CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM...
20
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------------------------------------- ĐINH VĂN TUYÊN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016
Transcript of CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM...
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------------------------------
ĐINH VĂN TUYÊN
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2016
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------------------------------
ĐINH VĂN TUYÊN
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chủ tịnh hội đồng bảo vệ
PGS.TS. VŨ ĐỖ LONG
Người hướng dẫn khoa học
TS.Lê Đình Định
Hà Nội - 2016
3
STT
MỤC LỤC 01
Lời cảm ơn…………………………………………………………………….02
Lời nói đầu…………………………………………………………………….03
Bố cục chính của luận văn………………………………………………… ..04
Một số ký hiệu dùng trong luận văn………………………………………...07
Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị………………………………………………08
1.1 Các đẳng thức cơ bản trong tam giác……………………………….08
1.2 Một số bất đẳng thức đại số cơ bản………………………………....12
1.3 Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác…………………………...15
Chƣơng 2 Các bài toán cực trị trong tam giác…………………………….17
2.1 Một số phƣơng pháp giải các bài toán cực trị trong tam giác……..17
2.1.1 Dùng phương pháp Vectơ ……………………………………….....18
2.1.2 Dùng phương pháp tam thức bậc hai…………………………….....21
2.1.3 Dùng phương pháp đạo hàm ……………………………………….29
2.1.4 Dùng các bất đẳng thức đại số cơ bản……………………………...33
2.2 Một số bài toán cực trị trong tam giác……………………………….44
Chƣơng 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác…………...55
Kết luận…………………………………………………………………….....77
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………....78
4
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Lê Đình Định người thầy đã trực tiếp giảng dạy,
hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường
Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đã
trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những người đã
giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
5
LỜI NÓI ĐẦU
Các bài toán cực trị trong tam giác là một phần quan trọng của toán sơ cấp, và
nó có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức trong tam giác ở phương pháp giải. Có
rất nhiều các dạng toán thuộc loại khó liên quan tới chuyên đề này.
Điểm khác biệt quan trọng giữa bài toán cực trị trong tam giác và bài toán bất
đẳng thức trong tam giác là: bài toán bất đẳng thức trong tam giác biết trước cái
đích ta phải đi đến (tức là biết cả hai vế), còn bài toán cực trị trong tam giác thì
không.
Ví dụ:
a. (về bài toán bất đẳng thức trong tam giác): Cho tam giác ABC , chứng minh rằng
b.(về bài toán cực trị trong tam giác): Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức 3 cos 2cos 2 3 cosM A B C
do vậy bài toán cực trị trong tam giác có độ phức tạp hơn bài toán bất đẳng thức
trong tam giác. Tuy nhiên, nếu nắm vững được các phương pháp giải các bài toán
bất đẳng thức trong tam giác thì cũng dễ dàng làm được các bài toán cực trị trong
tam giác, và ngược lại.
Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, các bài toán
liên quan đến Các bài toán cực trị trong tam giác cũng hay được đề cập và thuộc
loại khó. Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, cực trị trong tam giác hay nhận
dạng tam giác đã được đề cập nhiều ở các tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinh
chuyên toán bậc trung học phổ thông.
Các kết quả nghiên cứu về nội dung này đến nay đã tương đối đầy đủ và hoàn
thiện. Chính vì vậy để có kết quả mới có ý nghĩa về nội dung này là một việc làm
rất khó đối với bản thân tôi.
3 cos 2cos 2 3 cos 4A B C
6
Tuy nhiên, với sự nỗ lực và nhận thức của bản thân, trong luận văn của mình
tôi đã cung cấp một số kiến thức cơ bản về đẳng thức và bất đẳng thức trong tam
giác, và hệ thống được một số phương pháp trong việc giải bài toán cực trị trong
tam giác, nêu ra được một số bài toán cực trị trong tam giác. Đồng thời tôi cũng đưa
ra được một số cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác.
Trong quá trình hoàn thành luận văn tác giả đã không ngừng nỗ lực để học
hỏi, tìm tòi và sưu tầm các bài toán cực trị trong tam giác. Tuy nhiên, do sự hiểu
biết của bản thân, điều kiện thời gian và khuân khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc
chắn rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những khiếm khuyết. Tác
giả mong được sự chỉ dạy của các thầy (cô) giáo và các quí bạn đọc để luận văn của
tôi thêm hoàn thiện hơn.
