Dinamica Relativistica - Fondazione Occhialini Maggio Corso Fossombrone 2011.pdfDOMENICO GALLI -...

Dinamica Relativistica

Relatività, Energia e Ambiente Fossombrone (PU), Polo Scolastico “L. Donati”, 23 maggio 2011

http://www.fondazioneocchialini.it

Prof. Domenico Galli Alma Mater Studiorum – Università di Bologna

La Generalizzazione Relativistica delle Leggi della Meccanica

•! Principio d’inerzia ereditato dalla meccanica classica:

–! Definisce la classe dei SdR inerziali e ne postula l’esistenza.

•! Covarianza rispetto alle trasformazioni di Lorentz:

–! La nuova legge così soddisferà, automaticamente, il principio di relatività ed il postulato dell’invarianza della velocità della luce.

•! Validità del principio di corrispondenza:

–! Grandezze e le leggi fisiche, nella loro nuova formulazione, devono ricondursi a quelle classiche nel limite di velocità piccole rispetto a quella della luce.

DOMENICO GALLI - Dinamica Relativistica! 2!

Conservazione della Quantità di Moto

•! Consideriamo l’urto elastico in figura tra due sfere di uguale massa m.

•! Consideriamo un SdR S in cui le due sfere abbiano inizialmente velocità opposte:

•! Quando le due sfere urtano, per i loro centri passa una retta parallela all’asse y.

•! La forza d’urto F è perciò parallela all’asse y.

•! Nell’urto si invertono perciò le componenti y delle velocità, mentre le componenti x restano invariate.

DOMENICO GALLI - Dinamica Relativistica!

!v iy1( )!

v i1( )

!v ix1( )!

v f1( )

!v fx1( )

!v fy1( )

!v i2( )

!v ix2( )

!v iy2( )

!v f2( )!

v fy2( )

!v fx2( )

y

x

!F2!1

!F1!2

!v i

1( ) = ! !v i2( ) "

!v i

2( ) = aı̂ + b!̂!v i

1( ) = !aı̂ ! b!̂

#$%

&%

3!

Conservazione della Quantità di Moto (II)

•! In termini matematici:

•! La quantità di moto totale prima dell’urto è:

•! Mentre dopo l’urto è:

•! Dunque la quantità di moto si conserva nell’urto.


!Qi = m!v i

1( ) + m!v i2( ) =

= m !aı̂ ! b!̂"# $% + m aı̂ + b!̂"# $% =!0

!Qf = m!v f

1( ) + m!v f2( ) =

= m !aı̂ + b!̂"# $% + m aı̂ ! b!̂"# $% =!0

!v i

1( ) = !aı̂ ! b!̂!v i

2( ) = aı̂ + b!̂

"#$

%$

!v f

1( ) = !aı̂ + b!̂!v f

2( ) = aı̂ ! b!̂

"#$

%$

4!

!v iy1( )!

v i1( )

!v ix1( )!

v f1( )

!v fx1( )

!v fy1( )

!v i2( )

!v ix2( )

!v iy2( )

!v f2( )!

v fy2( )

!v fx2( )

y

x

!F2!1

!F1!2

Trasformazioni di Galileo

•! Consideriamo ora lo stesso urto, visto in un SdR S! che si muove lungo l’asse x, con velocità V = a rispetto a S, utilizzando le trasformazioni di Galileo:


!!v iy1( )!!v i

1( )

!!v ix1( )

!!v f1( )

!!v fx1( )

!!v fy1( )

!!v i2( )

!!v f2( )

!x

!y

!v iy1( )!

v i1( )

!v ix1( )!

v f1( )

!v fx1( )

!v fy1( )

!v i2( )

!v ix2( )

!v iy2( )

!v f2( )!

v fy2( )

!v fx2( )

y

x

!F2!1

!F1!2

!y!V = !v0x

2( )

!v ix1( ) = v ix

1( ) "V = "a " a = "2a

!v iy1( ) = v iy

1( ) = "b

#$%

&%

!v ix2( ) = v ix

2( ) "V = a " a = 0

!v iy2( ) = v iy

2( ) = b

#$%

&%

!v fx1( ) = v fx

1( ) "V = "a " a = "2a

!v fy1( ) = v fy

1( ) = b

#$%

&%

!v fx2( ) = v fx

2( ) "V = a " a = 0

!v fy2( ) = v fy

2( ) = "b

#$%

&%5!

