Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De...
Transcript of Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De...
Capitolul 1
Conice
1.1 Dreapta ın plan
Fie {O,Ð→i ,Ð→j } un reper cartezian ortogonal ın plan. Ecuatia canonicaa dreptei determinata de punctul M0(x0, y0) si de vectorul director Ð→v =lÐ→i +mÐ→j (cu l2 +m2 > 0) este
x − x0
l= y − y0
m
sau echivalentmx − ly −mx0 + ly0 = 0
Notand a =m, b = −l si c = −mx0 + ly0, obtinem ecuatia
ax + by + c = 0
cu a2+b2 > 0, ecuatie care se numeste ecuatia generala a dreptei ın plan.Daca egalam rapoartele din ecuatia dreptei cu λ:
x − x0
l= y − y0
m= λ
se obtin ecuatiile parametrice ale dreptei:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 + λly = y0 + λm
De asemenea ecuatia canonica a dreptei determinata de doua puncteM1(x1, y1) si M2(x2, y2) este:
x − x1
x2 − x1
= y − y1
y2 − y1
1
ecuatie care se poate rescrie
RRRRRRRRRRRRRR
x y 1x1 y1 1x2 y2 1
RRRRRRRRRRRRRR= 0
Cazuri particulare
� Ecuatia axei Ox: y = 0
� Ecuatia unei drepte paralele cu Ox: y = y0
� Ecuatia axei Oy: x = 0
� Ecuatia unei drepte paralele cu Oy: x = x0
� Ecuatia primei bisectoare: y = x
� Ecuatia celei de-a doua bisectoare: y = −x
� Ecuatia dreptei prin taieturi:Fie o dreapta care nu trece prin origine si nu este paralela cu axele decoordonate si fie A(a,0),B(0, b) punctele de intersectie ale dreptei cuaxele de coordonate, cu a ⋅ b ≠ 0. Obtinem:
x − a0 − a
= y − 0
b − 0⇔ bx + ay − ab = 0⇔ x
a+ yb− 1 = 0.
Fie o dreapta d de ecuatie
ax + by + c = 0, a2 + b2 > 0
Atunci si λax + λby + λc = 0, λ ∈ R∗ este o ecuatie a dreptei d, deci odreapta are o infinitate de ecuatii. Doua ecuatii reprezinta aceeasi dreaptadaca si numai daca au coeficientii proportionali.
Daca dreapta d nu este paralela cu Oy (deci b ≠ 0), ecuatia dreptei sepoate rescrie:
y = −abx − c
b
Notand m = −ab, n = −c
bobtinem
y =mx + n
care se numeste ecuatia explicita a dreptei d. Coeficientul m se numestepanta dreptei, iar n este ordonata intersectiei dreptei cu axa Oy.
2
Fie A(xA, yA) si B(xB, yB) doua puncte distincte pe dreapta d. Dreaptanefiind paralela cu Oy, avem ca xA ≠ xB. Punand conditia ca cele douapuncte sa verifice ecuatia dreptei obtinem
yA =mxA + n si yB =mxB + n.
Scazand cele doua ecuatii obtinem
yB − yA =m(xB − xA)⇒m = yB − yAxB − xA
= tg θ
unde θ este unghiul dintre semiaxa pozitiva a axei Ox si semidreapta de pedreapta d situata deasupra axei Ox. Avem:
� m > 0⇔ θ unghi ascutit
� m < 0⇔ θ unghi obtuz
� m = 0⇔ dreapta este paralela cu Ox
Observatii
1. Dreapta d care are ecuatia explicita y = mx + n trece prin punctelede coordonate (0, n) si (1,m + n), deci ecuatia canonica a dreptei estex
1= y − n
m, asadar un vector director al dreptei este Ð→v = 1 ⋅Ð→i +m ⋅Ð→j
2. O dreapta este unic determinata de un punct M0(x0, y0) si de pantam. Pentru un punct oarecare M(x, y) de pe dreapta avem
m = y − y0
x − x0
⇔ y − y0 =m(x − x0)
3. Doua drepte d1 si d2 neparalele cu Oy avand pantele m1 si m2 suntparalele daca si numai daca m1 =m2.
4. Doua drepte d1 si d2 neparalele cu Oy avand pantele m1 si m2 suntperpendiculare daca si numai daca m1 ⋅m2 = −1.
1.2 Conice pe ecuatii reduse
Definitia 1.1. Se numeste conica o curba plana definita ın reperul cartezian
ortonormat {O;Ð→i ,Ð→j } printr-o ecuatie algebrica de gradul al doilea de forma
a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,
unde aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2
12 + a222 > 0 (adica cel putin unul dintre
coeficientii termenilor de gradul al doilea este nenul), iar (x, y) sunt coordo-natele euclidiene ın reperul dat ale unui punct oarecare al conicei.
3
Conicele se mai numesc si curbe de gradul al doilea. Exemple de conice:cercul, elipsa, hiperbola, parabola.
