Část I Vícekriteriální rozhodování za jistotyjfrieb/tspp/data/teorie/Vicekritko.pdf · 3...

1

Část I

Vícekriteriální rozhodování za jistotyPři řešení rozhodovacích problémů se často setkáváme s případy, kdy optimální rozhodnutí musívyhovovat více než jednomu kritériu. Zadaná kritéria mohou mít kvantitativní i kvalitativnícharakter (při koupi automobilu je rozhodující jak jeho cena, tak i vzhled), mohou být maxima-lizační i minimalizační (požadujeme, aby zakoupený automobil dosahoval co největší rychlosti abyl co nejlacinější) a mohou být i navzájem konfliktní (nízká cena výrobku je zpravidla spojenas jeho horší kvalitou). Úlohy vícekriteriálního rozhodování můžeme klasifikovat podle způsobuzadání množiny variant, které pro optimální rozhodnutí připadají v úvahu (jde o tzv. přípustnévarianty). Je-li tato množina určena konečným seznamem variant, hovoříme o vícekriteriálnímhodnocení variant. Je-li množina přípustných variant zadána podmínkami, které musí být přivýběru optimální varianty splněny, jde o úlohy vícekriteriálního programování (též vícekrite-riální nebo vektorové optimalizace). V těchto úlohách varianty rozhodnutí představují n-ticenezáporných čísel, které vyhovují daným omezujícím podmínkám a kterých může být nekonečněmnoho. Kritéria pro výběr nejvýhodnější varianty jsou vyjádřena účelovými funkcemi a musíbýt tedy pouze kvantitativní. Jednoduchým příkladem vícekriteriálního hodnocení variant jenásledující úloha, na které budou ilustrovány všechny používané pojmy a metody.

Příklad 1. Uchazeč o zaměstnání se rozhoduje mezi firmami A, B, C, přičemž tato pracovištěposuzuje podle výše měsíčního platu (tis.Kč), doby strávené na cestě do zaměstnání (minuty),možnosti dalšího odborného růstu (hodnocení 1, 2, 3 pro malou, střední a velkou možnost) azačátku pracovní doby (hodiny:minuty). Potřebné údaje jsou uvedeny v tabulce

K1 K2 K3 K4

firma A 30 60 2 9:00firma B 22 30 1 7:30firma C 26 45 3 8:00

1 Základní pojmy

Rozhodnutí - výběr jedné nebo více variant z množiny všech přípustných variant. v našempřípadu je to výběr firmy, u které se uchazeč nechá zaměstnat.

Rozhodovatel – subjekt, který má za úkol učinit rozhodnutí. Člověk, který vybírá vhodnézaměstnání.

v úlohách vícekriteriální analýzy variant je dána konečná (diskrétní) množina m variant,které jsou hodnoceny podle n kritérií. Cílem je učinit rozhodnutí, která varianta je podle danýchkritérií hodnocena nejlépe. Jedná se o tzv. optimální variantu. Varianty lze seřadit od nejlepšípo nejhorší nebo je rozdělit na efektivní a neefektivní varianty.

Varianty (alternativy) – konkrétní rozhodovací možnosti, které jsou realizovatelné. v násle-dujícím textu je budeme značit Ai (pro i = 1, 2, . . . ,m ). Varianty v příkladu 1 jsou firmy A, B, C.

Kritéria – hlediska, ze kterých jsou varianty posuzovány. Dále je budeme značit Kj (proj = 1, 2, ..., n). Kritéria v příkladu 1 jsou výše měsíčního platu, doba cesty do zaměstnání,možnost dalšího odborného růstu, začátek pracovní směny.

2 1 ZÁKLADNÍ POJMY

Kriteriální matice – je-li hodnocení variant podle kritérií kvantifikováno, údaje uspořádávámedo kriteriální maticeY = (yij). Prvky této matice vyjadřují hodnocení i-té varianty podle j-téhokritéria. Řádky odpovídají variantám, sloupce kritériím.

Klasifikace kritérií

dle povahy

• maximalizační – nejlepší hodnoty mají nejvyšší hodnoty (výše měsíčního platu, možnostodborného růstu, začátek pracovní doby)

• minimalizační – nejlepší hodnoty mají nejmenší hodnoty (doba cesty do zaměstnání)

Vhodné je před hodnocením převést všechna kritéria na jeden typ. Pokud chceme převéstminimalizační kritérium na maximalizační, například vybereme ve sloupci příslušného kritérianejvětší číslo a od tohoto čísla odečítáme ostatní kriteriální hodnoty v daném sloupci. Výsled-kem je potom lineární vzdálenost skutečné hodnoty od hodnoty nejhorší, čím je tato vzdálenostvětší, tím lépe, kritérium je tedy maximalizační.v našem příkladu je minimalizační K2, pokud hodnoty budeme chtít převést na maximalizační,vybereme největší číslo ve druhém sloupci (60), pro všechny prvky v druhém sloupci vypočtemerozdíl mezi nejhorší hodnotou (60) a ostatními hodnotami a získáme čísla 0, 30, 15. Víme tedynapříklad, že při volbě varianty B budeme dojíždět do práce o 15 minut kratší dobu než u va-rianty A. Většina programů pro vícekriteriální hodnocení variant vyžaduje pouze zadání typukritéria a program provede standardizaci všech kritérií na výnosový typ sám.

dle kvantifikovatelnosti

• kvantitativní – objektivně měřitelné údaje (výše měsíčního platu, doba cesty do zaměst-nání, začátek pracovní doby)

• kvalitativní – nelze objektivně měřit, varianty jsou hodnoceny slovně, proto je nutné užítk převedení slovního hodnocení různé bodovací stupnice či relativní hodnocení variant(možnost dalšího odborného růstu)

Preference kritéria – důležitost kritéria v porovnání s ostatními kritérii.Vyjádření preference

• aspirační úroveň – hodnota kritéria, které má být dosaženo (například uchazeč požadujeměsíční plat alespoň 25 tis. Kč, aby se nabídkou práce začal zabývat)

• pořadí kritérií (ordinální informace o kritériích) – posloupnost kritérií od nejdůležitějšíhopo nejméně důležité

• váhy kritérií – kardinální informace o kritériích; váha je hodnota z intervalu 〈0, 1〉 a vyja-dřuje relativní důležitost kritéria v porovnání s ostatními

• kompenzace kriteriálních hodnot – jsou vyjádřeny mírou substituce mezi kriteriálními hod-notami (možno vyrovnat špatné kriteriální hodnoty podle jednoho kritéria lepšími hodno-tami podle jiného kritéria)

Varianty se speciálními vlastnostmiDominovaná varianta – pokud jsou všechna kritéria maximalizační, varianta Ai dominuje vari-antu Aj pokud existuje alespoň jedno kritérium Kl, že yil > yjl , přičemž pro ostatní kritériaplatí (yi1, yi2, . . . , yin) ≥ (yj1, yj2, . . . , yjn). v našem případě taková varianta neexistuje, ale bylaby to například taková, která by měla výši měsíčního platu 26 tisíc Kč, doba dojíždění by byla60 minut, možnost odborného růstu by byla malá a začátek pracovní doby by byl v 7:30.

3

Paretovská varianta, nedominovaná varianta – varianta, která není dominovaná žádnou jinouvariantou.Ideální varianta – hypotetická či reálná varianta, která dosahuje ve všech kritériích nejlepšímožné hodnoty. Taková varianta by dominovala všechny ostatní varianty. Ideální by bylo, kdybyměsíční plat byl 30 tisíc Kč, doba dojíždění by byla 30 minut, u firmy by byla velká možnostodborného růstu a začátek pracovní doby by byl v 9:00. Taková skutečná firma (varianta) v se-znamu možných variant není, proto je tato varianta pouze hypotetická. Kdyby taková skutečněexistovala, uchazeč by si ji vybral a nemusel by hledat kompromisní řešení.Bazální varianta – hypotetická či reálná varianta, jejíž ohodnocení je nejhorší podle všech kri-térií. Taková varianta by byla dominovaná ostatními variantami. v našem případě by takovávarianta zahrnovala výši měsíčního platu 22 tisíc Kč, dojíždění by trvalo 60 minut, možnostodborného růstu by byla malá a pracovní doba by začínala v 7:30. Taková varianta mezi sku-tečnými variantami není, uchazeč by ji jinak mohl rovnou vyřadit, byla by dominovaná.Kompromisní varianta – jediná nedominovaná varianta doporučená k řešení, vybraná podle růz-ných pravidel - viz dále.

