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Capitolo 4

Quarta lezione

4.1 Introduzione

In questa lezione esamineremo il caso dei due livelli X e Y interagenti inparallelo che non abbiamo stato esaminato nel capitolo 3.In questo caso i due livelli sono detti interagire in parallelo dal momentoche non si ha un passaggio di materia da un livello all’altro come avviene dinorma nel caso delle interazioni in cascata che abbiamo visto nel capitolo 3.Nel caso presente un livello puo mostrare una sua dinamica (sia pure priva diplausibilita fisica data la particolare situazione di interazione) anche qualoral’altro livello assuma costantemente valori nulli mentre questo non puo acca-dere, in genere, nel caso dei modelli che descrivono le interazioni in cascata.Questa modalita di interazione sara applicata al caso di due popolazioni cheinteragiscono secondo varie modalita. Nella sezione 5.4 vedremo come siapossibile estendere un modello basato su due popolazioni mediante l’inseri-mento di una terza popolazione.Per quanto riguarda il caso di due popolazioni interagenti vedremo quattromodelli.Nel primo modello esamineremo il caso di due popolazioni che si influenza-no a vicenda mediante interazioni di tipo indiretto o senza aggressivita.In questo caso l’interazione (indiretta) e dovuta al fatto che entrambe le po-polazioni coesistono nello stesso ambiente e non nel fatto che una specie, chediremo dei predatori, preda attivamente l’altra, che diremo delle prede.Nel caso dei modelli basati sulla presenza di prede e predatori diremo, infat-ti, che fra le due popolazioni si ha una interazione di tipo diretto o basatasull’aggressivita.Nei successivi tre modelli, pertanto, tale tipo di interazione sara l’elementochiave di ognuno dei modelli che si differenzia dagli altri solo nel modo in

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4.2 Capitolo 4

cui tale interazione viene realizzata sia nei confronti dell’altra specie sia perquanto riguarda l’influenza esercitata da una specie sulla specie stessa.Un elemento comune ai tre modelli di tipo prede÷predatori e rappresentatodalle seguenti ipotesi:

- i predatori si nutrono solo di quel tipo di prede;

- le prede sono predate solo da quel tipo di predatori.

Per i modelli che vedremo nel presente capitolo ci porremo nella seguentesituazione semplificata:

- si usa un livello per descrivere l’evoluzione nel tempo di una popolazioneper cui i modelli sono caratterizzati da due livelli;

- si considerano due soli flussi per popolazione, uno in ingresso (legatoalla natalita) e uno in uscita (legato alla mortalita);

- si assume che tali flussi interagiscono con i livelli nel modo piu semplicepossibile.

Si ricorda che, in caso di assenza di interazioni fra flussi, sarebbe possibilestudiare le evoluzioni delle popolazioni una indipendentemente dall’altra.Come dovrebbe essere evidente da quanto visto nel capitolo 3 e possibile de-scrivere ciascuna delle due popolazioni usando piu livelli in modo da poterprendere in considerazione i possibili stadi di sviluppo delle singole popola-zioni, come e richiesto in alcuni degli esercizi della sezione 4.6. Torneremosu questi concetti nel capitolo 5.Riassumendo si ha che:

- i modelli contengono due livelli rappresentati con le variabili X e Y ,uno per ciascuna delle popolazioni descritte dal modello;

- ciascun livello e associato ad una equazione differenziale del tipo:

X = φin − φout (4.1)

nella quale φin rappresenta il solo flusso in ingresso e φout il solo flus-so in uscita sebbene nella implementazione si possano introdurre, peraumentare la leggibilita di un modello, un certo numero di variabiliausiliarie;

- si hanno interazioni fra flussi e livelli che traducono le influenzereciproche fra le popolazioni e che caratterizzano ciascun modello.

136

4.2 Capitolo 4

4.2 Due popolazioni interagenti senza aggres-

sivita

4.2.1 Presentazione del modello e analisi formale

Nel caso di questo primo modello si hanno due popolazioni, rappresentatecon le variabili X e Y , che interagiscono in modo indiretto attraverso unambiente comune in cui entrambe vivono. In questo caso si puo pensare checiascuna popolazione sia caratterizzata da:

- una natalita che dipende dalla popolazione stessa,

- una mortalita che dipende dall’affollamento causato dalla specie stessae dall’altra specie con cui coesiste nello stesso ambiente.

In base a tali ipotesi possiamo rappresentare la mortalita come proporzionale,tramite un coefficiente strettamente positivo, sia alla numerosita di ciascunapopolazione sia ad un termine (X + Y ) che indica la numerosita totale del-le due popolazioni. La natalita di una popolazione, d’altro lato, e assuntadipendere dalla sola numerosita della popolazione ovvero dalla variabile, ri-spettivamente, X o Y moltiplicata per un coefficiente strettamente positivoche rappresenta il tasso di natalita per quella popolazione.Date queste ipotesi le equazioni differenziali descrittive delle evoluzioni neltempo delle due popolazioni hanno la forma seguente:

X = aX − α(X + Y )X (4.2)

Y = bY − β(X + Y )Y (4.3)

con i valori iniziali X(0) = X0 e Y (0) = Y0 e con il vincolo che i coefficienti ae b (tassi di natalita) e α e β (che possono essere visti come tassi di mortalitaper unita di popolazione, vedi oltre) assumano valori strettamente positivi.In tali equazioni sono facilmente individuabili i cicli di retroazione positivi enegativi.Nelle relazioni (4.2) e (4.3) il termine (X + Y ) definisce l’elemento di sim-metria fra le due popolazioni che si influenzano reciprocamente secondo unamodalita che viene rappresentata mediante questo termine. In questo mo-do ogni popolazione influenza la propria mortalita ma anche la mortalitadell’altra popolazione. Nel caso della popolazione X la prima influenza erappresentata dal termine αX mentre la seconda e rappresentata dal termi-ne βX . In modo duale si ragiona sulla popolazione Y con i termini αY eβY .Nei modelli del tipo prede e predatori che esamineremo dalla sezione 4.3 in

137

4.2 Capitolo 4

poi vedremo come le due popolazioni si influenzano in modo asimmetricodato che tali interazioni influenzano la mortalita delle prede e la natalita deipredatori.E possibile riscrivere le equazioni differenziali del modello nella formaseguente:

X = (a− αX)X − αXY (4.4)

Y = (b− βY )Y − βXY (4.5)

oppure nella forma seguente:

X = (a− αX − αY )X (4.6)

Y = (b− βY − βX)Y (4.7)

A questo punto, se si considera la (4.4) (ma considerazioni analoghe valgonoper la (4.5)), si ha che, in assenza dell’altra specie (ovvero se Y = 0, condizio-ne che rappresenta una condizione di equilibrio per la (4.5)), tale equazionepuo essere riscritta nella forma seguente:

X = λ0X(1−X

mX

)X (4.8)

dove si e posto:

λ0X = a

mX = a/α

Se si ha X0 < mX/2 la (4.8) ha come soluzione una curva crescente da X0 amX con un punto di flesso (con cambio di concavita) in mX/2. Si noti che sihanno le seguenti relazioni dimensionali1:

[X ] = unit

[a] = 1/t

[α] = 1/(t ∗ unit)

[mX ] = unit

In modo duale se X = 0 si puo riscrivere la (4.5) come segue:

Y = λ0Y (1−Y

mY

)Y (4.9)

se si pone:

1Si ricorda che il carattere ∗ viene usato nelle espressioni matematiche per indicare

l’operazione prodotto in tutti i casi in cui la sua omissione puo dare luogo ad ambiguita.

138

4.2 Capitolo 4

λ0Y = b

mY = b/β

Per questa relazione possono essere svolte considerazioni analoghe a quellefatte per la (4.8).Si fa notare che nella (4.8) e nella (4.9), come risulta anche dall’analisi di-mensionale svolta, i termini mX e mY individuano la massima crescita di unapopolazione in assenza dell’altra. A questo punto ci si propone di:

(a) determinare gli equilibri delle (4.6) e (4.7)

(b) analizzare, nei limiti del possibile, la tipologia di ciascun equilibrio;

(c) determinare una qualche soluzione di tali equazioni differenziali.

In merito al punto (c) si fa notare come si possa considerare di avere unasoluzione anche qualora si riesca ad esprimere in qualche modo l’andamentodelle perturbazioni delle variabili X e Y da una condizione di equilibrio, comesara chiarito nel caso del modello di Samuelson (che vedremo nella sezione4.3) e del modello di Lotka-Volterra semplificato (che vedremo nella sezione4.5).In merito al punto (a) per determinare le condizioni di equilibrio si imponeX = 0 e Y = 0. Da un’esame delle (4.6) e (4.7) si vede subito come si hannoquattro condizioni di equilibrio.

(1) X∗1 = 0 e Y ∗

1 = 0

(2) X∗2 = 0 e Y ∗

2 = mY dato che, se la specie X e assente, la specie Y siespande fino al valore mY .

(3) X∗3 = mX e Y ∗

3 = 0 dato che, se la specie Y e assente, la specie X siespande fino al valore mX .

(4)a− α(X∗

4 + Y ∗4 ) = 0 (4.10)

b− β(X∗4 + Y ∗

4 ) = 0 (4.11)

ovvero:X∗

4 + Y ∗4 =

a

α= mX (4.12)

X∗4 + Y ∗

4 =b

β= mY (4.13)

Da queste relazioni si vede subito come, affinche questo equilibrio siapossibile, debba essere:

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4.2 Capitolo 4

mX = mY = m

In questo caso il segmento X + Y = m (con i vincoli X ∈ [0, m] eY ∈ [0, m]) individua il luogo geometrico degli infiniti punti di equilibriodel sistema delle due equazioni differenziali.

Noti gli equilibri se ne vuole studiare la tipologia (punto (b)). A questo scoposi riscrivono le (4.6) e (4.7) come:

X = F1(X, Y ) = (a− αX − αY )X (4.14)

Y = F1(X, Y ) = ((b− βY − βX)Y (4.15)

Se con X∗, Y ∗ si denota uno dei quattro punti di equilibrio e si indicano conw e z due perturbazioni da una condizione di equilibrio si possono definire iseguenti punti di non equilibrio:

X = X∗ + w ovvero w = X −X∗ e w = X

Y = Y ∗ + z ovvero z = Y − Y ∗ e z = Y

Dalle (4.14) e (4.15) si ricavano, sviluppandole in serie di Taylor fino al primoordine, le seguenti equazioni:

w = F1(X∗ + w, Y ∗ + z) = F1(X

∗, Y ∗) + w∂F1

∂X |X∗,Y ∗

+ z∂F1

∂Y |X∗,Y ∗

(4.16)

z = F2(X∗ + w, Y ∗ + z) = F2(X

∗, Y ∗) + w∂F2

∂X |X∗,Y ∗

+ z∂F2

∂Y |X∗,Y ∗

(4.17)

Se considero che, per definizione di punto di equilibrio, si ha F1(X∗, Y ∗) = 0

e F2(X∗, Y ∗) = 0 e se si considerano le espressioni della F1 e della F2 con

semplici calcoli (e un po’ di manipolazioni il cui scopo sara chiaro nel casodella quarta condizione di equilibrio) si ricavano le seguenti relazioni:

w = w(a− α(X + Y )− αX)− αzX (4.18)

z = −βwY + z(b− β(X + Y )− βY ) (4.19)

che devono essere valutate in ciascuno dei quattro punti di equilibrio.

(1) Nel caso del primo equilibrio (ovvero nel caso di X∗1 = 0 e Y ∗

1 = 0) siha sia w = aw sia z = bz per cui (essendo a > 0 e b > 0) si ha:

w −→ +∞ per t −→ +∞z −→ +∞ per t −→ +∞

140

4.2 Capitolo 4

Questo equilibrio e di tipo instabile dal momento che, una volta per-turbato dalla condizione di equilibrio X∗

1 = 0 e Y ∗1 = 0, il sistema tende

ad allontanarsi sempre piu da questa condizione.