1.2.1 Cercul
Definitia 1.2. Fie un punct fixat C(a, b) si r > 0 un numar real fixat. Senumeste cerc de centru C si raza r este locul geometric al punctelor M(x, y)care satisfac egalitatea
∥ÐÐ→CM∥ = r. (1.1)
AvemÐÐ→CM = (x − a)Ð→i + (y − b)Ð→j , deci (1.1) se rescrie
√(x − a)2 + (y − b)2 = r
sau echivalent(x − a)2 + (y − b)2 = r2 (1.2)
care se numeste ecuatia carteziana implicita a cercului de centru C(a, b)si raza r.
Efectuand calculele ın ecuatia (1.2) obtinem:
x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0.
Notand m = −a, n = −b si p = a2 + b2 − r2, ecuatia se rescrie
x2 + y2 + 2mx + 2ny + p = 0,
care se numeste ecuatia generala a cercului .Ecuatia (1.2) este de asemenea echivalenta cu ecuatiile
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = a + r cos t
y = b + r sin t, t ∈ [0,2π)
numite ecuatiile parametrice ale cercului.
1.2.2 Elipsa
Definitia 1.3. Fie F,F ′ doua puncte ın plan si a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea
MF +MF ′ = 2a
se numeste elipsa.
4
� Punctele F,F ′ se numesc focarele elipsei
� Dreapta FF ′ se numeste axa focala.
� Distanta dintre focare se numeste distanta focala:
FF ′ = 2c < 2a
� distantele MF si MF ′ se numesc raze focale
Pentru a gasi ecuatia elipsei alegem ca axa a absciselor axa focala FF ′, iarca axa a ordonatelor mediatoarea segmentului FF ′. Originea reperului estemijlocul segmentului FF ′, deci focarele au coordonatele F (c,0) si F ′(−c,0).Din definitia elipsei, punctul M(x, y) apartine elipsei daca si numai daca
√(x − c)2 + y2 +
√(x + c)2 + y2 = 2a⇔
√(x + c)2 + y2 = 2a −
√(x − c)2 + y2 ⇔
x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 − 4a√
(x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2 ⇔a√
(x − c)2 + y2 = a2 − cx⇔ a2(x2 − 2cx + c2 + y2) = a4 − 2a2cx + c2x2
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)
Notand b2 = a2 − c2, ecuatia anterioara devine
b2x2 + a2y2 = a2b2 ⇔ x2
a2+ y
2
b2= 1,
ecuatie care se numeste ecuatia carteziana implicita a elipsei.Observatii
� Daca M(x, y) este un punct pe elipsa, atunci si simetricul lui fata deOx, punctul de coordonate (x,−y) verifica ecuatia elipsei, deci Ox esteaxa de simetrie a elipsei.
� Simetricul lui M fata de Oy, punctul de coordonate (−x, y) verificaecuatia elipsei, deci Oy este axa de simetrie a elipsei.
� Simetricul lui M fata de O, punctul de coordonate (−x,−y) verificaecuatia elipsei, deci O este centru de simetrie al elipsei.
� Intersectiile elipsei cu axele de coordonate, punctele A(a,0), A′(−a,0),B(0, b), B′(0,−b) se numesc varfurile elipsei.
� ∥Ð→OA∥ = a si ∥
Ð→OB∥ = b se numesc semiaxa mare si respectiv semiaxa
mica a elipsei.
5
� Raportul e = ca< 1 se numeste excentricitatea elipsei. Avem:
e2 = c2
a2= a
2 − b2
a2= 1 − ( b
a)
2
⇒ b
a=√
1 − e2
deci excentricitatea caracterizeaza forma elipsei.
� Ecuatia carteziana a elipsei este echivalenta cu ecuatiile
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = a cos t
y = b sin t, t ∈ [0,2π)
numite ecuatiile parametrice ale elipsei.
� Ecuatia tangentei la elipsa dusa printr-un punct M0(x0, y0) de pe elipsase obtine prin dedublare:
xx0
a2+ yy0
b2− 1 = 0.
1.2.3 Hiperbola
Definitia 1.4. Fie F,F ′ doua puncte ın plan si a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea
∣MF −MF ′∣ = 2a
se numeste hiperbola.
� Punctele F,F ′ se numesc focarele hiperbolei
� Dreapta FF ′ se numeste axa focala.
� Distanta dintre focare se numeste distanta focala:
FF ′ = 2c > 2a
� distantele MF si MF ′ se numesc raze focale
Pentru a gasi ecuatia carteziana implicita a hiperbolei alegem ca axa aabsciselor axa focala FF ′, iar ca axa a ordonatelor mediatoarea segmentuluiFF ′. Originea reperului este mijlocul segmentului FF ′, deci focarele au
6
coordonatele F (c,0) si F ′(−c,0). Prin definitie, punctul M(x, y) apartinehiperbolei daca si numai daca
√(x + c)2 + y2 −
√(x − c)2 + y2 = ±2a⇔
√(x + c)2 + y2 =
√(x − c)2 + y2 ± 2a⇔
x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 − 2cx + c2 + y2 ± 4a√
(x − c)2 + y2 + 4a2 ⇔±a
√(x − c)2 + y2 = cx − a2 ⇔
a2(x2 − 2cx + c2 + y2) = a4 − 2a2cx + c2x2 ⇔(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)⇔
b2x2 − a2y2 = a2b2 ⇔ x2
a2− y
2
b2= 1.
