Capitulo4 Franco Brunetti

21
Capítulo 4 EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE Neste capítulo o livro diferencia-se bastante de todos os outros sobre o assunto. Como já foi feito em relação à equação da continuidade no Capítulo 3, restringe-se a equação a aplicações em regime permanente. Novamente, a ausência de variações com o tempo permite simplificar a compreensão dos fenômenos e a solução de problemas importantes, sem restringir muito as aplicações, já que a maioria dos problemas práticos aproxima-se dessa hipótese. No Capítulo 10, a equação é generalizada para permitir a solução de problemas mais complexos. Inicialmente, apresentam-se as energias mecânicas associadas a um fluido, excluindo-se efeitos térmicos. O leitor deve perceber que, sendo as energias entidades da mesma espécie, podem-se, por meio delas, associar entidades heterogêneas como velocidades, cotas e pressões. Graças às seis hipóteses estabelecidas inicialmente é possível deduzir a equação de Bernoulli para um tubo de corrente, que relaciona de forma elementar essas entidades em duas seções do escoamento. O desenvolvimento da equação de Bernoulli conduz a energias por unidade de peso, denominadas cargas, e por coincidência, as cargas podem ser medidas em unidade de comprimento, o que permite interpretações interessantes em certas aplicações. Nos itens seguintes as hipóteses de Bernoulli são retiradas aos poucos, o que permite resolver problemas sem restrições práticas, com exceção da hipótese de regime permanente. Após a retirada de todas as hipóteses simplificadoras chega-se à equação mais geral, que nada mais é do que a primeira lei da Termodinâmica para volume de controle, em regime permanente. A grande vantagem desse tratamento é a separação dos efeitos térmicos dos efeitos mecânicos, o que possibilita uma concentração maior nos tipos de problemas que podem ser resolvidos. Assim, o professor de Termodinâmica pode dedicar sua atenção a problemas em que os efeitos térmicos são predominantes e o de Mecânica dos Fluidos pode se dedicar àqueles em que os efeitos são desprezíveis. Apesar de se perder inicialmente na generalidade, ganha-se na compreensão e na facilidade de absorver os conceitos e visualizar os fenômenos físicos. Observa-se no fim do capítulo a interpretação da perda de carga. Exercício 4.1 Ressaltar as hipóteses de Bernoulli: 1) R.P. Reservatório de grandes dimensões. 2) S.M. Visual. Não há bombas nem turbinas no trecho (1)-(2). 3) S.P. Dado do enunciado: fluido ideal. 4) F.I. Líquido. 5) P.U.S. Jato livre. Não vale o princípio da aderência. 6) S.T.C. Visual. O leitor deve ser hábil na escolha dos pontos (1) e (2). Como regra, o ponto (1) deve ser escolhido numa seção onde v, p e z sejam conhecidos, e o ponto (2), onde estiver a incógnita, ou vice-versa. v 2 (1) (2) PHR h

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Capítulo 4

EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE

Neste capítulo o livro diferencia-se bastante de todos os outros sobre o assunto. Como já foi feito em relação à equação da continuidade no Capítulo 3, restringe-se a equação a aplicações em regime permanente. Novamente, a ausência de variações com o tempo permite simplificar a compreensão dos fenômenos e a solução de problemas importantes, sem restringir muito as aplicações, já que a maioria dos problemas práticos aproxima-se dessa hipótese. No Capítulo 10, a equação é generalizada para permitir a solução de problemas mais complexos. Inicialmente, apresentam-se as energias mecânicas associadas a um fluido, excluindo-se efeitos térmicos. O leitor deve perceber que, sendo as energias entidades da mesma espécie, podem-se, por meio delas, associar entidades heterogêneas como velocidades, cotas e pressões. Graças às seis hipóteses estabelecidas inicialmente é possível deduzir a equação de Bernoulli para um tubo de corrente, que relaciona de forma elementar essas entidades em duas seções do escoamento. O desenvolvimento da equação de Bernoulli conduz a energias por unidade de peso, denominadas cargas, e por coincidência, as cargas podem ser medidas em unidade de comprimento, o que permite interpretações interessantes em certas aplicações. Nos itens seguintes as hipóteses de Bernoulli são retiradas aos poucos, o que permite resolver problemas sem restrições práticas, com exceção da hipótese de regime permanente. Após a retirada de todas as hipóteses simplificadoras chega-se à equação mais geral, que nada mais é do que a primeira lei da Termodinâmica para volume de controle, em regime permanente. A grande vantagem desse tratamento é a separação dos efeitos térmicos dos efeitos mecânicos, o que possibilita uma concentração maior nos tipos de problemas que podem ser resolvidos. Assim, o professor de Termodinâmica pode dedicar sua atenção a problemas em que os efeitos térmicos são predominantes e o de Mecânica dos Fluidos pode se dedicar àqueles em que os efeitos são desprezíveis. Apesar de se perder inicialmente na generalidade, ganha-se na compreensão e na facilidade de absorver os conceitos e visualizar os fenômenos físicos. Observa-se no fim do capítulo a interpretação da perda de carga. Exercício 4.1 Ressaltar as hipóteses de Bernoulli: 1) R.P. Reservatório de grandes dimensões. 2) S.M. Visual. Não há bombas nem turbinas no trecho (1)-(2). 3) S.P. Dado do enunciado: fluido ideal. 4) F.I. Líquido. 5) P.U.S. Jato livre. Não vale o princípio da aderência. 6) S.T.C. Visual. O leitor deve ser hábil na escolha dos pontos (1) e (2). Como regra, o ponto (1) deve ser escolhido numa seção onde v, p e z sejam conhecidos, e o ponto (2), onde estiver a incógnita, ou vice-versa.

