Cap 6 Engrenagens

ELEMENTOS DE MÁQUINAS II Cap. 6 - Engrenagens - 98

Órgãos de máquinas que transmitem movimento de um veio para outro, por meio de dentes que entram sucessivamente em contacto uns com os outros

Pinhão ou Carreto – a menor das duas rodas em contacto (Pinion).

Roda – a maior das duas (Gear).

Vantagens:

• Permitem distâncias entre eixos pequenas.

• Rendimentos muito elevados.

• Longa duração.

Cap. 6 – Engrenagens (Gears)

Fig. 6.1. – Engrenagens primitivas. (2600 a.c.)[Fig. 15.1 Juvinal]


Engrenagens (Gears)

Fig. 6.2. – Engrenagens dentro de uma misturadora. [Fig. 14.27 Hamrock]

Fig. 6.3. – Engrenagens dentro de uma caixa redutora de velocidades. [Fig. 16.26 Juvinal]


Engrenagens Cilíndricas de dentes rectos SPUR GEAR

Fig. 6.4. – Engrenagens cilíndricas de dentes rectos. [Fig. 14.1 Hamrock]

• É o tipo de engrenagens mais simples e mais comum.

• Transmite movimento entre eixos paralelos.

• Dentes paralelos ao eixo de rotação.


Engrenagens Cilíndricas de dentes helicoidais HELICAL GEAR

• Menos ruidosas que as engrenagens cilíndricas de dentes rectos.

• Dentes inclinados com o eixo de rotação.

• Podem transmitir movimento entre eixos paralelos ou não paralelos.

Fig. 6.5. – Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais. [Fig. 14.2 Hamrock]


Engrenagens Cónicas de dentes rectos BEVEL GEAR with straight teeth

• Dentes em superfícies cónicas.

• Dentes podem ser rectos ou em espiral.

• As engrenagens cónicas são montadas em eixos que se intersectam entre si. Estes podem ser ou não perpendiculares.

Fig. 6.6. – Engrenagens cónicas de dentes rectos.[Fig. 14.3 Hamrock]


Engrenagens parafuso sem-fimWORM GEAR

• É constituído por uma rosca de um parafuso com uma roda dentada especial. Tal como um parafuso, também pode possuir mais que uma rosca.

• Usado para razões de velocidades elevadas.

• Tem uma eficiência de transmissão elevada.

• Transmite movimento entre veios que não sejam paralelos nem se intersectem.

Fig. 6.7. – Engrenagens parafuso sem-fim.[Fig. 14.3 Hamrock]


Nomenclatura das Engrenagens Cilíndricas de dentes rectos (SPUR GEAR)

Fig. 6.8. – Nomenclatura das Engrenagens cilíndricas

de dentes rectos. [Fig. 13.5 Shigley]

Fig. 6.9. – Nomenclatura das Engrenagens

cilíndricas de dentes rectos. [Fig. 14.5 Hamrock]

(a)

(b)

(p)

(c)


Nomenclatura

Circulo Primitivo (Pitch circle) – é o circulo teórico, sobre o qual os cálculos são normalmente efectuados.

Diâmetro Primitivo (pitch diameter) “d” – diâmetro do circulo primitivo.

Passo Primitivo (circular pitch) “p” – é a distância, medida no circulo primitivo, de um ponto num dente, até ao ponto correspondente no dente adjacente. O passo primitivo é igual á soma da espessura do dente (tooth thickness) e intervalo entre dentes (width of space).

Módulo (module)”m” – é a razão entre o diâmetro primitivo, “d” e o número de dentes, “N”. [m = d/N]

Diametral Pitch “P” – é a razão entre o número de dentes da engrenagem, “N” e o diâmetro primitivo, “d”. [P = N/d]


Nomenclatura (cont.)

Saliência (addendum) “a” – é a distância radial entre a superfície da coroa (topland) e o diâmetro primitivo.

Reentrância (dedendum) “b” – é a distância radial entre a superfície da raiz (bottom land) e o diâmetro primitivo.

Altura do dente (whole depth) “ht” – é a soma da saliência e da reentrância.

Circulo de folga (clearance circle) – é o circulo tangente ao circulo de saliência da engrenagem.

Folga (clearance) “c” – é a saliência subtraída da reentrância.

Backlash – é a quantidade que o intervalo entre dentes (width of space) excede a espessura do dente engrenado no circulo primitivo.


