Cap. 9 Poligoni
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Cap. 9 PoligoniCap. 9 Poligoni
SpezzataSpezzata A cosa vi fa pensare una spezzata?A cosa vi fa pensare una spezzata? Qualcosa che si rompe in tanti pezziQualcosa che si rompe in tanti pezzi A me dà l’idea di un spaghetto che A me dà l’idea di un spaghetto che
si rompesi rompe Se noi rompiamo uno spaghetto e Se noi rompiamo uno spaghetto e
manteniamo uniti i vari pezzi per un manteniamo uniti i vari pezzi per un punto abbiamo l’idea della spezzatapunto abbiamo l’idea della spezzata
In pratica la spezzata è In pratica la spezzata è data dall’unione di tanti data dall’unione di tanti segmenti uno consecutivi segmenti uno consecutivi all’altroall’altro
D
B
C
A E
F
Elementi di una pezzataElementi di una pezzata
D
B
C
A E
Festremi
vertici
I punti di inizio e di fine della spezzata prendono il nome di estremi della spezzataI punti che uniscono i segmenti consecutivi prendono il nome di vertici della spezzata
I segmenti consecutivi che formano la spezzata prendono il nome di lati della spezzata
lati
Tipi di spezzataTipi di spezzata
Spezzata aperta sempliceSpezzata aperta semplice Spezzata aperta intrecciataSpezzata aperta intrecciata Spezzata chiusa sempliceSpezzata chiusa semplice Spezzata chiusa intrecciataSpezzata chiusa intrecciata
Spezzata apertaSpezzata aperta
Una spezzata si dice aperta se i suoi Una spezzata si dice aperta se i suoi estremi non coincidonoestremi non coincidono
Una spezzata aperta si dice rintracciata Una spezzata aperta si dice rintracciata quando ha due o più lati che si quando ha due o più lati che si intersecanointersecanoSpezzata
aperta
Spezzata aperta intrecciata
Spezzata ChiusaSpezzata Chiusa
Una spezzata si dice chiusa se i suoi Una spezzata si dice chiusa se i suoi estremi coincidonoestremi coincidono
Una spezzata chiusa si dice intrecciata Una spezzata chiusa si dice intrecciata se ha almeno due lati che si se ha almeno due lati che si intersecanointersecano
Spezzata semplice chiusa
Spezzata chiusa intrecciata
PoligonoPoligono Cosa succede al piano a se noi Cosa succede al piano a se noi
tracciamo una spezzata chiusa tracciamo una spezzata chiusa semplice? semplice?
Se immaginiamo di prendere un Se immaginiamo di prendere un paio di forbici e di ritagliare il paio di forbici e di ritagliare il contorno cosa abbiamo preso?contorno cosa abbiamo preso?
Un pezzo di piano più Un pezzo di piano più precisamente una porzione di precisamente una porzione di piano (parte colorata)piano (parte colorata)
Definiamo poligono una porzione di piano delimitata da una spezzata chiusaDelimitare: Chiudere qualcosa dentro un limite, tracciarne i confini
Lati consecutiviLati consecutivi Consideriamo la Consideriamo la
seguente figuraseguente figura Vediamo che i lati a e Vediamo che i lati a e
i lati b hanno un i lati b hanno un vertice in comune (B)vertice in comune (B)
Contributi esterni
Tipi di poligonoTipi di poligono
Possiamo riconoscere due tipi di poligoniPossiamo riconoscere due tipi di poligoni