Trasformazioni di Galileo (II)

•! Per quanto riguarda la quantità di moto:

•! Confrontando:


!Qix = m !v ix1( ) + m !v ix

2( ) = "2ma + 0 = "2ma

!Qiy = m !v iy1( ) + m !v iy

2( ) = "mb + mb = 0

#$%

&%

!Qfx = m !v fx1( ) + m !v fx

2( ) = "2ma + 0 = "2ma

!Qfy = m !v fy1( ) + m !v fy

2( ) = +mb " mb = 0

#$%

&%

!Qix = !Qfx

!Qiy = !Qfy

"#$

%$&!!Qi =!!Qf

6!

!!v iy1( )!!v i

1( )

!!v ix1( )

!!v f1( )

!!v fx1( )

!!v fy1( )

!!v i2( )

!!v f2( )

!x

!y

!v iy1( )!

v i1( )

!v ix1( )!

v f1( )

!v fx1( )

!v fy1( )

!v i2( )

!v ix2( )

!v iy2( )

!v f2( )!

v fy2( )

!v fx2( )

y

x

!F2!1

!F1!2

!y!V = !v0x

2( )

Trasformazioni di Galileo (III)

•! La quantità di moto “classica” si conserva nell’urto anche nel SdR S!.

•! Dunque la quantità di moto “classica”:

si conserva nell’urto in entrambi i SdR considerati.


!

Q = m1

!v1 + m2

!v2

7!

!!v iy1( )!!v i

1( )

!!v ix1( )

!!v f1( )

!!v fx1( )

!!v fy1( )

!!v i2( )

!!v f2( )

!x

!y

!v iy1( )!

v i1( )

!v ix1( )!

v f1( )

!v fx1( )

!v fy1( )

!v i2( )

!v ix2( )

!v iy2( )

!v f2( )!

v fy2( )

!v fx2( )

y

x

!F2!1

!F1!2

!y!V = !v0x

2( )•! Consideriamo ora lo stesso urto, visto nel SdR S! che si muove, con

velocità V = a rispetto a S, utilizzando le trasformazioni di Lorentz:


!v ix1( ) =v ix1( ) "V

1" Vc2v ix1( )=

"a " a

1" ac2

"a( )=

"2a

1+ a2

c2

!v iy1( ) =

1#

v iy1( )

1" Vc2v ix1( )=1#

"b

1" ac2

"a( )=1#

"b

1+ a2

c2

$

%

&&&&

'

&&&&

!v ix2( ) =

v ix2( ) "V

1" Vc2v ix2( )=a " a

1" ac2a= 0

!v iy2( ) =

1#

v iy2( )

1" Vc2v ix2( )=1#

b

1" ac2a=1#

b

1" a2

c2

$

%

&&&

'

&&&&

! =1

1" V 2

c2

8!

!!v iy1( )!!v i

1( )

!!v ix1( )

!!v f1( )

!!v fx1( )

!!v fy1( )

!!v i2( )

!!v f2( )

!x

!y

!v iy1( )!

v i1( )

!v ix1( )!

v f1( )

!v fx1( )

!v fy1( )

!v i2( )

!v ix2( )

!v iy2( )

!v f2( )!

v fy2( )

!v fx2( )

y

x

!F2!1

!F1!2

!y!V = !v0x

2( )