7
Bố cục của luận văn bao gồm:
Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị
Chương này gồm các định lí, công thức và một số đẳng thức, bất đẳng thức
cơ bản trong tam giác như: định lí hàm số sin, định lí hàm số cos, các công thức
tính diện tích tam giác, công thức tính bán kính, công thức đường trung tuyến,
công thức đường phân giác, công thức hình chiếu, một số đẳng thức cơ bản
trong tam giác, một số bất đẳng thức đại số cơ bản thường gặp, một số bất đẳng
thức cơ bản trong tam giác.
Chƣơng 2 Các bài toán cực trị trong tam giác
Gồm 5 phần:
Phần 1: Sử dụng các tính chất của tích vô hướng
a) . .a b a b
b)
2
1
0n
i
i
a
để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác
Phần 2: Sử dụng tính chất về dấu của tam thức bậc hai.
Cho 2f x ax bx c
a) 0 0;af x x b) Nếu sao cho: 0af thì 1 2
0
;x x
để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác
Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác.
Phần 4: Dùng các bất đẳng thức để giải bài toán cực trị trong tam giác.
Phần 5: Nêu ra một số bài toán cực trị trong tam giác.
8
Chƣơng 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác.
Trong chương này tác giả dùng các kiến thức phổ thông, các đẳng thức và
bất đẳng thức cơ bản trong tam giác, các bất đẳng thức đã biết, bất đẳng thức
Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Trêbưsep, bất đẳng thức
Jensen … để xây dựng lên các bài toán cực trị trong tam giác.
Ngày … tháng 12 năm 2016
Học viên
9
Một số ký hiệu dùng trong luận văn
1) ABC : tam giác ABC
A;B;C: là các đỉnh, đồng thời là số đo ba góc của tam giác ABC.
a; b;c: lần lượt là số đo độ dài ba cạnh BC; AC; AB.
2) ; ;a b ch h h : là độ dài các đường cao tương ứng các cạnh a; b; c.
3) ; ;a b cl l l : là độ dài các đường phân giác tương ứng các cạnh a; b; c.
4) ; ;a b cm m m : là độ dài các đường trung tuyến tương ứng các cạnh a; b; c.
5) ; ;a b cr r r : là bán kính đường tròn bàng tiếp tương ứng các góc:A;B;C.
6) R; r: là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC.
7) p; S: thứ tự là nửa chu vi và diện tích tam giác ABC.
8) Min; max: lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
9) : với mọi.
10) CMR: chứng minh rằng.
11) Đpcm: Điều phải chứng minh.
12) ; ; : lần lượt là tập số thực, tập số nguyên, tập số tự nhiên.
