Cartilla Semana 2 Campo Electrico
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8/16/2019 Cartilla Semana 2 Campo Electrico
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C MPO ELECTRICO
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2
INTRODUCCIÓN
En esta unidad analizaremos la perturbación del espacio que rodea a una carga, es decir
definiremos una cantidad llamada campo eléctrico que puede utilizarse para determinar la
fuerza en una pequeña carga de prueba como resultado neto de la presencia de otras cargas.
2.1
Campo eléctrico.
Es un vector que representa la perturbación del espacio por la presencia de una carga
eléctrica. Si una carga eléctrica q se coloca en un lugar del espacio, entonces cualquier carga
que se coloque en la cercanía de esta, interactúa con ella sintiendo una fuerza eléctrica,
como se observa en la figura 2.1.
Figura 2.1: Campo eléctrico producido por una carga puntual negativa.
Para verificar que en un lugar del espacio existe un campo eléctrico se debe usar una carga
de referencia o de prueba q0, que permita medir la fuerza eléctrica F que siente dicha carga
de prueba y que es producida por la carga fuente q.
r r
qk q / r
r
qqk
q
F E
2
e02
0e
o
(2.1)
Es decir el campo eléctrico producido por la carga puntual positiva q se calcula mediante la
expresión
r r
qk E
2
e
(2.2)
2.2 Campo eléctrico producido por distribuciones discretas de carga.
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3
Cuando se tiene un conjunto de cargas puntuales como se muestra en la figura 2.2 y se
quiere calcular el campo producido por todas ellas en el punto P , se utiliza el principio de
superposición.
n
1i
i2
i
ien
1i
iT r ˆ r
qk E E
(2.3)
Donde n es el número de cargas puntuales y Ei es el campo producido cada carga en el
punto P .
Figura 2.2: Campo eléctrico de distribuciones discretas de carga.
2.3 Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga.
Cuando la carga está distribuida de manera continua, es necesario hallar una cantidad que
defina la distribución de la carga en función de la geometría de esa distribución.
Cuando la carga Q está distribuida a lo largo de una línea de longitud L, por ejemplo en una
barra, se define la densidad lineal de carga λ.
mC LQ λ (2.4)
Cuando la distribución es uniforme, es decir que el valor de ella en un elemento de longitud
dl con carga dq es igual en cualquier parte de la línea L
Q
dl
dq λ .
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4
Cuando la carga Q está distribuida en una superficie de área A, por ejemplo en una lámina,
se define la densidad superficial de carga σ .
2mC A
Qσ (2.5)
Cuando la distribución es uniforme, es decir que el valor de ella en un elemento de área dA
con carga dq es el mismo en cualquier parte de la superficie A
Q
dA
dqσ .
Cuando la carga Q está distribuida en un todo el volumen V , por ejemplo en un sólido como
el que se muestra en la figura 2.3, se define la densidad volumétrica de carga ρ.
3
mC
V
Q ρ (2.6)
Cuando la distribución es uniforme, es decir que el valor de ella en un elemento de volumen
dV con carga dq es igual en cualquier parte de la superficieV
Q
dV
dq ρ .
Figura 2.3: Campo eléctrico de distribuciones Continuas de carga.
Con estas consideraciones entonces el campo eléctrico producido por una distribución
continua de carga se puede obtener mediante la suma de las contribuciones de carga dq en
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todo el volumen, superficie o línea. Cuando se tiene una distribución volumétrica de carga
se procede así:
Aplicando la ley de Coulomb, para el elemento de carga dq, se puede escribir el campo
eléctrico producido por este elemento en el origen es r ̂ r
dqk E d
2
e
Para el caso de una distribución volumétrica de carga, el campo eléctrico es
r ˆ r
dV )r ( ρk r ˆ
r
dqk E
V
2e
V
2
e
(2.7)
Para el caso de una distribución superficial de carga, el campo eléctrico es
r ˆ r
dA )r ( σ k r ˆ
r
dqk E
A
2e
A
2
e
(2.8)
Para una distribución lineal de carga, el campo se escribe
r ̂ r
dI )r ( λk r ̂
r
dqk E
I
2e
l
2
e
(2.9)
En general la solución de un problema de distribución continua de carga usando la ley de
Coulomb, es un problema que se resuelve con integración múltiple, es decir cuando es una
distribución superficial de carga, se deberá resolver una integral doble y si es una
distribución volumétrica de carga una integral triple, sólo que en ocasiones es posible
resolver problemas donde la escogencia del elemento diferencial de carga permita
simplificar una o dos integrales, pero se deberá indicar en cada caso, cómo se obtiene el
campo eléctrico de ese elemento de carga.
Ejemplo 2.1 Dos cargas puntuales de -4µC y 6µC se localizan en los puntos (2cm, 3cm) y (2cm,
0cm) respectivamente. Calcular la magnitud y dirección del campo eléctrico resultante en el
origen (0,0).