Nomenclatura (cont.)

g

g

p

p

d

N

d

N

dN

P ===

Pmp

π=π=

g

g

p

p

N

d

N

d

Nd

P1

m ====m – módulo [mm] ou [in]N – número de dentesd – diâmetro primitivo [mm] ou [dentes/in]

P – diametral pitch, [dentes/in] ou [dentes/mm]N – número de dentesd – diâmetro primitivo [in] ou [mm]

p – passo primitivo [in] ou [mm]m – módulo [in] ou [mm]P – diametral pitch, [dentes/in] ou [dentes/mm]


Módulo / Diametral Pitch

↑ Dente => ↓ diametral pitch

Tabela 6.1. – Tamanho dos dentes usados normalmente. [Tab. 13.3. Shigley]

Fig. 6.10. – Tamanho do dente para vários

“diametral pitch”. [Fig. 15.10 Juvinal]


Perfil Envolvente

Fig. 6.11. – Modo de construção dos dentes de

uma engrenagem. [Fig. 14.9 Hamrock]

O desenho do dente das engrenagens, não serve para a sua construção, mas para a sua compreensão e cálculo do engrenamento.

1 – dividir o círculo base em partes iguais.

2 – desenhar as linhas OA0, OA1, etc.

3 – desenhar perpendiculares em A1B1, A2B2, etc.

4 – Em A1B1 desenhar com um compasso a distância A1A0, em A2B2, desenhar com um compasso os dobro da distância A1A0, etc.


Circunferência de Base e Primitiva

ggpp rrv ω=ω=

φ= cosrr pbp

φ= cosrr gbg

Velocidade linear no círculo primitivo.

Raios dos círculos base.

Fig. 6.12. – Duas rodas engrenadas, onde os círculos

primitivos rolam um sobre o outro, sem escorregamento.[Fig. 14.8 Hamrock]

Diâmetros dos círculos base.

φ= cosdd pbp

φ= cosdd gbg

Passos dos círculos base.

φ= cospp pbp

φ= cospp gbg


Engrenagens Cilíndricas de Dentes Rectos (cont.)

Tabela 6.2 – Sistema de dentes mais utilizado para engrenagens cilíndricas de dentes rectos. [Tab. 13.2 Shigley]

Fig. 6.13. – Engrenagem interna.

(Roda + Pinhão) [Fig. 13.15 Shigley 2001]


Razão de Contacto

pqqq rat =+=

pq

cospL

m tabc =

φ= Razão de contacto – indica o número médio de dentes engrenados.

(quando qt > p)

2,1mc ≈ Para não ocorrer deficiências de montagem, aumentando a possibilidade de impacto entre dentes e o ruído.

Linha de Engrenamento (pressure line) – Lugar geométrico dos pontos de contacto de um par de dentes.

O contacto inicial dá-se no ponto a e o final no b. Quando um dente está a iniciar o seu contacto em a, nesse instante está o dente anterior a finalizar o contacto em b.

AP – arco de aproximação (qa). PB – arco de intervalo (qr). AB – arco de acção (qt)

Fig. 6.14. – Zona de contacto. [Fig. 13.15 Shigley]


Interferência

Se houver interferências com folga grande entre os dentes, o contacto dá-se em péssimas condições, verificando-se vibrações importantes e desgaste rápido.

Se a folga for zero, dá-se o encravamento da transmissão.

O perigo da existência de interferência aumenta com o aumento do número de dentes da roda.

Fig. 6.15. – Esquema da interferência.[Fig. 14.12 Hamrock]


Interferência (cont.)

Tabela 6.3. – Número mínimo de dentes para evitar problemas de interferência. [Tab. 13.1 Shigley]


Fabrico de Engrenagens

Fig. 6.17. – Fabrico de uma engrenagem

com roda dentada. [Fig. 15.13 Juvinal]

Fig. 6.16. – Fabrico de uma engrenagem com cremalheira, com roda dentada e com fresa.


Materiais das engrenagensFerro Fundido: Menos ruídosas que as de aço inox. Alta resistência à flexão. Boa durabilidade superfícial. Mais barato.

Aços Inox com ligas de:Niquel – Facilita a execução da tempera e aumenta a resistência à tracção e à fadiga, sem reduzir a plasticidade e a resiliência.

Crómio – Facilita a execução da tempera, aumentando a dureza, ou seja, aresistência aos esforços e ao desgaste, mas dá-lhe mais fragilidade.