(2) Nel caso del secondo equilibrio X∗2 = 0 e Y ∗

2 = mY = bβe possibile

riscrivere la (4.18) e la (4.19) nelle forme seguenti:

w = w(a− αb

β) = wa(1− mY

mX

) (4.20)

z = −bw − bz (4.21)

Nella (4.20) si sono usate le seguenti definizioni gia introdotte a suotempo:

mX =a

α(4.22)

mY =b

β(4.23)

Dalla (4.20) si ricava, con tecniche note:

w(t) = w(0)ekt (4.24)

con:k = a(1− mY

mX

) (4.25)

per cui si ha stabilita solo se k < 0 ovvero solo se mY > mX .Se si usa la (4.24) nella (4.21) si puo utilizzare il termine ebt comefattore integrale in modo da riscrivere la (4.21) come:

zebt + bzebt = bw(0)ektebt (4.26)

dalla quale, con semplici passaggi, si ottiene:

z(t) = z(0)e−bt +bw(0)

k + b(ekt − e−bt) (4.27)

per cui anche in questo caso si ha stabilita solo se k < 0 ovvero solo semY > mX .

(3) Nel caso del terzo equilibrio X∗3 = mX e Y ∗

3 = 0 e possibile ripeterel’analisi fatta per il secondo equilibrio.

141

4.2 Capitolo 4

(4) Nel caso del quarto equilibrio si ha:

a− α(X∗4 + Y ∗

4 ) = 0 (4.28)

b− β(X∗4 + Y ∗

4 ) = 0 (4.29)

per cui e possibile riscrivere la (4.18) e la (4.19) nelle forme seguenti:

w = −αX∗4w − αX∗

4z (4.30)

z = −βY ∗4 w − βY ∗

4 z (4.31)

Se si pone αX∗4 = k > 0 e βY ∗

4 = h > 0 si ottiene il seguente sistemadi due equazioni differenziali del primo ordine nelle incognite w e z:

(

wz

)

=

(

−k −k−h −h

)(

wz

)

(4.32)

che puo essere riscritto nella forma seguente, con le ovviecorrispondenze:

W = AW (4.33)

Come sara spiegato in dettaglio nel capitolo 6 per risolvere il sistema(4.33) e necessario:

- determinare due valori (detti autovalori) di un parametro λ taleche det(A− λI) = 0,

- per ogni valore del parametro λ (ovvero per ogni autovalore) de-terminare un vettoreV (detto autovettore) tale che sia soddisfattala seguente uguaglianza;

AV = λV (4.34)

La matrice I e la matrice identita i cui elementi sono tutti uguali a 0tranne quelli della diagonale principale che sono uguali a 1.Con semplici calcoli, dai dati in nostro possesso si ottiene la seguenteequazione di secondo grado nell’incognita λ (tale equazione costituiscela cosiddetta equazione caratteristica):

(k + λ)(h+ λ)− hk = 0 (4.35)

ovvero:λ(λ+ k + h) = 0 (4.36)

dalla quale si hanno i seguenti autovalori:

142

4.2 Capitolo 4

λ1 = 0

λ2 = −(k + h) < 0

Al primo autovalore λ1 = 0 corrisponde il seguente autovettore(ottenibile risolvendo la (4.34) con λ = λ1):

V1 =

(

−11

)

(4.37)

Al secondo autovalore λ2 = −(k + h) < 0 corrisponde un autovettoreV2 che, con semplici calcoli (ovvero risolvendo la (4.34) con λ = λ2), siscopre avere la forma seguente:

V2 =

(

1hk

)

(4.38)

Come sara mostrato in dettaglio nel capitolo 6, la soluzione del nostrosistema di equazioni differenziali ha la forma seguente:

W = C1V1 + C2V2eλ2t (4.39)

nella quale i valori delle costanti C1 e C2 dipendono da due condizioniiniziali.Dal momento che si ha λ2 = −(k + h) < 0 si ha che per t −→ +∞ siha:

W −→ C1V1 (4.40)

In questo caso si parla di stabilita non asintotica in modo che questoequilibrio possa essere definito come indifferente.

Esercizio 4.2.1 Ripetere per il terzo equilibrio l’analisi svolta nel caso delsecondo equilibrio.

L’ultimo passo da compiere e quello di individuare almeno la struttura dellesoluzioni (punto (c)) delle equazioni differenziali date che vengono riscrittequi di seguito per comodita.

X = aX − α(X + Y )X (4.41)

Y = bY − β(X + Y )Y (4.42)

Per procedere nella determinazione di una soluzione e possibile sfruttare lapresenza del fattore (X + Y ) in comune alle due equazioni. In questo modoe possibile riscrivere le equazioni date come:

X − aX

αX= −(X + Y ) (4.43)

143

4.2 Capitolo 4

Y − bY

βY= −(X + Y ) (4.44)

dalle quali si ottiene, utilizzando le definizioni (4.22) e (4.23):

X

αX− Y

βY= mX −mY = m (4.45)

Utilizzando la tecnica delle variabili separabili e possibile riscrivere la (4.45)come:

dX

αX− dY

βY= mdt (4.46)

dalla quale, integrando membro membro e con semplici calcoli, si ottiene:

lnX

1

α

Y1

β

= mt+ k (4.47)

con:

k = lnX(0)

1

α

Y (0)1

β

(4.48)

Sostituendo la (4.48) nella (4.47) si ottiene:

ln( XX(0)

)1

α

( YY (0)

)1

β

= mt (4.49)

ovvero:( XX(0)

)1

α

( YY (0)

)1

β

= emt (4.50)

E possibile arrivare allo stesso risultato per altra via se si integra la (4.45) fragli estremi X0 e X , Y0 e Y e 0 e t in modo da scriverla nella forma seguente:

1

α

∫ X

X0

ds

s− 1

β

∫ Y

Y0

ds

s=

∫ t

0

Mds (4.51)

dalla quale con semplici passaggi e facile ricavare la (4.50).Per la (4.50) si considerano i casi seguenti.

(1) Se si hanno due specie simmetriche ovvero due specie caratterizzate davalori identici per mX e mY si ha m = mX −mY = 0 per cui la (4.50)si trasforma nella:

(X

X(0))

1

α = (Y

Y (0))

1

β (4.52)

A questo punto si hanno i due sottocasi seguenti:

144

4.2 Capitolo 4

(1a) α = β

(1b) α 6= β

Se α = β si ha che la compresenza delle due popolazioni ne influenza lamortalita nella stessa misura per cui dalla (4.52) si ottiene la seguenterelazione lineare fra le due popolazioni:

X(t) =X(0)

Y (0)Y (t) (4.53)

Se invece e α 6= β la (4.50) si trasforma nella:

X(t) = X(0)(Y (t)

Y (0))αβ (4.54)

Se si ha α > β si ha α/β > 1 per cui se Y cresce (ovvero se Y (t) >Y (0)) anche X cresce (ovvero si ha X(t) > X(0)) mentre se Y decresce(ovvero se Y (t) < Y (0)) anche X decresce (ovvero si ha X(t) < X(0)).Se si ha α < β si ha α/β < 1 si possono ripetere gli stessi ragionamentiscambiando il ruolo delle due variabili X e Y ovvero utilizzando laseguente relazione:

Y (t) = Y (0)(X(t)

X(0))β

α (4.55)

(2) Se, invece, si ha m 6= 0 ovvero si ha mX 6= mY si devono considerare idue sottocasi seguenti:

(a) m > 0 ovvero si ha mX > mY

(b) m < 0 ovvero si ha mX < mY

Nel caso (a) dalla (4.50) si ottiene:

( XX(0)

)1

α

( YY (0)

)1

β

−→ +∞ (4.56)

per t −→ +∞. Da questo fatto si deduce che, siccome la X(t) assumevalori finiti nel tempo, deve necessariamente essere Y (t) −→ 0 pert −→ +∞ ovvero la popolazione con il valore piu basso del parametro“capacita di carico” si estingue.In modo del tutto analogo dal fatto che, nel caso (b), dalla (4.50) siottiene:

( XX(0)

)1

α

( YY (0)

)1

β

−→ 0 (4.57)

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4.2 Capitolo 4

per t −→ +∞ discende che, dato che la Y (t) assume valori finiti neltempo, deve necessariamente essere X(t) −→ 0 per t −→ +∞ ovve-ro, anche in questo caso, la popolazione con il valore piu basso delparametro “capacita di carico” si estingue.

4.2.2 Implementazione del modello con Vensim

Il modello Vensim viene realizzato partendo dalle equazioni differenzialiseguenti:

X = aX − α(X + Y )X (4.58)

Y = bY − β(X + Y )Y (4.59)

Da tali equazioni, come gia noto, si derivano per i parametri (tutti assunti avalori strettamente positivi) le seguenti relazioni dimensionali:

[a] = 1/t

[α] = 1/(t ∗ unit)

[b] = 1/t

[β] = 1/(t ∗ unit)

Per ragioni chiarite nella sezione 4.2.1 (e sulla scorta delle suddette rela-zioni dimensionali) si capisce come sia preferibile caratterizzare il modelloutilizzando i parametri α e β insieme ai parametri seguenti che definisconole capacita di carico delle due popolazioni quando ciascuna e considerata inassenza dell’altra:

mX =a

α(4.60)

mY =b

β(4.61)

Le relazioni caratteristiche del modello rappresentato in figura 4.1 sonoriportate qui di seguito.

(01) a=mX*alpha

Units: 1/Month

(02) alpha=0

Units: 1/(Month*unit) [0,1,0.001]

(03) b=mY*beta

Units: 1/Month

(04) beta=0


146

4.2 Capitolo 4

(05) FINAL TIME = 18

Units: Month [2,100,1]

The final time for the simulation.

(06) INITIAL TIME = 0

Units: Month

The initial time for the simulation.

(07) inX=a*X

Units: unit/Month

(08) inY=b*Y

Units: unit/Month

(09) mX=100

Units: unit [100,1000,1]

(10) mY=100

Units: unit [100,1000,1]

(11) outX=alpha*Tot*X

Units: unit/Month

(12) outY=beta*Tot*Y

Units: unit/Month

(13) SAVEPER = TIME STEP

Units: Month [0,?]

The frequency with which output is stored.

(14) TIME STEP=0.0078125

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]

The time step for the simulation.

(15) Tot=X+Y

Units: unit

(16) X= INTEG (inX-outX,X0)

Units: unit

(17) X0=10

Units: unit [0,1000,1]

(18) Y= INTEG (inY-outY,Y0)

Units: unit

(19) Y0=10


Come si deduce da una analisi delle suddette relazioni e, in particolare, dellerelazioni evidenziate qui di seguito, in casi come questi si assume che lepopolazioni che siamo interessati a descrivere sono caratterizzate da valorinumerici della numerosita non molto dissimili fra loro. Nel caso dei modelliin cui si ha una popolazione di prede e una di predatori vedremo, invece,come la popolazione delle prede sia, in genere, molto piu numerosa di quella

147

4.2 Capitolo 4

dei predatori.

(09) mX=100

Units: unit [100,1000,1]

(10) mY=100

Units: unit [100,1000,1]

(17) X0=10


(19) Y0=10


Figura 4.1: Modello Vensim per due popolazioni senza aggressivita

Dalla figura 4.1 e possibile vedere come le variabili esogene del modello sonostate fissate ai valori seguenti:

(02) alpha=0.012


(04) beta=0.012


(09) mX=235

Units: unit [100,1000,1]

(10) mY=156

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4.2 Capitolo 4

Units: unit [100,1000,1]

(17) X0=10


(19) Y0=10


Essendo α = β e mX > mY dalla analisi svolta al termine della sezione 4.2.1si deduce che:

- la popolazione Y si deve estinguere;

- la popolazione X si deve stabilizzare ad un valore di equilibrio pari amX .

Queste previsioni, dati i valori correnti delle variabili esogene, sono confer-mate dall’andamento dei due livelli illustrato in figura 4.2.

Figura 4.2: Possibile andamento dei livelli per il modello Vensim di figura4.1

A questo punto si ritiene utile presentare in figura 4.3 il diagramma causaledel modello Vensim di figura 4.1 in modo da evidenziare i legami causali frale diverse variabili con i relativi segni e gli anelli di retroazione con i rela-tivi segni ma senza i versi di percorrenza, peraltro facilmente ricavabili perciascuno di tali anelli di retroazione. Si ricorda come un diagramma causalepossa essere utilizzato:

149

4.2 Capitolo 4

Figura 4.3: Diagramma causale del modello Vensim di figura 4.1

- come strumento di analisi preliminare come ausilio per la creazione diun diagramma di flusso per la individuazione delle variabili di interessee delle loro relazioni reciproche;

- come strumento per la chiarificazione delle relazioni che esistono fradeterminate variabili in un sistema che sono state quantificate in undiagramma di flusso.