10
Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị
1.1. Các đẳng thức cơ bản trong tam giác
1.1.1. Các định lí và công thức cơ bản trong tam giác.
1.1.1.1. Định lý hàm số sin :
2
sin sin sin
a b cR
A B C
1.1.1.2. Định lý hàm số cos :
2 2 2 2 .cosa b c bc A
2 2 2 2 .cosb a c ac A
2 2 2 2 .cosc a b ab A
1.1.1.3. Định lý hàm số tan :
tan
2
tan2
A Ba b
A Ba b
tan
2
tan2
B Cb c
B Cb c
tan
2
tan2
C Ac a
C Ac a
1.1.1.4. Công thức tính diện tích tam giác
ABC
1 1 1ah
2 2 2a b cS bh ch
1 1 1
.sin .sin .sin2 2 2
ab C bc A ca B
( ) ( ) ( )4
a b c
abcpr p a r p b r p c r
R
22 sin sin sinR A B C
( )( )( )p p a p b p c (công thức He - ron)
11
1.1.1.5. Công thức bán kính:
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
2sin 2sin 2sin 4
a b c abcR
A B C S
- Bán kính đường tròn nội tiếp:
( ) tan ( ) tan ( ) tan2 2 2
A B C Sr p a p b p c
p
- Bán kính đường tròn bàng tiếp:
tan2
a
A Sr p
p a
tan2
b
B Sr p
p b
tan2
c
C Sr p
p c
1.1.1.6. Công thức đƣờng trung tuyến
2 2 2
2
2 4a
b c am
2 2 2
2
2 4b
c a bm
2 2 2
2
2 4c
a b cm
1.1.1.7. Công thức phân giác trong
2
cos2
b
ca Bl
c a
2
cos2
c
ab Cl
a b
2
cos2
a
bc Al
b c
1.1.1.8. Công thức hình chiếu
.cos .cos (cot cot )2 2
B Ca b C c B r
12
.cos .cos (cot cot )2 2
A Cb a C c A r
.cos .cos (cot cot )2 2
B Ac a B b A r
Chứng minh ( Xem trong [1] )
1.1.2. Một số đẳng thức cơ bản trong tam giác
Trong mọi ABC ta luôn có:
1.1.2.1. sin sin sin 4cos cos cos2 2 2
A B CA B C
1.1.2.2. sinh 2 sin 2 sin 2 4sin sin sinA B C A B C
1.1.2.3. 2 2 2sin sin sin 2cos cos cos 2A B C A B C
1.1.2.4. cos cos cos 4sin sin sin 12 2 2
A B CA B C
1.1.2.5. cos2 cos2 cos2 4cos cos cos 1A B C A B C
1.1.2.6. 2 2 2cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C
Chứng minh:
Các bài từ 1.1.2.1. đến 1.1.2.6. đều chứng minh tương tự nhau đó là sử dụng các
công thức lượng giác để biến đổi vế trái thành vế phải .
Lƣu ý: A B C . Ta chứng minh 1.1.2.3. các ý còn lại tương tự
Ta có
2 2 2
2
2
sin sin sin
1 cos 2 1 cos 21 cos
2 2
2 cos( )cos( ) cos
2 cos cos( ) cos
2 cos .( 2).sin sin2 2
2(1 cos cos cos )
A B C
A BC
A B A B C
C A B C
A C B A B CC
A B C
:
1.1.2.7. cot cot cot cot cot cot2 2 2 2 2 2
A B C A B C
1.1.2.8. tan tan tan tan tan tan 12 2 2 2 2 2
A B B C C A
13
1.1.2.9. cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A
1.1.2.10. tan tan tan tan tan tanA B C A B C ( ABC không vuông)
Chứng minh
Cách chứng minh của bốn bài từ 1.1.2.7. đến 1.1.2.10. tương tự nhau, ta
chứng minh bài 1.1.2.9.
Ta có: cot( ) cotA B C
cot cot 1
cotcot cot
A BC
A B
cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A
1.1.2.11. cos cos cos2 2 2 4
A B C p
R ; sin sin sin
2 2 2 4
A B C r
R
1.1.2.12. 4
tan tan tan2 2 2
A B C r R
p
; cot cot cot
2 2 2
A B C p
r
Chứng minh ( Xem trong [1] )
1.1.3. Một số bài toán đẳng thức dạng tổng quát
Chứng minh rằng trong mọi ABC và k ta luôn có:
1.1.3.1. sin(2 1) sin(2 1) sin(2 1)k A k B k C
( 1) 4cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1)2 2 2
k A B Ck k k
1.1.3.2. 1sin 2 sin 2 sin 2 ( 1) 4sin sin sinkkA kB kC kA kB kC
1.1.3.3. cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1)k A k B k C
1 ( 1) 4sin(2 1) sin(2 1) sin(2 1)2 2 2
k A B Ck k k
1.1.3.4. cos2 cos2 cos2 1 ( 1) 4cos cos coskkA kB kC kA kB kC
1.1.3.5. tan tan tan tan tan tankA kB kC kA kB kC
1.1.3.6.
cot(2 1) cot(2 1) cot(2 1) cot(2 1) cot(2 1) cot(2 1)2 2 2 2 2 2
A B C A B Ck k k k k k
1.1.3.7.
14
tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) 12 2 2 2 2 2
A B B C C Ak k k k k k
1.1.3.8. cot cot cot cot cot cot 1kA kB kB kC kC kA
1.1.3.9. 2 2 2cos cos cos 1 ( 1) 2cos cos coskkA kB kC kA kB kC
1.1.3.10. 2 2 2 1sin sin sin 2 ( 1) 2cos cos coskkA kB kC kA kB kC
Chứng minh
Bài 1.1.3.1. là bài tổng quát của Bài 1.1.2.1.
