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Capítulo VII

Relatividade e Eletromagnetismo

Embora a teoria eletromagnética baseada nas quatro equações formulada por Maxwell

(1864) seja anterior à Relatividade Restrita, é uma teoria relativística por excelência, sendo

inclusive uma das razões, se não a principal razão, do surgimento da Relatividade Restrita,

apresentada em 1905 por Albert Einstein com o sugestivo título "Sobre a Eletrodinâmica dos

Corpos em Movimento". Isso porque as equações do eletromagnetismo violam a relatividade

newtoniana, formalizada pelas transformações de Galileu, sendo covariantes por um outro

conjunto de transformações atualmente conhecidas como as transformações de Lorentz.

7.1 Densidade de corrente elétrica

Um pressuposto fundamental na teoria eletromagnética é que a carga elétrica seja uma

grandeza invariante. Desse modo, se num certo referencial inercial � existe uma distribuição

uniforme e rígida de uma carga elétrica � numa região de volume � tal que a sua densidade

seja � = �� , (7.1)

num outro referencial inercial �′ a densidade de carga será �� = ��� (7.2)

onde �� é o volume da mesma região vista por �. Em termos do volume próprio ��,

� = ���� , �� = 1�1 − ��/�� �� = ����� , ��� = 1�1 − ���/�� (7.3)

onde � e �′ são as velocidades das distribuições rígidas de carga nos referenciais inerciais � e �′, respectivamente. Considere esses referenciais em movimento relativo uniforme, com

velocidade �, ao longo do eixo comum ��� e, portanto, ligados pelas transformações de

Lorentz, equação (6.33),

� ��� = �(�� − ��)�� = �(� − ��) � � = � � = ⟺ ���� = �(�� − ��") ��" = �(�" − ���) ��� = �� ��# = �# . A componente temporal da quadri velocidade leva à transformação

��� = � $1 − ��%�� & �� , (7.4)

de modo que a relação entre os volumes fica

�� = ����� (1 − �%��� ) = �� (1 − �%��� ) . (7.5)

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Substituindo na densidade de carga, equação (7.2), resulta

�� = � �� $1 − �%��� & = �� $1 − �%��� & (7.6)

e, considerando a densidade de corrente elétrica , = �-,

�� = � $� − .%��� & . (7.7)

A lei de adição das velocidades, equação (5.82),

�%� = �% − �1 − �%�/�� , �/� = 1� �/(1 − �%�/��) , �0� = 1� �0(1 − �%�/��) , (7.8)

leva às transformações das componentes da densidade de corrente,

2.%� = ���%� = ��(�% − �) = �(.% − ��)./� = ���/� = ��/ = ./ .0� = ���0� = ��0 = .0 . (7.9)

As transformações (7.7) e (7.9) sugerem a construção do quadrivetor densidade de

corrente elétrica

.4 = ��54 (7.10)

onde �� = �/�� é a densidade própria e 54 a quadrivelocidade. Em termos das componentes

temporal e espacial,

.4 = 7.� , .89 = 7��, ��89 . (7.11)

As transformações de Lorentz das componentes do quadrivetor densidade de corrente

elétrica ficam

:;<��� = �(�� − �.%).%� = �(.% − ��)./� = ./ .0� = .0 ⇔

:>;>< .�� = �(.� − �.").�" = �(." − �.�) .�� = .� .�# = .# (7.12)

7.1.1 Fio condutor infinitamente longo

Cargas elétricas em movimento produzem campos magnéticos, de modo que é de se

esperar que o campo magnético dependa do movimento relativo entre o observador e a carga

elétrica. Como uma carga em repouso num determinado referencial � é fonte do campo

elétrico nesse referencial, num outro referencial �′ em movimento uniforme em relação a �, a

carga estará em movimento e, portanto, será fonte de campos elétrico e magnético. Isso

sugere uma conexão entre os campos elétrico e magnético através das transformações de

Lorentz.

Para compreender fisicamente como isso ocorre, considere um sistema simples, um

fio condutor infinitamente longo alinhado ao longo do eixo � e percorrido por uma corrente

elétrica ?. Essa corrente é devida ao movimento dos elétrons de condução dos átomos

constituintes do fio, sendo que a densidade de carga elétrica permanece neutra devido às

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cargas positivas dos núcleos atômicos, que permanecem em repouso, enquanto os elétrons de

condução fluem entre os átomos, percorrendo o fio condutor com uma velocidade média �.

Em termos da carga do elétron, � = −@, e as densidades de cargas positivas e negativas do

fio são

A�B = C@B = C@ �D = C@D = −C@ , (7.13)

onde C = E/� é o número de cargas por unidade de volume, a densidade de cargas total

sendo nula,

� = �B + �D = 0 . (7.14)

Como somente as cargas negativas é que se movem ao longo do fio, as contribuições

das cargas positivas e negativas para a densidade de corrente são, respectivamente,

A.%B = 0 .%D = �D� = −C�@ . (7.15)

resultando a corrente total .% = .%D = −C�@ . (7.16)

Nessa situação a lei de Biot-Savart prevê um campo magnético tangencial de

intensidade

G = 2?�H IJ (7.17)

circundando o fio condutor (IJ é o versor tangencial ao fio), a corrente elétrica dada por

? = K .% LM

Integrada sobre a área transversal do fio. Como a carga elétrica total é nula, o campo elétrico

deve ser nulo, N = O, em todo o espaço externo ao condutor.

