Cap1_Vectores

FISICA I

_______________________________________________________________________ 1Licenciado Carlos Enrique Quiche Surichaqui

FISICA ILa Física es la ciencia que estudia a la materia y sus interacciones. La Física es una

de las ciencias más fundamentales que estudia la estructura de que esta constituido

el universo y todas sus interacciones.

La física, en su intento de describir los fenómenos naturales con exactitud y veracidad,

ha llegado a límites impensables: el conocimiento actual abarca la descripción de

partículas fundamentales microscópicas, el nacimiento de las estrellas en el universo e

incluso conocer con una gran probabilidad lo que aconteció en los primeros instantes

del nacimiento de nuestro universo, por citar unos pocos campos. Esta tarea comenzó

hace más de dos mil años con los primeros trabajos de filósofos griegos como

Demócrito, Eratóstenes, Aristarco, Epicuro o Aristóteles, y fue continuada después por

científicos como Galileo Galilei, Isaac Newton, Leonhar Euler, Joseph-Louis de

Lagrange, Michael Faraday, William Rowan Hamilton, James Clerk Maxwell, Albert

Einstein, Niels Bohr, Max Planck, Werner Heisenberg, Paul Dirac, Richard Feynman y

Stephen Hawking, entre muchos otros.

Aristóteles (384 a. C. – 322 a. C.). Fue un polímata: filósofo, lógico y científico de la

Antigua Grecia cuyas ideas han ejercido una enorme influencia sobre la historia

intelectual de Occidente por más de dos milenios. Aristóteles escribió cerca de 200

tratados (de los cuales sólo nos han llegado 31) sobre una enorme variedad de temas,

incluyendo lógica, metafísica, filosofía de la ciencia, ética, filosofía política, estética,

retórica, física, astronomía y biología.

Nicolás Copérnico (1473 - 1543). Fue un astrónomo polaco que formuló la teoría

heliocéntrica del Sistema Solar, concebida en primera instancia por Aristarco de

Samos (310 a. C. – 230 a. C.). Su libro, De revolutionibus orbium coelestium (Sobre

las revoluciones de las esferas celestes 1530). Copérnico pasó cerca de veinticinco

años trabajando en el desarrollo de su modelo heliocéntrico del universo. En aquella

época resultó difícil que los científicos lo aceptaran, ya que suponía una auténtica

revolución.

Johannes Kepler (1571 - 1630). Figura clave en la revolución científica, astrónomo y

matemático alemán; fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de

los planetas en su órbita alrededor del Sol. Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien

sustituyó como matemático imperial de Rodolfo II.

FISICA I


Galileo Galilei (1564 – 1642). Fue un astrónomo, filósofo, matemático y físico italiano

que estuvo relacionado estrechamente con la revolución científica. Eminente hombre

del Renacimiento, mostró interés por casi todas las ciencias y artes (música, literatura,

pintura). Sus logros incluyen la mejora del telescopio, gran variedad de observaciones

astronómicas, la primera ley del movimiento y un apoyo determinante para el

copernicanismo.

Isaac Newton (1642 – 1727). Fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y

matemático inglés, autor de los principios matemáticos de la filosofía natural 1687,

donde describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica

clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos

científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se

presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.

Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y

diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras

áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de

Newton-Cotes.

Podríamos decir que la física es una ciencia experimental que estudia las

interacciones de la naturaleza usando el método científico.

El método científico tiene las siguientes partes, observación, hipótesis,

experimentación, ley física.

1.1. MAGNITUDES FISICAS

Son todas aquellas características de un cuerpo o un fenómeno físico que se pueden

medir con cierto grado de precisión, utilizando para ello un instrumento y una unidad

de medida.

Las magnitudes físicas se clasifican según su procedencia en magnitudes

fundamentales y magnitudes derivadas; y según sus características se clasifican en

magnitudes escalares y vectoriales.