Ta có: sin(2 1) sin(2 1) sin(2 1)k A k B k C
2sin(2 1) cos(2 1) 2sin(2 1) cos(2 1)2 2 2 2
A B A B C Ck k k k
2( 1) cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1)2 2 2
k C A B A Bk k k
( 1) 4cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1)2 2 2
k A B Ck k k
Bài 1.1.3.2.; bài 1.1.3.3.; bài 1.1.3.4. lần lượt là bài tổng quát của bài
1.1.2.2.; bài 1.1.2.3.; bài 1.1.2.4. cách chứng minh tương tự bài 1.1.3.1.
Bài 1.1.3.5. là bài tổng quát của bài 1.1.2.10.
Ta có: tan tan
tan tan ( ) tan( )1 tan tan
kB kCkA k k B C kB kC
kB kC
Từ đó có được: tan tan tan tan tan tankA kB kC kA kB kC
Bài 1.1.3.6. là bài tổng quát của bài 1.1.2.7. chứng minh tương tự bài 1.1.3.5.
Bài 1.1.3.7. là bài tổng quát của bài 1.1.2.8.
Ta có
tan(2 1) tan(2 1)( )
2 2 2
A B Ck k
cot (2 1) (2 1)2 2
B Ck k
1
tan (2 1) (2 1)2 2
B Ck k
15
1 tan(2 1) tan(2 1)
2 2
tan(2 1) tan(2 1)2 2
B Ck k
B Ck k
Từ đó ta có đựơc:
tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) tan(2 1) 12 2 2 2 2
A B C C Ak k k k k k
Bài 1.1.3.8. là bài tổng quát của bài 1.1.2.9. cách chứng minh tương tự bài
1.1.3.7.
Bài 1.1.3.9. là bài tổng quát của bài 1.1.2.6.
Ta có: 2 2 2cos cos coskA kB kC
=1 1
(1 cos 2 ) (1 cos 2 ) ( 1) cos cos ( )2 2
kkA kB kC k A B
1 ( 1) cos cos ( ) cos ( )k kC k A B k A B
1 ( 1) 2cos cos cosk kA kB kC
Bài 1.2.3.10. là bài tổng quát của Bài 1.2.1.3. chứng minh tương tự bài
1.2.3.9.
của bài tập 1.2.1.; bài tập 1.2.2.; bài tập 1.2.3.
1.2. Một số bất đẳng thức đại số cơ bản
1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy
Cho n số không âm: 1 2, ,..., na a a Ta có bất đẳng thức:
1 21 2
......n n
n
a a aa a a
n
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a
1.2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski
Cho n cặp số bất kì: 1 2 1 2, ,..., ; , ,...,n na a a b b b
Ta có bất đẳng thức:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2( ... ) ... ...n n n na b a b a b a a a b b b
Hay gọn hơn:
16
2
2 2
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
a b a b
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:
: i ik a kb (*)
Với 1,2,...,i n (nếu 0; (*)ib i được viết: 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b )
1.2.3. Bất đẳng thức Trêbƣsep
Cho hai dãy số sắp thứ tự giống nhau:
1 2 1 2... ; ...n na a a b b b
Ta có bất đẳng thức sau:
1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n na a a b b b a b a b a b
n n n
(*)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2 ... na a a ; 1 2 ... nb b b
CHÚ Ý: Nếu hai dãy số trên sắp xếp ngược chiều nhau thì bất đẳng thức (*)
đổi chiều.
1.2.4. Bất đẳng thức Jensen
Bất đẳng thức Jensen là bất đẳng thức áp dụng cho hàm lồi. Trước hết
xin nhắc lai định nghĩa hàm lồi.
1.2.4.1. Cho hàm số y f x xác định trên ;a b . Hàm f được gọi là lồi
trên đó nếu thoả mãn điều kiện sau đây:
Nếu 1 2 , , , 0 : 1x x a b m n m n thì 1 2 1 2f mx nx mf x nf x
1.2.4.2. Hàm số y f x xác định trên đoạn ,a b gọi là lõm trên đó, nếu
như -f(x) là lồi.