Trasformazioni di Lorentz !vx =vx "V

1" Vc2vx

, !v y =1#

v y

1" Vc2vx

, !v z =1#

v z

1" Vc2vx

•! Analogamente, per le velocità finali:


!v fx1( ) =v fx1( ) "V

1" Vc2v fx1( )=

"a " a

1" ac2

"a( )=

"2a

1+ a2

c2

!v fy1( ) =

1#

v fy1( )

1" Vc2v fx1( )=1#

b

1" ac2

"a( )=1#

b

1+ a2

c2

$

%

&&&&

'

&&&&

!v fx2( ) =

v fx2( ) "V

1" Vc2v fx2( )=a " a

1" ac2a= 0

!v fy2( ) =

1#

v fy2( )

1" Vc2v fx2( )=1#

"b

1" ac2a=1#

"b

1" a2

c2

$

%

&&&&

'

&&&&

9!

!!v iy1( )!!v i

1( )

!!v ix1( )

!!v f1( )

!!v fx1( )

!!v fy1( )

!!v i2( )

!!v f2( )

!x

!y

!v iy1( )!

v i1( )

!v ix1( )!

v f1( )

!v fx1( )

!v fy1( )

!v i2( )

!v ix2( )

!v iy2( )

!v f2( )!

v fy2( )

!v fx2( )

y

x

!F2!1

!F1!2

!y!V = !v0x

2( )

! =1

1" V 2

c2

Trasformazioni di Lorentz (II) !vx =vx "V

1" Vc2vx

, !v y =1#

v y

1" Vc2vx

, !v z =1#

v z

1" Vc2vx

•! Per quanto riguarda la quantità di moto:


!v ix1( ) =

"2a

1+ a2

c2

!v ix2( ) = 0

!v iy1( ) =

1#

"b

1+ a2

c2

!v iy2( ) =

1#

b

1" a2

c2

$

%

&&&

'

&&&

!v fx1( ) =

"2a

1+ a2

c2

!v fx2( ) = 0

!v fy1( ) =

1#

b

1+ a2

c2

!v fy2( ) =

1#

"b

1" a2

c2

$

%

&&&

'

&&&

!Qix ="2ma

1+ a2

c2

+ 0

!Qiy =1#

"mb

1+ a2

c2

+1#mb

1" a2

c2

$

%

&&&

'

&&&

!Qfx ="2ma

1+ a2

c2

+ 0

!Qfy =1#mb

1+ a2

c2

+1#

"mb

1" a2

c2

$

%

&&&

'

&&&

10!

!!v iy1( )!!v i

1( )

!!v ix1( )

!!v f1( )

!!v fx1( )

!!v fy1( )

!!v i2( )

!!v f2( )

!x

!y

!v iy1( )!

v i1( )

!v ix1( )!

v f1( )

!v fx1( )

!v fy1( )

!v i2( )

!v ix2( )

!v iy2( )

!v f2( )!

v fy2( )

!v fx2( )

y

x

!F2!1

!F1!2

!y!V = !v0x

2( )

! =1

1" V 2

c2

Trasformazioni di Lorentz (III)

•! Da cui:

•! Perciò:


!Qix = "2ma

1+ a2

c2

!Qiy =mb#

"1

1+ a2

c2

+1

1" a2

c2

$

%

&&&

'

(

)))

*

+

,,,,

-

,,,,

!Qfx = "2ma

1+ a2

c2

!Qfy =mb#

1

1+ a2

c2

"1

1" a2

c2

$

%

&&&

'

(

)))

*

+

,,,,

-

,,,,

!Qix = !Qfx

!Qiy " !Qfy

#$%

&%'!!Qi "!!Qf

11!