MAGNTUDES FUNDAMENTALESSon aquellas magnitudes que forman un Sistemas de Unidades. En el Perú usamos el

Sistema Internacional de Unidades.

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MAGNITUDES FUNDAMENTALES DEL SISTEMA INTERNACIONAL

Magnitud Unidad Símbolo

Longitud Metro M

Masa Kilogramo Kg

Tiempo Segundo S

Temperatura termodinámica Kelvin K

Intensidad de corriente eléctrica Amper A

Intensidad Luminosa Candela Cd

Cantidad de sustancia Mol Mol

MAGNITUDES AUXILIARES DEL SISTEMA INTERNACIONAL


Angulo plano radian Rad

Angulo solidó Estereorradián Srad

MAGNITUDES DERIVADASSon aquellas que se obtienen a partir de las unidades fundamentales.


Fuerza Newton N

Energía Joule J

Potencia Watts W

Presión Pascal Pa

Frecuencia Hertz Hz

MAGNITUDES ESCALARESSon aquellas que están completamente definidas con un valor de la magnitud y su

unidad de medida correspondiente. Ejemplo:

L = 10 metros

T = 5 horas

MAGNITUDES VECTORIALESSon aquellas que además del valor de la magnitud y su unidad correspondiente,

requiere de una dirección para quedar completamente definidas. Ejemplo:

Velocidad = 10 m/s hacia el norte

Desplazamiento = 1000 metros hacia el este

FISICA I


1.2. VECTORESUn vector es un ente matemático representado por un segmento de recta orientado

El vector se denota por toda letra con una flecha arriba.

A

: Se lee “vector A”

PARTES DE UN VECTORa) MODULO DE UN VECTORMatemáticamente representa la longitud del segmento de recta orientado. Físicamente

a dicha longitud se le asigna el valor o cantidad de la magnitud que representa.

El modulo de un vector se denota por el vector entre barras o la letra sola sin flecha.

A

: Se lee “modulo del vector A”

A: se lee “modulo del vector A”

b) DIRECCION DE UN VECTOREs la orientación que tiene un vector con respecto al sistema de referencia en el cual

se encuentra. En el plano cartesiano la dirección de un vector esta dada por el ángulo

medido en sentido antihorario a partir del eje X(+) hasta el vector.

FISICA I


c) SENTIDO DE UN VECTOREs la orientación que tiene un vector con respecto a su línea de acción.

1.3. OPERACIONES CON VECTORES.a) SUMA DE DOS VECTORES (METODO DEL PARALELOGRAMO)

Sean dos vectores ByA

que forma un ángulo entre ellos.

El vector resultante de la suma de los vectores ByA

es:

BAR

+=El modulo del vector resultante esta dado por la ley de los cósenos:

θ++= cosAB2BAR 22

b) DIFERENCIA DE DOS VECTORES (METODO DEL PARALELOGRAMO)

Sean dos vectores ByA

que forma un ángulo entre ellos.

FISICA I


Los vectores diferencia de los vectores ByA

son:

BAD

−=1

ABD2

−=

Los vectores 21 DyD

son opuestos y su modulo es:

θ−+== cosAB2BADD 2221

Problema 1.1.El vector resultante de dos vectores tiene 10 unidades de longitud y hace un ángulo de

35° con uno de los vectores componentes, el cual tiene 12 unidades de longitud.

Encontrar la magnitud del otro vector y el ángulo entre ellos.

SoluciónSean:

A = 12 u

R = 10 u

Usando el método del paralelogramo

BAR

+=

ARB

−=⇒

Luego: ARB

−=

º35cos222 RAARB −+=

º35cos)12)(10(21210B 22 −+=

u89.6B =

Por la ley de senos en el triangulo pqr de la figura:

θ=

senA

º35senB

998.089.6

12º35senBAº35sensen ===θ

º4.87=θ

Por lo tanto el ángulo entre los vectores es: 122º

Problema 1.2.

