Caos e Determinismo

Massimo BlasoneDMI, Università di Salerno

&Istituto Nazionale di Fisica Nucleare

7 ottobre 2010

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Sommario

• Determinismo in Fisica Classica

• Crisi del determinismo classico– Meccanica Quantistica

– Relatività

– Caos deterministico

– La geometria del caos: i frattali

• Sviluppi recenti

• Conclusioni

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Motivazioni

• Gli scienziati spesso operano, con i metodi propri della Scienza, all’internodi concezioni del mondo che hanno natura non scientifica, o perlomenonon sono dimostrabili in modo definitivo. Esempi tipici sono ildeterminismo e il riduzionismo o la loro negazione.

• Seguire lo sviluppo del dibattito sul determinismo in ambito scientifico, permette di cogliere bene la logica di alcune fondamentali scoperte.

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Determinismo• Determinismo: concezione secondo cui in natura nulla avviene a caso ma

tutto è determinato secondo una catena causale di eventi precedenti, escludendo qualsiasi forma di casualità nelle cose. Nella sua forma piùestrema, il determinismo nega la possibilità del libero arbitrio.

• Democrito: realtà consiste del vuoto infinito e degli atomi (immutabili, eterni, in moto incessante tra di loro). Le proprietà dei corpi sono determinate dal modo in cui gli atomi si aggregano.

• Epicuro e poi Lucrezio riprendono le idee di Democrito e Leucippointroducendo un nuovo ingrediente: il “clinamen”, la possibilità per gliatomi di deviare talvolta dalla loro traettoria. Si salvava così il liberoarbitrio.

• Dante parla di Democrito come colui ``che il mondo a caso pone’’(Inferno, IV).

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Determinismo classico

• « La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi èimpossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. » (Il Saggiatore).

Galileo Galilei

(1564 – 1642)

Determinismo classico

• Dalla pubblicazione dei Principia di Newton (1697), la meccanica newtoniana diventa il punto di riferimento per tutte le teorie scientifiche, e la base della visione filosofica del mondo, il meccanicismo.

Isaac Newton (1642-1727)

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Equazioni differenziali evoluzione dinamica del sistema

Condizioni iniziali stato iniziale del sistema

amF

Determinismo classico

“Noi dobbiamo considerare lo stato presente dell’universo come l’effetto di un dato stato anteriore e come le causa di ciò che sarà in avvenire. Una intelligenza che, in un dato istante, conoscesse tutte le forze che animano la natura e la rispettiva posizione degli esseri che la costituiscono, e che fosse abbastanza vasta per sottoporre tutti i dati alla sua analisi, abbraccerebbe in un’unica formula i movimenti dei più grandi corpi dell’universo come quello dell’atomo più sottile; per una tale intelligenza tutto sarebbe chiaro e certo e così l’avvenire come il passato le sarebbero presenti”(Essai philosophique sur les probabilitès, 1814)

Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

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Crisi del determinismo classico - 1• Meccanica Quantistica (Einstein, Planck, Bohr,

Heisenberg, De Broglie, Schroedinger, etc..): dualismo onda-particella, principio di indeterminazione di Heisenberg.

A.Einstein: “Dio non gioca a dadi con l’universo”

N.Bohr: “Piantala di dire a Dio che cosa fare con i suoi dadi”

S.Hawking: “Non solo Dio gioca a dadi, ma li getta laddove non possiamo vederli”

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Meccanica QuantisticaPrincipio di indeterminazione di Heisenberg:

Δx Δp ≥ ħ/2E’impossibile misurare contemporaneamente con precisione arbitraria posizione e momento di un oggetto.

W.Heisenberg: ``Nell’ambito della realtà le cui connessioni sono formulate dalla teoria quantistica, le leggi naturali non conducono quindi ad un completa determinazione di ciò che accade nello spazio e nel tempo; l’accadere … è piuttosto rimesso al gioco del caso.’’