Vlastnosti, které by měla mít kompromisní varianta:

• nedominovanost – varianta nesmí být dominovaná jinou variantou;

• invariance vzhledem k pořadí kritérií – pořadí kritérií neovlivňuje výběr kompromisnívarianty;

• invariance vzhledem k měřítku kriteriálních hodnot – pokud ke všem prvkům přičtemestejné číslo (vynásobíme stejným číslem), množina vybraných variant nebo vybraná vari-anta se nesmí změnit;

• nezávislost na identických hodnotách téhož kritéria – vyskytne-li se kritérium, jehož hod-noty jsou pro všechny varianty zhruba stejné, nesmí se změnit množina vybraných variant;

• invariance vzhledem k přidaným dominovaným variantám – přidáme-li do množiny variantdominovanou variantu, vybraná kompromisní varianta se nesmí změnit;

• determinovanost – podle každého přístupu nejméně jedna varianta musí být vybrána jakokompromisní;

• jednoznačnost – zvolený postup dává jednoznačný výsledek, jednu variantu označí jakokompromisní.

2 Metody stanovení vah kritérií

Většina metod vícekriteriálního rozhodování vyžaduje odlišení jednotlivých kritérií z hlediskajejich významnosti. Jednou z možností je číselné vyjádření této významnosti pomocí tzv. vah(čím je kritérium významnější, tím je jeho váha větší). Váhu kritéria Kj budeme značit vj ,j = 1, 2, . . . , n, kde n je počet všech uvažovaných kritérií. Aby váhy kritérií, stanovené různýmimetodami, popř. různými experty, byly srovnatelné, vyjadřujeme je v normovaných hodnotáchwj , které počítáme podle vztahu

wj =vj

n∑k=1

vk

, j = 1, 2, . . . , n (1)

Normované váhy představují nezáporná čísla, jejichž součet se rovná jedné.

Rozdělení metod pro stanovení vah kritériíMetody na stanovení vah kritérií lze rozdělit podle informace, která je nutná ke stanovení vah.

4 2 METODY STANOVENÍ VAH KRITÉRIÍ

• rozhodovatel nemůže určit preferencev případě, že rozhodovatel není schopen rozlišit důležitost jednotlivých kritérií, všem krité-riím je přiřazena stejná váha. Máme-li tedy například pět kritérií (n = 5), každému z nichje přiřazena váha 0,2 (wj = 1

n).

• rozhodovatel má ordinální informaci o kritériíchv takovém případě je rozhodovatel schopen určit pořadí důležitosti kritérií. Mezi metodyvyžadující ordinální informaci o kritériích patří metoda pořadí a Fullerova metoda.

• rozhodovatel má kardinální informace o kritériíchRozhodovatel zná nejen pořadí, ale i rozestupy v pořadí preferencí mezi jednotlivými krité-rii. Mezi metody založené na tomto principu patří bodovací metoda a Saatyho metoda.

Poznámka. Pro vlastní hodnocení variant stačí, aby si rozhodovatel vybral jednu metodu, touspočítal váhy a s těmito vahami počítal dále.

Metoda pořadí

Rozhodovatel seřadí kritéria K1,K2, . . . ,Kn od nejvýznamnějšího k nejméně významnémua takto uspořádaným kritériím přiřadí váhy n, n− 1, . . . , 2, 1. Pro normovanou váhu kritéria Kj

s vahou vj pak platí vztah

wj =vj

1 + 2 + . . .+ n=

vj

n(n+1)2

, j = 1, 2, . . . , n (2)

Řešený příklad I.1. Spočítejte váhy kritérií z příkladu 1 metodou pořadí, pokud víte, že uchazečpreferuje kritéria v tomto pořadí: K1,K3,K2,K4

Řešení. Například kritérium K1 je první v pořadí ze čtyř kritérií, proto přiřadíme tomutokritérii 4 body. Celkový počet bodů přidělený všem kritériím je 10 (4+3+2+1). Váha se pakvypočte jako podíl bodů přiřazených tomuto kritériu na celkovém počtu přiřazených bodů, tedyw1 = 4/10 = 0, 4. Stejně tak přiřazujeme body podle pořadí dalším kritériím a váhy jsou paknásledující: K3 = 0, 3, K2 = 0, 2 a K4 = 0, 1.

2

Fullerova metoda

Při větším počtu kritérií je výhodné srovnávat navzájem vždy pouze dvě kritéria, o kterýchsnáze rozhodneme, které je důležitější. Jednu z možností pro vyhodnocení těchto srovnání po-skytuje tzv. Fullerův trojúhelník. Za předpokladu, že jednotlivá kritéria jsou pevně očíslovánapořadovými čísly 1, 2, . . . , n, Fullerův trojúhelník je tvořen dvojřádky, v nichž každá dvojice kri-térií se vyskytne právě jednou (viz schéma). U každé dvojice hodnotitel zakroužkuje nebo jinakvyznačí číslo toho kritéria, které považuje za důležitější, takže pro kritérium Kj představuje po-čet zakroužkovaných čísel j počet jeho preferencí, který označíme fj . Protože při počtu kritériín je počet párových srovnání roven kombinačnímu číslu

(n2

), tj. pro normovanou váhu kritéria

Kj platí

wj =fj

n(n−1)2

, j = 1, 2, . . . , n (3)

Schéma Fullerova trojúhelníku

5

1 1 1 . . . 12 3 4 . . . n2 2 . . . 23 4 . . . n

. . .n-2 n-2n-1 n

n-1n

Řešený příklad I.2. Spočítejte váhy kritérií z příkladu 1 Fullerovou metodou, pokud víte, žeuchazečovy preference jsou následující: K1 � K3 � K2 � K4.

Řešení. Zapíšeme každou dvojici kritérií do Fullerova trojúhelníku a tučně označíme to krité-rium, které je ve dvojici preferováno.

1 1 12 3 42 23 434

Pro každé kritérium spočítáme kolikrát je označené jako preferované před jiným kritériem. Početpreferencí pro každé kritérium vydělíme počtem všech porovnávání. Tím získáme váhy.

Kritérium Počet preferencí Váha

K1 3 1/2K2 1 1/6K3 2 1/3K4 0 0Celkem 6 1

2

Nevýhodou metody párového srovnávání je skutečnost, že nejméně důležité kritérium má nulo-vou váhu, i když nemusí jít o zcela bezvýznamné kritérium. Tento nedostatek lze odstranit tak,že četnost preferencí každého kritéria zvýšíme o 1 a jmenovatele zlomku ve vzorci (3) zvýšíme o n.

Řešený příklad I.3. Spočítejte váhy Fullerovou metodou tak, aby žádné z kritérií nemělo nu-lovou váhu. Preference jsou shodné se zadáním řešeného příkladu I.2.

Řešení. Vezmeme výsledky řešeného příkladu I.2, navýšíme počet preferencí o jednotku, tímnám vzroste celkový počet porovnávání na 10 a váhy se pak počítají jako podíl počtu preferencídaného kritéria a celkového počtu porovnávání.

Kritérium Počet preferencí Váha Navýšený počet preferencí Upravená váha

K1 3 1/2 4 0,4K2 1 1/6 2 0,2K3 2 1/3 3 0,3K4 0 0 1 0,1

Celkem 6 1 10 1


2

Existují modifikace metody párového srovnávání kritérií, které připouštějí stejnou důležitostnebo nesrovnatelnost některých kritérií, ale těmi se v tomto kurzu nebudeme zabývat. Pokudtedy budeme chtít použít Fullerovu metodu, musíme být schopni pomocí relace preference kri-téria uspořádat.

Bodovací metodaNa rozdíl od metody pořadí, která vychází pouze z porovnání významnosti jednotlivých kritérií,při bodovací metodě se důležitost kritérií ohodnotí počtem bodů (čím je kritérium důležitější,tím má větší počet bodů). Bodovací stupnice může mít větší či menší rozsah – např. 1 až 5,1 až 10 apod. Přidělený počet bodů se převádí na normovanou váhu dle vzorce (1). Zvláštnímpřípadem bodovací metody je alokace 100 bodů (zvaná též Metfesselova alokace), kdy mezijednotlivá kritéria se v souladu s jejich důležitostí rozděluje 100 bodů. Normované váhy jsoupotom stokrát menší než příslušný počet bodů.