v2

(1)

(2) PHR h

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gh2vg2

vh

PHRnoponto0zefetivaescalanap0p

incógnitaaévPHRdopartiraacothz

efetivaescalanap0pioreservatórnofluidodonível0v

zp

g2v

zp

g2

v

2

22

2

atm2

2

1

atm1

1

22

22

11

21

=→=

→=→=→→=→=→=

+=+γ

+

Observa-se que o PHR é arbitrário. Ao ser mudado alteram-se z1 e z2, mas a solução da equação permanece a mesma. Exercício 4.2

( )

( )

( ) ( ) ( ) 2122

11

2

1

xxbaa4g

a2bag2ga2bag2

gy2vx

baa4ay4g

y2ga2gy2ga2

gy2vxAlcance

bag2v

ga2v

=⇒+=×+

=+==

+==×

===

+=

=

Exercício 4.3

m3,610

1075209,4zz

pg2

vzzz

pg2

vz

kPa7510025ppp

zp

g2v

zp

g2v

)b

s/m9,42,120gz2vg2

vz

zp

g2v

zp

g2v

)a

4

32AS

S2S

ASSs

2S

A

atmSS

SS

2S

AA

2A

AB

2B

A

BB

2B

AA

2A

absef

=×−

−−=−

γ−−=−→+

γ+=

−=−=−=

+=+γ

+

=×==→=

+=+γ

+

Exercício 4.4

Page 3: Capitulo4 Franco Brunetti

( )

( )sm8,7

206,3

45

g2v

hHhHg2

v

HhpHp

zp

g2v

zp

g2v

221

21

2

1

22

22

11

21

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

==⇒γ+γ

=γγ

+

+γ=γ=

+=+γ

+

Exercício 4.5

4vv2,0g2

vv

2,0p

comoezp

g2v

zp

g2v

20

21

20

21

01

121

00

20

=−→=−

+=+γ

+

sN211,210gQQ

skg1,20026,0

10000.8Q

gQQ

sL6,2

sm0026,0

408,052,0Q

4D

vQ

s/m52,0v4vv16:anteriornadoSubstituin

v4v40v80v4D

v4D

v

mG

m

3220

0

020

20

012

12

0

21

1

20

0

=×==

=×=γ

=ρ=

==×π

×=→π

=

=→=−

=→×=×→π

Exercício 4.6

( )( )

sL40

sm104AvQ

sm4

1010308,320

p8,3g2v

kPa3010106000.1

2,020p

2,0ppp2,02,0p

8,3p

g2v

pg2

vpg2

v

32

14

31

1

441

O2Hm212mO2H1

121

0201

21

=×==⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−×=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

−=

=−×+=

γ−γ+=⇒=×γ−×γ+

+

γ+=

γ+

Page 4: Capitulo4 Franco Brunetti

Exercício 4.7

cm316,307,72

vv

DD4D

v4D

v

sm16,35,020v

m5,010

10202007,7p

g2v

g2v

zp

g2v

zp

g2v

)b

sN2,22

402,007,710

4D

vQ

sm07,75,2102gh2vh

g2v

:PitotdetuboNo)a

1

221

22

2

21

1

1

4

321

22

21

22

22

11

21

24

22

2G

2

22

=×==→π

=×=

−=γ

−=→+γ

+=+γ

+

=×π

××=π

γ=

=××==→=

Exercício 4.8

( ) ( )