In merito ai diagrammi causali si fa notare come, almeno in teoria, niente vietiun loro utilizzo per l’esecuzione di simulazioni a patto che in un diagrammacausale vengano compiuti i passi necessari ovvero che:

- tutte le variabili abbiano la loro unita di misura;

- le varie relazioni matematiche fra le variabili siano definite;

- tutte le costanti siano inizializzate in modo opportuno.

In genere, tuttavia, non si segue questa strada ma si preferisce usare i dia-grammi causali per gli aspetti qualitativi dell’analisi e i diagrammi di flussoper gli aspetti quantitativi. Il motivo, oltre che in ragioni storiche legate allosviluppo di questa metodologia, e da ricercarsi essenzialmente nella man-canza, nei diagrammi causali, degli elementi pittorici che sono presenti neidiagrammi di flusso.

150

4.2 Capitolo 4

Si ricorda, infine, come il passaggio da un diagramma di flusso al corrispon-dente diagramma causale sia, in genere, una operazione di tipo meccanicomentre, a corollario di quanto detto in precedenza, il passaggio inverso (oltrea richiedere, in genere, la definizione di ulteriori variabili che non sono stateindividuate nella definizione del diagramma causale) richiede sia la tipizza-zione delle variabili sia la definizione delle relazioni matematiche fra le varievariabili per ciascuna delle quali e necessario fissare l’unita di misura oltreal valore iniziale e all’intervallo di variabilita (se si tratta di una variabile ditipo costante).Come noto dalla analisi svolta nella sezione 4.2.1 il presente modello presentaquattro condizioni di equilibrio.Nella figura 4.4 viene presentato un modello Vensim che consente di visua-lizzare dinamicamente tali condizioni con l’avvertenza che, nell’analizzare laquarta condizione di equilibrio, si deve avere l’accortezza di imporre manual-mente la condizione mX = mY , condizione necessaria perche tale equilibriosi realizzi. Le relazioni caratteristiche di questo modello sono riportate quidi seguito.

(01) a=mX*alpha

Units: 1/Month

(02) alpha=0


(03) b=mY*beta

Units: 1/Month

(04) beta=0






Units: Month


(07) inX=a*X

Units: unit/Month

(08) inY=b*Y

Units: unit/Month

(09) mX=100

Units: unit [100,1000,1]

(10) mY=100

Units: unit [100,1000,1]

(11) outX=alpha*Tot*X

151

4.2 Capitolo 4

Figura 4.4: Condizioni di equilibrio per il modello Vensim di figura 4.1

Units: unit/Month

(12) outY=beta*Tot*Y

Units: unit/Month

(13) phi=0

Units: 1/Month [0,1,0.01]


Units: Month [0,?]


(15) switch=1

Units: Dmnl [1,4,1]

(16) switch1=(2-switch)*(3-switch)*(4-switch)/6

Units: Dmnl

(17) switch2=-(1-switch)*(3-switch)*(4-switch)/2

Units: Dmnl

152

4.2 Capitolo 4


Units: Dmnl

(19) swithc4=-(1-switch)*(2-switch)*(3-switch)/6

Units: Dmnl

(20) TIME STEP=1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]


(21) Tot=X+Y

Units: unit


Units: unit

(23) X0="X1*"*switch1+"X2*"*switch2+"X3*"*switch3+"X4*"*swithc4

Units: unit

(24) "X1*"=0

Units: unit

(25) "X2*"=0

Units: unit

(26) "X3*"=mX

Units: unit

(27) "X4*"=mY*phi



Units: unit

(29) Y0="Y1*"*switch1+"Y2*"*switch2+"Y3*"*switch3+"Y4*"*swithc4


(30) "Y1*"=0

Units: unit

(31) "Y2*"=mY

Units: unit

(32) "Y3*"=0

Units: unit

(33) "Y4*"=mY-"X4*"

Units: unit

Le relazioni precedenti coincidono con quelle del modello Vensim di figura4.1 tranne che per le seguenti:

(13) phi=0


(15) switch=1

Units: Dmnl [1,4,1]


153

4.2 Capitolo 4

Units: Dmnl


Units: Dmnl


Units: Dmnl


Units: Dmnl

(23) X0="X1*"*switch1+"X2*"*switch2+"X3*"*switch3+"X4*"*swithc4

Units: unit

(24) "X1*"=0

Units: unit

(25) "X2*"=0

Units: unit

(26) "X3*"=mX

Units: unit

(27) "X4*"=mY*phi



Units: unit

(29) Y0="Y1*"*switch1+"Y2*"*switch2+"Y3*"*switch3+"Y4*"*swithc4


(30) "Y1*"=0

Units: unit

(31) "Y2*"=mY

Units: unit

(32) "Y3*"=0

Units: unit

(33) "Y4*"=mY-"X4*"

Units: unit

Di tali relazioni, a parte quelle che realizzano la struttura di controllo basatasulle variabili switch e che discuteremo a breve, si ritengono degne di notale seguenti:

(13) phi=0


(27) "X4*"=mY*phi


(33) "Y4*"=mY-"X4*"

Units: unit

154

4.2 Capitolo 4

Queste relazioni implementano la rappresentazione parametrizzata secondoil parametro φ ∈ [0, 1] (rappresentato come phi nelle relazioni di Vensim)della retta X∗

4 + Y ∗4 = m fatta usando le seguenti equazioni:

X∗4 = φ ∗m

Y ∗4 = (1− φ)m

D’altro lato le relazioni dalla (15) alla (19) con la (23) e la (29) violanoil paradigma di base dei diagrammi causali e permettono di definire unastruttura di controllo in base alla quale:

- quando la variabile switch assume un valore i ∈ [1, 4] assegna il valore1 alla variabile switchi e il valore 0 a tutte le altre;

- la variabile switchi che assume il valore 1 fa si che le variabili X0 eY 0 siano inizializzate con la i−esima coppia di valori Xi∗ e Y i∗ checorrisponde alla i−esima condizione di equilibrio.

Esercizio 4.2.2 Spiegare perche le relazioni dalla (15) alla (19) con la (23)e la (29) violano il paradigma di base dei diagrammi causali.

Come si e visto nella analisi svolta nella sezione 4.2.1 un caso particolare siha quando le due popolazioni sono simmetriche ovvero quando si ha mX =mY = m. Questa situazione e implementata con il modello in figura 4.5 nelquale la simmetria e realizzata utilizzando le seguenti relazioni:

(09) mX=100

Units: unit [100,1000,1]

(10) mY=mX

Units: unit

Come si e anticipato in quella sede le due popolazioni mostrano andamentianaloghi. Se, come si vede dalla figura 4.5, si ha:

α = 0.003 < 0.004 = β (4.62)

e:

X0 < mX

Y0 < mY

155

4.3 Capitolo 4

Figura 4.5: Modello Vensim nel caso simmetrico

allora, come mostrato dalla figura 4.6, si ha che la popolazione Y (di valoreiniziale Y 0 = 10) cresce piu della popolazione X (di valore iniziale X0 = 10).In piu si ha che all’equilibrio stabile le due popolazioni assumono i valori X∗

e Y ∗ tali che si abbia:X∗ + Y ∗ = m (4.63)

con:Y ∗ > X∗ (4.64)

4.3 Primo modello con prede e predatori:

Samuelson


Il modello di Samuelson e il primo dei modelli che esamineremo in questenote che mira a descrivere le interazioni fra una popolazione X di prede (dinumerosita iniziale X(0)) e una popolazione Y di predatori (di numerositainiziale Y (0)).In questo modello faremo l’ipotesi che le prede, da un lato, vivano in unambiente che, in assenza di predatori, pone limitazioni alla loro crescita e,

156

4.3 Capitolo 4

Figura 4.6: Andamento dei livelli nel modello Vensim di figura 4.5

dall’altro, rappresentino l’ambiente per i predatori. Cosa questo significhisara reso chiaro dalle ipotesi che stanno alla base di questo modello.Il modello di Samuelson, infatti, si basa sulle seguenti ipotesi:

- per le prede la mortalita dipende dagli incontri con i predatori e da unamortalita legata all’affollamento delle prede mentre la natalita dipendesolo dalla numerosita delle prede;

- per i predatori la mortalita dipende dalla numerosita dei predatorimentre la natalita dipende dagli incontri con le prede.

In piu si vuole che il modello soddisfi i seguenti requisiti:

- in assenza di prede la popolazione dei predatori decresce in modoesponenziale;

- in assenza di predatori la popolazione delle prede cresce secondo unacurva logistica classica.

Se si assume che:

- il numero degli incontri fra le prede e i predatori sia rappresentatomediante il termine prodotto XY ,

- l’affollamento delle prede ne determina la mortalita sotto forma di untermine quadratico X2,

157

4.3 Capitolo 4

l’equazione descrittiva dell’evoluzione nel tempo del numero delle prede hala struttura seguente:

X = φinX− φoutX = aX − αX2 − γXY (4.65)

con i parametri a (tasso di natalita), α (effetto dell’affollamento delle prede)e γ (letalita degli incontri con i predatori) che assumono valori strettamentepositivi.D’altro lato, l’equazione descrittiva dei predatori ha la struttura seguente:

Y = φinY− φoutY = bXY − βY (4.66)

con b (beneficio da ogni incontro con le prede) e β (tasso di mortalita) cheassumono valori strettamente positivi.Da un esame della (4.65) e della (4.66) si vede che le due popolazioni sonoin una relazione di tipo asimmetrico dal momento che gli incontri fra le duepopolazioni influenzano, da un lato, la mortalita delle prede e, dall’altro, lanatalita dei predatori.Le equazioni differenziali descrittive del modello di Samuelson sono, pertanto,le seguenti:

X = (a− αX − γY )X (4.67)

Y = (bX − β)Y (4.68)

per le quali si hanno le classiche condizioni iniziali (ovvero i valori X(0) eY (0)) e le seguenti relazioni dimensionali:

[a] = 1/t

[α] = 1/(t ∗ unit)

[γ] = 1/(t ∗ unit)

[b] = 1/(t ∗ unit)

[β] = 1/t

Si fa notare come sarebbe, ad esempio, il termine αX ad avere l’unita dimisura che ci si puo aspettare da un tasso di mortalita:

[αX ] = 1t

ma questo termine non rappresenta ne un termine esogeno del modello (per-che dipende da X) ne, per lo stesso motivo, un termine costante.Per prima cosa si deve verificare se il modello cosı definito verifica i requisitirichiesti.

158

4.3 Capitolo 4

Se siamo in assenza di predatori si ha Y (t) = 0 ∀t in modo che la (4.68) siaall’equilibrio mentre la (4.67) possa essere riscritta come:

X = λ0(1−X

mX

)X (4.69)

se si pone:λ0 = a (4.70)

come tasso di natalita intrinseco (ovvero in assenza di limitazioni esterne) e:

mX =a

α(4.71)

come capacita di carico dell’ambiente in relazione alla sola popolazione delleprede.E immediato vedere come la (4.69) soddisfi il secondo dei nostri requisiti.Se siamo in assenza di prede si ha X(t) = 0 ∀t in modo che la (4.67) siaall’equilibrio mentre la (4.68) possa essere riscritta come:

Y = −βY (4.72)

la cui soluzione:Y (t) = Y (0)e−βt (4.73)

soddisfa il primo dei nostri requisiti.A questo punto si procede anche per questo modello con i passi seguenti:

(1) determinazione degli equilibri;

(2) analisi della tipologia di ciascun equilibrio;

(3) possibili caratterizzazioni delle soluzioni.

La determinazione degli equilibri (passo (1)) richiede che si trovino i valoridelle variabili X e Y per i quali si ha X = 0 e Y = 0 nelle due equazionidifferenziali del modello che riportiamo qui di seguito per comodita.