!!v iy1( )!!v i

1( )

!!v ix1( )

!!v f1( )

!!v fx1( )

!!v fy1( )

!!v i2( )

!!v f2( )

!x

!y

!v iy1( )!

v i1( )

!v ix1( )!

v f1( )

!v fx1( )

!v fy1( )

!v i2( )

!v ix2( )

!v iy2( )

!v f2( )!

v fy2( )

!v fx2( )

y

x

!F2!1

!F1!2

!y!V = !v0x

2( )

Trasformazioni di Lorentz (IV)

! =1

1" V 2

c2

Trasformazioni di Lorentz (V)

•! La quantità di moto non si conserva nell’urto nel SdR S!, utilizzando le trasformazioni di Lorentz.

•! Dunque la quantità di moto “classica”:

si conserva nell’urto nel SdR S ma non nel SdR S!, se si utilizzano le trasformazioni di Lorentz per passare da un SdR all’altro.


!

Q = m1

!v1 + m2

!v2

12!

!!v iy1( )!!v i

1( )

!!v ix1( )

!!v f1( )

!!v fx1( )

!!v fy1( )

!!v i2( )

!!v f2( )

!x

!y

!v iy1( )!

v i1( )

!v ix1( )!

v f1( )

!v fx1( )

!v fy1( )

!v i2( )

!v ix2( )

!v iy2( )

!v f2( )!

v fy2( )

!v fx2( )

y

x

!F2!1

!F1!2

!y!V = !v0x

2( )

Quantità di Moto Relativistica

•! Per far sì che il principio di conservazione della quantità di moto sia valido in tutti i SdR è necessario ri-definire la quantità di moto.

•! Cerchiamo allora una nuova definizione di quantità di moto che:

–! Sia invariante per trasformazioni di Lorentz;

–! Si riduca all’espressione classica nel limite v << c (principio di corrispondenza).

•! Occorre che la componente y della quantità di moto sia indipendente dalla componente x della velocità del SdR in cui si osserva l’urto.


Quantità di Moto Relativistica (II)

•! La componente y della quantità di moto classica si scrive, per un singolo punto materiale:

•! Il numeratore !y non cambia passando a un SdR in moto relativo lungo x, mentre cambia !t.

•! Potremmo allora prendere il tempo proprio " invece del tempo t, perché !! non cambia:


Qyclassica( ) = mv y = m

!y!t

!t = "!# = !#

1$ v2

c2

Qyrelativistica( ) = m !y

!#= m" !y

!t= "mv y =

mv y

1$ v2

c2

! =1

1" v 2

c2

14!

Quantità di Moto Relativistica (III)

•! Definiamo quindi la quantità di moto relativistica:

•! Poiché risulta:

si ha:

•! Dunque il principio di corrispondenza è soddisfatto.


!

Q = ! m!v = mc!!"

! =1

1" v 2

c2

v!c# $## 1

!

Q = ! m!v v"c" #"" m!v

! =1

1" v2

c2

,!# =!vc

15!

Quantità di Moto Relativistica (IV)

•! La quantità di moto relativistica così definita:

si conserva negli urti in tutti i SdR inerziali.


!

Q = ! m!v = mc!!"

16!

! =1

1" v2

c2

,!# =!vc

Massa Relativistica

•! Possiamo anche esprimere la quantità di moto relativistica (detta m0 la “massa classica”) come:

come:

dove la quantità:

è detta massa relativistica.


!

Q = ! m0

!v = m0c!

!"

!

Q = m v( ) !v

m v( ) = ! m0 =m0

1" v 2

c2

17!

Massa Relativistica (II)

•! Nell’espressione della massa relativistica:

la “massa classica” m0 è anche la massa nel SdR in cui il corpo è in quiete.

•! La massa m0 è perciò detta massa a riposo o massa invariante: –! È invariante per

trasformazioni di Lorentz in quanto, per definizione, è la massa nel SdR in cui il corpo è in quiete.


m v( ) = ! m0 =m0

1" v 2

c2

18!

Massa Relativistica (III)

•! L’aumento relativistico della massa:

–! È stato verificato in vari esperimenti di deflessione di elettroni;

–! È verificato inoltre nel funzionamento di tutti gli acceleratori di particelle.


m v( ) = ! m0 =m0

1" v 2

c2

19!