Molibdénio – Concede aos aços uma textura fina, pelo que também lhes aumenta a dureza, mantendo a plasticidade.

Niquel + Crómio + Molibdénio – melhores resultados

Bronze: Material não ferroso.

Plásticos:Nylon – Resistência ao desgaste. Baixo coeficiente de atrito. Baixo ruído. Não necessitam de lubrificação quando a baixas cargas.


Engrenagens Cónicas de Dentes Rectos (BEVEL)

P

G

NN

tan =Γ

G

P

NNtan =γ

“Pitch angle” do pinhão

“Pitch angle” da roda

Fig. 6.18. –Terminologia de uma engrenagem

cónica de dentes rectos. [Fig. 13.20 Shigley]


Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais (HELICAL)

t

x

Ψ= cospp tn

Ψ=

tanp

p tx

pn – passo primitivo normal

px – passo primitivo axial

pt – passo primitivo transversal

ψ - ângulo da hélice

Fig. 6.19. – Engrenagem cilíndrica de dentes

helicoidais. [Fig. 14.25, 14.26 Hamrock]


Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais (cont.)

t

n

tantan

cosφφ

=Ψ

Ψ=π=

cosP

P,Pp tnnn

Ψ=π= cosmm,mp tnnn

Pn – normal “diametral pitch”Pt – transversal “diametral pitch”φn – ângulo de pressão normalφt – ângulo de pressão transversalmn – módulo normalm t – módulo transversal

Fig. 6.20. – Nomenclatura das engrenagens cilíndricas

de dentes helicoidais. [Fig. 13.22 Shigley]


Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais (cont.)

Tabela 6.4. – Proporções de dentes standards [Tab. 13.5 Shigley].


Engrenagens de Parafuso-Sem-Fim (WORM)

π= tG

G

PNd

7,1

Cd

0,3

C 875,0

W

875,0

≤≤

Wx NpL =

WdL

tanπ

=λ

dG – diâmetro primitivo da rodadW – diâmetro primitivo do parafusoL – avançoλ – ângulo do avançoC – distância entre centrosNw – nº dentes do parafusopx – passo primitivo axial

Fig. 6.21. – Nomenclatura das engrenagens de

parafuso-sem-fim. [Fig. 13.24 Shigley]


Direcção da rotação das engrenagens de dentes rectos

Fig. 6.22. – Engrenagens externas. [Fig. 14.13 Hamrock]

Fig. 6.23. – Engrenagens internas. [Fig. 14.14 Hamrock]


Direcção da rotação das engrenagens de dentes helicoidais

Fig. 6.24. – Direcção da rotação das engrenagens de dentes helicoidais. [Fig. 13.26 Shigley]


Trens de Engrenagens

Objectivo – Obter uma velocidade angular desejada no veio de saída enquanto que o veio de entrada roda a uma velocidade angular diferente.

Fig. 6.25. – Trens de engrenagens. Simples e compostos. [Fig. 14.15, 14.16 Hamrock ]

Trem de engrenagem plano – quando os veios intermédios são paralelos.

Trem de engrenagem esférico – quando existem veios intermédios que não são paralelos.


Trens de Engrenagens (cont.)

Nas engrenagens cilíndricas de dentes rectos:e (+) – se a última engrenagem roda no mesmo sentido da 1ª.e (-) – se a última engrenagem roda no sentido contrário à 1ª.movidosdentesdosprimitivodiâmetroproduto

motoresdentesdosprimitivodiâmetroprodutoe

ou

nn

movidosdentesnprodutomotoresdentesnproduto

eF

L

=

=°°

=

Fig. 6.26. – Trem de engrenagem. [Fig. 13.27 Shigley]

Valor do trem


Trens de Engrenagens (cont.)

2643

5326 n

NNN

NNNn = Velocidade da engrenagem 6.

Engrenagens 2, 3 e 5 – MotorasEngrenagens 3, 4 e 6 – Motrizes

Engrenagem 3Roda doida

(Motora e Motriz)

Fig. 6.26. – Trem de engrenagem.(repetida) [Fig. 13.27 Shigley]


Trens de Engrenagens Planetários

AF

AL

nnnn

e−−

=

Quando os eixos das engrenagens rodam em torno de outros.

