1

CAPITOLO QUARTO – DISTRIBUZIONE BINOMIALE (O DI BERNOULLI)Molti degli esempi che abbiamo presentato nei capitoli precedenti possono essere pensaticome casi particolari di uno schema generale di prove ripetute, ad esempio successivi lanci diun dado, di una moneta, estrazioni di palline da un’urna, di carte da un mazzo (in questi ultimidue casi reimmettendo la pallina o la carta nell’urna o nel mazzo), estrazioni di numeri dellotto in settimane successive, e così via. Lo schema generale può essere descritto mediante laseguente definizione:

Si dice esperimento di Bernoulli una sequenza di n prove con le seguenti caratteristiche:1) il risultato di ogni prova può essere solo “successo” o “fallimento”;2) il risultato di ciascuna prova è indipendente dai risultati delle prove precedenti;3) la probabilità p di “successo”, e quindi la probabilità q = 1 – p di “fallimento”, sono

costanti in ciascuna prova.Ci proponiamo ora di determinare la probabilità che, in n prove di un esperimento di

Bernoulli, si abbiano esattamente k successi.Indichiamo con S il successo e con F il fallimento. Una sequenza di n prove darà, per la 1),

come esito una sequenza di n fra S e F. Ad esempio, una sequenza che contiene k successi è laseguente:

SS ... Sk volte6 7 8

FF... Fn– k volte6 7 8

Se p è la probabilità di S e q la probabilità di F, la probabilità di ottenere proprio quellasequenza è, trattandosi di eventi indipendenti e applicando la regola della probabilitàcomposta:

p⋅ p⋅. .. ⋅ pk volte6 7 4 8 4

q⋅ q⋅.. .⋅qn –k volte6 7 4 8 4

= pk ⋅ qn– k

È immediato convincersi che una qualsiasi altra sequenza contenente esattamente k successiavrà sempre come probabilità pk ⋅ qn –k (cambia l’ordine dei fattori, ma non il prodotto).Per determinare in quanti modi si possono ottenere k successi in n prove, basta scegliere tragli n numeri 1, 2, ..., n i k che contrassegnano i posti occupati dai successi: ciò può essereeseguito in Cn,k modi (non essendo rilevante l’ordine in cui tali posti vengono scelti). Indefinitiva si hanno Cn,k possibilità di ottenere k successi in n prove e ciascuna di esse ha,come si è detto, probabilità pk ⋅ qn –k . Dato che queste possibilità distinte corrispondono alrealizzarsi di eventi incompatibili (evidentemente il realizzarsi di una certa sequenza di S e Fè incompatibile con il verificarsi di un’altra di tali sequenze), per la regola delle probabilitàtotali, la probabilità cercata, che indichiamo con pn (k) , è:

pn (k) = Cn, k ⋅ pk ⋅qn –k (con q = 1 – p)

o, usando la notazione dei coefficienti binomiali:

pn (k) =nk

pk ⋅ qn –k =

n!k!(n– k )!

⋅ pk ⋅ qn– k

Esempio 1. Determinare la probabilità che su 12 lanci di una moneta buona si ottenganoesattamente 8 teste.Si tratta di un esperimento di Bernoulli in cui il “successo” coincide con “esce T”; quindi p =

q = 12

e si ha: p12(8) =128

⋅

12

8⋅

12

4=

124

⋅

1212 =

12 ⋅11 ⋅10 ⋅ 94 ⋅3 ⋅2

⋅1

212 ≅ 0,1208.

Esempio 2. Determinare la probabilità che estraendo per 5 volte una carta da un mazzo da 40(inserendo ogni volta la carta estratta e rimescolando bene il mazzo) si ottengano:a) esattamente 3 figure b) almeno 3 figure c) almeno una figura

2

Si osservi che, se non si reintroducesse la carta nel mazzo, l’esperimento non sarebbe diBernoulli, in quanto la probabilità di estrarre una figura cambierebbe ad ogni successivaestrazione. In questo caso, invece, si tratta di un esperimento di Bernoulli in cui il “successo”

è l’estrazione di una figura, per cui p = 1240

= 0,3 (e q = 1 – 0,3 = 0,7).