Il Secondo Principio della Dinamica

•! Il Secondo Principio della Dinamica, detto anche Legge di Newton, si scrive:

•! In meccanica classica (essendo m costante) si può scrivere anche nella forma:

•! In meccanica relativistica è necessario considerare la dipendenza della massa dalla velocità:

per cui forza e accelerazione non hanno più la stessa direzione. DOMENICO GALLI - Dinamica Relativistica! 20!

!F = d

!Qdt,

!Q = m!v

!F = d

!Qdt

= ddtm!v( ) = md

!vdt

= m!a

!F = d

!Qdt

= ddtm v( ) !v!" #$ = m v( )d

!vdt

+dm v( )dt!v = m v( ) !a + dm v( )

dt!v

Il Secondo Principio della Dinamica (II)

•! Utilizzando la massa a riposo m0, si può scrivere:

•! Calcolando la derivata di " si ha:


!Q = m v( ) !v = !m0

!v

!F = d

!Qdt

= ddt

!m0!v( ) = m0 d!dt

!v + ! d

!vdt

"#$

%&'= m0

d!dt!v + ! !a

"#$

%&'

d!dt

= ddt

1

1" v2

c2

= ddt1" v

2

c2#

$%&

'(

"12

= " 121" v

2

c2#

$%&

'(

"32

" 1c22!v ) !a

#$%

&'(=

= ! 3!v ) !ac2

ddtv 2 = d

dt!v ! !v( ) =

= !v ! d!vdt

+ d!vdt

! !v =

= !v ! !a + !a ! !v == 2!v ! !a

Il Secondo Principio della Dinamica (III)

•! Avremo quindi:

•! Infine:

•! La forza ha una componente parallela all’accelerazione e una componente parallela alla velocità.


!F = d

!Qdt

= ddt

!m0!v( ) = m0 d!dt

!v + ! !a

"#$

%&'= m0!

3!v ( !ac2!v + m0!

!a

d!dt

= ! 3!v " !ac2

!F = m0!

3!v " !ac2!v + m0!

!a

Energia Relativistica

•! Consideriamo l’identità matematica:

•! La quantità è un invariante per trasformazioni di Lorentz, essendo sempre uguale a 1.

•! Moltiplicando la ambo i membri della relazione per m02c4

(pure invariante per trasformazioni di Lorentz) si ottiene:


1=1! v

2

c2

1! v2

c2

= 1

1! v2

c2" 2!

!

v 2

c2

1! v2

c2#2" 2!

$ " 2 ! # 2" 2 = 1

!2 " # 2! 2

!2 " # 2! 2 = 1

m0

2c4 ! 2 " # 2! 2( ) = m02c4

23!

Energia Relativistica (II)

•! Ricordando che , ovvero:

si ottiene, per quanto visto:

•! Consideriamo ora nel primo termine la quantità . Nel limite non relativistico v << c si ha:


Q = ! m0v = m0c! "

m02c4 ! 2 " # 2! 2( ) = m02c4m02c4! 2 " m0

2c4# 2! 2 = m02c4

m02c4! 2 "Q2c2 = m0

2c4

Q2 = m0

2c2! 2 " 2

! m0c2

24!

!m0c2 =

m0c2

1" v2

c2

! m0c2 1+

12v 2

c2#

$%&

'(= m0c

2 +12m0v

2 v " c( )

11! x

x"0# "## 1+12

x

Energia Relativistica (III)

•! Nel II termine riconosciamo l’energia cinetica classica Tc.

•! Possiamo allora definire l’energia totale relativistica come:


E = ! m0c2 =

m0c2

1" v 2

c2

25!