Řešený příklad I.4. Předpokládejte, že vy sami jste uchazečem o zaměstnání z příkladu 1.Spočítejte váhy kritérií z tohoto příkladu bodovací metodou.

Řešení. Nejprve si musíme nejen srovnat kritéria podle pořadí preferencí, ale i určit sílu těchtopreferencí. Jedno z možných bodových ohodnocení spolu s výslednými vahami pro takové bodovéohodnocení je v následující tabulce.

Kritérium Počet bodů Váha

K1 50 0,5K2 20 0,2K3 25 0,25K4 5 0,05

Celkem 100 1

2

Metoda kvantitativního párového srovnávání (Saatyho metoda)Kromě výběru preferovaného kritéria se určuje pro každou dvojici kritérií také velikost této pre-ference (SAATY, 1990). K vyjádření velikosti preferencí Saaty doporučuje bodovou stupnici:

Vyjádření preferencíčíselné slovní1 kritéria jsou stejně významná3 první kritérium je slabě významnější než druhé5 první kritérium je silně významnější než druhé7 první kritérium je velmi silně významnější než druhé9 první kritérium je absolutně významnější než druhé

Pro citlivější vyjádření preferencí je možné použít i mezistupně (2, 4, 6, 8).Velikost preferencí i-tého kritéria proti j-tému můžeme uspořádat do Saatyho matice S, jejížprvky sij představují odhady podílů vah kritérií (kolikrát je jedno kritérium významnější neždruhé):

sij ≈vi

vj, i, j = 1, 2, . . . , n (4)

Matice S je čtvercová řádu n× n a pro její prvky platí

sij =1sji

, i, j = 1, 2, . . . , n (5)

7

tedy matice S je reciproční. Na diagonále matice S jsou vždy hodnoty jedna (každé kritériumje samo sobě rovnocenné). Dříve než se počítají váhy jednotlivých kritérií, je nutné ověřit, zdazadaná matice párových porovnávání je konzistentní. Uvažujme ideální matici S = (sij), projejíž prvky by platilo shj = shisij pro i, j, h = 1, 2, . . . , n. Taková matice by byla dokonale kon-zistentní.

Příklad 2. Mějme matici párových srovnávání pro tři kritéria:

K1 K2 K3K1K2K3

1 2 61/2 1 31/6 1/3 1

Prvky této matice jsou plně konzistentní. Například platí

s13 = s12s23

neboli 6 = 2 · 3.

Pokud je kritérií více, je téměř nemožné zadat odhady vah kritérií tak, aby matice byladokonale konzistentní. v takovém případě se počítá míra konzistence. v rámci našeho kurzu ne-budeme míru konzistence počítat, konzistenci budeme sledovat pouze ve výsledcích, které budouk dispozici díky užití softwaru. v případě zájmu o výpočet indexu konzistence doporučujeme li-teraturu [1].

Při stanovování vah můžeme vycházet z podmínky, že matice S by se měla od matice, jejímižprvky jsou podíly vah wi

wj, lišit co nejméně. Potom minimalizujeme součet odchylek stejnolehlých

prvků obou matic:

F =n∑

i=1

n∑j=1

[sij −

wi

wj

]2→ min (6)

za podmínkyn∑

j=1wj = 1 a wj ≥ 0 pro j = 1, 2, . . . , n.

Další metoda, jak stanovit váhy je logaritmická metoda nejmenších čtverců. Řešíme

F =n∑

i=1

n∑j=1

[ln sij − (lnwi − lnwj)]2 → min (7)

za podmínkyn∑

j=1wj = 1 a wj ≥ 0 pro j = 1, 2, . . . , n.

Saaty navrhl početně jednoduchý způsob, jak spočítat váhy. Řešením je normalizovaný geo-metrický průměr řádků matice S:

wi =

[n∏

j=1sij

] 1n

n∑k=1

[n∏

j=1skj

] 1n

, i = 1, 2, . . . , n. (8)

Pokud je matice S plně konzistentní, popřípadě dostatečně konzistentní, váhy kritérií vy-počítané podle vztahu (8) odpovídají požadavkům na jejich preferenci. Pokud matice S není


konzistentní, je nutné upravit odhady důležitosti jednotlivých kritérií v původní matici S a tímzlepšit jejich konzistenci.

Řešený příklad I.5. Nejprve provedeme u našeho příkladu 1 porovnání důležitosti mezi všemidvojicemi kritérií a tato porovnání uspořádáme do Saatyho matice párových srovnání.

K1 K2 K3 K4K1K2K3K4

1 5 3 71/5 1 1/2 41/3 2 1 51/7 1/4 1/5 1

Řešení. Vzhledem k tomu, že matice je dostatečně konzistentní (zjistili jsme v softwaru Sanna),nemusíme upravovat odhady preferencí mezi kritérii a přistoupíme k výpočtu vah podle vztahu(8).

Geometrický průměr Vážený geometrický průměr (wi)

K1 3.20109 0.56774K2 0.79527 0.14105K3 1.35120 0.23965K4 0.29072 0.05156

suma 5.638272125 1

2

Metoda postupného rozvrhu vahPři velkém počtu kritérií je vhodné seskupit kritéria do dílčích skupin podle příbuznosti jejichvěcné náplně. Váhy jednotlivých kritérií pak určíme tak, že

• stanovíme normované váhy jednotlivých skupin kritérií (pomocí některé z dříve uvedenýchmetod),

• stanovíme normované váhy každého kritéria v příslušné skupině,

• vynásobením vah skupin kritérií a vah jednotlivých kritérií v rámci každé skupiny zjistímevýsledné normované váhy kritérií.

Příklad 3. Výrobní firma uvažující o vytvoření společného podniku hledá partnera, který by conejlépe vyhovoval těmto kritériím:

K1 . . . možnost kooperace v klíčových výrobních programech firmyK2 . . . kompatibilnost technologieK3 . . . technická úroveň partneraK4 . . . možnost dodávat zboží na trhy partneraK5 . . . možnost samostatně vystupovat na zahraničních trzíchK6 . . . finanční výsledky hospodaření partnera v posledním roceK7 . . . velikost finančního vkladu partnera do společného podnikuK8 . . . vzdálenost sídla partnera od sídla firmyK9 . . . image firmy partnera

Uvedený soubor kritérií lze podle jejich obsahové příbuznosti rozdělit do čtyř skupin:

• kritéria výrobně-technologická (skupina S1 s kritérii K1, K2, K3)

9

• kritéria obchodní (skupina S2 s kritérii K4, K5)

• kritéria finanční (skupina S3 s kritérii K6, K7)

• ostatní (skupina S4 s kritérii K8, K9)

Za předpokladu, že byly stanoveny váhy těchto skupin kritérií a váhy jednotlivých kritériív rámci uvažovaných skupin, výše popsaným postupem byly spočítány a do posledního řádkunásledující tabulky zapsány výsledné váhy jednotlivých kritérií.

Skupina kritérií S1 S2 S3 S4Váhy skupin kritérií 0,3 0,2 0,4 0,1Kritéria K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9Váhy kritérií 0,5 0,2 0,3 0,5 0,5 0,3 0,7 0,4 0,6Výsledné váhy kritérií 0,15 0,06 0,09 0,1 0,1 0,12 0,28 0,04 0,06

4

Váhy kritérií patří k údajům subjektivního charakteru, závisejícím jednak na použití metody,jednak na hodnotiteli. Doporučuje se proto aplikovat více metod, zapojit více hodnotitelů azískané hodnoty průměrovat.Stejně jako lze kritéria rozdělit do skupin a každé skupině přidělit váhu, může hodnocení provádětvíce hodnotitelů, každému hodnotiteli je pak přidělena váha, kterou hodnotitel dělí mezi kritéria.

3 Metody stanovení pořadí variant

Cílem metod vícekriteriálního hodnocení variant je stanovení pořadí výhodnosti jednotlivýchvariant z hlediska zvolených kritérií, přičemž varianta s nejlepším umístěním představuje nej-lepší kompromisní variantu. Metody pro výběr kompromisní varianty mezi nedominovanýmivariantami se liší přístupem k pojmu ”kompromisní varianta”, náročností a použitelností prorůzné typy vícekriteriálních úloh. Výsledky získané různými metodami mají tedy subjektivnícharakter a mohou se navzájem lišit.Metody je možné rozdělit podle toho, jaký typ informace vyžadují.