( )

( )

( )

cm7,5m107,543,121014,34

vQ4D

4D

vQ

sm43,1246,138v

6,13816,1355,020vv

155,0g2vvzz155,0pp

pzz55,055,0p

zzpp

g2v

g2v

zp

g2v

zp

g2v

)c

0101036,1

10187101052pzphpzhhp

kPa181017101052zzppzp

g2v

zp

g2v

)b

sN3141014,310QQ

sm1014,3

41,04

4D

vQ

sm410

1010521620z

pHg2vz

pg2

vH)a

22

22

22

2

22

21

22

Hg21

2212

Hg21

212Hg1

2112

21

22

22

22

11

21

45

343

Hg

31131Hg11

3431133

323

11

21

24G

32

221

1

4

3

11

1111

21

1

=×=×π

××=

π=⇒

π=

=+=

=−××=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ

γ××=−⇒−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ

γ=

γ−

=−γ−×γ−×γ+

−+γ−

=−

+=+γ

+

=−×

×+×−×=

γ−γ−Δγ−

=⇒=Δγ−γ−γ+

−=×−+=−γ+=⇒+γ

+=+γ

+

=××=γ=⇒×=×π

×=π

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×−×=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ−=⇒+

γ+=

−−

−−

Page 5: Capitulo4 Franco Brunetti

Exercício 4.9

skg14,8

4072,02

10000.10

4D

vg

Q

sm2v84,59vv16

anteriornadosubstituinv4v4D

v4D

v

84,5910

920.2920vv

pg2vvz

pg2

vz

pg2

v

Pa920.2922,0000.136hp

221

1m

121

21

12

21

1

22

2

421

22

221

221

121

22

22

Hg2

=×π

××=πγ

=

=⇒=−

→=→π

=−

×−=−

γ−=−→+

γ+=+

γ+

−=×−=γ−=

Exercício 4.10

0565,0109,51033,3

Q

Qs

kg109,54025,01201

4D

vQ

skg1033,3

400115,045,4720

4D

vQ

sm45,401,0

7200720020z

pg2v

0zp

g2v

zp

g2v

zp

g2v

:gasolinaNa

pPa720021201

2v

g2v

pp

g2vp

g2v

:arNo

2

3

am

gm

222

aaama

322

ggggm

g2g

g2g2

g2g

g22

g2g2

g

g22

g2g1

g

g12g1

g2

22a2

a

2a2

aa2a

a22

a2

a

a12a1

=××

=

×=×π

××=π

ρ=

×=×π

××=π

ρ=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γ−=

=+γ

+⇒+γ

+=+γ

+

=−=×

−=ρ−=γ−=⇒γ

+=γ

+

Exercício 4.11

kW375,0000.11

8,0301,010QHN

sm01,0101010AvQ

m34220

10HHg2

vHz

Hzpg2

vHzpg2

v)a

4

B

BB

34

66

2

B6,1p

26

B1

6,1p22

22

B11

21

=××

γ=

=××==

=−+=→+=+

++γ

+=++γ

+

Page 6: Capitulo4 Franco Brunetti

( ) ( )

( ) N1,3810101081,1102010F

Pa1081,1pm81,120

5,12101010p

sm5,12

10801,0

AQv

g2vvpp

zp

g2v

zp

g2v

Pa10110p

HpHp

Hzp

g2v

zp

g2v

AApApFFAApAp)b

4444

4G

22

4

4G

4G

G

2G

244G

GG

2G

44

24

444

6,4p46,4p4

6,4p66

26

44

24

HpGp4HpGp4

=×××−−××=

×−=→−=−

+=γ

==

−+

γ=

γ→+

γ+=+

γ+

=×=

γ=→=γ

→++γ

+=+γ

+

−−=→+−=

−−

Exercício 4.12

( ) ( )

( )