!m0c2 ! m0c

2 +12m0v

2

Tc"#$

v % c( )

Energia Relativistica (IV)

•! Potremo scrivere la precedente identità invariante:

come:

•! Essendo il II membro invariante per trasformazioni di Lorentz, anche il I membro è invariante:


m02c4! 2 " Q2c2 = m0

2c4

E2 ! Q2c2 = m0

2c4

!E 2 " !Q 2c2 = E2 " Q2c2

26!

Energia Relativistica (V)

•! I 3 termini dell’equazione:

hanno tutti le dimensioni di un’energia al quadrato.

•! Il termine:

è l’energia che il corpo possiede quando la sua velocità è nulla. È detto perciò energia a riposo.


E2 ! Q2c2 = m0

2c4

E0 = m0c2

27!

Energia Relativistica (VI)

•! L’energia cinetica relativistica si può scrivere come:

•! Come abbiamo visto:


Tr = E ! E0 = E ! m0c2 =

= "m0c2 ! m0c

2 =

= " !1( )m0c2

Tr =m0c

2

1! v2

c2

! m0c2

v <<c" #""

v <<c" #"" m0c2 1 +

12v 2

c2! 1

$

%&'

()

Tr v <<c" #"" Tc =12m0v

2

28!

Energia Relativistica (VII)

•! Si osservi inoltre che, dalle 2 definizioni:

dividendo la prima per la seconda e ricavando Q si ottiene:


!Q = !m0

!v

E = !m0c2

"#$

%$

!Q =

Ec2

!v

29!

Energia Relativistica (VIII)

•! Un corpo in quiete possiede un’energia non nulla:

–! Meccanica classica: l’energia è definita a meno di una costante additiva arbitraria.

–! La relatività fissa il valore di tale costante attribuendole un significato ben definito:

•! Quantità di energia contenuta nella massa del corpo.

•! Una parte dell’energia a riposo, o tutta, può trasformarsi in energia cinetica o in un’altra forma di energia.

•! Nuova legge di conservazione:

–! Generalizza le due leggi classiche di conservazione:

•! Massa;

•! Energia meccanica.


Conservazione dell’Energia Relativistica

•! Nella Fisica Classica l’energia meccanica si conserva.

•! Nella Chimica Classica si conserva la massa (legge di Lavoisier).

•! Nella Fisica Relativistica massa ed energia meccanica possono non conservarsi:

–! È possibile conversione di massa in energia o viceversa.

•! Tuttavia si conserva la somma dell’energia meccanica e della massa (quest’ultima moltiplicata per c2).


Conservazione dell’Energia Relativistica (II)

•! Nei processi (relativistici) tra nuclei o particelle subnucleari le trasformazioni di massa in energia cinetica avvengono continuamente:

–! P. es., una particella può decadere in due particelle più leggere (somma masse < massa madre) e più veloci:

•! Parte della massa della particella madre si è trasformata in energia cinetica.

–! Viceversa facendo scontrare 2 protoni ad altissima energia in un acceleratore di particelle si possono ottenere particelle di massa molto superiore alla somma delle masse dei 2 protoni:

•! Parte dell’energia cinetica si è trasformata in massa.


Trasformazione della Quantità di Moto e dell’Energia

•! Vogliamo ora trovare come cambiano quantità di moto ed energia nel passaggio da un SdR inerziale a un altro.

•! Abbiamo definito la quantità di moto relativistica come:

•! Inoltre, dalle definizioni di energia e tempo proprio:


Qx = m0

!x!"

, Qy = m0

!y!"

, Qz = m0

!z!"

!t = "!# =!#

1$ v2

c2

% " =!t!#

% E = "m0c2 = m0c

2 !t!#

33!

Trasformazione della Quantità di Moto e dell’Energia (II)

•! Dalle espressioni:

considerando che m0, c e !" sono invarianti per trasformazioni di Lorentz, si vede che le 4 grandezze:

si debbono trasformare, per trasformazioni di Lorentz, come le grandezze (c!t, !x, !y, !z), che costituiscono un quadrivettore.

