Probabilità 02 - 1 / 53 Lezione 4 Probabilità. Probabilità 02 - 2 / 53 Nella prima parte... La...
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Probabilità 02 - 1 / 53
Lezione 4Probabilità
Probabilità 02 - 2 / 53
Nella prima parte ...
La definizione classica della probabilità:
n
sE P
La definizione frequentista della
probabilità: N
nE E
N limP
La definizione assiomatica della
probabilità:
assiomi diKolmogoroff
11 i
i
i
i EE PP
1
0
S
EEPP
A
Probabilità 02 - 3 / 53
Definizione a posteriori ( o “frequentista” ) della probabilità
definizione:
La probabilità P di un evento E è il limite a cui
tende il valore della frequenza relativa fE di E
quando N tende all’infinito.
N
nE E
N limP
Probabilità 02 - 4 / 53
Definizione a priori ( o “classica” ) della probabilità
definizione:
La probabilità P di un evento E è il rapporto fra
il numero s dei risultati favorevoli ( cioè il numero dei risultati che determinano E ) ed il numero n dei risultati possibili
Ciò purché i risultati siano ugualmente possibili e si escludano mutuamente.
La probabilità P di un evento E è certamente adimensionale!
n
sE P
Probabilità 02 - 5 / 53
Definizione assiomatica di probabilità
Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che:– ha per dominio lo spazio degli eventi A ,– ha per codominio l’intervallo [ 0, 1 ] ,– soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff
11 i
i
i
i EE PP
1
0
S
EEPP
A•
•
• se E1 , E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi
dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dell’evento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi:
Probabilità 02 - 6 / 53
parte 2Dalla probabilità
alla statistica
Probabilità 02 - 7 / 53
Sommario
• La probabilità: – funzioni di probabilità
• Variabili casuali– concetto di “variabile casuale”
• Popolazione oggetto– grandezza caratteristica – Introduzione ai modelli della popolazione oggetto
• funzione “di probabilità cumulativa”• funzione “densità di probabilità
• Funzioni di probabilità per variabili casuali discrete
Probabilità 02 - 8 / 53
Funzioni di probabilità:
la necessità di un approccio corretto e rigoroso
Probabilità 02 - 9 / 53
Applicazione degli assiomi di Kolmogoroff
Gli assiomi di Kolmogoroff ci permettono di verificare se una funzione arbitraria può essere assunta come “funzione di probabilità.
esempio 1:
• Supponiamo di avere un’urna contenente 5 palline di cui 2 bianche e 3 nere: , ‚, , , .
• L’esperimento casuale consiste nella estrazione in successione di due palline, senza reimmissione della prima pallina estratta.
• Lo spazio campione S è dato da:
S = { (,‚), (,), (,), (,), (‚,), (‚,),…, (,), (,‚),…, (,) }
Probabilità 02 - 10 / 53
Necessità di approccio corretto e rigoroso
S = { (,‚), (,), (,), (,), (‚,), (‚,),…, (,), (,‚),…, (,) }
• Definiamo poi i seguenti eventi:
– E1: la prima pallina estratta sia bianca
– E2: la seconda pallina estratta sia bianca
– E3: la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera
– E4: la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche
– E5: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 5
– E6: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 5
– E7: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 4
– E8: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 10
– E9: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 10
Probabilità 02 - 11 / 53
Necessità di approccio corretto e rigoroso
S = { (,‚), (,), (,), (,), (‚,), (‚,),…, (,), (,‚),…, (,) }
• Lo spazio campione S è finito
ed è composto da 20 “punti campione”: # S = N = 20
Nsss N 121 P P P• I punti campione sono equiprobabili pertanto:
S
ii
#
# EE P
• Se si introduce la funzione
è abbastanza agevole verificare che essa soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff ed è pertanto una funzione di probabilità.
Probabilità 02 - 12 / 53
Necessità di approccio corretto e rigoroso
• La funzione di probabilità definita ci permette di individuare la probabilità che “la prima pallina estratta sia bianca”, cioè la probabilità dell’evento
E1.