kW4,4107,0

2002,17,12QHN

m2007,12

7341806ppH

Pa18062,1427,122,142pm2,14210020

5,730p

Hg2

vvpHz

pg2

vz

pg2

v

Pa7348,577,128,57pm8,5710020

5,730p

sm5,7

4,04,02,1

AQv

sm2,12,02,030AvQ

Hg2

vvpHz

pg2

vz

pg2

v

3

v

vv

01v

1

221

A,1p

21

2A1

A,1pAA

2A

11

21

0

220

00

3

AA

0,Ap

20

2A0

0,Ap00

20

AA

2A

=×××

γ=

=−−

=γ−

=

=×=×γ=⇒=+−

+−

⇒++γ

+=+γ

+

−=−×=−×γ=⇒−=−−

==⇒=××==

−−

⇒++γ

+=+γ

+

Exercício 4.13

( ) ( ) Pa108,810102,18,0hpp

phhp:amanométricEquação

ppg2vv

zpg2

vzpg2

v)a

445F54

5F4

5424

25

55

25

44

24

×=−×=γ−γ=−

=γ−γ+γ−

=−

+=+γ

+

17610

108,820vv 4

424

25 =

××=−

Page 7: Capitulo4 Franco Brunetti

sm047,0101007,4AvQ

sm7,4

8176v176vv9

v3vAvA3vAvAv

34

44

424

24

4555545544

=××==

==→=−

=→=→=

( ) kPa49Pa109,47,368,410p

HzHp

Hzp

H

Hzp

g2v

Hzp

g2v

)c

m8,4047,010

75,0103Q

NH

QHN)b

446

6,1p6B6

6,1p66

B

6,1p66

26

B11

21

4

3BB

BB

BB

−=×−=−−×=

−−=γ

→++γ

=

++γ

+=++γ

+

=×××

=γη

=→η

γ=

Exercício 4.14

( )

( ) ( )

( )

( ) kW3102,150196,010QHN)d

m2,212,156HzzHHHHH

m2,1510

000.76520

9,610H

sm9,6

6510

DD

vv

ppg2

vvH)c

Pa000.761036,1101105hppphhp)bsL6,19

sm0196,0

405,010

4D

vQsm10251220v

zp

Hg2vzp

g2v

H)a

34B

B303,0p3,0p3B0

4

22

B

2

21

22

21

1221

22

B

544Hg212Hg1

3222

22

22

2222

22

2

=×××=γ=

=+=+−=⇒+=+

=−

−+−

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

γ−

+−

=

−=×−×+×=γ−γ+=⇒=γ−γ+

==×π

×=π

=⇒=−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ−=⇒+

γ+=

Exercício 4.15

νπ=

ν×

π=→

π=

ν=

=××

==→=−

1

121

121

111

1

3

canalcanal

DQ4D

DQ4Re

DQ4v;DvRe)b

sm5,0

4,02,01040

bLQvbLvQ)a

Page 8: Capitulo4 Franco Brunetti

( ) ( )

sm75,0

667,05,0

667,0v

v667,0v2h10

3h25

hv

v

dyy10y25h

vLdyyv10yv25

bL1v

yv10yv25v:Logo

v10bev25a:sistemaosolvendoRe

b2,0a20bay2dydv0

dydv;m2,0ypara

2,0b2,0avvv;m2,0ypara

0c0v;0ypara)d

m7,168000

103,020

4,2078,0H

sm4,20

05,010404

DQ4v

sm78,0

255,010404

DQ4v

pg2

vvH

Hzp

g2v

zp

g2v

)c

m255,0200010

10404ReQ4D

mmáxmáx

23máx

m

h

02máxh

0 máx2

máxm

máx2

máx

máxmáx

2máxmáx

622

2,1p

2

3

22

2

2

3

21

1

122

21

2,1p

2,1p22

22

11

21

4

3

11

===⇒×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

+−=+−=

+−=

=−=

+×=→+=→==

×+×=⇒==

=⇒==

+−

=

=×π

××=

π=

=×π

××=

π=

γ+

−=

++γ

+=+γ

+

=××π××

=πν

=

∫∫

Exercício 4.16

( )

( )

2243

11

1,0p1

011,0p11

21

0

334

22

2323

233

2

332

23

22

3,2p232

3223,2p3

323

22

22

cm45,1m1045,19,41071,0

vQA

sm9,48,03520H

pzg2vHz

pg2

vz)b

sL71,0

sm1071,01011,7AvQ

sm1,7354,020v

sm354,0v50vv400v20

AA

vv

50235,320vv

Hpp

g2vvHzp

g2v

zp

g2v

)a

=×=×

==

=−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ−=⇒++

γ+=

=×=××==

=×=⇒=⇒=−⇒==

=+−×=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γ−

γ=−⇒++

γ+=+

γ+

−−

−−

Page 9: Capitulo4 Franco Brunetti

W4,932,11071,010QHN

m32,120

9,41,7g2

vvH)c

34B

2221

22

B

=×××=γ=

=−

=−

=

Exercício 4.17

( )