• Metody vyžadující znalost aspirační úrovně kriteriálních hodnot.Do této skupiny metod patří například konjunktivní metoda, disjunktivní metodaa metoda PRIAM. Informace o důležitosti kritérií je vyjádřena aspirační úrovní kritérií.Porovnávají se kriteriální hodnoty všech variant s aspiračními úrovněmi všech kritérií.Obvykle se rozdělí skupina variant na dvě skupiny. Varianty, které mají horší kriteriálníhodnoty, než je nastavená aspirační úroveň (neakceptovatelné, neefektivní), a varianty,které mají lepší nebo stejné kriteriální hodnoty, než je aspirační úroveň (akceptovatelné,efektivní). Při dostatečném zpřísnění aspiračních úrovní může v množině akceptovatelnýchvariant zůstat varianta jediná, kterou označíme jako kompromisní.

• Metody vyžadující ordinální informace o variantách podle každého kritéria.Jsou to například metoda pořadí, lexikografická metoda, permutační metoda,metoda ORESTE.

• Metody vyžadující kardinální informace o variantách podle každého kritéria.Tato skupina metod se dále rozděluje na dílčí podskupiny podle principu, na kterém jsouhodnocení založena. Existují tyto základní přístupy:

– maximalizace užitku (metoda váženého součtu, metoda bázické varianty, me-toda AHP, metoda bodovací)

10 3 METODY STANOVENÍ POŘADÍ VARIANT

– minimalizace vzdálenosti od ideální varianty, popř. maximalizace vzdálenosti od ba-zální varianty (TOPSIS)

– preferenční relace (ELECTRE, PROMETHEE)

– metody založené na mezní míře substituce (metoda postupné substituce).

Některé zmíněné metody budou vysvětleny dále, jiné popisují např. [2] nebo [1].

Konjunktivní a disjunktivní metodaPři aplikaci těchto metod je nutné, aby byly známé aspirační úrovně všech kritérií a kardinálníohodnocení variant podle jednotlivých kritérií. Podle aspirační úrovně rozdělíme varianty naakceptovatelné a neakceptovatelné.v případě konjunktivní metody připustíme pouze varianty, které splňují všechny aspiračníúrovně.Nejprve předpokládejme, že všechna kritéria jsou maximalizační. Ze všech možných variant– alternativ Ai budou pak v množině akceptovatelných variant M ty varianty, které podlevšech posuzovaných hledisek mají alespoň hodnotu předem stanovené aspirační úrovně zj nebohodnotu větší. Matematicky můžeme zapsat

M = { Ai|yij ≥ zj ,∀j ∈ 1, 2, . . . , n}. (9)

Nyní předpokládejme, že jsou všechna kritéria minimalizační. Ze všech možných variant– alternativ Ai budou pak v množině akceptovatelných variant M ty varianty, které podlevšech posuzovaných hledisek mají nejvýše hodnotu předem stanovené aspirační úrovně zj nebohodnotu menší. Matematicky můžeme zapsat

M = { Ai|yij ≤ zj ,∀j ∈ 1, 2, . . . , n}. (10)

Běžně se v úlohách vyskytují jak maximalizační, tak minimalizační kritéria. Potom můžeme říci,že do množiny M (množiny akceptovatelných variant) patří pouze varianty, které podle všechkritérií dosahují předem stanovenou aspirační úroveň nebo jsou ještě lepší.v případě disjunktivní metody připustíme varianty, které splňují alespoň jeden požadavek.

v případě maximalizačních kritérií platí, že ze všech možných variant – alternativ Ai budoupak v množině akceptovatelných variant M ty varianty, které alespoň podle jednoho posuzova-ného hlediska mají alespoň hodnotu předem stanovené aspirační úrovně zj nebo hodnotu větší.Matematicky můžeme zapsat

M = { Ai|∃j ∈ 1, 2, . . . , n, yij ≥ zj}, (11)

v případě minimalizačních kritérií platí, že ze všech možných variant – alternativ Ai budoupak v množině akceptovatelných variant M ty varianty, které alespoň podle jednoho posuzova-ného hlediska mají nejvýše hodnotu předem stanovené aspirační úrovně zj nebo hodnotu menší.Matematicky můžeme zapsat

M = {Ai|∃j ∈ 1, 2, . . . , n, yij ≤ zj}, (12)

Pokud jsou požadavky vyjádřené aspiračními úrovněmi příliš přísné, je množina akceptovatel-ných variant prázdná. v takovém případě je nutno zadat nové, mírnější aspirační úrovně. Anaopak, budou-li požadavky mírné, množina variant bude příliš velká. Pak je nutné aspiračníúrovně zpřísnit.

Řešený příklad I.6. Vezměme u našeho příkladu 1 tyto aspirační úrovně: z1 = 25, z2 = 45, z3 =2, z4 = 8. Určete, které varianty jsou akceptovatelné a které nikoliv.

11

Řešení. Pokud problém budeme řešit konjunktivní metodou, jediná varianta, která vyhovujevšem aspiračním úrovním, je varianta C. Pokud k řešení přistoupíme metodou disjunktivní, pakalespoň z jednoho hlediska vyhovují všechny varianty.

2

Poznámka. Metody konjunktivní a disjunktivní jsou doporučovány zejména k ”předvýběru” va-riant, které se pak dále hodnotí jinými metodami. Znamená to, že aspirační úrovně se nenastavítak přísné, aby vyhovovalo pouze jediné řešení. Hledá se skupina variant, která vyhovuje aspi-račním úrovním. Dalo by se říci, že se těmito metodami odstraní vyloženě špatné a nevyhovujícívarianty a ostatní se pak dále vyhodnocují jinými metodami.

Metoda PRIAM (Programme utilisant lIntelligence Artificiele en Multicritere)

Tato metoda je založena na postupném prohledávání množiny variant v s krocích, aby bylonalezeno jediné nedominované řešení.Každá varianta Ai je zobrazena vektorem kriteriálních hodnot yi ∈ Y (jeden z řádků krite-

riální matice). Aspirační úroveň j-tého kritéria v s-tém kroku je označena zsj a změny aspirační

úrovně j-tého kritéria v s-tém kroku ∆zsj . Změna může být kladná nebo záporná, podle toho, zda

se jedná o minimalizační či maximalizační typ kritéria. Rozhodovatel navrhne první aspiračníúroveň kritérií

z(0) = (z(0)1 , z(0)2 , . . . , z(0)n ). (13)

Zpravidla se aspirační úroveň v nultém kroku stanoví jako nejhorší hodnota podle každéhokritéria. Tímto ”sítem” projdou všechny varianty, neboli pro všechny varianty (jejich kriteriálníhodnoty) platí

yi ≥ z(0). (14)

Vztah 14 čtěte ”kriteriální hodnoty varianty vyhovují požadovaným aspiračním úrovním”. Obecnědo dalšího kola projdou varianty, které splňují požadované aspirační úrovně. Počet variant spl-ňující tyto aspirační úrovně udává číslo d. Vzhledem k hodnotě d rozhodovatel mění aspiračníúroveň kritérií pro krok s+ 1

z(s+1) = z(s) +∆z(s). (15)

Podle hodnoty čísla d (počet variant, které splňují požadavky) nastávají tři případy:

• d > 1 - rozhodovatel mění aspirační úroveň tak, aby snížil počet akceptovatelných variant,

• d = 1 – je nalezena kompromisní varianta,

• d = 0 – neexistuje žádná přijatelná varianta, hledá se nejbližší varianta k zadaným aspi-račním úrovním; v takovém případě se pro každou variantu vypočte odchylka od aspiračníúrovně podle vztahu

n∑j=1

|z(s)j − yij |y∗j

, (16)

kde y∗j pro j = 1, 2, . . . , n jsou ideální kriteriální hodnoty. Tento vztah nelze použít v případě,že ideální kriteriální hodnota je nula. Jako přijatelnou variantu vybereme variantu s nejmenšímpodílem odchylky od aspiračních úrovní kritérií na ideální kriteriální hodnotě.

Řešený příklad I.7. Vyberte kompromisní variantu v příkladu 1 metodou PRIAM.