Observatii
� Axele Ox si Oy sunt axe de simetrie ale hiperbolei;
� Intersectiile hiperbolei cu axaOx, puncteleA(a,0), A′(−a,0), se numescvarfurile hiperbolei, iar axa Ox se numeste axa transversa a hiper-bolei;
� Dreptele de ecuatii y = ± bax sunt asimptotele hiperbolei si se obtin ca
asimptote oblice ale functiilor
f1(x) =b
a
√x2 − a2 si f2(x) = −
b
a
√x2 − a2;
� Daca a = b, hiperbola are ecuatia x2 − y2 = a2 si se numeste hiperbolaechilatera, iar asimptotele sunt bisectoarele axelor y = x si y = −x;
� O ecuatie de forma xy = ±a2 reprezinta tot o hiperbola echilatera, avandca asimptote axele de coordonate, iar ca axe de simetrie bisectoareleaxelor.
� Raportul e = ca< 1 se numeste excentricitatea hiperbolei. Avem:
e2 = c2
a2= a
2 + b2
a2= 1 + ( b
a)
2
⇒ b
a=√e2 − 1
deci excentricitatea caracterizeaza forma hiperbolei.
7
� Ecuatia carteziana a elipsei este echivalenta cu ecuatiile
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = a ch t
y = b sh t, t ∈ R
numite ecuatiile parametrice ale hiperbolei.
� Ecuatia tangentei la hiperbola dusa printr-un punct M0(x0, y0) de pehiperbola se obtine prin dedublare:
xx0
a2− yy0
b2− 1 = 0.
1.2.4 Parabola
Definitia 1.5. Fie o dreapta fixa d ın plan si un punct fix F ∉ d. Loculgeometric al punctelor M din plan cu proprietatea ca distanta la punctul Feste egala cu distanta la dreapta d se numeste parabola.
� Punctul F se numeste focar;
� Dreapta d se numeste dreapta directoare;
� Distanta de la focar la dreapta directoare se numeste parametrulparabolei si se noteaza cu p.
Pentru a gasi ecuatia parabolei alegem ca axa a absciselor perpendicularadusa prin F la d, care intersecteaza dreapta d ın punctul A si are sensulpozitiv de la directoare catre focar, iar axa ordonatelor este mediatoareasegmentului AF .
Focarul F are coordonatele (p2 ,0), iar prin definitie un punct oarecare
M(x, y) se afla pe parabola daca si numai daca ∥ÐÐ→MF ∥ = ∥
ÐÐ→MB∥ unde B este
proiectia lui M pe dreapta d si are coordonatele (−p2 , y). Obtinem:
√(x − p
2)
2
+ y2 = x + p2⇔ x2 − px + p
2
4+ y2 = x2 + px + p
2
4
de unde se obtine ecuatia carteziana implicita a parabolei:
y2 = 2px
Axa Ox se numeste axa parabolei (sau axa transversa a parabolei) sieste axa de simetrie pentru parabola, iar punctul O(0,0) se numeste varfulparabolei.
Observatii
8
� Ecuatia carteziana a parabolei este echivalenta cu ecuatiile
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = t2
2py = t
, t ∈ R
numite ecuatiile parametrice ale parabolei;
� Ecuatia tangentei la parabola dusa printr-un punct M0(x0, y0) de peparabola se obtine prin dedublare:
yy0 = p(x + x0);
� Ecuatia y2 = −2px, p > 0 reprezinta tot o parabola cu axa transversaOx, varful ın origine, dar situata ın semiplanul din stanga axei Oy;
� Ecuatiile x2 = 2py si x2 = −2py, cu p > 0 reprezinta parabole avand axatransversa Oy si varful ın origine.
1.3 Schimbari de repere carteziene
1.3.1 Rotatia
Fie {O;Ð→i ′,Ð→j ′} un reper cartezian ortonormat obtinut prin rotirea reperului
{O;Ð→i ,Ð→j } cu un unghi θ ∈ [0, π). Notam cu (x, y) coordonatele unui punct
oarecare M din plan ın reperul initial si cu (x′, y′) coordonatele aceluiasipunct ın reperul rotit. Avem:
ÐÐ→OM = xÐ→i + yÐ→j = x′Ð→i ′ + y′Ð→j ′
Inmultind scalar aceasta egalitate cuÐ→i , respectiv
Ð→j , obtinem:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
xÐ→i ⋅Ð→i + yÐ→j ⋅Ð→i = x′Ð→i ′ ⋅Ð→i + y′Ð→j ′ ⋅Ð→i
xÐ→i ⋅Ð→j + yÐ→j ⋅Ð→j = x′Ð→i ′ ⋅Ð→j + y′Ð→j ′ ⋅Ð→j
AvemÐ→i ⋅Ð→i =Ð→j ⋅Ð→j = 1 si
Ð→i ⋅Ð→j =Ð→j ⋅Ð→i = 0, deci
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x′Ð→i ′ ⋅Ð→i + y′Ð→j ′ ⋅Ð→iy = x′Ð→i ′ ⋅Ð→j + y′Ð→j ′ ⋅Ð→j
(1.3)
Avem ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Ð→i ′ ⋅Ð→i = cos θ,
Ð→j ′ ⋅Ð→i = cos (θ + π
2) = − sin θ
Ð→i ′ ⋅Ð→j = cos (π2 − θ) = sin θ,
Ð→j ′ ⋅Ð→j = cos θ
9
si ınlocuind ın (1.3) gasim
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ
sau echivalent
( xy
) = ( cos θ − sin θsin θ cos θ
)( x′
y′) .