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W. Heisenberg(1901–1976)

Meccanica Quantistica

Effetto fotoelettrico.

Impossibile da spiegare con la fisicaclassica. Einstein ipotizzò che la luceviaggia in pacchetti discreti di energia, i quanti di luce o fotoni.

L’effetto fotoelettrico è il principio di base per il funzionamento delle cellefotovoltaiche, usate per produrreenergia elettrica.

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Meccanica QuantisticaDualismo onda particella.

Esperimento di Young con elettroni. Ogni elettronepassa contemporaneamente in ciascuna delle due fenditure!

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Meccanica QuantisticaNel 1935 Einstein, Podolsky e Rosen proposero un paradosso, detto poi “Paradosso EPR’’, con l’intento di dimostrare che la meccanica quantistica non è una teoria fisica completa.

Il principale risultato fu invece quello di evidenziare l’esistenza di stati con proprietà speciali, gli stati entangled.

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Entanglement

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Teletrasporto quantistico

Qubit

Computer quantistici, crittografia quantistica.

Meccanica QuantisticaLogica classica e logica quantistica

Con la meccanica quantistica si passa da una logica aristotelica o del terzo escluso, ad una eraclitea (antidialettica) che invece lo include; potendo un quanto essere e non essere contemporaneamente due rappresentazioni opposte di una stessa realtà: particella ed onda. Cosa che poi rappresenta il vero paradosso del divenire della realtà in generale quando "nello stesso fiume scendiamo e non scendiamo; siamo e non siamo" (Eraclito).

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R.P.Feynman(1918-1988)

``Penso si possa tranquillamente affermare che nessuno capisce la meccanica quantistica’’

Crisi del determinismo classico - 2

• La teoria della relatività speciale (Einstein, 1905): spazio e tempo non sono più assoluti come era per Newton, ma hanno proprietà dipendenti dall’osservatore.

• H.Minkowski (1908): ``Le concezioni di spazio e di tempo che desidero esporvi sono sorte dal terreno della fisica sperimentale, e in ciò sta la loro forza. Esse sono fondamentali. D'ora in poi lo spazio di per se stesso o il tempo di per se stesso sono condannati a svanire in pure ombre, e solo una specie di unione tra i due concetti conserverà una realtà indipendente.’’

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H.Minkowski(1864-1909)

Relatività

• La maggior parte dei fisici dell’epoca erano convinti dell’esistenza dell’etere luminifero, ipotetica sostanza in cui, secondo la visione meccanicistica, le onde luminose si propagavano.

• Ma gli esperimenti condotti mostravano che la velocità della luce era la stessa per tutti gli osservatori.

• Per spiegare questi fenomeni, Einstein abbandona il concetto di spazio e tempo assoluti, come era per Newton.

• Ottiene quindi la celebre formula

che è alla base della energia nucleare (bomba atomica inclusa).

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2E mc

Relatività

• Applicazioni della relatività: Global Positioning System (24 satelliti con orologiatomici a bordo)

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Relatività specialeRallentamento tempo dovuto a velocità: -7 µs/giorno.

Relatività Generale: Accelerazione tempo dovuta alla gravità: 45 µs/giorno.

Errore spaziale totale: 0.000038 s/giorno 300000 km/s = 11.4 km/giorno !

Riduzionismo

• La Fisica si occupa dello studio delle leggi che regolano i fenomeni naturali e le interazioni dei costituenti della materia.

• Generalmente l’approccio di un fisico è quello di rendere il problema il piùsemplice possibile, cercando di individuare le caratteristiche fondamentali del fenomeno in studio e trascurando il resto. Ad esempio: lo studio del moto di un grave o di un pendolo, trascurando l’attrito.

• Riduzionismo: tentativo di “ridurre il mondo dei fenomeni fisici a un insieme finito di equazioni fondamentali” (F.Dyson).

• Questo metodo riduzionista ha portato a degli enormi successi, come le attuali teorie delle interazioni fondamentali, alla base di tutti i fenomeni che osserviamo.