X = (a− αX − γY )X (4.74)

Y = (bX − β)Y (4.75)

Da un esame della (4.74) e della (4.75) si puo dedurre facilmente che si hannoi tre casi seguenti.

(1a)X∗

1 = 0, Y ∗2 = 0 (4.76)

159

4.3 Capitolo 4

(1b)

X∗1 =

a

α= mX , Y

∗2 = 0 (4.77)

(1c)

X∗3 =

β

b, Y ∗

3 =1

γ(ab− αβ

b) (4.78)

che, se si definisce:

mY =β

b(4.79)

e si ricorda la definizione del parametro mX , equivale alla seguentecondizione:

X∗3 = mY , Y

∗3 =

α

γ(mX −mY ) (4.80)

sulla quale si deve imporre il vincolo che sia mX ≥ mY dal momentoche, per definizione, Y ∗

3 non puo assumere valori negativi.Dalla struttura della (4.75) e immediato capire come la (4.79) non possadefinire una capacita di carico per i predatori ma piuttosto definisca unvalore della numerosita delle prede che rappresenta un equilibrio per ipredatori.

A questo punto per analizzare la tipologia di ciascuno di questi equilibri(passo (2)) si riscrivono le equazioni (4.74) e (4.75) nella forma seguente:

X = F1(X, Y ) = (a− αX − γY )X (4.81)

Y = F2(X, Y ) = (bX − β)Y (4.82)

Se si indica con X∗, Y ∗ un generico punto di equilibrio per svolgere l’ana-lisi di stabilita si definisce un punto di non equilibrio in funzione di dueperturbazioni w e z:

X = X∗ + w

Y = Y ∗ + z

dove w = X − X∗ rappresenta la perturbazione delle prede dal valore diequilibrio e z = Y −Y ∗ rappresenta la simultanea perturbazione dei predatoridal valore di equilibrio. In questo modo si ha:

X = w

Y = z

160

4.3 Capitolo 4

Se si applica uno sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo ordine aisecondi membri della (4.81) e della (4.82) si ottengono le seguenti relazioni:

X = w = F1(X∗+w, Y ∗+z) = F1(X

∗, Y ∗)+w∂F1(X, Y )

∂X |X∗,Y ∗

+z∂F1(X, Y )

∂Y |X∗,Y ∗

(4.83)

Y = z = F2(X∗+w, Y ∗+z) = F2(X

∗, Y ∗)+w∂F1(X, Y )

∂X |X∗,Y ∗

+z∂F1(X, Y )

∂Y |X∗,Y ∗

(4.84)Se si tiene conto del fatto che dalla definizione di equilibrio si ha:

F1(X∗, Y ∗) = 0

F2(X∗, Y ∗) = 0

calcolando le derivate che compaiono nella (4.83) e nella (4.84) con pochisemplici passaggi si possono determinare le relazioni seguenti:

w = w(a− 2αX∗ − γY ∗)− γX∗z (4.85)

z = bY ∗w + z(bX − β) (4.86)

Tali relazioni devono essere valutate nei tre punti di equilibrio in modo dadefinire la tipologia di ciascuno di essi.(2a) Nel caso del punto X∗

1 = 0, Y ∗1 = 0 si ha:

w = aw (4.87)

z = −βz (4.88)

per cui l’equilibrio e instabile. In questo caso la perturbazione delle prede dalvalore di equilibrio ne causa l’aumento e questo fatto, in presenza di un certonumero di predatori dovuti alla perturbazione iniziale z(0) = Y (0) − Y ∗,innesca la dinamica del modello e questa dinamica ci allontana da questacondizione di equilibrio.(2b) Nel caso del punto X∗

2 = a/α, Y ∗2 = 0 si ha:

w = −aw − γa

αz (4.89)

z = z(ba

α− β) (4.90)

Per la soluzione di tali equazioni si parte dalla (4.90) che, usando la (4.71) ela (4.79), puo essere riscritta nella forma seguente:

z = zb(a

α− β

b) = zb(mX −mY ) = Mz (4.91)

161

4.3 Capitolo 4

se si pone M = b(mX −mY ).La (4.91) ha la seguente soluzione:

z(t) = z(0)eMt (4.92)

per la quale, in astratto, si hanno le seguenti possibilita:

- stabilita se e M < 0 ovvero mX < mY

- instabilita se e M > 0 ovvero mX > mY

- indifferenza se e M = 0 ovvero mX = mY

Dal momento che si e imposto il vincolo che sia mX ≥ mY la condizionedi stabilita non si puo mai verificare per cui per la z(t) si ha instabilita oindifferenza.Con questo risultato a disposizione si puo riscrivere la (4.89) nella formaseguente:

w = −aw − γa

αz(0)eMt = −aW −AeMt (4.93)

se si pone:

A = γa

αz(0) > 0 (4.94)

Utilizzando il metodo del fattore integrale (posto pari a eat) con alcunisemplici passaggi si arriva alla seguente soluzione:

w(t) = w(0)e−at − A

a+M(eMt − eat) (4.95)

per la quale valgono le considerazioni precedenti ovvero per la quale si ha, inastratto:

- stabilita se e M < 0 ovvero mX < mY

- instabilita se e M > 0 ovvero mX > mY

- indifferenza se e M = 0 ovvero mX = mY

Di nuovo, stante il vincolo che sia mX ≥ mY la condizione di stabilita non sipuo mai verificare per cui per la z(t) si ha instabilita o indifferenza.Ricapitolando (e tendendo conto del vincolo mX ≥ mY ) si ha che il punto diequilibrio X∗

2 = a/α, Y ∗2 = 0 e di tipo:

- instabile se e mX > mY

- indifferente se e mX = mY

162

4.3 Capitolo 4

(2c) Per quanto riguarda la terza e ultima condizione di equilibrio:

X∗3 =

β

b= mY (4.96)

Y ∗3 =

α

γ(mX −mY ) (4.97)

si ottengono le seguenti relazioni:

w = −αmYw − γmY z (4.98)

z =αb

γ(mX −mY )w (4.99)

A questo punto si possono definire i seguenti parametri, tutti di sicuro nonnegativi per come sono definiti i parametri nella (4.98) e nella (4.99) e per ilvincolo mX ≥ mY :

h = αmY > 0

k = γmY > 0

m = αbγ(mX −mY ) ≥ 0

in modo che la (4.98) e la (4.99) possano essere riscritte nella forma matricialeseguente:

(

wz

)

=

(

−h −km 0

)(

wz

)

= A

(

wz

)

(4.100)

con le ovvie corrispondenze. Per la soluzione di queste equazioni si devonocalcolare le soluzioni della seguente equazione:

det(A− λI) = 0 (4.101)

nella quale la matrice I e una matrice quadrata di ordine due ed e dettaessere una matrice unitaria dal momento che i suoi termini sulla diagonaleprincipale sono uguali a 1 mentre tutti gli altri sono uguali a 0.Risolvendo la (4.101) si ottiene la seguente equazione del secondo gradonell’incognita λ:

λ(h+ λ) + km = 0 (4.102)

ovvero:λ2 + hλ+ km = 0 (4.103)

Come vedremo meglio nel capitolo 6, se con λ1 e λ2 si indicano le due radicidella (4.103), si ha:

163

4.3 Capitolo 4

λ1 + λ2 = −h < 0

λ1 ∗ λ2 = km ≥ 0

Da tali condizioni derivano le seguenti possibilita:

- se λ1 ∗ λ2 = 0 si ha λ1 = −h < 0 e λ2 = 0 per cui si parla di stabilitain un caso di equilibrio indifferente;

- se λ1 ∗ λ2 > 0 e le radici sono reali allora sono entrambe negative percui si parla di stabilita e di stabilita asintotica;

- se λ1∗λ2 > 0 e le radici sono complesse coniugate allora hanno la formaseguente:

λ1 = σ + iω

λ1 = σ − iω

in modo che sia:

λ1 + λ2 = 2σ = −h < 0

λ1 ∗ λ2 = σ2 + ω2 > 0

Dalla prima di tali condizioni si ricava σ = −h/2 < 0 per cui le espres-sioni per w(t) e z(t) sono caratterizzate dal prodotto di un esponenzialedecrescente per una oscillazione di tipo sinusoidale o cosinusoidale ov-vero sono caratterizzate da delle oscillazioni smorzate. Anche in questocaso si parla di stabilita e di stabilita asintotica, concetti che sarannoformalmente definiti nel capitolo 6. Per il momento ci si limita ad os-servare che la stabilita asintotica presuppone una riduzione progressivafino all’annullamento degli scostamenti da una condizione di equilibrioe pertanto implica la stabilita .

In merito alla caratterizzazione delle soluzioni (passo (3)) in questo caso lastruttura delle equazioni differenziali (4.74) e (4.75) non ci consente di rica-vare ne una soluzione ne una relazione fra le variabili X e Y contrariamentea quanto abbiamo fatto per il modello esaminato nella sezione 4.2. In questocaso l’unica via percorribile e quella della simulazione, ovvero della soluzioneper via numerica, che vedremo nella sezione 4.3.2.

164

4.3 Capitolo 4


Per implementare il modello con Vensim sarebbe possibile utilizzare leseguenti equazioni differenziali:

X = (a− αX)X − γXY (4.104)

Y = (bX − β)Y (4.105)

In queste equazioni si sono utilizzati i parametri a, α γ, b e β. Se si ricordal’analisi svolta a proposito delle condizioni di equilibrio e facile capire comeabbia senso introdurre i parametri mX e mY definiti in base alle relazioniseguenti:

mX =a

α(4.106)

mY =β

b(4.107)

in modo da scrivere:a = αmX (4.108)

b =β

mY

(4.109)

In questo modo il modello viene ridefinito in base ai parametri α, mX , β emY che ci permettono di riscrivere le equazioni date nella forma seguente:

X = αmXX −X2 − γXY (4.110)

Y =β

mY

XY − βY (4.111)

La figura 4.7 mostra il modello Vensim che implementa tali equazioni dif-ferenziali mentre le relative relazioni caratteristiche sono riportate qui diseguito.

(01) a=alpha*mX

Units: 1/Month

(02) alpha=0.0027

Units: 1/(unit*Month) [0,1,0.0001]

(03) b=beta/mY

Units: 1/(unit*Month)

(04) beta=0.1248

Units: 1/Month [0,1,0.0001]



165

4.3 Capitolo 4

Figura 4.7: Implementazione in Vensim del modello di Samuelson


(06) gamma=0.3625



Units: Month


(08) inX=a*X

Units: unit/Month

(09) inY=b*matches

Units: unit/Month

(10) matches=X*Y

Units: unit*unit

(11) mX=1259

166

4.3 Capitolo 4

Units: unit [10,10000,1]

(12) mY=10


(13) outX=outX1+outX2

Units: unit/Month

(14) outX1=alpha*X^2

Units: unit/Month

(15) outX2=matches*gamma

Units: unit/Month

(16) outY=beta*Y

Units: unit/Month


Units: Month [0,?]


(18) TIME STEP = 0.0625

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]



Units: unit

(20) X0=100

Units: unit [0,10000,1]


Units: unit

(22) Y0=10


Da un esame di tali relazioni si vede come i parametri sono stati inizializzatiai seguenti valori iniziali:

(02) alpha=0.0027


(04) beta=0.1248

Units: 1/Month [0,1,0.0001]

(06) gamma=0.3625


(11) mX=1259

Units: unit [10,10000,1]

(12) mY=10


(20) X0=100

Units: unit [0,10000,1]


167

4.3 Capitolo 4

Units: unit

(22) Y0=10


Da tali equazioni si vede come:

- le prede sono, almeno inizialmente, piu numerose dei predatori;

- il valore di equilibrio delle prede in assenza di predatori (mX) sia moltomaggiore del valore di equilibrio dei predatori in presenza di prede(mY ).

In questo modo il modello produce, per le due popolazioni di prede X e dipredatori Y , gli andamenti mostrati in figura 4.8.

Figura 4.8: Evoluzione delle popolazioni per il modello di figura 4.7

Da tale figura si vede come le due popolazioni varino secondo due andamentioscillatori leggermente sfasati fra di loro in modo che:

- quando il numero dei predatori e al suo massimo il numero delle predee in diminuzione prossime al suo minimo;

- quando le prede scarseggiano i predatori diminuiscono;

168

4.3 Capitolo 4

- quando il numero dei predatori e in decrescita prossimo al minimo ilnumero delle prede inizia a crescere di nuovo.