Para um observador no referencial �′, o balanço das densidades de cargas e correntes

elétricas positivas e negativas é diferente. Pelas transformações (7.12), ���B = �(��B − �.%B) = ���B = −���

para as cargas positivas e ���D = �(��D − �.%D) = ���D − ���D� = � (� − �� �) �D = −��C@ + � �� �C@

para as cargas negativas, resultando uma densidade volumétrica de cargas não nula),

�� = ��B + ��D = � ��� �C@ . (7.18)

Quanto às densidades de corrente, .%�B = −���B = −��C@

78

para as cargas positivas e .%�D = �(.%D − ��D) = �(�D� − ��D) = �(� − �)�D = −�(� − �)C@

para as cargas negativas, resultando na densidade de corrente total .%� = .%�B + .%�D = −�C�@ . (7.19)

O resultado mais significativo é a presença de uma densidade de carga elétrica total

não nula distribuída ao longo do fio condutor, dando origem a um campo elétrico radial ao

longo do eixo definido pelo fio condutor,

P� = 2Q�H� (7.20)

além do campo magnético tangencial, em módulo, igual a

R� = 2?��H� (7.21)

onde

Q� = K ��LM (7.22)

é a densidade linear de cargas. Para uma densidade uniforme de cargas no condutor com

secção transversal de área A,

Q� = M�� = M� ��� �C@ . (7.23)

A presença de campos elétrico e magnético no referencial �′ enquanto que no

referencial � tem apenas o campo magnético mostra que campos elétrico e magnético

misturam-se numa transformação de Lorentz sendo, portanto, manifestações de um mesmo

fenômeno físico cuja fonte é a carga elétrica. No entanto, os campos elétrico e magnético, E e

B, respectivamente, são vetores de propriedades matemáticas diferentes, de modo que não

devem se misturar em simples combinações lineares. O campo elétrico E é um vetor polar

enquanto que o campo magnético B é um vetor axial (ou pseudovetor).

Vetores polares e vetores axiais têm propriedades de transformação diferentes numa

reflexão espacial S → −S. O vetor posição r é um vetor polar típico, assim como a

velocidade, cuja transformação por reflexão é a mesma do vetor posição,

- = LSL� → −- = − LSL� . (7.24)

Por outro lado, o momento angular é um vetor axial ou pseudovetor típico,

transformando-se como U = S × W → U (7.25)

numa reflexão espacial.

79

7.2 Campo eletromagnético

No conjunto das quatro equações de Maxwell, duas são homogêneas,

HX�N + YG�Y� = 0 LZ�G = 0 , (7.26)

e as outras duas são não homogêneas,

HX�G − YN�Y� = 4[� , LZ�N = 4[� . (7.27)

Devido às identidades matemáticas LZ� ∙ HX� ≡ 0 e HX� ∙ ^H_L ≡ 0, as equações

homogêneas permitem definir os campos magnético e elétrico como G = HX�` N = −^H_LI − Y`�Y� (7.28)

onde A é uma função vetorial e φ uma função escalar, o potencial vetor magnético e o

potencial escalar elétrico, respectivamente. Nesse contexto, as equações homogêneas podem

ser consideradas como identidades matemáticas.

As equações dinâmicas são as não homogêneas, que podem ser obtidas de uma função

lagrangeana através da equação de Euler-Lagrange.

Os campos potenciais não são univocamente definidos, admitindo as transformações ` → `� = ` + ^H_La I → I� = I − Ya�Y� (7.29)

para uma função arbitrária a(�, �, , �), sem afetar os campos físicos E e B. São conhecidas

como transformações de gauge do campo eletromagnético.

A estrutura das transformações sugere um quadri-vetor M4 com as componentes

temporal M� = I e espacial A,

M4 = (M�, `) = (I, `) , (7.30)

as transformações de gauge resumindo-se a M4 → M4� = M4 + Y4a . (7.31)

Em termos das componentes do quadri-vetor M4, o campo elétrico fica P8 = Y8M� + Y�M8 e o campo magnético R8 = (HX�`)8 = YbMc − YcMb = d8bcY8Mc

os índices espaciais eZ.fg tomados ciclicamente.

Define-se o tensor de intensidade eletromagnética

80

h4i = Y4Mi − YiM4 (7.32)

tal que P8 = h8� e R8 = hbc , (7.33)

índices eZ.fg cíclicos no campo magnético.

O par das equações de Maxwell não homogêneas fica

Y4h4i = 4[� .i , (7.34)

que pode ser obtida a partir da função lagrangeana

ℒ = − 14 h4ih4i + 4[� .i (7.35)

e a equação de Euler-Lagrange

Y4 YℒYMi,4 = − YℒYMi = 0 . (7.36)

Na equação de Euler-Lagrange usa-se a notação para as derivadas Mi,4 = Y4Mi

útil para manter as equações numa forma mais compacta.

