a角，再按轴上点倒反

例：

示例：

甲烷分子：有3个4

L(π/2) i

完全重合

1

3

4

21’

2’

3’

4’

12

34

(vi) 螺旋轴—先绕轴旋转a角，再沿轴向平移T

对称动作：旋转-平移(复合)， 符号：L(a)T，a为基转角；

对称要素：螺旋轴 符号：nm，m为小于n的整数；

旋转轴的轴次与基转角的关系为：n

2=

31

例如：

三重螺旋轴示意图

4

1

2

3

4

1

2

3

a

1/3a(a)(b)

L(2π/3)

4

1

2

3

a

(c)

完全重合

T

(vi) 螺旋轴—先绕轴旋转a角，再沿轴向平移T

三重旋转轴、三重螺旋轴、三重反轴的示意图

3 32331

示例：

(a) (b) (c) (d)

三重旋转轴、三重螺旋轴、三重反轴区别

3. 三重螺旋轴（b，c)和三重轴(a)都是只能使相等的图形重合，而不能使含左右手的图形重合；而三重反轴是先经过旋转再倒反使图像重合的，只能使不相等 (左右手) 图形重合，而不能使相等图形重合。

1. 三重轴(a)是简单 的对称动作，三重螺旋轴和三重反轴(b,c,d) 都是复合动作。

2. 三重螺旋轴(b)和(c)的区别是平移的距离不同。

25

四重轴、四重螺旋轴、四重反轴示例

42434

44142434区别

441

26

64656 663 62 61

六重轴、六重螺旋轴、六重反轴示例

66364656区别 62 61

27

七、滑移面(先按面反映，再平移)

对称动作：反映滑移 (复合)

阶 次：∞；

等同图形：既有相等图形又有左右手图形

对称要素：滑移面，符号：MT；

例如：如右图所示图形具有滑移面

(vii)滑移面—先按面反映，再平移

28

aT

= a

/2

M T

图3.1.5 具有滑移面的对称图形

这与二重螺旋轴是否相

同？

29

aT

= a

/2 180°旋转 T

图3.1.5 具有二重螺旋轴的对称图形

30

有相等图形又有左右手图形

只有相等图形

具有滑移面的对称图形 具有二重螺旋轴的对称图形

(vii)滑移面—先按面反映，再平移

有相等图形又有左右手图形

只有相等图形

具有滑移面的对称图形先按面反映，再平移

具有二重螺旋轴的对称图形先旋转，在平移

相等图形

左右手图形

相等图形

图3.9 滑移面对称和二重螺旋轴对称的区别

小结—基本概念

依据一定的几何元素(点、线、面等)将整个图形进行一定的

对称操作后，每个部分都能与原图形的某个其它部分重合。这

样的图形叫做对称图形。

对称图形

阶 次等同部分 对称动作

对称要素

相等图形 不相等图形

33

旋转轴

反映面

对称中心

点阵

反轴

螺旋轴

滑移面

对称要素 符号 对称动作 符号 等同图形 阶次

旋转

反映

倒反

平移

旋转倒反

螺旋旋转

滑移反映

n

2

2

∞

n或2n

∞

∞

相等图形

左右手图形

左右手图形

相等图形

左右手图形

相等图形

相等图形和左右手图形

L(a)

M

I

T

L(a)I

L(a)T

MT

小结：

n

m

i

T

np

mp

n-

34

(1) 旋转轴、反映面、对称中心、点阵是简单对称要

素，只与一种简单对称动作对应；而反轴、螺旋

轴、滑移面是复合对称要素，对应的是复合对称动

作。

(2) 含倒反、反映的动作只能使不相等 (左右手) 图

形 重合，而不能使相等图形重合；不含倒反、反

映的对称动作只能使相等的图形重合，而不能使含

左右手的图形重合。

七类对称要素的总结：

35

七类对称要素的总结：

（3）反映面、对称中心、反 轴，对应的对称动作是点对

称动作，在动作中至少有一点不动，既存在于无限结构中，

又存在于有限晶体外形的结构中。

（4）点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作是空间动

作，每一点都移动了，因此只能存在于无限结构中，而不

能存在于有限晶体外形的结构中。

（4）旋转轴、螺旋轴、反轴统称对称轴；反映面、滑移

面统称对称面。

36

在空间点阵结构中，任何旋转轴、螺旋轴、反轴必定和点阵中的一组直线点阵平行，而和一组平面点阵垂直；同理，任何反映面和滑移面必定和点阵中一组平面点阵平行而和一组直线点阵垂直。