1.1. Poligono concavoPoligono concavo
2.2. Poligono convessoPoligono convesso Che differenza esiste fra i due?Che differenza esiste fra i due?
Poligono ConvessoPoligono Convesso Fissiamo la nostra attenzione sugli Fissiamo la nostra attenzione sugli
angoli interni e sui latiangoli interni e sui lati Definiamo interno l’angolo formato Definiamo interno l’angolo formato
da due lati consecutivida due lati consecutivi Tutti gli angoli interni sono minori di Tutti gli angoli interni sono minori di
un angolo piattoun angolo piatto Se consideriamo le rette passanti Se consideriamo le rette passanti
per i lati del poligono nessuna di per i lati del poligono nessuna di esse lo attraversaesse lo attraversa
Si definisce convesso un Si definisce convesso un poligono che non viene poligono che non viene attraversato dal attraversato dal prolungamento dei suoi latiprolungamento dei suoi lati
Poligono concavoPoligono concavo Fissiamo nuovamente la nostra Fissiamo nuovamente la nostra
attenzione sugli angoli interni e sui attenzione sugli angoli interni e sui latilati
Alcuni angoli interni sono maggiori Alcuni angoli interni sono maggiori di un angolo piattodi un angolo piatto
Se consideriamo le rette passanti Se consideriamo le rette passanti per i lati del poligono alcune di esse per i lati del poligono alcune di esse lo attraversanolo attraversano
Si definisce concavo un Si definisce concavo un poligono che è poligono che è attraversato dal attraversato dal prolungamento di alcuni prolungamento di alcuni latilati
Diagonali
Consideriamo la seguente figura Disegniamo un segmento che
unisce due vertici non consecutivi
Chiamiamo questo segmento diagonale
Si definisce diagonale in segmento che unisce due vertici non consecutivi di un poligono
Perimetro Perimetro Consideriamo il seguente poligonoConsideriamo il seguente poligono I lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligonoI lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligono Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli (sappiamo già Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli (sappiamo già
come si fa altrimenti slide successiva)come si fa altrimenti slide successiva) La lunghezza del segmento A’A’’ ottenuto sommando questi lati è La lunghezza del segmento A’A’’ ottenuto sommando questi lati è
detta perimetro del poligono detta perimetro del poligono
Di definisce perimetro di un poligono e si indica Di definisce perimetro di un poligono e si indica con 2P la misura del contorno del poligonocon 2P la misura del contorno del poligono
Somma di segmenti Per sommare due segmenti occorre metterli uno
dopo l’altro facendo coincidere l’inizio del secondo segmento con la fine del primo in modo da avere due segmenti adiacenti
Consideriamo i segmenti AB e CD Facciamo coincidere B con C Otteniamo il segmento AD Tale segmento è la somma di AB + CD
AD = AB + CD
A B
C D
SemiperimetroSemiperimetro
Spesso ci troviamo a utilizzare nei calcoli
Spesso ci troviamo a utilizzare nei calcoli
non il perimetro ma il semiperimetro
non il perimetro ma il semiperimetro
Con 2P
indichiamo il
perimetro di un
poligono
Con P
indichiamo il
semiperimetro
Criterio di esistenza di un poligono Consideriamo tre segmenti È sempre possibile costruire un
poligono? In teoria sembrerebbe di si perché
posso metterli uno dietro l’altro Ma il giochetto riesce sempre? Consideriamo altri tre segmenti Ripetiamo l’operazione Come si vede non posso costruire
un poligono, uno dei due segmenti è addirittura più grande della somma degli altri due
In un poligono un lato deve essere
minore della somma di tutti gli altri
Figure equivalenti Equivalenti significa che le
due figure si equivalgono cioè hanno lo stesso valore
Consideriamo le seguenti due figure
Il loro contorno racchiude la stessa porzione di piano cioè hanno la stessa area
Si definiscono equivalenti due figure che hanno la stessa area
Figure isoperimetriche Ogni volta che ci troviamo
di fronte al prefisso Iso significa che abbiamo due cose uguali
Consideriamo i seguenti due poligoni
Essi pur essendo diversi hanno lo stesso perimetro
Si definiscono isoperimetrici due poligoni che hanno lo stesso perimetro
Area
Un qualsiasi poligono, per definizione, racchiude al suo interno una porzione di piano
Si definisce area la misura di questa porzione di piano
L’area è la misura della porzione di piano che si trova all’interno di una linea chiusa non intrecciata
Calcolo di un perimetro Consideriamo la seguente figura Il suo perimetro 2P sarà dato da:
Se sostituiamo ai lati il loro valore avremmo che:
cioè
Angolo interno di un poligono Prendiamo in considerazione la parola
pentagono Essa deriva dai termini penta che
significa 5 e gono che significa angolo Perciò letteralmente si tratta di una
figura geometrica con 5 angoli Ma da come avranno origine questi
angoli? Essi risulteranno formati dalle
semirette che contengono e segmenti consecutivi del poligono
Gli angoli interni di un poligono sono gli angoli formati da due segmenti consecutivi
Somma degli angoli interni di un triangolo Consideriamo il seguente triangolo Tracciamo la retta passante per
CB e la sua parallela passante per A
A questo punto noi abbiamo due rette parallele tagliate da due trasversali che sono i lati del triangolo
Interessante contributo esterno
Gli angoli e 1 sono uguali perché alterni interni rispetto alla trasversale c
Gli angoli e 1 sono uguali per lo stesso motivo perché alterni interni rispetto alla trasversale b
Adesso si vede chiaramente come la somma degli angoli interni del triangolo , , sia uguale alla somma degli angoli 1, 1 e perché:
1 = ; 1 = e è in comune
con
Come si vede chiaramente dalla figura
La somma degli angoli
interni
di un tri
angolo
vale sempre 180°
Somma degli angoli interni di un poligono
Adesso sappiamo quanto vale la somma degli angoli interni di un triangolo
Possiamo utilizzare questa conoscenza per calcolare la somma degli angoli interni di ogni poligono?