O par das equações homogêneas pode ser obtido da identidade matemática Y4hil + Yihl4 + Ylh4i ≡ 0 , (7.37)

ou, na versão mais compacta, dm4ilY4hil ≡ 0 . (7.38)

7.2.1 Transformações de Lorentz Sendo um quadri-vetor, pelas transformações gerais de Lorentz ��4 = Λ4 i�i (5.51)

conectando os referenciais inerciais � e �′ o campo M4 deve transformar-se da mesma forma, M�4(��) = Λ4iMi (�) . (7.39)

No caso das transformações especiais de Lorentz, equação (6.33),

�M�� = �(M� − �M") M�" = �(M" − �M�) M�� = M� M�# = M# . (7.40)

Os campos elétrico e magnético no novo referencial �′ ficam, P�8 = Y8�M�� + Y�� M�8 e

81

R�8 = Yb�M�c − Yc� Mbo , (índices eZ.fg cíclicos). Usando as transformações do campo, equação (7.40), e dos

operadores diferenciais,

:;<∂�� = �(∂� + � ∂") ∂"� = �(∂" + � ∂�) ∂�� = ∂� ∂#� = ∂# (7.41)

resultam as transformações

2 P%� = P%P/� = �7E/ − �B09P0� = �7E0 + �B/9 (7.42)

para as componentes do campo elétrico e

2 R%� = R%R/� = �7B/ + �E09R0� = �7B0 − �P/9 (7.43)

para as componentes do campo magnético.

7.2.2 Campo de uma carga em movimento uniforme

Uma aplicação imediata das transformações do campo eletromagnético é a obtenção

dos campos elétrico e magnético de uma carga elétrica em movimento uniforme. Por

simplicidade, pode-se supor que o movimento seja ao longo do eixo � com velocidade

constante �.

Se �′ for o referencial de repouso da carga, o campo magnético deve ser nulo,

G� = O , (7.44)

e o campo elétrico deve ser coulombiano,

P′ = �H�H�# . (7.45)

Em componentes retangulares fica

P%� = ���H�#/� , P/� = ���H�#/� , P0� = � �H�#/� e R%� = R/� = R0� = 0 . A figura 7.1 ilustra a configuração das linhas de campo de um campo elétrico

coulombiano usando amostragem de 3 mil segmentos orientados na direção das linhas de

campo, para efeito de comparação com as configurações dos campos elétricos de cargas a

grandes velocidades (figura 7.2).

82

Figura 7.1

Representação de um campo

elétrico coulombiano com uma

amostra de 3 mil segmentos

orientados com distribuição

proporcional a |N|.

Para obter os campos no referencial de laboratório �, pode-se recorrer às

transformações inversas da equação (7.42) para as componentes do campo elétrico,

2 P% = P%�P/ = �7P/� + �R0�9P0 = �7P0� − �R/� 9 , (7.46)

e da equação (7.43) para as componentes do campo magnético,

2 R% = R%�R/ = �7R/� − �P0�9R0 = �7R0� + �P/� 9 (7.47)

mais as transformações diretas das coordenadas.

Para o campo elétrico resulta

P% = P%� = ���H�#/� = ��(� − ��)[��(� − ��)� + �� + �]#/� (7.48)

para a componente �,

E/ = �7P/� + �R0�9 = �P/� = ��� �H�#/� = ���[��(� − ��)� + �� + �]#/� (7.49)

para a componente � e

P0 = �(P0� − �R0�) = �P0� = �� �H�#/� = �� [��(� − ��)� + �� + �]#/� (7.50)

para a componente , com � = �/� e � = 1/�(1 − �²). A figura 7.2 mostra as configurações das linhas de campo elétrico de cargas em

movimentos uniformes ao longo do eixo � (horizontal) a grandes velocidades indicadas por � = �/� mostrando o efeito da contração do espaço sobre a configuração das linhas de

campo. No limite da velocidade da luz, as linhas de campo se concentram no plano

83

perpendicular à direção da velocidade. Mostra que embora o campo eletromagnético não

dependa da massa da partícula carregada, partículas carregadas devem ter massas não nulas,

caso contrário a carga fonte teria velocidade igual à da luz e as linhas de campo se

acumulariam sobre o plano transversal ao movimento onde o campo elétrico teria intensidade

infinita, sendo nula fora do plano transversal que acompanha a carga.

� = 0,9 � = 0,99

� = 0,999 � = 0,999999

Figura 7.2: Configurações dos campos elétricos de cargas em movimentos

uniformes a grandes velocidades indicadas por � = �/�.

As componentes do campo magnético podem ser expressas em termos das

componentes do campo elétrico,

2 R% = 0R/ = �7R/� − �P0�9 = −��P0� = −�P0R0 = �7R0� + �P/� 9 = ��P/� = �P/ (7.51)

ou, de uma forma geral,

G = -� × N , (7.52)

84

como facilmente pode ser verificado para este caso, onde a velocidade tem apenas a

componente �% = �. A figura 7.3 ilustra a configuração do campo magnético, em corte

tranversal à direção de movimento.

Figura 7.3

Configuração do campo

magnético de uma carga em

movimento uniforme, em corte

transversal à linha de

movimento, em amostragem de

2 mil pontos.