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Modello StandardTutti i fenomeni fisici finora osservati sono descrivibili in termini di 4 interazioni fondamentali e delle (anti-)particelle elementari.

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Sistemi complessi

• I fenomeni naturali sono in generale più complessi di quanto a prima vista possa spesso sembrare. Alcuni esempi:

• il moto della pallina alla roulette

• il moto di una piuma che cade

• il tempo che farà fra due settimane

• Il gocciolamento di un rubinetto

• i terremoti

• Come mai questi e altri fenomeni sembrano essere dominati dal caso e sfidano la nostra possibilità di previsione, nonostante siano tutti fenomeni descrivibili con leggi deterministiche?

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Sistemi complessi

• L’idea riduzionista che basta scomporre un oggetto o un fenomeno in quelle che sono le sue parti fondamentali per spiegarne il suo comportamento complessivo, non è sempre valida.

• Le singole componenti di un sistema fisico non interagiscono sempre debolmente, ma sono spesso fortemente accoppiate con termini non lineari.

• Ad esempio a differenza della semplice forza elastica che contiene solo un termine lineare, è spesso più realistico considerare dei termini quadratici o di ordine superiore.

• Il tutto non è sempre la semplice somma delle singole parti.

F kx

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Crisi del determinismo classico - 3

Henri Poincaré(1854-1912)

``Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancar di vedere, e allora diciamo che l'effetto è dovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell'universo all'istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un istante successivo.

Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto, che è governato da leggi.

Ma non sempre è così: può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diviene impossibile e si ha un fenomeno fortuito’’. (Science et méthode) 22

Il Caos

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• Nella mitologia greca, il Caos è lo stato primordiale di vuoto buio anteriore alla creazione del cosmo da cui emersero gli dei e gli uomini.

• Nella Teogonia, Esiodo racconta che dal Caos si generarono Gea (la Terra), Tartaro (un luogo infernale situato al di sotto dell'Ade) ed Eros (amore). Dal Caos poi nacquero Notte (l'oscurità della notte) ed Erebo (le tenebre degli Inferi). Dal Caos infine nacque Urano, la personificazione del Cielo infinito.

• Nella Fisica moderna, il termine caos ha un significato preciso, legato al peculiare comportamento di alcuni sistemi che mostrano una fortedipendenza della loro evoluzione temporale dalle condizioni iniziali. L’importanza del caos è stata riconosciuta solo di recente (Poincarè (1900) Kolmogorov (1941), E. Lorenz (1963), B. Mandelbrot (1970), D. Ruelle (1971), M. Feigenbaum (1980) )

Caos deterministico• Un sistema esibisce caos deterministico quando abbiamo una dipendenza

molto sensibile dalle condizioni iniziali una incertezza iniziale cresce esponenzialmente col tempo.

• Questo determina una impredicibilità a lungo termine della sua evoluzione futura.

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• In regime di caos, l’incertezza iniziale ε0 si propaga nel tempo secondo la legge

dove λ si chiama massimo esponente di Lyapunov.

• Supponiamo di non volere un’incertezza maggiore di 1, e indichiamo questo tempo di previsione massimo con tmax , cioè sia ε(tmax)=1 .

• Allora prendendo i logaritmi di entrambi i membri si ottiene

• Per quanto piccolo possa essere il nostro tasso di crescita esponenziale λ, se λ>0, per poter raddoppiare il tempo di previsione bisogna diminuire di molti ordini di grandezza l’incertezza iniziale, raggiungendo inevitabilmente dei limiti invalicabili.

0( ) tt e

max0

1 1logt

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Esempi di Caos deterministico

Il biliardo di Sinai

Gli ostacoli sferici per il potere defocalizzante delle superfici curve fanno sì che piccole differenze iniziali vengano amplificate e dopo pochi rimbalzi due traiettorie inizialmente simili hanno una evoluzione completamente diversa.