Matricea C = ( cos θ − sin θsin θ cos θ
) este o matrice ortogonala (C−1 = CT ), deci
rotatia ın plan de unghi θ este o transformare ortogonala.
1.3.2 Translatia
Fie reperul {O;Ð→i ,Ð→j }, un punct A(x0, y0) si consideram reperul cartezian
ortonormat {A;Ð→i ,Ð→j }. Notam cu (x, y) coordonatele unui punct oarecare
M din plan ın reperul initial si cu (x′, y′) coordonatele aceluiasi punct ınreperul nou . Avem:
ÐÐ→OM =
Ð→OA +
ÐÐ→AM ⇔ x
Ð→i + yÐ→j = x0
Ð→i + y0
Ð→j + x′Ð→i + y′Ð→j
de unde obtinem⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 + x′
y = y0 + y′.
Prin compunerea unei translatii cu o rotatie se obtine rototranslatia deecuatii
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 +X cos θ − Y sin θ
y = y0 +X sin θ + Y cos θ,
unde (X,Y ) sunt coordonatele punctului M ın {A;Ð→i ′,Ð→j ′}.
1.4 Reducerea conicelor la forma canonica
Fie o conica de ecuatie
a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0.
Prin schimbarea reperului, se schimba si coordonatele punctelor de pe conica,deci se schimba si ecuatia pe care o verifica acestea. Vom cauta reperul ın careecuatia conicei are o forma particulara (de elipsa, hiperbola sau parabola),numita forma canonica.
10
1.4.1 Invariantii unei conice
Definitia 1.6. Fie o conica de ecuatie
a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
f(x,y)
= 0, (1.4)
cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2
12 + a222 > 0. Numerele reale
I = a11 + a22, δ = ∣ a11 a12
a12 a22∣ , ∆ =
RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
RRRRRRRRRRRRRRse numesc invariantii conicei.
Teorema 1.1. Invariantii I, δ,∆ nu se schimba la translatii sau rotatii.
Demonstratie:
Inlocuind ecuatiile translatiei
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 + x′
y = y0 + y′ın (1.4) obtinem
a11x′2 + 2a12x
′y′ + a22y′2 + 2a′13x
′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (1.5)
unde
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
a′13 = a11x0 + a12y0 + a13
a′23 = a12x0 + a22y0 + a23
a′33 = f(x0, y0), deci coeficientii termenilor de grad 2 nu se
modifica, asadar I si δ raman neschimbati. Efectuand operatii pe coloane ın∆′ avem:
∆′ =RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a′13
a12 a22 a′23
a′13 a′23 a′33
RRRRRRRRRRRRRR
C3 − x0C1
=C3 − y0C2
RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a′13 a′23 a13x0 + a23y0 + a33
RRRRRRRRRRRRRREfectuand operatii pe linii ın ∆′ avem :
RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a′13 a′23 a13x0 + a23y0 + a33
RRRRRRRRRRRRRR
L3 − x0L1
=L3 − y0L2
RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
RRRRRRRRRRRRRR= ∆.
Fie acum o rotatie de unghi θ. Avem:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ
⇔ ( xy
) = ( cos θ − sin θsin θ cos θ
)( x′
y′)⇔X = CX ′,
11
unde C = ( cos θ − sin θsin θ cos θ
) , X = ( xy
) , X ′ = ( x′
y′).
Introducem de asemenea notatiileA = ( a11 a12
a12 a22) , B = ( a13 a23 ). Ecuatia
conicei se rescrie matriceal XTAX + 2BX + a33 = 0.Inlocuind ecuatiile rotatiei X = CX ′ ın ecuatia matriceala anterioara
obtinemX ′T (CTAC)X ′ + 2B(CX ′) + a33 = 0
Matricea C fiind ortogonala, A si CTAC au acelasi polinom caracteristic, iarcoeficientii acestuia fiind chiar I si δ, deducem ca acestia nu se schimba laefectuarea unei rotatii. Introducem notatiile
A =⎛⎜⎝
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
⎞⎟⎠, C =
⎛⎜⎝
cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0
0 0 1
⎞⎟⎠, A′ =
⎛⎜⎝
a′11 a′12 a′13
a′12 a′22 a′23
a′13 a′23 a′33
⎞⎟⎠
Consideram forma patratica avand matricea A ın baza canonica din R3.Atunci A′ este matricea aceleiasi forme patratice ın baza data de matriceaC, deci avem
∆′ = det A′ = det(CT AC) = det CT det Adet C = det A = ∆.
1.4.2 Forma canonica a conicelor cu centru
Fie conica de ecuatie
a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
f(x,y)
= 0, (1.6)
cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2
12 + a222 > 0. Cautam o translatie de ecuatii
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 + x′
y = y0 + y′astfel ıncat ın noile coordonate ecuatia conicei
a11x′2 + 2a12x
′y′ + a22y′2 + 2a′13x
′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (1.7)
sa nu contina termeni de grad 1, adica
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
a′13 = a11x0 + a12y0 + a13 = 0
a′23 = a12x0 + a22y0 + a23 = 0.