7.3 Campo de uma carga em movimento arbitrário

O par das equações de Maxwell não homogêneas na forma (7.34) mais a condição Y4M4 = 0 (gauge de Lorentz) resulta

Y4Y4Mi = 4π� .i , (7.53)

uma equação de onda não homogênea tendo como fonte a densidade de corrente .4. Em

termos dos campos ϕ e A,

x Y���Y�� − ∇�z { = 4π� (7.54)

e

x Y���Y�� − ∇�z ` = 4π, . (7.55)

Para uma carga fonte puntiforme, as densidades de carga � e de corrente , são nulas

em todo o espaço exceto na posição 4 da carga no espaço-tempo. Deste modo, para

determinar o campo eletromagnético em todo o espaço devido a esta carga fonte, deve-se

resolver as equações homogêneas

x Y���Y�� − ∇�z { = 0 (7.56)

e

85

x Y���Y�� − ∇�z ` = 0 (7.57)

impondo condições de contorno devido à presença da carga fonte em 4(|) = (��′, S}(�′) . (7.58)

Devido às propriedades de propagação do campo eletromagnético, isotrópica e à

velocidade da luz, o sistema tem simetria esférica, a cada instante t′, em torno da posição S}(�′) da carga fonte. A equação de onda

x Y���Y�� − ∇�z M4 = 0 (7.59)

em coordenadas esféricas independente das coordenadas angulares, em razão da simetria

esférica, fica 1�� YY� $�� YM4Y� & − Y�M4��Y�� = 0 (7.60)

onde ~ = S − S}(�′) (7.61)

define a posição relativa do ponto de observação em relação à carga fonte, com a distância

radial � = �S − S}(�′)� = �(� − �′) . (7.62)

Com a redefinição do campo escalar, � = �{ a parte escalar da equação (7.60) fica Y��Y�� − Y����Y�� = 0 , (7.63)

uma equação de onda unidimensional cuja solução deve ser uma combinação linear do tipo

� = a" $� − �� & + a� $� + �� & . A função a"(� − �/�) representa uma onda propagando-se da origem (� = 0) para o

infinito e a�(� + �/�) uma onda que se aproxima do infinito para a origem.

Se a carga fonte estiver em repouso,

M4 = ({, `) = (�� , 0) , (7.64)

indicando que, de uma forma geral, o quadri-vetor M4 deve ser da forma

M4 = x ��S − S}(�′)� , `z (7.65)

de tal modo que se reduza ao caso estático quando a velocidade da carga fonte for nula, isto é,

em termos da quadri-velocidade, �4(�′) = (�, 0). Isto se consegue para

86

M4 = � �4(�′)�i �i(�′) (7.66)

onde �4 = �4 − 4(|�) = 7�(� − �′), S − S}(�′)9 (7.67)

que deve satisfazer a condição

�4 �4 = ��(� − ��)� − �S − S}(��)�� = 0 (7.68)

definida pela equação (7.62).

Derivadas temporais estão expressas em notação compacta

�4(�) = L 4L� e �4(�) = L� 4L�� para as derivadas de primeira e de segunda ordem em relação ao tempo, respectivamente. A

condição (7.68) significa �� = ��(� − ��)� , isto é, � = ±�(� − ��) , que define as duas possibilidades para �′, o tempo retardado e o tempo avançado em relação

ao tempo t,

�� = ���� = � − �� e �� = ���� = � + �� , (7.69)

respectivamente, que definem os potenciais retardado e avançado.

Por questões de causalidade o campo físico deve ser o retardado,

M���4 = � �4� ���� , (7.70)

originado pela carga fonte na posição 4 = (���, S�(��)) e velocidade �4(��) no tempo

passado ou retardado �′ = ���� = � − �/� < �,

���� = �i �i|��� = $�(� − ���� ) − ~ ∙ -� & ������ = $� − ~ ∙ -� & ������ . (7.71)

O campo avançado

M���4 = � �4−� ���� (7.72)

devido à carga fonte na posição 4 = (���, S�(��)) no tempo futuro �′ = ���� = � + �/� > �

para

���� = �i �i|��� = − $� + ~ ∙ -� & ������

é, em geral, descartado como uma solução não física.

87

As componentes

{��� = �(� − ~ ∙ -/�) ���� (7.73)

e

`��� = �-�(� − ~ ∙ -/�) ���� (7.74)

são os potenciais retardados de Liénard-Wiechert. Conhecidos os potenciais, os campos

elétrico e magnético são obtidos da maneira usual, com uma precaução extra em relação às

derivadas, que devem levar em conta a equação de vínculo (7.68), que pode ser reescrita na

forma �4�4 = ��4 − 4(|��� )�[�4 − 4(|���)] = 0 (7.75)

de cuja diferenciação �4[L�4 − �4L|��� ] = 0

resulta a diferencial L|��� = Y|���Y�4 L�4 = �4�� �� L�4

e a derivada Y|���Y�4 = Y4|��� = �4�� �� (7.76)

As derivadas de funções dependentes do tempo retardado devem se valer da regra de

derivação Y4Mi = Y�4Mi + LMiL|���Y|���Y�4 = $Y�4 + �4����

LL|���& Mi (7.77)

onde Y�4Mi indica a derivada em relação às coordenadas �4 explícitas. Assim,

Y�4Mi���� = �Y�4 $ �i� & ���� = −� �i�� YY�4 7�� ��9 ���� = −� �4 �i�� ����

e $LMiL| &��� = � $ LL| �i� &��� = � $1� �i − �i�� L�L| &��� , onde

$L�L|&��� = L7�� ��9L| ���� = �� �� + L��� − �(|)�L| �i���� = 7�� �� − �� ��9��� . Resulta