m54520

203010

104,0H

pg2

vH

pH

HHHH)c

mca452510

102,0pH

pp

zp

g2v

Hzp

g2v

)b

kW41000

18,025102010pQHN

m25H

m2530510

104,0151010

1025,0H

Hzp

HHzp

HHHHH)0(a)5(deEscoamentoHH

m45510

102,020

20zp

g2v

H

sm20

1010

1020AQv

m351010

1025,00zp

g2v

H)a

2

4

6p

222

M5

p

p2M5

4

62

M12

11

21

M22

22

34TTT

T

4

6

4

6M

p00

MM55

p0MM5

01

4

621

121

1

4

3

11

4

60

020

0

2,5

22,5

2,52

1

1

1

0,512

0,512

=−−+×

=

γ−−+

γ=

+=+

=−−×

→−γ

+=++γ

+

=×××××=ηγ=

=

−=−−×

−++×

=

++γ

=+++γ

+=++→>

=+×

+=+γ

+=

×==

=+×

+=+γ

+=

Exercício 4.18

m2,2310

10200208p

g2v

H

sm2

1081016v;

sm8

1021016v)a

4

322

22

2

3

3

33

3

2

+=γ

+=

=××

==××

=−

Page 10: Capitulo4 Franco Brunetti

( )

( ) ( ) MPa362,010512,4010zHHp

HHzp

)d

kW95,1102,12101610QHN

)turbina(m2,1213,2310

101,0HHp

H

HHHH)c

m173,232,40HHH)b

).1(para)4(deSentidoHHm2,4010

10400202p

g2v

H

6443,4p34

3,4p344

334TT

4

6

1,2p21

M

1,2p1M2

232,3p

234

323

23

3

=×−+=−+γ=

+=+γ

=××××=γ=

−=+−×

=+−γ

=

+=+

=−=−=

⇒>→=×

+=γ

+=

−−

Exercício 4.19

1,2p11

21

22

22

1,2p12

24

24

44

24

4

23

33

23

3

Hzp

g2v

zp

g2v

HHH)b)1(para)6(deSentido

13g2

v49

g2v

zp

g2v

H

11g2

vz

pg2

vH)a

++γ

+=+γ

+

+=

+=++=+γ

+=

+=+γ

+=

kW192,01000

18,0410610QHN

m4Hm4117ppH)c

sm10610106vAQ

sm6vm8,1728,17

g2v

34TTT

T32

1M

334

2

22

=×××××=ηγ=

=→−=−=γ

−γ

=

×=××==

=→=−+=

−−

4,6p644

24

2M

4,6p44

24

2M66

26

4,6p42M6

Hzzp

g2v

H

Hzp

g2v

Hzp

g2v

HHHH)d

+−+γ

+=

++γ

+=++γ

+

+=+

Page 11: Capitulo4 Franco Brunetti

kW59,01000

18,910610QHN

)bomba(m8,9239206H

34B2

2

2M

=××××=γ=

=+−+=

Exercício 4.20

m7,20HHp

HHH)c

MPa207,0Pa107,20pm7,2047,2610

105022047,4p

m7,261062,510

105,1QNHQHN

Hp

Hzp

g2v

HHHH)b

sm1062,5

404,047,4

4D

vQsm47,422

10105020v

kPa5010050ppp

Hzp

g2vHzp

g2v

0

HHH)a

0,3p0,3p3

0,3p03

434

323

34

3

BB

3,2p3

B11

21

3,2p3B1

33

221

14

3

1

atmabs1ef1

1,0p11

11,0p11

21

1,0p10

=⇒=γ

+=

=×=⇒=−+×

−+=γ

=××

×=

γ=⇒γ=

=++γ

+

+=+

×=×π

×=π

=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

×−×−=

−=−=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

γ−=⇒++

γ+=

+=

Exercício 4.21

( )

TB32

23

22

2,1p

2,1p33

23

TB22

22

2,1p3TB2

3

4

3

TT

TTTT

T

BTTTB

4

621

B

HHppg2vvH

Hzpg2

vHHzpg2

v

HHHHH)bs

m04,075,02010

106HNQQHN

m2075,02

302HHQH2QH

m3010

1003,0ppH)a

−+γ−

+−

=

++γ

+=−++γ

+

+=−+

=××

×=

ηγ=→ηγ=

=→ηγ=γ

=×−

=γ−

=

Page 12: Capitulo4 Franco Brunetti

( )