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Figura 2.4
Solución: El campo producido en el origen es la suma del campo1
E
producido por la carga
C μ6 =q1 y el campo 2 E
producido por la carga μC 4-q2 , el campo total es:
, E E E 21T
Con 0,02mr 1 y m036 ,0(0,03m)(0,02m)r 22
2
Además en la figura del ejemplo se observa que 0,553,6
2cosθ y 83 ,0
3,6
3 senθ
Las magnitudes del campo producido por la carga q1 es:
C / MN 135
m02 ,0
C 106 c
m N 109
r
qk E
2
6 2
29
21
1e1
La del campo producido por q2 es:
C / MN 7 ,27
m036 ,0
C 104c
m N 109
r
qk E
2
6 2
29
22
2e2
Vectorialmente los campos quedan expresados así:
ĵ θ sen E î θ cos E E y ĵ 0î E E 22211
, sustituyendo se tiene:
MN/C ĵ 0î 135 E 1
y C / MN ĵ 0 ,23î 3 ,15 E 2
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Entonces el campo total en el origen es: C / MN ĵ 23î 7 ,119 E T
y la magnitud es: C / MN 9 ,121237 ,119 E 22T
y su dirección es:
12 ,16918087 ,10
7 ,119
23tanα
1-
Ejemplo 2.2 Calcula el campo eléctrico producido un dipolo eléctrico (sistema compuesto por
dos cargas iguales y de signo contrario) separadas una distancia 2a en un punto P, a una
distancia x a lo largo de la perpendicular bisectriz de la línea que une las cargas ver figura
2.5.
Solución: El campo eléctrico en P es el resultado de los campos producidos por cada carga.
Figura 2.5
El campo total en el punto P es
E E E
Donde
E E K q
r K
q
x ae e
2 2 2
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8
Las componentes x de
E y E
se cancelan entre sí. El campo total
E tiene por lo tanto una
componente a lo largo del eje y únicamente, de magnitud
E E E K q
x aa
x a
K qa
x a
e e
cos cos 2 2
2 2
2 2
1
2 2 2
3
2
para el caso x >> a, se puede ignorar a 2 en el denominador de la última ecuación, por lo tanto
el campo
E para un dipolo eléctrico es
3e3e x
p K ) ĵ (
x
aq2 K E
3.4
donde ĵ )qa2( p
es llamado el vector de momento dipolar y va de la carga negativa a la
carga positiva y por lo tanto es antiparalelo al campo eléctrico de la distribución (figura 2.6).
Figura 2.6
El momento dipolar eléctrico es una propiedad fundamental de las moléculas llamadas
dipolares, por ejemplo el H 2O.
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Ejemplo2.3 Una barra uniforme de carga total positiva Q y longitud L se localiza sobre el
semieje positivo x con un extremo en el origen como se muestra en la figura. Calcular el campo
eléctrico producido en un punto P sobre el eje x a una distancia d del otro extremo de la barra.
Figura 2.6
Solución: De acuerdo con la ley de Coulomb, el campo eléctrico producido por una distribución
lineal de carga en un punto P , se puede calcular usando la ecuación: r ̂ r
dI )r ( λk r ̂
r
dqk E
I
2e
l
2
e
Para lo cual se debe considerar un elemento deferencial de carga dq , que produce un campo
eléctrico E d
dirigido sobre el eje x, y se expresa: î r
dqk E d
2
e
De tal manera que la magnitud del campo E en el punto P , se obtiene integrado.
L
2
L
e2
e
r
dqk
r
dqk E
Pero como la carga está distribuida uniformemente en toda la longitud L , se utiliza la
densidad lineal de cargadx
dq λ , donde dx λdq .
La distancia r se puede expresar en términos de x así: x-d Lr . Sustituyendo:
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10
L
0
2e
xd L
dx λk E
Esta integral se resuelve por sustitución, haciendo x-d Lu , derivando se tiene
1dx
du , de donde se tiene que -dudx , la integral nos queda:
L
0
e
L
0
e
L
0
1
e
L
0
2e
L
0
2e ) xd L
λk
u
λk
1
u λk duu λk
u
du λk E
Evaluando los límites
Ld d
L λk
d L
1
d
1 λk E
ee , cómo
L
Q λ , se obtiene que el campo
eléctrico se exprese:
î
d Ld
Qk E e
Si la distancia d es mucho mayor que L , es decir d>>L , se obtiene la expresión2
e
d
Qk E , lo que
indica que el campo eléctrico producido por la barra en un punto muy lejos de ella, está en
concordancia con el campo producido por una carga puntual.
Ejemplo 2.4 Un anillo de radio R tiene una carga Q distribuida uniformemente en toda su
longitud. Calcular la magnitud y dirección del campo eléctrico en un punto P localizado sobre
el eje central perpendicular del anillo y a una distancia x de su centro. Ver figura 2.7.
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Figura 2.7
Solución: De acuerdo con la ley de Coulomb, el campo eléctrico producido por el anillo en el
punto P , se calcula integrando el diferencial de campo dE que el elemento de carga dq en el
punto P , es decir2
e
r
dqk dE , por la simetría de la distribución de carga del anillo se observa
que las componentes del campo en los ejes y y z se cancelan cuando se realice la integral a lo
largo de todo el anillo, y sólo se considera la contribución del campo a lo largo del eje x, con
θ dEcosdE x , por Ley de Coulomb
2
e
r
dqk dE , integrando en toda la longitud del anillo se tiene.