$�4� LMiL| &��� = � � 1�� �4 �i − 1�# �4 �i7�� �� − ��9����

e

88

Y4Mi���� = −� �4 �i�� ���� + � � 1�� �4 �i + 1�# �4 �i��� − �� �������

Com estas derivações, o tensor eletromagnético h4i = Y4Mi − YiM4 fica

h4i��� = � � 1�# [�� − (�_)]7�4 �i − �i �49 + 1�� 7�4 �i − �i �49���� , os campos elétrico e magnético definidos pelas componentes P8 = h8� e R8 = hbc, equação

(7.33). Assim,

P8 = h8� = � � 1�# [�� − (�_)]7�8 �� − �� � 89 + 1�� 7�8 �� − �� � 89���� , Considere as componentes dos quadri-vetores velocidade e aceleração 7 ��, � 89 = �7�, �89

e

7 ��, �89 = x�� - ∙ �� , ��_8 + �� (- ∙ �)�� �8z , respectivamente, equações (5.85-5.86), onde a é aceleração usual com as suas três

componentes _8. Em termos dos parâmetros físicos usuais � = -/�, �� = � e ~ = ��

resultam [�� − (�_)]7�8 �� − � � 89 = [�� − (�_)]���7C8 − �89 ,

7�8 �� − �� � 89 = �� - ∙ �� �7C8 − �89 − ���_8 = �����7� ∙ �� 97C8 − �89 − (1 − ��)�� 8� e ���� = �4�4���� = ���(1 − � ∙ �)|��� .

O campo elétrico, em forma vetorial, fica

N = � ��# �[�� − (�_)]��(� − �) + ��� ���� (7� ∙ �� 9(� − �) − (1 − ��)�� )���� , cujo termo dependente só da velocidade é

N-�� = � ��# ���#(� − �)���� = � � (� − �)����(1 − � ∙ �))# ��� . Os demais termos carregam dependência na aceleração,

N�¡�� = �− ��# �[(�_)]��(� − �) + ��� �����7� ∙ �� 9(� − �) − (1 − ��)�� ����� . A primeira dependência ocorre no produto escalar (�_) = �4 �4 = (�4 − 4) �4 = ����7� ∙ �� 9 − �����7� ∙ �� 9 + ��7� ∙ �� 9(� ∙ �)�

89

que pode ser posta na forma (�_) = ����7� ∙ �� 9(1 − � ∙ �) − ����7� ∙ �� 9

ou (�_) = �����7� ∙ �� 9(1 − � ∙ �) − (1 − ��)7� ∙ �� 9� e resulta nas contribuições

N�¡��(1) = − ��# �����¢�7� ∙ �� 9(1 − � ∙ �) − (1 − ��)7� ∙ �� 9�(� − �)���

e

N�¡��(2) = ��# �¢����� �7� ∙ �� 9(� − �) − (1 − ��)�� �(1 − � ∙ �)���� cujos primeiros termos se cancelam, resultando

N�¡�� = �� �7� ∙ �� 9(� − �) − �� (1 − � ∙ �)�(1 − � ∙ �)#  ���

Veja que, como � ∙ � = 1 7� ∙ �� 9(� − �) − �� (1 − � ∙ �) = 7� ∙ �� 9(� − �) − �� [� ∙ (� − �)] , podendo-se recorrer à identidade vetorial � × �(� − �) × �� )� ≡ 7� ∙ �� 9(� − �) − �� [� ∙ (� − �)] para escrever o campo elétrico como

N = � � � − �����(1 − � ⋅ �)#���� + �� �� × �(� − �) × �� ��(1 − � ⋅ �)#  ��� . (7.78)

O campo elétrico apresenta duas componentes, a primeira de velocidade e a segunda

de aceleração. O campo de velocidade é solidário à carga e acompanha o seu movimento

enquanto que o campo de aceleração é independente e corresponde à radiação

eletromagnética.

O campo magnético tem as componentes R8 = hbc��� = − ��# [�� − (�_)]��7Cb�c − Cc�b9 +− ��� �����7� ∙ �� 97Cb�c − Cc�b9 − ��� �����7Cb��c − Cc��b9 ,

que podem ser identificados as componentes do produto vetorial

G = [� × N]��� . (7.79)

7.3.1 Campo de uma carga em movimento uniforme

Para cargas em movimento uniforme, �� = O, e a equação (7.78) fica

90

N = � � � − �����(1 − � ⋅ C)#���� (7.80)

Se o movimento for ao longo do eixo �, � = �@% e a posição da carga, supondo na

origem no instante � = 0, é S}(�) = ��@% e, portanto,

� = ~� = S − S}(����)�S − S}(����)� = (� − �����)@% + �@/ + @0� (7.81) e (� − �)� = (� − ����� − ��)@% + �@/ + @0 = (� − ����� − �( � − ����))@% + �@/ + @0= (� − � �)@% + �@/ + @0 . (7.82)

Também

(1 − � ∙ �)��� = x1 − �(� − ����� )� z��� = (1 − ��) − � (� − ��)� . (7.83)

Figura 7.4

Nesta ilustração, P é a posição

(x,y,z,t) do campo, Q′ é a

posição da carga fonte no

tempo retardado e Q é a

posição atual da carga, em

movimento uniforme ao longo

do eixo � (horizontal).