S = { (,‚), (,), (,), (,), (‚,), (‚,),…, (,), (,‚),…, (,) } : # S = 20
E1 = {(,‚), (,), (,), (,),
(‚,), (‚,), (‚,), (‚,) } : # E1 = 8
20
8
S
11
#
# EEP
Probabilità 02 - 13 / 53
Necessità di approccio corretto e rigoroso
S = { (,‚), (,), (,), (,), (‚,), (‚,),…, (,), (,‚),…, (,) }
• Definiamo poi i seguenti eventi:
– E1: la prima pallina estratta sia bianca
– E2: la seconda pallina estratta sia bianca
– E3: la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera
– E4: la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche
– E5: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 5
– E6: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 5
– E7: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 4
– E8: la somma dei numeri delle palline estratte sia minore o uguale a 10
– E9: la somma dei numeri delle palline estratte sia uguale a 10
S = { (●,●), (●,○), (○,●), (○,○) }
Probabilità 02 - 14 / 53
Necessità di approccio corretto e rigoroso
S = { (●,●), (●,○), (○,●), (○,○) }• Definiamo poi i seguenti eventi:
– E1: la prima pallina estratta sia bianca
– E2: la seconda pallina estratta sia bianca
– E3: la prima pallina estratta sia bianca e la seconda sia nera
– E4: la prima e la seconda pallina estratte siano entrambe bianche
Probabilità 02 - 15 / 53
Necessità di approccio corretto e rigoroso
• individuata la probabilità p j di
ciascun punto campione: p j =
P [{ sj }] con j = 1, 2, … , N e con p j = 1
N
j 1
• definiamo per ogni evento Ei S:
• E1: la prima pallina estratta sia bianca
ij Esj
iE:
P p
j
20
8
20
6
20
21 EP
Probabilità 02 - 16 / 53
Dal confronto dei risultati potremmo dedurre che anche il primo metodo è corretto dato che i risultati sono uguali
Necessità di approccio corretto e rigoroso
• definiamo per ogni evento Ei S:
ij Esj
iE:
P p
j
20
8
S
11
#
# EEP
20
8
1:
Esj
1
j
EP p
j
Con il processo deduttivo è anche possibile dimostrare che60 è divisibile per 7
Probabilità 02 - 17 / 53
Funzione di probabilità
Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che:– ha per dominio lo spazio degli eventi A ,– ha per codominio l’intervallo [ 0, 1 ] ,– soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff
11 i
i
i
i EE PP
1
0
S
EEPP
A•
•
• se E1 , E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi
dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dell’evento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi:
Probabilità 02 - 18 / 53
Variabili casuali
Probabilità 02 - 19 / 53
(T,T) > (T,C) ?
Variabile casuale
premessa• Gli spazi campione possono essere insiemi di oggetti, di
grandezze fisiche, di descrizioni, ecc. non necessariamente trattabili dai comuni operatori matematici.
• La applicazione che realizza questa trasformazioneè la variabile casuale.
• Volendo definire dei modelli adatti allo studio di fenomeni casuali è pertanto opportuno rappresentare gli elementi dello spazio campione mediante numeri reali.
• Per fare ciò dobbiamo stabilireuna corrispondenza fra le possibili manifestazioni del fenomeno casuale trattato
e gli elementi di R .
Probabilità 02 - 20 / 53
Variabile casuale
definizione:
La variabile casuale X è una funzione avente come dominio
lo spazio campione S e come codominio la retta reale, fissato
che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ) in cui si opera.
requisito:
l’insieme di tutti gli elementi
s S tali che la loro
immagine X(s) sia minore
di un determinato x R deve essere un evento.
x2 E = { s1, s3 }
Probabilità 02 - 21 / 53
Variabile casuale
esempio:Consideriamo l’esperimento costituito dal lancio (contemporaneo) di due monete:
S = { (T,T), (T,C), (C,C) }Definiamo la variabile casuale X come: il “numero di teste risultanti”:
X ha dominio = S e codominio = { 0, 1, 2 }
)(2
)(1
)(0
)(
2
1
0
TT,se
CT,se
CC,se
ss
ss
ss
sX
Probabilità 02 - 22 / 53
Variabile casuale
requisito:
l’insieme di tutti gli elementi
s S tali che la loro
immagine X(s) sia minore
di un determinato x R deve essere un evento.
x2 = 2 E = { s0, s1 } = = “no 2 teste”
)(2
)(1
)(0
)(
2
1
0
TT,se
CT,se
CC,se
ss
ss
ss
sX
Probabilità 02 - 23 / 53
Variabile casuale
Nello spazio campione S non è rappresentata la “popolazione dei lanci effettuati”, ma sono presenti solo i “possibili risultati”.