3.1.3 对称要素在点阵中的取向

例1：空间点阵中的三重旋转轴（3）必定和点阵中一组直线点阵平行，而和一组平面点阵垂直。

点阵中的对称要素遵循一些特殊的规律：

37

设空间点阵的平移群表示为T，满足对称性3的任意三个向量为T1、T2、T3属于此平移群T。

T1 T2

3

可将这些向量在⊥3和∥3的两个方向分解：T3b3

b1

a1

a3

a2

b2

T1 = a1+ b1， T2 = a2+ b2， T3 = a3+ b3

由3的对称性可知：a1+ a2+ a3= o， b1= b2= b3

因此三个平移向量的和向量：

T1 + T2 + T3 = a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 = 3b1

它也属于平移群T。此点阵中必存在以3b1为平移矢量的直线点阵∥3。

证明：

我们还可以写出属于平移群T的另两个向量：

T1 – T2 = (a1 + b1) – (a2 + b2) = a1– a2

T2 – T3 = (a2 + b2) – (a3 + b3) = a2– a3

这两个向量都与3垂直，且不平行，可以确定出一个⊥3的平面点阵。

38

1. 任何对称轴必定和点阵中的一组直线点阵平行，并和一组平面点阵垂直；

2. 任何对称面必定和点阵中一组平面点阵平行，并和一组直线点阵垂直。

在空间点阵结构中的对称要素分布具有一定的规律：

同学们可以自己给出其他对称轴、对称面的证明！

3.1.3 对称要素在点阵中的取向

3、对称中心的分布可有规律？

39

晶体内部的结构是以点阵结构为基础的，其结构要受到

点阵结构的周期性限制。晶体中的对称轴和反轴的轴次不能

是任意的，只能有1、2、3、4、6 五种轴次。

3.1.4 晶体中对称轴和反轴的轴次

晶体中不能存在5重轴以及7重轴以上的轴次

由于晶体内部结构是以点阵结构为基础的，因此，晶体中对

称轴和反轴的轴次不能是任意的，要受到点阵结构的限制，

只取n=1，2，3，4，6。

假设在空间点阵结构中，有一轴

次为n的旋转轴L，则在与其相应

的平移群中，一定可以找到一个

与L垂直的向量。

设它的素向量为

L

设它的素向量为 ， 旋转到 ， 旋转到 ，则向量 和

也属于平移群，向量 也属于平移群。

因为 ： 与 是 平行的L

L

在自然界，五次对称却广泛存在。

例如： 具有五次对称的花朵

具有五次对称的各种病毒分子

具有五次轴的准晶体的发现

晶体中不存在5重轴，也不能存在7重轴及其以上的轴次 ！！

五次对称与晶体的平移对称不兼容。

5重对称轴与准晶体

具有5重对称性的花儿 -- 植物体

具有5重对称性的SARS病毒-生物体

病毒的形状，一般呈立体

对称、螺旋对称和复合对称。许

多病毒，如脊髓灰质炎病毒、

SARS病毒等为立体对称，它们

的外壳为包含有20个等边三角形

的形状，有12个顶和30条棱，

具有5、3、2 重轴旋转对称性。

病毒是结构简单的生命体，在电镜下观察病毒，会发现