Sebbene la figura non lo mostri si puo vedere come, allungando di moltola durata della simulazione, le prede e i predatori mostrano un andamentooscillatorio smorzato che si adagia, per entrambe le popolazioni, su un valorepari a mY .In figura 4.9 si riporta il diagramma causale corrispondente al diagramma diflusso di figura 4.7. L’analisi di tale diagramma ci consente di capire meglio lerelazioni fra le variabili del modello che sono rappresentate, in modo sintetico,nelle equazioni differenziali (4.110) e (4.111).

Figura 4.9: Diagramma causale del modello di figura 4.7

Come noto dalla sezione 4.2.1 il modello di Samuelson prevede tre condizionidi equilibrio. La figura 4.10 presenta una estensione del modello di figura 4.7progettata allo scopo di facilitare l’analisi di tali condizioni di equilibrio.Le relazioni caratteristiche di questo modello sono riportate qui di seguito.

(01) a=alpha*mX

Units: 1/Month

(02) alpha=0.0027


(03) b=beta/mY

169

4.3 Capitolo 4

Figura 4.10: Test degli equilibri per il modello di Samuelson

Units: 1/(unit*Month)

(04) beta=0.1248

Units: 1/Month [0,1,0.001]




(06) gamma=0.3625

Units: 1/(unit*Month) [0.001,1,0.001]


Units: Month


(08) inX=a*X

Units: unit/Month

(09) inY=b*matches

Units: unit/Month

(10) matches=X*Y

Units: unit*unit

(11) mX=1259

170

4.3 Capitolo 4

Units: unit [10,10000,1]

(12) mY=10



Units: unit/Month

(14) outX1=alpha*X^2

Units: unit/Month

(15) outX2=matches*gamma

Units: unit/Month

(16) outY=beta*Y

Units: unit/Month


Units: Month [0,?]


(18) switch=1

Units: Dmnl [1,3,1]

(19) switch1=(2-switch)*(3-switch)/2

Units: Dmnl

(20) switch2=-(1-switch)*(3-switch)

Units: Dmnl

(21) switch3=(1-switch)*(2-switch)/2

Units: Dmnl

(22) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]



Units: unit

(24) X0="X1*"*switch1+"X2*"*switch2+"X3*"*switch3


(25) "X1*"=0


(26) "X2*"=mX

Units: unit

(27) "X3*"=mY

Units: unit


Units: unit

(29) Y0="Y1*"*switch1+"Y2*"*switch2+"Y3*"*switch3


(30) "Y1*"=0


171

4.4 Capitolo 4

(31) "Y2*"=0


(32) "Y3*"=alpha*(mX-mY)/gamma

Units: unit

Anche in questo caso si fa uso di una struttura di controllo analoga a quellavista nella sezione 4.2.2 e basata sull’uso di una variabile swithch (definitadalla (18) che assume un valore intero nell’insieme {1, 2, 3} e che, per ciascu-no di tali valori, fa in modo che solo una delle variabili switchi (definite dallerelazioni dalla (19) alla (21)) assuma un valore non nullo. In questo modoi valori iniziali dei due livelli sono inizializzati con il valore corretto corri-spondente a ciascuna delle condizioni di equilibrio che si vuole analizzare perquesto modello.

4.4 Secondo modello con prede e predatori:

Lotka-Volterra completo

4.4.1 Commenti introduttivi

Il modello di Samuelson che abbiamo analizzato nella sezione 4.3 si ba-sa su una sostanziale asimmetria fra le prede e i predatori. Secondo questaasimmetria le prede vivono in un ambiente che, in assenza di predatori, nelimita la crescita ad un livello di equilibrio pari al valore della capacita dicarico mX mentre l’ambiente dei predatori e rappresentato dalle prede percui, in assenza di prede, i predatori si estinguono, a partire da un valoreiniziale, in modo che la loro numerosita nel tempo sia descrivibile utilizzan-do una funzione di tipo esponenziale decrescente in cui compare il tasso dimortalita dei predatori. In questo caso la natalita dei predatori, dipendendodagli incontri con le prede, e ovviamente nulla.Nel modello di Lotka-Volterra completo che esaminiamo in questa sezione siestende la asimmetria fra le due specie dato che si assume una influenza ditipo negativo delle prede su se stesse, come nel modello di Samuelson, e unainfluenza di tipo positivo dei predatori su se stessi che, invece, nel model-lo di Samuelson e assente. Tali influenze saranno trascurate nel modello diLotka-Volterra semplificato che presenteremo nella sezione 4.5.


Il primo dei due modelli della famiglia Lotka-Volterra che presentiamo inqueste note e detto essere completo perche estende la suddetta asimmetriafra le prede X e i predatori Y in modo che:

172

4.4 Capitolo 4

- la variazione X delle prede dipende da una natalita e da due mortalita,

- la variazione Y dei predatori dipende da due natalita e da unamortalita.

Per le prede si puo scrivere la seguente equazione di bilancio:

X = φin − φout1 − φout2 (4.112)

Nella (4.112) si ha che φin individua la natalita propria delle prede, φout1 in-dividua la mortalita legata all’affollamento delle prede mentre φout2 individuala mortalita legata agli incontri fra le prede e i predatori. In modo formalesi ha che valgono se seguenti relazioni:

φin = aX (4.113)

φout1 = αX2 (4.114)

φout2 = γXY (4.115)

Nelle suddette relazioni si ha che:

a rappresenta il tasso di natalita delle prede,

α rappresenta il tasso di mortalita per preda legato all’affollamentodelle prede,

γ rappresenta, per ogni preda, la letalita degli incontri con i predatori.

Si ritiene degno di nota il fatto che i termini αX e γY hanno l’unita dimisura di una frequenza (come ci si aspetterebbe da una costante esogenadefinita come un tasso di mortalita) se non che tali termini non sono ne ditipo esogeno ne costanti.In modo duale per i predatori si puo scrivere:

Y = φin1+ φin2

− φout (4.116)

Nella (4.116) si ha che φin1individua la natalita propria dei predatori, φin2

individua la natalita legata agli incontri fra le prede e i predatori mentre φout

individua la mortalita dei predatori. In modo formale si ha che valgono leseguenti relazioni:

φin1= βY 2 (4.117)

φin2= δXY (4.118)

φout = bY (4.119)

Nelle suddette relazioni si ha che:

173

4.4 Capitolo 4

b rappresenta il tasso di mortalita dei predatori,

β rappresenta il tasso di natalita per predatore legato agli incontri frai predatori,

δ rappresenta, per ogni predatore, il beneficio degli incontri con leprede.

Sulla scorta delle suddette relazioni si derivano le seguenti equazionidifferenziali descrittive del modello di Lotka-Volterra completo:

X = aX − αX2 − γXY (4.120)

Y = βY 2 + δXY − bY (4.121)

Tali equazioni possono essere scritte anche nella forma seguente:

X = (a− αX − γY )X (4.122)

Y = (βY + δX − b)Y (4.123)

oppure nella forma seguente:

X = (a− αX)X − γXY (4.124)

Y = (βY − b)Y + δXY (4.125)

Le equazioni (4.124) e (4.125) consentono di analizzare le condizioniparticolari in cui:

(a) si hanno prede ma non predatori,

(b) si hanno predatori ma non prede.

Nel caso (a) si ha Y (t) = 0 ∀t ≥ 0 per cui la (4.125) e all’equilibrio mentredalla (4.124) si ha:

X = a(1− α

aX)X (4.126)

Se si nota che si hanno le seguenti relazioni dimensionali:

[a] =1

t(4.127)

[α] =1

t ∗ unit (4.128)

in modo che sia:[a

α] = unit (4.129)

si possono introdurre i seguenti parametri:

174

4.4 Capitolo 4

λ0X = a

mX = a/α

in modo da riscrivere la (4.126) nella forma seguente:

X = λ0X(1−X

mX

)X (4.130)

la cui soluzione ha l’ormai noto andamento della curva da noi definita comecurva logistica (sotto l’ipotesi che sia X0 < mX). Si fa notare che la (4.130)descrive l’andamento richiesto per le prede in assenza di predatori.Nel caso (b) si ha X(t) = 0 ∀t ≥ 0 per cui la (4.124) e all’equilibrio mentredalla (4.125) si ha:

Y = b(β

bY − 1)Y (4.131)

Se si nota che si hanno le seguenti relazioni dimensionali:

[b] =1

t(4.132)

[β] =1

t ∗ unit (4.133)

in modo che sia:

[b

β] = unit (4.134)

si possono introdurre i seguenti parametri:

λ0Y = b

mY = b/β

in modo da riscrivere la (4.131) nella forma seguente:

Y = λ0Y (Y

mY

− 1)Y (4.135)

Dalla (4.135) si vede facilmente come sia:

Y < 0 per Y < mY

Y = 0 per Y = mY

Y > 0 per Y > mY

175

4.4 Capitolo 4

Gia da questo andamento dei segni della derivata si vede come alla (4.135)non corrisponda come soluzione una curva di tipo logistico. Per approfondirel’analisi si puo derivare ancora una volta la (4.135) rispetto al tempo in mododa ottenere, utilizzando la (4.131), la seguente espressione:

Y = λ20Y (

2

mY

Y − 1)(Y

mY

− 1)Y (4.136)

Dalla (4.136) si vede facilmente come sia:

Y > 0 per Y < mY /2

Y = 0 per Y = mY /2

Y < 0 per mY /2 < Y < mY

Y = 0 per Y = mY

Y > 0 per Y > mY

Dall’analisi combinata dei segni di Y e di Y si deriva immediatamente come:

- per Y < mY /2 la Y (t) varia nel tempo con un andamento del tipo e−t

dal momento che si ha Y < 0 e Y > 0,

- per mY /2 < Y < mY varia nel tempo con un andamento del tipo −et

dal momento che si ha Y < 0 e Y < 0,

- per Y > mY varia nel tempo con un andamento del tipo et dal momentoche si ha Y > 0 e Y > 0.

Tali considerazioni confermano come la Y (t) soluzione della (4.135) non possaassolutamente avere la forma di una logistica classica. Al limite, per 0 <Y < mY , la si puo vedere come una sorta di logistica ribaltata per simmetriaattorno al valore t∗ per il quale si ha Y = mY /2. Tale analogia e esatta solose si ha Y (0) ≈ mY per la (4.135) e Y (0) ≈ 0 per l’equazione differenzialeassociata alla logistica classica.Se, come ultimo passo, si risolve l’equazione differenziale (4.135) usando ilmetodo delle variabili separabili insieme al metodo delle frazioni parziali siottiene la seguente espressione:

Y (t) =m

( mY

Y (0)− 1)eλ0Y t + 1

(4.137)

176

4.4 Capitolo 4

con λ0Y = b e sotto l’ipotesi che sia Y (t) < mY ∀t ovvero che sia Y (0) =Y0 < mY . Sotto tale ipotesi si ha:

mY

Y0− 1 > 0 (4.138)

per cui si ha Y (t) > 0 ∀t ≥ 0. In piu si ha:

Y (0) = Y0

Y (+∞) = 0

Se, invece, nel risolvere la (4.135) si fa l’ipotesi che sia Y (t) > mY ∀t ovveroche sia Y0 > mY come soluzione si ottiene la seguente espressione:

Y (t) =m

( mY

Y (0)− 1)eλ0Y t + 1

(4.139)

identica, nella forma, alla precedente se non che, in questo caso, si ha:

mY

Y0− 1 < 0 (4.140)

Da questo fatto, poiche per definizione si ha Y (0) = Y0 > 0, si deduce cheesiste di sicuro un valore t∗ di t per il quale si annulla il denominatore della(4.139) per cui la Y (t) non e una funzione continua in t. Poiche questa di-scontinuita priva il modello di una qualunque plausibilita fisica non riteniamoutile proseguirne l’analisi che viene lasciata come possibile esercizio.A questo punto si riprendono le equazioni differenziali descrittive del modellonella forma seguente:

X = F1(X, Y ) = (a− αX − γY )X (4.141)