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Esempi di Caos deterministico

Instabilità nel sistema solare

Già Poincarè si rese conto agli inizi del secolo che il problema dei tre corpi non ammette una soluzione analitica e un piccolo corpo di prova si muove in maniera erratica nel campo gravitazionale di due grossi corpi massivi.

Esempi:

- Il moto irregolare di Iperione un satellite molto deformato di Saturno

- La distribuzione dei periodi degli asteroidi, che mostra dei buchi in corrispondenza di valori razionali con il periodo dell’orbita di Giove.

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Il modello di Lorenz• Il modello di Lorenz (1963) descrive un fluido in un campo gravitazionale costante posto tra due piani a temperature fissate.

( )

dx x ydtdy rx y xzdtdz xy bzdt

• Il modello di Lorenz serve a modellare il comportamento dell’atmosfera o del magma sotto la crosta terrestre.

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L’effetto farfalla• Nello studiare numericamente il suo modello, Lorenz ripetè

un calcolo inserendo valori iniziali leggermente diversi rispetto a quelli usati precedentemente. Notò che il risultato era invece completamente diverso. Lorenz aveva osservato un fenomeno di forte dipendenza dalle condizioni iniziali.

• Una conferenza tenuta da Lorenz nel 1979 ha come titolo: Può il battito d’ali di una farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas?

• Fluttuazioni su scale di qualche centimetro, possono estendersi amplificate su scale di un metro e poi di chilometri in poche settimane!

• Filastrocca popolare: Per colpa di un chiodo si perse lo zoccoloper colpa di uno zoccolo si perse il cavalloper colpa di un cavallo si perse il cavaliereper colpa di un cavaliere si perse la battagliaper colpa di una battaglia si perse il regno!

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E.N. Lorenz(1917-2008)

Caos e mescolamento di fluidi• Il meccanismo dell’allungamento e del ripiegamento (stretch

and fold).

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La turbolenza• All’aumentare della velocità oltre una certa soglia il moto di un fluido

passa da un regime laminare ad uno turbolento.

• Si formano strutture complesse che variano nello spazio e nel tempo. Si ha caos spazio-temporale.

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Altri esempi di sistemi caotici

• Biologia: Modello di Volterra (1931) descrivente l’equilibrio di due specie (erbivori e predatori).

• Chimica: reazioni oscillanti (Zabotinsky, 1961), del tipo

A + B → C + D e C + D → A + B

• Medicina: frequenza cardiaca (Mackey, Glass, 1977); encefalogramma(May, 1991); epidemie (May, 1980).

• Politica: il nostro attuale sistema elettorale, denominato Porcellum(Calderoli, 2005), per quanto riguarda il Senato dove prevede soglie di sbarramento e premi di maggioranza su base regionale.*

* G.Pontuale, S.Genovese, E.La Nave, A.Petri, Forum di Quaderni Costituzionali, Il Mulino, 2008.

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La geometria del caos: i frattali

• I sistemi caotici possono avere degli attrattori con particolaricaratteristiche geometriche, gli attrattori strani.

• Gli esponenti di Lyapunov sono correlati con le dimensioni frattali degli attrattori strani.

L’attrattore di Hénon L’attrattore di Lorenz

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I frattali“Perché la geometria viene spesso descritta come fredda e arida? Una ragione è l’inabilità di descrivere la forma di una nuvola o di una montagna, una linea costiera o un albero. Le nuvole non sono delle sfere, le montagne non sono dei coni, le linee costiere non sono dei cerchi, il sughero non è liscio ed i fulmini non si muovono lungo linee diritte.”

Insieme di Mandelbrot

B. Mandelbrot(1924-)

• Così Mandelbrot nel suo libro The FractalGeometry of Nature descrive l'inadeguatezza della geometria euclidea nella descrizione della natura.

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Cos’è un frattale

Un frattale è un oggetto che

mostra una invarianza di

scala, ovvero ha la stessa

struttura a tutte le scale e

possiede una dimensione

non intera.

