Controle Estatístico de Qualidade Robert Wayne Samohyl*
3.1 Introdução
O conceito de distribuição de freqüências e probabilidades de variáveis (ou mensuráveis ou atributos), e principalmente o formato da distribuição, é central para a utilização de estatística.
A tendência central dos dados, a sua dispersão e assimetria são características que definem as distribuições, e facilitam a análise e a inspiração das propostas para melhorias.
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3.2 Distribuição normal
Como já foi discutido no capítulo 2 sobre as medidas descritivas e os gráficos básicos, os dados que vem da distribuição normal produz um agrupamento de valores observados próximos à média, e freqüências menores quando nos afastamos da média.
Esse formato é facilmente visto no histograma.
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3.2.1 Distribuições não-normais transformáveis em normal
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Figura 3.1 – A distribuição de tempos de parada de máquina esperando manutenção.
0
100
200
300
400
500
13976114152190227265303
Freqüência
Transformação logarítmica
Para resolver o problema de não normalidade, o pesquisador pode experimentar uma transformação do dado original para um dado distribuído normalmente.
Para dados de tempo, a experiência diz que uma transformação logarítmica é a melhor sugestão inicial,
W = ln(X).
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3.2.2 Características matemáticas da distribuição normal: a relação entre o desvio padrão da variável e a probabilidade
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Figura 3.3a - A distribuição normal em termos de um único desvio padrão.
Distribuição normal em desvio padrão
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
68,27%
15,865 %
*
Figura 3.3b - A distribuição normal em termos de dois desvios padrão.
Distribuição normal em desvio padrão
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
95,45%
2,275%
*
*
Figura 3.3d - A distribuição normal em termos de seis desvios padrão.
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0,000000001
0,999999998
*
*
3.2.3 Distribuição normal padronizada (Z)
Quando a distribuição normal é padronizada com a média igual a zero e desvio padrão unitário, como nas figuras 3.3, as percentagens de área embaixo da curva podem ser avaliadas e tabeladas para qualquer número ou fração de desvios padrão como foi feito na tabela 3.1.
Nesse sentido, qualquer número Xi em medidas originais como centímetros, litros, reais ou dólares pode ser transformado em variável padronizada
Zi
Zi exemplo
Voltando para tabela 2.2, a média das demoras para resolver os problemas dos clientes é 182,89 minutos e, para ilustrar a transformação para Zi, vamos escolher o oitavo número da lista, 325,89 minutos. O desvio a partir da média é
325,89 – 182,89 = 143 minutos.
Então, para converter a medida original minutos em número de desvios padrão de distância da média, é só dividir pelo valor do desvio padrão (94,99). Assim, podemos escrever
= 1,5
Análise
Como foi exemplificado nas figuras 3.3, a área embaixo da curva a direita de Zi (1,50) é a probabilidade P(Zi) de encontrar valores maiores que Xi (325). A probabilidade foi encontrada na tabela 3.1 e é quase 7% (1 – 0,933).
Muito provavelmente o gerente tentando investigar esse valor individual para alguma causa especial não vai encontrar nada. Se forem consideradas as duas caudas, a probabilidade é 14% de encontrar valores pelo menos 1,50 desvios padrão da média em circunstâncias perfeitamente normais com a média do processo estável e a variabilidade embora grande, mas também estável.
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Uma grande universidade no sul do Brasil tem 18.000 alunos, uma população grande. Imediatamente depois de cada semestre, o reitor gostaria apresentar um prêmio aos melhores alunos com médias finais mais altas, mas o problema é como reconhecer rapidamente esses alunos sem pesquisar todos os 18.000. É reconhecido que a administração da universidade é lenta e leva mais ou menos um mês para processar as médias finais da população de todas as disciplinas e alunos.
3.2.4 Exemplo na universidade: prêmio para os melhores alunos
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P(Z) = 1% → Zi = 2,33
Já sabemos que o valor estimado da amostra para a média das avaliações é 7,0 e que o valor estimado do desvio padrão é 1,0. Colocando tudo junto, temos então:
2,33 =
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
4
5
6
7
8
9
10
.
- 1
9,33
Área na cauda a direita de 9,33 é 1,0%, os alunos premiáveis.
9,33 = 7,0 + 2,33*1,0
*
Figura 3.5 – Distribuição normal e distribuição t, comparação de caudas.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
*
*
3.5 Exercício
6. Um engenheiro rejeita todo produto que está fora dos limites de especificação. Nesse momento, a linha está produzindo uma taxa de 10% de rejeito simetricamente acima e abaixo dos limites de especificação. No entanto, ele é descontente com a alta taxa de rejeição e quer uma taxa ao máximo de 2%. Ele vê duas alternativas: ou diminuir o desvio padrão do processo ou aumentar os limites de especificação. Qual é a alternativa mais econômica no curto prazo?
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Resposta: Em primeiro lugar, a alteração dos limites de especificação é sempre mais fácil que a alteração do desvio padrão do processo, embora a base conceitual do limite de especificação tenha mais a ver com a engenharia da peça e não considerações comerciais.
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3.6 Referências
Box, George E. P.; Cox, D. R. (1964). "An analysis of transformations". Journal of the Royal Statistical Society, Series B 26: 211–246.
http://www.jstor.org/stable/2984418.
0
100
200
300
400
500
13976114152190227265303
Freqüência
99
Distribuição normal em desvio padrão
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
99,73%
0,135%
AreaAreaAreaAreaAreaArea
acumuladaacumuladaacumuladaacumuladaacumuladaacumulada
Zi