Y = F2(X, Y ) = (βY + δX − b)Y (4.142)

per ricavare le condizioni di equilibrio ovvero i valori delle variabili X e Yper i quali si ha sia X = 0 sia Y = 0. Dalla struttura di tali equazioni si vedecome si hanno le quattro condizioni di equilibrio discusse qui di seguito. Leprime tre sono le seguenti:

(1) X∗1 = 0, Y ∗

1 = 0

(2) X∗2 = mX = a/α, Y ∗

2 = 0

(3) X∗3 = 0, Y ∗

3 = mY = b/β

177

4.4 Capitolo 4

La quarta condizione di equilibrio viene ottenuta dalla soluzione del seguentesistema di due equazioni in due incognite:

{

a− αX − γY = 0b− δX − βY = 0

(4.143)

ovvero:{

αX + γY = aδX + βY = b

(4.144)

La (4.144) puo essere risolta con i metodi standard dell’algebra lineare ovverodeterminando l’inversa della matrice:

A =

(

α γδ β

)

(4.145)

in modo da ricavare i valori all’equilibrio come:(

XY

)

= A−1

(

ab

)

(4.146)

Per i nostri scopi ci limiteremo a dare il risultato finale di questa valutazioneovvero i valori delle variabili X e Y in questa condizione di equilibrio:

X∗4 =

aβ − bγ

∆(4.147)

Y ∗4 =

bα− aδ

∆(4.148)

nelle quali ∆ = αβ− δγ individua il determinante della matrice A. Va da seche nella (4.147) e nella (4.148) i valori assunti dai parametri devono esseretali da dar luogo a valori di equilibrio non negativi.Per quanto riguarda l’analisi della stabilita delle suddette condizioni diequilibrio si procede nel modo consueto nel senso che:

- si definiscono i valori perturbati attorno ad un punto di equilibrio X =X∗ + ǫ e Y = Y ∗ + η per le variabili X e Y ;

- si ottiene facilmente X = ǫ e Y = η;

- si considera che, nei punti di equilibrio, si ha F1(X∗, Y ∗) = 0 e

F2(X∗, Y ∗) = 0.

Come ultimo passo si utilizza quanto sopra per valutare lo sviluppo in serie diTaylor, arrestato al primo ordine e valutato in ciascuno dei punti di equilibrio,delle funzioni F1(X, Y ) e F2(X, Y ) che compaiono nelle relazioni seguenti:

X = F1(X, Y ) = (a− αX − γY )X (4.149)

178

4.4 Capitolo 4

Y = F2(X, Y ) = (βY + δX − b)Y (4.150)

Svolgendo un po’ di calcoli si arriva alle espressioni seguenti:

ǫ = ǫ(a− 2αX − γY )− γηX (4.151)

η = ǫδY + η(2βY + δX − b) (4.152)

che devono essere valutate in ciascuno dei punti di equilibrio in modo davalutarne il tipo ovvero in modo da valutare se quell’equilibrio e di tipostabile, instabile o indifferente.Nel caso (1) ovvero nel caso di X∗

1 = 0, Y ∗1 = 0 la (4.151) e la (4.152)

assumono le forme seguenti:ǫ = aǫ (4.153)

η = −bη (4.154)

Da tali relazioni si vede subito che si tratta di un equilibrio di tipo instabiledato che gli scostamenti di entrambe le variabili dall’equilibrio innescano ladinamica delle interazioni periodiche.Nel caso (2) ovvero nel caso di X∗

2 = mX = a/α, Y ∗2 = 0 la (4.151) e la

(4.152) assumono le forme seguenti:

ǫ = −aǫ− γηa

α(4.155)

η = δ(a

α− b

δ)η = Aη (4.156)

Utilizzando le tecniche viste nel capitolo 2 per la (4.156) si ricava la seguenteespressione:

η(t) = η(0)eAt (4.157)

per cui si hanno i casi seguenti:

- se A < 0 la condizione di equilibrio puo essere di tipo stabile (va infattiverificato cosa accade per la variabile ǫ);

- se A = 0 la condizione di equilibrio puo essere di tipo indifferente (vainfatti verificato cosa accade per la variabile ǫ);

- se A > 0 la condizione di equilibrio e di tipo instabile.

A questo punto si puo utilizzare la (4.157) nella (4.155) che assume la formaseguente:

ǫ+ aǫ = −γa

αη(0)eAt = BeAt (4.158)

179

4.4 Capitolo 4

con:B = −γ

a

αη(0) < 0 (4.159)

Utilizzando la tecnica del fattore integrale si arriva alla seguente soluzione:

ǫ(t) = ǫ(0)e−at +B

a + A(eAt − e−at) (4.160)

Utilizzando le considerazioni fatte per la (4.157) si possono trarre le seguenticonclusioni:

- se A < 0 la condizione di equilibrio e di tipo stabile;

- se A = 0 la condizione di equilibrio e di tipo indifferente;

- se A > 0 la condizione di equilibrio e di tipo instabile.

Nel caso (3) ovvero nel caso di X∗3 = 0, Y ∗

3 = mY = b/β e possibile ripeterel’analisi per la (4.151) e la (4.152). Questa analisi viene lasciata per esercizio.

Esercizio 4.4.1 Determinare di che tipo puo essere la terza condizione diequilibrio (ovvero la condizione X∗

3 = 0, Y ∗3 = mY = b/β ) in funzione dei

segni dei coefficienti dei termini in ǫ e η. Si proceda sulla falsariga di quantovisto per le due precedenti condizioni di equilibrio.

Nel caso della quarta condizione di equilibrio (X∗4 , Y

∗4 ) la (4.151) e la (4.152)

assumono le forme seguenti:

ǫ = ǫ(a− 2αX∗4 − γY ∗

4 )− γηX∗4 (4.161)

η = ǫδY ∗4 + η(2βY ∗

4 + δX∗4 − b) (4.162)

equivalenti alle seguenti, con le ovvie corrispondenze:

ǫ = hǫ− kη (4.163)

η = lǫ+ jη (4.164)

Le due equazioni differenziali precedenti assumono la seguente formamatriciale:

(

ǫη

)

=

(

h −kl j

)(

ǫη

)

(4.165)

Per l’analisi di questo caso si puo ricorrere alo stesso approccio che abbiamousato in casi simili. Questa procedura non viene ripetuta in questo casoanche in considerazione del fatto che i termini h e j non hanno segni definitima i loro segni dipendono dai valori delle variabili all’equilibrio ovvero dai

180

4.4 Capitolo 4

valori della coppia (X∗4 , Y

∗4 ). Per ulteriori dettagli si rimanda al capitolo 6.

In merito alla caratterizzazione delle soluzioni si fa notare come, anche inquesto caso, la struttura delle equazioni differenziali (4.141) e (4.142) non ciconsenta di ricavare ne una soluzione esplicita ne tanto meno una relazionefra le variabili X e Y contrariamente a quanto abbiamo fatto per il modelloesaminato nella sezione 4.2. In questo caso l’unica via percorribile e quelladella simulazione, ovvero della soluzione per via numerica, come vedremonella sezione 4.4.3.


Per implementare in Vensim il modello di Lotka-Volterra completo siusano le equazioni differenziali del modello riscritte nella forma seguente:

X = aX − αX2 − γXY (4.166)

Y = βY 2 + δXY − bY (4.167)

Per l’implementazione si sono definite, fra le altre, le seguenti variabiliausiliarie:

matchesXY = XY

matchesXX = X2

matchesY Y = Y 2

Si fa notare che anche in questo caso si sarebbe potuto procedere alla im-plementazione del modello usando in modo opportuno i parametri mX emY . Per motivi di omogeneita con la versione semplificata di questo modelloche vederemo nella sezione 4.5 si e invece scelto di implementare il modelloutilizzando i parametri:

a, α e γ per le prede,

β, δ e b per i predatori.

Le relazioni caratteristiche del modello rappresentato in figura 4.11 sonoriportate qui di seguito.

(01) a=0.1

Units: 1/Month [0.1,0.3,0.001]

(02) alpha=4e-007

Units: 1/(Month*unit) [0,1e-006,1e-007]

(03) b=0.05

181

4.4 Capitolo 4

Units: 1/Month [0.01,0.1,0.001]

(04) beta=4e-006

Units: 1/(Month*unit) [0,1,1e-007]

(05) delta=1e-006

Units: 1/(unit*Month) [0,0.0001,1e-006]




(07) gamma=0.0005

Units: 1/(unit*Month) [0.0003,0.001,0.0001]


Units: Month


(09) inX=a*X

Units: unit/Month

(10) inY=inY1+inY2

Units: unit/Month

(11) inY1=delta*matchesXY

Units: unit/Month

(12) inY2=beta*matchesYY

Units: unit/Month

(13) matchesXX=X^2

Units: unit*unit

(14) matchesXY=Y*X

Units: unit*unit

(15) matchesYY=Y^2

Units: unit*unit


Units: unit/Month

(17) outX1=matchesXX*alpha

Units: unit/Month

(18) outX2=matchesXY*gamma

Units: unit/Month

(19) outY=b*Y

Units: unit/Month


Units: Month


(21) TIME STEP = 0.0547

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]


182

4.4 Capitolo 4


Units: unit

(23) X0=100000

Units: unit [0,300000,1]


Units: unit

(25) Y0=500


Figura 4.11: Implementazione in Vensim del modello di Lotka-Volterracompleto

Da un’esame di tali relazioni si vede come le variabili esogene del modellosiano state inizializzate ai valori indicati in figura 4.11.La figura 4.12 mostra l’andamento della numerosita delle prede e dei preda-tori nel caso in cui i parametri assumano i valori mostrati nella figura 4.11.La figura 4.12 mostra come le due popolazioni, a partire dai rispettivi valoriiniziali, siano caratterizzata da oscillazioni smorzate attorno a due valori diequilibrio rappresentati dai valori X∗

4 e Y ∗4 .

Tali andamenti sono dovuti alla struttura delle interazioni fra le prede e ipredatori oltre alla struttura della relazione di affollamento delle prede (rap-presentata dal termine X2) e alla caratterizzazione in branchi dei predatori(rappresentata dal termine Y 2). La struttura delle interazioni e mostrata indettaglio in figura 4.13. In questa figura sono evidenziati:

183

4.4 Capitolo 4

Figura 4.12: Andamento delle prede e dei predatori per il modello di figura4.11

- per le prede

· i due anelli di retroazione di tipo negativo in uscita dal livello,

· il solo anello di retroazione di tipo positivo in ingresso al livello;

- per i predatori

· i due anelli di retroazione di tipo positivo in ingresso al livello,

· il solo anello di retroazione di tipo negativo in uscita dal livello.

In questo modo risalta evidente la asimmetria fra le due specie testimoniataanche dallo sfasamento degli andamenti della numerosita delle due popola-zioni. Come noto, in questo modello si hanno quattro equilibri. Per unaloro analisi dinamica e possibile costruire il modello Vensim le cui relazionicaratteristiche sono riportate qui di seguito. In queste relazioni si fa uso dellastruttura basata sulle variabili switch ormai nota.