FISICA I


Encontrar el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud cuando su

resultante forma un ángulo de 50° con el vector mayor. Calcular también la magnitud

del vector resultante.

Solución:

En el triangulo PQR del grafico mostrado.

Por la ley de senos:

ABº50sensen

senB

50senA =θ⇒

θ=

º25.738

10º50sensen =θ⇒=θ

El ángulo entre los vectores ByA

es de 123.25º

Luego por el método del paralelogramo:

º25.123cos)10)(8(2108º25.123cosAB2BAR 2222 ++=++=

R = 8.73 u

Problema 1.3.Dos vectores de 10 y 8 unidades de longitud forman entre sí un ángulo de 60°.

Encontrar la magnitud de la diferencia y el

ángulo que hace la diferencia con respecto al

vector mayor.

Solución:

Del grafico, vectorialmente:

BAD

−=Encontrando el modulo de la diferencia por el método del paralelogramo:

º60cosAB2BAD 22 −+=

)21)(10)(8(2108D 22 −+=

D = 9.17u

Luego del grafico en el triangulo PQR por la ley de senos:

76.0)17.98(º60sen

DAº60sensen

º60senD

senA ===θ⇒=

θ

º46.49=θ

FISICA I


c) SUMA DE VARIOS VECTORES (METODO DEL POLIGONO)Es un método grafico que nos permite sumar varios vectores.

Donde se cumple: EDCBAR

++++=

1.4. VECTOR UNITARIOEs un vector cuya función es la de indicar la dirección de otro vector. Su módulo es la

unidad de medida.

Notación:

u : Se lee “vector unitario u ”

Propiedad:

Sea un vector cualquiera A

y un vector unitario Au en la dirección del vector A

; como

se muestra en la figura

Se cumple que:

AuAA ˆ

=

AAuuAA AA

=⇒= ˆˆ

FISICA I


ObservaciónEn el grafico mostrado:

i : Vector unitario en la dirección del eje X (+)

j Vector unitario en la dirección del eje Y (+)

1.5. DESCOMPOSICION RECTANGULAR DE UN VECTOR EN EL PLANO

Sea el vector A

en el plano cartesiano XY.

Del grafico podemos observar que:

YX AAA

+=

Por vectores unitarios:

iAA XXˆ=

jAA YYˆ=

Luego:

jAiAA YXˆˆ +=

Es el vector→A en función de sus componentes rectangulares o cartesianas.

FISICA I


Donde Ax y Ay son las componentes rectangulares del vector→A

Del grafico:

2Y

2X AAA += ; es el modulo del vector A

Además:

senθAAcosθAA

Y

X

==

Son Componentes del vector A

Luego:

)AA(tanArcθ

AAtanθ

Y

X

Y

X =⇒=

Es la dirección del vector A

1.6. DESCOMPOSICION RECTANGULAR DE UN VECTOR EN TRESDIMENSIONES.

Sea el vector A

en el espacio tridimensional:

Ax

Ay

Az

X

Y

Z

A

α β

θ

En este caso:

kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=

Donde k es un vector unitario en la dirección del eje Z (positivo)

Además, se puede demostrar que:

222zyx AAAA ++=

FISICA I


cosAAx =

cosAAy =

cosAAz =

1coscoscos 222 =++

Donde cos,cos,cos se les llaman los cósenos directores del vector A

Problema 1.5.Un jugador de golf mete su pelota en un hoyo en tres golpes. El primer golpe desplaza

la pelota 12 metros hacia el Norte; el segundo 6 metros al Sur Este y el tercer golpe 3

metros al Sur Oeste. ¿Qué desplazamiento sería necesario para meter la pelota en el

hoyo al primer golpe?

Solución:Supongamos que la pelota empieza su movimiento en el punto “O” y luego realiza tres

desplazamientos descritos por los vectores CyBA

, respectivamente, como se

muestra en la figura.

El desplazamiento necesario para meter

la pelota en un solo golpe esta dado por

el vector D

.