4,1p44

24

11

21

4

622

2,1p

42

243

3

Hzp

g2v

zp

g2v

)c

m45,0203010

101,0020

45H

sm5

108004,0

AQv;

sm4

1010004,0

AQv

++γ

+=+γ

+

=−+×−

+−

=

===×

==−−

m55,910

101,020

54pg2

vvH

Hzp

g2v

zp

g2v

)d

MPa295,0Pa1095,245,010103,0Hpp

Hpp

4

6223

22

23

2,3p

2,3p22

22

33

23

5464,1p14

4,1p14

+−

+−

=

++γ

+=+γ

+

=×=×−×=γ−=

−γ

Exercício 4.22

kW4,31036,11103010QHN

m36,11H15H20H56,0HHHH

m20103010

106Q

NHQHN

H56,0H8,07,0HHHQH

QHNN

334T

TTTpT2B1B

34

32B

2B2B2B

T1BTBTT1BB

1BTTBT

=××××=γ=

=⇒=−+⇒=−+

=××

×=

γ=⇒γ=

=⇒××=ηη=⇒η

γ=ηγ⇒=

−−

Exercício 4.23

( )

( )

2

24316

24312181216

8R

6R3

4R3

2R

R16

drrrR3rR3rRR16

rdrrRR16rdr2

2v

Rr1v

R1

dAvv

A1

8888

8

R

0752346

8

R

0

3228

3

R

0 máx

2

máx

2

3

Am

×=−+−

×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=α

−+−=α

−=π

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

π=α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=α

∫∫

Page 13: Capitulo4 Franco Brunetti

Exercício 4.24

( )

06,1

R177R

107

R

672,3x177Rx

107

R

672,3

dx)xRx(

R

672,3dxxRx

R

672,3

dxdr;xRr;rRx:iávelvardeMudança

rdr)R

rR(R672,3rdr2

v6049

Rr1v

R1

dAvv

A1

717

717

717

R

0

717

710

717

710

R

073

717

R

073

717

73

R

02

3

R

0máx

71

máx

2

3

m

⎟⎟

⎜⎜

⎛−=

⎟⎟

⎜⎜

⎛−=α

−=−=α

−=−=−=

−=π

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π=α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=α

∫∫

∫∫

Exercício 4.25

m5,020311,1

g2v)e

W104985,12

103100011,12

AvC)d

11,1

58258,4

3596,0

45064,0

1351

22m

533

m

234

=×=α

×=××

×=ρ

α=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+×+×+×=α

( )dy8y8,4y96,0y064,0135

1dy23

2y4,052

1

2y4,0v:olog4,0C2C544v5ypara

2C2v0yparaCyCv

dAvv

A1)c

sm30523bhvQ)b

sm3

224v)a

50

2350

3

11

2

21

3

A m

3m

m

∫∫

+++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

×=α

+==⇒+=⇒=→=

=⇒=→=+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=α

=××==

=+

=

Page 14: Capitulo4 Franco Brunetti

Exercício 4.26

( )

73,17

556

3055700.25

4000.27

1031

7hh

630h

5700.2h

4000.27

1031

dy)yy30y700.2y000.27(103h

1bdy)67

yy30(bh1)e

hkg135.27600.325,005,067,0900bhvQ)d

sm67,0

35515v

3hh15

3h

2h30

h1bdy)yy30(

bh1v)c

mN9,130063,0

ms.N063,0

10107000.9

g

sm107

sm107,0St7,0cSt70;

mN000.9

dydv30

dydv)b

s26dydvy230

dydv)a

6543

5

6543

5

654h

03

53h

0

2

mm

2

m

232h

02

m

20y

2

5

25

24

3

0y0y

1

cm2y

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×+×−×

×=α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

×=α

−+−××

=−

=××××=ρ=

=−×=

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

=×=τ

=××

=γν

×=×===ν=γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ=τ⇒=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒−=

∫∫

=

−−

==

=

Exercício 4.27

sL20

sm02,0101002AvQ

sm28,4

1010409

120v

Hzpg2

vzpg2

v

HHHNHQNHQHQ

34

t20

4

3

2

2,0p22

22

200

20

0

2,0p20

diss661100

==××==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×−=

++γ

+α=+γ

+=+γ=+γ+γ

sL351520QQQ 106 =+=+=

m7Hm9H

1

0

==

Page 15: Capitulo4 Franco Brunetti

kW31,11000

18,01640NN

W1640N10006,010103510N71015109102010

m6,0205,31H

sm5,3

101001035

AQ

vg2

vH

TT

343434

2

6

4

3

t

66

26

66

=××=η=

−=+××××=+×××+×××

=×=

=××

==→α=

−−−

Exercício 4.28

m4,11234,27HHHH

m4,27HH10510310510

21010103,0105103,231051030101010

m3,0205,2

g2v

H

m3,2525205,2H

vsm5,2

05,01054

DQ4vz

g2v

H

m301010

102,0zp

H

sL5

210

2Q

QQ

HQHQHQHQHQHQ

7,6p5,4p7,4p6,5p

7,4p7,4p3434

34343434

227

7

2

3

72

3

23

33

23

3

4

6

00

0

073

7,4p73,2p31,0p0773300

=−−=−−=

=⇒×××+×××+

+×××+×××+×××=×××

===

=+=

==×π××

=→+=

=+×

=+γ

=

====

γ+γ+γ+γ+γ=γ

−−

−−−−

Exercício 4.29 ( ) ( )