Řešení. Výchozí aspirační úroveň u našeho příkladu je z(0) = (22; 60; 1; 7.5). Této aspiračníúrovni vyhovují všechny varianty. Zpřísníme tedy aspirační úroveň nejprve u nejdůležitějšího kri-téria o 3. Potom ∆z(1) = (3; 0; 0; 0) a aspirační úrovně jsou z(1) = (25; 60; 1; 7.5). Tím je vyřazenavarianta B, zbývají stále dvě varianty. Zpřísníme aspirační úroveň například u kritéria odbornýrůst o 1, tedy ∆z(2) = (0; 0; 1; 0). Aspirační úroveň bude po této úpravě z(2) = (25; 60; 2; 7.5).Stále zbývají dvě varianty, které stanovené aspirační úrovně splňují. Proto zpřísníme aspi-rační úroveň u druhého kritéria ∆z(3) = (0;−10; 0; 0). Po této úpravě je aspirační úroveňz(3) = (25; 50; 2; 7.5) a tomu vyhovuje už jen varianta C.

2

Metoda pořadíMetoda pořadí je založena na převedení kriteriální matice na matici pořadí. To znamená, žepostupně se podle všech kritérií přiřadí variantám jejich pořadí. Pokud nejsou známé preferencekritérií, pouze se sečtou pro každou variantu všechna pořadí. Nejlepší varianta má tento součetnejnižší. Pokud jsou známé preference kritérií (váhy), lze vypočítat vážené pořadí variant, opětnejlepší varianta má tento součet nejnižší.

Řešený příklad I.8. Pro náš příklad 1 vyhodnoťte pořadí pracovních míst.

Řešení. Matice pořadí bez vah je následující:

K1 K2 K3 K4 Součet pořadí PořadíA 1 3 2 1 7 1.B 3 1 3 3 10 2.C 2 2 1 2 7 1.

S vahami pak:

K1 K2 K3 K4 Vážený součet pořadí PořadíA 0.5 0.6 0.5 0.05 1.65 1.B 1.5 0.2 0.75 0.15 2.6 3.C 1 0.4 0.25 0.1 1.75 2.Váhy 0.5 0.2 0.25 0.05

Poznámka. Váhy, které jsme použili, jsou vypočítané bodovací metodou (viz subkapitola 2).

2

v případě, že by více variant mělo stejné hodnoty podle některého z kritérií, potom se bereprůměrné pořadí. Například dvě varianty dosahují druhé nejlepší hodnoty podle některého kri-téria, (jsou na druhém místě), bereme to tak, že tyto dvě varianty obsadí dvě místa, a to druhéa třetí a výsledné pořadí je pak 2,5 (průměrné pořadí).

Metoda lexikografickáTato metoda vychází z předpokladu, že největší vliv na výběr kompromisní varianty má nejdůle-žitější kritérium. v případě, že existuje více variant se stejným hodnocením podle nejdůležitějšíhokritéria, přichází v úvahu druhé nejdůležitější kritérium. Algoritmus se zastaví ve chvíli, kdy jevybraná jediná varianta, nebo když jsou vyčerpána všechna uvažovaná kritéria. Kompromisnívarianty jsou potom všechny ty, které zůstaly stejně hodnoceny po zařazení posledního kritéria.Tato metoda by se dala přirovnat k vyhledávání ve slovníku.

13

Příklad 4. v našem příkladu 1 si zvolíme jako nejdůležitější např. kritérium mzda. Z tohotohlediska je nejlepší varianta A, proto bychom doporučili vybrat tuto variantu. v případě, že bymzda byla stejná u více variant, pak bychom přistoupili k druhému nejdůležitějšímu kritériu apodle něj bychom rozhodli o výběru vhodné varianty.

4

Metoda bodovacíPři této metodě rozhodovatel přiřadí každému prvku rozhodovací matice určitý počet bodů zezvolené stupnice, a to tak, že lepší hodnotě kritéria přiřadí větší počet bodů. Maximálně (mini-málně) možný počet bodů přiřazený nejlepší (nejhorší) hodnotě kritéria musí být pro všechnakritéria stejný, přičemž může jít o hypoteticky stanovená čísla, která se v žádné variantě nevy-skytují. Výhodné je opatřit bodovou stupnici pro každé kritérium slovním popisem.

Řešený příklad I.9. Vyhodnoťte varianty z příkladu 1 bodovací metodou.

Řešení. Bodovací stupnice, kterou jsme navrhli pro náš příklad, je následující:

Body K1 K2 K3 K41 méně než 25 tis. Kč nad 50 minut malá možnost do 8 hodin včetně2 〈25; 28) (40; 50〉 střední možnost (8; 9〉3 28 tis. Kč a více 40 minut a méně velká možnost po 9. hodině

Na základě bodovací stupnice jsme každé kriteriální hodnotě přiřadili příslušný počet bodů apotom jsme opět (po pronásobení vahami) sečetli pro každou variantu body. Nejlepší je variantas nejvyšším součtem.

K1 K2 K3 K4 Body PořadíA 3 1 2 2 2.3 1.B 1 3 1 1 1.4 3.C 2 2 3 1 2.2 2.Váhy 0.5 0.2 0.25 0.05


2

Poznámka. Čím širší si zvolíme bodovací stupnici, tím přesnější můžeme získat výsledky.

Metoda váženého součtu (Weighted sum product - WSAPři vícekriteriálním hodnocení variant můžeme každé hodnotě kritéria Kj přiřadit její užitek,tedy můžeme vytvořit dílčí užitkovou funkci uj , která pro variantu Ai nabývá hodnoty

uj(Ai) = uij ; i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n. (17)

Definičním oborem této funkce je interval mezi nejlepší a nejhorší hodnotou příslušného kritéria.Oborem funkčních hodnot je interval 〈0, 1〉.Tato metoda je vhodná především pro kvantitativní kritéria. Předpokládá lineární závislostužitku na hodnotách kritéria, přičemž nejhorší hodnotě j -tého kritéria (budeme značit dj) při-řadíme hodnotu 0 a nejlepší hodnotě (budeme značit hj) užitek 1. Pro dílčí užitek uij hodnotyyij platí

uij =yij − dj

hj − dj; i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n. (18)


Pro jednotlivé varianty vypočteme agregovanou funkci užitku podle vztahu

u(Ai) =n∑

j=1

wjuij , (19)

kde wj jsou normované váhy jednotlivých kritérií.Varianty pak seřadíme podle hodnot u(Ai). Nejlepší varianta má tuto hodnotu největší.

Řešený příklad I.10. Vyhodnoťte metodou váženého součtu varianty z příkladu 1.

Řešení. Nejprve tedy vybereme pro každé kritérium nejlepší (hj) a nejhorší (dj) hodnotu.

Varianty K1 K2 K3 K4

A 30 60 2 9B 22 30 1 7.5C 26 45 3 8hj 30 30 3 9dj 22 60 1 7.5

Nyní přepočteme kriteriální hodnoty podle vztahu (18), potom vypočteme agregovanoufunkci užitku pro každou variantu podle vztahu (19) a varianty seřadíme podle této hodnoty odnejlepší po nejhorší. Použité váhy jsou váhy získané bodovací metodou.

K1 K2 K3 K4 u(Ai) pořadí

A 1 0 0.5 1 0.675 1.B 0 1 0 0 0.2 3.C 0.5 0.5 1 0.333 0.616666667 2.váhy 0.5 0.2 0.25 0.05


2

Metoda bázické variantyZa bázickou variantu je považována varianta, která dosahuje nejlepších či předem stanovenýchhodnot z hlediska všech kritérií. Vytvoření užitkové funkce s využitím bázické varianty spočíváv porovnávání hodnot důsledků jednotlivých variant s odpovídajícími hodnotami v bázické vari-antě. Označíme-li y(b)j hodnotu j-tého kritéria v bázické variantě, pro užitek kritéria výnosovéhotypu při volbě i-té varianty platí

uij =yij

y(b)j

; i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n. (20)

a u kritéria nákladového typu je dílčí užitek dán vztahem

uij =y(b)j

yij; i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n. (21)

Pro jednotlivé varianty opět spočítáme agregované funkce užitku a podle jejich hodnot variantyseřadíme.

Poznámka. Pozor na nulové kriteriální hodnoty u bázické varianty! v případě, že by bázickávarianta měla nulovou hodnotu, tato metoda nelze použít.

15

Řešený příklad I.11. Vyhodnoťte varianty z příkladu 1 metodou bázické varianty. Předpoklá-dejte, že bázická varianta je varianta ideální, to znamená, že podle každého kritéria dosahujenejlepšího možného výsledku.