Por el método del paralelogramo:

CBAD

++=

Descomponiendo los vectores

CyBA

, :

jiC

jiB

jiA

ˆ12.2ˆ12.2

ˆ24.4ˆ24.4

ˆ12ˆ0

−−=

−=

+=

Sumando los vectores CyBA

, resulta:

jiD ˆ64.5ˆ12.2 +=

Su modulo es: 22 64.512.2 +=D

D = 6.03m

FISICA I


Problema 1.6.Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, de la siguiente

manera: 6 metros al sureste, 10 metros al este y 3 metros en una dirección este 60o

norte. Encontrar: a) Las componentes de cada desplazamiento. b) Las componentes

del vector resultante. c) La magnitud y dirección del vector resultante

Solución:

a) Del grafico:

jijseniC

jiB

jijisenA

ˆ60.2ˆ5.1ˆ)º603(ˆ)º60cos3(

ˆ0ˆ10

ˆ24.4ˆ24.4ˆ)º45cos6(ˆ)º456(

+=+=

+=

−=−=

b) El vector resultante, como muestra el grafico es:

CBAR

++=

jiR ˆ64.1ˆ74.15 −=

d) La magnitud o modulo del vector resultante es:

22 )64.1()74.15( −+=R

R = 15.83 m

Problema 1.7.Un cuarto tiene dimensiones siguientes: 10 metros x 12 metros x 14 metros. Una

mosca vuela desde un rincón hasta el rincón diametralmente opuesto. a) Cuál es la

magnitud de su desplazamiento. b) Escoger un sistema de coordenadas apropiado y

encontrar los componentes del vector de desplazamiento en dicho referencial. c) Si la

mosca no volase sino caminase, ¿Cuál sería la longitud de la trayectoria mas corta

que pudiese seguir?

FISICA I


Solución:

Del grafico podemos observar

que con respecto al sistema de

referencia mostrado, el

desplazamiento de la mosca

es:

kdjdidd zyxˆˆˆ ++=

kjid ˆ14ˆ12ˆ10 ++=

El modulo del desplazamiento

de la mosca es:

222 141210 ++=d

d = 20.98 m

c) Si la mosca no volase, la trayectoria más corta es del punto “O” al punto “R” y luego

al punto “P” en línea recta como se muestra en la figura.

Problema 1.8.Dado cuatro vectores coplanares de 8, 12, 10 y 6 unidades de longitud

respectivamente; los tres últimos hacen con el primer vector ángulos de 70°, 150°, y

200° grados respectivamente. Encontrar la magnitud y la dirección del vector

resultante.

Solución:Sea: A = 8u, B = 12u, C = 10u, D = 6u

Del grafico mostrado:

j05.2i46.5j20sen6iº20cos6Dj5i67.8jº60cos10iº60sen10Cj28.11i10.4jº70sen12iº70cos12B

j0i8j0i8A

−−=−−=+−=+−=

+=+=+=+=

Luego la resultante de los cuatro vectores es:

j23.14i14.2RDCBAR

+−=+++=

Luego, el modulo o magnitud del vector resultante es:

FISICA I


u39.14R)23.14()14.2(R 22

=+−=

Del grafico, el ángulo que hace la resultante con

el eje X es:

º45.81

65.614.223.14tan

=θ

==θ

FISICA I


1.7. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES )( BA

El producto escalar de dos vectores da como resultado una cantidad escalar.

A

B

θ

Por definición:

θ=→→

cosBABADónde:

A: modulo del vector→A

B: modulo del vector→B

: ángulo entre los vectores

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALARa) El producto escalar es conmutativo:

→→→→= ABBA

b) El producto escalar es distributivo con respecto a la suma:

( ) CABACBA

+=+

c) CONDICION DE PERPENDICULARIDAD. Si los vectores ByA

son

perpendiculares entre si, entonces su producto escalar es cero.