(01) a=0.1

Units: 1/Month [0.1,0.3,0.001]

(02) alpha=1e-007

Units: 1/(Month*unit) [0,1e-006,1e-007]

184

4.4 Capitolo 4

Figura 4.13: Diagramma causale per il modello di figura 4.11

(03) b=0.05

Units: 1/Month [0.01,0.1,0.001]

(04) beta=1e-006

Units: 1/(Month*unit) [0,1,1e-007]

(05) delta=1e-006

Units: 1/(unit*Month) [0,1e-005,1e-007]




(07) gamma=0.0005

Units: 1/(unit*Month) [0.003,0.001,0.0001]


Units: Month


(09) inX=a*X

185

4.4 Capitolo 4

Units: unit/Month

(10) inY=inY1+inY2

Units: unit/Month

(11) inY1=delta*matchesXY

Units: unit/Month

(12) inY2=beta*matchesYY

Units: unit/Month

(13) matchesXX=X*X

Units: unit*unit

(14) matchesXY=Y*X

Units: unit*unit

(15) matchesYY=Y*Y

Units: unit*unit

(16) out=outX1+outX2

Units: unit/Month

(17) outX1=matchesXX*alpha

Units: unit/Month

(18) outX2=matchesXY*gamma

Units: unit/Month

(19) outY=b*Y

Units: unit/Month


Units: Month


(21) switch=1

Units: Dmnl [1,4,1]


Units: Dmnl


Units: Dmnl


Units: Dmnl


Units: Dmnl

(26) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]


(27) X= INTEG (inX-out,X0)

Units: unit

(28) X0=switch1*"X1*"+switch2*"X2*"+switch3*"X3*"+swithc4*"X4*"

Units: unit [0,300000,1]

186

4.5 Capitolo 4

(29) "X1*"=0

Units: unit [0,100000,10]

(30) "X2*"=a/alpha

Units: unit

(31) "X3*"=0

Units: unit [0,100000,10]

(32) "X4*"=(a*beta-gamma*b)/(alpha*beta-delta*gamma)

Units: unit


Units: unit

(34) Y0=switch1*"Y1*"+switch2*"Y2*"+switch3*"Y3*"+swithc4*"Y4*"


(35) "Y1*"=0


(36) "Y2*"=0


(37) "Y3*"=b/beta

Units: unit [?,0]

(38) "Y4*"=(b*alpha-delta*a)/(alpha*beta-delta*gamma)

Units: unit

Implementando tale modello ed utilizzandolo per una verifica empirica dellequattro condizioni di equilibrio per questo modello si puo verificare come:

(1) la condizione di equilibrio X∗1 , Y

∗1 sia di equilibrio instabile;


∗2 sia di equilibrio instabile;


∗3 sia di equilibrio stabile;


∗4 sia di equilibrio stabile.

Esercizio 4.4.2 Utilizzare le relazioni su elencate per implementare il cor-rispondente modello Vensim ed utilizzarlo per la verifica di quanto asseritonel testo.

187

4.5 Capitolo 4

4.5 Terzo modello con prede e predatori:

Lotka-Volterra semplificato


Come abbiamo visto nella sezione 4.4 il modello di Lotka-Volterracompleto e rappresentato dalle seguenti equazioni differenziali:

X = (a− αX − γY )X (4.168)

Y = (βY + δX − b)Y (4.169)

In tali equazioni i termini quadratici rappresentano le influenze fra le duepopolazioni (con un termine proporzionale al prodotto XY ) o l’influenza diuna popolazione su se stessa (con termini proporzionali ai fattori X2 o Y 2.)La presenza dei termini del secondo tipo e la chiave del comportamento di unapopolazione in assenza dell’altra. Se si decide di trascurare l’influenza di unapopolazione su se stessa ovvero se si decide di considerare nulli i coefficientiα e β si ottengono le equazioni differenziali seguenti che caratterizzano ilmodello di Lotka-Volterra semplificato:

X = (a− γY )X (4.170)

Y = (δX − b)Y (4.171)

Seguendo un approccio ormai classico si parte dal considerare i casi particolaridel modello ovvero l’assenza dei predatori e l’assenza delle prede.Nel primo caso si ha Y (t) = 0 ∀t per cui la (4.171) e all’equilibrio mentre la(4.170) si riduce alla seguente espressione:

X = aX (4.172)

che ha come soluzione X(t) = X0eat. Contrariamente a quanto accade nel

caso del modello completo in questo caso, in assenza di predatori, le predemostrano una crescita di tipo esponenziale. Da questo fatto si deduce chel’aver trascurato il termine X2 ci ha portato a trascurare l’effetto di limita-zione dell’ambiente in cui le prede vivono sulle prede stesse.Nel secondo caso si ha X(t) = 0 ∀t per cui la (4.170) e all’equilibrio mentrela (4.171) si riduce alla seguente espressione:

Y = −bY (4.173)

che ha come soluzione Y (t) = Y0e−bt per cui, in assenza di prede, i predatori

mostrano una decrescita di tipo esponenziale.

188

4.5 Capitolo 4

A questo punto si passa all’analisi delle condizioni di equilibrio della (4.170)e della (4.171). Prima di procedere nell’analisi si nota che:

[a] = [b] =1

t(4.174)

[δ] = [γ] =1

(t ∗ unit) (4.175)

In questo modo si possono definire i parametri seguenti:

mX =a

γ(4.176)

con [mX ] = unit e

mY =b

δ(4.177)

con [mY ] = unit. Come sara evidente dalle condizioni di equilibrio, questidue parametri non individuano delle capacita di carico ma due valori chedefiniscono una condizione di equilibrio sia per le prede sia per i predatori.Per ricavare le condizioni di equilibrio della (4.170) e della (4.171) si deveimporre che sia X = 0 e Y = 0. E facile vedere che, in questo caso, si hannole condizioni di equilibrio seguenti:

(1) X∗1 = 0 e Y ∗

1 = 0

(2) X∗2 = mY e Y ∗

2 = mX

per cui mX e il numero di prede per le quali i predatori sono all’equilibrioal valore mX mentre mY e il numero di predatori per il quale le prede sonoall’equilibrio al valore mY .

Esercizio 4.5.1 Si modifichi il modello di Lotka-Volterra semplificato intro-ducendo la pesca di una stessa frazione ǫ di pesci pescati sia per le prede siaper i predatori. Si scrivano le equazioni differenziali del modello in questo ca-so, si veda se e come le nuove equazioni sono riconducibili alla forma di quelleviste per il modello di Lotka-Volterra semplificato. Si analizzino gli equilibridel nuovo modello e li si confronti con quelli del modello di Lotka-Volterrasemplificato.

Esercizio 4.5.2 Si ripeta l’analisi svolta nell’esercizio precedente nel casoin cui si abbiano due frazioni distinte di pesci pescati ovvero nel caso in cuisi abbia ǫX per le prede e ǫY per i predatori.

189

4.5 Capitolo 4

A questo punto ci si propone di esaminare di che tipo sono gli equilibri cheabbiamo individuato e di determinare che forma possono avere le espressionidella X(t) e della Y (t). Per quanto riguarda il tipo degli equilibri si partedal riscrivere la (4.170) e la (4.171) nella forma seguente:

X = F1(X, Y ) = (a− γY )X (4.178)

Y = F2(X, Y ) = (δX − b)Y (4.179)

Per valutare il tipo dei due equilibri e necessario perturbare tutte e duele popolazioni da uno stato di equilibrio, determinare l’espressione di taliperturbazioni nel tempo e valutarne l’andamento allo scorrere del tempo. Sele perturbazioni tendono ad annullarsi l’equilibrio si dice stabile (a rigoreasintoticamente stabile), se tendono a crescere si dice instabile mentre setendono a rimanere costanti oppure ad oscillare attorno al valore di equilibriocon un’ampiezza costante in modulo l’equilibrio e detto essere indifferente.Per questi scopi si definiscono le seguenti grandezze:

X = X∗ + ǫ

Y = Y ∗ + η

che definiscono i nuovi valori in seguito agli scostamenti (ǫ e η) rispetto allacondizione di equilibrio X∗, Y ∗. In questo modo si ha:

X = ǫ

Y = η

Utilizzando uno sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo ordine nell’in-torno di un generico punto di equilibrio X∗, Y ∗ e possibile riscrivere la (4.178)e la (4.179) nella forma seguente:

X = ǫ = F1(X, Y ) = F1(X∗, Y ∗) + ǫ

∂F1(X, Y )

∂X |X∗,Y ∗

+ η∂F1(X, Y )

∂Y |X∗,Y ∗

(4.180)

Y = η = F2(X, Y ) = F2(X∗, Y ∗) + ǫ

∂F2(X, Y )

∂X |X∗,Y ∗

+ η∂F2(X, Y )

∂Y |X∗,Y ∗

(4.181)se si tiene conto del fatto che e F1(X

∗, Y ∗) = 0 e F2(X∗, Y ∗) = 0 (per

definizione di equilibrio) e si determinano i valori delle varie derivate in unpunto di equilibrio nei modi seguenti:

∂F1(X, Y )

∂X= a− γY (4.182)

190

4.5 Capitolo 4

∂F1(X, Y )

∂Y= −γX (4.183)

∂F2(X, Y )

∂X= δY (4.184)

∂F2(X, Y )

∂Y= δX − b (4.185)

si arriva alle seguenti espressioni:

ǫ = (a− γY ∗)ǫ− γX∗η (4.186)

η = δY ∗ǫ+ (δX∗ − b)η (4.187)

Se si valutano tali espressioni nel punto di equilibrio X∗1 = 0, Y ∗

1 = 0 siottengono le seguenti espressioni:

ǫ = aǫ (4.188)

η = −bη (4.189)

dalle quali si deriva facilmente che l’equilibrio e di tipo instabile: la pertur-bazione delle prede tende a crescere senza limiti in modo da innescare, inpresenza di un numero limitato di predatori, la dinamica del modello.Se si valutano tali espressioni nel punto di equilibrio X∗

2 = mY , Y∗2 = mX si

ottengono le seguenti espressioni:

ǫ = −bγ

δη (4.190)

η = aδ

γǫ (4.191)

Tali espressioni devono essere risolte in modo da ricavare il valore degli scosta-menti nel tempo per valutare di che tipo sia questa condizione di equilibrio.Nel capitolo 6 vedremo un approccio piu rigoroso che prevede la trasforma-zione delle due equazioni differenziali del primo ordine (4.190) e (4.191) inuna equazione differenziale del secondo ordine in una delle due incognite,nella soluzione di quest’ultima e nella determinazione dell’andamento dell’al-tra incognita. In questa sezione seguiremo un’approccio piu euristico che,comunque, ci consente di ricavare l’andamento delle due perturbazioni inquesta condizione di equilibrio.Come passo preliminare si puo calcolare il prodotto membro a membro della(4.190) e della (4.191) in modo da ottenere la seguente espressione:

ǫη = −abǫη (4.192)

Da tale espressione si ricava che:

191

4.5 Capitolo 4

- quando i segni delle variabili ǫ e η sono concordi quelli delle derivate ǫe η sono discordi;

- quando i segni delle variabili ǫ e η sono discordi quelli delle derivate ǫe η sono concordi.

Si ricorda che le variabili ǫ e η rappresentano le perturbazioni da una con-dizione di equilibrio per cui possono avere segno qualunque contrariamentealle variabili X e Y che denotano due popolazioni per cui devono assumerevalori non negativi.Se considero che, come vedremo nella sezione 4.5.2, gli scostamentidall’equilibrio hanno andamenti periodici e se tengo conto del fatto che:

dsent

dt= cost (4.193)

e che:dcost

dt= −sent (4.194)

posso ipotizzare che gli scostamenti possano essere espressi utilizzando lerelazioni seguenti:

ǫ = ρcosωt (4.195)

η = σsenωt (4.196)

nelle quali ρ, σ e ω sono parametri incogniti strettamente positivi. L’ipotesidi base, in questo caso, e che le due oscillazioni siano sfasate di π/2 e abbianola stessa frequenza.In tali relazioni, pertanto, si assume uno sfasamento fra gli andamenti deidue scostamenti pari a π/2 per semplicita e per non introdurre un ulterioreparametro in considerazione del fatto che sia la (4.190) sia la (4.191) derivanoda una approssimazione del primo ordine decisamente grossolana.Sostituendo tali espressioni nella (4.190) e nella (4.191) si arriva facilmente,con pochi semplici passaggi, alle espressioni seguenti:

ρω = bγ

δσ (4.197)

σω = aδ

γρ (4.198)

Tali relazioni contengono i tre parametri incogniti ρ, σ e ω. Essendo due ciconsentono di fissare arbitrariamente il valore di due parametri in funzionedei quali si puo ricavare il valore del terzo parametro. Un modo di procedere

192

4.5 Capitolo 4

e il seguente. Se si fa il prodotto membro a membro della (4.197) e della(4.198) si ha, sotto il vincolo che sia ω > 0:

ω =√ab (4.199)

Se, invece, si fa il quoziente membro a membro della (4.197) e della (4.198)si ottiene la relazione seguente:

ρ

σ=

b

a

γ2

δ2σ

ρ(4.200)

che puo essere riscritta come:

ρ2 =b

a

γ2

δ2σ2 (4.201)

oppure come (con le ovvie corrispondenze):

ρ2 = χσ2 (4.202)

Dalla (4.202), considerando i vincoli σ > 0 e ρ > 0:

- se si fissa un valore per ρ si ricava il corrispondente valore per σ;

- se si fissa un valore per σ si ricava il corrispondente valore per ρ.