Řešení. Nejprve opět přepočteme podle vztahů (20) a (21) kriteriální matici, a stejně jakou metodyWSA spočítáme hodnoty agregovaného užitku a varianty seřadíme podle těchto hodnotsestupně.

K1 K2 K3 K4 u(Ai) pořadí

A 1 0.5 0.0.667 1 0.817 2.B 0.733 1 0.333 0.833 0.692 3.C 0.867 0.667 1 0.889 0.861 1.Váhy 0.5 0.2 0.25 0.05


2

AHPMetoda AHP (Analytic Hierarchy Process) byla navržena prof. Saatym v roce 1980. Při řešenírozhodovacích problémů je třeba brát v úvahu všechny prvky, které ovlivňují výsledek analýzy,vazby mezi nimi a intenzitu, s jakou na sebe vzájemně působí. Rozhodovací problém lze zná-zornit jako hierarchickou strukturu. Je to lineární struktura obsahující s-úrovní, přičemž každáz těchto úrovní zahrnuje několik prvků. Uspořádání jednotlivých úrovní je vždy od obecného kekonkrétnímu. Pro obecnou úlohu vícekriteriálního hodnocení variant může být hierarchie násle-dující: 1. úroveň – cíl vyjednávání; 2. úroveň – experti, kteří se na hodnocení podílí; 3. úroveň –kritéria vyhodnocování; 4. úroveň – posuzované varianty, viz obrázek 1.

Obrázek 1: Hierarchická struktura úlohy vícekriteriálního rozhodování

Obdobným způsobem, jako mezi kritérii při určování vah kritérií Saatyho metodou, lze určitvztahy mezi všemi komponenty na každé úrovni hierarchie. Pokud máme čtyřúrovňovou hie-rarchii, tzn. jeden cíl, h expertů, n kritérií a m variant, bude na druhé úrovni hierarchie jednamatice párového srovnávání o rozměrech h× h. Na třetí úrovni bude h matic o rozměrech n×na na čtvrté úrovni n matic o rozměrech m × m . Pomocí propočtů (viz Saatyho metoda provýpočet vah kritérií) v těchto maticích si varianty ”rozdělují” hodnotu váhy příslušného kritéria(kritéria si pak ”rozdělují” váhy příslušného experta). Hodnoty, které získáme, se nazývají pre-ferenční indexy variant z hlediska všech kritérií. Pokud tedy sečteme tyto preferenční indexy zhlediska všech kritérií, získáme hodnocení varianty z pohledu všech expertů a z hlediska všech


kritérií.

Řešený příklad I.12. Seřaďte varianty z příkladu 1 s využitím metody AHP.

Řešení. Pro ilustraci této metody použijeme váhy získané Saatyho metodou. Předpokládáme,že do hodnocení je zapojen pouze jeden expert, neboli jeden hodnotitel porovnává kritéria mezisebou (tím získá váhy) a potom porovnává jednotlivé varianty mezi sebou podle jednotlivýchkritérií. Všechna porovnání postupně pro plat, dojíždění, odborný růst a začátek pracovní dobyjsou zaznamenána v následujících tabulkách:

Kritéria K1 K2 K3 K4 Geometrický průměr Vážený geometrický průměrK1 1 5 3 7 3.20109 0.56774K2 1/5 1 1/2 4 0.79527 0.14105K3 1/3 2 1 5 1.35120 0.23965K4 1/7 1/4 1/5 1 0.29072 0.05156

Plat A B C Geometrický průměr Vážený geometrický průměrA 1 7 5 3.27107 0.73959B 1/7 1 1/2 0.41491 0.09381C 1/5 2 1 0.73681 0.16659

2

Dojíždění A B C Geometrický průměr Vážený geometrický průměrA 1 1/7 1/3 0.36246 0.08795B 7 1 3 2.75892 0.66942C 3 1/3 1 1 0.24264

Růst A B C Geometrický průměr Vážený geometrický průměrA 1 1/7 1/3 1 0.24986B 7 1 3 0.38157 0.09534C 3 1/3 1 2.62074 0.65481

Začátek A B C Geometrický průměr Vážený geometrický průměrA 1 1/7 1/3 2.62074 0.65481B 7 1 3 0.38157 0.09534C 3 1/3 1 1 0.24986

Kritéria jsou celkem čtyři a každé z nich má svou váhu. Tato váha musí být dále rozdělena mezijednotlivé varianty. My známe váhy jednotlivých kritérií a známe také váhy variant podle těchtokritérií. Výsledné váhy každé varianty podle každého kritéria jsou v další tabulce.

K1 K2 K3 K4 Součet hodnocení PořadíA 0.73959 0.08795 0.24986 0.6548 0.525943481 1.B 0.09381 0.66942 0.09534 0.09534 0.175444971 3.C 0.16659 0.24264 0.65481 0.24986 0.298611548 2.

Váhy kritérií 0.56774 0.14105 0.23965 0.05156

17

Pro každou variantu sčítáme hodnocení podle kritéria, vynásobená váhou tohoto kritéria. Součtydílčích hodnocení jsou seřazeny sestupně. Varianty jsou seřazeny A � C � B.

TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)Metoda TOPSIS je založena na výběru varianty, která je nejblíže k ideální variantě a nejdále odbazální varianty. Předpokládá se maximalizační charakter všech kritérií. Pokud nejsou všechnakritéria maximalizační, je nutné je na maximalizační převést.Postup při metodě TOPSIS lze popsat v následujících krocích:

• převedení všech kritérií na maximalizační,

• vytvoření normalizované kriteriální matice R = (rij) podle vztahu

rij =yij√m∑

i=1y2ij

; i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n. (22)

Sloupce v matici R představují vektory jednotkové normy.

• Dále se převede kriteriální matice R na normalizovanou kriteriální matici Z tak, že každýsloupec matice R vynásobíme váhou odpovídajícího kritéria podle vztahu

zij = wjrij . (23)

• Pomocí prvků matice Z se vytvoří ideální varianta (h1, h2, . . . , hn) a bazální varianta(d1, d2, . . . , dn), kde

hj = maxi

zij ; j = 1, 2, . . . , n (24)

dj = mini

zij ; j = 1, 2, . . . , n (25)

• Vzdálenost od ideální varianty se počítá podle vztahu

d+i =

√√√√ n∑j=1

(zij − hj)2; i = 1, 2, . . . ,m (26)

• Vzdálenost od bazální varianty se počítá podle vztahu

d−i =

√√√√ n∑j=1

(zij − dj)2; i = 1, 2, . . . ,m (27)

• Relativní ukazatel vzdálenosti variant od bazální varianty se vypočte podle vztahu

ci =d−i

d+i + d−i; i = 1, 2, . . . ,m (28)

Varianty jsou uspořádány podle nerostoucích hodnot ci.

Řešený příklad I.13. Vyhodnoťte metodou TOPSIS varianty z příkladu 1.

Řešení. Všechna kritéria převedeme na maximalizační typ:


K1 K2 K3 K4A 30 0 2 9B 22 30 1 7.5C 26 15 3 8

Vytvoříme normalizovanou kriteriální matici podle vztahu (22):

K1 K2 K3 K4A 0.660978974 0 0.534522484 0.634416639B 0.484717914 0.894427191 0.267261242 0.528680533C 0.572848444 0.447213595 0.801783726 0.563925901

Kriteriální matici znormujeme váhami získanými bodovací metodou podle vztahu (23), a pakvybereme pro každé kritérium nejvyšší (ideální) a nejnižší (bazální) hodnotu:

K1 K2 K3 K4A 0.330489487 0 0.133630621 0.031720832B 0.242358957 0.178885438 0.06681531 0.026434027C 0.286424222 0.089442719 0.200445931 0.028196295hj 0.330489487 0.178885438 0.200445931 0.031720832dj 0.242358957 0 0.06681531 0.026434027

Podle vztahu (26) vypočteme vzdálenost od ideální varianty, podle (27) vzdálenost od bazálnívarianty a podle (28) relativní vzdálenosti od bazální varianty. Varianty se řadí sestupně podlerelativní vzdálenosti od bazální varianty.

d+i d−i ci PořadíA 0.19095624 0.110721391 0.367018894 3.B 0.160162678 0.178885438 0.527610771 2.C 0.099770587 0.166739306 0.625640213 1.