Caz 1. Daca δ ≠ 0, sistemul anterior are solutie unica, iar ın reperul translatatcu centrul ın O′(x0, y0) ecuatia conicei este
a11x′2 + 2a12x
′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (1.8)
12
Daca punctul de coordonate (x′, y′) verifica (1.8), atunci si punctul decoordonate (−x′,−y′) verifica (1.8), deci O′ este centru de simetrie pentruconica, iar coordonatele lui sunt:
x0 =− ∣ a13 a12
a23 a22∣
δ, y0 =
− ∣ a11 a13
a12 a23∣
δ(1.9)
Termenul liber f(x0, y0) din (1.8) se rescrie astfel:
f(x0, y0) = a11x20 + 2a12x0y0 + a22y
20 + 2a13x0 + 2a23y0 + a33
= (a11x0 + a12y0 + a13)x0 + (a12x0 + a22y0 + a23)y0 ++a13x0 + a23y0 + a33 = a13x0 + a23y0 + a33
Avem ∆ =RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
RRRRRRRRRRRRRR= a13x0δ + a23y0δ + a33δ = δf(x0, y0)
Ecuatia (1.8) devine
a11x′2 + 2a12x
′y′ + a22y′2 + ∆
δ= 0, (1.10)
Daca a12 = 0, atunci (1.10) este forma canonica.Daca a12 ≠ 0, consideram forma patratica
Φ ∶ R2 → R, Φ(x′, y′) = a11x′2 + 2a12x
′y′ + a22y′2,
avand matricea A = ( a11 a12
a12 a22) ın baza canonica. Exista o baza ortonor-
mata formata din vectori proprii ai lui A ın care Φ are forma canonicaλ1X2 + λ2Y 2, unde λ1 si λ2 sunt valorile proprii ale lui A, adica radacinileecuatiei caracteristice:
∣ a11 − λ a12
a12 a22 − λ∣ = 0⇔ λ2 − Iλ + δ = 0.
In noile coordonate ecuatia conicei (1.10) devine
λ1X2 + λ2Y
2 + ∆
δ= 0, (1.11)
deci are forma canonica. Putem presupune ca baza {Ð→v 1,Ð→v 2} ın care avem
forma canonica se obtine din baza {Ð→i ,Ð→j } printr-o rotatie de unghi θ ∈
13
(0, π2 ), asadar
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Ð→v 1 = cos θÐ→i + sin θ
Ð→j
Ð→v 2 = − sin θÐ→i + cos θ
Ð→j
. CumÐ→v 1 siÐ→v 2 sunt vectori proprii
corespunzatori matricei A obtinem:
( a11 a12
a12 a22)( cos θ
sin θ) = λ1 (
cos θsin θ
)⇒ λ1 cos θ = a11 cos θ + a12 sin θ
( a11 a12
a12 a22)( − sin θ
cos θ) = λ2 (
− sin θcos θ
)⇒ −λ2 sin θ = −a11 sin θ + a12 cos θ
Inmultind prima relatie cu sin θ, pe a doua cu cos θ si sumandu-le obtinem
(λ1 − λ2) sin θ cos θ = a12
Cum a12 ≠ 0 si θ ∈ (0, π2 ), deducem ca λ1 ≠ λ2 si λ1 − λ2 are acelasi semncu a12. Din cele doua formule anterioare se poate obtine unghiul θ:
λ1 cos θ = a11 cos θ + a12 sin θ⇒ tg θ = λ1 − a11
a12
−λ2 sin θ = −a11 sin θ + a12 cos θ⇒ tg θ = a12
a11 − λ2
Legatura ıntre coordonatele initiale x, y si coordonatele X,Y ın care avemforma canonica sunt:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 +X cos θ − Y sin θ
y = y0 +X sin θ + Y cos θ.
Coeficientii formei canonice λ1X2 + λ2Y 2 + ∆δ = 0 fiind radacinile ecuatiei
caracteristice λ2 − Iλ + δ = 0, distingem urmatoarele cazuri:
1. δ > 0, I > 0,∆ < 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ < 0⇒ elipsa
2. δ > 0, I > 0,∆ = 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ = 0⇒ un punct
3. δ > 0, I > 0,∆ > 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ > 0⇒ ∅
4. δ > 0, I < 0,∆ < 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ < 0⇒ ∅
5. δ > 0, I < 0,∆ = 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ = 0⇒ un punct
6. δ > 0, I < 0,∆ > 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ > 0⇒ elipsa
7. δ < 0,∆ ≠ 0⇒ hiperbola
14
8. δ < 0,∆ = 0⇒ doua drepte concurente
Daca ∆ ≠ 0 conica se numeste nedegenerata, iar daca ∆ = 0 conica senumeste degenerata.