A figura 7.4 ilustra uma carga elétrica inicialmente (� = 0) localizada no ponto O

deslocando-se com movimento uniforme ao longo do eixo � com velocidade constante �. O

campo eletromagnético na posição ¤, de coordenadas (�, �, ), foi gerado por esta carga fonte

no tempo retardado ���� na posição retardada ¥¦�§§§§§ = H}(����) = ����� (sobre o eixo �). Ainda

sobre o eixo �, ¥¦§§§§ = H}(�) = �� é a posição atual da carga fonte e ¦′¤§§§§§ = � = �(� − ���� ) é

a distância que o campo deve percorrer da carga fonte até a posição ¥¤¨̈¨̈ ©̈ = H©.

Pela configuração geométrica do sistema, �� = (� − ����� )� + ª� = [� − �(�� − �)] � + ª� , (7.84)

onde ª� = �� + �, e pode ser rearranjada na forma de uma equação algébrica de segundo

grau em �,

91

(1 − ��)�� − 2�(� − ��)� − (� − ��)� − ª� = 0 (7.85)

cujas soluções são

� = 2�(� − ��) ± �4��(� − ��)� + 4(1 − ��)[(� − ��)� + ª�]2(1 − ��) . Considerando que R deve ser positivo, resta a solução

� = �(� − ��) + ���(� − ��)� + (1 − ��)[(� − ��)� + ª�](1 − ��)

que pode ser simplificada para

� = �(� − ��) + �(� − ��)� + (1 − ��)ª�(1 − ��) (7.86)

e rearranjada como

(1 − ��)� − �(� − ��) = ���(� − ��)� + �� + �� (7.87)

Comparando com a equação (7.83),

�(1 − � ∙ �)��� = ���(� − ��)� + �� + �� e

N = �� � (� − � �)@% + �@/ + @0(��(� − ��)� + �� + �)#/�  . (7.88)

Este é exatamente o resultado obtido na secção (7.2.2) para o campo elétrico usando

as transformações de Lorentz.

7.3.2 Campo de uma carga em movimento hiperbólico

O movimento hiperbólico de uma partícula, resultante da ação de uma força externa

constante sobre a mesma (veja capítulo 6) pode ser descrito, usando as coordenadas 4 do

espaço-tempo e considerando o movimento unidimensional ao longo do eixo z, por

( �, ) = ��_ («@CℎQ|, �X«ℎQ|) . (7.89)

Descreve a partícula movendo-se do infinito, de → ∞ (velocidade � =– �), uniformemente

desacelerada até se anular em = �²/_ e retornando ao infinito, uniformemente acelerado,

até atingir a velocidade limite c novamente em → ∞. Na equação acima, _ = h/¯� é a

aceleração própria constante devido à ação da força externa constante h atuando sobre uma

partícula com massa de repouso ¯� e Q = _/� é um parâmetro auxiliar. A quadri velocidade

e a quadri aceleração resultam ( ��, �) = �(�X«ℎQ|, «@CℎQ|) (7.90)

92

e ( ��, �) = _(«@CℎQ|, �X«ℎQ|) , (7.91)

os pontos acima das coordenadas indicando derivadas em relação ao tempo próprio,

�4 = L 4L| = �4 e _4 = L�4L| = �4 . Explicitando os campos elétrico e magnético em termos de parâmetros físicos usuais

relacionados por

� = -/�, � = 1�(1 − �²) e ~ = �� , (7.92)

para

�4 = (�7� − �}9, 7S − S°9) , onde S° = S°(±) é a posição da carga no tempo retardado (ou avançado) �} e ~ = S − S°7�}9 . (7.93)

Os campos potenciais serão usados nos formatos

{} = �� − ~ ⋅ -/�)�} (7.94) e

`} = �-�(� − ~ ⋅ -/�)�} (7.95) são válidos para os campos retardados ou avançados. A condição �4�4 = 0 leva a

��7� − �}9� = 7S − S}9� = �� (7.96)

onde S} = S(�}) é a posição da carga no instante �}. Como � = �S − S}�, resulta

�} = � ∓ �� (7.97)

onde os sinais negativo ou positivo remetem aos tempos retardado ou avançado,

respectivamente.

A equação (7.89) do movimento hiperbólico na forma paramétrica pode ser colocada

na forma de trajetória em função do tempo. Para o movimento ao longo do eixo com as

condições iniciais � = �³ e �� = 0 fica

7�}9 = �´³� + �}� (7.98)

com velocidade

�7�}9 = ��}�³� + �}� (7.99)

93

e aceleração

_7�}9 = �³�7³� + �}�9#/� (7.100)

para ³ = �/_ = 1/Q.