Probabilità 02 - 24 / 53
“Mappatura” di S
(C,C) 0
(T,C) 1
(C,C) 2
Variabile casuale
Probabilità 02 - 25 / 53
Popolazione oggetto
• Si definisce “popolazione oggetto” l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica.
• Una popolazione oggetto può essere finita o infinita a seconda che sia composta da un numero finito o infinito di elementi (persone, oggetti, misure, osservazioni, …)
• Limitiamo il nostro interesse a quelle caratteristiche comuni agli elementi della popolazione oggetto che sono classificabili come “grandezze misurabili” (numerali, razionali, strumentali, selettive, complesse).
Probabilità 02 - 26 / 53
Popolazione oggetto
Misurazione Variabile casuale
Probabilità 02 - 27 / 53
Dalla popolazione oggetto alla variabile casuale
Caratteristica comune dellapopolazione
oggetto
Misure della caratteristicacomune della
popolazione oggetto
con dimensione fisica
con unità di misura
adimensionaleValori della
variabile casuale X
Probabilità 02 - 28 / 53
Dalla popolazione oggetto alla variabile casuale
Caratteristica comune dellapopolazione
oggetto
Misure della caratteristicacomune della
popolazione oggetto
Valori della
variabile casuale X
Francesca Piccinini e Simona Gioli
h = 1,85 metri
Probabilità 02 - 29 / 53
Dallo spazio campione alla retta reale
tramite la variabile casuale
definizione:
La variabile casuale X è una funzione avente come dominio lo
spazio campione S e come codominio la retta reale,
fissato che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ) in cui si opera.
convenzione:
Indicheremo con X(s) la variabile casuale e con
x i valori che
essa assume
Probabilità 02 - 30 / 53
La modellazione della popolazione oggetto:
le funzioni di probabilità e le variabili casuali
Probabilità 02 - 31 / 53
Modello della popolazione oggetto
Le funzioni di probabilità, cioè la
– densità di probabilità fX ( x ) e la
– distribuzione cumulativa di probabilità FX ( x ),
sono “modelli matematici” con cui si cerca di descrivere la popolazione
oggetto per quanto è attinente al
valore (della misura) della caratteristica comune.
Probabilità 02 - 32 / 53
Funzione di distribuzione cumulativa
definizione:
Data una variabile casuale X si definisce
funzione di distribuzione cumulativa FX ( x ) quella funzione che:
• ha per dominio l’asse reale• ha per codominio l’intervallo chiuso [ 0 , 1 ]• ed è definita come:
FX ( x ) = P [ X x ] = P [ { s : X ( s ) x } ]
Probabilità 02 - 33 / 53
Funzione di distribuzione cumulativa
FX ( x ) = P [ X x ] = P [ { s : X ( s ) x } ]
A rigore:
La funzione di distribuzione cumulativa associa ad ogni valore x della variabile casuale X la probabilità dell’evento costituito
da tutti i punti campione s che hanno immagine X ( s ) minore o uguale ad x .
Probabilità 02 - 34 / 53
Funzione di distribuzione cumulativa
FX ( x ) = P [ X x ] = P [ { s : X ( s ) x } ]
In termini semplificati:
La funzione di distribuzione cumulativa associa ad ogni valore x della variabile casuale X
la somma delle probabilità dei punti campione s che hanno immagine X ( s ) minore o uguale ad x .