Valor do trem

nF – rev/min da primeira eng. (First)nL – rev/min da última eng. (Last)nA – rev/min do braço (Arm)

Fig. 6.27. – Engrenagem planetária. [Fig. 13.28 Shigley]

Fig. 6.28. – Engrenagem planetária. [Fig. 13.29 Shigley]


t2aF

r2aF

r32F

t32F

Forças em Engrenagem Cilíndrica Dentes Rectos

VWH t=

60dn

Vπ

=

t23t FW =

φ= tanFF t23

r23

φ=

cosF

Ft23

23

dnH)10(60

W3

t π=

Potência (kW)

Carga transmitida (kN)

e

Velocidade linear (m/s)

r23Ft23F

– Força radial da roda 2 na 3

– Força tangencial da roda 2 na 3

23F – Força da roda 2 na 3

tWrT ⋅=Torque aplicado (kNm)

Fig. 6.29. – Diagramas de corpo livre. [Fig. 13.31 Shigley]

Fb3 – Força do veio b na roda 3


Forças em Engrenagem Cónica Dentes Rectos

TVH =60dn

Vπ

=

avt r

TW =

γφ= costanWW tr

γφ= sintanWW ta

Fig. 6.30. – Forças na engrenagem cónica de dentes rectos.[Fig. 13.31 Shigley]


Forças em Engrenagem Cilíndrica Dentes Helicoidais

VWH t=60dn

Vπ

=

ttnr tgWsinWW φ=φ=

ψ=ψφ= tgWsincosWW tna

ψφ=

coscosW

Wn

t

dnH)10(60

W3

t π=

Fig. 6.31. – Forças na engrenagem cilíndricas de dentes helicoidais.[Fig. 13.37 Shigley]


Forças em Engrenagem Parafuso-Sem-Fim

ny

GrWr sinWWWW φ==−=

λφ==−= sincosWWWW nx

GaWt

λφ==−= coscosWWWW nz

GtWa

Fig. 6.32. – Forças na engrenagem

parafuso-sem-fim. [Fig. 13.40 Shigley]

Tabela 6.5. – Eficiência em função do

ângulo ψ, com µ=0,05. [Tab. 13.7 Shigley]


Engrenagens cilíndricas de dentes rectos e de dentes helicoidais - Fórmula de Lewis

2t

3t

FtLW6

12Ft2tLW

IMc

===σ

Fig. 6.33. – Forças na engrenagem parafuso-sem-fim.[Fig. 14.1 Shigley]

Tensão de flexão no dente na zona onde o esforço é máximo.

Tensão máxima ocorre:1º - no ponto onde a força actua.2º - na base do dente (ponto a)Mais crítica → 2º ponto.

Fig. 6.34. – Ensaio de fotoelasticidade

a uma engrenagem. [Fig. 15.19 Juvinal]

W t – Força transversalL – Distância da base do dente até à zona de aplicação da forçat – Espessura da base do denteF – Largura da base do dente


Fórmula de Lewis (cont.)

m3

x2You

3

xP2Y ==

YmF

PWt

⋅⋅=σ

O uso destas equações implica: • Não existem vários dentes com força aplicada;• Força de compressão é desprezada, só é considerada a força de flexão.• O maior esforço é na base do dente.

A equação anterior pode ser substituída pela equação seguinte:

P – “diametral pitch” (dentes/mm)

m – módulo (mm)

W t – força transversal (kN)

Y – Factor de Lewis

Sendo,

Tabela 6.6. – Valores do factor de Lewis Y em

função do número de dentes. [Tab. 14.2 Shigley]


Formula de Lewis (cont.) – Efeito dinâmico

v05,3

05,3Kv +

=

v1,6

1,6Kv +

=

Engrenagens obtidas por fundição

Engrenagens obtidas por corte YmFK

W

v

t

⋅⋅⋅=σ

p5Fp3 <<

Em regra geral as engrenagens devem ser projectadas de modo a que a espessura do dente esteja entre 3 a 5 vezes o passo.

Quando um par de engrenagens roda a uma velocidade moderada ou elevada e há ruído, vão ocorrer os efeitos dinâmicos.

Kv – Factor de velocidade do efeito dinâmico

V – Velocidade (m/s)

A equação do esforço de flexão pode ser dada então em função do efeito dinâmico:


Dureza da Superfície

( ) ( )2

1

g2gp

2p

gptCmax

E1E1

r1r1

cosF

Wp

υ−+υ−

+

φπ=σ=

2

sendr,

2

sendr g

gp

p

φ=

φ=

( ) ( )2

1

g2Gp

2p

PE1E1

1C

υ−+υ−π

=

rp, rg ,dp, dg – raios e diâmetros dos círculos base do pinhão e da rodaυp, υg, Ep, Eg – constantes elásticasφ - ângulo de pressãoCP – Coeficiente elástico

Cv = Kv – Efeito dinâmico (definido pela AGMA)

Podem ocorrer vários tipos de desgaste da superfície de uma engrenagem:

Pitting – falha por fadiga devido a tensões repetidas.Adesivo – Falha devido à lubrificação.Abrasivo – falha devido a presença de impurezas.