2

Metoda ELECTRE ICílem této metody je rozdělit množinu variant na dvě skupiny, na efektivní a neefektivní varianty.Předpokladem pro využití této metody je znalost kriteriální matice, vektoru normalizovanýchvah a stanovení dvou prahových hodnot, a to prahu preference a prahu dispreference. Ohodnocenívarianty Ai podle kritéria j značíme symbolem yij ; i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n. Pro každoudvojici variant (Ai, Ah); i, h = 1, 2, . . . , m pak určíme množinu

Cih = { j|yij ≥ yhj ; j = 1, 2, . . . , n}; i, h = 1, 2, . . . ,m (29)

obsahující indexy kritérií, z jejichž hlediska je varianta Ai ohodnocena alespoň tak dobře, jakovarianta Ah, a množinu

Dih = { j|yij < yhj ; j = 1, 2, . . . , n}; i, h = 1, 2, . . . ,m, (30)

která obsahuje indexy zbývajících kritérií, ve kterých je varianta Ai horší než varianta Ah.

19

Na základě množiny Cih a normalizovaného vektoru vah pro každou dvojici variant Ai, Ah

určíme číslo cih představující součet vah kritérií, z jejichž hlediska je varianta Ai stejně tak dobránebo lepší než varianta Ah. v případě, že Cih není prázdná množina,

cih =∑

j∈Cih

wj ; i, h = 1, 2, . . . ,m, (31)

pokud je Cih prázdná množina, pak

cih = 0. (32)

Hodnota cih představuje stupeň preference varianty Ai před variantou Ah. Protože cih jesoučet vybraných vah, platí, že cih ∈ 〈0; 1〉.Dále je nutné vypočítat pro každou dvojici (Ai, Ah) stupeň dispreference dij . Pokud je Dih

prázdná množina, pak dih = 0, v opačném případě

dih =maxj∈Dih

(yij − yhj)

maxh(yij − yhj)

; i, h = 1, 2, . . . ,m. (33)

Rovněž dih ∈ 〈0; 1〉.Pro určení celkové preference P mezi dvojicí variant musí rozhodovatel zadat práh preference c∗

a práh dispreference d∗. Platí, že varianta Ai je preferována před variantou Ah tehdy, když platí

cih ≥ c∗ ∧ dih ≤ d∗. (34)

Párové preference jsou pak zapsány v matici P = (pih), kde pih = 1, pokud Ai je preferovánapřed Ah, v opačném případě je pih = 0. Varianty jsou rozděleny na efektivní a neefektivní.Za efektivní jsou považovány varianty, které jsou preferovány alespoň před jednou variantou aneexistuje k nim žádná preferující varianta. Výsledek závisí na stanovených hodnotách prahůpreference a dispreference. Doporučuje se vycházet z průměrných hodnot v maticích preferencea dispreference a potom je postupně buď zpřísňovat (v případě mnoha efektivních variant), nebozmírňovat (v případě žádné efektivní varianty).

Poznámka. Ve výše popsaném postupu vyhodnocování variant metodou ELECTRE porovná-váme mezi sebou kriteriální hodnoty v různých měřítkách (peníze, vzdálenost, body, atd.), cožnení úplně v pořádku, protože měřítko má vliv na výsledky. Lepší by bylo nejprve kriteriálnímatici znormovat a teprve potom dělat párové srovnávání. Postup výpočtu s nenormovanou ma-ticí jsme použili proto, že software, který používáme při výuce, rovněž počítá s nenormovanoumaticí.

Řešený příklad I.14. Pro příklad 1 zjistěte, které varianty jsou efektivní pomocí metodyELECTRE.

Řešení. Nejprve je nutné pro každou dvojici zjistit množinu C (viz (29))a množinu D (viz(30)), například pro dvojici A, B je množina CA,B = {1, 3, 4}, množina DA,B={2}. Varianta Aje lepší podle kritérií 1, 3 a 4, horší je podle kritéria 2. Naopak budeme-li porovnávat B, A,pak CB,A={2}, množina DB,A={1, 3, 4}. Varianta B je lepší než A podle kritéria 2 a horší podlekritérií 1, 3, 4.Dále podle vztahů (31) a (33) sestavíme matici preferencí C a dispreferencí D.

C =

− 0.8 0.550.2 − 0.20.45 0.8 −

20 4 ANALÝZA CITLIVOSTI PREFERENČNÍHO POŘADÍ VARIANT

Matice je v našem příkladu typu 3× 3, protože mezi sebou porovnáváme tři varianty. Výsle-dek porovnání zapisujeme v matici na pozici: první z dvojice porovnávaných variant je uvedenav řádku, druhá z dvojice ve sloupci. Předpokládáme pořadí variant A, B, C. Proto napříkladpro dvojici A, B píšeme výsledek porovnávání na pozici c12 (1. řádek, 2. sloupec). Pro dvojiciA, B je pak cA,B = 0.5 + 0.25 + 0.05 = 0.8, pro dvojici B, A je cB,A = 0.2

D =

− 1 10.267 − 0.2670.267 1 −

Pro dvojici A, B je pak dA,B = 30

30 = 1. v čitateli je maximální rozdíl v kriteriálních hodno-tách variant A a B, z jejichž hlediska je varianta A horší než B. Ve jmenovateli pak maximálnírozdíl v kriteriálních hodnotách variant A a B z hlediska všech kritérií. Pro dvojici B, A jedB,A = 8

30 = 0.267.Nyní můžeme zadat práh preference (např. c∗ = 0.4), práh dispreference (např. d∗ = 0.6) a nazákladě vztahu (34) sestavit matici preferencí:

P =

− 0 00 − 01 0 −

Z matice můžeme vyčíst, že pouze varianta C je efektivní, je preferována alespoň před jednouvariantou a neexistuje k ní žádná preferující varianta.V matici P je pouze u varianty C v řádkujednička a zároveň ve sloupci samé nuly.

2

4 Analýza citlivosti preferenčního pořadí variant

Pořadí výhodnosti daných variant rozhodování, stanovené některou z metod vícekriteriálníhohodnocení variant, závisí především na vahách jednotlivých kritérií a na použité metodě.Zkoumání citlivosti preferenčního pořadí variant na stanovení důležitosti jednotlivých kritérií

spadá do oblasti experimentování na modelech, kdy vícekriteriální hodnocení variant provádímepři měnících se vahách kritérií. Jedině tehdy, kdy při těchto změnách se preferenční pořadí vari-ant (nebo aspoň varianta s nejvyšším oceněním) nemění, není toto pořadí citlivé na nepřesnoststanovených vah a lze říci, že význam jednotlivých kritérií byl rozhodovatelem správně oce-něn. Jestliže preferenční pořadí variant je značně citlivé na změny vah kritérií, je nutné jejichspolehlivost zvýšit.Závislost preferenčního pořadí variant na použité metodě jejich vícekriteriálního hodnocení

je dána tím, že jednotlivé metody vycházejí z různých, zpravidla zjednodušujících předpokladůa že v důsledku různého přístupu k pojmu „kompromisní variantaÿ využívají různé výpočetnípostupy. Doporučuje se proto při vícekriteriálním hodnocení variant uplatnit více metod a ověřitcitlivost preferenčního pořadí variant vzhledem k použitým metodám. Jedině tu variantu, kterázůstává stále na 1. místě při použití libovolné metody, lze považovat za nejvýhodnější.Vliv použití metody vícekriteriálního hodnocení variant na jejich preferenční pořadí lze doku-

mentovat na příkladu 1. v následující tabulce je uvedeno pořadí jednotlivých pracovišť z hlediskadaných kritérií, stanovené různými metodami:

Metoda Pořadí Bodovací WSA Bázická AHP TOPSISA 1. 1. 1. 2. 1. 3.B 3. 3. 3. 3. 3. 2.C 2. 2. 2. 1. 2. 1.

21

Z uvedené tabulky je patrná značná citlivost preferenčního pořadí variant na aplikovanémetodě. Nicméně varianta A je na prvním místě nejčastěji, na třetím místě je pouze při použitímetody TOPSIS, proto bychom ji označili jako kompromisní variantu. Jiná možnost využitívýsledků získaných různými metodami spočívá v tom, že se na pořadí pracovišť můžeme dívatjako na prvky kriteriální matice a znovu můžeme použít některou z metod vícekriteriálníhohodnocení variant.