L2
e
x
θ cosr
dqk E
Pero en esta integral r y θ son constantes ya que la carga está distribuida en toda la
circunferencia del anillo y a la misma distancia del punto P .
En la figura se puede observar quer
x
θ cos , por lo tanto la integral queda:
L L 222
e3
e3
e
L
2e
x 3
x R
xQk dq
r
k x
r
xdqk
r
x
r
dqk E
Es decir el campo eléctrico en el punto P, será
î
x R
xQk E
2
322
e
Si x>>R , entonces R~0 comparado con x , por lo que la magnitud del campo es:
2
e
2
32
e
x
Qk
x
xQk E , que corresponde al campo eléctrico producido por una carga puntual, es decir
que desde muy lejos el anillo se visualiza como una carga puntual.
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12
Ejemplo 2.5 Un disco de radio R tiene una carga Q distribuida uniformemente en toda su
superficie. Calcular la magnitud y dirección del campo eléctrico en un punto localizado sobre
el eje central perpendicular del disco y a una distancia x de su centro. Ver figura 2.8.
Figura 2.8
Solución: Para calcular el campo eléctrico en el punto P producido por el disco, podemos
considerar nuestro elemento diferencial de carga dq como un anillo uniforme de radio a , como
la simetría del problema es similar a la del anillo donde sólo se considera la contribución del
campo en el eje x , el campo producido por el elemento de carga dq en P, entonces:
23
22
e
xa
xdqk dE
Como el disco tiene densidad superficial de carga uniforme, esto es:
dA
dq
A
Qσ
Podemos expresar dAσ dq , con adaπ 2dA , entonces adaπσ 2dq
R
0 2
3
22
e
R
0 2
3
22
e
A 2
3
22
e
A 2
3
22
e
xa
ada xk σπ 2
xa
adaσπ 2 xk
xa
dAσ xk
xa
xdqk E
Por lo que el campo eléctrico a lo largo del eje x , se obtiene integrando sobre toda el área del
disco, además como la variable de integración es a , se deberá integrar desde a=0 hasta a=R.
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La integral se resuelve por el método de sustitución, haciendo 22 xau , es decir que
a2da
du , donde
a2
duda , remplazando se tiene:
R
02
1e
R
0
2
1
e
R
0
2
3
e
R
0 2
3e
R
0 2
3e
u
1 xk σπ 2
2
1
u xk σπ duu xk σπ
u
du xk σπ
au2
adu xk σπ 2 E
Usando la sustitución 22 xau y evaluando los límites de integración se tiene
2
1
22
e
2
1
22
1
22
e
R
02
1
22
e
x R
1
x
1 xk σπ 2
x
1
x R
1 xk σπ 2
xa
1 xk σπ 2 E
Como la densidad de carga A
Qσ y el área del disco 2 Rπ A , el campo eléctrico es
2
122
2
e
2
122
e
x R
1
x
1
Rπ
xQk π 2
x R
1
x
1
A
xQk π 2 E ,
es decir que el campo eléctrico producido por un disco uniforme e un punto P, a lo largo del eje
perpendicular a su centro es:
î
x R
x
x
x
R
Qk 2 E
2
122
2
e
Semana 2: Ejercicios y Problemas
1. Dos cargas puntuales de 2µC y -4 µC están situadas en el eje x. La de 2µC está en x=2,00
m, y la otra está en x=-2,00 m. Determinar:a) El campo eléctrico sobre el eje y en y=1,00 m.
b) El punto sobre el eje x donde el campo eléctrico resultante es nulo.
2. Dos cargas puntuales positivas de 2 x 10-6C y 4 x10-6C están localizadas sobre el eje
horizontal en las posiciones x= -2m y y=4m respectivamente, encontrar:
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a) El campo eléctrico resultante en el origen (x=0m).
b) Un punto sobre el plano xy donde el valor del campo eléctrico resultante
sea nulo.
3.
Un anillo uniformemente cargado de radio de 10,0 cm tiene una total carga de 75,0µC.
Determinar el campo eléctrico en el eje del anillo a: (a) 1,00 cm, (b) 5,00 cm, (c) 30,0 cm, y
(d) 100 cm desde el centro del anillo.
4. Una varilla cargada uniformemente aislante es doblada en la forma de un semicírculo de
radio R como se aprecia en la figura. La varilla tiene una carga total de Q. Encontrar el
campo eléctrico en el punto P, localizado en el origen.
Figura: Problema 4
5. Una carga de 4nC está distribuida uniformemente a lo largo de una línea que sobre el eje
x, entre los puntos con coordenadas x= 10cm y x= 50,0 cm. Encuentra el valor del campo
eléctrico en el origen.
6. Un disco uniformemente cargado de radio 5,00cm tiene una carga total 80,0 µC. Calcular:
a) el campo eléctrico producido por el disco a 20,0cm sobre la línea que pasa perpendicular
a su eje y b) la distancia al centro sobre esa misma línea donde el campo eléctrico es
máximo y c) el valor máximo del campo en ese punto.