Caz 2. Daca δ = 0 si rang( a11 a12 a13
a12 a22 a23) = 1, sistemul
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
a11x0 + a12y0 + a13 = 0
a12x0 + a22y0 + a23 = 0
are o infinitate de solutii, deci conica are o infinitate de centre.Daca (x0, y0) este o solutie a sistemului anterior, atunci ın reperul trans-
latat cu centrul ın O′(x0, y0) ecuatia conicei este
a11x′2 + 2a12x
′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (1.12)
unde f(x0, y0) = a13x0 + a23y0 + a33. Distingem cazurile:
1. Daca a12 = 0, cum a11a22 = a212 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0, deci conica
degenereaza ın doua drepte paralele sau confundate sau multimea vida.
2. Daca a12 ≠ 0, cum a11a22 = a212 ⇒ a11 si a22 au acelasi semn . Inmultind
eventual ecuatia (1.12) cu −1, putem presupune ca a11 > 0 si a22 > 0,iar (1.12) devine
(√a11x
′ ±√a22y
′)2 ± f(x0, y0) = 0
deci conica degenereaza ın doua drepte paralele sau confundate saumultimea vida.
1.4.3 Forma canonica a conicelor fara centru
Fie din nou conica de ecuatie
a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
f(x,y)
= 0, (1.13)
cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2
12 + a222 > 0.
Caz 3. Daca δ = 0 si rang( a11 a12 a13
a12 a22 a23) = 2, sistemul
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
a11x0 + a12y0 + a13 = 0
a12x0 + a22y0 + a23 = 0
este incompatibil, deci nu exista o translatie ın urma careia sa dispara ter-menii de grad 1 din ecuatie, altfel spus conica nu are centru de simetrie.
Daca a12 ≠ 0, consideram forma patratica
Φ ∶ R2 → R, Φ(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y
2,
15
avand matricea A = ( a11 a12
a12 a22) ın baza canonica. Exista o baza ortonor-
mata formata din vectori proprii ai lui A ın care Φ are forma canonicaλ1x′2 + λ2y′2, unde λ1 si λ2 sunt valorile proprii ale lui A, adica radacinileecuatiei caracteristice:
∣ a11 − λ a12
a12 a22 − λ∣ = 0⇔ λ2 − Iλ + δ = 0
Cum δ = 0 ⇒ λ1λ2 = 0. Presupunem λ1 = 0, λ2 = I ≠ 0 (daca ambele valoriproprii ar fi nule, ar rezulta a11 = a12 = a22 = 0). In noile coordonate x′, y′
ecuatia conicei devine
Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y
′ + a33 = 0 (1.14)
Putem presupune ca baza {Ð→v 1,Ð→v 2} ın care avem forma canonica se obtine
din baza {Ð→i ,Ð→j } printr-o rotatie de unghi θ ∈ (0, π2 ), asadar
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Ð→v 1 = cos θÐ→i + sin θ
Ð→j
Ð→v 2 = − sin θÐ→i + cos θ
Ð→j
⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ
Cum Ð→v 1 este vector propriu corespunzator valorii proprii 0 obtinem:
( a11 a12
a12 a22)( cos θ
sin θ) = ( 0
0)⇒ a11 cos θ + a12 sin θ = 0⇒ tg θ = −a11
a12
Prin calcul se obtine de asemenea
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
a′13 = a13 cos θ + a23 sin θ
a′23 = −a13 sin θ + a23 cos θ
Daca a′13 = 0 ⇒ a13
a23
= − tg θ = a11
a12
⇒ rang( a11 a12 a13
a12 a22 a23) = 1, deci a′13 ≠ 0
ın Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y
′ + a33 = 0.Grupand corespunzator termenii ın ecuatia anterioara obtinem
I (y′ + a′23
I)
2
+ 2a′13 (x′ +c
a′23
) = 0
unde c = a33−a′223
I. Efectuand translatia
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
X = x′ + ca′23
Y = y′ + a′23I
ecuatia conicei devine
IY 2 + 2a′13X = 0
16
Cum ∆ este invariant la rotatii si translatii, avem
∆ =RRRRRRRRRRRRRR
0 0 a′13
0 I 0a′13 0 0
RRRRRRRRRRRRRR= −a′213I ⇒ a′213 = −
∆
I
deci gasim forma canonica
Y 2 = ±2pX, unde p =√
−∆
I3.
Semnul ± ın ecuatia anterioara se alege ın functie de pozitia paraboleifata de axele de coordonate ale reperului initial, intersectand parabola cuaceste axe.
Ecuatia axei de simetrie a parabolei este
a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0
iar coordonatele varfului parabolei se obtin intersectand parabola cu axade simetrie, deci rezolvand sistemul format din ecuatia anterioara si ecuatiainitiala a conicei.
Daca a12 = 0, din δ = 0 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0. Pentru a11 = 0, ecuatiaconicei devine
a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
a13 = 0⇒ conica degenerata.a13 ≠ 0⇒ parabola (facand o translatie ca mai sus).
Exemplu:Fie conica de ecuatie x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0.