•! Dunque anche la quaterna ordinata (4-impulso):

rappresenta un quadrivettore dello spazio di Minkowsky. DOMENICO GALLI - Dinamica Relativistica!

E = m0c2 !t!", Qx = m0

!x!", Qy = m0

!y!", Qz = m0

!z!"

Q = Ec,Qx ,Qy ,Qz

!"#

$%&=m0'(

c't,'x,'y,'z( )) c't,'x,'y,'z( ) = 's

Q = Ec,Qx ,Qy ,Qz

!"#

$%&

34!

Trasformazione della Quantità di Moto e dell’Energia (III)

•! Dunque dalle trasformazioni delle coordinate troviamo le trasformazioni di energia e quantità di moto, mediante una sostituzione:


ct!Ec

x! Qxy! Qyz! Qz

"

#

$$$

%

$$$

c &t = ' ct ( )x( )&x = ' x ( )ct( )&y = y&z = z

"

#

$$

%

$$

*

&Ec

= ' Ec( )Qx

+,-

./0

&Qx = ' Qx ( ) Ec

+,-

./0

&Qy = Qy&Qz = Qz

"

#

$$$$

%

$$$$

35!

Trasformazione della Quantità di Moto e dell’Energia (IV)

•! Avremo inoltre, per la norma di Minkowski quadrata del 4-vettore:


Q2= E

2

c2!Qx

2 !Qy2 !Qz

2 = E2

c2!Q2 = m0

2

36!

E2 ! Q2c2 = m0

2c4

Q2= m0

2

Trasformazione della Quantità di Moto e dell’Energia (V)

•! Avremo in conclusione, per le trasformazioni dirette e inverse:


!Ec

= " Ec# $Qx

%&'

()*

!Qx = " Qx # $ Ec

%&'

()*

!Qy = Qy

!Qz = Qz

+

,

----

.

----

Ec= " !E

c+ $ !Qx

%&'

()*

Qx = " !Qx + $ !Ec

%&'

()*

Qy = !Qy

Qz = !Qz

+

,

----

.

----

37!

Altri Quadrivettori

•! Ricordiamo che l’intervallo di tempo proprio !" di una particella in moto con velocità v (ovvero l’intervallo di tempo misurato nell’SdR in cui la particella è in quiete) si scrive:

dove !t è l’intervallo di tempo misurato nel SdR in cui la particella si muove con velocità v.

•! Utilizzando l’intervallo di tempo proprio !" si possono costruire altri quadrivettori (4-vettori): –! Tutti i quadrivettori si trasformano, per Trasformazioni di Lorentz, come

il quadrivettore (ct, x, y, z);

–! Per trovare le leggi di trasformazione è sufficiente sostituire le componenti, come abbiamo fatto per il 4-vettore energia-impulso.


!" = !t#

= !t 1$ v2

c2

Ec

,Qx ,Qy ,Qz

!"#

$%&

Quadri-Velocità

•! La 4-velocità è definita come il 4-vettore:

•! La 4-velocità è un 4-vettore tangente alla linea di universo nello spazio di Minkowski.

•! Si ha inoltre la relazione tra 4-impulso e 4-velocità:


!" = !t#

= !t 1$ v2

c2

u = dd!

ct,x, y, z( ) = d

1" v2

c2dt

ct,x, y, z( ) = # ddtct,x, y, z( ) = # c,#vx ,#v y ,#v z( )

u = dd!

ct,x, y, z( ) = " c,vx ,v y ,v z( ) = " c, !v( )

Q = Ec,!Q

!"#

$%&= 'm0c,'m0

!v( ) = m0' c, !v( ) = m0u

Quadri-Velocità (II)

•! La norma di Minkowski quadrata della 4-velocità:

è data da:

•! Tutti i corpi si muovono nello spazio-tempo alla velocità della luce: –! Un oggetto in quiete nello spazio si muove comunque nel tempo;