病毒有五种形态：球形、丝形、子弹形、砖形和蝌蚪形。

SARS病毒形貌

人们一种思想：无生命的物质（例如晶体）就不能够有

五次对称，而有生命的物质才能有五次对称。无生命与有生

命是自然界两个截然不同的世界，所以，五次对称成为这两

个截然不同世界的分界线。

因为生物体中有五次对称，生物才不致结晶（固结），

因而有活力，能生长，能演化，能变异，从而形成纷繁多样

的生物界。只要具有五次对称，物体就有生命的活力；而相

反，如果没有五次对称，物体就是“死”的。

前苏联晶体学家别洛夫曾经说 “五次对称是生物为其

生存而斗争的特殊武器”。

准晶的发现

在1984年10月，肖特曼（Shechtman D）

在美国物理评论快报上发表文章，报道了具有五

次对称的金属相。这一金属相的结构与晶体结构

有着明显的区别，它有长程有序规律，但它没有

重复周期。

即：它不具有格子构造，它不是晶体。

那它是什么呢？

准晶体的发现，给传统的经典的晶体对称

理论带来了猛烈冲击，因为它不能够用传统晶体

对称理论来研究了，因此迅速发展起一门晶体学

的分支学科----准晶体学。

晶体中不可能有五次对称，但准晶体中可

以有五次对称。

准晶体是一种特殊的无机物体，是无生命的，为什么它会有五次对称呢？

有人提出这么一种思想：准晶体的发现为生物与非生物架起了一座桥梁。

五次对称使物体具有活力。那么，准晶体是具有五次对称的，应该比晶体更具有活力？应该与生物相似？怎么理解与认识“准晶体在生物与非生物之间架起了一座桥梁”？

下图用两种“积木”堆积而成整个球

面，很好地体现了准晶体的对称性。

具有5、7重轴及以上对称轴的图案

自然界中的准晶体及其用途

◆ 中世纪阿拉伯风格马赛克镶嵌装饰艺术中图案

◆ 俄罗斯一条河流内获取的矿物样本中发现自然生

成的准晶体

◆ 在某一种钢质材料中发现准晶体，而准晶体在材

料中所起的强化作用，相当于“装甲”。

◆ 科学家正尝试将准晶体应用于其他产品，如不粘

锅涂层和柴油机制造等。

具有五次对称的图形，往往出现“黄金分割”。

所谓的“黄金分割” 指分割的比例是0.618，黄金分割数是

自然界的一个合理数。

自然界的和谐、建筑物的美、植物生长、动物繁殖等等，在尺寸大小比、种类数量比、增长数量比等，经常出现黄金分割点。某种物体只要在比例上符合黄金分割，就会非常美丽与和谐。

完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618

52

五次对称的图案经常出现“黄金分割”，因此，五次对称也应该是自然界的合理对称形式了。在生物界经常出现五次对称形式，说明了五次对称的合理性。

为什么这种合理性不能延续到无机晶体界？这是从更高的自然观认识晶体的本质。

以色列科学家独享Nobel化学奖◼ 达尼埃尔·谢赫特曼以发现准晶体赢得

2011年度诺贝尔化学奖

◼ 瑞典皇家科学院在颁奖声明中说，获奖者的发现改变了科学家对固体物质结构的认识

◼ 一人独享1000万瑞典克朗(约合146万美元)奖金

◼ 1982年，他率先在实验室环境下发现准晶体“现象”