Máxima pressão de contacto superficial:

21

gpv

tPC r

1r1

cosFC

WC

+

φ−=σ

com

Tensão de compressão superficial ou tensão Herteziana:

com


Formulas de Tensão AGMA

J

KK

mF

1

K

KW ms

v

at

⋅=σ

21

fms

v

atPC I

CC

dF

C

C

CWC

⋅

=σ

W t – Força tangencial aplicada;Kv=Cv – Factor dinâmico;Ka=Ca – Factor de aplicação;Ks=Cs – Factor de tamanho;Km=Cm – Factor de distribuição de carga;F – Largura de dente;m – Módulo nominal;J- Factor de geometria;Cp – Coeficiente elástico;Cf – Factor condição superficial;d – diâmetro primitivo do pinhão;I – Factor de geometria .

As Duas fórmulas fundamentais usadas pela AGMA*, são uma para a tensão de flexão e outra para a resistência ao desgaste, Piting.

Tensão de flexão:

Tensão de contacto devido ao desgaste por Piting:

*AGMA – American Gear Manufacturers Association.


Formulas de Resistência AGMA

RT

Ltall KK

KS=σ

St – Resistência à flexãoKL= CL – Factor de vidaKT= CT – Factor de temperaturaKR= CR – Factor de fiabilidade

SC – Resistência à fadiga superficial;CH – Factor de razão de dureza.

RT

HLCall,C CC

CCS=σ

Tensão de flexão admissível

Tensão de contacto admissível


Resistência à Flexão St

Fig. 6.35. – Resistência à flexão dada

pela AGMA. [Fig. 14.2 Shigley]

Tabela 6.7. – Resistência à flexão dada pela AGMA.[Tab. 14.2 Shigley]


Resistência à Fadiga Superficial SC

Fig. 6.36. – Resistência à fadiga

superficial dada pela AGMA. [Fig. 14.3 Shigley]

Tabela 6.8. – Resistência à fadiga superficial dada

pela AGMA. [Tab. 14.4 Shigley]


Factor de Geometria J de Resistência à Fadiga Superficial

Nf mKY

J =

Fig. 6.37. – factor de geometria J. [Fig. 14.5 Shigley]


Factor de Geometria I de Resistência à Flexão

1mm

m2sincos

IG

G

N

tt

+φφ

=

Fig. 6.38. – factor de

geometria I. [Fig. 14.4 Shigley]


Coeficiente Elástico Cp

Tabela 6.9. – Coeficiente elástico. [Tab. 14.5 Shigley]


Factor Dinâmico Kv e Cv

Fig. 6.39. – Factor dinâmico. [Fig. 14.7 Shigley]


Factor de Aplicação Ka, Ca

Elevadores Ka, Ca = 2;Maquinaria leve, veios movidos Ka, Ca≥1,2;Veios motores Ka, Ca≥1,5.

Factor Condição Superficial Cf

Cf > 1, quando são detectados defeitos superficiais

Factor de Tamanho Ks, Cs

Ks, Cs = 1 (normalmente)Intenção de prever diferenças metalúrgicas devidas ao tamanho


Factor de Distribuição de Carga Km e Cm

Tabela 6.10. – Factor de distribuição de carga. [Tab. 14.6 Shigley]


Factor de Razão de Dureza CH

Fig. 6.40. – Factor de razão de dureza. [Fig. 14.8 Shigley]


Factor de Vida KL e CL

Fig. 6.41. – Factor de vida. [Fig. 14.9 Shigley]


Factor de Fiabilidade KR e CR

Tabela 6.11. – Factor de Fiabilidade. [Tab. 14.7 Shigley]

Normalmente a fiabilidade é de R=0.99, o que corresponde a uma vida de 107 ciclos. Para outras fiabilidades deve-se usar a tabela abaixo.

<≤−−<≤−−

=9999.0R99.0)R1log(25.05.0

99.0R9.0)R1log(15.07.0CR

Cap 6 Engrenagens

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