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Frattali: geometria non banale

• Consideriamo la curva di Koch

• Per n=0 la sua lunghezza è L=a

• Per n=1 abbiamo

• Per n=2 abbiamo

• Per n generico

• Ne segue che

43

L a

243

L a

43

n

L a

per n L

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La dimensione frattale

• Il termine frattale fu coniato da Mandelbrot e ha origine nel termine latino fractus, poichè la dimensione di un frattale non è intera.

• La dimensione di un oggetto è data dal numero minimo di coordinate necessarie ad individuare i punti dell’oggetto stesso.

• per un punto è 0

• per una linea è 1

• per una superficie è 2

• …

• Questa dimensione è detta topologica ed è sempre un numero intero.

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La dimensione frattale

• La dimensione frattale (o di Hausdorff) è una generalizzazione della definizione di dimensione euclidea

)/1ln())(ln(lim

0

NDF

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La polvere di Cantor

N ε Itera-zione

1 1 0

2 1/3 1

22 (1/3) 2 2

2n (1/3) n n

..63.0)3ln()2ln(lim

0

n

n

FD

39

La curva di Koch

..26.13ln4lnlim

0

FD

Con questa definizione di dimensione, la lunghezza della curva di Koch è:

log 4/log 3

log 4/log3

0

1lim ( ) lim 43

F

nD n

nL N a a

40

Il tappeto di Sierpinski

9.13ln8lnlim

0

FD

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Esempi di strutture frattali

42

Esempi di strutture frattali

43

Esempi di strutture frattali

44

Esempi di strutture frattali

Una rete fluviale

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Frattali in economia

• L’andamento degli indici di Borsa ha una struttura irregolare ed autosimilare, quindi èun frattale

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Frattali nell’arte

Frattali nell’arte

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Frattali e musica

• H.J.Brothers, ``Structural Scaling in Bach’s Cello Suite No. 3’’, Fractals (Vol. 15, No. 1, 2007; pages 89-95)

Abstract: The Bourrée Part I from Johann Sebastian Bach's Cello Suite No. 3 provides a clear example of structural scaling. The recursive form of this structure can be visualized in the manner of a well known fractal construction — the Cantor set.

http://www.brotherstechnology.com/math/fractal-music.html49

Determinismo e Fisica modernaProblemi aperti in Fisica:

• Quantizzazione della gravità;

• Unificazione delle interazioni fondamentali;

• Origine dell’Universo;

• Origine dell’asimmetria tra materia e antimateria;

• Interpretazione della Meccanica Quantistica;

• Emersione della dinamica macroscopica (classica) a partire da quellamicroscopica (quantistica);

• Fenomeni quantistici in ambito biologico (fotosintesi, memoria, coscienza..).

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Determinismo e Fisica moderna• Recentemente G. ‘t Hooft ha ipotizzato che alla base

della meccanica quantistica ci sia una teoria ancora piùfondamentale, che sarebbe deterministica.

• Visione alternativa rispetto alla teoria delle stringhe.

• Risolve il problema della quantizzazione della gravitàrovesciando il paradigma generalmente accettato secondo cui tutte le interazioni debbono essere quantizzate.

G. ‘t Hooft

La Meccanica Quantistica sarebbe, come pensava Einstein, solo una teoria approssimata. La ``teoria finale’’ sarebbe deterministica, ma solo alla scala di Planck, cioè a energie finora inaccessibili agli esperimenti.

• Secondo ‘t Hooft, la dinamica fondamentale ha natura dissipativa e gli stati quantistici emergono in modo simile agli attrattori nei sistemi caotici.

Conclusioni

• Dibattito sul determinismo in ambito scientifico ancoraattuale.

• Scoperte scientifiche spesso frutto di processi non prevedibili: talvolta i pregiudizi dello scienziato sulla natura del mondo gliimpediscono di intepretare correttamente ciò che osserva; altre volte avviene il contrario…

• Appello (a chi di competenza): finanziare la ricerca di base!

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