� coeficientii a11 = 1, a22 = 4, a12 = −2, a13 = −3, a23 = 1, a33 = 1;
� invariantii I = 5, δ = ∣ 1 −2−2 4
∣ = 0,∆ =RRRRRRRRRRRRRR
1 −2 −3−2 4 1−3 1 1
RRRRRRRRRRRRRR= −25
deci conica este o parabola nedegenerata
� p =√
−∆
I3= 1√
5⇒ forma canonica Y 2 = ± 2√
5X
� axa de simetrie: a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0⇒ x − 2y − 1 = 0
� varful
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0
x − 2y − 1 = 0⇒ V (1
5,−2
5)
17
� intersectia parabolei cu axa Ox:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0
y = 0⇒ x1,2 =
6 ±√
32
2
x
y
parabola
−1 0 1 2 3 4 5 6
−2
−1
0
1
2
3
4
Concluzii:In functie de semnul invariantilor distingem cazurile:
δ ∆ Forma canonica Tip
> 0≠ 0
X2
a2+ Y
2
b2− 1 = 0 elipsa
X2
a2+ Y
2
b2+ 1 = 0 ∅
= 0X2
a2+ Y
2
b2= 0 punct
< 0≠ 0
X2
a2− Y
2
b2− 1 = 0 hiperbola
= 0X2
a2− Y
2
b2= 0 doua drepte concurente
= 0
≠ 0 Y 2 − 2pX = 0 parabola
= 0Y 2 − a2 = 0 doua drepte paraleleY 2 = 0 doua drepte confundate
Y 2 + a2 = 0 ∅
18
1.5 Exercitii
1. Sa se scrie ecuatiile cercurilor determinate de:
(a) centrul ın C(2,−3) si raza r = 7
(b) centrul ın C(1,1) si o tangeta la cerc este dreapta 3x + 4y + 8 = 0
(c) extremitatile unui diametru sunt A(3,2) si B(−1,6)(d) trece prin punctele M1(−1,5), M2(−2,−2), M3(5,5)(e) trece prin origine si are centrul C(2,0)
2. Sa se determine centrul si raza urmatoarelor cercuri; sa se scrie ecuatiileparametrice si sa se reprezinte grafic:
(a) x2 + y2 − 6x − 4y + 9 = 0
(b) x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0
(c) x2 + y2 − 2x = 0
(d) x2 + y2 − y = 0
(e) x2 + y2 − 4x + 3 = 0
(f) x2 + y2 − 2x − 2y = 0
3. Sa se determine intersectia cercului cu dreapta:
(a) (C) ∶ x2 + y2 − 2y = 0, (d) ∶ x + y = 1
(b) (C) ∶ x2 + y2 − x = 0, (d) ∶ x = y
4. Sa se scrie ecuatiile elipselor date prin elementele:
(a) F ′(−1,0), F (1,0) si semiaxa mare 5
(b) axa mare 10 si distanta dintre focare 8
(c) axa mica 16 si F (3,0)(d) semiaxele 4 si 2
(e) distanta dintre focare 6 si semiaxa mare 5
(f) semiaxa mare 25 si excentricitatea 0,6
5. Sa se determine semiaxele, focarele si excentricitatea elipselor, si sa sescrie ecuatiile lor parametrice:
(a) x2
9 + y2
4 − 1 = 0
19
(b) 9x2 + 25y2 = 225
(c) 3x2 + 4y2 = 12
(d) x2 + 2y2 − 6 = 0
(e) 25x2 + 169y2 = 225
6. Sa se afle punctele de intersectie ale elipsei cu dreapta:
(a) x2
4 + y2 − 1 = 0, 2x + 2y − 3 = 0
(b) 5x2 + 8y2 − 77 = 0, x + 2y − 7 = 0
7. Sa se scrie ecuatia tangentei la elipsa 2x2+y2−6 = 0 ın punctul M(2,−3)de pe elipsa
8. Sa se scrie ecuatiile hiperbolelor avand focarele pe axa Ox si cunoscandurmatoarele elemente:
(a) semiaxele sunt 4 si 3
(b) distanta dintre varfuri 6 iar distanta ıntre focare 10
(c) semiaxa transversa este 12 si e = 54
(d) F ′(0,−10), F (0,10) si distanta ıntre varfuri 8
9. Sa se afle semiaxele, focarele, excentricitatea si asimptotele hiperbolelor
(a) 16x2 − 25y2 = 400
(b) x2
9 − y2
16 = 1
(c) 2x2 − 5y2 − 10 = 0
10. Sa se reprezinte hiperbolele si asimptotele lor:
(a) x2 − y2 = 1
(b) x2 − 4y2 − 4 = 0
(c) 4y2 − 9x2 − 36 = 0
(d) xy = 2; xy = −2
(e) x2
25 −y2
49 − 1 = 0
11. Sa se scrie ecuatia tangentei la hiperbola
x2
5− y
2
4= 1
ın punctul M0(5,−4)
20
12. Sa se scrie ecuatiile tangentelor duse din M0(2,−1) la hiperbola
x2 − 4y2 − 1 = 0
si sa se afle punctele de contact.