Secondo voi come possiamo fare?
È possibile ad es. dividere il poligono in tanti triangoli avente per lati i lati del poligono e le sue diagonali
Quanti lati ha questo
poligono?
Quante diagonali? Quanti
triangoliOgni triangolo
= 180°
3 x 180° = 540°
A noi serve una formula: come
trovarla?
Consideriamo il seguente poligono
Inseriamo al proprio interno
un punto
Uniamo con un segmento il punto G con ciascun vertice del poligono
Otteniamo tanti triangoli quanti sono i lati del
poligono
Istintivamente potremmo dire che indicato con l il numero
dei lati del poligono la somma dei suoi angoli interni sarà :
l x 180°Trascureremo però gli
angoli i cui vertici
cadono su G
Una via per la formula Una via per la formula Gli angoli che hanno il vertice in G Gli angoli che hanno il vertice in G
vanno sottratti dal calcolovanno sottratti dal calcolo Quanto vale la loro somma? 360° (è un Quanto vale la loro somma? 360° (è un
angolo giro) cioè 2 x 180°angolo giro) cioè 2 x 180° Perciò a l x 180 (il numero dei triangoli Perciò a l x 180 (il numero dei triangoli
che è possibile costruire è uguale al che è possibile costruire è uguale al numero dei lati) vanno sottratti questi 2 numero dei lati) vanno sottratti questi 2 x 180° (che non fanno parte degli angoli x 180° (che non fanno parte degli angoli interni)interni)
Nel nostro poligono la somma degli Nel nostro poligono la somma degli angoli interni èangoli interni è
6 x 180 – 360° = 720°6 x 180 – 360° = 720°
FormulaFormula
Somma degli angoli interni = l x 180 – 2 x 180Da cui
Somma degli
angoli interni =
(l – 2) x 180
DefinizioneDefinizione
La somma degli angoli La somma degli angoli interni di un poligono è interni di un poligono è uguale al numero dei lati uguale al numero dei lati diminuito di due per 180 °diminuito di due per 180 °
Angoli esterni di un poligonoAngoli esterni di un poligono Si definisce angolo esterno di un Si definisce angolo esterno di un
poligono l’angolo formato dal poligono l’angolo formato dal prolungamento del lato precedente prolungamento del lato precedente e il lato successivo di un poligonoe il lato successivo di un poligono
approfondimenti
La somma degli angoli esterni di un poligono vale
sempre 360°
Angoli adiacentiAngoli adiacenti Si dicono adiacenti due angoli consecutivi Si dicono adiacenti due angoli consecutivi
e i cui lati non comuni giacciono sulla e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa rettastessa retta
Noti una qualche somiglianza con gli angoli interni ed esterni di un poligono?
Consideriamo la seguente
figura
Le coppie angoli interni ed esterni di un poligono che fanno capo ad uno stesso vertice costituiscono una coppia di angoli adiacenti
Numero delle diagonali di un Numero delle diagonali di un poligonopoligono
Il numero delle diagonali di un poligono di Il numero delle diagonali di un poligono di n vertici è dato dalla formula:n vertici è dato dalla formula:
Dove n è il numero dei vertici del poligono
Poligono equiangoloPoligono equiangolo
Un poligono si dice equiangolo se Un poligono si dice equiangolo se ha gli angoli interni ugualiha gli angoli interni uguali
Poligono equilateroPoligono equilatero
Un poligono si dice equilatero Un poligono si dice equilatero se ha tutti i lati congruentise ha tutti i lati congruenti
Poligoni regolariPoligoni regolari
Si dicono Si dicono regolari quei regolari quei poligoni che poligoni che sono sia sono sia equilatere che equilatere che equiangoliequiangoli
Perimetro di un poligono Perimetro di un poligono regolareregolare
Il perimetro della seguente figura si Il perimetro della seguente figura si trova sommando i suoi lati cioè:trova sommando i suoi lati cioè:
2P = 3u + 3u + 3u + 3u + 3u + 3u 2P = 3u + 3u + 3u + 3u + 3u + 3u 2P = 6 x 3u = 18u2P = 6 x 3u = 18u
Il perimetro di un poligono regolare si
ottiene moltiplicando il valore di un lato per il
numero di lati 2P = n x l
Lato di un poligono regolareLato di un poligono regolareNoi sappiamo che :
2p = n x l
Da cui
l = 2p
:
: n
A noi serve l perciò dobbiamo modificarla 2P rimane al suo posto
x scavalca l’uguale diventando la sua operazione opposta cioè :
n scavalca l’uguale e da fattore diventa divisore
Il lato di un
poligono regolare
è uguale al suo
perimetro diviso il
numero dei lati