A equação (7.96) fica

��7� − �}9� = 7 − }9� + �� + �� = �� (7.101)

isto é, ��7�� − 2��} + �}�9 = � − 2 } + }� + �� + �� = ��

e, usando a equação da trajetória (7.98),

���� − 2����} + ���}� = H� − 2 �´³� + �}� + ��7³� + �}�9 , que pode ser rearranjada para

2 �´³� + �}� = (H� + ��³� − ����) + 2����} . Quadrando os dois lados, resulta 4 ���7³� + �}�9 = (H� + ��³� − ����)� + 4���(H� + ��³� − ����)�} + 4�����}� , uma equação algébrica de segundo grau em �}, 4��( � − ����)�}� − 4���(H� + ��³� − ����)�} + 4 ���³� − (H� + ��³� − ����)� = 0 , cujas soluções são

��} = ��(H� + ��³� − ����)2( � − ����) ∓ �(H� + ��³� − ����)� − ( � − ����)4��³�2( � − ����) . (7.102)

Considere �� = H� − � = �� + ��

e ∆= (H� + ��³� − ����)� − ( � − ����)4��³�= (H� − ��³� − ����)� + 4����³� . Então, para ¶ = �(H� − ��³� − ����)� + 4����³� = �(H� + ��³� − ����)� − ( � − ����)4��³� , (7.103)

a equação (7.102) fica

��} = ��(H� + ��³� − ����) ∓ ¶2( � − ����) . Definindo mais um parâmetro auxiliar,

94

· = H� + ��³� − ���� (7.104)

resulta

��} = ��· ∓ ¶2( � − ����) . (7.105)

Veja que, usando a definição (7.104), o parâmetro ¶ fica ¶ = �·� − 4��³�( � − ����) . (7.106)

Para o movimento hiperbólico ao longo do eixo z, equações (7.98-7.100), o vetor

(7.93) fica

~ = S − 7�}9@0 = �@% + �@/ + $ − �´³� + �}�& @0 (7.107)

e, portanto, ~ ∙ -� = x �³� + �}� − �z �} . (7.108)

Como

³� + �}� = 4��³�( � − ����)�4��( � − ����)� + (��· ∓ ¶)�4��( � − ����)� e, da equação (7.106), 4��³�( � − ����) = ·� − ¶� , (7.109)

então, após alguns cálculos, pode-se obter

³� + �}� = ·� � + ¶����� ∓ 2�� ¶·4��( � − ����)� , ou seja,

³� + �}� = (· ∓ ¶��)�4��( � − ����)� . (7.110)

Para o tempo retardado �} = ����, � = �(� − ���� ) , e, das equações (7.105) e (7.108),

� − ~ ∙ -� = �� − �}�³� + �}� = �� − ¸4( � − ����)�(· ∓ ¶��)� ��· ∓ ¶2( � − ����) . Das equações (7.106) e (7.109), ¶ > 0 e � > ���� ⇔ ·� > ¶�

ou

95

� < ���� ⇔ ·� < ¶� , de modo que

� − ~ ∙ -� = ±¶( � − ����)(· ∓ ¶��) . Substituindo nas equações (7.94) e (7.95), resulta a componente escalar

M���� = �� − ~ ⋅ -/�)���� = � (· ∓ ¶��)±¶( � − ����)

e a componente espacial não nula

M���# = ��� (� − ~ ⋅ -� )¹}

= � ∓ ¶ + ��·±¶( � − ����) , que podem ser colocados nas formas

M���� = ±� ·¶ ( � − ����) − � ��( � − ����)

e

M���# = ±� ·¶ ��( � − ����) − � � �( � − ����) , dependentes apenas das coordenadas atuais do espaço-tempo.

Veja que, para

º = 12 ln| � − ����| , as componentes do potencial podem ser escritas como

M���� = ±� ·¶ ( � − ����) + � Yº�Y�

e

M���# = ±� ·¶ ��( � − ����) − � YºY . Podem ser simplificadas considerando a transformação de gauge M4 → M4 − �Y4º ,

resultando as expressões finais

M���� = � ·¶ ( � − ����) (7.111)

e

M���# = � ·¶ ��( � − ����) (7.112)

96

onde ·¶ = H� + ��³� − �����(H� + ��³� − ����)� − 4��³�( � − ����) , (7.113)

os sinais (±) absorvidos na carga.

Os campos elétrico e magnético podem ser obtidos calculando

P8 = h8� = Y8M� − Y�M8 = − YM�Y�8 − YM8Y�� (7.114)

e

R8 = −hbc = −YbMc + YcMb = YMcY�b − YMbY�c . (7.115)

A componente P% do campo elétrico fica

P% = − YM�Y� = � � YY� $·¶&� ( � − ����)

onde YY� $·¶& = 2�¶ − ·¶� = − 8��³��( � − ����)¶#

e, portanto

P% = 8���³�� ¶# . (7.116)

De forma similar,

P/ = 8���³�� ¶# . (7.117)

Para a componente

P0 = − YM�Y − YM#�Y�

as derivações são mais trabalhosas. Assim, YM�Y = � YY $·¶& ( � − ����) + � ·¶ YY � ( � − ����)� para YY $·¶& = 4��³� (�� + �� − � + ���� + ��³�)¶#

e YY � ( � − ����)� = − ( � + ����)( � − ����)�

resultando

97

YM�Y = � 4��³� �(�� + �� − � + ���� + ��³�)¶#( � − ����) − � ·¶ ( � + ����)( � − ����)� . Para YM#�Y� = � Y�Y� �·¶ ��( � − ����)� = � Y�Y� (·¶) ��( � − ����) + � ·¶ Y�Y� � ��( � − ����)� ,

usando Y�Y� $·¶& = − 4�#�³�(�� + �� − � + ���� + ��³�)¶#

e Y�Y� � ��( � − ����)� = ( � + ����)( � − ����)�

resulta YM��Y� = −� 4����³�(�� + �� − � + ���� + ��³�)¶#( � − ����) + � ·¶ ( � + ����)( � − ����)� . Somando as duas contribuições,

P0 = −� 4��³�(�� + �� − � + ���� + ��³�)¶# . (7.118)

A equação (7.115) fornece as componentes do campo magnético,

:>>;>><R% = R" = YM#Y� − YM�Y R/ = R� = YM"Y − YM#Y� R0 = R# = YM�Y� − YM"Y�

.