kW75,38,0

3NN

kW68,05,7NNm10H;0H;0H

HQHHQHHQHQHQNNHQ

T

T2

BB1

760

p7pp6pp077662100 7,36,54,33,21,0

==η

=

=×=η====

γ++γ++γ+γ+γ=−+γ

360

64

04

346

40

434

1010QQ

1050Q108Q106

21010108Q106Q101010101037506000

−−

×+=

=××+××

×××+××+××+×××=−

Resolvendo o sistema de equações:

Page 16: Capitulo4 Franco Brunetti

m2,1178,0102,310

103QN

HHQN

m4,45102,1310

8,0105,7Q

NH

HQN

sL2,13Q

sL2,3Q

34

3

T6

TTTT6T

34

3

0

BBB

B

B0B

0

6

=×××

×=

ηγ=→ηγ=

=××

××=

γη

=→η

γ=

=

=

Exercício 4.30

( )

sL56

sm056,0028,02Q2Q

sm028,0

2108,0700

HN

QHQ

N)b

bombam2H25,0125,22

H7

42

Q1

2Q

1Q42

Q5

2Q

H2

Q7Q

m4zHm5zH

m7210

1050zp

H

2Q

QQQ2QQQ

HQHQHQHQHQHQHQ)a

3

30

3

4B

BB3

B

B3B

MM

000

00M

00

33

22

4

3

00

0

0322320

3,1p32,1p21,0p03322M300

==×==

=××

=γη

=⇒η

γ=

=⇒++++=+

×γ+×γ+×γ+×γ+×γ=×γ+×γ

====

=+×

=+γ

=

==⇒=+=

γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ

Exercício 4.31

g2v5,1H;

g2v5H

;g2

v31H;

g2v5H;