–! Se un oggetto si muove più velocemente nello spazio allora si muove più lentamente nel tempo (dilatazione del tempo).


u = dd!

ct,x, y, z( ) = " c,vx ,v y ,v z( )

u2= ! 2 c2 "vx

2 "v y2 "v z

2( ) = ! 2 c2 "v 2( ) = ! 2c2 1" v2

c2#

$%&

'(= c2

1" v2

c2

1" v2

c2

= c2

u2= c2

Quadri-Accelerazione

•! La 4-accelerazione è definita come il 4-vettore:

•! Sviluppando si ha:


!" = !t#

= !t 1$ v2

c2

d#dt

= # 3!v % !ac2

a = dud!

= " ddt

" c,"vx ,"v y ,"v z( ) = " ddt

" c," !v( )

a = ! ddt

! c,!vx ,!v y ,!v z( ) == ! d!

dtc, d!dtvx + !

dvxdt, d!dtv y + !

dv ydt, d!dtv z + !

dv zdt

"

#$

%

&' =

= ! 4!v ( !ac, ! 4!v ( !ac2vx + !

2ax , !4!v ( !ac2v y + !

2ay , !4!v ( !ac2v z + !

2az"#$

%&'=

= ! 4!v ( !ac, ! 4!v ( !ac2!v + ! 2 !a

"#$

%&'

Quadri-Accelerazione (II)

•! Avremo quindi, per la 4-accelerazione :

•! La 4-accelerazione è il 4-vettore normale alla linea di universo. •! Derivando l’espressione:

rispetto a ! si ha inoltre:

•! I 4-vettori velocità e accelerazione sono sempre ortogonali tra loro.


a = dud!

= " ddt

" c," !v( ) = " 4!v # !ac, " 4!v # !ac2!v + " 2 !a

$%&

'()

u2= u !u = c2

dud!

"u = 0

a !u = 0

Quadri-Forza

•! La 4-forza è definita come il 4-vettore:

•! Data la definizione di Energia e Quantità di Moto relativistica, si ha:


F = dQd!

= " ddt

Ec,!Q

#$%

&'(

F = dQd!

= " ddt

Ec,!Q

#$%

&'(= " ddt

"m0c,"m0!v( ) = m0" ddt " c," !v( ) = m0a

F = m0a

!Q = !m0

!v

E = !m0c2

"#$

%$

a = dud&

= ! ddt

! c,! !v( )

Quadri-Forza (II)

•! Si ricordi che, per il Secondo Principio della Dinamica si ha, per i 3-vettori:

per cui la potenza (lavoro per unità di tempo) si scrive:


a = dud!

= " ddt

" c," !v( )!F = m0!

3!v " !ac2!v + m0!

!a

!F ! !v = m0"

3!v ! !a v2

c2+ m0"

!a ! !v = m0"3!v ! !a v

2

c2+ 1" 2

#

$%

&

'( =

= m0"3!v ! !a v

2

c2+ 1) v

2

c2*

+,-

./#

$%%

&

'((= m0"

3!v ! !a

Quadri-Forza (III)

•! La 4-forza si può scrivere come:

•! Si ha pertanto:

•! La componente temporale della 4-forza è legata al lavoro compiuto dalla forza per unità di tempo.


!F = m0!

3!v " !ac2!v + m0!

!a!F " !v = m0!

3!v " !a

a = dud!

= " ddt

" c," !v( ) = " 4!v # !ac, " 4!v # !ac2!v + " 2 !a

$%&

'()

F = m0a = m0 ! 4!v " !ac, ! 4!v " !ac2!v + ! 2 !a

#$%

&'(= m0!

4!v " !ac, m0!

4!v " !ac2!v + m0!

2 !a#$%

&'(

F = m0!4!v " !ac, m0!

4!v " !ac2!v + m0!

2 !a#$%

&'(=

!c!F " !v,!

!F

#$%

&'(

F = !c!F " !v, !

!F

#$%

&'(

Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

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