◼ 获得几乎所有科学奖项，“独缺”诺贝尔奖

什么是准晶体? 准晶是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶具有完全有

序的结构，然而又不具有晶体所应有的平移对称性，因而可以具有晶体所不允许宏观对称性。

准晶体，或称准结晶体，

异于常规晶体。准晶体是一类

不具备晶格周期性、却显现长

程有序性的固体材料。所谓长

程有序性，在某个方向上往往

以无理数序列的方式表达，而

序列则像无理数一样无限不循

环。

吉林大学首届未来科学论坛- 2018

丹·谢赫特曼（Dan Shechtman）

以色列理工学院工程材料系教授

56

57

晶体中不可能出现五次或高于六次的对称轴，这是由空

间格子规律控制的，在空间格子中，垂直对称轴一定有面网

存在，围绕该对称轴转动所形成的多边形应该符合于该面网

上结点所围成的网孔。

垂直对称轴所形成的多边形网孔

2 重轴

7 重轴6 重轴5重轴

4 重轴3 重轴

8 重轴

58

围绕对称轴2、3、4和6所形成的多边形，都能毫无

间隙地布满平面，都符合空间格子的网孔。但垂直5、7和

8所形成的正五边形、正七边形和正八边形却不能毫无间

隙地布满平面，不符合空间格子的网孔，所以在晶体中不

可能存在五次或高于六次的对称轴，这一规律称为晶体的

对称定律。

在一个晶体中，可以无也可以有一种或几种对称轴，而每

一种对称轴也可以有一个或多个。

59

旋转轴

反映面

对称中心

点阵

反轴

螺旋轴

滑移面

对称要素 符号 对称动作 符号 等同图形 阶次

旋转

反映

倒反

平移

旋转倒反

螺旋旋转

滑移反映

n

2

2

∞

n或2n

∞

∞

相等图形

左右手图形

左右手图形

相等图形

左右手图形

相等图形

相等图形和左右手图形

L(a)

M

I

T

L(a)I

L(a)T

MT

小结：

n

m

i

T

np

mp

n-

60

宏观地观察晶体，也就是观察晶体的外形，晶体具有

一定的规则整齐的外形，在界面处的界面要素(晶面、晶棱、

晶点)之间有一定的对称关系。

3.2 晶体的宏观对称性及32个点群

3.2.1 晶体宏观对称要素

晶体的宏观对称性：晶体在宏观观察中所表现的对称性。

只有那些与点对称动作相应的对称要素才能存在于晶体

的宏观对称性中。

由于晶体外形的规则多面体是有限的对称图形。含有

“平移”动作(空间对称动作)的对称要素不存在于晶体宏观

对称性中。

61

与点动作相应的对称要素：

旋转轴n，反映面m，对称中心I，反轴 n。

3.2.1 晶体宏观对称要素

因为晶体点阵的周期性，n 只能取 1、2、3、4、6。

1

2

3

又因为： ＝ I ；

＝ m ;

＝ 3 + I ;

＝ 3 + m。6

晶体的宏观对称性只有以下八种独立对称要素：

i、m、1、2、3、4、6、4描述六方晶系的某些晶体的宏观对称性很方便，有时也采用。6

—

62

研究图形的对称性，就是要研究图形的等同部分的空间排布

规律。复杂的对称图形，常常含有多种对称要素，这些对称

要素的数量和分布就决定了各等同部分的数量和分布规律。

1、是否对称图形？

2、等同图形？

3、对称图形阶次？

4、对称动作？

5、对称要素？

3.1 对称性概念，对称动作和对称要素

正八面体、正六面体

（观察模型，找出全部对称要素）

63

组合要符合如下条件：

(1) 对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组合，必然

产生新的对称要素来；

(2) 对称要素间的组合不是任意的，需要满足：

a、参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因

为晶体的外形是有限的、封闭的多面体。

b、晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果不容许

产生与点阵结构不相容的对称要素来。(5、7····等)

八种独立的对称要素的组合并不是任意的

64

B.二次轴和二次轴相交，交角为a，则必产生一个与这两个二次轴垂直的n次轴，其基转角为 2 。

A.一个n次轴及与之垂直 的一个2次轴存在时，则必存在n个2次轴,相邻两轴夹角为2 /2n。

研究对称要素的组合规律时曾建立起一系列的公理和定理。例如

(1)轴与轴的组合

3

n2

n

图3.2.2 三次轴与二次轴的组合 图3.2.3 二次轴与二次轴的组合

①

②

③a

/3 2a

65

A.一个反映面包含着n 次轴，则必有n个反映面都包含着这个n次轴，这些反映面的夹角为2 /2n。

(2)面与轴的组合

B.两个反映面交角为a，则交线为一个n 次轴，其基转角为2 。

n

mm

m

图 3.2.4 包含三次轴的反映面

n

m

m

/3

m3

图3.2.5 两个反映面的组合

①

②

③a

2a

n

66

偶次轴、与之垂直的反映面、对称中心，其中二者组合都会

产生第三者。

(3) 轴、面、心的组合

图3.2.6 2 、m & i 组合

m i

2

2 + i = m

2 +m = i

m + i = 2

67

按以上的原则，将八种的晶体的宏观基本对称要素

( i、m、1、2、3、4、6、4 )，进行组合，一共能

够得到32种组合方式，也叫32个点群。

无论多复杂的晶体外形，它一定定属于32点群中的一

个，绝不会找不到它所属的对称类型，也不会再超出32个点

群以外的新类型。

32个点群是研究晶体宏观对称性的依据。见表格3.3：

68mD3d3、3 2、3 m、i

3 23 2D33、3 2

3 m3 mC3v3、3 m

C3i(3 + i)