Příklad 5. Vezměme pořadí variant, získaná různými metodami jako prvky kriteriální matice avyhodnoťme je metodou pořadí. Nebudeme uvažovat váhy, takže pouze sečteme pořadí v řádcích.Nejlépe vyjde varianta A, u které je součet pořadí 9, potom je varianta C se součtem 10 anejhůře dopadla varianta B se součtem 17.

4

Před volbou varianty určené k realizaci je nutné vzít v úvahu také možný vliv rizika a ne-jistoty na výsledky vícekriteriálního hodnocení variant. Dosud jsme předpokládali, že důsledkyvariant vzhledem k jednotlivým kritériím, tj. prvky kriteriální matice, jsou jednoznačně určeny.Jestliže tyto důsledky mají náhodný charakter, buď opět pomocí analýzy citlivosti zkoumámevliv možných změn prvků kriteriální matice na preferenční pořadí variant, nebo použijeme ně-kterou z metod vícekriteriálního hodnocení variant za rizika a nejistoty. Tyto metody popisujenapř. [3].

22 5 PŘÍKLADY

5 Příklady

Cvičení 5.1. Majitel nemovitosti uvažuje o pronájmu nebytového prostoru pro výrobní účely.Po vyhlášení výběrového řízení na projekt výroby v tomto prostoru dostal nabídky firem A, B,C, ze kterých potřebuje vybrat tu nejvýhodnější. Pro toto rozhodnutí zvolil následující hodnotícíkritéria:

K1 . . . cena, kterou je firma ochotna zaplatit za 1 m2 za měsícK2 . . . předpokládaná výše investic do nemovitosti firmouK3 . . . vliv provozu výroby na životní prostředíK4 . . . image firmy

Ocenění těchto kritérií pro návrhy jednotlivých firem jsou uvedena v následující tabulce, v nížkritérium K1 je ohodnoceno v Kč a K2 v tisících Kč. Kvalitativní kritéria K3 (minimalizační) aK4 (maximalizační) jsou ohodnocena pomocí tříbodové stupnice.

Firma K1 K2 K3 K4A 30 40 1 3B 35 10 3 2C 40 80 2 3

Jaké firmě má majitel nebytového prostoru dát přednost?

Cvičení 5.2. Zemědělský podnikatel se rozhoduje mezi těmito navzájem se vylučujícími způsobyhospodaření:

V1 . . . produkce sadbových bramborV2 . . . produkce osiva krmného obilíV3 . . . běžná produkce v oblastiV4 . . . chov masného skotu

Při rozhodování přihlíží pedevším k těmto hlediskům:K1 . . . dosažitelný ziskK2 . . . vstupní náklady na produkciK3 . . . náročnost na práciK4 . . . rizikovost produkce

Ocenění těchto kritérií pro jednotlivé varianty hospodaření jsou uvedena v následující ta-bulce, v níž ukazateleK1 aK2 jsou vyjádřeny v mil. Kč. Kvalitativní kritériumK3 je ohodnocenopomocí tříbodové stupnice. Rizikovost produkce je dána v procentech vyjádřenou maximálnímožnou odchylkou od očekávaného zisku.

Varianta K1 K2 K3 K4V1 0,9 1,9 3 17V2 0,69 1,84 2 11V3 0,58 1,74 2 5V4 0,5 1,4 1 7

Jaký způsob hospodaření by byl pro zemědělce nejvýhodnější?

Cvičení 5.3. Turista, který často s přítelkyní v létě cestuje pěšky po České republice, se roz-hoduje, jaký typ stanu si má zakoupit. v úvahu pro něj připadají následující varianty:

V1 . . . Coleman Celsius 3V2 . . . Jurek S+R Tramp 2V3 . . . Hannah Serak S3V4 . . . KalahariV5 . . . Coleman Avior X2V6 . . . Jurek Atack 2

Při rozhodování přihlíží především k těmto hlediskům:

23

K1 . . . cena (v Kč)K2 . . . hmotnost (v kg)K3 . . . materiál tyčekK4 . . . objem zbaleného stanu (v cm3)K5 . . . vodní sloupec - tropiko (v mm)

Ocenění těchto kritérií pro jednotlivé stany jsou uvedena v následující tabulce:

Varianta K1 K2 K3 K4 K5V1 3490,- 4,4 mix 900 3000V2 4025,- 2,75 dural 867 3000V3 3620,- 2,6 laminát 585 4000V4 3399,- 3,5 laminát 900 2500V5 3680,- 2,5 dural 630 4000V6 4101,- 2,8 dural 867 5000

Který ze stanů byste turistovi doporučili, vzhledem k podmínkám, ve kterých stan hodlá použí-vat?

Cvičení 5.4. Domácí kutil potřebuje vybrat vhodnou motorovou pilu. v úvahu pro něj přicházejítyto typy:

V1 . . . HQ 136V2 . . . HQ 142V3 . . . Stihl MS 180V4 . . . Stihl MS 280V5 . . .Oleo-Mac 937V6 . . . Oleo-Mac 962V7 . . . HQ 365V8 . . . HQ 350

Při rozhodování přihlíží především k těmto hlediskům:K1 . . . výkon (kW)K2 . . . hmotnost (kg)K3 . . . délka lišty (cm)K4 . . . cena (Kč)

K1 K2 K3 K4V1 1,6 4,6 35 6990,-V2 1,9 4,6 35 7990,-V3 1,5 3,9 35 6990,-V4 2,8 5,3 40 9990,-V5 1,7 4,1 35 7950,-V6 3,5 5,5 47 16730,-V7 3,4 6,0 50 21590,-V8 2,3 4,8 45 13570,-

Kutilův požadavek je, aby cena nepřekročila 15000 Kč a výkon byl alespoň 1,7 kW. Poraďtekutilovi, který typ pily si má zakoupit.

Cvičení 5.5. Teenager si hodlá pořídit nový mobilní telefon v ceně přibližně 5000 Kč. Uvažujeo těchto typech telefonů:

V1 . . . Motorola Razer v 3 iV2 . . . Nokia 6234V3 . . . Sony Ericson v 630V4 . . . Samsung E 570 VV5 . . . Nokia 6131

24 REFERENCE

V6 . . . Nokia N 70Při výběru vhodného telefonu se zaměřil na tato kritéria:

K1 . . . cena (Kč)K2 . . . kapacita baterie (mAh)K3 . . . fotoaparát – rozlišení (MPix)K4 . . . přidaná paměť (MB)K5 . . . display – rozlišení (tis. Pix)K6 . . . hmotnost (g)

Kriteriální hodnoty jsou zaznamenány v následující tabulce:

K1 K2 K3 K4 K5 K6V1 4577,- 710 1,22 64 38,7 96V2 4977,- 1110 1,92 64 76,8 110V3 4977,- 900 1,92 256 38,7 91V4 4977,- 800 1,31 0 38,7 80V5 5577,- 760 1,22 0 76,8 102V6 5977,- 900 1,92 64 36,6 126

Jaký typ telefonu byste teenegerovi doporučili?

6 Otázky

• Jak je obecně zadána úloha vícekriteriálního hodnocení variant?

• Jaký je rozdíl mezi úlohou vícekriteriálního hodnocení variant a úlohou vícekriteriálníhoprogramování?

• Popište obecně postup při hodnocení variant za jistoty.

• Vysvětlete rozdíl mezi dominovanou a dominující variantou.

• Vysvětlete rozdíl mezi optimální a kompromisní variantou.

• Co to je aspirační úroveň?

• K čemu jsou v úlohách vícekriteriálního hodnocení váhy? Lze řešit tyto úlohy i bez nich?

• Jaké znáte metody pro stanovení vah kritérií? Které z nich jsou založeny na ordinální ajaké na kardinální informaci?

• Jaké znáte metody pro vlastní hodnocení variant? Vysvětlete, na jakých principech jsoumetody založené.

Reference

[1] Brožová, H., Houška, M., Šubrt, T. (2003): Modely pro vícekriteriální rozhodování. ČZU,Praha.

[2] Fiala, P., Jablonský, J., Maňas, M. (1997): Vícekriteriální rozhodování. VŠE, Praha.

[3] Fotr J., Dědina, J. (1997): Manažerské rozhodování. Ekopress, Praha.

Část I Vícekriteriální rozhodování za jistotyjfrieb/tspp/data/teorie/Vicekritko.pdf · 3...

Documents

Transcript of Část I Vícekriteriální rozhodování za jistotyjfrieb/tspp/data/teorie/Vicekritko.pdf · 3...