0=⇒⊥ BABA

d) Sean los vectores ByA

en función de sus componentes rectangulares:


kBjBiBB zyxˆˆˆ ++=

zzyyxx BABABABA ++=⇒

FISICA I


1.8. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES )( BA

×

El producto vectorial de dos vectores da como resultado una cantidad vectorial (el

vector BA

× ). El vector BA

× es perpendicular al plano formado por los vectores

ByA

es decir es perpendicular al vector A

y al vector B

. Su sentido esta dado por

el giro de un tornillo de rosca derecha o por la regla de l a mano derecha.

θ

A

B

AxB

BxA

El modulo del vector BA

× se define:

senBAsenBABA ==×

Dónde:

A: modulo del vector A

B: modulo del vector B

: ángulo entre los vectores

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIALa) El producto vectorial es anti conmutativo:

AB

×−=×BA

b) EL producto vectorial es distributivo con respecto a la suma:

( ) CABACBA

×+×=+×

c) CONDICION DE PARALELISMO. Si los vectores ByA

son paralelos entre si,

entonces su producto vectorial es cero:

0=×⇒ BABaparaleloA

d) Sean los vectores ByA

en función de sus componentes rectangulares:

FISICA I



kBjBiBB zyxˆˆˆ ++=

El modulo del producto vectorial de los vectores ByA

en función de las

componentes rectangulares de los vectores ByA

se puede determinar mediante un

determinante de 3x3 como se muestra a continuación:

( ) ( ) ( ) kBABAjBABAiBABA

BBB

AAA

kji

BA xyyxxzzxyzzy

zyx

zyxˆˆˆ

ˆˆˆ

−+−−−==×⇒

e) El área del paralelogramo formado por vectores ByA

es igual al modulo de su

producto vectorial.

BAsenBAS

×==

Donde:

S: área del paralelogramo formado por los vectores ByA

A: Modulo del vector A

B: Modulo del vector B

1.9. VECTOR POSICION ( r )

Es un vector que indica la posición de un punto en el plano o el espacio.

FISICA I


jyixr ˆˆ +=

El vector r

indica la posición del punto “P” con respecto al origen de coordenadas “O”

OBSERVACION

En la figura se muestra el vector PQr

es el vector posición del punto Q con respecto al

punto P.

jPQiPQr yyxxPQˆ)(ˆ)( −+−=

Problema 1.9.

Dados los vectores: kjiA ˆˆ23 −+=

kiB ˆ2ˆ2 +−=

kjiC ˆ2ˆ3ˆ2 ++−=

Encontrar:

a) La magnitud de cada uno de los vectores.

b) El ángulo que forma el vector A

con el eje Z.

c) CBAD

2)(3 +−= , su magnitud y el ángulo que forma con el eje Y.

d) )2()2( CAAB

−−

e) )2()2( CBBAE

−×+= , su magnitud y el ángulo que forma con el eje X.

f) El ángulo que forman los vectores D

y E

.

g) La proyección del vector D

sobre el vector A

.

Solución:a) Los módulos de los vectores:

uA 74.314)1()2()3( 222 ==−++=

uB 83.222)2()0()2( 222 ==++−=

uC 12.417)2()3()2( 222 ==++−=

FISICA I


b) Sabemos que:

Az AA cos=

Donde A es el ángulo que hace el vector A

con el eje z. Luego:

27.074.3

1cos −=−==

A

AzA

º66.105=A

c) CBAD

2)(3 ++=

[ ]

kjiD

kjikjiD

kjikjiD

kjikikjiD

ˆ7ˆ12ˆ)ˆ4ˆ6ˆ4()ˆ3ˆ6ˆ3(

)ˆ2ˆ3ˆ2(2)ˆˆ2ˆ(3

)ˆ2ˆ3ˆ2(2)ˆ2ˆ2()ˆˆ23(3

++−=

++−+++=

++−+++=

++−++−+−+=

d) [ ] [ ])ˆ2ˆ3ˆ2(2)ˆˆ2ˆ3()ˆˆ2ˆ3()ˆ2ˆ2(2)2()2( kjikjikjikiCAAB ++−−−+−+−+−=−−

[ ] [ ]