33C33三

方

(三角)

m m mD2h3 2、3 m、i

2 2 22 2 2D23 2

m m2 m mC2v2、2 m正

交

C2h2、m、i

22C22

mmCsm单斜

Cii

11C11三斜

国际符号(简写)国际符号(全写)熊夫利符号

对称类型符号全部对称要素晶系

1 1

m

2

m

2

m

2

m

2

m

2

3 3 3

3m

23

69

70

32个点群有两种符号：熊夫利符号和国际符号(了解 3.2.3)

—— 与点对称动作(至少保持一点不动)对应的宏观对称要素

—— 一种特殊集合（封闭、组合）

点

群

71

32个点群按其中包含的特征对称要素划分为七个晶系,根据对称性的高低将这七个晶系分为高，中，低三个等级：

72

3.3 晶体的微观对称性及230个空间群

旋转轴

反映面

对称中心

点阵

反轴

螺旋轴

滑移面

对称要素 符号 对称动作 符号 等同图形 阶

次 旋转

反映

倒反

平移

旋转倒反

旋转平移

反映平移

n

2

2

∞

n或2n

∞

∞

相等图形

左右手图形

左右手图形

相等图形

左右手图形

相等图形

相等图形和左右手图形

n

m

i

T

n

np

mp

L(a)

M

I

T

L(a)I

L(a)T

MT

在晶体的微观结构中除了存在八种独立宏观对称要素之外，也存在与空间对称动作相对应的对称要素：点阵、滑移面、螺旋轴。这些在微观无限空间中所特有的对称要素，称为微观对称要素。

73

类似于宏观对称要素组合成32个点群一样。包括晶体

的宏观对称要素和微观对称要素在内全部对称要素的一种

组合就构成晶体的一种微观对称类型—共230种组合方式。

它反映了晶体结构的微观对称性。230种晶体微观对

称性也称为230个空间群。任何一个晶体就其结构而言，必

定属于这230种中的一个，不会出现超出之外的新类型，也

不会在其中找不到。

晶体的宏观对称性就是晶体微观对称性的宏观表现。

3.3 晶体的微观对称性及230个空间群

空间 — 每种对称类型都含有空间对称动作对应的微观对称要素。

群 --- 特殊集合（封闭、组合）

74

本章概念

对称图形

等同部分 对称动作对称要素

阶次

相等图形 左右手图形 点对称动作空间对称动作

微观对称要素宏观对称要素

32个点群230个空间群

7个晶系

14种布拉伐格子

75

旋转轴

反映面

对称中心

点阵

反轴

螺旋轴

滑移面

对称要素 符号 对称动作 符号 等同图形 阶

次 旋转

反映

倒反

平移

旋转倒反

螺旋旋转

滑移反映

n

2

2

∞

n或2n

∞

∞

相等图形

左右手图形

左右手图形

相等图形

左右手图形

相等图形

相等图形和左右手图形

n

m

i

T

n

np

mp

L(a)

M

I

T

L(a)I

L(a)T

MT

本章概念

简单对称动作

复合对称动作

点对称动作

空间对称动作

对称轴

对称面

76

实习三：观察模型的对称结构

77

78

1、点阵中对称要素取向、轴次规律；

2、晶体中8种独立的宏观对称要素及其由来；

3、晶体中宏观对称要素的组合原则：轴/轴，面/轴，轴/面/心；

4、32个点群的详细由来(Td群，Oh群)；

5、7个晶系的分类原则；

6、230个空间群的简单理解。

本章小结