g2v7H;8H;0H

H2HH3H2HH3H3

HQ2HQHQ3HQ2HQHQ3HQ3Q3QQQQ;Q2Q

HQHQHQHQHQHQHQ

22

2,sp

21

1,sp

2e

e,0p

22

2

21

1B0

2,sp1,spe,0p21B0

2,sp11,sp1e,0p12111B101

1021012

2,sp21,sp1e,0p02211B000

==

=+=+===

++++=+

γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ=→+==

γ+γ+γ+γ+γ=γ+γ

g2v3

g2v5

g2v

g2v210

g2v783

22

21

2e

22

21 ++++++=×

Page 17: Capitulo4 Franco Brunetti

kW151000

148,0

80897,010HQN

sm0897,0

4138,06

4D

vQ

sm6v

sm2v140v35v9v20v6140

v2vv3vg2

vg2

v5

g2v

67

4

B

BeB

322e

ee

e121

21

21

21

121e

2e

22

21

=×××

γ=

=×π

×=π

=

=⇒=→=→++=

==

++=

Exercício 4.32

( ) kW36,210101061015104106,11101010N

HQHQHQN)c

m10p

H;m15p

H

m6,114,820pp

H)b

kPa84pm4,8p

8,15101048,11106p

51010

m8,1510

1015,0204p

g2v

H

m8,1110

101,0206p

g2v

H

c5p

g2v

H

HQHQHQsm6

1010106

AQ

v;sm4

1010104

AQ

v;sm10

10101010

AQ

v

sL6410QQQ)a

3343434diss

6,5p64,3p42,1p1diss

56,5p

34,3p

212,1p

223323

4

623

23

3

4

625

25

5

222

2

335522

4

36

54

34

34

31

2

416

=××××+×××+×××=

γ+γ+γ=

==γ

=

=−=γ

−γ

=

=⇒=γ

⇒×××+××=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+××

+=γ

+=

+=γ

+=

+=γ

+=

γ+γ=γ

=××

===××

===××

==

=−=−=

−−−−

−−−

Exercício 4.33

121212

21

22

M

2M1

ppevvppg2vvH

HHH)a

<<→γ−

+−

=

=+

Page 18: Capitulo4 Franco Brunetti

m6,13z104404,3026,13z44204424,3096,13

m910

10802053,4p

g2v

H

HQHQHQHQHQHQHQsm53,4

10300136,0

AQ

v

sm0136,00304,0046,0QQQ)d

sm046,0

20108,01011

HN

QHQ

N)c

sm0304,087,3

41,0v

4DQ

QQ)b

m3,261520

87,31515g2v15

H

sm87,3v12

g2v16

3g2

v15

g2v15

30:)1(nadoSubstituin

15g2v15pp

g2vv16pp

g2vv

H

v4vevv

)1(Hg2

vHz

HHHHturbina0H

4

326

26

6

9,8p95,4p47,6p699BB4466

46

6

3

CB6

3

4

3

B

BBB

B

BBB

32

2

2

A

AC

222

T

2

22

22

22

2221

22

2221

22

21

T

2123

3,0p

23

T0

3,0p3T0

M

=×+×+×+=×+×+×

+=γ

+=

γ+γ+γ+γ=γ+γ+γ

==

=−=−=

=×××

=γη

=→η

γ=

=××π

=

=

=+×

=+=

=⇒=

+=−−

+=γ−

+−

=γ−

+−

=

==

+=−

+=−⇒<

Exercício 4.34

m1,820

7,12g2

vH

sm4,25v

sm7,12

05,010254

DQ4

v

NHQNHQ2NHQNHQHQ

221

1

32

3

21

11

diss3311diss332211

===

=⇒=×π

××=

π=

+γ=+γ⇒+γ=+γ+γ−

Page 19: Capitulo4 Franco Brunetti

kW6,1675,049,12NN

W490.124401,810251022,32105010N

m2,3220

4,25H

BB

3434

2

3

==η

=

=+××××−×××=

==

−−

Exercício 4.35

kgkJ5,7

kgJ7500qg

massacalor

m75020

25125g2

vvq

pg2

vq

pg2

vsm125255v5v

52,0

1pppp

vv

AvAv

2221

22

2

222

1

121

12

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

1

2222111

===

=−

=−

=

γ+=+

γ+

=×==

===ρρ

→ρ

ρρ

=→ρ=ρ

Exercício 4.36

kW75,0sJ7501750Q

skg111QQgqQQ

kgJ750

21040gq

sm40

05,01,0

1,02,010

AA

pp

vAA

vvAvAv

sm10

1,01

AQ

v

g2vv

q

11mm

222

1

2

11

2

1

2

112222111

1

11

21

22

==×=

=×=ρ=→=

=−

=

=××==ρρ

=⇒ρ=ρ

===

−=

&

&

Exercício 4.37

gp

g2vHqTc

gp

g2v

2

222

M1v1

121

ρ+=+++

ρ+

Page 20: Capitulo4 Franco Brunetti

( )s

kg163442,5

10001098,02vv

NQ~2Q

sm2,5

4.052,04

AA

vv

TTeppSeg2

vgQ

NgQ

Q~

g2v

gQNHgHQN

gQQ~qqgQQ~

ppTT

2221

22

m

2

112

212121

22

mm

21

mMMm

mm

2

2

1

121

=−

×+−×=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=

=×==

ρ=ρ⇒==

=++

=→=

=→=

ρ=

ρ⇒=

&

&

&&

Exercício 4.38

( )

kW5610600.3500.45,187.45gqQQ

kgJ5,187.45800.58810760.2090.2

260275gq

kgJ800.588

36004500

10736QNgHgHQN

gHhh2

vvgqh

2v

gqgHh2

v

3m

322

3

mmmm

M12

21

22

2

22

M1

21

−=××−==

−=+×−+−

=

==⇒=

+−+−

=⇒+=+−+

−&

Exercício 4.39

diss332211 NHQHQNHQ +γ+γ=+γ

sm6

25,05,1

AQv

sm5

5,05,2

AQv

sm5,115,2QQQ

sm12,05AvQ

3

33

1

11

3

213

3

222

===

===

=−=−=

=×==

Page 21: Capitulo4 Franco Brunetti

949,07,14273

273NN

kW273W1073,2107,1425,215,2108,315,11025,31110N

m8,3110

103,0206p

g2v

H

m25,3110

103,0205p

g2v

H

m25,2110

102,0205p

g2v

H

BB

53442

4

623

23

3

4

622

22

2

4

621

21

1

=+

==η

=×=×+××−××+××=

+=γ

+=

+=γ

+=

+=γ

+=