66)2()2(

25849)5)(5()4)(2()7)(7()2()2(

)ˆ5ˆ4ˆ7()ˆ5ˆ2ˆ7()2()2(

ˆ4ˆ6ˆ4)ˆˆ2ˆ3()ˆˆ2ˆ3(ˆ4ˆ4)2()2(

−=−−

−+−=−+−−+−=−−

−−+−−=−−

−−+−+−+−+−=−−

CAAB

CAAB

kjikjiCAAB

kjikjikjikiCAAB

e) )2()2( CBBAE

−×+=

[ ] [ ][ ] [ ]

)ˆ2ˆ3ˆ2()ˆ4ˆ4(

)ˆ2ˆ3ˆ2(ˆ4ˆ4)ˆ2ˆ2(ˆ2ˆ4ˆ6

)ˆ2ˆ3ˆ2()ˆ2ˆ2(2)ˆ2ˆ2()ˆˆ2ˆ3(2

kjijiE

kjikikikjiE

kjikikikjiE

+−−×+=

++−−+−×+−+−+=

++−−+−×+−+−+=

[ ] [ ] [ ]

kjiE

kji

kji

E

ˆ20ˆ8ˆ8

ˆ)2)(4()3)(4(ˆ)2)(0()2)(4(ˆ)3)(0()2)(4(

232

044

ˆˆˆ

−−=

−−−+−−−−−=−−

=

Su modulo o magnitud es:

uE

E

98.22

)20()8()8( 222

=−+−+=

El ángulo que hace el vector E

con el eje X se puede calcular con la siguiente relación:

Ex EE cos=

FISICA I


Donde:

xE es la componente del vector E

en la dirección del eje X

E es el ángulo que hace el vector E

en la dirección del eje X

Luego:

º63.69

35.098.22

8cos

=

===

E

xE E

E

f) kjiD ˆ7ˆ12ˆ ++−=

kjiE ˆ20ˆ8ˆ8 −−=

El ángulo formado por los vectores D

y E

se puede calcular usando la definición

del producto escalar:

cosEDED =

Donde es el ángulo entre los vectores D

y E

[ ]

º34.40

76.011.320

244cos

)98.22)(93.13(

140968

))20()8()8()()7()12()1((

)20)(7()8)(12()8)(1(cos

222222

=

−=−=

−−−=−+−+++−

−+−+−==

ED

ED

g) Del grafico, la proyección del vector D

sobre el vector A

esta determinada por el

segmento “P”.

Del grafico:

)1(coscos −−−−−−=⇒= DPD

P

Como:

kjiD ˆ7ˆ12ˆ ++−=

kjiA ˆˆ23 −+=

De la definición de producto escalar:

cosDADA =

Luego:

FISICA I


A

DAD

=cos

De la ecuación (1), entonces:

uP

A

DAP

74.3

74.3

14

)1()2()3(

)7)(1()12)(2()1)(3(222

=

=−++

−++−==

Problema 1.10.

Dado un vector jiF ˆ2ˆ3 +=

dado en el plano XY, y otro jsiG ˆˆ2 +=

siendo “s” un

parámetro:

a) Determinar “s” de modo que G sea paralelo a F .

b) Determinar “s” de modo que G sea perpendicular a F .

c) Calcular el vector unitario en la dirección F X G

Solución:

a) Por la condición de paralelismo; si el vector G

es paralelo al vector F

:

0=×⇒ FG

Luego:

0

02

023

ˆˆˆ

=s

kji

[ ]043

0)2)(2())(3(

=−=−

s

s

3

4=s

b) Por la condición de perpendicular; si el vector G

es perpendicular al vector F

:

0=⇒ FG

Luego:

3

0))(2()2)(3(

−==+

s

s

FISICA I


c) Como el vector F

y el vector G

están en el plano XY, entonces el vector unitario en

la dirección del producto vectorial GF

× es el vector unitario k en la dirección del eje

Z

Problema 1.11.Hallar un vector unitario paralelo al plano YZ y que sea perpendicular al vector

kjia ˆ3ˆ4ˆ5 −+=

Solución:Como el vector es paralelo al plano XZ podemos considerar que su componente en el

eje Y es cero, entonces podemos construir el vector:

kzixb ˆˆ +=

Como el vector b

es perpendicular al vector a

, entonces:

zxzx

ba

5

3035

0

=⇒=−

=

Quedando el vector b

:

kzizb ˆˆ5

3 +=

Como el problema pide un vector unitario en la dirección del vector b

. Luego:

k86.0i51.0u

k345i

343

534z

kziz53

zz53

kziz53

bbu

b

22b

+=

+=+

=

+

+==

Problema 1.12.

Cuál es la componente del vector ba × en la dirección del vector unitario n donde:

kjia ˆ3ˆ16ˆ10 ++= kjib ˆ22ˆ5 +−−=

kin ˆ6.0ˆ8.0ˆ +=

Solución:

Hallando el producto vectorial ba× :

FISICA I


kjiba

kji

kji

ba

ˆ60ˆ5ˆ38

ˆ)8020(ˆ)1520(ˆ)632(

225

31610

ˆˆˆ

+−=×

+−+−−+=−−

=×

Del grafico mostrado, podemos observar que la componente del vector ba × en la

dirección del vector unitario n esta dado por el segmento “P”, donde:

)1(cos −−−−−−−−−−×= baP

Por la definición de producto escalar, tenemos:

( ) coscosˆˆ babanban

×=×=×

Luego de la ecuación (1):

uP 4.66)60)(6.0()38)(8.0( =+=

FISICA I


PROBLEMAS PROPUESTOS.Problema.

La figura muestra una circunferencia de centro “o” Escribir el vector x en función de

los vectores→→bya

Problema

La figura muestra un cuadrado cuyo lado es 10u. Determine el modulo de la

resultante de los tres vectores mostrados si M y N son puntos medios.

Problema.

Dados los puntos en el espacio: P (3, 5, -7); Q (5, -8, 6); R (-3, 8, 10). Encuentre el

área del triangulo formado por los puntos PQR

Problema.

En la figura se muestran cuatro vectores donde sus módulos son: A = 5 u; B = 10 u;

C = 4u; D = 8 u. Encuentre: a) Las componentes de cada vector y cada vector. b) Las

componentes del vector resultante y el vector resultante. c) La magnitud y dirección del

vector resultante. Graficar.

FISICA I


Problema.

A partir del grafico mostrado encuentre: a) Los vectores→→→Cy,B,A en función de sus

componentes rectangulares. b) El vector resultante y el ángulo que hace con el eje x

(grafique)

Problema

Si la suma de dos vectores→→ByA es k9j4i5 −+− , y su diferencia es

k3j8i2 −− , hallar: a) Los vectores→→ByA . b) El ángulo entre la suma

→→+ BA

y el vector→A .

Problema.

Sean los vectores b

y c las diagonales de las caras de un cubo de arista "a = 2 m".

Encontrar las componentes del vector:→→→

= cXbd .

FISICA I


Problema.

Hallar un vector unitario paralelo al plano xy y que sea perpendicular al vector:

∧∧∧→++= k3ji5a

Problema

Dados los vectores

kjiA ˆˆˆ −+−=

kjiB ˆ6ˆˆ +−−=

kjiD ˆ16

2ˆˆ16

16

+++

+−=

Averigua si el producto vectorial→→

× BA es o no paralelo al vector→D .

Problema.

¿Cuál debe ser el valor de m para que el vector∧∧∧→

++= k2jmiA forme un ángulo de

60º con el eje Z?

Cap1_Vectores

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