Una volta ricavate le espressioni delle variabili ǫ e η le si puo usare per ricavaredue espressioni che rappresentano le oscillazioni nel tempo della numerositadelle due popolazioni attorno al punto di equilibrio X∗

2 = mY , Y∗2 = mX .

Tali espressioni hanno le forme seguenti:

X(t) = X∗2 + ǫ =

b

δ+ ρcosωt (4.203)

Y (t) = Y ∗2 + η =

a

γ+ σsenωt (4.204)

e ci permettono, date le approssimazioni che stanno alla base del procedimen-to utilizzato, di apprezzare soltanto il fatto che le due popolazioni oscillanociascuna attorno al suo valore di equilibrio e che tali oscillazioni sono sfasatefra di loro in modo che:

- quando il numero dei predatori decresce il numero delle prede aumenta;

- quando il numero delle prede decresce anche il numero dei predatoridecresce.

193

4.5 Capitolo 4


Per implementare in Vensim il modello di Lotka-Volterra semplificato siusano le seguenti relazioni2:

X = aX − γ ∗matchesXY (4.205)

Y = δ ∗matchesXY − bY (4.206)

nelle quali si e introdotta la variabile matchesXY = XY che tiene contodelle interazioni fra le prede (X) e i predatori (Y ). Dalle suddette relazionisi ricava il modello Vensim di figura 4.14 le cui relazioni caratteristiche sonoriportate qui di seguito.

(01) a=0.1

Units: 1/Month [0.1,0.3,0.001]

(02) b=0.05

Units: 1/Month [0.01,0.1,0.001]

(03) delta=1e-006

Units: 1/(unit*Month) [1e-006,1e-005,1e-007]




(05) gamma=0.0005

Units: 1/(Month*unit) [0.0003,0.001,0.0001]


Units: Month


(07) inX=a*X

Units: unit/Month

(08) inY=delta*matchesXY

Units: unit/Month

(09) matchesXY=Y*X

Units: unit*unit

(10) outX=gamma*matchesXY

Units: unit/Month

(11) outY=b*Y

Units: unit/Month


Units: Month

2Come in altri casi si usa il simbolo ∗ per denotare il prodotto in tutti i casi nei quali

la sua omissione puo dare luogo a dubbi di interpretazione.

194

4.5 Capitolo 4


(13) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]



Units: unit

(15) X0=100000

Units: unit [0,300000,1]


Units: unit

(17) Y0=500


Figura 4.14: Implementazione in Vensim del modello di Lotka-Volterrasemplificato

Da un esame di tali relazioni si vede come in esse le costanti del modellosono state inizializzate ai valori visualizzati in figura 4.14 che danno luogoagli andamenti mostrati in figura 4.15.Gli andamenti di figura 4.15 sono coerenti con gli andamenti ricavati me-diante l’analisi formale svolta in chiusura della sezione 4.5.1.La figura 4.16 presenta il diagramma causale del modello di figura 4.14 men-tre la figura 4.17 presenta un modello utilizzabile per la verifica dinamicadegli equilibri per il modello di Lotka-Volterra semplificato. Le relazionicaratteristiche del modello di figura 4.17 sono elencate qui di seguito.

195

4.5 Capitolo 4

Figura 4.15: Andamento delle prede e dei predatori per il modello di figura4.14

(01) a=0.1

Units: 1/Month [0.1,0.3,0.001]

(02) b=0.05

Units: 1/Month [0.01,0.1,0.001]

(03) delta=1e-006

Units: 1/(unit*Month) [1e-006,1e-005,1e-007]




(05) gamma=0.0005

Units: 1/(Month*unit) [0.0003,0.001,0.0001]


Units: Month


(07) inX=a*X

Units: unit/Month

(08) inY=delta*matchesXY

Units: unit/Month

(09) matchesXY=Y*X

Units: unit*unit

(10) outX=gamma*matchesXY

196

4.5 Capitolo 4

Figura 4.16: Diagramma causale del modello di figura 4.14

Units: unit/Month

(11) outY=b*Y

Units: unit/Mont


Units: Month


(13) switch=0

Units: Dmnl [0,1,1]

(14) TIME STEP = 1

Units: Month [0.0078125,1,0.0078125]



Units: unit

(16) X0=IF THEN ELSE( switch=0 , X1c , "X2*")

Units: unit

(17) X1c=100000

197

4.5 Capitolo 4

Figura 4.17: Test degli equilibri per il modello di Lotka-Volterra semplificato

Units: unit [0,300000,1]

(18) "X2*"=b/delta

Units: unit


Units: unit

(20) Y0=IF THEN ELSE(switch=0, Y1c , "Y2*" )

Units: unit [?,?,1]

(21) Y1c=500


(22) "Y2*"=a/gamma

Units: unit

Si fa notare che nel modello di figura 4.17 la struttura di controllo e piu sem-plice di quella usata nei casi precedenti (dato che si hanno solo due condizionidi equilibrio) e che si usano le variabili X1c e Y 1c (attive se switch = 0)per rappresentare sia la condizione di equilibrio X∗

1 = 0 e Y ∗1 = 0 sia una

condizione generica di non equilibrio mentre si usano le variabili X2∗ e Y 2∗

198

4.5 Capitolo 4

(attive se switch = 1) per rappresentare la condizione di equilibrio X∗2 e Y ∗

2 .La figura 4.15, come gia detto, descrive andamenti delle variabili X(t) e Y (t)che sono coerenti con gli andamenti ricavati mediante l’analisi formale svoltain chiusura della sezione 4.5.1.

Figura 4.18: Spazio delle fasi per il modello di figura 4.14

Per capire meglio la relazione che esiste fra i due andamenti e possibile, comeviene mostrato in figura 4.18, rappresentare la Y (t) in funzione della X(t).Dal fatto che si abbia un’orbita chiusa (che puo essere percorsa sia in sensoorario sia in senso antiorario) al cui “centro” si puo collocare la condizionedi equilibrio X∗

2 e Y ∗2 si deduce la perfetta periodicita degli andamenti delle

due variabili X(t) e Y (t). Dalla figura 4.18 si ha che:

- a ciascun valore della X corrispondono al piu due valori della Y ,

- a ciascun valore della Y corrispondono al piu due valori della X ,

come si ricava, con maggiore difficolta analizzando gli andamenti di figura4.15. Per capire come si ricavi il diagramma di figura 4.18 si puo partire dallenostre relazioni approssimate:

ǫ = ρcosωt (4.207)

199

4.6 Capitolo 4

η = σsenωt (4.208)

dalle quali, con semplici passaggi, si ricava la seguente espressione:

ǫ2

ρ2+

η2

σ2= 1 (4.209)

che corrisponde ad un’ellisse attorno al punto (0, 0) di semiassi ρ e σ edeccentricita pari a (se ρ e il semiasse maggiore):

e =

√

ρ2 − σ2

ρ(4.210)

oppure pari a (se σ e il semiasse maggiore):

e =

√

σ2 − ρ2

ρ(4.211)

4.6 Esercizi proposti

Esercizio 4.6.1 Si progetti e implementi la struttura di un modello Vensimche descrive la situazione seguente. Si hanno due popolazioni, X e Y , cia-scuna con due stadi di sviluppo, X1 e X2 per la X e Y 1 e Y 2 per la Y , econ gli opportuni valori iniziali.Si sa che:

- la popolazione X nello stadio X1 e preda della popolazione Y che sitrova nello stadio Y 2;

- la popolazione Y nello stadio Y 2 e preda della popolazione X che sitrova nello stadio X2.

Per la popolazione X sono noti:

nX tasso di natalita proprio,

mX1 tasso di mortalita proprio nello stato X1,

mX2 tasso di mortalita proprio nello stato X2,

mX1Y 2 tasso di mortalita in quanto preda,

TX tempo di maturazione dallo stadio X1 allo stadio X2.

Per la popolazione Y sono noti:

200

4.6 Capitolo 4

nY tasso di natalita proprio,

mY 1 tasso di mortalita proprio nello stato Y 1,

mY 2 tasso di mortalita proprio nello stato Y 2,

mY 2X2 tasso di mortalita in quanto preda,

TY tempo di maturazione dallo stadio Y 1 allo stadio Y 2.

La mortalita dovuta ad incontri si assuma che sia esprimibile in funzione delrapporto fra l’altra popolazione e la somma delle due popolazioni ovvero, nelcaso di due popolazioni P e Q, in relazione alla popolazione P la mortalitadipende, a parte un coefficiente opportuno, dal rapporto Q/P +Q mentre unaanaloga relazione puo essere scritta per la popolazione Q.

Esercizio 4.6.2 Si scrivano le equazioni differenziali che descrivono la se-guente dinamica fra due popolazioni, una di prede X (con valore inizialeX0 > 0) e una di predatori Y (con valore iniziale Y 0 > 0).Le prede X sono caratterizzate da:

- una natalita propria che dipende dalla numerosita X della popolazionedi prede e da un tasso di natalita costante,

- una mortalita propria che dipende dal quadrato della popolazione diprede e da un tasso di mortalita costante,

- una mortalita che dipende dagli incontri con i predatori e da un tassocostante di letalita (per le prede) degli incontri.

Si vuole che la corrispondente equazione differenziale in assenza di predatoridescriva un andamento di tipo logistico. Si deve imporre un qualche vincolosul valore iniziale X0 perche cio sia possibile?I predatori Y sono caratterizzati da:

- una mortalita propria che dipende dalla numerosita Y della popolazionedei predatori e da un tasso di mortalita costante,

- una natalita propria che dipende dalla numerosita della popolazione deipredatori e da un tasso di natalita costante,

- una natalita che dipende dagli incontri con le prede e da un tassocotante di utilita (per i predatori) degli incontri.

201

4.6 Capitolo 4

Si vuole che la corrispondente equazione differenziale in assenza di prededescriva un andamento di tipo esponenziale decrescente. Che vincoli e neces-sario imporre perche sia possibile ottenere un simile andamento?Una volta scritte le equazioni differenziali si tracci il corrispondente modelloVensim.

Esercizio 4.6.3 Si progetti e implementi la struttura di un modello Vensimche descrive la situazione seguente.Si hanno tre popolazioni X, Y e Z.Si sa che:

- la popolazione X e preda della popolazione Y che si suppone si nutrasolo della popolazione X;

- la popolazione Z e preda della popolazione X che si suppone si nutrasolo della popolazione Z.

Per la popolazione X sono noti:

- il tasso di natalita nXZ in quanto predatrice della popolazione Z,

- il tasso di mortalita mXY in quanto preda della popolazione Y .

Per la popolazione Y sono noti:

- il tasso di natalita nY X in quanto predatrice della popolazione X,

- il tasso di mortalita proprio mY .

Per la popolazione Z sono noti:

- il tasso di natalita proprio nZ,

- il tasso di mortalita mZX in quanto preda della popolazione X.

Si scrivano le possibili equazioni che definiscono i flussi in ingresso e in uscitaai tre livelli.

Esercizio 4.6.4 Partendo dalla struttura del modello Vensim si fissino i va-lori e gli intervalli di variabilita arbitrari (ma giustificabili con argomentazio-ni razionali) dei parametri dell’esercizio 4.6.1 e si implementino le equazionidel modello Vensim la cui struttura e stata definita in tale sede. Si usi Y earcome unita di misura del tempo. Si traccino gli andamenti delle variabili X1,X2, Y 1 e Y 2 al variare dei valori dei tassi di natalita e di mortalita.

202

4.6 Capitolo 4

Esercizio 4.6.5 Si ripetano, con le opportune variazioni, i passi visti nelcaso dell’esercizio 4.6.4 per gli esercizi 4.6.2 e 4.6.3. In ciascun caso siindividuino:

- i parametri su cui agire in modo da implementare le necessarie politichedi controllo;

- le variabili i cui andamenti sono ritenuti significativi ai fini dell’ot-tenimento di una descrizione dell’evoluzione di ciascun modello neltempo.

203

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