Como a única componente espacial não nula do potencial vetor é M#, equação (7.112),

resultam

R% = � YY� $·¶& ��( � − ����) = −� 8��³����¶# (7.119)

e

R/ = −� YY� $·¶& ��( � − ����) = � 8��³����¶# . (7.120)

A componente z é nula,

R0 = 0 . (7.121)

98

O campo elétrico, em componentes cilíndricas não nulas (P¾ = 0), fica

Pl = 8���³�� ¶# P0 = −� 4��³�(�� + �� − � + ���� + ��³�)¶#

(7.122)

e o campo magnético, G = −� 8��³����¶# �J + � 8��³����¶# �J = −8��³�� ���(«@CI�J − �X«I�J)¶#

ou, simplesmente,

G = 8��³�� ���¶# IJ (7.123)

para + �� > 0 e ¶ = �(H� + ��³� − ����)� − 4��³�( � − ����) .

A restrição (7.124) leva em conta a velocidade finita de propagação do campo

eletromagnético, que deve ocorrer à velocidade da luz. Os campos E e B aqui considerados

são devidos a uma carga descrevendo um movimento hiperbólico, percorrendo o eixo z de → +∞ no instante � → −∞ quando a velocidade é � → −�, desacelerando até o instante � = 0 quando a velocidade se anula, � = 0, na posição = �³ > 0, retornando para →+∞.

A figura 7.5 ilustra a evolução temporal do campo elétrico de uma carga em

movimento hiperbólico no intervalo −15 ≤ �� ≤ 20, para a aceleração própria _/�² = 0,5

em unidades de À⁻¹, onde À é uma unidade arbitrária de distância. Em � → −∞, a carga fonte

está praticamente à velocidade da luz e o campo elétrico está confinado no plano ��. O

movimento é desacelerado entre −∞ ≤ �� ≤ 0 e a frente plana do campo elétrico avança à

velocidade da luz. Em � = 0 a carga reverte o movimento, acelerado entre 0 ≤ �� ≤ ∞,

iniciando o movimento de retorno para → +∞. A frente do campo elétrico continua

avançando à velocidade da luz, desvinculando-se da carga, configurando o campo de

aceleração. Outra parte do campo permanece solidária à carga fonte, acompanhando o seu

movimento, característica do campo de velocidade.

Nota técnica:

As configurações espaciais dos campos elétricos das figuras 7.1 a 7.3 e dos

quadros da figura 7.5 foram obtidas através de simulações baseadas no Método de

Monte Carlo e a técnica de rejeição de Neumann para obter as distribuições

proporcionais às intensidades dos campos. As orientações espaciais são indicadas por

segmentos de reta de igual comprimento ë, as extremidades ancoradas nos pontos (�, ) e (� + Ã�, + à ) para Ã� = ë ∙ «ZCÄ e à = ë ∙ �X«Ä, o ângulo Ä dado pela

relação P%/P0 = �_CÄ. Cada quadro contem da ordem de três mil pontos, as cores

atribuídas aleatoriamente para encobrir os efeitos de saturação no entorno do ponto de

divergência do campo elétrico. As simulações são configuradas em quadros de

99

dimensões 40À × 40À, onde À é uma unidade arbitrária de distância. As acelerações são

dadas em _/�², cuja unidade é À⁻¹.

�� = −15 �� = −10 �� = −5

�� = 19 Evolução temporal �� = 0

�� = 15 �� = 10 �� = 5

Figura 7.5: Evolução temporal do campo elétrico de uma carga em movimento

hiperbólico no intervalo −15 ≤ �� ≤ 20, aceleração própria _/�² = 0,5 em unidades de À⁻¹,

onde À é uma unidade arbitrária de distância.

Exercícios

1. Mostre que a equação de movimento baseada na força de Lorentz, LWL� = �N + �� - × G , é uma equação relativisticamente covariante.

100

2. O campo elétrico devido a um fio infinitamente longo e eletrizado com densidade

linear de carga λ é, em módulo,

P = 2QH , onde r é a distância radial ao longo do fio. Deduza, a partir desta informação, a lei de indução

do campo magnético devido a uma corrente I em um fio reto infinito (Vá a um outro

referencial, que se mova paralelamente ao fio).

3. Obtenha a trajetória de uma partícula com carga elétrica q após penetrar, com

velocidade v, uma região com campo magnético uniforme B, em trajetória perpendicular ao

campo.

4. Determine a trajetória, relativística, de uma partícula com carga elétrica q na

presença de um campo elétrico uniforme E, supondo a velocidade inicial nula.

5. Obtenha os campos elétrico e magnético de uma carga pontual em movimento

retilíneo uniforme, usando a expressão dos campos retardados. Compare com os campos

obtidos usando as transformações de Lorentz.

6. Obtenha os campos elétrico e magnético de uma carga pontual executando um

movimento hiperbólico.

Bibliografia

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