a) La probabilità di ottenere esattamente 3 figure è:

p5(3) = 53

⋅ 0,33 ⋅0,72 = 10 ⋅ 0,33 ⋅ 0,72 = 0,1323

b) La probabilità di ottenere almeno 3 figure è la somma delle probabilità di ottenereesattamente 3, 4 o 5 figure:

p5(3) + p5(4) + p5(5) = 0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,1631

c) Per rispondere a quest’ultima domanda si può procedere come in b) calcolando:p5(1) + p5(2) + p5(3) + p5(4) + p5(5)

È tuttavia molto più rapido considerare la probabilità dell’evento contrario, ossia la

probabilità di non ottenere alcuna figura: p5(0) =50

⋅ 0,30 ⋅ 0,75 = 0,75 = 0,16807, per cui la

probabilità di ottenere almeno una figura è 1 – 0,16807 = 0,83193.Esempio 3. Un tiratore colpisce un bersaglio con probabilità 0,2. Qual è la probabilità che su8 tiri colpisca 2 volte il bersaglio? E che lo colpisca almeno due volte?Essendo p = 0,2 (e quindi q = 1 – 0,2 = 0,8) la probabilità di “successo”, si ha:

p8(2) =82

⋅ 0,22 ⋅ 0,86 =

8 ⋅ 72

⋅0,22 ⋅ 0,86 ≅ 0,2936

Per rispondere alla seconda domanda è più conveniente determinare le probabilità che iltiratore non colpisca il bersaglio o che lo colpisca esattamente una volta:

p8(0) =80

⋅ 0,20 ⋅ 0,88 ≅ 0,1678; p8 (1) =

81

⋅ 0,21 ⋅ 0,88 = 8 ⋅0,2 ⋅ 0,88 ≅ 0,3355

Per la regola della probabilità dell’evento contrario, la probabilità che il tiratore colpiscaalmeno due volte il bersaglio è 1 – (0,1678 + 0,3355) = 0,4967.

Dato un esperimento di Bernoulli, una volta fissato il numero delle prove e la probabilità pdi “successo”, il numero k di sucecssi può essere visto come una variabile casuale aventecome valori i numeri da 0 a n e le cui rispettive probabilità si determinano con la formulaprecedente. Tale distribuzione di probabilità prende il nome di distribuzione binomiale. Levariabili casuali degli Esempi 1 e 5 del capitolo precedente hanno una distribuzione binomiale

p = q =12

. I valori delle probabilità delle distribuzioni binomiali relative ai valori di n fino

a 12 e ad alcuni valori di p sono riportate nella Tavola in Appendice a questo capitolo. Se p =

q = 12

l’istogramma delle variabili casuali con distribuzione binomiale è simmetrico rispetto

al valore medio. Questa circostanza non si verifica se p ≠ 12

. Vediamo due esempi.

Esempio 4. Un’urna contiene 10 palline di cui 3 bianche. Si eseguono 4 successive estrazionirimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna. Determinare la distribuzione di probabilitàdella variabile casuale X = “numero di palline bianche estratte” e rappresentarla con unistogramma.

3

La probabilità di estrarre una pallina bianca è 0,3. La variabile casuale X ha come possibilivalori 0, 1, 2, 3 e 4 e le rispettive probabilità sono p4 (0), p4 (1), p4 (2), p4(3), p4 (4) .Determiniamo tali valori ricorrendo alla Tavola:

X 0 1 2 3 40,2401 0,4116 0,2646 0,0756 0,0081

L’istogramma risulta:

Esempio 5. Rappresentare con un istogramma la distribuzione binomiale con n = 10 e p = 0,9.Per sfruttare la Tavola 1 anche in questo caso, occorre osservare che avere probabilità 0,9 disuccesso equivale ad avere probabilità 0,1 di insuccesso. Quindi, ottenere 3 successi in 10prove equivale ad ottenere 7 insuccessi, per cui p10(3) con p = 0,9 si può leggere incorrispondenza di p10(7) con p = 0,1, e così via:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0015 0,0112 0,0574 0,1937 0,3874 0,3487

(dove compare 0,0000 non si intende evidentemente probabilità nulla, ma un valore moltobasso, inferiore a 0,00005). L’istogramma è il seguente:

Per una variabile casuale con distribuzione binomiale si può dimostrare che:il valore medio è: E(X) = npla varianza vale: var(X) = npq e la deviazione standard risullta: npq .

4

TAVOLA 1LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE

(valori di pn (k) per n da 2 a 12 e p = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5

5