Điều kiện đủ dùng để xét xem khi nào một hàm số là lồi (hoặc lõm)
Cho f(x) là hàm liên tục đến đạo hàm cấp hai trên ,a b .
- Nếu như ''( ) 0; ( , )f x x a b thì ( )f x là hàm lồi trên ,a b
- Nếu như ''( ) 0; ( , )f x x a b thì f x là hàm lõm trên ,a b
17
1.2.4. 3. Bất đẳng thức Jensen
Cho f x là hàm lồi trên ,a b . Giả sử 1 2, ,..., ,nx x x a b
Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
1 21 2
... 1...n
n
x x xf f x f x f x
n n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... .nx x x
1.3 . Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác.
a) 2
3coscoscos CBA ( ABC nhọn)
b) 2
33sinsinsin CBA
c) 2
3
2sin
2sin
2sin
CBA
d) 2
33
2cos
2cos
2cos
CBA
e) 8
1cos.cos.cos CBA
f) 8
33sin.sin.sin CBA
g) 8
33
2cos.
2cos.
2cos
CBA
h) 8
1
2sin.
2sin.
2sin
CBA
i) 3cotcotcot CBA ( ABC nhọn )
j) 33tantantan CBA ( ABC nhọn).
k) 32
tan2
tan2
tan CBA
l) 332
cot2
cot2
cot CBA
m) tan .tan .tan 3 3A B C
18
n) 33
1
2tan.
2tan.
2tan
CBA
Chứng minh (Xem trong [1])
19
Chƣơng 2 Các bài toán cực trị trong tam giác
2.1. Một số phƣơng pháp giải bài toán cực trị trong tam giác.
Nhận xét: Tuy số lượng các bài toán bất đẳng thức cũng như các bài toán cực trị
trong tam giác tương đối nhiều và khó, nhưng nếu chúng ta nắm được các cách giải
và vận dụng linh hoạt thì nó sẽ trở thành đơn giản. Các cách giải đó là gì? đó là dựa
vào các phép biến đổi tương đương và sử dụng các phương pháp giải phù hợp như
phương pháp vectơ, phương pháp tam thức bậc hai, phương pháp đạo hàm…đó là
sử dụng một số bất đẳng thức đã biết. Đặc biệt, đó là chú ý đến một đánh giá rất
quan trọng sau về hàm số lượng giác cos , tức là cos 1x với mọi x . Dấu đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi 0x .
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
sin + sin B - cosM A C
Lời giải
Ta có
in sin cos 2sin cos cos 2cos cos2 2 2
A B A B CM s A B C C C
Lại có:
2
2 1 3 32cos cos 2cos 2cos 1 2 cos
2 2 2 2 2 2 2
C C C CC
Vì vậy:
3sin sin cos
2M A B C
Vậy 3
max2
M khi và chỉ khi 1cos
2 2
A B
C
tam giác ABC cân tạiC với 2
3C
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
1
sin sin cos3
P A B C
20
Lời giải
Ta có:
1 1 1sin sin cos 2sin cos cos 2cos cos
2 2 23 3 3
A B A B CP A B C C C
Lại có:
2
2
1 12cos cos 2cos (2cos 1)
2 2 23 3
2 3 3 1 5 3cos
2 2 2 63 3
C C CC
C
Vì vậy: 1 5 3
sin sin cos3 6
A B C
Vậy 5 3
max6
P khi và chỉ khi tam giác ABC cân tại C với 3
C
2.1.1. Phƣơng pháp vectơ
Sử dụng các tính chất
a. . .a b a b
b.
2
1
0n
i
i
a
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
T= 3 cos 2cos 2 3 cosA B C
Lời giải
Gọi 1 2 3; ;e e e
thứ tự là các vectơ sau đây
1 2 3; ; .BC CA AB
e e eBC CA AB
Ta có
2
1 2 30 2 3 4 3 1 2 3 cos 2cos 2 3 cose e e A B C
Suy ra 3 cos 2cos 2 3 cos 4A B C (đpcm)
Vậy max 4T 1 2 32 3 2 3 0e e e