Probabilità 02 - 35 / 53
Le funzioniper le
variabili casualidiscrete
Probabilità 02 - 36 / 53
Funzione di distribuzione cumulativa per una variabile casuale discreta
esempio:
Consideriamo l’esperimento costituito dal lancio (contemporaneo) di due monete:
S = { (T,T), (T,C), (C,C) }
Sia X la variabile casuale che indica il “numero di teste risultanti”:
X ha dominio = S e codominio = { 0, 1, 2 }
)(2
)(1
)(0
)(
2
1
0
TT,se
CT,se
CC,se
ss
ss
ss
sX
Probabilità 02 - 37 / 53
spazio campione: S = { (T,T), (T,C), (C,C) }
)(2
)(1
)(0
)(
2
1
0
TT,se
CT,se
CC,se
ss
ss
ss
sXvariabile casuale:
probabilità deitre punti campione:
P (s0) = 0,25
P (s1) = 0,5
P (s2) = 0,25
Funzione di distribuzione cumulativa per una variabile casuale discreta
FX ( x ) = P [ X x ]
Probabilità 02 - 38 / 53
riassumendo: Funzione di distribuzione cumulativa
)(2
)(1
)(0
)(
2
1
0
TT,se
CT,se
CC,se
ss
ss
ss
sX
P (s0) = 0,25
P (s1) = 0,5
P (s2) = 0,25
FX ( x ) = P [ X x ]
Probabilità 02 - 39 / 53
Funzione di densità discreta
definizione:
Data una variabile casuale discreta X avente codominio
{ x1 , x2 , … , xn , … } R si dice
“ funzione di densità discreta di X ” o “ funzione di probabilità ”
quella funzione fX ( x ) che:
• ha per dominio l’asse reale,• ed è definita da:
j
jj
Xxx
njxxxXxf
se
conse ,,,2,1,
0
P
Probabilità 02 - 40 / 53
Funzione di densità discreta
In termini semplificati:
La funzione di densità discreta associa ad ogni
valore x della variabile casuale X la probabilità del
punto campione s che ha immagine X ( s ) uguale ad x
j
jj
Xxx
njxxxXxf
se
conse ,,,2,1,
0
P
Probabilità 02 - 41 / 53
spazio campione: S = { (T,T), (T,C), (C,C) }
)(2
)(1
)(0
)(
2
1
0
TT,se
CT,se
CC,se
ss
ss
ss
sXvariabile casuale:
probabilità deitre punti campione:
P (s0) = 0,25
P (s1) = 0,5
P (s2) = 0,25
Funzione di densità discreta
j
jj
Xxx
xxxXxf
se
se
0
P
Probabilità 02 - 42 / 53
riassumendo: Funzione di densità discreta
)(2
)(1
)(0
)(
2
1
0
TT,se
CT,se
CC,se
ss
ss
ss
sXP (s0) = 0,25
P (s1) = 0,5
P (s2) = 0,25
j
jj
Xxx
njxxxXxf
se
conse ,,,2,1,
0
P
Probabilità 02 - 43 / 53
Funzione di densità discreta
• Gli elementi dell’insieme { x1 , x2 , … , xn , … } R vengono indicati con il nome di “punti massa”.
• La funzione di densità discreta fX ( x ) è una funzione
da R nell’intervallo chiuso [ 0,1 ] che gode delle seguenti proprietà:
più precisamente: fX ( x ) > 0 per ogni x = xj e
fX ( x ) = 0 per ogni x xj
ove la sommatoria è estesa a tutti punti massa x1 , x2 , … , xn , …
R xxf x ,0
1j
jx xf
Probabilità 02 - 44 / 53
Legami fra fX e FX ( x )
• La funzione di distribuzione cumulativa FX ( x )
è legata alla funzione di densità discreta fX
della stessa variabile casuale X dalla relazione:
xxj
jX
j
xf:
FX (x)
Probabilità 02 - 45 / 53
funzione di
densità discreta fX ( x )
funzione di distribuzione
cumulativa F X ( x )
Legami fra fX e FX ( x )
xxj
jX
j
xf:
FX (x)
Probabilità 02 - 46 / 53
Legami fra fX e FX ( x )
• La funzione di densità discreta fX è legata alla
funzione di distribuzione cumulativa FX ( x )
della stessa variabile casuale X dalla relazione:
j
jjh
j
Xxx
xxhxxxf
se
0
lim0
FX FX
Probabilità 02 - 47 / 53
funzione di distribuzione
cumulativa F X ( x )
funzione di
densità discreta fX ( x )
Legami fra fX e FX ( x )
jjh
jX xxhxxxf
se0
limFX FX
Probabilità 02 - 48 / 53
Variabili casualicontinue