13. Sa se scrie ecuatia unei parabole cu varful ın originea reperului stiindca:
(a) focarul este F (1,0)(b) focarul este F (0,2)(c) axa de simetrie este Ox, cu p = 0,5, situata ın semiplanul stang
(d) axa de simetrie este Oy, p = 3 si situata ın semiplanul inferior
14. Sa se determine focarul, axa de simetrie, si sa se reprezinte graficparabolele:
(a) y2 = 2x
(b) y2 = −4x
(c) x2 = −5y
(d) x2 = y
15. Sa se scrie ecuatia tangentei si ecuatia normalei la parabola y2 = 3x ınpunctul de abscisa x = 3
16. Sa se recunoasca si sa se reprezinte grafic curbele:
(a) 4x2 − 5y2 = 20
(b) x2 + y2 − 9 = 0
(c) y2 − x = 0
(d) x2 + y2 − 2x = 0
(e) 2x2 + y2 − 4 = 0
(f)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = 2 cos t
y = sin t, t ∈ [0,2π]
(g) y + 2x2 = 20
(h) 16x2 − 9y2 + 144 = 0
(i) 2x2 + 2y2 − 1 = 0
(j)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = 1 + 2 cos t
y = 2 sin t, t ∈ [0,2π]
(k) y2 + 4x = 0
(l)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = 3 cos t
y = 2 sin t, t ∈ [0,2π]
21
17. Sa se reprezinte domeniile din plan marginite de curbele:
a)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
y2 = xx2 = y
b)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
y = x2
y = 1c)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
y = xy = −xx = 2
18. Sa se reprezinte domeniile din plan determinate de:
a)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x2 + y2 ≤ 2y
y ≤ x2
x ≥ 0
b)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x2 + y2 ≤ 4
x2 + y2
4 ≥ 1
x ≥ 0
c)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x2 + y2 ≤ 4
x2 + y2 ≥ 2xd)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x2 + y2 ≤ 2
x ≤ y2
x ≥ −y2
y ≤ 0
19. Sa se aduca la forma canonica si sa se reprezinte grafic conicele:
(a) 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x − 18y + 9 = 0
R: X2
1 + Y 2
9 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .
(b) 5x2 + 6xy + 5y2 − 16x − 16y − 16 = 0
R: X2
4 + Y 2
16 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .
(c) x2 − xy + y2 − 5x + y − 2 = 0
R: X2
18 + Y 2
6 − 1 = 0, C(3,1), α = π4 .
(d) 3x2 − 2xy + 3y2 − 4x − 4y − 36 = 0
R: X2
20 + Y 2
10 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .
(e) 5x2 − 8xy + 5y2 − 12x + 6y = 0
R: X2
9 + Y 2
1 − 1 = 0, C(2,1), α = π4 .
(f) x2 − xy + y2 − 5x + y − 2 = 0
R: X2
18 + Y 2
6 − 1 = 0, C(3,1), α = π4 .
(g) 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0
R: X2
1 − Y 2
4 − 1 = 0, C(2,−1), α = π4 .
(h) x2 − 8xy + 7y2 + 6x − 6y + 9 = 0
R: X2
9 − Y 2
1 − 1 = 0, C(1,1), α = arctg 12 .
(i) 3xy + 6x − y − 8 = 0
R: X2
4 − Y 2
4 − 1 = 0, C(13 ,−2), α = π
4 .
(j) 6xy + 8y2 − 12x − 26y + 11 = 0
R: X2
1 − Y 2
9 − 1 = 0, C(−1,2), α = arctg 3.
(k) 5x2 + 12xy − 22x − 12y − 19 = 0
R: X2
4 − Y 2
9 − 1 = 0, C(1,1), α = arctg 23 .
22
(l) 5x2 − 6xy + 5y2 + 2x − 14y + 21 = 0
R: X2
4 + Y 2 + 1 = 0
(m) 5x2 − 2xy + 5y2 + 12x − 12y + 12 = 0R: 2X2 + 3Y 2 = 0, C(−1,1)
(n) 2x2 + 3xy + y2 − x − 1 = 0R: y = −x + 1, y = −2x − 1.
(o) 3x2 − 7xy + 2y2 − 4x + 3y + 1 = 0R: x − 2y − 1 = 0, 3x − y − 1 = 0
(p) x2 − 2xy + y2 − 10x − 6y + 25 = 0R: ∆ = −64, Y 2 = 4
√2X, x − y − 1 = 0, V (2,1).
(q) x2 + 4xy + 4y2 + 2x − y − 1 = 0R: ∆ = −25
4 , Y2 = − 1√
5X, x + 2y = 0, V (2
5 ,−15).
(r) x2 − 4xy + 4y2 − 4x − 2y + 10 = 0R: ∆ = −25, Y 2 = 2√
5X, x − 2y = 0, V (2,1).
(s) x2 − 4xy + 4y2 − 26x − 38y + 25 = 0R: ∆ = −2025, Y 2 = 18√
5X, x − 2y + 5 = 0, V (−1,2).
(t) 4x2 − 4xy + y2 − 8x − 8y + 4 = 0R: ∆ = −144, Y 2 = 24
5√
5X, 10x − 5y − 4 = 0, V (23
50 ,325).
(u) x2 + 4xy + 4y2 + x + 2y − 2 = 0R: x + 2y = 1, x + 2y = −2.
(v) x2 − 4xy + 4y2 + 10x − 20y + 25 = 0R: x − 2y + 5 = 0.
(w) x2 − 4xy + 4y2 + 3x − 6y + 2 = 0R: x − 2y + 1 = 0, x − 2y + 2 = 0.
23